probabilidad clásica

Recuerden que:
Para obtener la probabilidad clásica de un evento no se requiere de
la realización de experimentos, como en la probabilidad frecuencial,
sino de conocer dos datos:
• El número de todos los resultados posibles que se pueden dar en
una situación de azar.
• El número de resultados favorables de un evento de esa situación.
Se llama probabilidad clásica de un evento al número P(e) que se
obtiene por medio del cociente:
P(e) =
Número de resultados favorables del evento
Número total de resultados posibles
A
Evento mutuamente excluyente:
Son aquellos eventos en los que se cumple la característica de que NO
pueden suceder al mismo tiempo.
1. Eventos mutuamente excluyentes
Dos o más eventos son mutuamente excluyentes o disjuntos, si no pueden ocurrir
simultáneamente. Es decir, la ocurrencia de un evento impide automáticamente la
ocurrencia del otro evento (o eventos).
A^B=Vacio
Ejemplo:
Al lanzar una moneda solo puede ocurrir que salga cara o sello pero no los dos a la vez,
esto quiere decir que estos eventos son excluyentes.
2. Eventos independientes
Sea A y B eventos eventos independientes, esto quiere decir que para que ocurra A no
depende si ocurre o no el evento B.
Sabemos:
P(A/B)=P(A^B)/P(B) , entonces si A y B son independientes entonces P(A^B)=P(A).P(B)
Mutuamente excluyentes
1 si se tira un dado calcular la probabilidad de:
A caen 3 puntos o menos o
B caen 5 puntos o mas
Como son Mutuamente excluyentes AnB=0
P(AoB)=P(a)+P(B)
=P(salen 3 o menos)+P(salen 5 o mas)
=3/6 + 2/6
=5/6
2 se tiene una urna con 50 papeles de colores 15 rojos, 5 morados, 9 verdes, 11 naranjas y
10 azules.
Cual es la probabilidad de:
A sale un papel azul o
B sale un papel rojo
P(AoB)=P(AuB)=P(A)+P(B)
=P(sale un azul)+P(sale 1 rojo)
=10/50 + 15/50
=25/50
=1/2
Eventos independientes
1 En la urna A tenemos 7 bolas blancas y13 negros y en la urna B 12 blancas y 8 negras.
Cual es la probabilidad de que se extraiga una bola blanca de cada una
P(AyB)=P(A)*P(B)
=7/20 * 12/20
=84/400
=81/100
2 en una baraja de 52 cartas se toma una carta al azar luego se regresa y se toma otra.
Cual es la probabilidad de A la primera sea de diamantes, y B la segunda sea de tréboles.
P(AyB)=P(A) * P(B)
=13/52 * 13/52
=169/2704
Probabilidad Condicional
Un lote de 27 artículos, tiene 11 defectuosos. Se toma al azar 5 artículos del lote, uno tras
otro. Hallar la probabilidad de que sean buenos.
p= 16/27 * 15/26 * 14/25 *13/24 * 12/23 = 52416/968760
Se lanza una moneda cargada, de modo que la probabilidad de que salga cara es de 2/3 y
que salga sello es 1/3.
Si sale cara se escoge al azar un número del 1 al 9; si sale sello se escoge al azar un número
del 1 al 5.
Hallar la probabilidad de que se escoja un número par.
P=2/3 * 4/9 + 1/3 * 2/5
= 8/27 + 2/15
=58/135
Teorema de Bayes
El 20% de los empleados de una empresa son ingenieros y otro 20% son economistas. El
75% de los ingenieros ocupan un puesto directivo y el 50% de los economistas también,
mientras que los no ingenieros y los no economistas solamente el 20% ocupa un puesto
directivo. ¿Cuál es
Eventos Independientes
Dos o más eventos son independientes cuando la ocurrencia o noocurrencia de un evento no tiene efecto sobre la probabilidad de
ocurrencia del otro evento (o eventos). Un caso típico de eventos
independiente es el muestreo con reposición, es decir, una vez tomada
la muestra se regresa de nuevo a la población donde se obtuvo.
