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Guía de Estudio
Algebra y Trigonometría
Guía de Estudio
Algebra y Trigonometría
Para Ciencias Agropecuarias
Unidad: Geometría Analítica
Los siguientes ejercicios están relacionados con los principales temas de
Geometría Analítica e involucra todos los conocimientos que el estudiante debe
considerar para desarrollar la prueba sin mayores inconvenientes.
I.
Ecuación de la recta
1. Hallar la ecuación de la recta que satisfaga las condiciones:
1
a) Pasa por los puntos (2 , −5) y (-1,7)
b) Pasa por el punto (−√3, 5) y es paralela a la recta 2x-3y= -7
1
c) Pasa por el punto (4,-7) y es perpendicular a la recta 2y-7x=-6
d) Pasa por el punto de intersección de las rectas L1: 3y-x+2=0 y L2:y+5x+7=0
y tiene una pendiente m=-5
3
2. Tres vértices de un rectángulo son los puntos (-2,-1), (2 , 3) y (3,1).Hallar el
cuarto vértice y el perímetro del rectángulo.
3. La ordenada de un punto es 5 y su distancia al punto (2,3) es √11 . Hallar la
abscisa del punto. (Comprobar si es la única solución)
4. Uno de los extremos de un segmento rectilíneo de longitud 6 es el punto (-4,1).
Si la abscisa del otro extremo es 2. Hallar la ordenada del punto.
5. Los vértices de un triángulo son los puntos (2,-2), (-1,4) y (4,-5). Calcular la
pendiente de cada uno de los lados.
6. Encuentre la ecuación de las rectas que pasan por el punto C (1,1) y que están
a igual distancia de los puntos A (1,0) y B (1,1).
7. Hallar el valor de “k” para que la recta que la recta
𝑘𝑥
3
−
(𝑘−1)
2
𝑦 = 9 sea paralela a
la recta -2+3y=-5x
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8. Hallar el valor de “k” para que la recta
(𝑘+1)𝑥
3
− 𝑘𝑦 = 4 sea perpendicular a la
recta 8x-5y-2=0
9. Los puntos extremos de un segmento son P1 (2, 4) y P2 (8, −4). Halle el punto
P (x, y) que divide a este segmento en dos partes tales que P1P: PP2 =2.
10. Calcular el área del triángulo cuyos vértices son los puntos (-2,-1), (2,2) y (5, 2).
II. Circunferencia
1. Hallar la ecuación de la circunferencia que satisfaga las siguientes condiciones:
1
a) Radio 2√10 y centro (-4,− 3)
b) Pasa por el punto (-3,0), el radio tiene 3 unidades y la abscisa del centro es 1.
(Verificar si existe más de una solución)
c) Pasa por el punto (0,0), (4,0) y (0,4)
2. Encontrar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos P (2,2) y Q
(6,2) cuyo centro está sobre la recta 6x+5y-18=0.
3. Hallar la ecuación de la circunferencia tangente a la recta 4x+3y-25=0 y cuyo
centro es la intersección de las rectas 3x-y-7=0 y 2x+3y-1=0.
1
4. El centro de una circunferencia es (2,-5) y es tangente a la recta de ecuación 3yx+9=0. Hallar la ecuación de la circunferencia.
5. Encuentre el radio y el centro de la circunferencia cuya ecuación es
6. Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por A (-3; 3) y B (1; 4) y su
centro está sobre la recta 3x - 2y - 23 = 0.
7. Hallar el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de cuadrados de
distancias a los puntos A (-4; 0) y B (4; 0) es 40. Identifique y grafique la curva
resultante.
8. Determine la ecuación de la circunferencia de radio 5, con centro en el primer
cuadrante, y que pasa por los puntos A (3, 0) y B (0, 1).
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9. Encuentre el centro y el radio de la circunferencia cuya ecuación es 4𝑥 2 + 4𝑦 2 −
24𝑥 + 40𝑦 + 77 = 0
10. La ecuación de una circunferencia es 𝑥 2 + 𝑦 2 = 50. El punto medio de una
cuerda de esta circunferencia es M (−2, 4). Hallar la ecuación de la recta que
contiene a la cuerda.
III. Parábola
1. Graficar y encontrar vértice, foco, lado recto, eje de simetría y directriz de las
siguientes parábolas:
a) 2𝑥 2 + 24𝑦 + 12𝑥 − 10 = 0
b) 3𝑥 2 + 12𝑥 − 9𝑦 = 3
c) 𝑦 2 + 8𝑦 − 6𝑥 = 0
d) 3𝑦 2 + 36𝑦 + 18𝑥 − 36 = 0
2. Hallar la ecuación de la parábola con vértice en el origen y directriz de ecuación
y − 5 = 0.
3. Hallar la longitud de la cuerda que pasa por el foco de la parábola 𝑥 2 + 8𝑦 = 0
que es paralela a la recta 3x+4y-7=0.
4. Encuentra la ecuación de la parábola de vértice en la recta 7x+3y-4=0, eje
3
horizontal y que pasa por los puntos (3, –5) y (2 , 1).
