29 de junio de 2012 Sec. 3.10 Aproximaciones Lineales y

29 de junio de 2012
Sec. 3.10 Aproximaciones Lineales y Diferenciales
Hemos visto que la curva está bien cerca de la recta tangente
cerca del punto de tangencia. Dando un “zoom” en un punto
de una función diferenciable se puede notar que la gráfica
luce cada vez más como la recta tangente. Esta observación
es la base para el método de encontrar valores aproximados
de funciones.
La idea es aproximar el valor de una función en un valor de
x cerca del punto de tangencia usando la recta tangente.
La ecuación de la recta tangente a y = f ( x ) en el punto
( a, f ( a ) ) es
y = f ( a ) + f ' ( a )( x − a )
y la aproximación
f ( x ) ≈ f ( a ) + f ' ( a )( x − a )
es llamada la aproximación lineal de f en a.
La función lineal cuya gráfica es la recta tangente es
L ( x ) = f ( a ) + f ' ( a )( x − a )
y es llamada la linealización de f en a.
Figura 1
Ejemplos
1. Encuentre la linealización L ( x ) de la función
f ( x ) = x en a = 4.
2. Encuentre la linealización L ( x ) de la función
f ( x ) = 3 2 + x en a = 6.
Ejemplo
Aproxime cos (.05)
Ejemplo
Verifique la aproximación lineal dada en a = 0. . Determine
los valores de x para los cuales la aproximación tiene una
exactitud de 0.1.
(1 + x )
−3
= 1 − 3x
Diferenciales
La idea de aproximaciones lineales se puede formular en
términos de diferenciales.
Si y = f ( x ) , donde f es una función diferenciable, entonces
el diferencial dx es una variable independiente, esto es, nos
puede dar el valor de cualquier número real. El diferencial
dy es definido en términos de dx por la ecuación
dy = f ' ( x ) dx , por lo que es una variable dependiente.
El significado geométrico de diferenciales se muestra en la
siguiente figura.
Sean P ( x, f ( x ) ) y
Q ( x + ∆x, f ( x + ∆x ) ) los
puntos en la gráfica de f y sea
dx = ∆x . El correspondiente
cambio en y es
∆y = f ( x + ∆x ) − f ( x )
La pendiente de la recta
tangente PR es la derivada
f ' ( x)
Ejemplos
Encuentre el diferencial de cada función:
1. y = x 2 senx
2. y = e tan π t
Ejemplo
Encuentre el diferencial dy , y evalué dy para los valores
dados de x y dx cada función:
x2
y=
, x = 2, dx = 0.05.
x −1
Ejemplo
Use diferenciales para estimar:
1.
5
2.
e −0.015
32.2
La siguiente tabla nos relaciona los valores exactos con los
aproximados.
Valor Exacto
Cambio o error en
Valor Aproximado
∆y
dy = f ' ( x ) dx
∆y
y0
dy
y0
y = f ( x)
Cambio o error
relativo
% de error
∆y
x 100%
y0
dy
x 100%
y0
Ejemplo
El radio de un disco circular esta dado por 24 cm. Con un
error máximo de 0.2cm.
a) Use diferenciales para estimar el error máximo al
calcular el área del disco.
b) ¿Cuál es el error relativo? ¿Cuál es el porcentaje de
error?