1 - Ipen.br

Sp ISSN 0081-3397
ao
u ir
por
R. Luqui Jiménez
Toda correspondencia en relación con este trabajo
debe dirigirse al Servicio de Documentación Biblioteca y
Publicaciones, Junta de Energía Nuclear, Ciudad Universitaria, Madrid-3, ESPAÑA.
Las solicitudes de ejemplares deben dirigirse a
este mismo Servicio.
Los descriptores se han seleccionado del Thesauro
del INIS para describir las materias que contiene este info£
me con vistas a su recuperación. Para mas detalles cónsul
tese el informe IAEA-INIS-12 (INIS: Manual de Indización)
y IAEA-INIS-13 (INIS: Thesauro) publicado por el Organismo
Internacional de Energía Atómica.
Se autoriza la reproducción de los resúmenes ana
liticos que aparecen en esta publicación.
Este trabajo se ha recibido para su impresión en
Junio de 1975.
Depósito legal n2 M-35428-1975
I.S.B.N.
84-500-7180-1
-
1
-
Í N D I C E
Página
INTRODUCCIÓN
3
PRIMERA PARTE - DESCRIPCIÓN DEL MODELO UTILIZADO
PARA DETERMINAR EL HINCHAMIEKTO.
1.1.
1.2.
1.3.
1.4.
Hipótesis empleadas
Determinación del número de burbujas ......
Volumen ocupado por el gas de las burbujas.
Presión del gas en el interior de las bur-
5
5
6
b u j as
6
•.
1.5. Modelo de Greenwood-Speight ...............
1.6. Hinchamiento producido por los productos
solidos de fisión
...»
7
13
1.7. Liberación de gases de fisión ........ ..o..
1.8. Hinchamiento real
14
15
SEGUNDA PARTE - PROCEDIMIENTO DE CALCULO.
2.1. Valores del hinchamiento gaseoso
2.2. Estudio de la ecuación (14)
17
17
2.3. Selección del proceso iterativo
2.4-. Formula de iteración
2.5. Derivada de (Y)
20
21
22
2.6. Cálculo del hinchamiento real
23
2.7. Hinchamiento medio gaseoso de la pastilla .
2.8. Distribución del hinchamiento en nuestro
caso
>
2.9. Ejemplo de aplicación
25
APÉNDICE 1 - VALORES UTILIZADOS EN LOS CÁLCULOS.
33
APÉNDICE 2 - REPRESENTACIONES GRÁFICAS
35
APÉNDICE 3 - ÍNDICE DE SÍMBOLOS
..
28
31
33
- 3 —
INTRODUCCIÓN.
El presente trabajo tiene como finalidad estudiar el fe
norneno del hinchamiento en los combustibles nucleares debido
a que su presencia es la causa de alteraciones en el mecanismo de transmisión del calor desde la barra combustible al refrigerante ya que afecta al cambio de dimensiones de la pasti
lia combustible y como consecuencia modifica la separación en
tre ella y la vaina.
Además de esto se ha creado un programa de FORTRAN IV
que en forma de subrutina (HINCHA) se insertará en el programa TEMP-1 similar al FIGRO y ambos elaborados con el proposito de determinar las temperaturas en la barra combustible.
El objetivo fundamental que perseguimos, es el de conocer en todo momento de la vida del reactor las variaciones de
dimensión que experimentan las barras combustibles por efecto
del hinchamiento.
PRIMERA PARTE
DESCRIPCIÓN DEL MODELO UTILIZADO PARA DETERMINAR EL HINCHAMIENTO.
1.1.
Hipótesis empleadas.
En el desarrollo de este modelo se admiten las si-
guientes hipótesis:
I o ) . Los átomos de gas producidos en la fisión se agrupan
en el interior de burbujas esféricas de igual volumen
2 o ) . Las burbujas esféricas se agrupan según una malla
cúbica en el seno del UO .
3 o ) . Se calcula una temperatura por encima de la cual se
admite q_ue todo el gas producido es liberado y por
debajo de ella no hay liberación alguna de gases.
4 o ) . Los cálculos se realizan para un combustible de
densidad 100 por ciento de la teórica.
1.2.
Determinación del número de burbujas.
Si tenemos en cuenta la segunda hipótesis, la distancia entre centro y centro de burbujas será constante y a cada una de ellas podremos asignar la porción de combustible
limitada por un cubo cuya arista sea el paso de la malla,
por lo que este número quedará determinado con la siguiente
expresión:
V
N * —
(1)
- 6 -
siendo:
N = el numero de burbujas.
V = el volumen inicial del combustible para pequeños
hinchamientos. (Realmente debe ser el volumen final)
L = la distancia entre centro y centro de burbujas o
paso de la malla.
1.3.
Volumen ocupado por el gas de las burbujas.
Si consideramos la primera hipótesis, por la que se
supone que todas las burbujas son esféricas e iguales, podemos plantear la siguiente ecuación:
3
g
3
N
(2)
siendo r el radio de las burbujas y V
por el gas.
el volumen ocupado
Como N la conocemos por la fórmula (1), podemos escribir que :
4
V
•8
1.4.
=
V
irr (
3
-)
(3)
L3
Presión del gas en el interior de las burbujas.
Debido a que el combustible impide la difusión de
los gases producidos en su interior, estos, al recogerse
en las burbujas mencionadas ejercen una presión que cuando
es elevada y el material que la soporta se encuentra en
unas condiciones de presión exterior y temperatura determinadas puede llegar a producir surcos y grietas en él por
_ 7 -
los que sale al exterior. Como es lógico, la deformación
que experimenta el combustible está motivada por estas pre
siones internas y por haber supuesto que el gas forma burbujas esféricas utilizaremos para su determinación la ley
de Laplace, es decir:
donde:
a, es la tensión superficial del combustible.
P , es la presión del gas en el interior de las burbujas.
O
P, , es la presión existente en la superficie del material,
Si tenemos en cuenta la ecuación (3) podemos despejar
en ella el valor de (r) y sustituyendo este valor en la (U)
se obtiene la siguiente ecuación:
V
.g
L
4
g_ }
-1/3
+
h
(5)
_
V
Conocida la presión del gas,, su volumen puede determinarse con cualquiera de las ecuaciones conocidas.
Aplicando la ecuación de los gases perfectos, damos
origen a una teoria sobre hinchamiento que tiene en la actualidad poca acotación y si aplicamos la ecuación de Van
der Waal se llega al modelo de hinchamiento desarrollado
por Greenwood-gp¿¿gfti;, siendo éste el modelo empleado en el
FIGRO y CIGRO-1 programa este último que también realiza
cálculos de hinchamiento.
1.5.
Modelo de Greenwood-Speight.
La diferencia de este modelo con el que se obtiene al
aplicar la ley general de los gases perfectos es solamente
- 8 -
la de efectuar el desarrollo basándose en la ecuación de
Van der Waal.
La aplicación de esta ecuación está justificada, debido
a que el gas se encuentra encerrado en un pequeño volumen y
a gran presión.
Esta situación hace que las moléculas estén muy próximas y como consecuencia haya interacciones entre ellas.
Además, por ser el volumen de la burbuja muy pequeño el
tamaño de la molécula tiene más importancia ya que el volumen de que dispone para moverse es el total menos su propio volumen, en estas condiciones la ecuación en cuestión
es la más adecuada y ello explica que con este modelo se
obtengan resultados más precisos.
La ecuación de Van der Waal puede escribirse como
sigue:
(P
.s
2
V
+ HLJ. )(_§__ _ b ) =
m
v
R T
(6)
g
donde:
m,
es el número de moles de gas.
o
R , constante universal de los gases (ergios/mol- K ) .
a y b, constantes características del gas.
Se ha comprobado experimentalmente que por cada fisión
se producen 0.3 átomos de gas, por lo que el número de moles
20
obtenido con un grado de quemado de F x 10
fis/cc. será:
m
=
0.3 F. V.
,
Na x 1Q20
(7)
- 12 -
luego el número N de moléculas que hay en 1 ce será:
6.023 x 10 2 3 x 10.96
270.07
N =
20
1Q
valor semejante al que aparece en (12).
Si en la ecuación (9) sustituimos t por el tiempo de
equilibrio y el valor resultante del paso de la malla cúbica
lo sustituimos en la ecuación (8) resulta la ecuación siguiente :
i/9
0,3
•T-)
(•
exp(
18R T
fZ
9 a
0.9,8
16 TT
0. 3 F
a(Na x 10
2
V
-2
Na x 10 ~ 2 C \
b_
R.
V
0.3 R.
y
= T
(13)
Si los términos de la ecuación (13) encerrados en el segundo corchete los multiplicamos por 10
y los d el primero los
1/9
dividimos por la misma cantidad y si además T
lo multipli-
camos y dividimos por la raiz cúbica de 10, al sustituir las
partes literales por los valores numéricos que figuran en el
APÉNDICE 1, se obtiene la siguiente fórmula:
V
-2
1/9
-
¡
10
io
2.41596
V
6.173 x 10
-3
=
T
+ 1.0360 F'
( _ÍL)
V
- 11 -
0
( 6.6 . 10~ 5 cm2/seg
T > 1,135 °K
( 1 0 ~ 1 9 cm2/seg
T <, 1,135 °K
( 71,700 cal/mol g
T>
1,135 °K
Q =1
(0.0
T < 1 ,135 °K
El parámetro B se obtiene mediante la ecuación,
0.3 F
(12)
24-4 x 1 0 2 0
donde
F , es la velocidad de fisión por ce (fis/cc - sg)
20
x 10 3 son las moléculas de combustible por ce
Este valor lo podemos encontrar mediante el siguiente razonamiento:
I o ) . Se supone que la densidad del combustible es 10.96
gr/cc. (Densidad teórica).
2 o ) . Se admite que el uranio del combustible es natural,
hipótesis bastante aceptable dado el bajo enriquecimiento que tiene este tipo de combustible.
3 o ) . Tomamos como combustible el U0 .
De acuerdo con estas consideraciones podemos poner
que :
1 mol de U0 2 = 270.07 gr.
1 mol de UO
tiene 6.023 x 10
3
moléculas,
- 10 -
y el tiempo en el que se alcanza el equilibrio del número de burbujas por:
5/6
t/3
a'fZ
-) exp(-
9
1 6 ir
1/3
1/2
R1T1
(10)
en las que:
^
, volumen atómico.
&
, número de átomos de gases de fisión producidos
por átomo y por segundo.
K
constante de Bolzman.
v
frecuencia de Debye.
d
f
factor de entropia.
número de centros de nucleación con los que entra
en contacto una burbuja al difundirse una distancia igual a la de su diámetro.
energía de activación para la difusión superficial.
"s
, t
separación entre átomos.
tiempo.
constante de los gases perfectos (cal/mol-°K)
tiempo transcurrido hasta alcanzar el equilibrio.
D
• **
, coeficiente de difusión de los átomos del gas de
fisión.
El valor del coeficiente D
se obtiene con la siguien-
te expresión:
D
donde:
g
= D
o
exp
di)
- 9 -
donde:
F,
es el grado de quemado expresado en unidades de ÍO 20
fis/cc.
Na, es el número de Avogrado.
Si.en la ecuación (6) sustituimos V
por el valor
g
encontrado en la (5) y m por la ecuación (G) llegamos a
obtener la siguiente expresión:
2O
__
. l+TT
(__
Na.10
-20
Na . 10 " 2 0
0.3 F
(8)
La fracción de hinchamiento gaseoso (V /V) podría ser
determinada con la ecuación (8) s pero presenta la dificultad
de que L no se conoce con facilidad debido a que el paso de
la malla varía con el tiempo.
Esta magnitud alcanza un valor constante cuando los
átomos de gas producidos se recogen en las burbujas existentes en lugar de formar otras nuevas.
Greenwood-Speight por cálculos de azar (aplicación
de un modelo de Montecarlo a la generación de burbujas)
llegaron a la conclusión de que esta magnitud podría determinarse utilizando la siguiente expresión:
L =
ati
2/15
9 a!