Ejemplo:
lanzar al aire dos veces una moneda son eventos independientes por
que el resultado del primer evento no afecta sobre las probabilidades
efectivas de que ocurra cara o sello, en el segundo lanzamiento.
Eventos dependientes
Dos o más eventos serán dependientes cuando la ocurrencia o noocurrencia de uno de ellos afecta la probabilidad de ocurrencia del otro
(o otros). Cuando tenemos este caso, empleamos entonces, el concepto
de probabilidad condicional para denominar la probabilidad del evento
relacionado. La expresión P(A|B) indica la probabilidad de ocurrencia
del evento A sí el evento B ya ocurrió.
Se debe tener claro que A|B no es una fracción.
P(A|B) = P(A y B)/P(B) o P(B|A) = P(A y B)/P(A)
Ejercicios
1.-yo tengo una canasta llena de peras y manzanas, de las cuales hay 20
peras y 10 manzanas. ¿Qué fruta es más probable que saque al azar de la
canasta?
Para este ejemplo tenemos que 30 es el total de frutas en la canasta; es decir
los casos posibles. Para calcular la probabilidad de sacar una manzana mis
casos favorables son 10 puesto que existen sólo 10 manzanas. Así,
aplicando la fórmula obtenemos que:
P(Manzana)=10/30=1/3= 33.3% probable
Calculando igual, la probabilidad de sacar pera es:
P(Pera)=20/30=2/3= 66.7% probable
Como 66.7 es mayor que 33.3 es más probable que saque una pera, pues hay
más peras que manzanas en la canasta.
2.- En 15 minutos podemos determinar como máximo si cuatro donantes son
del tipo requerido, ya que en el peor de los casos si los 4 primeros no son
del tipo adecuado ya no nos daría tiempo a la transfusión, (ya que 5 pruebas
* 3 minutos = 15 minutos) asi que tenemos que deternimar la probabilidad
que como máximo el cuarto donante sea del tipo buscado, para esto
necesitamos la distribución geometrica,
P(X=x) = p*(1-p)^(x-1)
donde
p=0.20 (20%)
y debemos calcular
P(X<=4) =
P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) + P(X=4)
P(X=1) = 0.2*(1-0.2)^(1-1) = 0.2
P(X=2) = 0.2*(1-0.2)^(2-1) = 0.16
P(X=3) = 0.2*(1-0.2)^(3-1) = 0.128
P(X=4) = 0.2*(1-0.2)^(4-1) = 0.1024
Y sumando las probabilidades
P(X<=4) = 0.5904
Que tambien se puede calcular directamente sabiendo que
P(X<=x) = 1-(1-p)^x
P(X<=4) = 1-(1-0.2)^4 = 0.5904 como anteriormente.
Por lo tanto la probabilidad que sobreviva es de 0.5904 (59.04%)
3.-.
en una baraja de 52 cartas se toma una carta al azar luego se regresa y se
toma otra.
Cual es la probabilidad de A la primera sea de diamantes, y B la segunda sea
de tréboles.
P(AyB)=P(A) * P(B)
=13/52 * 13/52
=169/2704
4.-.
se tiene una urna con 50 papeles de colores 15 rojos, 5 morados, 9 verdes,
11 naranjas y 10 azules.
Cual es la probabilidad de:
A sale un papel azul o
B sale un papel rojo
P(AoB)=P(AuB)=P(A)+P(B)
=P(sale un azul)+P(sale 1 rojo)
=10/50 + 15/50
=25/50
=1/2
5-.
En la urna A tenemos 7 bolas blancas y 13 negros y en la urna B 12 blancas
y 8 negras.
