Estimación espectral clásica univariable

Capítulo 2
ESTIMACIÓN ESPECTRAL CLÁSICA
UNIVARIABLE
En este capítulo ([1], [3] y [5]) discutimos los métodos de estimación espectral
univariable más populares basados en el análisis de Fourier, los cuales no hacen
hipótesis sobre cómo se generaron los datos y, por lo tanto se denominan, no
paramétricos. Estos estimadores tan sólo presuponen las propiedades de estacionariedad
y ergodicidad al proceso estocástico x(n ) del cual proviene la realización x[n] utilizada
para estimar el espectro de x(n ) . Estos métodos son también referidos como técnicas
clásicas, para distinguirlos de los métodos de estimación espectral modernos o
paramétricos descritos en el Capítulo 3.
Como características fundamentales de los estimadores no paramétricos o
clásicos, mencionar que son sesgados, aunque asintóticamente insesgados, e
inconsistentes, aunque se pueden hacer consistentes promediando diversas estimaciones
espectrales independientes de la misma señal (método de Welch). La propiedad del
sesgo proviene del enventanado inherente al algoritmo de estimación. Esto hace que los
espectros estimados mediante métodos no paramétricos tengan un aspecto de
combinación lineal de sincs.
El énfasis de los métodos clásicos se centra en obtener una estima consistente
del espectro de potencia a través de algunas operaciones de promediado o suavizado
realizadas directamente sobre el periodograma o autocorrelación. Las conclusiones
principales que resultan del estudio de los métodos clásicos son que el sesgo del
estimador se puede reducir si estamos dispuestos a permitir un aumento de la varianza,
y viceversa, pero ambos tipos de errores no pueden ser reducidos simultáneamente. Si el
sesgo es demasiado severo o alternativamente, la resolución no es adecuada para una
determinada aplicación, debemos recurrir a otros métodos. Si, sin embargo, la
resolución es adecuada y la varianza está en un nivel aceptable, los métodos de Fourier
son satisfactorios en la práctica.
Como las estimas están basadas enteramente en un registro de datos de longitud
finita, la resolución en frecuencia de estos métodos es, como mucho, igual al ancho
espectral de la ventana rectangular de longitud N, que es aproximadamente 1 N en los
puntos de -3dB. Más adelante especificaremos con mayor precisión la resolución en
frecuencia de cada método. Todas las técnicas descritas en esta sección, excepto el
periodograma, reducen la resolución en frecuencia para reducir la varianza de la estima
espectral.
Se pueden definir dos momentos útiles para describir procesos estocásticos
estacionarios y ergódicos: la media y la autocorrelación, así como también se pueden
estimar ambos momentos o promedios. Este capítulo se dedica a la estimación del
promedio denominado espectro Pxx ( f ) , que se define como la transformada de Fourier
de la autocorrelación:
Análisis Espectral Multivariable de Señales Cerebrales
23
2. ESTIMACIÓN ESPECTRAL CLÁSICA UNIVARIABLE
Pxx ( f ) =
∞
∑r
k = −∞
xx
(k )e − j 2 πfk .
(2.1)
Además, los métodos no paramétricos de estimación espectral de potencia son
relativamente simples y fáciles de calcular utilizando el algoritmo de la DFT. Sin
embargo, estos métodos necesitan de la disponibilidad de largos registros de datos para
obtener la resolución en frecuencia requerida en muchas aplicaciones. No obstante,
estos métodos sufren efectos de derrame espectral (ver Anexo V), debido al
enventanado, que son inherentes a los registros de datos de longitud finita. A menudo, el
derrame espectral enmascara señales débiles que están presentes en los datos.
Existen dos métodos de estimación espectral no paramétrica (ver Figura 2.1): los
métodos directos, entre los que están el periodograma, el periodograma modificado, el
estimador espectral de Bartlett y el estimador espectral de Welch, y los métodos
indirectos, como es el estimador espectral de Blackman-Tukey. Los métodos indirectos
estiman en primer lugar la autocorrelación rxx (k ) a partir de una realización finita x[n]
del proceso estocástico x(n ) , para obtener la estima del espectro Pxxindirecto ( f ) mediante
la transformada de Fourier de dicha autocorrelación.
En cambio, los métodos directos estiman el espectro Pxxdirecto ( f ) del proceso
estocástico estacionario y ergódico x(n ) como la magnitud (módulo al cuadrado de su
transformada de Fourier) de una realización finita x[n] . Esta estimación es una
aplicación de la relación de Wiener-Khintchine
Pxx ( f ) =
∞
∑r
k = −∞
xx
( k )e
− j 2 πfk
=
∞
∑ x[n]e
2
− j 2 πfn
.
(2.2)
n = −∞
Realización x[n] del proceso estocástico x(n)
Método
indirecto
Estima de rxx (k )
Método
directo
Estima de Pxx ( f
)
Figura 2.1 Métodos de estimación no paramétricos.
Mencionar que el estimador del espectro genera en cada frecuencia una variable
aleatoria que estima su potencia en dicha frecuencia. Así el resultado de la estimación
espectral es una realización de un proceso estocástico. Existen muchas variantes a estos
estimadores espectrales que no veremos, así que este capítulo nos servirá para resumir
las principales ventajas y desventajas de los métodos clásicos y motivar el interés por la
estimación espectral moderna.
2.1. MÉTODOS DIRECTOS
2.1.1. Periodograma
El espectro de potencia de un proceso aleatorio estacionario en sentido amplio (WSS) es
la transformada de Fourier de la secuencia de autocorrelación:
24
Análisis Espectral Multivariable de Señales Cerebrales
2. ESTIMACIÓN ESPECTRAL CLÁSICA UNIVARIABLE
Pxx ( f ) =
∞
∑r
k = −∞
xx
(k )e − j 2 πfk .
(2.1.1)
De esta forma, la estimación espectral puede considerarse como un problema de
estimación de la autocorrelación. Para un proceso ergódico en autocorrelación y una
cantidad ilimitada de datos, la secuencia de autocorrelación puede ser obtenida mediante
el promedio temporal,
N
 1

