CENTRO DE MASA El centro de masas de un sistema discreto o continuo es el punto geométrico que dinámicamente se comporta como si en él estuviera aplicada la resultante de las fuerzas externas al sistema. De manera análoga, se puede decir que el sistema formado por toda la masa concentrada en el centro de masas es un sistema equivalente al original. En la Física, el centro geométrico, el centro de gravedad y el centro de masas pueden, bajo ciertas circunstancias, o coincidir entre sí. En estos casos se suele utilizar los términos de manera intercambiable, aunque designan conceptos diferentes. El centro geométrico un concepto puramente geométrico que depende de la forma del sistema; el centro de masas depende de la distribución de materia, mientras que el centro de gravedad depende también del campo gravitatorio. El centro de masas coincide con el centro geométrico cuando la densidad es uniforme o cuando la distribución de materia en el sistema de tiene ciertas propiedades, tales como simetría. El centro de masas coincide con el centro de gravedad, cuando el sistema se encuentra en un campo gravitatorio uniforme (el módulo y la dirección de la fuerza de gravedad son constantes). Cuando se estudio en cinemática el movimiento bidimensional se vio que todo cuerpo lanzado al aire, bajo la influencia de la gravedad, describiría una trayectoria parabólica y tomamos como ejemplo un proyectil, una pelota, etc. Pero todos ellos fueron tratados como partículas puntuales sin dimensiones, pero la realidad es que todos estos cuerpos están conformados por muchas partículas. Por ejemplo si lanzamos una mancuerna al aire. El centro de masa de la mancuerna lanzada al aire describe una trayectoria parabólica Un observador que se encuentra lejos verá que ésta efectivamente describe una trayectoria parabólica, pero qué verá el observador si se acerca más y ve detalladamente lo que sucede El observador dirá que cada masa en forma individual no describe una trayectoria parabólica, sino que están girando y moviéndose caprichosamente, pero sin embargo el punto marcado en la mancuerna si describe una parábola, este punto particular del sistema recibe el nombre de Centro de masa (CM) y se comporta como una partícula puntual de masa M + m. El centro de masa de la mancuerna se comporta como una partícula puntual de masa M+m POSICIÓN DEL CENTRO DE MASA Si se tiene un sistema de partículas la ubicación de su centro de masa esta dado por: C M Sistema de varias partículas, su centro de masa se denota por RCM R CM n ∑ mr m r + m r + ...... + m r ii 1 1 2 2 n n i = 1 = = n m + m + ........ + m 1 2 n ∑ m i i =1 n como ∑ mi es la masa total M del sistema esta ecuación se convierte: i =1 n ∑ mr ii R = i =1 CM M donde r es el vector posición de la masa mi La cantidad de movimiento del sistema de partículas es la misma de la cantidad de movimiento de su centro de masa VELOCIDAD DEL CENTRO DE MASA El movimiento de cada una de las partículas del sistema nos advierte que el centro de masa de la misma deberá estar moviéndose también, si analizamos una de ellas, digamos la j-esima partícula, en un tiempo ∆t ésta deberá haberse desplazado ∆rj, entonces el desplazamiento del CM en ese mismo intervalo de tiempo será: n ∑ mi ∆ri ∆R CM = i = 1 M si dividimos esta expresión por ∆t y hacemos que este intervalo de tiempo sea lo mas pequeño posible ( ∆t → 0 ) obtendremos: ∆R CM ∆t →0 ∆t lim n ∆ri ∑ mi lim ∆ t →0 ∆ t = i =1 M esta es justamente la velocidad instantánea, entonces la velocidad del centro de masa vCM queda determinada por: v CM n ∑ m v i i = i =1 M vi es la velocidad instantánea de la i-esima partícula. La sumatoria que aparece en esta ultima expresión, es la cantidad de movimiento p del sistema de partículas n n p = ∑ mi v i = ∑ p i i =1 i =1 por lo tanto . vCM = p M Es decir, la velocidad del centro de masa, es igual a la cantidad de movimiento del sistema de partículas entre la masa total del sistema Esto nos permite expresar la cantidad de movimiento del sistema de partículas como: p = MvCM El centro de masas de un sistema de partículas se mueve como si fuera una partícula de masa igual a la masa total del sistema bajo la acción de la fuerza externa aplicada al sistema. Por el principio de conservación de la cantidad de movimiento, si la fuerza resultante externa es cero entonces la cantidad de movimiento de sistema se mantiene constante por lo tanto vCM deberá también permanecer constante, como si se tratase de una partícula de masa M, esto confirma una vez mas que el centro de masa se comporta como una partícula puntual de masa M y velocidad vCM . Si en un sistema aislado de partículas no actúan fuerzas externas la velocidad del centro de masa es constante Si la velocidad del centro de masa es cero la posición del centro de masa es constante ACELERACIÓN DEL CENTRO DE MASA Si sobre el sistema de partículas actúan varias fuerzas externas, hemos demostrado antes que: ∆p F = Ext ∆t donde FExt = ∑ F j j es la suma de n todas las fuerzas externas al sistema y p = ∑ pi = MvCM i=1 Combinando estas ecuaciones ∆v CM ∆p ∆( M v CM ) F = = =M Ext ∆ t ∆t ∆t finalmente obtenemos: FExt. = M aCM . es decir la aceleración del centro de masa es igual a la fuerza resultante externa que actúa sobre el sistema entre la masa M del sistema de partículas a CM F = Ext M o equivalentemente: a CM = ∑m a i i M