Las magnitudes que define la cinemática son principalmente tres, la

CINEMATICA
Introducción
Cinemática es la parte de la física que estudia el movimiento de los cuerpos, aunque sin
interesarse por las causas que originan dicho movimiento. Un estudio de las causas que lo
originan es lo que se conoce como dinámica.
Las magnitudes que define la cinemática son principalmente tres, la posición, la
velocidad y la aceleración.
Posición
Es el lugar en que se encuentra el móvil en un cierto instante de tiempo . Suele
representarse con el vector de posición . Dada la dependencia de este vector con
el tiempo, es decir, si nos dan
, tenemos toda la información necesaria para los
cálculos cinemáticos.
Velocidad
Es la rapidez de cambio de posición que realiza un cuerpo a través del tiempo . Nos
indica si el móvil se mueve, es decir, si varía su posición a medida que varía el
tiempo. La velocidad en física se corresponde al concepto intuitivo y cotidiano de
velocidad.
Aceleración
Es la rapidez de cambio de la velocidad a través del tiempo que realiza un cuerpo es decir
iindica cuánto varía la velocidad al ir pasando el tiempo. El concepto de aceleración no es
tan claro como el de velocidad, ya que la intervención de un criterio de signos puede hacer
que interpretemos erróneamente cuándo un cuerpo se acelera
o cuándo se
. Por ejemplo, cuando lanzamos una piedra al aire y ésta cae es fácil
``decelera''
ver que, según sube la piedra, su aceleración es negativa, pero no es tan sencillo constatar
que cuando cae su aceleración sigue siendo negativa porque realmente su velocidad está
disminuyendo, ya que hemos de considerar también el signo de esta velocidad.
Velocidad
Se define velocidad media como
tomando los incrementos entre los instantes inicial y final que se precisen.
No obstante, aunque la velocidad media es una magnitud útil, hay que destacar
que en su cálculo se deja mucha información sin precisar. Así, aunque sepamos
que la velocidad media de un móvil desde un instante 1 a otro 2 ha sido ``tantos''
metros por segundo, no sabremos si los ha hecho de forma constante, o si ha ido
muy lento al principio y rápido al final o si...por eso se define una magnitud que
Ing. Magno Cuba Atahua
exprese la velocidad instantánea, es decir, la velocidad en cierto y determinado
instante y que pueda calcularse como una velocidad media donde los intervalos
sean tan pequeños que pueda decirse exactamente a qué velocidad se
desplazaba el móvil en cada instante. Es fácil darse cuenta de que esta definición
se logra tomando como velocidad instantánea:
y por tanto, coincide con la definición de derivada respecto al tiempo. Así pues se define
finalmente
De esta definición se obtienen algunas consecuencias:
•
•
La dirección de va a ser siempre tangente a la trayectoria.
El módulo de puede calcularse, además de operando sobre el vector
que
siendo
, sabiendo
la distancia que el móvil ha recorrido sobre la trayectoria5.1.
Aceleración
Aceleración es la variación de la velocidad en la unidad de tiempo. Se puede definir una
aceleración media entre dos instantes, inicial y final, como
y, de manera análoga a la velocidad, puede definirse una aceleración instantánea llevando
estos instantes inicial y final muy cerca uno del otro, hasta tener así que la aceleración
instantánea es la derivada de la velocidad respecto al tiempo
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Clasificación de movimientos
Los movimientos se pueden clasificar de acuerdo dos conceptos:
a).- Por su naturaleza:
¾ Movimiento uniforme
¾ Movimiento uniformemente variado
¾ Movimiento variado
b).- Por su trayectoria:
¾ Movimiento rectilíneo
¾ Movimiento curvilíneo . Circular, parabólico, elíptico, helicoidal ,etc.
De los cuales se puede lograr una combinación de las mismas , obteniéndose
otros tipos de movimiento como son:
MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME.- (MRU) Si un cuerpo recorre espacios
iguales en tiempos iguales , es decir tendrá una velocidad constante; luego la
velocidad se obtiene por la siguiente expresión:
V =
MOVIMIENTO
RECTILÍNEO
∆x
∆t
UNIFORMEMENTE
VARIADO
(MRUV).-
se
caracteriza porque cuerpo varía su velocidad en forma proporcional a través del
tiempo es decir tienen la aceleración constante; luego la expresión permite
calcular son : si V = Velocidad final ; Vo = Velocidad inicial, a = aceleración
a.- La velocidad en función del tiempo:
V = Vo + at
b.- El espacio en función del tiempo :
x = Vot + 12 at 2
c.- Velocidad en función del espacio :
V 2 = Vo2 + 2ax
Movimiento Rectilíneo
1.- Dos atletas pasan por un mismo, y corren en el mismo sentido con velocidad de 4.5 y
6.2 m/s. Delante de ellos a 30 m hay un árbol, después de que tiempo los móviles
equidistaran del árbol.