rxx (k ) = lim 
x ( n) x * ( n − k )  .
(2.1.2)
∑
N →∞ 2 N + 1
n=− N


Pero si la señal x(n ) es conocida únicamente en un intervalo finito (para
n = 0,1,..., N − 1 ), entonces la secuencia de autocorrelación se ha de estimar mediante
una suma finita,
1 N −1
rˆxx (k ) = ∑ x(n) x * (n − k ) .
(2.1.3)
N n =0
Con el fin de asegurar que los valores de x(n ) fuera del intervalo [0, N − 1] estén
excluidos del sumatorio, escribimos la ecuación anterior de la forma siguiente:
rˆxx (k ) =
1
N
N −1
∑ x ( n) x
*
(n − k ) , k = 0,1,..., N − 1 .
(2.1.4)
n=k
Para valores negativos de k, se aplica la propiedad de simetría conjugada,
rˆxx (− k ) = rˆxx* (k ) ,
(2.1.5)
y para valores fuera del intervalo [− N + 1, N − 1] , se iguala a cero,
rˆxx (k ) = 0 , k ≥ N .
(2.1.6)
Aplicando la transformada de Fourier a la secuencia de autocorrelación calculada,
obtenemos el estimador espectral de potencia denominado periodograma como
PˆxxP ( f ) =
N −1
∑ rˆ
xx
k = − N +1
(k )e − j 2 πfk .
(2.1.7)
En ocasiones, puede resultar más conveniente expresar el periodograma en
función del proceso x(n ) . Supongamos que x N (n) es una secuencia de longitud N,
igual a x(n ) en el intervalo [0, N − 1] , y cero fuera de este intervalo,
 x(n ) 0 ≤ n ≤ N − 1
.
x N ( n) = 
e.o.c.
0
Análisis Espectral Multivariable de Señales Cerebrales
(2.1.8)
25
2. ESTIMACIÓN ESPECTRAL CLÁSICA UNIVARIABLE
De esta manera, podemos considerar x N (n) como el producto de x(n ) con una ventana
rectangular w R (n) ,
x N ( n) = w R ( n) x ( n) .
(2.1.9)
Y en términos de x N (n) , podemos expresar la secuencia de autocorrelación estimada
como
1 ∞
1
rˆxx (k ) =
x N (n) x *N (n − k ) = x N (k ) ∗ x *N (−k ) .
(2.1.10)
∑
N n = −∞
N
Tomando la transformada de Fourier y aplicando el teorema de la convolución, el
periodograma adquiere la forma
1
1
2
PˆxxP ( f ) = X N ( f ) X N* ( f ) =
XN(f) ,
N
N
(2.1.11)
donde X N ( f ) es la transformada discreta de Fourier de la secuencia x N (n) ,
XN(f ) =
∞
∑
n = −∞
N −1
x N (n)e − j 2 πfn = ∑ x(n)e − j 2 πfn .
(2.1.12)
n =0
Así, el periodograma es proporcional al cuadrado de la transformada discreta de
x N (n) , y puede calcularse fácilmente de la siguiente manera:
DFT
x N ( n) → X N ( k ) →
1
2
X N ( f ) = PˆxxP ( f ) .
N
(2.1.13)
Idealmente, al crecer la longitud de los datos, el periodograma debería converger al
espectro de potencia del proceso, Pxx ( f ) . Pero hemos de ser cautos al tratar la
convergencia del periodograma, y puesto que éste es una función de variables aleatorias
x(0 ),..., x( N − 1) , es necesario considerar la convergencia en un sentido estadístico. Por
ello, vamos a estudiar la convergencia cuadrático-media del periodograma, es decir,
evaluaremos si se cumple o no la ecuación
2
lim Ε  PˆxxP ( f ) − Pxx ( f )  = 0 .
N →∞ 

(2.1.14)
Para que el periodograma sea un estimador convergente en sentido cuadrático-medio, ha
de ser asintóticamente insesgado
{
}
lim Ε PˆxxP ( f ) = Pxx ( f ) ,
N →∞
(2.1.15)
y tener una varianza que tienda a cero cuando la longitud de los datos N tiende a
infinito,
lim Var PˆxxP ( f ) = 0 .
(2.1.16)
N →∞
26
{
}
Análisis Espectral Multivariable de Señales Cerebrales
2. ESTIMACIÓN ESPECTRAL CLÁSICA UNIVARIABLE
Por tanto, para que el periodograma sea un estimador consistente del espectro de
potencia, ha de converger, en algún sentido, al verdadero valor del espectro estimado.
Para concluir nuestro estudio del periodograma, resumimos algunas de sus
propiedades, como son el sesgo o bias, la resolución y la varianza, las cuales nos ayudan
a evaluar las prestaciones del periodograma:
1. Sesgo o bias.
Si calculamos el valor esperado de rˆxx (k ) , para k = 0,1,..., N − 1 resulta
Ε{rˆxx (k )} =
1
N
∑ Ε{x[n]x [n − k ]} = N ∑ r
N −1
1
*
n=k
N −1
n=k
xx
(k ) =
N −k
rxx (k ) ,
N
(2.1.17)
donde para k ≥ N , el valor esperado es cero. Utilizando la simetría conjugada
de rˆxx (k ) , tenemos
Ε{rˆxx (k )} = wB (k )rxx (k ) ,
(2.1.18)
donde wB (k ) es la ventana de Bartlett (triangular)
N − k

wB ( k ) =  N
0
k ≤N
(2.1.19)
e.o.c.
Hemos obtenido, por tanto, que rˆxx (k ) es una estimación sesgada de la autocorrelación.
A partir de esta expresión, calculamos el valor medio del periodograma
{
}
∞
N −1

