Ejercicios 08

TIPO DE ACTIVIDAD: Ejercicios
Título Actividad:
Nombre Asignatura:
Semana Nº:
Función Cuadrática
Algebra
6-7
Sigla
Actividad Nº
8
Lugar
MAT200
Sala de clases
APRENDIZAJES ESPERADOS:
Aprendizaje 1
Reconoce los coeficientes característicos de una función cuadrática.
Aprendizaje 2
Grafica de la ecuación cuadrática como herramienta de modelamiento de problemas.
Aprendizaje 3
Resuelve problemas de imágenes de la función cuadrática.
FUNCIÓN CUADRÁTICA
Función cuadrática
y  f ( x)  ax 2  bx  c
Donde

𝒂, 𝒃 𝒚 𝒄 , son coeficientes reales, 𝒂 ≠ 𝟎
Concavidad
El coeficiente a de la función es de gran importancia ya que su signo nos indicará hacia
dónde se abre la parábola. Tenemos dos casos.

Soluciones de la Función de 𝟐° Grado
Septiembre 2012 / Programa de Matemática.
1
Si
tenemos
que
la
función
Cuadrática,
de
manera
particular,
se
transforma
en
0  ax  bx  c . Este representa el cálculo de las soluciones o raíces de la ecuación de
segundo grado (o cuadrática) y se realiza utilizando la siguiente formula
2
 b  b2  4  a  c
x
2a
Donde las dos soluciones están dadas, cada una por:
𝑥1 =
−𝑏+√𝑏 2 −4∙𝑎∙𝑐
2∙𝑎
y
𝑥2 =
−𝑏−√𝑏 2 −4∙𝑎∙𝑐
2∙𝑎
Y que gráficamente, representan los puntos en donde la curva intersecta al eje x.

Naturaleza de las Soluciones de la Función de 𝟐° Grado
Podemos ver la naturaleza de las raíces de la función con el discriminante, sea
  b2  4  a  c

Si

Si

Si
I.
  0,
  0,
  0,
el discriminante.
tiene solo una raíz real, es decir 𝑥1 = 𝑥2
las raíces son reales y distintas, es decir 𝑥1 ≠ 𝑥2
no tiene solución real, es decir 𝑥1 𝑦 𝑥2 son números complejos.
Resuelva los siguientes ejercicios.
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2
1. La
propagación
f (t )  100 t
2
de
cierto
virus
 1200 t  4000 , donde
estival
se
modela
por
la
función
f (t ) indica el número de contagiados y t
pertenece a [0,12) e indica los meses del año.
a) ¿Cuántos contagiados se estima que habrá terminando marzo?
b) ¿En qué mes del segundo semestre del año se estima que habrá 800
contagiados?
2. La
propagación
f (t )   t
2
de
cierto
virus
computacional
se
modela
con
la
función
 8t , donde f (t ) indica el número de computadores infectados (en miles)
y t pertenece a (1,8) e indica el número de días desde que se propagó el virus.
a) ¿Cuántos computadores se estima que habrá contagiados al quinto día?
b) ¿Cuál es el primer día en que se tendrá 12 mil computadores infectados?
3. La productividad de una parcela que cultiva frutales está dada por la función
2
f (t )  t  800t , donde f (t ) indica el número de kilogramos producidos y t
pertenece a [0,800] e indica el número de árboles que se plantan en la parcela.
a) ¿Cuántos kilogramos se estima que habrá producidos con 100 árboles?
b) ¿Cuántos árboles como mínimo plantaría Usted si quisiera obtener 120.000
kilogramos?
4. La temperatura mínima en una zona vitivinícola se estima mediante la función
f (t )  t
2
 12t  32 , donde f (t ) indica grados Celsius, (°C) y t pertenece a [0,12) e
indica el mes del año.
a) ¿Cuántos grados se estima que habrá en marzo?
b) ¿En qué mes comenzarán las heladas (0°C)?
5. Para la construcción de cierta escultura metálica se calcula que el porcentaje de
hierro que contenga determinará su resistencia a sismos: si tiene muy poco quedará
blando y frágil y si tiene mucho quedará rígido y quebradizo. Una función que
modela esa situación es
f ( x)  
1 2 2
x  x  2 , donde f (x ) indica la intensidad
250
5
del sismo que puede soportar (medida en grados Richter) y x indica el porcentaje de
hierro.
a) ¿Qué intensidad soportará si contiene un 75% de hierro?
b) ¿Qué porcentaje mínimo de hierro debe contener para soportar un sismo de 8
grados Richter?
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3
6. El funcionamiento de cierta máquina mezcladora depende de la temperatura
ambiente, de acuerdo con la función
f ( x)  
1 2 5
375
x  x
, donde f (x ) mide el
16
4
4
porcentaje de eficiencia y x indica la temperatura, medida en grados Celsius.
a) ¿Qué eficiencia tendrá a los 20°?
b) ¿Qué temperatura máxima permite una eficiencia de 80%?
REPRESENTACIÓN GRAFICA DE LA FUNCIÓN CUADRATICA
La grafica de la función cuadrática
Si
x
1
y
x
2
f ( x)  ax  bx  c
2
está determinada por una Parábola.
son las soluciones (o raíces) de la ecuación, entonces siempre se cumplen las
siguientes identidades:
x x
1
2