5. Encuentre la ecuación de la parábola vertical, que se abre hacia abajo y cuyo
vértice es el centro de la circunferencia 𝑥 2 + 𝑦 2 − 14𝑦 + 40 = 0 tal que la distancia
del vértice a la directriz es de 6 unidades.
6. Determine la ecuación de la parábola con vértice V (−2, 5) y de foco F (−4, 5).
Además encuentre las coordenadas de los puntos extremos del lado recto y la
ecuación de la directriz.
7. Encuentre la intersección de la parábola 𝑦 − 𝑥 2 = 1 con la circunferencia
𝑥 2 + 𝑦 2 − 8𝑦 + 7 = 0. Graficar.
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8. El cable de suspensión de un puente colgante adquiere la forma de un arco de
parábola. Los pilares que lo soportan tienen una altura de 60m y están separados
a una distancia de 500m quedando el punto más bajo del cable a una altura de
10m sobre la calzada del puente y como eje y el de simetría de la parábola. Hallar
la ecuación de la parábola y la altura de un punto situado a 80m del centro del
puente.
9. El arco de una puerta de iglesia tiene forma de parábola. La altura del arco en el
punto medio es de 3 metros y el ancho en la base es de 8 metros. Se debe pasar
una caja rectangular deslizándose a través puerta. Si la caja tiene una altura de 2
metros ¿Cuál es el máximo ancho que puede tener la caja?
10. Encuentra la altura de un punto situado a una distancia de 8m del centro del
arco parabólico que tiene 18m de altura y 24m de base.
IV. Elipse
1. Graficar y encontrar centro, vértices, focos, lados rectos, eje mayor y eje menor
de las siguientes elipses:
a) 𝑦 2 + 4𝑥 2 − 3𝑦 = 12
b) 3𝑦 2 + 𝑥 2 − 24𝑦 + 2𝑥 = 1
c) 2(𝑦 − 3)2 + (𝑥 − 2)2 = 16
d) 4𝑦 2 + 9𝑥 2 = 36
2. Determinar la ecuación general de cada elipse de acuerdo a los elementos
dados:
a) Vértices A1 (5, 1), A2 (- 5, 1) y focos F1 (3; 1), F2 (-3, 1).
b) Vértices (6; 0) y A2 (-6; 0) y la longitud del lado recto es de
20
3
c) Focos a F1 (0, 8) y F2 (0,-8) y longitud del eje mayor es de 36.
1
d) Vértices (1, 1) y (7, 1) y su excentricidad es de 3
e) Focos (3, 8) y (3, 2) y longitud del eje menor es de 8.
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3. Encuentra la ecuación del lugar geométrico de los puntos cuya distancia al
punto (4, 0) es igual a la mitad de su distancia a la recta x – 16 = 0 e interpreta el
resultado.
4. Los focos de una elipse son los puntos F (2, 7) y F’ (2, 1) y la longitud de su eje
menor es 8. Encuentra la ecuación de la elipse, las coordenadas de sus vértices y
su excentricidad.
5. Calcular la excentricidad de una elipse en la que la distancia entre sus focos es
la mitad de la distancia entre sus directrices.
6. La excentricidad de una elipse es
1
3
, su centro es el origen y una de las
directrices tiene ecuación x = 16. Calcular la distancia desde el punto de la elipse
cuya abscisa es -4, al foco correspondiente a la directriz dada.
7. Encontrar la ecuación de la elipse que pasa por el punto P (-3, -2) y con vértices
V1 (5; 0) y V2 (-5, 0).
8. Un arco con forma de semielipse tiene una altura máxima de 45m y un claro de
150m. Encuentra la longitud de dos soportes verticales situados de manera que
dividan en claro en tres espacios iguales.
V. Hipérbola
1. Graficar y encontrar centro, vértices, focos, excentricidad, eje conjugado, eje
transverso y asíntotas de las siguientes hipérbolas:
a) 45𝑦 2 − 4𝑥 2 = 180
b) (𝑦 − 3)2 − (𝑥 − 1)2 − 16 = 0
c) 9𝑥 2 − 16𝑦 2 − 36𝑥 − 32𝑥 = 124
d) 3𝑥 2 − 𝑦 2 + 30𝑥 + 78 = 0
2. Encontrar la ecuación de la hipérbola tal que una de sus asíntotas es y = 3x y
tiene un vértice en V (12, 0).
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3. Encontrar la ecuación de la hipérbola cuyas asíntotas son: x − 2y + 1 = 0 y x +
2y − 3 = 0, y la distancia entre sus vértices es 2.
4. Calcular la excentricidad de una hipérbola en la que la distancia entre sus focos
es el doble de la distancia entre sus directrices.
5. Un punto P(x, y) se mueve de tal forma que el producto de las pendientes de las
dos rectas que unen P con dos puntos fijos A (1, −2) y B (5, 6) es constante e igual
a −2. Demuestre que dicho lugar geométrico es una elipse, indicando su centro.
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