 N −1
Ε PˆxxP ( f ) = Ε ∑ rˆxx (k )e − j 2 πfk  = ∑ Ε{rˆxx (k )}e − j 2 πfk = ∑ rxx (k ) wB (k )e − j 2 πfk
k = −∞
k = − N +1
 k = − N +1
(2.1.20)
que es la transformada de Fourier del producto rxx (k ) wB (k ) . Si aplicamos el teorema de
convolución en frecuencia, obtenemos
{
}
Ε PˆxxP ( f ) = Pxx ( f ) ∗ WB ( f ) ,
(2.1.21)
donde WB ( f ) es la transformada de Fourier de la ventana de Bartlett, wB (k ) ,
1  sen(πfN ) 
 .
WB ( f ) = 
N  sen(πf ) 
2
(2.1.22)
Por tanto, el valor esperado del periodograma es la convolución del espectro de
potencia Pxx ( f ) con la transformada de Fourier de la ventana de Bartlett (ventana
triangular de longitud 2 N − 1 centrada en el origen), y por consiguiente, el
periodograma resulta ser un estimador sesgado. No obstante, como WB ( f ) converge a
un impulso cuando N tiende a infinito, el periodograma es asintóticamente insesgado,
Análisis Espectral Multivariable de Señales Cerebrales
27
2. ESTIMACIÓN ESPECTRAL CLÁSICA UNIVARIABLE
{
}
N →∞
Pxx ( f ) ∗ W B ( f ) 
→ Pxx ( f ) ⇒ lim Ε PˆxxP ( f ) = Pxx ( f ) .
N →∞
(2.1.23)
El efecto del sesgo es inevitable, pues es inherente a la longitud finita de los datos. Sí se
puede reducir el sesgo modificando la ventana de tal manera que la nueva W ( f ) se
aproxime más a una delta.
2. Resolución.
El sesgo se manifiesta tanto en la anchura del lóbulo principal como en la presencia de
lóbulos laterales. La anchura del lóbulo principal genera pérdida de resolución, siendo la
máxima resolución
f
∆f = β s ,
(2.1.24)
N
donde ∆f es la resolución espectral, β es una constante que depende del tipo de
ventana, f s es la frecuencia de muestreo (en discreto igual a 1), y N es el número de
muestras de la señal. Así, el suavizado introducido por la ventana de Bartlett también
limita la habilidad del periodograma para discriminar componentes de banda estrecha
próximas entre sí.
Supongamos, por ejemplo, un proceso aleatorio formado por dos sinusoides en
ruido blanco:
x(n ) = A1 sen(2πf 1 n + φ1 ) + A2 sen(2πf 2 n + φ 2 ) + v(n) ,
(2.1.25)
donde φ1 y φ 2 son variables aleatorias incorreladas uniformemente distribuidas y v(n )
es ruido blanco con varianza σ v2 . El espectro de potencia de x(n ) es
Pxx ( f ) = σ v2 + (1 4 )A12 [δ( f − f 1 ) + δ( f + f 1 )] + (1 4)A22 [δ( f − f 2 ) + δ( f + f 2 )] .
(2.1.26)
Y el valor esperado del periodograma es
Pxx ( f ) ∗WB ( f ) =
(2.1.27)
= σ + (1 4 )A [W B ( f − f 1 ) + W B ( f + f 1 )] + (1 4)A [W B ( f − f 2 ) + W B ( f + f 2 )] .
2
v
2
1
2
2
Puesto que la anchura del lóbulo principal de WB ( f ) crece cuando la longitud de los
datos decrece, para un valor dado de N, existe un límite en la proximidad de dos
sinusoides o procesos de banda estrecha para que dichas componentes puedan ser
resueltas o discriminadas. Una forma de definir esta resolución es imponer a ∆f la
anchura del lóbulo principal del espectro de la ventana WB ( f ) a su “potencia mitad” o a
6dB. Para la ventana de Bartlett, ∆f = 0.89 N , y ésta es, por tanto, la resolución del
periodograma. Debemos destacar que esta definición de ∆f es una regla práctica y debe
utilizarse como referencia o guía para determinar la cantidad de datos que es necesaria
para una resolución dada. Lo más importante es el hecho de que la resolución depende
sólo de la longitud temporal, no de la frecuencia de muestreo o el sobremuestreo de la
transformada de Fourier, y es inversamente proporcional a la longitud de datos N. No
obstante, aunque esta definición de ∆f es algo arbitraria, generalmente se encuentran
28
Análisis Espectral Multivariable de Señales Cerebrales
2. ESTIMACIÓN ESPECTRAL CLÁSICA UNIVARIABLE
dificultades para discriminar detalles en el espectro que se encuentran más próximos
que esta cantidad.
Por otra parte, los lóbulos laterales se manifiestan en que la potencia de una
frecuencia afecta a todo el espectro.
3. Varianza.
Sabemos que el periodograma es un estimador asintóticamente insesgado del espectro
de potencia, luego, para que sea un estimador consistente, la varianza ha de tender a
cero cuando N tiende a infinito. Desafortunadamente, la varianza es un parámetro difícil
de calcular, ya que depende de momentos de cuarto orden del proceso. De cualquier
modo, vamos a evaluarla para el caso especial de ruido blanco gausiano.
Supongamos que x(n ) es un proceso blanco gausiano con varianza σ x2 . El
periodograma puede ser expresado de la siguiente manera:
1
PˆxxP ( f ) =
N
N −1
∑ x ( n )e
2
− j 2 πfn
=
n =0
=
1
N
N −1 N −1
N −1
1  N −1
*
− j 2 πfn 
j 2 πfl 
x
(
n
)
e
∑
∑ x (l )e
=
N  n =0
 l = 0

