Enrique Cantera del Río Radiación de una carga acelerada 1

Enrique Cantera del Río
Radiación de una carga acelerada
1
RADIACIÓN DE UNA CARGA ACELERADA
Introducción.
El comportamiento de una carga eléctrica acelerada, con independencia de la fuerza
aceleradora, es un problema límite de la física clásica. La radiación de un sistema de
cargas es un hecho descrito en el teorema de Pointing; consecuencia lógica de las
ecuaciones de Maxwell. El punto clave es la interpretación del vector de Pointing
(S=ExH), que aparece en este teorema, como flujo de energía radiada en base al
principio de conservación de la energía de un sistema electromagnético. Desde esta
perspectiva se puede pensar que la radiación, como la energía potencial, es un
comportamiento asociado al sistema de cargas, no a las cargas individuales. En este
sentido se habla en los textos de radiación dipolar, cuadripolar…. Sin embargo en la
teoría clásica se ve inmediatamente que la radiación de un sistema de cargas se
puede calcular si se conoce el movimiento de dichas cargas, ya que esto es suficiente
para determinar los campos que aparecen en el vector de Pointing. Hay una relación
directa entre el movimiento del sistema de cargas y la radiación. H.A. Lorentz fue mas
allá y amplió el resultado para una carga aislada que resulte ser acelerada de
cualquier modo (campo magnético, gravedad,…), independientemente de la existencia
de una energía potencial electromagnética. Demostró que el campo en las
proximidades de una carga con simetría esférica resulta distorsionado por los efectos
conjuntos de la aceleración de dicha carga y la velocidad de propagación finita de las
alteraciones del campo. Esta distorsión genera una “auto-fuerza” neta del campo sobre
la partícula, sobre su propia fuente, tal que el desplazamiento de esta fuerza puede
representar, al menos en ciertos casos, la energía electromagnética radiada. De este
modo Lorentz no atribuye la radiación a la aceleración relativa entre las cargas del
sistema, tal como sería de esperar si hubiese relación con la energía potencial, sino a
la aceleración de una carga respecto de cualquier sistema de coordenadas inercial.
Una carga puntual acelerada emite energía e impulso en forma de radiación. La razón
de esta atribución es la existencia de energía emitida, en forma de oscilaciones del
campo electromagnético de la partícula, en zonas relativamente alejadas de la
partícula denominadas campo de radiación. El observador en el campo de radiación
puede relacionar esta energía con un suceso ocurrido en el punto que ocupaba la
carga en un tiempo anterior al actual. Este tiempo de retardo corresponde a la
velocidad de propagación de una señal electromagnética desde la partícula y el
suceso aludido es un cambio en la velocidad del punto cargado. En cuanto a la
conservación de la energía, la energía de radiación se extrae directamente de la
energía cinética mecánica de la partícula cargada, no directamente de la energía
potencial del sistema electromagnético.
La fórmula de Larmor.
Supongamos una superficie esférica en el campo de radiación cuyo centro está
ocupado por la carga acelerada. La energía que sale de esa superficie en forma de
radiación electromagnética en la unidad de tiempo está dada por la fórmula de Larmor

dW
q2

a (t   )
dt
60 c 3

2
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Radiación de una carga acelerada
2
donde q es el valor de la carga eléctrica, a es su aceleración y τ corresponde al retardo
mencionado anteriormente. La causa de la energía radiada en el instante t es la
aceleración de la carga en un el instante t- τ.
Siguiendo las ideas expuestas, podemos buscar una fuerza cuyo desplazamiento
genere esta energía radiada. Si esta fuerza existe y cumple las leyes de Newton debe
ser
F
i
 ma  F ext  F r  ma
donde el subíndice “ext” indica la resultante de fuerzas externas y el subíndice “r”
indica la “auto-fuerza” de Lorentz entre la partícula y su propio campo. Dado que el
efecto de esta fuerza es disminuir la energía cinética de la partícula y emitirla como
radiación podemos poner
F
r
 d r  
q2
60 c 3
a(t ) dt
2
Note el lector que ahora estamos prescindiendo del retardo. Las fuerzas Newtonianas
son magnitudes esencialmente locales y deberían referirse a observadores locales a la
partícula y no a observadores en el campo de radiación. En principio esto no debería
ser ningún problema, ya que hemos visto que la energía que llega al campo de
radiación procede de la aceleración de la carga y dicha energía debería estar, en el
tiempo correspondiente, tan cercana a la carga como queramos.
Fr  dr  
q2
60c
a  dv  
3
q2
60c 3
d (v  a)  v  d a   (v  d r / dt )