-1/15
-) exp (1 6 TT
R1J
(9)
- 13 -
La ecuación anterior coincide con la dada en la
(Ref. 1) y los valores de las constantes C
y C
que apa-
recen en ella son los que se exponen a continuación:
C
= 20.7M-38
C
= 5 ,091.19
C
= 3.54108
C
= 7,096.9
T - 1,135 °K
T > 1,135 °K
La ecuación (14-) mediante un proceso iterativo nos
permite conocer el hinchamiento producido por los gases
de fisión para una temperatura dada. El proceso de obtención de las ecuaciones (13) y (14) puede verse en la
(Ref. 4 ) .
1.6.
Hinchamiento producido por los productos sólidos
de fisión.
Los núcleos iniciales al fisionarse originan átomos
gaseosos y sólidos, estos últimos dan lugar también a un
hinchamiento cuya suma con el gaseoso proporciona el hinchamiento total.
Este hinchamiento resulta ser proporcional al grado
20
de quemado y expresándolo en unidades de 10
fis/cc se
obtiene la siguiente ecuación:
V
— . = K.F
(15)
Si no hay recombinación de los núcleos sólidos obtenidos en la reacción la constante K toma el siguiente valor;
K = 0.0035
y si los núcleos se recombinan:
K = 0.0025
El valor que nosotros hemos tomado en nuestros cálculos
es el primero, por ser el que aparece en la (Ref. 1 ) .
1.7.
Liberación de gases de fisión.
El hinchamiento total se ve disminuido debido a que
parte de los gases de fisión escapan de la matriz combustible
Se ha observado que este fenómeno tiene lugar a altas temperaturas y que además depende del grado de quemado. Aunque
realmente no ocurre así, cometiendo un pequeño error, ver
(Ref, 3 ) , suponemos que el 100 por ciento de los gases son
liberados cuando la temperatura es superior a la que se obtiene con la ecuación (16):
T
= B + B F + B F2
Ig
1
2
3
(16)
y que por el contrario, los gases son retenidos totalmente
por la matriz en caso de que la temperatura sea inferior a
la mencionada.
La temperatura de liberación de gases alcanza un valor constante y mínimo (Ref. 1) cuando:
F
SW = 3 °
por lo que la ecuación (16) es válida en el intervalo:
0 < F < F
SW
Las constantes que aparecen en (.16) toman los siguien
tes valores (Ref. 1 ) :
- 15 -
B
= 2,930.00
B
= -22.6670
B
= 0.32667
y con ellas se. obtiene la temperatura en °F
1.8.
Hinchamiento real.
El modelo expuesto se desarrolla para el material de
densidad 100 % y en nuestro caso el combustible siempre tendrá una porosidad, por lo que según la (Ref. 1) el hinchamiento obtenido mediante el modelo expuesto deberemos multiplicarlo por la fracción de densidad teórica que corresponda al combustible con el fin de obtener el hinchamiento real,
es decir:
V
= K
(17)
donde:
K
es la fracción de densidad teórica correspondiente
a nuetro combustible.
SEGUNDA PARTE
PROCEDIMIENTO DE CALCULO.
2.1.
Valores del hinchamiento gaseoso.
Estos valores ha de proporcionarlos la ecuación (14)
que por ser implícita y estar afectadas sus variables de. exponentes fraccionarios, no puede resolverse mediante los modelos matemáticos generales, sino que hemos de recurrir a un
proceso iterativo.
2.2.
Estudio de la ecuación (1M-).
Esta ecuación presenta la forma
V
f(-£ , T) = T
V
(18)
donde la temperatura por ser dato de entrada es conocida.
Dicha ecuación podremos escribirla como sigue:
V
Y = f (g
— , T) - T
V
(19)
para una T dada esta formula proporcionará uno o más valores
de (V /V) para los cuales Y sea igual a cero, que serán soluciones de la ecuación. Por lo que uno de estos valores será
el del hinchamiento correspondiente a la temperatura considerada.
Con el fin de elegir el método iterativo y saber si existe, más de. un. valor qué satisfaga la condición anterior, es necesario conocer la forma de la curva. Para esto tomamos un va-
- 1!
lor de la temperatura a la que ya conocemos el hinchamien
to (Ref. 2 ) .
Las distintas variables en este caso tomarán los si
guientes valores:
T = 3000 °F = 1922 °K
—
g
= 14.6 %
F y = 1.8 x 1 0 1 3
F
= 10
C
= 3.54108
C
= 7 ,096 . 9
que sustituidos en la ecuación (19) al resolverla para
distintos valores de (V /V) se encuentran los correspondientes a Y expuestos en la Tabla núm. 1.
Estos resultados nos permiten averiguar que en este
caso el hinchamiento está comprendido antre el 12.5 y el 15.0
por ciento. Si representamos gráficamente la Tabla núm. 1
encontramos la curva de la Lámina núm. 1 que puede verse en
el Apéndice 2.
En ella observamos que Y se anula cuando V /V vale aproximadamente 0.146, valor que coincide con el encontrado en la
referencia indicada anteriormente.
Si damos valores de V /V siguiendo un criterio lógico
g
se encuentra que para:
V
& = 0 .1465214
-
19
-
TABLA NUM. 1
Y
V
0,050
-1197,775
0,075
-833,716
0,100
-524,950
0,125
-237,247
0,150
+37,6226
0,175
+302,9537
0,200
+ 560 ,559
0,225
+811,638
0,250
+1057,067
0,275
+1297,523
0,300
+1533,551
0,325
+1765,597
0,350
+1994,034
0 ,375
+ 2219 ,179
0 ,400
+2441,305
0,425
+2660,6468
0,450
+2877,409
0,475
+3091,77
- 20 -
el valor de Y es:
Y = 0.000224
En nuestro caso es suficiente con cuatro cifras decimales para V /V, es decir:
-2- = O .1465
y de acuerdo con ésto, el límite que puede fijarse para Y
puede ser:
|Y| = 0.2
ya que poner un límite inferior supondría una pérdida de
tiempo en la COMPUTADORA por hacerse el proceso iterativo mucho más largo. Además, por nuestro propio criterio
aceptamos como buena una solución con cuatro cifras decimales .
2.3.
Selección del proceso iterativo.
Dada la forma de la curva, vamos a emplear por creerlo el más &d.eeuád§ e l de Newton o de la derivada. Se ha
elegido este procedimiento por no presentar la curva ninguna anormalidad ya que se aproxima a una recta en el primer
cuadrante y .pasa al cuarto permaneciendo asintótica al eje
de ordenadas. Que es asintótica puede comprobarse dando
valores de V /V cada vez más próximos a cero con los que
O
se obtienen los correspondientes de Y, observándose que estos son siempre negativos y aumentan en valor absoluto, es
decir tienden a (-00).
- 21 -
2.4. -Formula de iteración.
La curva de la siguiente figura es del mismo estilo
que la encontrada, por lo que las deducciones matemáticas
que hagamos, así como las conclusiones que se obtengan serán generales para las curvas de esta forma.
Y
Y,
Podemos escribir
a la vista
de la f i g u r a
que:
( 20)
X
l
"
X
2
- 22 -
y como:
dY.
(21)
= DY
se llega a la conclusión de que
x
i
(22)
DY'
y en general:
X
= X
n+1
n
DY
n
(23)
Con este valor de X que equivale a V /V volvemos
a entrar en la ecuación de la curva con el que encontraremos otro de Y, y en caso de que éste no cumpla la condición de ser en valor absoluto menor o igual que 0.2 seguiremos buscando valores de X hasta dar con el que satisfaga
la condición.
2.5.
Derivada de (Y).
Para aplicar el proceso iterativo expuesto anterior-
mente, se ha de conocer la derivada de la función, y en este caso resulta ser:
DY -
1/6
V
1
g " 4 / 3 V T ,1/9
exp
V -3
1.0360(-2)F (-^-)
^i) -6.1730X10 " 3
2
1/6
V
g
2
+ JL.036Q F
•
V
g-"2"
(— )
2 .41596
x
(24)
- 23 -
Si resolvemos la ecuación (24) para el valor del hinchamiento :
—
= 0.1465
y la temperatura con la que se obtuvo,resulta que:
DY = 10 ,8142 .579
Si para la misma temperatura damos distintos valores
de V /V se obtienen los resultados de la Tabla núm. 2.
g
Estos valores son del mismo orden que los que se obtienen por el procedimiento de derivación gráfica. Esta
coincidencia nos confirma que la ecuación (24) es correcta,
2.6.
Cálculo del hinchamiento real.
En este caso el problema se resuelve para pastillas
cilindricas macizas. Con el fin de encontrar la solución
seguiremos los pasos que a constinuacion se exponen:
I o ) . Dividir la pastilla en un número de anillos del mismo espesor N que satisfaga la condición siguiente:
1 - N - 100
2 o ) . Determinar la temperatura de liberación de gases
para el grado de quemado que hayamos supuesto.
3°). Calcular la temperatura media de cada anillo.
4 o ) . Comparar la temperatura media de cada anillo con la
de liberación de gases.
-
24 -
TABLA NUM. 2
V
g
DY
—
0 ,050
17185,28
0,075
13024,94
0 ,100
11841,93
0,125
11221,04
0 ,150
10788,81
0 ,175
10449,24
0 ,200
10166 ,98
0 ,225
9925 ,07
0,250
9713 ,68
0,275
9526,40
0 ,300
9358 ,75
0,325
9207,36
0 ,350
9069 ,70
0,375
8943,74
0 ,400
8827,87
0,425
8720 ,78
0,450
8621,39
0 ,475
8528,79
- 25 -
5 o ) . Calcular V /V para aquellos anillos cuya temperatuo
ra sea menor que la de liberación.
6 o ) . Sumar los hinchamientos parciales anteriores con el
fin de calcular el total (debido a los gases).
7 o ) . Calcular el hinchamiento debido a los productos solidos para todo el volumen inicial de combustible.
8 o ) . Sumar los dos tipos de hinchamiento.
9 o ) . Multiplicarlos por la fracción de densidad teórica
correspondiente.
La figura 1 del APÉNDICE 2 muestra un esquema de la
pastilla con su perfil de temperaturas y el número de anillos en que se divide.
2.7.
Hinchamiento medio gaseoso de la pastilla.
El valor medio del hinchamiento total gaseoso de la
pastilla puede determinarse empleando la siguiente ecuación
(Ref. 1 ) :
1
!
A
" Vi
*
V "i
=
N
£
donde:
V2
(r:—).
V.
i
1
(
2
5
)
V.
es el hinchamiento medio gaseoso del anillo (i).
es el volumen inicial del anillo (i).
- 26 -
Conocido este valor se calculará el debido a los
productos sólidos; se sumarán los dos y este resultado se
multiplicará por el factor de densidad real del combustible, con lo que se obtendrá el hinchamiento total real.
2*8*
Distribución del hinchamiento en nuestro caso.
En general, el hinchamiento calculado se acomoda de
la siguiente forma (Ref. 1 ) ,
I o ) . En la porosidad disponible.
2 o ) . En cambios de dimensión axial.
3 o ) . En cambios de dimensión radial.
4 o ) . En hinchamiento sobrante.
El cálculo matemático puede realizarse como sigue:
I o ) . Si AV/V es el hinchamiento medio total real, la cantidad acomodada en la porosidad inicial de fabricación (AV/V)
viene dada por
<26>
donde A es una constante que se determina experimentalmente resultando ser menor que la unidad.
a) Que (££} 5 P. - P
V
donde:
p
P.
i
m
es la porosidad inicial.
P
es la fracción de porosidad mínima permisible
en el combustible.