∑∑ x(n) x (l )e
*
− j 2 πf ( n − l )
.
(2.1.28)
n=0 l =0
Por tanto, el momento de segundo orden del periodograma es
{
}
1
Ε PˆxxP ( f 1 ) PˆxxP ( f 2 ) = 2
N
∑ ∑ ∑ ∑ Ε{x(k ) x
N −1 N −1 N −1 N −1
*
}
(l ) x(m) x * (n) e − j 2 πf1 ( k −l ) e − j 2 πf 2 ( m − n ) .
k =0 l =0 m=0 n =0
(2.1.29)
Vemos que depende de momentos de cuarto orden de x(n ) . Como x(n ) es gausiano,
podemos utilizar el teorema de factorización de momentos y simplificar la expresión
anterior. Para variables aleatorias gausianas complejas, tenemos
Ε{x(k ) x * (l ) x(m) x * (n)} = Ε{x(k ) x * (l )}Ε{x(m) x * (n)}+ Ε{x(k ) x * (n)}Ε{x(m) x * (l )}.
(2.1.30)
Sustituyendo esta ecuación en la anterior, el momento de segundo orden del
periodograma se convierte en una suma de dos términos. El primero contiene productos
de Ε{x(k ) x* (l )} por Ε{x(m) x * (n)}. Para ruido blanco, estos productos se igualan a σ x4
cuando k = l y m = n , y a cero para otros valores. Por tanto, el primer término se
simplifica como
1 N −1 N −1 4
σ = σ 4x .
(2.1.31)
2 ∑∑ x
N k =0 m =0
El segundo término, contiene productos de Ε{x(k ) x * (n)} por Ε{x(m) x * (l )}. De nuevo,
con ruido blanco, estos términos toman valor distinto de cero para k = n y l = m ,
siendo σ x4 dicho valor. Así, el segundo término queda
Análisis Espectral Multivariable de Señales Cerebrales
29
2. ESTIMACIÓN ESPECTRAL CLÁSICA UNIVARIABLE
1
N2
N −1 N −1
σ 4x
k =0 l =0
N2
∑ ∑ σ 4x e − j 2πf1 ( k −l ) e − j 2πf 2 ( k −l ) =
σ4
= x2
N
N −1
N −1
k =0
l =0
∑ e − j 2πk ( f1 − f 2 ) ∑ e − j 2πl ( f1 − f 2 ) =
1 − e − j 2 πN ( f1 − f 2 )  1 − e j 2 πN ( f1 − f 2 ) 
 sen( Nπ( f1 − f 2 ) ) 
= σ 4x 

 .
j 2 π ( f1 − f 2 ) 
− j 2 π ( f1 − f 2 )  

 Nsen(π( f1 − f 2 ) ) 
 1− e
 1− e
2
(2.1.32)
Si aplicamos los resultados obtenidos a la ecuación del momento de segundo orden del
periodograma, tenemos
  sen( Nπ( f − f ) )  2 
P
P
4
1
2
ˆ
ˆ
Ε Pxx ( f1 ) Pxx ( f 2 ) = σ x 1 + 
 .
(
(
Nsen
π
f
−
f
 
1
2 )) 