q2 d a 
q2
 F r 
  d r 
d (v  a )
3
60c dt 
60c 3

Resulta que la fuerza de auto-frenado derivada por Abraham-Lorentz es el segundo
término del paréntesis anterior.
q2 d a
Fr 
60 c 3 dt
Según nuestro desarrollo esta fuerza se puede sostener en los casos en que la
velocidad y la aceleración sean siempre perpendiculares o para movimientos
oscilatorios de modo que el promedio integral del segundo miembro en un periodo sea
cero
T
T

q2 d a 
q2


F

d
r

v

a
0
r 
0  60c3 dt 
60 c 3
0
Si aceptamos todo esto, la ley Newton para el caso de una carga acelerada resulta ser
F ext 
q2
da
 ma
60 c 3 dt
(1)
Para el caso en que la fuerza externa sea constante la ecuación diferencial es sencilla
60 mc3
F ext
y tiene como solución
a
 a 0 et / ; 
2
m
q
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3
que predice un aumento exponencial de la aceleración. La discrepancia con las
situaciones reales es radical. En los aceleradores de partículas cargadas, donde se
puede contrastar este resultado, no ocurre nada parecido. ¿Cómo hemos llegado a
esto? Repasemos algunos puntos.
La radiación procede de la energía cinética de la partícula.
Imaginemos un objeto en movimiento en nuestro sistema de coordenadas.
Introducimos en este objeto cierta cantidad de carga eléctrica de modo que la
modificación de masa sea despreciable; lo ponemos en un campo magnético
(exclusivamente magnético) externo. Debido a la fuerza magnética qvxB el objeto
experimentará una fuerza normal a su trayectoria y debido a la aceleración generada
la carga empezará a emitir radiación electromagnética. La emisión de radiación se
hace a costa de la energía cinética del objeto y finalizará cuando el objeto acabe en
reposo en nuestro sistema de coordenadas. Este fenómeno se constata en ciertos
aceleradores de partículas (ciclotrones) y por tanto podemos considerar que existe
soporte experimental para considerar que se puede transformar íntegramente energía
cinética en radiación.
Por otra parte la conclusión de que la radiación se extrae de la energía cinética
también presenta ciertos problemas. Para un observador no inercial que perciba la
carga en reposo permanente no habrá modificación de energía cinética y por tanto no
habrá emisión de radiación. Si las leyes físicas deben ser válidas para cualquier
observador esta situación es un problema. En el trabajo espacio, tiempo, materia y
vacío se cuestiona la posibilidad de que existan sistemas de coordenadas en los que
una carga puntual acelerada se pueda considerar en reposo.
En el apartado previo hemos utilizado la fórmula de Larmor pero tomando la
aceleración instantánea, no la retardada. Pero si la radiación procede de la energía
cinética de la carga aparece el siguiente problema. Supongamos una carga en reposo
a la que se le aplica una fuerza. De la propia definición de aceleración tenemos que el
cambio de velocidad de la partícula en un instante dt es dv=a*dt. Pero si en dicho
instante la carga, manteniendo constante su masa, ha emitido cierta cantidad de
radiación y lo ha hecho a costa de su propia energía cinética, ya no podremos
asegurar la definición de aceleración. En efecto , de la definición de aceleración se
sigue d v  a dt  mv  d v  mv  a dt  dEc  v  ma dt es decir, dado un valor instantáneo
de la aceleración, la variación instantánea de energía cinética dEc está completamente
determinada si suponemos la masa de la partícula constante; esté cargada o no dicha
partícula. Si la radiación supone extinción de energía cinética, entonces debería ser
dEc  v  ma dt ; en contra de la definición de aceleración instantánea. Evidentemente
esta situación nos coloca en un error analítico muy básico ya que no podemos
prescindir de la definición de aceleración instantánea y por tanto debemos concluir
que:
1-El análisis con la fórmula de Larmor debe incluir el efecto de la aceleración
retardada.
2-El análisis del movimiento de una carga acelerada debe considerar la posibilidad de
fluctuaciones de la masa mecánica (m).
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4
Teorema de Pointing para una carga acelerada.
Siguiendo las observaciones anteriores, consideremos una superficie esférica
centrada en la carga en el instante dt. Podemos describir fácilmente esta superficie en
geometría analítica. El radio de la esfera (cτ) será suficientemente grande para
considerar que llega al campo de radiación y suficientemente pequeño como para
utilizar una aproximación lineal de la aceleración retardada a partir de la aceleración
instantánea de la carga. El teorema de Pointing aplicado a este volumen acotado es