Según esto, la porosidad residual P
del combustible
sera:
P
= P. - (—•)
r
i
V p
(27)
- 27 -
b)
Que (~)
> P. - P
V p
i
m
En este caso la porosidad residual será P y como
m
consecuencia la fracción de hinchamiento determinada no podrá acomodarse en la fracción de porosidad
disponible para este fin por lo que quedará una cantidad sobrante, siendo su valor:
r>P " (pi - V
Esta sobra (AV/V)
•
&
se cargará al hinchamiento que
quedo sin acomodar y con la suma de las dos cantidades se pasa a la determinación del absorbido por cambios de dimensión axial.
2 o ) . La cantidad de hinchamiento asignada al cambio de dimensión axial viene dada por:
(29)
donde (AV/V)
solo se añade cuando es positivo.
La constante B se determina experimentalmente y es menor que la unidad.
Pueden presentarse dos casos:
_
/AVN < ^ ,AV.max
N Que
a)
(—)
(T-)a
a
donde:
.AV.max
\rr~)
>. .
_
, ,. ,
es la máxima fracción de hinchamiento
que puede atribuirse a cambios de dimensión axial. En el ejemplo de la (Ref. 1)
n
- 28 -
aparece:
= 2
Si esto se cumple, entonces la longitud final de la barra combustible L
con la siguiente expresión:
es calculada
(30)
L f = L.
Siendo L. la longitud inicial de la barra.
b)
Que
a
En este caso, la longitud final se determina con la
ecuación:
max
a
L f = L.
(31)
y como consecuencia habrá una fracción de hinchamiento que no ha podido ser acomodada por este concepto, siendo su valor:
,AV>
,AV.max
V~ } a " ^V~}a
AV
(
(32)
que como en el caso anterior se cargará al siguiente paso .
3°j, La fracción de hinchamiento asignada a los cambios
de radio viene dada por:
AI
A
AV
Ay
en la que («""")'.•: y (y~) o
s
(33)
° l ° se añaden si son positivos
- 29 -
La cantidad de hinchamiento acomodada en cambio de
radio exterior de la barra combustible está dada
por:
donde C es una constante experimental.
La fracción máxima permisible que puede ser acomodada en cambios de dimensión del radio exterior de la
pastilla viene dada por:
p
AV_ max
~}RE
._V 2
C
~)
, .
1
(35)
donde:
R
es el radio inicial de la pastilla.
R
es el radio exterior máximo permisible.
En nuestro caso, este último lo hemos hecho coincidir con el radio interior de la vaina al principio
de la vida del reactor. Aunque en la realidad esto
no es cierto, ya que la vaina aumenta su radio por
efecto de la dilatación térmica y por efecto de la
presión de contacto, motivada esta última precisamente por el fenómeno de hinchamiento.
Asimismo' hemos asignado a los cambios de dimensión
radial todo el hinchamiento que sobraba de los pasos
anteriores, ya que nuestra pastilla es maciza. Esto
significa que hemos supuesto C=l.
.
,AV.
< ,AV.max
a) Que ( — ) R E - ( ~ ) R E
Entonces el radio exterior de la barra combustible viene dado por:
e— )RE
- 30 -
,
,AV
b). Que (,AV,
~ ) R E >^ (
— )Nmax
RE
y el radio exterior final se calculará con la ecuación
Rf = R ]¡ (^-)j£ + 1
(37)
En este caso habrá una fracción de hinchamiento sin
acomodar igual a:
W
J
RE
W
}
RE
W
J
3
^38J
£sta fracción (AV/V) se considera como hinchamiento
sobrante, si la pastilla es maciza. En caso de que la
pastilla' sea perforada se carga al paso siguiente,
aumento de radio interior.
Como nuestra pretensión es la de crear un programa,
a modo de ejemplo hemos tomado (AV/V)
igual al volumen del huelgo entre pastilla y vaina en condiciones
ambiente, 1 atm. de presión y 20 °C de temperatura.
En realidad esta cantidad deberíamos determinarla
considerando dilataciones térmicas y deformación máxima que puede tener la vaina por efecto de la presión de contacto, calculada de acuerdo con algún criterio de seguridad establecido por medio de la Resistencia de Materiales.
Como ejemplo, en la (Ref. 1) se ven los siguientes
valores de A, B y C:
A = 0.5
B = 0.5
C = 0.5
aunque como ya hemos dicho hay que determinarlos experimentalmente.
- 31 -
2.9.
Ejemplo de aplicación.
Con el fin de aclarar la anterior secuencia de cálculos
damos el siguiente ejemplo (Ref. 1 ) :
Hinchamiento total .
30 %
Porosidad inicial
10 %
Densidad teórica
90 %
Porosidad mínima permisible
5 %
Cambio de longitud máxima permisible
2 %
Radio inicial de la zona 1 del
combust ib le
.
0.30 inch .
Radio exterior máximo permisible
de la zona 1
0.31 inch.
Radio interior inicial zona 1 ...
0.10 inch.
Radio interior mínimo permisible
zona 1
0.0 inch.
A = 0 .5
B = 0. 5
C = 0 .5
En este caso el 15 por ciento, la mitad del hinchamiento, es asignada a la acomodación por porosidad.
Sin embargo solo el 5 por ciento de la porosidad es
útil para absorber hinchamiento. Como consecuencia nos quedará un 25 por ciento sin acomodar.
El valor de B nos indica que la mitad del hinchamiento sobrante (12,5 %) será acomodado por un cambio de longitud de la barra. Sin embargo el hinchamiento axial máximo
es del 2 por ciento, cantidad máxima acomodada por cambio
de longitud axial. Por ello nos queda un remanente del 23
por ciento.
- 32 -
El valor de C indica que la mitad del hinchamiento
sobrante (11,5 %) es aplicado en el crecimiento del radio
exterior pero la fracción de hinchamiento máxima permisible en este caso es de 7,62 por ciento. Con lo cual aún
nos queda un 15,38 por ciento sin acomodar. El cambio de
radio interior puede acomodar un 12,5 por ciento. Por lo
que al final nos queda un exceso de 2,88 por ciento que
no puede ser acomodado.
Al final, las cosas quedan así:
Porosidad final
Crecimiento longitudinal
Radio final exterior de la zona 1
5 %
2 %
0.31 inch.
Radio final interior de la zona 1
0
Hinchamiento sobrante
2.88 %
inch.
Si el hinchamiento total fuera del 3 por ciento
en lugar del 30 por ciento, en el ejemplo anterior los
resultados finales serían:
Porosidad final
Crecimiento longitudinal
Radio final exterior de la zona 1
8.5 %
0.75 %
0.3005 inch.
Radio interior de la zona 1
0.0985 inch.
Exceso de hinchamiento
0 %
- 33 -
APÉNDICE
1
VALORES UTILIZADOS EN LOS CÁLCULOS
~ H.09 x 10
23
cm 3
F
= 1.8 x 1 0 1 3 fis/cm3-sg
K
= 1.38 x 10
A
V
d
erg/°K
= 3.22 x 1 0 1 2 sec" 1
f
= l.o
Z
=4
Q
£-
= 91,000.0 cal/mol.g
s
a'
= 3.87 x 10~ 8 cm
= 500 dinas/cm
12
42
cm -dina/(mol g) (para Xenón)
a
= 4-.175 x 10
b
3
= 51.3 cm /mol g. (Para Xenón)
R
= 1.986 cal/mol.g °K
R
= 8.31 x 10
ergios/mol.g °K
- 34- -
BIBLIOGRAFÍA
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computer program for the analysis of fuel swelling
and calculation of temperatura in bulk-oxide cylindrical fuel elements. (December 1966).
2.
WAPD-TM-583. E.DUNCOMBE. Comparisons with experiment
of calculated dimensional changes and failure analysis of irradiated bulk oxide fuel test rods using
the CYGRO-1 computer program. (September 1966).
3.
R.F. HILBERT etc. Mechanismes of swelling and gas
reléase in uranium dioxide. J.Nuc.Mat. 38(1971),
pag. 26.
4.
R. LUQUI JIMÉNEZ. Deformaciones en las barras combustibles. Grupo termohidráulico de la J.E.N.
(Diciembre de 1.974).
- 35 -
APÉNDICE
-
2
REPRESENTACIONES GRÁFICAS
-
36
I
-
ZONA DE HINCHAMIENTO
0
Ri
R97
R
F1G-1
TTETT
;l}s:
HÍPTr
ÍHÍ;
FFÍ"; t - í
Liüri
ii.-1+iÍÜ+Í.^.
liitls
i~ ;. l- - j
ufí'
Üffij
^M
-rrrrhrrr1
Üff
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TrTTTT^T
•Mi;
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-C
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- C — rCrrr
:IC:-..|::G::-
::iC
- • e\-
: : « : . : • ! : : * ! •
Ül
: :
! ;r;is;
- 39 -
APÉNDICE
ÍNDICE
SÍMBOLO
FORTRAN
Bl
B2
E3
SÍMBOLOS
SÍMBOLO
IDENTIFICACIÓN
B
l
B
2
B
3
A
A
B
B
FV
F
SIGNIFICADO
Constantes de la temperatura
de liberación de gases.
Constantes del reparto de hinchamiento .
v
KAS
F
DE
r.. ,
3
fxs/cm -sg
Número del caso
Grado de quemado en unidades
F
de l o 2 0
PI.
P.
fís/cm 3 .
Porosidad inicial.
X
PM
P
R
R
Radio inicial de la pastilla.
D
K
Factor de densidad teórica.
HAM
RV
m
. AV,max
W
Porosidad mínima permisible.
Hinchamiento axial máximo.
Radio inicial de la vaina.
R
V
H
L.
X
PH
P
h
Longitud inicial de la barra
combustible.
Presión sobre la superficie
del combustible.
Un valor del perfil de temperaturas .
V
HS
V
V
s
Hinchamiento por productos solidos de fis ion .
Espesor de un anillo
/
-
SÍMBOLO
FORTRAN
4-0
-
SÍMBOLO
IDENTIFICACIÓN
SIGNIFICADO
NM
N
Número de anillos.
TLG
T.
Ig
Temperatura de liberación de
gases.
noj.
Valor inicial del hinchamiento para comenzar el proceso
iterativo.
TM(I)
Temperatura media de un anillo
un T
V(I)
V.
Volumen de un anillo-
i
Cl
C2
C
l
C
2
Constantes de la ecuación de
hinchamiento gaseoso.
Hl
H2
C3
C4
C5
Partes de la fórmula de
hinchamiento gaseoso.
C6
C7
C8
C9
H3
Partes de la derivada de la
ecuación del hinchamiento gaseos o.
H4
D1
U 4.
D2
D3
HG(I)
SY
C
V 'i
Y
Hinchamiento gaseoso de un
anillo.
Volumen de la barra combustible.
. / . . .
SÍMBOLO
FORTRAN
SÍMBOLO
IDENTIFICACIÓN
N
E
V
.^/V^i
HMG
V
V
HMT
SIGNIFICADO
m
V
g
+
(•.)
V
m
*
V
Suma de los productos indicados
Hinchamiento medio gaseoso.
Hinchamiento medio total.
HMTR
AV_
V
Hinchamiento medio total real .
up
AV
Hinchamiento asignado a la porosidad .
n L
DIF
HA
HAM
HR
HMR
(
v^i
V~~ a
,AV,max
*•"
.AV.max
DIF2
AV
DIF3 =
= HSOB
(—)3
RP
RE
V
AV
R
f
2
Hinchamiento sobrante del de
porosidad.
Hinchamientc axial.
Hinchamiento axial máximo.
Hinchamiento radio exterior.
Hinchamiento máximo radial.
Hinchamiento axial sobrante.
Hinchamiento sobrante, no acomodado en ningún sitio.
Radio final de la pastilla
DA'TOS DE ENTRADA DEL PROGRAMA HINCHA
COLUMNA
SÍMBOLO
FORTRAN
1-5
KAS
1-4
F
5-6
6-8
9-13
14 - 15
16 - 18
19 - 23
24 - 30
31 - 43
PI
PM
R
D
HAM
RV
H
PH
1-6
7-12
T(l)
T(2)
SIGNIFICADO
Número del caso
Grado de quemado expresado en unidades de
1 0 2 0 fis/cc
Porosidad inicial (T.p.l)
Porosidad mínima permisible (T.p.l)
Radio inicial de la pastilla.