X a = VAt = 30 − x → x = 30 − 4.5t
VA
X B = Vb t = 30 + x → x = 6.5t − 30
VB
X
30m
X
igualando :
30 − 4.5t = 6.5t + 30
t = 5.45seg
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2.- Dos ciclistas pasan por un punto, en el mismo sentido, sus velocidades son de 25 y 20
m/s. Después de que tiempo estarán separados 100m.
Solución:
VA
Por MRU se tiene:
B
A
X A = 25t = x + 100 ⇒ x = 25t − 10
VA
x
100
X B = 20t = x ⇒ x = 20t
Igualando :
25t − 100 = 20t
t = 20 seg.
3.- Un móvil viaja con MRU y debe llegar a su destino a las 7 p.m. si viajaran a 40 km/hr
llegarían una hora después y si viajaran a 60 km/h llegarían una hora antes. Que
velocidad debe llevar para llegar a su destino a la hora fijada.
VA
Determinando espacio recorrido:
X = VA (t − 1)
x
VB
X = VB (t + 1)
igualando :
40(t − 1) = 60(t − 1)
t = 5seg.
4.- Un tren para atravesar un túnel de 900m de longitud tarda 76 seg y en pasar delante
de un observador tarda 16 seg. ¿Cuál es la longitud del tren?
L
900+L
T=16s
T=76seg
l = Vt
900 + l = Vto
l = 16V
900 + 16V = 76V
V = 15m / seg.
⇒ l = 16(15)
l = 240m
Un móvil se mueve con MRUV y al pasar por un punto P tiene una velocidad de de 60 m/s,
si 360m mas adelante su velocidad es de 120 m/s. ¿ Cual es su velocidad 100m atrás?
Ing. Magno Cuba Atahua
P= 60m/s
120m/s
eg
VB = VP2 + 2ax
2
a=
360m
100m
120 2 − 60 2
2 ( 360 )
= 15m / s 2
VP2 = VA2 + 2(15)(100)
VA2 = 602 − 2(15)(100)
VA = 24.5m / s
5.- Un automóvil parte del reposo con aceleración constante, entre el octavo y noveno
segundo recorre 34m .¿qué distancia recorre en el doceavo seg?
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
X8
X9
Para el MRUV se tiene: x = Vot + 12 at 2 ; pero co0mo inicia del reposo Vo=0 luego:
x = 12 at 2
Para t=1seg x1 = 12 a(1) 2
Para t=2seg x2 = 12 a(2) 2
Para t=3seg x3 = 12 a(3) 2
En general : Para t= n seg
xn =
1
2
a (n )2
Para Para t=8seg x8 = 12 a (8) 2
Para t=9seg x 1 9 = 12 a (9) 2
x9 − x8 = 12 a(92 − 82 ) = 12 a(81 − 64) = 34
luego : a =
34 x 2
17
= 4m / s 2
x12 − x11 = 12 (4)(122 − 112 ) = 46m
PROBLEMAS PROPUESTOS
1.-Un auto está esperando que cambie la luz roja, cuando la luz cambia el auto acelera
uniformemente durante 6 seg a razón de 2 m/s2 , después del cual se mueve con velocidad
constante en el instante que el auto comienza a moverse, un camión que se mueve a la
misma dirección con velocidad de 10 m/s lo pasa.¿En que tiempo se encontraran
nuevamente el auto y el camión?.
Ing. Magno Cuba Atahua
2.-Un automovilista viaja a una velocidad de 108 km/h, un policía de transito que observa
la maniobra sube a su moto y en el instante que pasa frente a él parte acelerando a razón
de 4 m/s2 ¿Aqué distancia fue alcanzado el infractor?
3.-Un auto corre en una pista horizontal con una aceleración de 2 m/s2 , después de 5 seg
de pasar por el punto A posee una velocidad de 72 km/h .¿Qué velocidad tenía el auto
cuando le faltaba 9m para llegar al punto A?.
4.- Dos móviles se desplaza con MRUV y recorre en el tercer segundo 16m menos que el
recorrido en el séptimo segundo.¿Calcular la aceleración del móvil?.
