2.6 Ejercicios

2.6 Ejercicios
67
Así, la relación entre las variables es,
√
d = 3.56 h
De esta manera, para h = 110 m se tiene una distancia al horizonte
√
d = 3.56 110 = 37.33 Km. ⊲
90. En el problema anterior, ¿cuál debe ser la altura del faro para ser
visible a 20 Km mar adentro?
⊳ Si entendemos por h la altura del faro que puede ser visto a una
distancia d = 20 Km, ocupando la fórmula del ejercicio 22, se tiene que
√
20 = 3.56 h
lo cual implica que
h=
µ
20
3.56
¶2
= 31.56 m
deberá de medir el faro. ⊲
2.6
Ejercicios
1. Efectuar las siguientes operaciones
a. 3(1 + x)
b. −5(−14)
d. 3 ÷ (20 ÷ 5)
c. −2(a − b)
e. (5 ÷ 3)(3 ÷ 2)
2. En la expresión
9 × 8 − 12 ÷ 3
coloca paréntesis para obtener,
a. 68
b. 20
c. −12
d. 36
3. Realiza los siguientes cálculos
¡ ¢
a. 21 + 34
b. 21 + −2
5
¡ ¢
¡ ¢
c. 12 + 34 + −2
d. 43 − 21 − −2
5
5
¡
¡
¢¢
¡ 2 1¢
3
1
3
f.
÷
g.
e. 34 21 + −2
5
4
2
4 ÷ −5 − 2
4. Realiza las operaciones.
a. − 13 −
4
5
b.
−1
3
+
2
7
¡ ¢¡ ¢
c. − 31 27
68
Aritmética elemental
d.
−4
5
¡2
7
+
1
3
¢
e.
−4
5
÷
2
7
f
1
3
÷
£ −4
5
÷
2
7
¤
5. Reescribe las siguientes operaciones como un sólo producto. No los
calcules.
a. 18 + (0.05)18
b. 27 − (0.1)27
c. 43 + 43(0.8)
6. De las siguientes igualdades determina si es incorrecta y escrı́bela correctamente.
a. (x − y)2 = x2 − y 2
c.
4
18
153
4
=
(3·6)
(3·5)3
=
b. (x + y)2 = x2 + y 2
4
6
53
Calcular el valor con los argumentos dados,
7. a = −1, b = 3, c = 2
8. a = 1, b = −3, c = −2
de las siguientes expresiones,
a. 2a − (3b + 2c)
b. 6a2 − 3bc
d.
(a2 +b2 )
a2 −b2
−
a+b
a−b
e.
c.
4a+b
c+3b
Utilice su calculadora para calcular x2 ,
argumentos dados.
a2
4
+
4c
3
−
b2
6
√
√
x, x3 , 3 x, x−1 y πx para los
9. x = 171
10. x = 1.71
11. Escriba, utilizando el sı́mbolo %, las siguientes cantidades.
a. 0.001 b.
4
5
c. 2.83 d. 28.3 e. 283 f. 4 de cada 7 g.
2
3
de 4
12. Escribir en forma decimal los siguientes porcentajes.
a. 41.3%
b. 0.01%
c. 15%
d. 200%
e. 11.15%
f. 3.75%
13. En México, la población masculina representa el 48% y una de cada
7 mujeres tiene el hábito de fumar. Supongamos que la población es de
100,000,000 de habitantes.
a. ¿Cuántas mujeres fumadoras hay?
b. ¿Qué porcentaje de la población representan las mujeres fumadoras?
14. La población de un cultivo de bacterias aumenta 10% en la primera
hora y disminuye el mismo porcentaje en la segunda hora. Si la población
original era de 5500,
a. Cálcule el número de bacterias después de dos horas.
2.6 Ejercicios
69
b. ¿Qué porcentaje representa de la población original?
15. Al analizar una pintura se encontró con un 55% de colorante y con un
45% de aglomerante. El colorante está compuesto de 20% del material A,
55% del material B y 25% del material C.
¿Cuál es el porcentaje de cada material en la pintura analizada?
16. Un material desintegra de tal forma que cada 100 años se consume
el 0.8% de la cantidad que queda por desintegrarse. Si en el año 2000 se
tienen 600 kg. de tal material,
a. ¿Qué cantidad se tendrá en 2101?
b. ¿Qué cantidad se tendrá en 2201?
c. ¿Qué cantidad se tendrá en 2501?
d. ¿Qué cantidad se tendrá en 2901?