d 
1
  E 2 dv 
B 2 dv     v  Edv   E  H  d S

dt  2
2

Si tomamos un volumen dividido en elementos de integración dv y limitado por una
superficie dividida en elementos dS tenemos los siguientes conceptos
1-El primer término es la velocidad de cambio de la energía electromagnética
contenida en el volumen. Para el caso de una carga puntual acelerada por un campo
externo podemos descomponer el campo en suma del campo externo y el campo de la
partícula de modo que tenemos
E
2


2
Eext dv 
2

2
ext
 E par dv 


2
1
B ext  B par dv 

2
1

1
1
2
2
2
Bext dv   E par dv 
B par dv    E ext  E par dv   B ext  B par dv
2 
2
2 

Los sumandos que solo dependen de un campo corresponden a la energía propia del
campo externo y de la masa electromagnética de la carga en el volumen de
integración. Los sumandos que dependen del producto escalar de dos campos
corresponden a la energía de interacción entre la partícula y el campo externo.
2-El segundo término incluye la densidad y la velocidad de la carga, y el campo
eléctrico. Recordando la fuerza electromagnética sobre una carga puntual:
F=dp/dt=q(E+vxB), este término se puede poner como velocidad de cambio de la
energía cinética. Para el caso sencillo de una carga puntual
  v  Edv  v  q E  v  qE  v  B  v 
d p dEc

dt
dt
3-El tercer término corresponde al flujo de energía electromagnética por unidad de
tiempo que sale atravesando la superficie de integración. Suponemos que no hay
partículas que atraviesen esta frontera; lo cual supondría incluir también un término
asociado al flujo de energía mecánica que atraviesa dicha superficie. En estas
condiciones y para el caso de una carga puntual acelerada este término corresponde a
la fórmula de Larmor.
q
 E  H  d S  6 c a(t   ) ; c  radio esfera
2
2
3
0
Resumiendo lo anterior en una fórmula tenemos, suponiendo un campo exterior
constante
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
Radiación de una carga acelerada
5

 d 

d 
1
1
q2
2
2
B
dv

E

   E ext  E par dv   B ext  B par dv     E par dv 

par
c
 6 c 3 a (t   )
dt 

2 
 dt  2

0

2
En cuanto al campo de la partícula, los resultados teóricos indican la existencia de dos
campos componentes:
Eparp , Bparp :Un campo casi-estacionario, igual que el campo de una carga puntual que
se mueve a velocidad constante, pero que depende de la velocidad retardada. Las
líneas de este campo pasan por el punto cargado.
Eparr , Bparr :Un campo de radiación, independiente del anterior. Las líneas de este
campo no pasan por el punto cargado.
En consecuencia tenemos

