Universidad de Chile Facultad de Ciencias Fı́sicas y Matemáticas Departamento de Ingenerı́a Matemática Padrino: Nicolás Godoy Sección 3 Auxiliar Buena Onda C1 MA1101 - Introducción al Álgebra 26 de Marzo 2013 P1. (a) Sean p, q y r proposiciones. Determine explı́citamente la proposición compuesta s (en función de p, q y r) cuya tabla de verdad es: p V V V V F F F F q V V F F V V F F r V F V F V F V F s V V F V F F F V (b) Pruebe que s ⇒ (r ⇒ p) es una tautologı́a. P2. (a) Sean z, w e y proposiciones tales que (z ∨ w) ⇒ y es falsa. Entregue el valor de verdad de las siguientes proposiciones, justificando su respuesta: (i) w ⇒ z (ii) y ⇒ (z ⇔ (w ∨ y) (b) Sean cuatro proposiciones p1 , p2 , p3 y p4 . Sabiendo que p4 es verdadera y que p4 ⇒ ((p1 ⇒ p2 ) ∧ (p1 ⇒ p3 )) es verdadera, pruebe que (p2 ∨ p3 ) es verdadera. P3. (a) Pruebe que si a, b y c son proposiciones, entonces la siguiente proposición es una tautologı́a: (a ⇒ b) ∧ (c ⇒ b) ⇒ (a ⇒ c) (b) Sean p, q y r proposiciones. Pruebe que la siguiente proposición es una tautologı́a: ((p ⇒ q) ∧ (r ⇒ s)) ⇒ ((p ∧ r) ⇒ (q ∧ s)) P4. (a) Pruebe que si (∃x)p(x) ⇒ (∀x)p(x), entonces p(x) no es una contingencia. (b) Considere la proposición p ⇔ [(∃x0 ∈ R)(∃ε > 0)(∀x ∈ (x0 − ε, x0 + ε))], f (x0 ) ≤ f (x) Para las funciones f (x) = mx + n y f (x) = ax2 con a, m > 0 decida si p es verdadera o falsa. Justifique. 1 Universidad de Chile Facultad de Ciencias Fı́sicas y Matemáticas Departamento de Ingenerı́a Matemática Padrino: Nicolás Godoy Sección 3 (c) Sean p(x) y q(x) dos funciones proposicionales. Muestre que si (∃!x)p(x) ∧ (∃!x)q(x) entonces (∃x)(p(x) ∧ q(x)) ⇒ (∃!x)(p(x) ∧ q(x)) P5. (a) Sean γ, θ, φ y ρ cuatro proposiciones. Demuestre, sin usar tablas de verdad: [(γ ⇒ θ) ∧ (ρ ⇒ φ)] ⇒ (γ ∨ φ ∨ (θ ∧ ρ)] y (γ ⇒ φ) ⇒ ((γ ∧ θ) ⇒ φ) (b) Se define el conectivo lógico pFq ⇔ (p ∨ q). Escriba, solo usando F proposiciones equivalentes a las siguientes: (i) p (ii) p ∨ q (iii) p ∧ q P6. Sea U el conjunto universo y A, B, C, D ⊆ U, con φ el conjunto vacı́o. Pruebe las siguientes propiedades: (a) (B − A) ⊆ C ⇔ C c ⊆ (B c ∪ A) (b) (B − A) ⊆ C ⇒ (D − C) ⊆ (D − B) ∪ A. Indicación: Puede usar (a). (c) A ∪ B = A ∩ C ⇔ B ⊆ A ∧ A ⊆ C (d) A = B ⇔ P(A) = P(B) (e) [(A ∩ C) ⊆ (B ∩ W ) ∧ (A ∩ C c ) ⊆ (B ∩ C c )] ⇒ (A ⊆ B) (f) [(Ac ∩ B) ∪ (A ∩ B c ) = B] ⇒ A = φ (g) (A∆B) ∪ (B∆C) = (A ∪ B ∪ C) (A ∩ B ∩ C) (h) (A∆C) ⊆ (A∆B) ∪ (B∆C) P7. Sea A, E ⊆ U tal que E 6= φ y A ⊆ E. Pruebe que si (∀X, Y ∈ P(E))(A ∪ X = A ∪ Y ⇒ X = Y ), entonces A = φ. P8. Sea } la ley de operación entre conjuntos definida por A } B = Ac ∩ B c . Considere un universo U y F ⊆ P(U) un conjunto no vacı́o tal que ∀A, B ∈ F, A } B ∈ F. Si A, B ∈ F demuestre que: (i) Ac ∈ F (ii) A ∩ B ∈ F (iii) A ∪ B ∈ F (iv) A∆B ∈ F (v) φ ∈ F (vi) U ∈ F 2