Simplifica las siguientes expresiones.
17. a7 a−5
21. (t−2 )−5
25.
(5a2 )3
(2a)2
28.
(a5 b3 )3
(a4 b5 )3
1
2
18. x 2 x 3
22. (ab)4
26.
29.
19.
x6
x2
2
20. b 5 b
23. (2x2 y 3 )5
−1
3
24.
(5x3 )(4x4 )
2x6
(x+1)5 (x+1)4
(x+1)2
√
3
cc4
27. (3a−2 b2 )3 (a2 b)5
√
30. xx5/2
p
3
(y 2 + 1)2 (y 2 + 1)2
32. (2x2 y 3 z 4 )3 (3xy 2 z 2 )3
´2/3
³
2 3 2
y ) x4 y 3
27a6
33. (x
.
34.
5
3
6
9
(x y)
xy
b
31.
Exprese con potencias racionales.
p
√
p
√
3
36. ( 3 5a)7
37. x2 + a5
35. 3 (z 2 + 1)5
Simplifique las siguientes expresiones.
39. 93/2
40. (16)3/4
Exprese con radicales.
44. x5/3 a1/2
¡ ¢5/2
47. 3a
5b
41. 85/3
45. 2a3/2 − 5b6/5
42.
√
72
38.
43.
√
3
³q
3
2x
3y
´4
54
46. 3x3/5 + (3x)3/5
48. a−1/3 + b1/3
49. Podemos considerar que una gota de agua tiene forma cúbica cuya
arista mide aproximadamente 1mm = 1 × 10−3 m
a. Calcular el volumen de una gota.
70
Aritmética elemental
b. Calcular el número de gotas que caben en un tinaco de 1000 litros.
50. Escribe dos ventajas de la notación cientı́fica
51. Completa las igualdades siguiendo el ejemplo.
3.7 × 104 = 37000
a. 2 × 103
b. 1.2 × 106
c. 7.6 × 10−3
d. 4.7 × 10−5
52. ¿Cuál de los siguientes números es mayor?
x = 3 × 10−6 ,
y = 7 × 10−6
53. Ordena los siguientes números en forma creciente.
4 × 10−5 ,
2 × 10−2 ,
8 × 10−7 ,
3.2 × 10−3
54. Efectúa las operaciones que se indican.
a. (2 × 10−6 ) × (4.1 × 10−2 )
5
c. (2.3 × 10 ) × (4.5 × 10
−16
e. 2 × 1015 ÷ 8 × 10−11
)
b. (4.8 × 10−3 ) × (1.2 × 104 )
d. 1 × 104 ÷ 2 × 10−6
f. 4.9 × 10−3 ÷ 7 × 104
g. (3 × 104 )3
h. (2 × 10−5 )2
√
√
5
2
)× 4×10−6
j. (3×10 )×(1×10
i. 16 × 10−14
(5×104 )2
55. Realiza las operaciones que se indican.
a. 5.7 × 10−4 + 2.4 × 10−4
b. 6.4 × 105 − 8.3 × 105
56. Para sumar o restar dos números que están expresados en notación
cientı́fica y cuyos exponentes son distintos, ¿qué debe hacerse antes de
efectuar la operación?
57. Efectúa las operaciones que se indican.
a. 1.28 × 105 + 4 × 103
b. 7.54 × 108 − 3.7 × 107
58. a. Suponiendo que un protón tenga forma cúbica, cuya arista sea de
10−13 cm, calcule su volumen.
2.6 Ejercicios
71
b. Considerando que la masa de un protón es de 10−24 gramos, determina
su densidad (la densidad de un cuerpo se obtiene al dividir su masa entre
su volumen).
59. Al colocar con mucho cuidado sobre una superficie libre de un recipiente
con agua, una gota de aceite cuyo volumen es V = 6×10−2 cm3 , la misma se
dispersa y forma una capa muy fina cuya área es A = 2 × 104 cm2 . Calcula
el espesor de esta lámina de aceite.