E
2
2
par
dv 
E
2

1
1
2
B par dv 
2 
2
 B
 2  E  dv  2  E  dv    E  E dv
 dv  21  B  dv  21  B  dv  1  B  B dv
2
p
par
 E par dv 
r
p
par
 B par
r
2
p
par
2
2
r
par
2
p
par
p
par
2
r
par
r
par
p
par
r
par
En el libro de lecciones de física de Feynman el lector puede encontrar una explicación
sobre la masa electromagnética me y ver que supone considerar que las partículas son
en realidad objetos de un tamaño definido, que puede incluso ser variable. En estas
condiciones tenemos, para bajas velocidades respecto de la luz
me c 2 

2
E  dv
2
p
par
;
1
1
me v 2 
2
2
 B  dv
2
p
par
En principio los valores de masa electromagnética se definen para campos
estacionarios; pero podemos suponer una evolución relativamente lenta de los campos
en la que sea aplicable una aproximación quasi-estática de modo que podemos
expresar el teorema de Pointing así:

p
p
r
r
 d 

d 
1
1
   E ext  E par dv   B ext  B par dv      E ext  E par dv   B ext  B par dv  
dt 

dt




 
 


2
2
r
r
p
r
d 
1

1
 d 
 d 
2
2
 me c  me v  Ec     E par dv   B par dv      E par  E par dv 
dt 
2
2

 dt  2
 dt 
 B
p
par


r

q2
 B par dv  
a (t   )
3
 60 c
Como resultado tenemos en el miembro izquierdo de la ecuación una suma de
términos asociados, respectivamente, a la interacción del campo externo con el campo
propio de la partícula y a la interacción entre el campo externo y el campo de radiación
de la partícula. En el miembro derecho tenemos los términos asociados a la energía
cinética , que incluye a la masa electromagnética; y términos asociados al campo de
radiación. Entre ellos aparece un término de interacción entre el campo propio de la
carga y el campo de radiación; en principio este sería el término relacionado con la
fuerza de auto-frenado.

2
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6
Dinámica de la carga puntual acelerada.
Tras la introducción de la masa electromagnética parece necesario atribuir una
estructura interna a lo que hemos tomado por una partícula puntual. Sin embargo
hemos introducido la energía cinética suponiendo una partícula puntual y la coherencia
lógica nos dice que debería ser posible continuar el razonamiento utilizando esta
hipótesis. En esta línea introducimos las siguientes relaciones
1-Variación de energía del campo de radiación dentro de la esfera de integración :
Parece evidente que esta variación se calcula como la diferencia entre la energía
radiada en el instante dt cerca de la carga, que podemos asociar a la aceleración
instantánea, y la que se pierde al atravesar la superficie de radio cτ, asociada a la
aceleración retardada
 

2
r
2
d    r 2

q2
q2

a
(
t
)

a (t   )
   E par  dv    B par  dv  
3


dt  2 
2 
60c 3
 60c

2
2-Variación de la energía del campo propio de la partícula, relacionado con la masa
electromagnética, dentro de la esfera de integración. En el apéndice del libro de
E.M.Purcell del Berkeley Physics Course sobre Electromagnetismo el lector puede
encontrar, en el apéndice sobre radiación de una carga acelerada, un cálculo intuitivo
de la variación de energía del campo propio de una partícula. Según este resultado
podemos poner un resultado igual al anterior
 