Factor de densidad teórica (T.p.l)
Hinchamiento axial máximo (T.p.l)
Radio inicial de la vaina.
Longitud inicial de la barra combustible.
Presión sobre la superficie del combustible.
Temperatura del centro de la pastilla.
Siguiente valor del perfil de temperaturas.
Se admiten 13 valores como máximo
UNIDADES
fis/cc.
cm .
cm .
cm .
din/cm .
°C
°C
-p
o
í
i
QO
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1
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Ci
Ci
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CÍJ|H-
_
(
START
)
Bl = 2930.
B2 = 22.66 7
B3 = .3266 7
¡4 ¡4 -
Comienza el programa
Definición de constantes
A ,B = 0.5
FV = 1.8E1 3
c
Lectura del caso
KAS
KAS = 0
F, PI, PM, R, D,
HAM 5 RV, H 5 PH
c
TLG
Lectura de las variables señaladas.
Lectura del perfil de
temperaturas.
Cálculo de la temperatura de liberación.
Valor inicial de
iteración.
Cálculo de las temperaturas medias de cada
anillo.
Compara temperatura
media y de liberación
Constantes de la ecuación de hinchamiento.
- 1+5 -
Cl = 20.7438
Constantes de la ecuación de hinchamiento
C2 = 5091.19
16666
Hl
Calcula el valor indicado .
Y
Calcula el valor indicado .
Calcula un nuev.o valor
del hinchamiento para
seguir iterando.
[ HG(I)=HGI
Almacena este valor en
él vector HG(I).
HGCI)=O.O
Valor del hinchamiento
TM(I) > TLG
_J
E = 0 .0
SV = 0.0
1=1,
10
1
Suma de los productos del
volumen de cada anillo por
su hinchamiento.
E=E+V(I)*HG(I)
VV(I)=V(I)*HG(I)
¡y = sv + V ( I ) ]
I
V
Almacena los productos anteriores en el vector VV(I)
Calcula el volumen de la
barra combustible.
H M G , HMT , HMTR
HP, HA, HR,
HSOB , RP
KAS , F, PI, PM, R, RV,
D, HAM, HS, X, TLG , sv,
H, HMG, HMT , HMTR, HP,
HA, HR, HMR, HSOB, RP,
T ( I) , TM (I), V( I) , VV(I)
HG( I)
(
STOP
("
END
)
Calcula los parámetros señalados,
Escribe los valores
del recuadro .
PROGRAMA HINCHA
*
3#
4*
e*
£*
7
*
11*
DIMENSIÓN T(N)»TW(MM)»V(NM),riG(NM)rVv/(NM)
UATA tix,Ü2,Kó,h,B /2930.»2?.6ó7».32667»2
DATA Fv/l.tíFi3/
999
REAP<5P70Ü?FIM0=90Ü)KAS
RF.AO(5rlüO)
F»PI»PM»R'Ü
HEAn(5r2dO)(T(I>rI=l»N)
üO 1 1=1»NM
HGlrO.uÜl
iK(TMd)• L T
IF{TM(I).LU.113F..)00TÜ
19*
20*
21*
¿2*
2
OCIO 3
2 Cl-20.7'+vid
02=5091.19
3 Hl=FV**.i6b'Só
25*
26*
27*
C e P l
C7=1,0¿6*F**2.*HGI**(-2.)
29*
30*
1F(ABS(Y).LE.0.2)üüT0 99
H3=-.3333*FV**.16666
ül = Cl*n3/H'+
u
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J.E.N. 308
Junta de Energía Nuclear, División de Teoría y Cálculo de Reactores, Madrid
" H I N C H A - P r o g r a m a en- F o r t r a n IV p a r a d e t e r minar hinchamientos de barras combustibles cilindricas de UO2 sometidas a un flujo de irradiación
neutronica en reactores nucleares"
J. E.N. 308
Junta de Energía Nuclear, División de Teoría y Cálculo de Reactores, Madrid
"HINCHA - Programa en Fortran IV para determinar hinchamientos de barras combustibles cilindricas de UO2 sometidas a un flujo de irradiación
neutronica en reactores nucleares"
LUQUI JIMÉNEZ, R. (1975) 50 pp. 1 f i g s .
LUQUI JIMÉNEZ, R. (1975) 50 p p . 1 f i g s .
En este trabajo hemos analizado los parámetros y correlaciones más importantes que influyen y resuelven el problema de hinchamiento en combustibles
nucleares.
En este trabajo.hamos analizado los parámetros y correlaciones más importantes que influyen y resuelven el problema de hinchamiento en combustibles
nucleares.
CLASIFICACIÓN INIS Y DESCRIPTORES.- B-2S; Nuclear Fuels; Swelling; Fuel Rods;
CLASIFICACIÓN INIS Y DESCRIPTORES.- B-Zb; Nuclear Fuels; Sv/elling; Fuel Rods;
Digital Computers; F Codes; Correlations; Gylindrical Configuration.
Digital Computers; F Codes; Correlations; Cylindrical Configuration.
J.E.N. 308
Junta de Energía Nuclear, División de Teoría y Cálculo de Reactores, Madrid
"HINCHA - Programa en- Fortran IV para determinar hinchamientos de barras combustibles cilindricas de UO2 sometidas a un flujo de irradiación
neutronica en reactores nucleares"
LUQUI JIMÉNEZ, R. (1975) 50 pp. 1 figs.
En este trabajo hemos analizado los parámetros y correlaciones más importantes que influyen y resuelven el problema de hinchamiento en combustibles
nucleares.
CLASIFICACIÓN INIS Y DESCRIPTORES.- B-25; Nuclear Fuels; Swelling; Fuel Rods;
Digital Computers; F Codes; Correlations; Cylindrical Configuration»
J . E . N . 308
J-inta de Energía Nuclear, División de Teoría y Cálculo de Reactores, Madrid
"HINCHA - Programa en Fortran IV para determinar hinchamientos de barras combustibles cilindricas de UO2 sometidas a un flujo de irradiación
neutronica en reactores nucleares"
LUQUI JIMÉNEZ, R. (1975) 50 pp. 1 f i g s .
En este trabajo hemos analizado los parámetros y correlaciones más importantes que influyen y resuelven el problema de hinchamiento en combustibles
nucleares
CLASIFICACIÓN INIS Y DESCRIPTORES.- B-25; Nuclear Fuels; Swelling; Fuel •Rods;
Digital Computers; F Codes; Correlations; Cylindrical Configuration.
J . E . N . 308
J . E . N . 308
Junta de Energía Nuclear, División de Teoría y Cálculo de Reactores, Madrid
Junta de Energía Nuclear, División de Teoría y Cálculo de Reactores, Madrid
"HINCHA - F o r t r a n IV d i g i t a l c o m p u t e r p r o g r a m
for t h e c a l c u l a t i o n o í fuel s w e l l i n g in UO2 e y l i n d r i c a l
fuel r o d s e x p o s e d t o a n e u t r ó n flux in n u c l e a r
reactors".
"HINCHA - Fortran IV digital computer program
for the calculation of fuel swelling in UO2 eylindrical
fuel rods exposed to a neutrón flux in nuclear
reactors",
Digital Ccinfuícrs; F : /;i;;s; ' ^ n v ' a t i o r s ; Cviino>'i"íl C o i r u j r & ' á a i .
LUQUI JIMÉNEZ, R. (1975) 50 pp, 1 f i g s .
In t h i s work we have analysed the most important parameters i n fuel swelling
and the necessary correlations to solve t h i s problem.
¡N'S C!ASSIFiCAV.nN AND ESCRiPVGRS,- 'ú-2i<; N i c ' - a r Fusls; SweVHng; Fuel Rods;
D-iui'Líi; 0:r.v •.:••;•••; F CGGÍS; ^^rr-?"a'ci«"i s; Cv! i D i n cal Configurations.
J.E.N. 308
J.E.N. 308
Junta de Energía Nuclear, División de Teoría y Cálculo de Reactores, Madrid.
"HINCHA - F o r t r a n IV d i g i t a l e o m p u t e r p r o g r a m
for t h e c a l c u l a t i o n of fuel s w e l l i n g in UO2 e y l i n d r i c a l
fuel r o d s e x p o s e d to a n e u t r ó n flux in n u c l e a r
reactors".
Junta de Energía Nuclear, División de Teoría y Cálculo-de Reactores, Madrid
"HINCHA - F o r t r a n IV d i g i t a l e o m p u t e r p r o g r a m
for t h e c a l c u l a t i o n of fuel s w e l l i n g in UO2 e y l i n d r i c a l
fuel r o d s e x p o s e d to a n e u t r ó n flux in n u c l e a r
LUQUI JIMÉNEZ, R. (1975) 50 pp. 1 f i g s .
In t h i s work we have analysed the most important parameters i n fuel swelling
and the necessary correlations to sol ve t h i s problenu
¡NiS CLASSSFÍCA::ON AND DÍ.SCR.PÍORS,-- I K b ; N i e l a r h:.\¿:
&:-': ¡ing: Frí¡ RJOS;
LUQUI JIMÉNEZ, R. (1975) 50 pp. 1 f i g s .
In t h i s work we have analysed the most important parameters i n fuel swelling
and the necessary correlations to solve t h i s problem.
reactors".
LUQUI JIMÉNEZ; R, (1975) 50 pp, 1 f i g s .
In this work we have analysed the most important parameters in fuel swelling
and the necessary correlations to solve t h i s problem.
INiS CLASS.F¡CATIÓN AND DíSCRlPTDRS.- B-25; Nuclear Fi.-els; Swelling; Fuel Rods;
INIS CLASSIFICATIÓN AND DESCRIPTORS-- B-2b; Nuclear Fue'ls; Swslling; FuH Rods;
Digital Comrutsrs; í- ¡.•ud;:;; Correlations; Cylindrical Configuration.
Digital Computers; F Codes; Corrslati'ons; Cyl indrical Config.,raiion.
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Sp ISSN 0081-3397
por
F. González Oliveros
JUNTA DE ENERGÍA NUCLEAR
Toda correspondencia en relación con este trabajo
debe dirigirse al Servicio de Documentación Biblioteca y
Publicaciones, Junta de Energía Nuclear, Ciudad Univer
sitaria, Madrid-3, ESPAÑA.
Las solicitudes de ejemplares deben dirigirse a
este mismo Servicio
Los descriptores se han seleccionado del Thesauro
del INIS para describir las materias que contiene este infor
me con vistas a su recuperación. Para mas detalles cónsul
tese el informe IAEA-INIS-12 (INIS: Manual de Indización) y
IAEA-INIS-13 (INIS: Thesauro) publicado por el Organismo
Internacional de Energía Atómica.
Se autoriza la reproducción de los resúmenes analíticos que aparecen en esta publicación.
Este trabajo se ha recibido para su impresión en
Junio de 1. 975
Depósito legal n9 M-35427-1975
I.S.B.N.
84-500-7179-8
-
1
_
Í N D I C E
Página
1.
INTRODUCCIÓN
2.
MODELO TEÓRICO
2.1. Coeficiente de transmisión a través
de los puntos de contacto
2.2. Coeficiente de transmisión a través
de la mezcla gaseosa existente en
el huelgo
2.3. Coeficiente de transmisión por radiación
3.
5.
5
5
10
15
MODELO DE CALCULO
17
EJEMPLOS DE APLICACIÓN
25
REFERENCIAS
33
APÉNDICE A - CONDUCTIVIDAD DE LOS GASES DE
FISIÓN
35
APÉNDICE B - DATOS DE ENTRADA Y LISTADO DEL
PROGRAMA EN FORTRAN IV
37
APÉNDICE C - LISTA DE VARIABLES
"+3
- 3 -
1.
