Instituto Libre de Segunda Enseñanza Guía de repaso: EVALUACIÓN INTEGRADORA 4to año 1 1. Sea f : ℝ → ℝ / f ( x ) = 3.3x − , se pide: 9 a) Redefinir f de modo tal que sea biyectiva y definir f *−1 . b) Graficar f . (Dar ecuaciones de las asíntotas e indicar intersecciones con los ejes). 19 c) Resolver la siguiente ecuación: f ( x) − 3− x = − . 9 1 d) Redefinir f, de modo tal que Im( f ) = − , 0 9 x+a 2. Sea f −1 : ( −4, +∞ ) → ℝ / f −1 ( x ) = log 1 2) un punto de f , se pide: + b biyectiva y (1;-2) 2 2 a) Determinar a y b. b) Definir f. c) Graficar ambas funciones en un mismo sistema de ejes coordenados. d) Determinar las coordenadas de los puntos de intersección de los gráficos de f −1 y t ( x ) = log 2 ( x + 4 ) , siendo f −1 la función hallada en a). 2 3. El gráfico que se muestra a continuación corresponde a la inversa de una función logarítmica de base 1/2 y se pide: −1 a) Definir f y f . b) Graficar f . c) Hallar x ∈ D f / f ( x ) ≥ 1 . f −1 d) Observando el gráfico de la función g, determinar el conjunto de negatividad de la función g f . Instituto Libre de Segunda Enseñanza 4. Sea f : ℝ → B / f ( x ) = 3x −1 + 1 , se pide: a) Hallar B, de manara que f sea biyectiva. Definir f −1 . b) Graficar f y f −1 . (Dar ecuaciones de las asíntotas e indicar intersecciones con los ejes). c) Resolver la siguiente ecuación: log 2 ( 9 x −1 + 7 ) = 2 + log 2 ( f ( x ) ) . d) Hallar x ∈ ℝ / f ( x) − 28 ≥ 0 . 5. Se muestran los gráficos de una función logarítmica de base 4, una función exponencial y sus respectivas asíntotas con línea punteada. Dar la fórmula de cada función. Instituto Libre de Segunda Enseñanza π π π 6. Dada las funciones h : − , → R / f ( x) = 2 x − 2 , se → ℝ / h( x ) = sen 4 x − y f : R 2 2 2 pide: a) Determinar las coordenadas de los máximos de h. b) Graficar h y f h . (Indicar ceros, máximos y mínimos) π 7. Dada la función h : ℝ → ℝ / h( x) = 2sen x + y se pide: 2 a) Graficar h. b) Definir una función equivalente a h(x h(x) con ángulo de desfasaje nulo. c) Dar la expresión de la función lineal T de manera tal que: Im (T h ) = [1, 7] . d) Utilizando la expresión de h(x) hallada en b), resolver las siguientes ecuaciones en los dominios indicados: 5 1 d1) − sen 2 x = h( x ) x ∈ ℝ . 4 2 d2) h ( 3x ) = 3tg ( 3x ) ; x ∈ [ 0, π ] . 