{
}
(2.1.33)
La expresión de la covarianza es
{
} {
} {
}{
}
Cov PˆxxP ( f1 ) PˆxxP ( f 2 ) = Ε PˆxxP ( f 1 ) PˆxxP ( f 2 ) − Ε PˆxxP ( f 1 ) Ε PˆxxP ( f 2 ) .
{
(2.1.34)
}
Para ruido blanco, Ε PˆxxP ( f ) = σ 2x , por tanto,
 sen( Nπ( f 1 − f 2 ) ) 
Cov PˆxxP ( f 1 ) PˆxxP ( f 2 ) = σ 4x 
 .
 Nsen(π( f 1 − f 2 ) ) 
{
2
}
{
(2.1.35)
}
Finalmente, con f1 = f 2 , obtenemos para la varianza, Var PˆxxP ( f ) = σ 4x . Observamos
que la varianza no tiende a cero cuando N tiende a infinito, por ello, el periodograma
no es un estimador consistente del espectro de potencia. De hecho, como Pxx ( f ) = σ 2x ,
la varianza del periodograma de ruido blanco gausiano es proporcional al cuadrado del
espectro de potencia,
Var PˆxxP ( f ) = Pxx2 ( f ) .
(2.1.36)
{
}
Aunque el análisis estadístico para procesos gausianos no blancos es más difícil,
podemos obtener una expresión aproximada para la varianza. Recordamos que un
proceso aleatorio x(n ) con espectro de potencia Pxx ( f ) puede ser generado filtrando un
ruido blanco de varianza unidad u (n ) con un filtro lineal invariante en el tiempo h(n )
2
de respuesta frecuencial H ( f ) (ver Figura 2.2), de manera que H ( f ) = Pxx ( f ) .
∞
Ruido blanco u(n)
σ =1
Filtro LTI
H(f)
x (n ) = ∑ h(k )u (n − k )
k =0
2
u
Figura 2.2. Filtro generador del proceso aleatorio x(n ) a partir de ruido blanco u (n ) .
Si x N (n) y u N (n) son secuencias de longitud N formadas por el enventanamiento de
x(n ) y u (n ) , respectivamente, los periodogramas de estos procesos son
30
Análisis Espectral Multivariable de Señales Cerebrales
2. ESTIMACIÓN ESPECTRAL CLÁSICA UNIVARIABLE
1
2
PˆxxP ( f ) =
XN(f )
N
(2.1.37)
1
2
PˆuuP ( f ) = U N ( f ) .
N
(2.1.38)
Aunque x N (n) no es exactamente igual a la convolución de u N (n) con h(n ) , si N es
grande comparado con la longitud de h(n ) , los efectos del régimen transitorio se
reducen, por tanto,
(2.1.39)
x N ( n) ≈ h( n) ∗ u N ( n) .
Puesto que
2
2
2
2
X N ( f ) ≈ H ( f ) U N ( f ) = Pxx ( f ) U N ( f ) ,
(2.1.40)
la expresión del periodograma de x(n ) se puede aproximar como
PˆxxP ( f ) ≈ Pxx ( f ) PˆuuP ( f ) .
(2.1.41)
Por consiguiente, expresamos la varianza del periodograma
{
}
{
}
Var PˆxxP ( f ) ≈ Pxx2 ( f )Var PˆuuP ( f ) ,
(2.1.42)
y dado que la varianza del periodograma de u (n ) es la unidad, tenemos
{
}
Var PˆxxP ( f ) ≈ Pxx2 ( f ) .
(2.1.43)
Así, para valores altos de N, la varianza del periodograma de un proceso aleatorio
gausiano es proporcional al cuadrado de su espectro de potencia.
El momento de segundo orden y la covarianza pueden generalizarse de forma
similar para ruido gausiano no blanco. Para el momento de segundo orden obtenemos la
expresión
  sen( Nπ( f − f ) ) 2 
P
P
1
2
ˆ
ˆ
Ε Pxx ( f1 ) Pxx ( f 2 ) ≈ Pxx ( f1 ) Pxx ( f 2 )1 + 
  , (2.1.44)
(
Nsen
(
f
f
π
−
 
1
2 )) 

y para la covarianza,
{
}
 sen( Nπ( f1 − f 2 ) ) 
Cov Pˆ ( f1 ) Pˆ ( f 2 ) ≈ Pxx ( f1 ) Pxx ( f 2 ) 
 .
 Nsen(π( f 1 − f 2 ) ) 
{
P
xx
P
xx
}
2
(2.1.45)
Para valores altos de N, el término entre corchetes se aproxima a cero si
f1 − f 2 >> 1 N , lo que significa que existe poca correlación entre una frecuencia y otra.
Por último, resumimos las propiedades del periodograma:
1
1
2
PˆxxP ( f ) = X N ( f ) X N* ( f ) =
XN(f) .
N
N
Análisis Espectral Multivariable de Señales Cerebrales
(2.1.46)
31
2. ESTIMACIÓN ESPECTRAL CLÁSICA UNIVARIABLE
1. Sesgo o bias:
{
}
Ε PˆxxP ( f ) = Pxx ( f ) ∗ WB ( f ) .
(2.1.47)
2. Resolución:
∆f = 0.89
3. Varianza:
{
N
.
(2.1.48)
}
Var PˆxxP ( f ) ≈ Pxx2 ( f ) .
(2.1.49)
2.1.2. Periodograma modificado
El periodograma modificado tiene por objetivo solucionar el problema de
enmascaramiento espectral producido por el periodograma, ocasionado por la gran
amplitud de los lóbulos secundarios de la ventana rectangular. Para ello, propone
enventanar el proceso con una ventana general w(n ) . El periodograma modificado se
expresa según la ecuación:
1
PˆxxM ( f ) =
NU
∞
∑ x(n)w(n)e
2
− j 2 πfn
,
(2.1.50)
n = −∞
donde N es la longitud de la ventana, y
U=
1
N
N −1
∑ w(n)
2
.
(2.1.51)
n =0
U es una constante definida de forma que el periodograma modificado resulte
asintóticamente no sesgado.
Veamos la influencia de la ventana en la estimación. Sabemos que el
periodograma es proporcional al cuadrado de la transformada de Fourier de la señal
enventanada, x N (n) = x(n) w R (n) ,
1
1
2
PˆxxP ( f ) =
XN(f) =
N
N
∞
2
∑ x(n)wR (n)e − j 2πfn .
(2.1.52)
n = −∞
A partir de esta expresión, podemos evaluar el valor esperado del periodograma como:
{
*
∞
 ∞

− j 2 πfn  
− j 2 πfm  
Ε   ∑ x ( n) w R ( n)e
  ∑ x ( m) w R ( m)e
 =
 n = −∞
 m = −∞
 
1  ∞ ∞

= Ε ∑ ∑ x(n) x * (m) w R (m) w R (n)e − j 2 πf ( n − m )  =
N m = −∞ n = −∞

∞
∞
1
=
(2.1.53)
∑ ∑ rxx (n − m)wR (m)wR (n)e − j 2πf ( n−m) .
N m = −∞ n = −∞
}
1
Ε Pˆ ( f ) =
N
P
xx
Realizamos el cambio de variables k = n − m :
32
Análisis Espectral Multivariable de Señales Cerebrales
2. ESTIMACIÓN ESPECTRAL CLÁSICA UNIVARIABLE
{
}
1
Ε PˆxxP ( f ) =
N
=
1
N
∞
∑r
k = −∞
xx
∞
∞
∑ ∑r
k = −∞n = −∞
xx
(k )w R (n) w R (n − k )e − j 2 πfk =
1