2
d 
1
q2
q2
2
2
a
(
t
)

a (t   )
 me c  me v  
3
dt 
2
60 c 3
 60 c

2
Sustituyendo esto en la ecuación que hemos derivado del teorema de Pointing
tenemos

p
p
r
r
 d 

d 
1
1
   E ext  E par dv   B ext  B par dv      E ext  E par dv   B ext  B par dv  
dt 

dt





   
2
2
dEc
q2

a (t )  a (t )  a (t   )
3
dt 60 c

2
 dtd    E
p
par
r

 E par dv 
B

1
p
par

r

 B par dv 

en primera aproximación para los términos de aceleración tenemos
a(t )  a(t )  a(t   )
2
2
2
   a(t)  2a  ddta  
2


pero el lector debe notar que esta primera aproximación es la misma que para el
cuadrado de la aceleración no retardada, sino adelantada
a(t   )
2
 

2
da 
  a(t )  2a 

dt 

Esta situación puede afectar al principio de causalidad. Al introducir en el principio de
conservación de la energía el valor de un parámetro en un tiempo futuro es posible
que la evolución del sistema físico dependa de condiciones futuras; cuando según el
principio de causalidad suponemos que las causas siempre preceden en el tiempo a
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las consecuencias. Para evitar esta situación, la ecuación de Pointing debe darnos
alguna alternativa para eliminar el término “a-causal” en primera aproximación; y
podemos ver que la integral asociada a la interacción entre el campo de radiación y el
campo propio de la partícula puede hacerlo. Si suponemos también despreciable el
término de interacción entre el campo externo y el de radiación, o lo incluimos en el
término correspondiente (primera ecuación), tenemos que se produce un desacoplo de
la ecuación de Pointing en otras dos ecuaciones.

 
p
p
 dE
d
1
q2
a (t )
   E ext  E par dv   B ext  B par dv   c 

dt 

60c 3
 dt



2
( 2)

p
r
p
r

d
1
q2
da
a
 0
   E par  E par dv   B par  B par dv  
3
dt 

3

c
dt

0
Resulta inmediato interpretar la primera ecuación según el principio de conservación
de la energía : el primer término corresponde a la energía transferida por la fuerza
externa y el segundo es la suma de las variaciones de energía cinética y la energía
radiada; todo evaluado en el instante dt. La segunda ecuación corresponde a un
acoplo entre la carga y la radiación emitida por la misma carga. De acuerdo con
nuestro planteamiento, podemos considerar el parámetro τ aproximadamente
constante y transformar esta segunda ecuación así




 
p
r
p
r
2 
d
1
q2
   E par  E par dv   B par  B par dv 
a(t )    0 (3)
dt 

60c 3

lo que nos dice que la energía asociada a la integral de acoplo entre el campo de
radiación y el campo propio de la partícula está directamente relacionada con el
proceso de radiación de la partícula. El cálculo directo de esta integral requiere
conocer la estructura interna de la partícula, sin embargo el desarrollo que hemos
seguido plantea la necesidad de que esta integral de acoplo tenga un valor
determinado y no despreciable en primera aproximación. Formalmente el resultado
anterior corresponde a una constante del movimiento de la partícula con dimensiones
de energía o masa. En la línea de este trabajo podemos interpretar esta relación como
una forma de compensación para que la masa de la partícula se mantenga constante.
Note el lector que la ecuación anterior relaciona términos de 2º orden en la
aproximación al movimiento de la partícula; mientras que la primera ecuación
correspondiente al principio de conservación de la energía es una aproximación de 1º
orden
Si, siguiendo la mecánica clásica a partir de la segunda ecuación, introducimos para
este acoplo un fuerza f podemos poner
f v 
q2
da
 a  0
30c dt
3
para el caso de que la partícula esté en reposo en t-τ, tenemos aτ=v y podemos
estimar la fuerza de acoplo como
f 
q2
da
30c dt
3
A parte de un factor ½, esta fuerza es similar a (1). Por otra parte vemos la prevalencia
del principio de conservación de la energía y el acoplo de campos en vez de las
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fuerzas Newtonianas basadas en el principio de conservación del impulso mecánico;
ya que a partir del desplazamiento de fuerzas no podemos esperar reproducir el
teorema de Pointing.
Otra alternativa sería considerar que la integral de acoplo radiación-partícula incluye
todos los términos asociados a la radiación:

