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FACULTAD DE CIENCIAS
FÍSICAS Y MATEMÁTICAS
UNIVERSIDAD DE CHILE
Introducción al Álgebra 08-1
Guı́a de Ejercicios
Departamento de Ingenierı́a Matemática - Universidad de Chile
Ingenierı́a Matemática
1. Demuestre usando tablas de verdad que las siguientes proposiciones vistas en la tutorı́a,
son tautologı́as:
(a) (p ∨ p) ⇔ V .
(b) (p ⇒ q) ⇔ (p ∨ q).
(c) (p ∨ q) ⇔ (p ∧ q).
(d) ((q ∨ r) ∧ p) ⇔ (q ∧ p) ∨ (r ∧ p).
2. Escriba las siguientes proposiciones lógicas, de manera equivalente, sólo usando los conectivos lógicos de implicancia (⇒) y negación (¯):
(a) p ∨ q
(b) p ∧ (q ∨ r)
(c) ((p ∧ q) ⇒ r) ⇔ (r ∧ q)
(d) (p ∧ q) ∧ (p ∨ r)
3. Se define el conectivo lógico p|q ⇔ p ∨ q. Escriba usando sólo el conectivo |, proposiciones
equivalentes a las siguientes:
(a) p
(b) p ∨ q
(c) p ∧ q
(d) p ⇒ q
4. Sean p, q, r proposiciones lógicas. Demostrar usando tablas de verdad que las siguientes
proposiciones son tautologı́as:
(a) p ⇒ (p ∨ q)
(b) (p ⇔ q) ⇔ (p ∧ q) ∨ (p ∧ q)
(c) [(p ⇔ q) ∧ (q ⇔ r)] ⇒ (p ⇔ r)
(d) (p ⇔ q) ⇔ (p ⇔ q)
(e) [p ∧ q ⇒ p] ⇒ (p ⇒ q)
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5. Sean p, q, r proposiciones lógicas. Demostrar sin usar tablas de verdad que las siguientes
proposiciones son tautologı́as:
(a) [(p ⇒ q) ∧ (r ∨ q) ∧ r] ⇒ p
(b) [p ∧ (p ⇒ q)] ⇒ q
(c) [(p ∧ q) ⇒ p] ⇒ (p ⇒ q)
(d) (p ∧ q ⇒ r) ⇔ (p ∧ r ⇒ q)
(e) (p ∧ q) ⇔ [(p ∨ q) ∧ (p ⇔ q)]
6. En cada caso, con la información entregada, determine el valor de verdad de la proposición
r:
(a) r ⇒ q es falsa.
(b) q ⇒ r es falsa.
(c) p ⇒ (q ∨ r) es falsa.
(d) r ⇔ q es verdadera y (p ∧ q) ⇒ s es falsa
(e) (r ⇒ p) ⇒ (p ∧ q) es verdadera y q es verdadera.
7. Sean p(x), q(x) funciones proposicionales. Determinar la negación de las siguientes proposiciones cuantificadas:
(a) (∃x)(∀y)(p(x) ∧ q(y))
(b) (∀x)(∀y)(p(x) ⇒ q(y))
(c) (∃!x)p(x)
(d) (∀x)[q(x) ⇒ (∃y)p(y)]
(e) (∃x)(∃y)(p(x) ⇔ q(y))
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