INTRODUCCIÓN.
Es necesario, para el diseño de elementos combustibles,
conocer las temperaturas a las cuales van a estar sometidas
las barras de combustible y el refrigerante. El conocimiento
de estas temperaturas, permite diseñar correctamente los
elementos combustibles de tal forma que durante su estancia
en el núcleo del reactor no sean sobrepasados los límites
de diseño establecidos.
Uno de estos límites, establece la temperatura máxima
que se puede alcanzar en el combustible, generalmente la de
fusión del U 0 o ; por lo tanto, es necesario conocer la distribución radial de temperaturas en él para todo régimen de
operación.
Para determinar esta distribución es necesario, calcular la temperatura en la superficie de la pastilla y esto
solo se puede llevar a cabo si se conoce la conductancia
en el huelgo.
Hay tres efectos que influyen sobre la conductancia:
la composición del gas del huelgo, la variación de dimensiones del huelgo y la interacción combustible-vaina.
A medida que se va quemando el combustible en el reactor, aparecen los gases de fisión constituidos principalmente por los isótopos estables del Kr y Xe. Una cierta cantidad de estos gases producidos son retenidos en la estructura
cristalina, contorno de los granos o absorbidos por la porosidad del UO ; no obstante, otra parte de ellos llegan a la
superficie del combustible y se liberan alojándose en el
huelgo.
Como consecuencia de la formación de una mezcla gaseosa (gases de fisión con gas de llenado inicial) hay una dis-
minución de la conductividad en el huelgo y para tener en
cuenta este efecto, se considera el quemado y la temperatura de la mezcla. También se produce un aumento de la
presión en el interior de la barra, donde influye decisivamente el volumen del plenum considerado. Se considera
que la variación de dimensiones del huelgo es debida a
las dilataciones térmicas del combustible y de la vaina.
Cuando se llega al contacto entre la pastilla y la
vaina, la conductancia mejora debido a que la transmisión
del calor a través de los puntos de contacto es mejor que
en la mezcla gaseosa. El número de puntos de contacto, depende de la presión entre pastilla y vaina así como del
acabado de las superficies y de la dureza de los materiales.
La influencia de la radiación en la conductancia será mayor cuanto más altas sean las temperaturas.
De todo lo expuesto anteriormente se deduce que, en
la elaboración de un modelo teórico que se pueda utilizar
en un programa, se debe considerar la transmisión de calor
a través de la mezcla gaseosa, por contacto entre puntos
sólidos y por radiación.
El programa HGAP emplea básicamente el modelo de
Ross - Stoute para calcular la conductancia en el huelgo.
La transmisión de calor a través de los puntos de contacto
se puede estudiar mediante las expresiones de Ross - Stoute
y la de Rapier - Jones - Mclntosh. Los resultados se pueden
representar gráficamente mediante el Trazador Calcomp.
El HGAP es uno de los resultados obtenidos de un estudio previo realizado para dotar a la División de Teoría y
Cálculo de Reactores de un programa, el TEMP-1 que sustituya
al FIGRO no disponible en la actualidad. En un futuro próximo será incorporado a ese programa, con las mejoras que se
estimen convenientes9 en forma de subrutina.
2.
MODELO TEÓRICO.
El modelo de Ross - Stoute (1) utilizado en el progra-
ma FIGRO (2) descompone la conductancia en el huelgo h
en
tras sumandos;
h
g
= h
s
+ h^ + h
f
r
donde:
h
s
h,-
coeficiente de transmisión a través de los puntos
2
de contacto (Btu/h-ft -°F).
coeficiente de transmisión a través de la mezcla
gaseosa (Btu/h-ft 2 -°F).
h
coeficiente de transmisión por radiación
(Btu/h-ft 2 -°F).
La convección existente no se considera por la peque-
ña dimensión del huelgo y el efecto de la radiación suele
ser pequeño en régimen de operación normal.
Al principio de vida, el término que influye más en
la conductancia es el h_ no existiendo el h hasta que se
f
s
produce el contacto entre pastilla y vaina al avanzar el
quemado; entonces se produce un aumento de h y una dismis
nución de h tanto más acusado cuanto mayor sea la presión
entre los sólidos. El término h será mayor cuanto más altas sean las temperaturas.
2.1. Coeficiente de transmisión a través de los puntos de
contacto.
En el desarrollo del modelo de Cetinkale-Fishenden (3
se obtiene la siguiente expresión:
- 6 -
K
K,
are tg
(r /r)
- 1
donde:
h
T
coeficiente de transmisión total a través de las
superficies en contacto.
K
conductividad térmica del fluido atrapado entre
los puntos sólidos en contacto.
ó
distancia media aritmética entre las superficies
n
número de puntos de contacto por unidad de área.
r
radio real de contacto.
r
radio aparente de contacto.
Tí
constante pi.
2K ,K
s "
K_t¡<
media armónica de las conductividades
de los materiales en contacto.
Si suponemos que entre los puntos de contacto existe el vacío, la expresión anterior nos queda "anulando K :
niTr K
are tg
donde
h
(r /r) - 1
coeficiente de transmisión a través de los puntos de contacto en vacío.
De este modelo se derivan los de Ross - Stoute y A.C
Rapier (4-) utilizando los resultados experimentales de
Bowden y Tabor (5) los cuales suponiendo que existe una de-
- 7-
formación plástica entre las superficies en contacto, obtuvieron la relación entre las áreas real y aparente:
A
P
2
r
A a "Pm
donde:
P
°
P
£_
2" m
P
r
a
presión aparente
y P
presión real.
A continuación vamos a deducir las dos expresiones
partiendo de la fórmula de Cetinkale:
nTTr K
nirr K
S
are tg
~
(r_/r)-l
"
S
=
TT
2nrK
por ser r >>r
s
a
a) Roas-Stoute considera que P = 0,6 H de acuerdo con los
m
resultados experimentales de Holm (6) donde H es la dureza Meyer en unidades de presión del sólido más blando
en contacto:
2
A
0,6.H.TT.r.n.A
_
p = P _£. =
.
2. = 0,6.H.TT.r .n
mA
A
a
a
despejando r n y sustituyendo en la fórmula de Cetinkale
2.P.K
h
s
=
2 n r K
s
=
s
0 , 6 HiTr
=
1, 0 6 P . K
P .K
s
s
HTT^
~H . r
1/2
empleando la correlación empírica r = a .R~ proporcionada
por los trabajos de Ascoli y Germagnoli (7)
P .K
O
donde:
a
constante empírica determinada por el radio
medio de los puntos de contacto.
2
2
R-, + R 2 1/2
R = (_i
_)
2
R.9 R.
media cuadrática de las rugo-
sidades.
rugosidades medias.
b) A.C.Rapier considera que P = H de acuerdo con los resultados experimentales de Bowden y Tabor:
P = P -£. = HiTr2n
m A
a
despejando r y sustituyendo en la formula de Cetinkale
h
s
=2nrK s = 2 n (HTrn
- L _ ) 1 / 2 Ks = Ks ( S^j l~' + )n
1 / 2
(H
|)
U2
~-
Ks YZ( H
suponiendo que Sñ C
,
h
donde
C
_
l
s
r
Pv
s " C7 ( H )
paso de irregularidades de la superficie
con mayor paso de irregularidades.
En la actualidad se considera el modelo de Mikic (8), (9)
como el más apropiado para las aplicaciones nucleares ya que
tiene en cuenta deformaciones elásticas y plásticas siendo P
quien define el paso de una a otra. Las expresiones de este
modelo son las siguientes:
- 9 -
1,45.K . I tan
s
,P>l/2
(.—)
n
, _
.
_
para deformaciones elásticas
P 1. 0
(—)
para deformaciones plásticas
a
n
donde ¡tan 9¡ la media del valor absoluto de la pendiente
del perfil de rugosidades.
O = R
1/2
La presión de transición entre la deformación elástica y la plástica no está completamente definida. Para el
contacto entre metales, las medidas de Fenech y Rohsenow
(10) indican q.ue la transición se efectúa entre 100 y 200
psi; para el contacto entre metales y materiales cerámicos,
como ocurre entre vaina y combustible, la transición se
efectúa aproximadamente a 1000 psi.
A continuación presentamos un cuadro donde se pueden
ver las diferencias entre el modelo de Cetinkale-Fishenden
(y los modelos derivados de él) y el de Mikic»
Hipótesis para
Radio de contacto
Distribución de
contactos.
Método de solución para la distribución de temperaturas .
Deformación de
contacto.
Alturas de los
contactos
Mikic
Los contactos pueden ser de varios
tamaños.
Distribución
pseudo-uniforme.
Resuelve directamente la ecuación
de La Place.
Cetinkale-Fishenden
Todos los contactos
son de igual tamaño.
Distribución uniforme .
Usa el método de relaj amiento.
Elástica o plásti- Plástica.
ca dependiendo de
la presión y materiales .
Distribución Gaussiana o constante.
- 10 -
Resumiendo lo anteriormente expuesto sobre el coeficiente de transmisión, los modelos se pueden sintetizar
de la forma siguiente (11):
h
n
Rapier
Mikic
1. 0
0. 5
0 .5 para Pf1000 psi
1 .0 para P>1000 psi
s
a Q RR 1 / 2
2,2.
= F(P/H)
Ross-Stoute
K
P
s
K
1 .45 K
s
C
l
tan í
c
3
a
Coeficiente de transmisión a través de la mezcla
gaseosa existente en el huelgo.
La expresión de este término es la siguiente:
Kg
donde:
K
g
C
conductividad térmica de la mezcla gaseosa
(Btu/h-ft-°F)
coeficiente adimensional relacionado con la
presión de contacto.
R ,R
rugosidades medias (ft) .
g +g
distancia de extrapolación de temperaturas de
la mezcla gaseosa (ft).
espesor del huelgo (ft).
t
- 11 -
El término C(R +R ) representa el huelgo efectivo
producido por la rugosidad, donde el coeficiente adimensional C tiene en cuenta las imperfecciones de las superficies y se puede estimar por:
C = 2,75 _ o ,000176.P
donde P
presión de contacto (psi).
Si el huelgo es mayor de o,5 milésimas, se recomienda
un valor menor para C; por ejemplo, la unidad, ya que cuando las superficies se separan, las imperfecciones tienen
poca importancia.
La distancia de extrapolación de temperaturas g.+g~
considera el imperfecto intercambio de energía entre las
moléculas del gas y las superficies sólidas. Este efecto
es más importante cuando el huelgo tiene una dimensión
parecida al recorrido libre medio de las moléculas.
La distancia de extrapolación de temperaturas se obtiene para helio, argón y gases de fisión pero no para mezclas de estos gases, por eso se supone que es una función
lineal de la conductividad de la mezcla gaseosa:
. -K.
fg 1
(g f g - g i )K g
+
(K fg .g. - K.. g f g )
donde:
K
conductividad de la mezcla gaseosa (Btu/h-ft-°F).
g
K. conductividad de los gases de fisión (Btu/h-ft-°F).
fg
K. conductividad del gas de llenado inicial (Btu/h-ft-°F)
g
distancia de extrapolación de temperaturas corregida
* para los gases de fisión (ft).
g.
1
distancia de extrapolación de temperaturas corregida
para el gas de llenado (ft).
- 12 -
La corrección por efecto de las temperaturas y por
la variación de presión se efectúa de la siguiente forma
donde:
g
g
distancia de extrapolación de temperaturas de referencia a T = 68°F y P = 14,7 psi.
r
r
= 24-4-,0 micropulgadas (helio)
g
= 21,8 micropulgadas (gases de fisión)
g
= 0,0
r
T
(12)
micropulgadas (vapor)
temperatura media en el huelgo (°R).
y "2
N
n_
V
_
(psi)
Numero total de átomos de gas
Volumen del huelgo + Volumen del plenum
R = 0,0236 constante universal de los gases
(psi-ft /grmol-°R)
N
a
= 6,02.10
23
número de Avogadro (átomos/grmol).