5.- Dos móviles distanciados 64m parten simultáneamente al encuentro en línea recta y
sentido contrario con aceleraciones constantes de a1= 5 m/s2 y a2=3 m/s2 .¿Después de
cuantos segundos se encontraran?.
6.- Durante que seg un móvil que parte del reposo que tiene un movimiento con
aceleración constante recorrerá en triple del espacio recorrido durante 15 seg
.
7.-Un automóvil violando las reglas de tránsito se mueve a 108 km/h en una zona donde la
velocidad máxima es de 80 km/h. Un policía arranca en su persecución justo cuando el
auto pasa frente de él. La aceleración constante del policía es de 0.25 m/s2 .¿después de
cuanto tiempo alcanza al automóvil?
8.-un motorista marcha 80 km/h cuando ve que un semáforo situado a 250 m delante de él
cambia a rojo. El sabe que durante 15seg permanece rojo. ¿qué debe hacer para pasar el
semáforo a 80 km/h justamente cuando cambie al verde de nuevo?
9.-Un avión de caza, que vuela línea recta a 250 m/s, da alcance a un avión de bombardeo
que vuela , según la misma línea, a 180 m/s. Cuando el caza está 600m detrás del
bombardero su piloto dispara contra este un cohete aire-aire. El cohete se acelera a un
valor constante de 300 m/s 2 durante un seg y después vuela constante. ¿Cuántos
segundos transcurrirán desde que se dispara el cohete hasta que alcanza al bombardero?
10.-Un automóvil y un camión marcha a la velocidad constante de 120 km/h, el automóvil
va 10m detrás del camión. El conductor del camión frena de repente , sometiendo al
vehículo a una aceleración constante de 3 m/s 2 .Dos segundos después frena el conductor
del automóvil de tal manera que queda exactamente junto al camión, sin llegar a chocar
con su parte trasera. Determinar la aceleración constante que se aplica al automóvil.
11.-Debido a un obstáculo, un motociclista, en un tiempo de 0,2 seg., cambia de dirección
de su velocidad en 60°. Si su rapidez de 5m/seg permanece constante.¿Qué aceleración
media provocó el obstáculo sobre el móvil?.
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12.-Un obrero sale de casa a las 6 a.m. con dirección a la fábrica que queda a 2 km y
camina a razón de 1 m/s, 10 min mas tarde de la fábrica sale un motociclista con una
rapidez constante de 4 m/s en busca del obrero. ¿Qué hora se encuentran?
13.-Un móvil parte del reposo con aceleración constante y tarda 8 seg en recorrer una
distancia de 600m que hay entre dos puntos de su trayectoria. Hallar la velocidad en el
primer punto y la distancia que hay entre el punto de partida hasta el primer punto.
MOVIMIENTO DE CAIDA LIBRE
Es cuando un cuerpo recorre una trayectoria vertical y cumple las condiciones del
MRUV donde la aceleración es igual a la gravedad por lo que se puede analizar
dos casos:
a.- Cuando el cuerpo sube:
Y
b.- Cuando el cuerpo cae
Y
a=g
Mov.
a=g
Mov.
X
V = Vo − gt
y = Vot − 12 gt 2
V = V − 2ay
2
2
o
X
V = Vo + gt
y = Vot + 12 gt 2
V 2 = Vo2 + 2ay
Problemas
1.-Un cuerpo es disparado verticalmente hacia arriba con una velocidad de 30 m/s si la
altura es alcanzada por el cuerpo coincide con la de un edificio.¿Cuántos pisos tiene el
edifico? (Cada piso 3m)
Ing. Magno Cuba Atahua
V 2 = Vo2 − 2ay
y=
Vo2
2g
=
⇒ Nº=
Vo = 30m / s
30 2
289.8 )
45.9
3
= 45.9
= 15.31
El edificio tiene 15 pisos
2.-De la azotea de un edificio se deja caer un cuerpo, se sabe que en el último segundo de
su caída recorre la mitad de la altura del edificio.¿Qué tiempo duró su caída?.
Para el tramo final:
t
Y
2
= V ot +
Y
2
=
1
2
gt
1
2
gt
2
2
Para todo el tramo:
y = Vo (t + 1) + 12 g (t + 1) 2
y
Y
2
y = 12 g (t + 1) 2
Igualando
, t = 1seg
2t 2 = t 2 + 2t + 1
t 2 − 2t − 1 = 0
( t − 2 )( t + 1) = 0
t = 2 seg
Tiempo total : 2+1 = 3 seg.