2 1 d3) 3tg ( x ) = 4 + 1 ; x ∈ [0,2π ] . h( x ) 2 8. Hallar todos los valores de x ∈ [ − π ,3π ] tales que: 4 ( log 2 ( cos x ) ) + log 2 (1 + cos 2 x − sen 2 x ) = 3 2 9. Dado el siguiente gráfico, se pide: f a) Determinar las coordenadas de los puntos: A, B, C, D y E. f Instituto Libre de Segunda Enseñanza b) Dar la expresión de una función lineal T, de modo que el gráfico de f T sea simétrico respecto del eje y. c) Sobre el mismo sistema de ejes del ejercicio anterior, graficar la función: π π g : − ; → ℝ / g ( x ) = 2 sen ( 4 x ) 4 2 10. Observando los siguientes gráficos, se pide: a) Hallar las fórmulas de las funciones trigonométricas f y g (en ambos casos utilizar ángulo de fase nulo) b) Dar las coordenadas del punto A. 11. Dada la función f : D → ℝ / f ( x ) = log 2 ( x − 1) − log 4 ( x − 1) − 3 , se pide: a) Graficar f considerando D: dominio más amplio. amplio (Sugerencia: considere la expresión simplificada de f) b) Modificar el dominio considerado en a) de modo que Im f = Im g , siendo 2 −x 3 1 9 g : − ; +∞ → ℝ / g ( x ) = − + 2 2 4 Instituto Libre de Segunda Enseñanza 12. Los puntos A y B tienen ordenada 3 y 1 respectivamente y pertenecen al gráfico de la función trigonométrica que se muestra. a) Determinar una fórmula para el gráfico de la función trigonométrica dada. b)Determinar las coordenadas de los puntos A y B. RESPUESTAS 1 1 1) a) f *−1 : − , +∞ → ℝ / f *−1 = l og 3 x + − 1 9 9 b) c) S = {−1} Instituto Libre de Segunda Enseñanza d) f : ( −∞, −3] → ℝ / f ( x ) = 3.3x − 2) a) a =4, b =1 1 9 15 → ( −4, +∞ ) / f ( x) = 22− x − 4 d) ( −2,1) y − , 4 b) f : ℝ 4 c) y=x f −1 f 3) a) f : ( 1,+∞ ) → ℝ / f ( x ) = log 1 ( x − 1) + 3 f 2 −1 : ℝ → (1, +∞ ) / f −1 1 ( x ) = 2 x −3 b) f c) (1,5] d) Cg− f = ( 3;9 ) → ℝ / f −1 ( x) = log 3 ( x − 1) + 1 c) S = {1; 2} d) x ∈ [ 4; +∞ ) 4) a) B = (1, +∞ ) f −1 : (1, +∞ ) x 5) 1 y = 6 − 2 9 1 5 y = l og 4 x − − 2 6 +1 Instituto Libre de Segunda Enseñanza 6) π π π f h : − , → ℝ / ( f h ) ( x) = 2.sen 4 x − − 2 2 2 2 π π π 3π π 3π Máximos de h: − ;1 ;1 ceros de h.: − ;0 − ;0 ;0 ;0 4 4 8 8 8 8 7) a) Instituto Libre de Segunda Enseñanza b) 3 x+4 2 π 5π 13π 17π π 3π 5π 7π m,k ∈ ℤ d2) S = ; ; ; d3 ) S = ; ; ; 18 18 18 18 4 4 4 4 h : ℝ → ℝ / h( x) = 2 cos ( x ) 5π π d) d1) S = + 2k π; + 2mπ 3 3 c) T( x ) = π π 5π 7π 8) S = − ; ; ; 3 3 3 3 π π π f : − , π → ℝ / f (x ) = 2sen(3 2 sen(3x − π ) + 1 2 9) a) Algunas posibles definiciones de f : f : − , π → ℝ / f (x ) = −2sen (3x ) + 1 2 3 f : − , π → ℝ / f (x ) = 2cos(3x − π ) + 1 2 2 1 5 π 7 11 π ;2 B = − π ;2 C = π ;2 D = π ;2 E = ; −1 6 18 18 18 18 A = − b) Existen infinitas posibilidades, tres posibles: T( x ) = x + π 6 T( x ) = x − π 6 c) 10) a) 11) a) f (x ) = 4 sen(5x ) g (x ) = −4 cos(5x ) 31 π ; −2 2 20 b) A = T( x ) = x − π 2 Instituto Libre de Segunda Enseñanza b) D = [5;9 ) 3 12) f : ℝ → ℝ / f ( x ) = 4 sen 3 x − π − 1 2 10 37 π ;3 B = π ;1 3 9 A= f : ℝ → ℝ / f ( x) = 4 cos ( 3x ) − 1