Para los gases de fisión:
n = a_ . f . B . V
fg
c
donde:
o.
f
B
V
c
átomos producidos por fisión.
fracción de gases de fisión liberados en átomos (13)
3
grado de quemado (fisiones/era )
3
volumen del combustible (cm )
- 13 -
El volumen del huelgo por unidad de longitud se calcula por la fórmula:
V g = TT(rLf+r3) |(r^-r3) + 1,2 (R 1 + R 2
donde:
1,2
constante empírica.
r , r
radios interior de la vaina y del combustible
respectivamente (ft).
R ,R
rugosidades medias (ft).
La conductividad de la mezcla gaseosa existente en
el huelgo es función de la concentración de gas de llenadoy gases de fisión así como de la temperatura media del
huelgo.
Viene dada por la expresión:
log 1Q K
= ax + (b+cx)log10 T +d
donde:
T +T
3_ •+
2
T , T
temperatura media en el huelgo (°K)
temperaturas en la superficie del combustible y
en el interior de la vaina.
x ^tornos de gas de ^ n a d < y
átomos totales
a,b,c,d
fracción molar
llenado.
del
gas
§
de
constantes que dependen de la composición de la
mezcla gaseosa.
Para helio como gas de llenado y gases de fisión con
un 15,3 % y 84,7 % de Kr y Xe respectivamente, estas constantes toman los valores siguientes:
- 14 -
2 ,636
0,856 para 0<x<x,
-0,265
-4,573
siendo
x
•
1,468
: 0 ,825
—0,104
para x <x<l
—4,308
= 0,248.
La fracción molar x en BOL es aproximadamente la
unidad y en EOL prácticamente cero.
La relación entre átomos de gas de llenado^ suponiendo que éste se ha efectuado en condiciones normales,
y los átomos de gases de fisión es:
r
huelgo
combustible
Z =
fg
donde:
Ahuelgo
razón de las secciones transversales
del huelgo y el combustible.en frío.
combustible
V
r
4
3
= 2,25.10
volumen molar en condiciones normales (cm )
razón del volumen del huelgo al volumen del huelgo
más el del plenum en frío.
B, a
y f
se han definido anteriormente.
x = Z + 1
El huelgo t cuyas dimensiones varían debido a las di'
lataciones térmicas del combustible y de la vaina, está de
terminado por:
t
= t.
. . .+
i n i c i a l
r,(C,+CoT
4 1 2 c
- r 3 (C 4 +C 5 I f +C 6 T?)
r
- 15 -
donde:
t. . .
inicial
huelgo inicial (ft).
T
temperatura media en la vaina (°C).
T
temperatura media en la pastilla (°C).
= 6 ,0.10~5
-6
2
'
C = 3,80.10~9
C
Constantes para la vaina de
Zircaloy (12)
c^ = -i ,66.1o"14
Constantes para el
ble U0 2 (12)
C 5 = 8,25.10"
C. = 2,21.10~9
r
y r
2.3.
se han definido anteriormente.
Coeficiente de transmisión por radiación
Se tiene en cuenta mediante la expresión
donde:
F
12
£
3
ya que F
F
A
4
- 1 y A
£
^
= A
3
4
factor de intercambio global
factor geométrico.
e
y £
emisividades del combustible y de la vaina.
O
T
= 0,173.10" constante de Stefan-Boltzman (Btu/h-ft~-°F)
y T
definidas anteriormente (°R).
- 17 -
3.
MODELO DE CALCULO.
El programa está preparado para correr varios casos
a la vez y la representación gráfica en el Trazador Calcomp
da la variación de la conductancia con el quemado.
A grandes rasgos la secuencia de cálculo es la siguiente :
I o ) . Lectura de los datos de entrada.
2 o ) . Cálculo de Z y x.
3 o ) . Se da un valor a h
= 1000 para comenzar el proceso
iterativo.
4 o ) . Cálculo de un perfil radial de temperaturas.
5 o ) . Cálculo de h , h
y h .
6 o ) . Cálculo de una nueva h como suma de los tres términos
g
anteriore s.
7o).
Se compara la nueva conductancia con la dada en 3 o )
y pueden darse dos casos:
a) El valor absoluto de su diferencia es menor o igual
a 0,1, entonces se imprimen los valores de h
h
r
s
h ,
y h .
s
b) El valor absoluto de su diferencia es mayor que 0,1,
entonces calcula el valor medio de estas dos conductancias y lo introduce en 3 o ) siguiendo el proceso
iterativo hasta que se alcanza la convergencia.
Las fórmulas empleadas en el cálculo de temperaturas
(°F) son:
60
106
= T
t
6
e.v
f
h
'" 900
Temperatura exterior de
la vaina.
—
q ". a
a
T.
= T
+ -s—'-— ln —
í.v
e.v
2K
b
v
„
q" . a
h .b
Temperatura en la superficie de la
pastilla.
s.p
q" . a
UK
Temperatura en el centro de la pastilla.
_
c. p
Temperatura interior de la vaina
i.v
T
s.p
-L '
donde:
T
temperatura de saturación del refrigerante a la
presión considerada.
T
temperatura del refrigerante.
q"
flujo calorífico en la superficie de la vaina
(Btu/h-ft 2 ).
P
presión del refrigerante (psi).
h
2
coeficiente de película (Btu/h-ft -°F).
Kv
conductividad de la vaina (Btu/h-ft-°F).
K
conductividad del combustible (Btu/h-ft-°F).
2
conductancia en el huelgo (Btu/h-ft -°F).
c
h
g
a
diámetro exterior de la vaina (ft).
b
diámetro interior de la vaina (ft).
Las fórmulas empleadas para calcular las conducti-
vidades (Btu/h-ft-°F) de los gases de fisión y del gas de
llenado
a
diferentes temperaturas son:
K
fg
= 241,9.10" 7 . T ° ' 8 6
para los gases de fisión donde T viene dada en °K,
(Apéndice A ) .
K . = 0 ,084-8 + 9 ,11 .10~
para el helio dónde T viene dada en °F.
.T
-
19
-
ORGANIGRAMA DEL PROGRAMA HGAP
c
Comienzo del programa
START
TRAZAD0R\
CALCOMP /
Llamada al
Trazador
Lectura del
número del CASO
S q(.i) , F C 5 P S 5 T S 5 DC S DIV,DEV 5 AL,RC,
RV,CV,CU,F,PHE,
PRE,TW,HCQF,KOPT
TR,PR,AGF,VM3R,
AV,GGFR S GIR S A1,
A2 ,B1,B2 ,01,02 ,
DI ,D25CC1 ,CC2 ,
CC35CF1 ,CF29CF3
PI
c
END
Fin
Lectura de
los datos de
entrada
Constantes del
programa
RA,VG,VC,VPL,
RVO
= AVííRA/(VM"F"AGFíí7E2(0í<Q(I)Í!RVO)
X=Z/(1.+Z)
HGAP = 1000.
Valor inicial de la conductancia para empezar el proceso iterativo.
NO
TEV1. LE. TEV2 ?—B
Selección de
la formula para el cálculo
de la temperatura en la superficie de la
vaina.
TSP=TIV+FC*DEV/(DIV*HGAP)
M = M+l
Contador de iteraciones
TCP
TC , TF
TM = (TSP+TIV)/2
CI, CGF
- 21 -
Selección de las
constantes según
el valor de X.
SI
A =
Al
B =
Bl
C =
Cl
D =
DI
CM=10.**(A*X + D)*TM* *(B + C* X)
EXTC,EXTV,VGV,P2,
GI,ATFT,P4-,GGF
G=((GGF-GI)*CM+(CGF*GI-CI*GGF))/(CGF-CI)
HGA2=( 8 .9795E-9)M(TSP + 4 59.)**4-(TIV+H59)**4)/(TSP-TIV)
- 22 -
C = 2.75-0.000176"PRE
Compara el número de la
iteración.
THICK=(DIV-DC)/2.+DIV-EXTV/2.-DC*EXTC/2
THICK GT.0,000Q41
Compara
el valor
del huelgo
HGA(I)=HGA1+HGA2
HICK.LE.0.000041
Compara el
valor del
huelgo .
- 23 -
HGA1=CM/(C-(RC+RV)+G)
menor
Opción para
seleccionar
la fórmula a
emplear para
HGA3
igual o mayor
HGA3=KM*PRE/(AO*SQRT(SR)*H)
HGA3 = KM*SQRT(PRE/H)/L
HGA(I)=HGA1+HGA2+HGA3
NO
Compara .dos
valores de
HGAP sucesivos
SI
Q(I) ,CASO,FC,
HGA(I) ,HGA1,HGA2 ,
HGA3
HGAP=(HGA(I)+HGAP)/2
<D
Escribe los
valores calculados
Calcula la media de
dos valores sucesivos
de HGAP
- 25 -
4.
EJEMPLOS DE APLICACIÓN.
Cada problema consta de diecinueve casos con distintos
quemados cada uno y se dan los resultados en forma de tabla
y gráficamente mediante el Trazador Calcomp
Datos comunes a los tres problemas.
Quemado: 1000, 3000, 5000, 7000, 10000, 13000, 15000, 17000,
20000, 23000, 25000, 27000, 30000, 33000, 35000,
37000, 40000, 1+3000, 4-5000 Mwd/Tn.
Presión del refrigerante: 2250 psi
Temperatura de saturación: 653 °F
Diámetro de la pastilla de combustible: 0,0305 ft
Diámetro interior de la Ví.ina: 0,0311 ft
Diámetro exterior de la vaina: 0,0351 ft
Longitud activa: 7,97 ft
Rugosidad del combustible: 3,2.10~b ft
Rugosidad de la vaina: 1,6.10
ft
Conductividad de la vaina de Circaloy: 9 Btu/h-ft-°F
Conductividad del combustible U0 : 2 Btu/h-ft-°F
Presión de llenado inicial: 14,7 psi
Temperatura del refrigerante: 580 °F
Coeficiente de película: 4500 Btu/h-ft -°F
- 26 -
Primer problema
Flujo calorífico en el exterior de la vaina: 155400 Btu/h-ft"
Fracción de gases de fisión liberados: 0,01
Presión de contacto: 200 psi
CASO
QUEMADO
HGA1
HGA2
HGA3
HGA(I)
1
1000
582,217
69 ,995
0. 0
652 ,212
2
3000
5000
528 ,790
72 ,081
0. 0
600 ,871
486,040
74,056
0.0
560 ,096
450 ,067
75,980
0.0
526 ,048
405,641
78,770
0 .0
484,411
369,826
81,427
0.0
451,254
349 ,635
83,126
0.0
432 ,760
331,814
84,762
0.0
416,576
9
13000
15000
17000
20000
308,726
87,098
0.0
395 ,825
10
23000
289,163
89 ,295
0.0
378,458
11
25000
27000
30000
33000
2 7 7,713
90,684
0 .0
368,397
267,337
92 ,015
0.0
359 , 353
253,490
93,907
0.0
347,397
241,357
95,670
0 .0
337,027
35000
37000
40000
234,090
96 ,789
0 .0
330 ,879
227,388
97,861
0.0
325,248
218,260
99,384
0.0
317,643
43000
45000
210,092
100 ,812
0 .0
310 ,903
205,109
101,715
0 .0
306 ,824
3
4
5
6
7
8
12
13
14
15
16
17
18
19
7000
10000
- 27 -
OJ I
CE
¿o
rr
i
CJ
•So
Q
CE
z:
CE
O
Lü
ZD
a
¿a
Q0'0S9
00*009 00-099 00'029 00' 8> 0
ldDS-d-yH/ni9 N3
T
-r
00"00t 00-096 00-038
NHOnaNO
- 28 -
Segundo Problema
2
Flujo calorífico: 502000 Btu/h-ft
Fracción de gases de fisión liberados: 0,1
Presión de contacto: 200, 600, 1200, 1600, 1800, 2000, 225Ü psi
Modelo de Ross-Stoute para la conductancia de contacto.