3.-Un observador mira a través de una rendija muy angosta, ve pasar un cuerpo
verticalmente hacia arriba y 8 seg después lo ve pasar hacia abajo. Si dicho cuerpo fue
impulsado desde el piso con una velocidad de 49m/s .¿A qué altura del piso se encuentra
los ojos del observador?.
Yo
Y
El ojo del observador se encuentra a una altura Y
Cuando vuelve y pasa por los ojos pasó 4 seg y
recorrió Yo
yo = Vot + 12 gt 2
yo =
1
2
gt
2
=
1
2
( 9 . 8 )( 4 ) 2 = 78 . 4 m
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Determinando la velocidad con la que pasa en el mismo punto es igual cuando sube o baja
V 2 = 2ayo = 2(9.8)(78.4) = 39.2m / s
Cuando sube partiendo del piso y cuando pasa por el observador:
V 2 = Vo2 − 2ay
y=
V 2 −Vo2
2g
=
49 2 − 39.2 2
2 ( 9.8 )
= 44.1m
4.-Un alumno de Biofisica mira por una ventana de 4 pies de altura en un determinado
instante ve pasar un cuerpo verticalmente hacia arriba y luego de regreso hacia abajo. Si
el tiempo total que el alumno ve el cuerpo es de ¼ de seg .¿A qué altura por encima del
marco superior de la ventana ascenderá dicho cuerpo?
.
t
y = V ot +
1
2
gt
2
y + 4 = V( (t − 18 ) + 12 g (t − 18 ) 2
4 pies
1/4seg
[
4 = 12 g (t + 18 ) − t 2
t
4
=
8
9.8
2
]
− 641
t = 3.2 seg
5.-Un globo aéreo estático asciende verticalmente con una velocidad constante de 32
pies/seg, cuando dicho globo se encuentra a una altura de 768 pies se deja caer un
cuerpo.¿Qué tiempo se demora dicho cuerpo en llegar al piso?.
6.- De la base de un pozo se deja caer un cuerpo y después de un minuto con 8 seg , la
persona que dejó caer el cuerpo escucha el golpe en el fondo .¿Qué profundidad tiene el
pozo?
7.-un observador ve pasar un cuerpo hacia arriba y 6 seg. mas tarde lo ve pasar hacia
abajo.¿Calcular la velocidad inicial y la altura máxima que alcanza si los ojos de la
persona estaban a 49.9 m del piso?
7.-De la azotea de un edificio se deja caer un cuerpo el cuál para cruzar frente a una
ventana de 3 pies de altura se demora ¼ de seg.¿Cuál es la distancia que existe entre la
azotea y el marco superior de la ventana?
8.- Desde un puente que está a 144 pies sobre el agua se deja caer una piedra. Otra piedra
se arroja verticalmente hacia abajo un seg después de soltar la primera. Ambas piedras
llegan al agua al mismo instante.¿Cuál es la velocidad inicial de la segunda piedra?
9.-Desde A y B se lanza en el mismo instante 2 objetos verticalmente hacia arriba con
velocidades V y 2V , si el objeto que se lanzó de A llega solo hasta B ¿Cuál es la distancia
que separa a los objetos cuando el cuerpo que se lanzó de B comienza a descender?
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V
B
h
2V
A
13.-Por el pozo de una mina caen gotas de agua a la velocidad uniforme de una gota por
segundo. Un montacargas, que baja por el pozo a 8 m/s, es alcanzado por una gota de
agua cuando está 80m por debajo del suelo. ¿Dónde y en qué tiempo alcanzará la próxima
gota de agua al montacargas?
14.- Un muchacho lanza una pelota verticalmente hacía arriba con una velocidad inicial
de 14 m/s. dos segundos mas tarde lanza una segunda pelota con la misma velocidad
inicial de la primera. Se desea saber si estos chocan en el aire y en que tiempo después de
lanzada la pelota.
10.-Se deja caer una piedra desde un elevado edificio y 2 seg. Mas tarde es lanzada otra
piedra verticalmente hacia abajo con Vo = 45 m/seg.¿Cuál es el tiempo que tarda en
alcanzar a la primera piedra?
11.-Lanzamos un cuerpo verticalmente hacia arriba con una velocidad de 20 m/s. ¿Aque
distancia del punto de lanzamiento dicho cuerpo tendrá una velocidad de 30 m/s? (g = 10
m/s)
19.-Para determinar la profundidad de un pozo, se deja caer libremente una piedra, se
hoye el choque con el fondo al cabo de 6 seg. ¿Cuál será dicha profundidad sabiendo que
la velocidad del sonido es de 334 m/seg?
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