p
p
 dE
d 
1
   E ext  E par dv   B ext  B par dv   c
dt 

 dt


p
r
d 
1
   E par  E par dv 
dt 

 B
p
par

 
r
2

q2
q2
da
 B par dv  
a
(
t
)

a
 0
3
3
30 c
dt
 60 c
en este caso el acoplo radiación-partícula sería un proceso no causal en primera
aproximación. Las aproximaciones superiores deberían eliminar este problema. Sin
embargo estamos acostumbrados a pensar en aproximaciones sucesivas de modo
que las aproximaciones superiores añaden modificaciones cada vez mas pequeñas a
las aproximaciones inferiores y no las sustituyen radicalmente. Desde este punto de
vista parece lógico suponer que, aún en primera aproximación, el proceso debe
comportarse de forma causal.
Note el lector que la alternativa presentada en las dos últimas ecuaciones supone
asociar todo el proceso de emisión de radiación al acoplo entre el campo propio de la
partícula y el campo de radiación; sin participación de un campo electromagnético
externo, y cabe la posibilidad de radiación de una carga acelerada en un campo
gravitatorio. En cambio en la otra alternativa presentada la radiación siempre depende
de la existencia de un campo electromagnético externo al que se acopla el campo
propio de la partícula y actúa como mediador con el campo de radiación.
Para un observador inercial en reposo instantáneo respecto de la carga acelerada, la
radiación emitida por la carga en dicho instante se emite con tal simetría que el
impulso mecánico es nulo. Si se aplica la transformación relativista del impulso
mecánico tenemos
Pl  0 
v

c2
v2
1 2
c
p 
y por tanto para otro observador inercial se verifica ∆p=v∆ε/c2 , donde p y ε hacen
referencia al impulso mecánico y la energía de la radiación emitida; v es la velocidad
de la partícula. Si estamos suponiendo que la radiación procede de la energía cinética
de la partícula, entonces podemos tomar ∆p, ∆ε como una componente de la energíaimpulso de la partícula. Si dividimos esta relación por el tiempo correspondiente ∆t y lo
incluimos todo en la fórmula de la fuerza de radiación tenemos
f 
d a v d
q2 d a v q2
q2 d a
2



a

0
30c3 dt c 2 dt 30c3 dt c 2 60c3
30c3 dt
q2
Note el lector que, según la ecuación fundamental de la dinámica, una fuerza
proporcional a la velocidad es señal de una variación de la masa
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Radiación de una carga acelerada
F
9
dp d
dm
dv
 (mv)  v
m
dt dt
dt
dt
desde esta perspectiva vemos que el efecto de la fuerza de acoplo de radiación es
restituir la masa perdida. Abstrayendo factores numéricos, podemos llegar a la
ecuación siguiente
d 2v
a
  2 v  0;  
dt 2
c
( 4)
Multiplicando escalarmente la ecuación diferencial anterior por la aceleración dv/dt y
despreciando pequeñas variaciones de la aceleración (da/dt), lo cual está justificado
para cuerpos de masa elevada
2
t

dv d 2v
dv
d  d v 
 2 2v 
 0       2 d v 2   0
dt dt
dt
dt  dt  0


 
Note el lector la similitud de esta ecuación con (3). El resultado es una constante del
movimiento y es fácil ver que, partiendo de una situación con v=0 para t=0 tenemos
2
t
 dv 
q2
q 2  qE 



 2d v 2 

 (5)
3 
3 

60c  dt  60c 0
60c 3  m 
q2
2
 
el valor de la integral es creciente y por tanto el módulo de la aceleración debe
disminuir con el tiempo. Las unidades de la ecuación anterior son de potencia
(energía/tiempo) y por tanto el factor de v2 debe tener unidades de masa por unidad de
2
dm q 
1  q2 E 