CASO
QUEMADO
HGA1
3
1000
3000
5000
i+
7000
5
10000
6
13000
437,954
409,854
7
15000
389,837
8
17000
20000
374,662
357 ,473
196,443
200,210
204,590
11
23000
25000
344,882
338,155
12
27000
332,546
13
30000
14
1
2
9
10
15
16
17
18
19
893 ,323
642,344
HGA2
539,690
484,664
HGA3
128 ,302
151,981
166 ,638
0.0
176 ,237
185,549
191,367
0 .0
0 . 0
HGA(I)
0 .0
1021,625
794,325
0. 0
706 ,328
0 .0
660 ,901
0 . 0
623,503
601 ,621
0 . 0
586 ,280
574,872
562 ,064
207,963
209 ,798
0 . 0
552,845
0 .0
547,952
0 .0
543,953 •
1025,652
211 ,407
117,822
33000
35000
1005,422
1009,546
114,607
109,211
37000
40000
43000
45000
1009,418
106 ,309
994,672
983,438
983,595
105,423
104,477
102,987
0 .0
44,417
1187,890
133 ,250
1253,279
266 ,500
355 ,333
399,750
444,166
499,687
1385 ,256
147.1,060
1499,845
1532,081
1586,270
-
29
-
.SCM
« I
CE
cr
o
i .
1,1,,,.
ce
(y
O
O
CL
_z—
LLJ
So
ZD
C3
OO'OOZ 00 - 08t 00*091 QO'QM OO'QZl 00-001
ioiijosjyH/ni
00*08
N3
00'09
00'0*
00'03
00"0
- 30 -
Tercer Problema
2
Flujo calorífico: 502000 Btu/h-ft
Fracción de los gases de fisión liberados: 0,1
Presión de contacto: 200, 600, 1200, 1600, 1800,
2000, 2250 psi
Modelo de Rapier-Jones-Mclntosh para la conductancia
de contacto .
CASO
QUEMADO
HGA1
HGA2
HGA3
HGA(I)
1
1000
893 ,323
128,302
0 . 0
2
3000
642,344
151,981
0.0
794,325
3
5000
539 ,690
166,638
0 .0
706 ,328
14
7000
484 ,664
176 ,237
0 . 0
660 ,901
5
10000
437 ,954
185 ,549
0 .0
623 ,503
6
13000
409,854
191 ,767
0 . 0
601 ,621
7
15000
389,837
196,443
0 . 0
586 ,280
8
17000
374,662
200,210
0 . 0
574,872
9
20000
357,473
204,590
0 . 0
562 ,064
10
23000
344 ,882
207,963
0 .0
552 ,845
11
25000
338,155
209 ,798
0 .0
547 ,952
12
27000
332,546
211,407
0 .0
543 ,953
13
30000
1010, 901
111 ,412
205 ,268
1327,580
14
33000
987,576
106,982
355 ,534
1450,092
\ 15
35000
993 ,338
102 ,660
502 ,801
1598 ,799
16
37000
995 ,288
100 ,751
580,584
1676 ,623
17
40000
981 ,645
100 ,268
615 , 803
1697,717
18
43000
971,553
99,764
649,113
1720 ,430
19
45000
973,162
98,909
688 ,488
1760 , 560
i
1021,625
GRflFICR
QUEIÍRD6-HGR
I o
«o
O»-
I
Cú
i S.
03
O
CJo
"0.00
20.00
40.00
60.00
80.00
100.00 120.00 140.00 180.00 180.00 200.00 220.00 240.00 260.00 280.00 300.00 320.00 340.00 360.00 380.00 400.00 420.00 440.00 460.00
QUEHRD0 EN
MWD/TNW10KW-2
- 33 -
5.
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with helium and with argón. Second United States
International Conference on the Peaceful Uses of
Atomic Energy, Geneva 1958, Vol. 7, pp 697-700.
- 35 -
APÉNDICE
A
CONDUCTIVIDAD DE LOS GASES DE FISIÓN.
La composición de los gases de fisión en todo momento
es de 15,3 por ciento de Kr y 84,7 por ciento de Xe. Existen
otros gases en esta composición, pero su porcentaje es muy
pequeño y no se considera a efectos de conductividad térmica.
La aportación del Kr y el Xe a la conductividad térmica de la lezcla, en cada momento será la misma y en relación
con sus respectivos porcentajes.
Para la determinación de la conductividad de la mezcla
gaseosa, nos basamos en los trabajos de H. von Ubisch, S. Hall
y R. Srivastav (14) suponiendo que la conductividad de los gases enrarecidos es proporcional a T donde T es la temperatura en °K y "s" una constante que varía entre 0,65 y 0,90,
Los resultados experimentales obtenidos con diferentes
mezclas de gases a dos temperaturas determinadas que son 29 °C
y 520 °C, dan para una mezcla de 15,3 por ciento de Kr y 84,7
por ciento de Xe un valor de "s" de 0,86 y unas conductividades a esas temperaturas de 147.10 -7 y 336.10 -7 cal/cm-seg-°C.
s
Luego partiendo de la hipótesis de que K_. = aT y conociendo la conductividad a dos temperaturas, podemos calcular "a" y "s" sin más que tomar logaritmos decimales y formar
un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas:
T
= 29 + 273 = 302 °K
T
= 520 + 273 = 793 °K
- 36 -
K_ = aT
1
r-, S
log K 1 = log a + s.log
log K
log Ko = log a + s.log T,
log K 2 = log a + s.2,899273
K1 = 147.10
K
-7
log K
= log a + s.2,480006
= -4,832683
log Ko = -4,473661
= 336.10
7
= 10~ ?
-4,832683 = log a t s.2,480006
a = 1 ,081 .10
-4,473661 = log a + s.2,899273
s = 0 ,856308 = 0 ,86
Como se puede ver, el valor de s calculado es muy
próximo al experimental y la expresión final de la conductividad térmica de los gases de fisión será:
K
= 10
7
. T ° ' 8 6 cal/seg - cm - °C
y como 1 cal/seg - cm - °C = 241,9 Btu/h-ft-°F
fg
= 241,9 . 10
7
. T ° ' 8 6 'Btu/h-ft-0?
-37 -
APÉNDICE
B
DATOS DE ENTRADA Y LISTADO DEL PROGRAMA EN FORTRAN IV
Colum- Variable
nas
Fortran
Formato
De finición
Unidades
Primera Tarjeta
1-2
CASO
12
Número
-
del caso
i
Segunda Tarjeta
Q(D
F9 . 0
Quemado
10-16
FC
F7 . 0
Flujo
17-21
PS
F5 .0
Presión
rante
22-25
TS
F4. 0
Temperatura
ración
26-30
DC
F5 .4
D i á m e t r o de la p a s t i lla de U 0 2
ft
31-35
DIV
F5 .1+
D i á m e t r o interior de
la v a i n a
ft
36-10
DEV
F5.4
D i á m e t r o e x t e r i o r de
la vaina
ft
41-4-5
AL
F5 . 2
Longitud
ft
46-52
RC
E7 . 1
Rugosidad
tible
del c o m b u s -
53-59
RV
E7 .1
Rugosidad
de la v a i n a
1-9
Mwd/Tn
Btu/h-ft2
calorífico
del r e f r i g e -
ps i
de s a t u -
°F
activa
ft
ft
i
60-62
cv
F3. 1
C o n d u c t i v i d a d de la
v a i n a de Circaloy
Btu/h-ft-°F
63-65
cu
F3.1
C o n d u c t i v i d a d del
c o m b u s t i b l e UO
Btu/h-ft-°F
66-70
F
F5.4
F r a c c i ó n de los gases
de fisión liberados
71-72
KOPT
12
Opción para la conduc
t a n c i a de c o n t a c t o
i
1
Ross-Stoute
0 Rapier-JonesMclntosh
-
Columnas
Variable
Fortran
Formato
38
-
Definición
Unidades
Tercera Tarjeta
1-5
PHE
F5 . 1
6-10
PRE
F5 . 0
11-15
TW
F5 .0
16-20
HCOF
F5 . 0
Presión de llenapsi
do inicial
Presión de contacpsi
to
Temperatura del
°F
refrigerante
Coeficiente de
Btu/h-Ft2-°F
película
1*
i.*
C PROGRAMA PARA EL CALCULO CE LA CONDUCTANCIA EN EL HUELGO
uI.'íLMblCi. vi<21) » H ¿ A ( 2 1 )
Ó*
íurtGER C A S O
H*
KEAL KK»L
5*
50 KEAütbr40»EUD=9ü) CASü
o*
i. ~ í + 1
7*
K E M Ü ( b t b O ) b ( I ) » F C i P S » T S ' U C » üIV tOEM>AL'RC >R V'CV »CU f F > FUEc P R F r T W r H C
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y*
LATA TR r Pk » AGF rVM» P » AV »G¿FR »GIK» Alr A2 »B1»B2 r C1» C2 r DI»P2 »CC1fCQ2 »CC
10*
1 O » C F 1 » C F ¿ » C F 3 » P I / 6 C . > 14 . 7 , c . "5 t C .7911 f 0 * 0236 r 602E21.»18E -71 20?E-7r 2 .
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13*
K/\-( J I V / Ü C ) * * 2 - l .
14*
ib*
ib*
17*
VÜ=(üiV+UC)*((üIV-DC)/¿.+1.2*(RC+RV))*Pl*AL/2.
v<C=Pl*DC**2*AL/if.
uPi_=0»0T'*VC
HVÜ=Vb/(vb+\/PL)
l'J*
¿=AV*t<A/(v,-i*F*A6F*7t££ü*Q( I)*RV0)
J.9*
A=¿/(1.+2)
¿1*
¿/¿*
1U
I'^-ZÍ+I
TR-uo.
¿6*
¿7*
¿d*
29*
iF(TtVl.LT.TEV2) T£\Z
lF(TEvl.GT.TEV2) lf.M-lii.M2
T:,/--TLV+FC*DEV*AL06(DEV/0l\/)/(2.*CV)
TSP=TIV+KC*DEV/(DIV*HGAP)
i5PC-C.55bü*(TSP-J2o)
34*
35*
36*
37*
38*
39*
40*
41*
42*
43*
44*
45*
46*
47*
49*
50*
51*
52*
53*
54*
b5*
56*
57*
5d*
59*
oO-*
61*
o2*
63*
64*
D5*
06*
t>7*
66*
o9*
70*
TCPC=0.55bb*(TCP-52.)
TC=(TlV+TtV)/2.
ÍC=ü.b556*(TC-32.)
lF=(TCP+TSP)/2.
TF=Ü.b556*(TF-32.)
TM=(T5P+TIV)/2.
Cl = O.O8í*a+911E-7*TM
TMC=ü.5556*(TM-32.>
¡M=THC+273.
.CGr=2419fc>tí*TM**O.B6
iF(X.LT.Ü.24a) GO TO 2
A=H2
b=ü¿
L=C¿
oü T3 3
¿ M=A1
D = iJl
ú=Cl
b=Ji
3 CM=iÜ.**ÍA*X+D)*T|v|+*(a+C*X)
t_<TC=üFl + CF2*TF+CF3*TF**2
LXTV=CC1 + CC2*TC+CC,:Í*TC**2
VüV=(PI*AL*(DIV*EXTV+UIV)**2)/4,-(PI*AL*ÍDC*EXTC+DC)**2)/4.
TM=1.6*TM
IK=
P2=
bI=GlK*PF<*TM/<P2*TR)
ATFT=MGF*7£20*ü(I)*\/C*F/(VG+VPL)
P4=ATFT*H*TM/AV
ÜGF=:>GFR*PK*TM/(P4'*TR)
O=((36F-GI)*C^+(CGF*GI-CI*66F))/(CGF-Cl
A0=ü»0905
ri--'J¿i.x5E3
•
l\M-2.*Cl.i*C\//(CU+CV)
bR-SJKT((KC**2+RV**2)/2.)
