4 - OEI

SOLUCION AL PROBLEMA 4 DE LAS 2nd OLIMPIADAS BENELUX AMSTERDAM.
4 PROBLEMA PROPUESTO EN LAS OLIMPIADAS BENELUX AMSTERDAM
NOMBRE: ANDRES ZORRILLA VACA GRADO: 9° (bachillerato) Nivel Medio
PAIS: COLOMBIA CIUDAD: CALI
COLEGIO: Colegio Lacordaire
SOLUCIÓN.// (1,1,2,1) ; (1,2,3,2) y (2,1,3,2)
Primero factorizamos el lado izquierdo de la igualdad teniendo de esta forma:
luego, se tendría:
𝑎3 + 𝑏 3 = (𝑎 + 𝑏)(𝑎2 − 𝑎𝑏 + 𝑏 2 )
𝑛
�(𝑎 + 𝑏)(𝑎2 − 𝑎𝑏 + 𝑏 2 ) = 𝑝
Descomponiendo el radical, se tiene:
𝑛
𝑛
�(𝑎 + 𝑏) × �(𝑎2 − 𝑎𝑏 + 𝑏 2 ) = 𝑝
Siendo “p” un numero primo cualquiera, y de acuerdo a la ecuación anterior entonces
concluimos,( por la definición de primo: es un numero primo aquel que tiene como divisores
únicamente al uno y el mismo) que:
A) Uno de los dos factores (a+b) ó (a2-ab+b2) tiene que ser uno (1), ya que el numero
primo “p” debe ser divisible por uno o por el mismo. Luego si (a+b) es uno(1) entonces
una de las variables ya sea “a” o “b” tendría que ser cero o un numero negativo pero
de acuerdo a la información del enunciado estas variables deben ser únicamente
números enteros positivos, es decir, mayores que cero (0); solamente nos resta
evaluar cuando (a2-ab+b2) es igual a “uno” y razonando obtenemos de que:
(𝑎2 − 𝑎𝑏 + 𝑏 2 ) = 1
− 𝑎𝑏 + 𝑏 2 ) − 𝑎𝑏 = 1 − 𝑎𝑏
𝑎2 − 2𝑎𝑏 + 𝑏 2 = 1 − 𝑎𝑏
, por conveniencia agrego “-ab” a ambos lados de la ecuación para factorizarlo como un
cuadrado perfecto:
(𝑎 − 𝑏)2 = 1 − 𝑎𝑏
, razonamos de que el producto (ab) debe de ser menor o igual a “uno”, ya que todo numero
elevado al cuadrado es “positivo”; entonces:
0<ab≤1; y la única solución acondicionada y coherente es cuando a=b=1.
(𝑎2
Tenemos entonces ya una primera cuaterna: (1,1,2,1)
Prueba: 13+13=21
1+1=2
2=2
1*
B) Ó de que los dos factores sean iguales. En este caso, continuamos (factorizando):
(𝑎 + 𝑏) = (𝑎2 − 𝑎𝑏 + 𝑏 2 )
𝑎 − 𝑎2 = 𝑏 2 − 𝑎𝑏 − 𝑏
𝑎(1 − 𝑎) = 𝑏 2 − 𝑏(𝑎 + 1)
,ya factorizado procedemos a pasar a restar a ambos lados “a(1-a)”
0 = 𝑏 2 − 𝑏(𝑎 + 1) − 𝑎(1 − 𝑎)
Teniendo de esta forma un polinomio de grado 2, cuyos coeficientes son: (1; -(a+1);
-a(1-a))respectivamente (a1,b1,c1); que se puede resolver (resolver las raíces) mediante
la ecuación cuadrática, teniendo:
, reemplazando obtenemos:
−𝑏1 ± �𝑏12 − 4𝑎1 𝑐1
2𝑎1
(𝑎 + 1) ± �(𝑎 + 1)2 − [4(1) ∗ −𝑎(1 − 𝑎)]
2(1)
Evaluando la expresión “-a(1-a)”, en este caso a≥1 (de acuerdo al enunciado del
problema) y lógicamente podríamos expresarlo por “a(1-a)” positivo, ya que ( –) × (−) =
(+). Entonces transformada la ecuación cuadrática con los argumentos anteriores nos
quedaría:
𝑏=
(𝑎 + 1) ± �(𝑎 + 1)2 − 4𝑎(1 − 𝑎)
2
, en este caso, como “b” es un numero entero positivo(por el enunciado) entonces la
discriminante debe de ser un numero positivo cuadrado perfecto, es decir mayor que
cero, por lo tanto(razonando):
𝑏=
Si |-4a(1-a)|≥|(a+1)2|∀ {a|a є Z+ Λ a<2 ó a>2} , entonces no existe un numero “b”
dentro del conjunto de los enteros positivos.
Si |-4a(1-a)|<|(a+1)2| ∀{a|a є Z+ Λ a=2}, entonces si existe un numero “b” dentro de
los números enteros positivos; ya que resolviendo la desigualdad tenemos de que la
única solución para los valores de “a” es que sea igual a dos(2):
Prueba:
|-4(2)(1-2)|<(2+1)2
|8|<32
8<9, ya esta demostrado; ahora procedemos a resolver la ecuación cuadrática
sabiendo de que “a” obligatoriamente debe de ser igual a dos(2) para una solución de
“b” dentro del conjunto de los enteros positivos:
𝑏=
(2 + 1) ± �(2 + 1)2 − 4(2)(1 − 2)
2
𝑏=
4
2
𝑏= =2
3 ± √9 − 8
2
𝑏=
3±√1
2
ó
2
2
𝑏= =1
Resolviéndolo podemos observar de que “b” puede tener dos valores, dos(2) [que no
se puede tener en cuenta como componente de una nueva cuaterna ya que el “p” no
sería primo]*; ó uno(1)**.
*no se debe tener en cuenta como cuaterna por que:
23+23=16=42, por tanto “4” no es un numero primo(es un numero compuesto).
**Entonces trasladando los valores anteriores para la cuaterna (2,1,3,n),[ en donde
“n” no lo conocemos](falta hallarlo) tenemos:
2 3 + 1 3 = 3𝑛
9 = 3𝑛
Ahora despejo “n”:
𝑛 = log 3 9
𝑛=2
Teniendo de esta forma las dos ultimas formas de cuaterna, (hay que probarlas):
2*
(2,1,3,2)
(1,2,3,2)
3*
PRUEBAS DE LAS TRES CUATERNAS DICHAS ANTERIORMENTE:
1* (1,1,2,1)
13+13=21
1+1=2
2=2
2* (2,1,3,2)
3*
23+13=32
8+1=9
9=9
13+23=32
1+8=9
9=9