 ;c 


dt 60c 60c  mc 
2
tiempo (dm/dt)
c2
1
0 0
 c2
dm 1

dt 6
0  q 2 E 


 0  mc 
2
Identificamos la constante Z0 denominada resistencia del vacío y podemos poner el
resultado en forma análoga a la ley de Ohm/Joule
c2
dm
1
 Z0 I 2 ; Z0 
dt
6
0
q2E
, I
0
mc
de modo que podemos interpretar el resultado análogamente a un fenómeno de
generación de calor irreversible por efecto Joule. La irreversibilidad es un rasgo
evidente de la emisión de radiación de una carga acelerada y ahora vemos que la
masa y la radiación aparecen asociadas en un proceso similar al rozamiento.
Sustituyendo la ecuación (5) en la (2) y según la estimación clásica de la interacción
con el campo externo tenemos

p
p

d
1
   E ext  E par dv   B ext  B par dv   F  v  q E ext  v 
dt 


q E ext
 qEext  2 1 t 2 2 
 v  ma  v 
adv 
 

60c 3  m  c 2 0

q2
 
Si calculamos los extremos de la aceleración (da/dt=0) derivando en el tiempo la
fórmula anterior obtenemos
Enrique Cantera del Río
Radiación de una carga acelerada
10

q 2a 2 
 q E ext  ma 
v  a  0
30c 5 

La alternativa a=0 nos dice que, si la partícula está en un campo eléctrico constante y
parte con una aceleración Newtoniana inicial a=qE/m, esta aceleración debe ir
disminuyendo progresivamente; lo cual es coherente con la ecuación (5) cuando hay
un aumento del módulo de la velocidad : d(v2) >0 . Suponiendo que no hay problema
con los factores relativistas, podemos entender este resultado como límite asintótico a
velocidades cercanas a la luz. De este modo la velocidad de la luz representa la
velocidad terminal de la carga puntual acelerada; en analogía a lo que sucede en la ley
de rozamiento de Stokes. La segunda alternativa es
q E ext  m a 
q 2a 2
v
20 c 5
y debe corresponder a un máximo de la aceleración. Si retomamos la ecuación (5)
para el caso de una carga con una velocidad inicial opuesta al campo eléctrico
externo; podemos ver que al disminuir la velocidad con el tiempo será d(v2) <0 y la
integral disminuye su valor. Por tanto el cuadrado de la aceleración debe ir en
aumento. Cuando el frenado del campo haga que la partícula llegue a v=0 volverá a
ser d(v2) >0 y la aceleración empezará a disminuir. Por tanto en v=0 tenemos un
máximo de la aceleración que según la ecuación precedente es igual a la aceleración
Newtoniana a=qE/m. Este comportamiento es coherente con la ecuación (4), en la que
da/dt=0 implica v=0.
Finalmente, hemos encontrado los siguientes resultados compatibles para el
movimiento de una carga acelerada no relativista.
q E ext  v  ma  v 
 qEext  2 1 t 2 2 
a d v  (I ) ;
 

60c 3  m  c 2 0

q2
 
2
da  a 
   v  0 ( II )
dt  c 
Movimiento de una carga puntual inicialmente en reposo en un campo eléctrico
constante.
En este caso la velocidad, la aceleración y el campo eléctrico mantienen constante la
misma dirección y sentido, por lo que se puede plantear la ecuación (II) en términos de
módulos y, puesto que la aceleración no se anula podemos dividir la expresión e
integrarla de esta forma
1 da v
1 x
m
 2 0  2 
2
a dt c
a c
qE
donde x es la posición correspondiente de la partícula en la dirección del movimiento y
en la situación inicial es x=0 y la aceleración es la Newtoniana. Despejando de la
expresión anterior llegamos a
ma 
qE
qE
v2
 qEx 
  ma dx  
dx   c 2 ln 1  2 
qEx
qEx
2
 mc 
1 2
1
mc
mc2
Enrique Cantera del Río
Radiación de una carga acelerada
11
aproximando el logaritmo para un pequeño desplazamiento respecto de x=0 podemos
llegar a la expresión
qEx 
1 2 1  q2E 2  2
 x (6)
mv  
2
2  mc2 
donde reconocemos rápidamente las energías potencial, cinética y la energía emitida
en la radiación. Este último término es similar a la energía acumulada en un oscilador
o muelle interno de la partícula pero que resulta liberada completamente en la
radiación. Por otra parte también se puede poner el resultado de esta forma