(k )  ∑ wR (n) wR (n − k )e − j 2 πfk =
N
 n = −∞

∞
∞
∑r
k = −∞
xx
(k ) wB (k )e − j 2 πfk , (2.1.54)
donde wB (k ) es la ventana de Bartlett:
w B (k ) = w R (k ) ∗ w R (− k ) =
∞
∑w
n = −∞
R
( n) w R ( n − k ) .
(2.1.55)
Utilizando el teorema de la convolución en frecuencia, el valor esperado del
periodograma es
1
2
Ε PˆxxP ( f ) = Pxx ( f ) ∗ WR ( f ) ,
(2.1.56)
N
con
sen( Nπf ) − jπf ( N −1)
WR (e jw ) =
e
(2.1.57)
sen(πf )
{
}
la transformada de Fourier de la ventana rectangular, w R (n) . Observando la ecuación
del valor esperado del periodograma deducimos que el suavizado producido en el
periodograma viene determinado por la ventana que se aplica a los datos. Aunque la
ventana rectangular tiene un lóbulo principal estrecho comparado con otras ventanas, y,
por ello, proporciona una cantidad mínima de alisado espectral, tiene lóbulos laterales
relativamente grandes, que tienden a enmascarar componentes de banda estrecha de baja
potencia. La reducción de amplitud de los lóbulos laterales puede llevarse a cabo a
expensas de un incremento en la anchura del lóbulo principal, lo que da lugar a una
menor resolución. Esta es la razón por la que el periodograma modificado utiliza
distintos tipos de ventanas.
Vamos a evaluar las prestaciones de este método de estimación espectral. El
valor esperado del periodograma modificado es
{
}
1
2
Ε PˆxxM ( f ) =
Pxx ( f ) ∗ W ( f ) ,
NU
(2.1.58)
donde W ( f ) es la transformada de Fourier de la ventana. Con
U=
1
N
N −1
∑ w(n)
2
=
n =0
1
N
1
∫
−1
2
W ( f ) df ,
(2.1.59)
entonces
1
NU
y con la ventana apropiada, W ( f )
2
1
∫
−1
2
W ( f ) df = 1 ,
(2.1.60)
NU converge a un impulso de área unidad con N
tendiendo a infinito. De esta manera, recordar que la ventana no elimina el sesgo, sólo
lo reduce. Así, el periodograma modificado sigue siendo sesgado, aunque
asintóticamente insesgado. (Lógicamente, si w(n ) es una ventana rectangular, U = 1 y
Análisis Espectral Multivariable de Señales Cerebrales
33
2. ESTIMACIÓN ESPECTRAL CLÁSICA UNIVARIABLE
el periodograma modificado se reduce al periodograma). Así pues, el periodograma
modificado es simplemente el periodograma de una secuencia de datos enventanados,
por tanto, la varianza del periodograma modificado es aproximadamente igual a la del
periodograma, es decir:
Var PˆxxM ( f ) ≈ Pxx2 ( f ) .
(2.1.61)
{
}
Y como la varianza del periodograma modificado no tiende a cero al crecer N, no es un
estimador consistente del espectro de potencia. Por tanto, el enventanado no ofrece
beneficio en cuanto a una reducción en la varianza. La ventana proporciona un
compromiso entre la resolución (anchura del lóbulo principal) y el enmascaramiento
espectral (amplitud de lóbulos laterales). Supongamos que definimos la resolución del
periodograma modificado como el ancho de banda a 3dB de la ventana de datos:
{
}
Re s PˆxxM ( f ) = (∆f )3dB .
(2.1.62)
Veamos las características de las ventanas utilizadas en la siguiente tabla:
Ventana
Nivel lóbulo
secundario
-13
-27
-32
-43
-58
Rectangular
Bartlett
Hanning
Hamming
Blackman
Resolución 3dB
(∆f )
0.89 N
1.28 N
1.44 N
1.30 N
0.89 N
Tabla 2.1. Tipos de ventanas.
Podemos observar una reducción en la amplitud del lóbulo secundario, producida al
aplicar una ventana diferente a la rectangular, pero el valor de la resolución crece, es
decir, aumenta la separación mínima entre componentes espectrales que vamos a ser
capaces de discriminar.
Por último, resumimos las propiedades del periodograma modificado:
1
PˆxxM ( f ) =
NU
U=
1. Sesgo o bias:
{
1
N
∞
∑ x(n)w(n)e
2
− j 2 πfn
,
(2.1.63)
n = −∞
N −1
∑ w(n)
2
.
(2.1.64)
n =0
}
1
2
Ε PˆxxM ( f ) =
Pxx ( f ) ∗ W ( f ) .
NU
(2.1.65)
2. Resolución: dependiente de la ventana utilizada (ver Tabla 2.1).
3. Varianza:
{
}
Var PˆxxM ( f ) ≈ Pxx2 ( f ) .
34
(2.1.66)
Análisis Espectral Multivariable de Señales Cerebrales
2. ESTIMACIÓN ESPECTRAL CLÁSICA UNIVARIABLE
2.1.3. Método de Bartlett
El método de Bartlett (1948) es un estimador consistente del espectro de potencia que
realiza un promediado del periodograma. La mejora respecto al periodograma reside
en la reducción de varianza.
Supongamos K realizaciones incorreladas de un proceso aleatorio x(n) . Cada
realización tiene una longitud L. El periodograma de cada realización x i (n) es:
1
PˆxxP (i ) ( f ) =
L
L −1
∑ x ( n)e
n =0
2
− j 2 πfn
i
, i = 1,2,..., K .