Cual es la probabilidad de que se extraiga una bola blanca de cada una
P(AyB)=P(A)*P(B)
=7/20 * 12/20
=84/400
=81/100
6.- si se tira un dado calcular la probabilidad de:
A caen 3 puntos o menos o
B caen 5 puntos o mas
Como son Mutuamente excluyentes AnB=0
P(AoB)=P(a)+P(B)
=P(salen 3 o menos)+P(salen 5 o mas)
=3/6 + 2/6
=5/6
7.-.
Un lote de 27 artículos, tiene 11 defectuosos. Se toma al azar 5 artículos
del lote, uno tras otro. Hallar la probabilidad de que sean buenos.
p= 16/27 * 15/26 * 14/25 * 13/24 * 12/23 = 52416/968760
Se lanza una moneda cargada, de modo que la probabilidad de que salga
cara es de 2/3 y que salga sello es 1/3.
Si sale cara se escoge al azar un número del 1 al 9; si sale sello se escoge al
azar un número del 1 al 5.
Hallar la probabilidad de que se escoja un número par.
P=2/3 * 4/9 + 1/3 * 2/5
= 8/27 + 2/15
=58/135
8.-.
Una caja contiene 4 canicas rojas, 3 canicas verdes y 2 canicas azules.
Una canica es eliminada de la caja y luego reemplazada. Otra canica se saca
de la caja. Cuál es la probabilidad de que la primera canica sea azul y la
segunda canica sea verde?
Ya que la primera canica es reemplazada, el tamaño del espacio muestral (9)
no cambia de la primera sacada a la segunda así los eventos son
independientes.
P(azul luego verde) = P(azul) · P(verde)
Existe un 30% de posiblidad de sacar una canica roja.
9-.
Considere los sucesos A y B. Supóngase que P(A)= 0,4 ; P(B)= p yP(AUB)=
0,7 . ¿Para que valor de p, los eventos A y B son mutuamente excluyentes?
¿Para que valor de p, los eventos A y B son independientes?
Para que los sucesos A y B sean mutuamente excluyentes entonces P(A⋂B)
=0
P(A⋃B) = P(A) + P(B) - P(A⋂B) ..... probabilidad de la unión.
Sustituyendo los valores tenemos:
0.7 = 0.4 + P - 0 ⇨ P = 0.3
Para que los sucesos A y B sean mutuamente excluyentes P = 0.3.
Para que los sucesos Ay B sean independientes entonces P(A⋂B) = P(A)P(B)
P(A⋂B) = P(A)P(B) ..... condición de eventos independientes.
Sustituyendo los valores tenemos:
P(A⋂B) = 0.4*P ⇨ P = P(A⋂B) / 0.4
La relación anterior se cumple con la única condición que P(A⋂B) ≠ 0 (no
excluyentes).
Para que los sucesos A y B sean independientes P = P(A⋂B) / 0.4 con
P(A⋂B)
10.- Si haya una probabilidad del 10% de que Júpiter se alineará con Marte, y
una probabilidad del 50% de que su tirada de una moneda saldrá águilas,
entonces ¿qué es la probabilidad de que Júpiter se alineará con Marte y su
tirada de la moneda saldrá águilas (suponiendo que Júpiter no tenga ningún
efecto en el resultado de su tirada)?
Aquí,
J: Júpiter se alineará con Marte
A: Su tirada saldrá águilas
Pues Júpiter no tiene ningún efecto en su tirada de la moneda, tomamos
estes sucesos como independientes, y así la probabilidad de que ambos
sucesos ocurrirán es
P(J ∩ A) = P(J)P(A) = (.10)(.50) = .05.
11. Supongase que en una caja cerrada se tienen 3 canicas rojas, 3 canicas
azules y 4 canicas verdes. Se saca una sola canica ¿cual es la posibilidad de
sacar una canica roja?
Canicas rojas: 3
Canicas azules: 3
Canicas verdes: 4
Total de canicas: 3 + 3 + 4 = 10
P (x) = 3 / ( 3 + 3 + 4) = 3/10 = 0,3 = 30%