1  qEx  
1
q E   2  E  x  mv2
2
mc
2

 

que en la interpretación clásica corresponde a una fuerza de auto-frenado f de valor
1  qEx 
1 v2
f    2 qE   2 qE
2  mc 
4c
El resultado muestra también que el problema de la radiación de una carga acelerada
necesita una aproximación relativista de primer orden aún para bajas velocidades.
Fluctuaciones.
La hipótesis de que la radiación procede de la energía cinética de la partícula nos lleva
a la fluctuación de la masa de la partícula radiante. La partícula pierde masa y la
recupera. Si la masa perdida lo hace a una velocidad superior a la masa recuperada,
entonces la diferencia está relacionada con la energía cinética de la que procede la
radiación. Pero si la velocidad de pérdida de masa es distinta a la velocidad de
recuperación, entonces el proceso no puede ser continuo en el tiempo ya que estaría
comprometida la propia existencia de la partícula. En nuestro caso la radiación se
emite a la velocidad de la luz, mientras que la masa se recupera a la velocidad a la
que se mueve la propia partícula. Por tanto el proceso de emisión de radiación debe
ser fluctuante, discontinuo en el tiempo para que la partícula tenga un margen de
recuperación. De cara a la radiación, el modelo clásico de carga puntual supone una
energía propia electromagnética y una masa infinitas para la partícula. En tal modelo
una pérdida continua de masa no sería un problema, ya que la masa de la partícula
siempre sería infinita. Pero por otro lado tenemos la fuerza de Lorentz
F=ma=q(E+vxB) donde la masa mecánica de la partícula es claramente finita. Por
coherencia debemos estudiar el caso en que la radiación es también emitida por una
partícula de masa finita y esto nos lleva un proceso de radiación discontinuo si la
partícula cargada debe mantener una masa estable. En estas condiciones, la fuerza
de Lorentz y la ley clásica de la potencia de radiación solo pueden ser, en un caso
real, algún tipo de promedio estadístico.
Tanto para el caso de la energía cinética de una partícula de masa constante como
para la energía radiada existe una relación con el impulso mecánico; pero una
Enrique Cantera del Río
Radiación de una carga acelerada
12
transferencia directa de energía-impulso cinética a radiación no es posible como
puede verse fácilmente
E p  v   P p ;  P r 
v
v2
Er ; E p   Er , Pp   Pr  E p  2 E p !!!!
2
c
c
el subíndice p hace referencia a una partícula de masa constante y el subíndice r a la
radiación. Según nuestra hipótesis el problema está en que la radiación está asociada
a una fluctuación de la masa de la partícula, fluctuación que en promedio debe
mantener la masa de la partícula constante. Si introducimos una pequeña fluctuación
δm de la masa en la expresión de la energía relativista tenemos
 



U 2  p 2c 2  m  m c4  p 2c 2  mc2  2mmc4  U  mc2 U  mc2  p 2c2  2mmc4
2
2
para bajas velocidades respecto a la luz es válido U+mc2≈2mc2 y por tanto
U  mc   2pm  mc
2
2
2
si identificamos este resultado con la ecuación (6) tenemos qEx=U-mc2 y para la
fluctuación de masa
c 2m 
1  q2E 2  2
v2  1


 x  2  mv2 
2 
2  mc 
4c  2

Evidentemente esta fluctuación de masa crece con el tiempo y si no fuese emitida en
forma de radiación afectaría necesariamente la estabilidad de la partícula.