(2.1.67)
El promedio de estos periodogramas define el estimador de Bartlett:
1
PˆxxB ( f ) =
K
K
∑ Pˆ
i =1
P (i )
xx
(f).
(2.1.68)
El valor medio de PˆxxB ( f ) es
{
} {
}
Ε PˆxxB ( f ) = Ε PˆxxP (i ) ( f ) = Pxx ( f ) ∗ WB ( f ) ,
(2.1.69)
donde WB ( f ) es la transformada de Fourier de la ventana de Bartlett, w B (k ) , que se
extiende desde -L hasta L. Este estimador es asintóticamente insesgado. Con esta
suposición de realizaciones incorreladas, obtenemos una varianza de PˆxxB ( f )
{
}
1
Var PˆxxB ( f ) = 2
K
∑ [Var{Pˆ
K
P (i )
xx
i =1
}]
(f) =
{
}
1
1
Var PˆxxP (i ) ( f ) ≈ Pxx2 ( f ) ,
K
K
(2.1.70)
que es K veces inferior a la del periodograma y tiende a cero cuando K tiende a infinito.
En consecuencia, PˆxxB ( f ) resulta ser un estimador consistente del espectro de potencia
si K y L pueden tender a infinito (es decir, si son lo suficientemente altos).
En este método hemos supuesto realizaciones incorreladas de un proceso, pero
esta situación, en la práctica, es difícil de conseguir. Generalmente se dispone de una
sola realización de un proceso x(n ) de longitud N, y Bartlett propone dividir este
proceso en K secuencias no solapadas de longitud L, donde N = KL :
x i (n) = x(n + iL) , n = 0,1,..., L − 1 , i = 0,1,..., K − 1 .
(2.1.71)
El estimador de Bartlett con este supuesto es:
1
PˆxxB ( f ) =
N
K −1 L −1
2
∑ ∑ x(n + iL)e − j 2πfn .
(2.1.72)
i =0 n =0
El estimador de Bartlett es asintóticamente insesgado:
{
}
Ε PˆxxB ( f ) = Pxx ( f ) ∗ WB ( f ) .
Análisis Espectral Multivariable de Señales Cerebrales
(2.1.73)
35
2. ESTIMACIÓN ESPECTRAL CLÁSICA UNIVARIABLE
Los periodogramas utilizados para el promediado tienen longitud L, por ello, la
resolución de este método es
{
}
K
0.89
Re s PˆxxB ( f ) =
= 0.89 ,
L
N
(2.1.74)
que es K veces mayor (peor) que en el periodograma. Como las secuencias x i (n)
generalmente están correladas, (a no ser que x(n ) sea ruido blanco), la reducción en la
varianza no es tan grande como hemos visto anteriormente. De todas formas, la varianza
va a ser inversamente proporcional a K, y asumiendo que las secuencias de datos están
aproximadamente incorreladas, para valores elevados de N, la varianza resulta ser,
aproximadamente:
1
1
(2.1.75)
Var PˆxxB ( f ) ≈ Var PˆxxP (i ) ( f ) ≈ Pxx2 ( f ) .
K
K
{
}
{
}
Si permitimos que K y L tiendan a infinito cuando N tiende a infinito, el estimador de
Bartlett será un estimador consistente del espectro de potencia. Para un valor fijo de N,
el método de Bartlett ofrece un compromiso entre resolución y varianza a través de los
valores de K y L. Es decir, podremos reducir la varianza a costa de una pérdida de
resolución espectral, y viceversa, pues al ganar en resolución veremos incrementada la
varianza.
Por último, resumimos las propiedades del método de Bartlett:
1
PˆxxB ( f ) =
N
1. Sesgo o bias:
{
K −1 L −1
∑ ∑ x(n + iL)e
2
− j 2 πfn
.
}
Ε PˆxxB ( f ) = Pxx ( f ) ∗ WB ( f ) .
2. Resolución:
{
}
0.89
K
Re s PˆxxB ( f ) =
= 0.89 .
L
N
3. Varianza:
{
}
(2.1.76)
i =0 n =0
{
}
1
1
Var PˆxxB ( f ) ≈ Var PˆxxP (i ) ( f ) ≈ Pxx2 ( f ) .
K
K
(2.1.77)
(2.1.78)
(2.1.79)
2.1.4. Método de Welch
Welch, en 1967, propuso dos modificaciones al método de Bartlett. En primer lugar,
permitió el solapamiento de segmentos de datos. Este efecto se conoce como overlap.
Suponiendo que entre dos secuencias sucesivas existe un desplazamiento de D puntos y
que cada secuencia consta de L puntos de longitud, la secuencia iésima viene
determinada por la expresión:
x i (n) = x(n + iD) , n = 0,1,..., L − 1 .
(2.1.80)
El solapamiento entre dos secuencias consecutivas x i (n) y x i +1 (n) es de L − D puntos,
y si las K secuencias cubren una longitud de N puntos, entonces:
36
Análisis Espectral Multivariable de Señales Cerebrales
2. ESTIMACIÓN ESPECTRAL CLÁSICA UNIVARIABLE
N = L + D(K − 1) .
(2.1.81)
Supongamos que no existe solape entre las secuencias ( D = L ); tendremos
K = N L secciones de longitud L, como en el método de Bartlett. Si permitimos que
las secuencias posean un solape del 50% ( D = L 2 ), el número de secciones K de
longitud L es:
2N
(2.1.82)
K=
−1.
L
De esta manera, se mantiene la resolución (la longitud de la secuencia no varía) del
método de Bartlett, pero al doblar el número de periodogramas modificados que van a
promediarse, se reduce la varianza. Con un 50% de solape entre las secuencias, también