60. De las siguientes igualdades, indica la que no es correcta.
a. 1 × 108 + 1 × 107 = 1015
b. 1 × 108 ÷ 1 × 104 = 1 × 104
c. 1 × 1015 + 1 × 1015 = 2 × 1015
d. 3.4 × 107 − 3 × 106 = 3.1 × 107
e. (1 × 108 ) × (1 × 107 ) = 1 × 1015
Simplifique las siguientes expresiones.
61. |23 + (−15)|
62. |15 + (−23)|
63. |23 − 15|
64. |23| + | − 15|
65. |23| − |15|
66. |23| − 15
67. |23 − 15| + |5 − 8|
68. | − 20 + 16| + | − 11 + 4|
¯ ¯
¯ ¯
¯ ¯
¯ 3 ¯
¯ 3 ¯
¯
71.
69. ¯ −3
70.
¯ −5 ¯
¯
¯
5
−5
¯ ¯
¯ 3 ¯
73. |18 × (−4)|
74. |18| × | − 4|
72. − ¯ −5
¯
75. Calcular x + |x|
Si a. x = 1 ,
b. x = 2 ,
76. Calcular ||x| − |y||,
cuando,
c. x = −1 ,
|x − y|,
|x + y|,
d. x = 2.
|x| + |y|,
|x| − |y|, para
a. x = 1, y = 2
b. x = −1, y = 2
c. x = −1, y = −2
d. x = 3, y = 3
e. x = 3, y = −3
77. Si V es directamente proporcional a m e inversamente al cuadrado de
t, calcular λ V = 2 cuando m = 15 y t = 6.
78. v es directamente proporcional a d2 . Si C = 80 cuando d = 12, Hallar
C cuando d = 15.
79. R es directamente proporcional a la cuarta potencia de T e inversamente a la raı́z cuadrada de N . Calcular λ si R = 13 cuando T = 2 y
N = 36.
72
Aritmética elemental
80. La variable M es directamente proporcional a d2 . Si M = 12 g cuando
d = 8 cm, calcular M cuando d = 12 cm.
81. La variable N es inversamente proporcional a d2 . Si N = 10.890
plantas por hectárea cuando las plantas distan d = 2 m, hallar N cuando
d = 5.5 m.
82. Si la variable v varı́a conjuntamente como la raı́z cuadrada de g y la
raı́z cuadrada de h. Si v = 14 m/seg cuando g = 9.8 m/seg 2 y h = 10 m,
hallar v cuando g = 9.81 m/seg y h = 2 m.
83. La variable V es directamente proporcional a r 4 y p e inversamente
proporcional a l. Si V = 120 cuando r = 0.012, p = 20 y l = 30, calcular
V cuando r = 0.015, p = 36 y l = 25.
84. La variable a es directamente proporcional a v 2 e inversamente proporcional a r. Si a = 540 cuando v = 84 y r = 5 , hallar a cuando v = 119
y r = 4.
85. Un matraz Erlenmeyer de 250 ml tiene una altura de 12.6 cm2 . Qué
altura deberá tener otro matraz de la misma forma para que su capacidad
sea 500 ml?
86. El análisis de una pintura muestra un 54% de pigmento y un 46% de
aglomerante. El pigmento está compuesto de 15% de la sustancia A, 60%
de la sustancia B, y 25% de la sustancia C. ¿Cuál es el porcentaje de cada
sustancia en la pintura?
87. Se recorta de un mapa el perfil de una finca y se encuentra que pesa
42.78 g. Una sección rectangular de 12.2 por 20.2 cm, del mismo mapa,
pesa 5.31 g. Si la escala del mapa es de 2.5 cm por 50 m, hallar el área de
la finca en metros cuadrados.
88. Para abastecer de agua a una ciudad de 50,000 habitantes se usa un
tubo de 62 cm de diámetro. Si se espera alcanzar una población de 120,000
individuos en un tiempo de 30 años, ¿qué diámetro debe tener la nueva
tuberı́a?
89. La potencia necesaria para impulsar una lancha es proporcional al
cubo de su velocidad. Si un motor de 5HP permite alcanzar una velocidad
de 16 km/h, ¿qué potencia se necesitará para conseguir una velocidad de
22 km/h?
90. Se compra un lote de sosa, que contiene 52% en peso de agua de
cristalización, a 17.5 centavos por libra. Cuando se vende al pormenor, se
encuentra que el contenido en agua a descendido a 37%. ¿Cuál debe ser el
precio de venta para obtener una ganancia de un 40%?