L=ü.00069
,
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o
,
71*
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74*
75*
7o*
7 7*
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hGA£.= ( 6 . 9 7 95E:-9)*( (TSP+459. ) * * 4 - < T í V + 4 1 9 . ) * * 4 ) / ( T S p - T I V )
L=1_.7b-0.üüül7ü*PHL'
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i F C l Y ' l C K . L t . C . 0 0 0 0 4 1 ) 60 TO 7
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^
•( H M H H H H H H H - I H
H
APÉNDICE
LISTA DE VARIABLES
HGA(I), HGAP ...
Q(I)
CASO
TR
PR
AGF
VM
R
AV
GGFR
GIR
Conductancia en el huelgo.
Quemado.
Número del caso .
Temperatura de referencia.
Presión de referencia.
Átomos de gas producidos por fisión .
Volumen molar.
Constante universal de los gases.
Número de Avogadro.
Distancia de extrapolación de temperaturas de referencia para los gases de fisión
Distancia de extrapolación de temperaturas de referencia para el helio.
FC
Flujo calorífico.
PS
TS
Presión del refrigerante .
Temperatura de saturación.
DC
DIV
Diámetro de la pastilla de UO .
Diámetro interior de la vaina.
DEV
AL
RC
Diámetro exterior de la vaina.
Longitud activa.
Rugosidad del combustible.
RV
Rugosidad de la vaina.
CV
Conductividad de la vaina de Circaloy.
CU
F
KOPT
Conductividad del combustible UO .
Fracción de los gases de fisión liberados.
Número entero opcional para la conductancia por contacto.
A2~' B2* C2* D2 )
Constantes
Para
la
mezcla gaseosa.
CC1, CC2, CC3 ..
Constantes para el Circaloy.
CF1, CF2, CF3 ..
PI
Constantes para el U0 2 .
Constante pi.
RA
Razón de las secciones transversales
del huelgo y el combustible en frío.
VG
Volumen del huelgo.
VC
VPL
Volumen del combust ible.
Volumen del plenum.
RV'O
Razón del volumen del huelgo al volumen
del huelgo más el del plenum en frío.
Z
Relación entre los átomos de gas de llenado y los átomos de gases de fisión.
x
Fracción molar del gas de llenado inicial.
M
Numero de iteración.
TEV1
Temperatura exterior de la vaina por
Jens-Lottes.
TEV2
Temperatura exterior de la vaina por
Newton.
TEVC
Temperatura exterior de la vaina.
TIV, TIVC
Temperatura interior de la vaina.
TSP, TSPC
Temperatura en la superficie de la pastilla.
TCP, TCPC
Temperatura en el centro de la pastilla.
TC
Temperatura media en la vaina.
TF
Temperatura media en la pastilla.
TM, TMC
Temperatura media en el huelgo.
CI
Conductividad térmica del helio.
CGF
Conductividad térmica de los gases de
fis ion.
CM
Conductividad térmica de la mezcla gaseosa.
VGV
Variación por dilatación del volumen
del huelgo.
P2
Presión corregida para el helio.
GI
Distancia de extrapolación de temperaturas corregida para el helio.
ATFT
Número total de átomos de gas/Volumen
del huelgo + Volumen del plenum.
P4-
Presión corregida para los gases de
fisión .
_ 4-5 -
GGF
Distancia de extrapolación de temperaturas corregida para los gases de fisión.
G
Distancia de extrapolación de temperaturas
para la mezcla gaseosa.
THICK
Espesor del huelgo.
C
Constante adimensional relacionada con la
presión de contacto.
AO
Constante empírica.
H
Dureza Meyer.
KM
Media armónica de las conductividades.
SR
Media cuadrática de las rugosidades.
L
Paso de irregularidades de la superficie .
HGA1
Coeficiente de transmisión a través de
la mezcla gaseosa.
HGA2
Coeficiente de transmisión por radiación.
HGA3
Coeficiente de transmisión a través de
los puntos de contacto.
EXTV
Dilataciones de la vaina.
EXTC
Dilataciones del combustible.
J.E.N. 309
J.E.N. 309
Jjnta de Energía Nuclear, División de Teoría y Cálculo de Reactores, Madrid*
" P r o g r a m a I-IGAP en F o r t r a n IV, p a r a e l c á l c u l o
de l a c o n d u c t a n c i a en e l huelgo e n t r e p a s t i l l a y v a i na, en b a r r a s de c o m b u s t i b l e UO^ - C i r c a l o y " .
GONZÁLEZ OLIVEROS, F . (1975) 45 pp. 3 f i g s . 14 r e f s .
Junta de Energía Nuclear, División de Teoría y Cálculo de Reactores, Madrid.
' • ' P r o g r a m a HGAP en F o r t r a n IV, p a r a e l c á l c u l o
de l a c o n d u c t a n c i a en e l huelgo e n t r e p a s t i l l a y v a i n a , en b a r r a s de c o m b u s t i b l e UO2 - C i r c a l o y " .
GONZÁLEZ OLIVEROS, F . (1975) 45 pp. 3 f i g s . 14 r e f s .
Emplea básicamente el modelo Ross-Stouto para calcular l a conductancia en el
huelgo. La transmisión de calor a través de los puntos de contacto se puede estudiar mediante las expresiones de Ross-Stoute y l a de Rapier-Jones-Mclniosh.
Los resultados se puede representar gráficamente mediante el Trazador Calcomp
de l a J.E.N.
Emplea básicamente el modelo Ross-Stoute para calcular l a conductancia en el
huelgo. La transmisión de calor a través de los puntos de contacto se puede estudiar mediante las expresiones de Ross-Stoute y l a de Rapier-Jones-McIritosh.
Los resultados se puede representar gráficamente mediante el Trazador Calcomp
de l a J . E J .
CLASIFICACIÓN INIS Y DESCRIPTORES.- E-23; F Codes;Fuel Rods; Fuel-Cladding
Interactions; A Hoy Nuclear Fuels; Heat Transfer.
CLASIFICACIÓN INIS Y DESCRIPTORES.- E-23; F Codes; Fue! Rods; Fuel-Cladding
Interactions; Alloy Nuclear Fuels; Heat Transfer.
J.E.N. 309
J.E.N. 309
Junta de Energía Nuclear, División de Teoría y Cálculo de Reactores, Madrid.
"Programa HGAP en Fortran IV, para el cálculo
de la conductancia en el huelgo entre pastilla y vaina, en barras de combustible UO2 - Circaloy".
GONZÁLEZ OLIVEROS, F. (1975) 45 pp. 3 f i g s . 14 r e f s .
Junta de Energía Nuclear, División de Teoría y Cálculo de Reactores, Madrid.
"Programa I-IGAP en Fortran IV, para el cálculo
de la conductancia en el huelgo entre pastilla y vaina, en barras de combustible UO2 - Circaloy".
GONZÁLEZ OLIVEROS, F. (1975) 45 pp. 3 f i g s . 14 r e f s .
Emplea básicamente el modelo Ross-Stoute para calcular l a conductancia en el
huelgo. La transmisión de calor a través de los puntos de contacto se puede estudiar mediante las expresiones de Ross-Stoute y l a de Rapier-Jones-Mclntosh.
Los resultados se puede representar gráficamente mediante el Trazador Calcomp
de l a J.E.N.
Emplea básicamente el modelo Ross-Stoute para calcular l a conductancia en el
huelgo. La transmisión de calor a través de los puntos de contacto se puede estudiar mediante las expresiones de Ross-Stoute y l a de Rapier-Jones-Mclntosh.
Los resultados se puede representar gráficamente mediante el Trazador Calcomp
de l a J.E.N.
CLASIFICACIÓN INIS Y DESCRIPTORES.-E-23; F Codes; Fu al Rods; Fuel-Cladding
CLASIFICACIÓN INIS Y DESCRIPTORES.- E-23; F Codss; Fuel Rods; Fuel-Cladding
Interactions; Alloy Nuclear Fuels; Haat Transfer.
Interactions; Alloy Nuclear Fuels; Heat Transfer.
J-E.N. 309
Junta de Energía Nuclear, División de Teoría y Cálculo de Reactores, Madrid
"Program HGAPwritten in Fortran IV, for the
calculation of the conductance in the gap. between
pellet and ciad, in UO2 - Zircaloy niel rods, "
GONZÁLEZ OLIVEROS, F . (1975) 45 pp. 3 Figs. 1 4 r e f s .
This code.uses the Ross-Stoute model f o r the calculation of the conductance
in the gap. The heat transfer across the clad-pellet contact points may be
studied by means of the expressions of Ross-Stoute and Rapier-vIones-McIntosh.
The results may be reprosented graphically by moans of the Calcomp Plotter of
J.E.N.
iNIS*CLASiFICATION AND DESCRIPTORS,- E-23; F Codes; Fual Rods; Fuel-Cladding
interactions; Alloy Nuclear Fuels; Heat Transfer.
J . E . N . 309
Junta de Energía Nuclear, División de Teoría y Cálculo de Reactores, Hadrid.
" P r o g r a m HGAP w r i t t e n . i n F o r t r a n IV, for t h e
c a l c u l a t i o n of t h e c o n d u c t a n c e in t h e g a p between
p e l l e t and c i a d , in UO2 - Z i r c a l o y fuel r o d s . "
GONZÁLEZ OLIVEROS, F . (1975) 45 pp. 3 f i g s . 14 r e f s .
J.E.N. 309
Junta de Energía Nuclear, División de Teoría y Cálculo de Reactores, Hadrid.
• " P r o g r a m HGAP w r i t t e n in F o r t r a n IV, for t h e
c a l c u l a t i o n of the c o n d u c t a n c e in t h e gap between
p e l l e t a n d c i a d , in UO;? •- Z i r c a l o y fuel r o d s . "
GONZÁLEZ OLIVEROS, F . (1975) 45 pp. 3 Figs. 14 r e f s .
This code uses the Ross-Stoute model f o r the calculation of the conductance
in the gap..' The heat transfer across the clad-pellet contact points may be
studied byraeansof the expressions of Ross-Stoute and Rapier-Jones-Hclntosh.
The results may be represented graphically by means of the Calcomp Plotter of
J.E.N.
INIS CLASIFICATION AND DESCRIPTORS.- E-23; F Codes; Fuel Rods; Fuel-Classing
Interactions; Alloy Nuclear Fuels; Heat Transfer.
J...E.N. 309
Junta de Energía Nuclear, División de Teoría y Cálculo de Reactores, Hadrid.
"Prograna HGAP written in Fortran IV, for the
calculation of the conductance in the gap between
pellet and ciad, in UO2 - Zircaloy fuel rods. "
GONZÁLEZ OLIVEROS, F . (1975) 45 pp.- 3 f i g s . 14 r e f s .
This code uses the Ross-Stoute model f o r the calculation of the conductance
in the gap . The heat transfer across the clad-pellet contact points may be
studied by means óf the expressions of Ross-Stoute and Rapier-Jones-Mclntosh.
The results may be represented graphically by means of the Calcomp Plotter of
J.E.N.
This code uses the Ross-Stoute model f o r the calculation of the conductance
in the gap . The heat transfer across the clad-pellet contact points may be
studied by means óf the expressions o f Ross-Stoute and Rapier-Jones-Hclntosh.
The results may be represented graphically by means of the Calcomp Plotter of
J.E.N.
INIS CLASIFICATION AND DESCRIPTORES.- E-23; F Codes; Fuel Rods; Fuel-cladding
.INIS CLASIFICATION AND DESCRIPTORES-- E-23; F. Codes; Fuel Rods; Fuel-cladding
Interactions; Alloy Nuclear Fuels; Heat Transfer.
Interactions; Al]oy Nuclear Fuels; Heat Transfer.