b
a
x x
1
2

c
a
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4

Intersección con el eje y
Es un punto que pertenece a la curva (función) (x, y), en donde su coordenada en x es igual
a cero, es decir:
2
Se hace
x0
 f (0)  a  (0)  b  (0)  c  y
 yc
Luego finalmente el punto es (x,y)=(0,c)

Intersección con el eje x
Se hace
y0
 ax2  bx  c  f ( x)  y  0
 ax2  bx  c  0
Por lo tanto estamos hablando de las soluciones de una función de segundo Grado. Es decir:
𝑥1 =
II.
−𝑏+√𝑏 2 −4∙𝑎∙𝑐
2∙𝑎
y
𝑥2 =
A TRAVES DE LA GRAFICA
CUADRATICO Y RESPONDA.
−𝑏−√𝑏 2 −4∙𝑎∙𝑐
2∙𝑎
CONSTRUYA
EL
MODELO
7. Durante un experimento se midió la temperatura de un líquido. Al hacer el análisis
resultó que la variación de temperatura estaba dada por una función matemática,
donde la variable x representa el tiempo en minutos. Según la siguiente gráfica
determine la función cuadrática que modela dicha situación.
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8. Un cibercafé abre su local a las 12 del día y cierra a las 10 de la noche. El número de
clientes que hay en el cibercafé en función del número de horas t que lleva abierto el
local está dado por una expresión matemática. Según la siguiente gráfica determine
la función cuadrática que modela dicha situación.
b=10
9. La Velocidad (m/seg.) que posee una pelota de tenis al ser lanzada hacia el cielo esta
determinada por medio de una función de segundo grado. Según la siguiente gráfica
determine la función cuadrática que modela dicha situación.
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10. Los ingresos mensuales (en cientos de dólares) de un empresario de máquinas
electromecánicas están dados por una función donde x es la cantidad de máquinas
que se fabrican en el mes. Según la siguiente gráfica determine la función cuadrática
que modela dicha situación.
b = 100
11. Una empresa constructora arrienda una grúa para descargar material de un camión.
La altura (medida en metros) que alcanza la plataforma de la grúa que recoge la
carga depende del tiempo (medido en segundos) que demora esta. Según la
siguiente gráfica determine la función cuadrática que modela dicha situación.
a = -1
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12. En el semáforo de la esquina de DuocUC sede Puente Alto, todos los días se ubica un
malabarista. Un día lanzó una pelota hacia arriba, alcanzando una altura h medida en
metros, según un tiempo t medido en segundos. Según la siguiente gráfica determine
la función cuadrática que modela dicha situación.
a = -2
SOLUCIONES
1.
a. 1300 contagiados
b. En Agosto
a. 15.000 computadores
b. 2 días
a. 70.000 Kg
b. 200 árboles como mínimo
a. 5°C
b. En Abril
a. 9,5 grados Richter
b. 35%
a. 97,75%
b. 27,3°C
2.
3.
4.
5.
6.
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8
7.
c 8,
8.
b  10 ,
9. c  4 ,
 4 ,  f ( x)  x  6x  8
x  2, x
1
2
2
x  0, x
1
x  4, x
1
2
 10 ,  f ( x)  x  10x
2
2
1
4
 4 ,  f (t )  t 2  2t  4
10.
b  100 ,
11.
a  1 ,
x  0, x
12.
a  2 ,
x  0, x
x  0, x
1
1
1
 50 ,  f ( x)  2x  100 x
2
2
 10 ,  f ( x)  x  10 x
2
2
2
 2 ,  f ( x)  2x  4x
2
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