podemos formar K secuencias de longitud 2 L , donde K es:
K=
N
−1 .
L
(2.1.83)
Así, mejoramos la resolución manteniendo la misma varianza que en el método de
Bartlett. Con el overlap o solapamiento es posible incrementar el número y/o la longitud
de las secuencias que van a ser promediadas, logrando de esta forma una reducción en la
varianza, siempre con un compromiso en la resolución del método de estimación
espectral.
La segunda propuesta consiste en enventanar cada secuencia x i (n) con una
ventana general w(n ) (no sólo con la ventana rectangular), antes de calcular el
periodograma. De esta manera se obtiene un periodograma modificado por cada
secuencia enventanada:
1
PˆxxM ( i ) ( f ) =
LU
L −1
∑ x (n)w(n)e
n =0
2
− j 2 πfn
i
.
(2.1.84)
El estimador de Welch es el promedio de los periodogramas modificados,
1
PˆxxW ( f ) =
K
K −1
∑ Pˆ
i =0
M (i )
xx
( f ),
(2.1.85)
y su expresión general es
PˆxxW ( f ) =
1
KLU
K −1 L −1
∑ ∑ x(n + iD) w(n)e
2
− j 2 πfn
,
(2.1.86)
i =0 n =0
donde U vale
U=
1 L −1
2
w(n) .
∑
L n=0
(2.1.87)
Vamos a examinar las prestaciones del método de Welch o método del
promediado de periodogramas modificados. En primer lugar obtenemos la expresión del
valor medio,
1
2
Ε PˆxxW ( f ) = Ε PˆxxM ( f ) =
Pxx ( f ) ∗ W ( f ) ,
(2.1.88)
LU
{
} {
}
Análisis Espectral Multivariable de Señales Cerebrales
37
2. ESTIMACIÓN ESPECTRAL CLÁSICA UNIVARIABLE
donde W ( f ) es la transformada de Fourier de la ventana w(n ) de L puntos, utilizada
para formar los periodogramas modificados. El problema del estimador de Welch es que
al reducir la estimación del espectro de N a L muestras, el sesgo aumenta. Para reducir
el sesgo hay que aumentar el valor de L todo lo que sea posible. Una forma de aumentar
L, ya que N es un número fijo, es solapar las tramas. El problema de solapar
excesivamente las tramas es que los periodogramas de cada trama dejan de ser
independientes entre sí, condición de reducción de la varianza. Así se llega a un
compromiso entre el aumento del sesgo y la disminución de la varianza. Como solución
de compromiso, se permite un solape de hasta L 2 muestras. Así, el estimador de
Welch reduce la varianza a costa de aumentar el sesgo. De todas maneras, el estimador
de Welch es asintóticamente insesgado y consistente, pues al tender N a infinito,
puedo hacer infinitas tramas de infinitas muestras, también K tiende a infinito, y la
varianza del estimador de Welch tiende a cero, definición de estimador consistente.
Observamos además, que en el método de Welch la resolución depende de la
ventana utilizada, y se define para el ancho de banda a 3dB de dicha ventana. La
varianza es difícil de calcular, pues el overlap no permite realizar la suposición de
operar con secuencias incorreladas. De todas formas, para una ventana de Bartlett, con
un solapamiento del 50%, se demuestra que la varianza es, aproximadamente
{
}
9 2
Var PˆxxW ( f ) ≈
Pxx ( f ) .
8K
(2.1.89)
Comparando con el método de Bartlett,
{
}
{
}
1
1
Var PˆxxB ( f ) ≈ Var PˆxxP (i ) ( f ) ≈ Pxx2 ( f ) ,
K
K
(2.1.90)
observamos que, para un número dado de secciones K, la varianza con el método de
Welch es mayor que con el método de Bartlett en un factor 9/8. No obstante, para unos
valores fijos de datos, N, y resolución (longitud de la secuencia L), con un 50% de
solapamiento, se obtiene el doble de secciones para promediar en el método de Welch.
Si expresamos la varianza en términos de L y N, con ese 50% de overlap, tenemos
{
}
9 L 2
Var PˆxxW ( f ) ≈
Pxx ( f ) ,
16 N
(2.1.91)
y como N L es el número de secciones utilizadas en el método de Bartlett, obtenemos
la siguiente relación:
9
(2.1.92)
Var PˆxxW ( f ) ≈ Var PˆxxB ( f ) .
16
{
}
{
}
Resumiendo, es posible incrementar el número de secuencias a promediar para
una cantidad fija de datos, incrementando el overlap, pero esto supone una mayor carga
computacional, así como un aumento en la correlación de las secuencias x i (n) , por lo
que las prestaciones disminuyen al incrementar K para un valor dado de N. Solapes
típicos son 50% y 75%. Por último, resumimos las propiedades del método de Welch:
38
Análisis Espectral Multivariable de Señales Cerebrales
2. ESTIMACIÓN ESPECTRAL CLÁSICA UNIVARIABLE
PˆxxW ( f ) =
K −1 L −1
1
KLU
∑ ∑ x(n + iD)w(n)e
{
,
(2.1.93)
i =0 n =0
U=
1. Sesgo o bias:
2
− j 2 πfn
1 L −1
2
w(n) .
∑
L n=0
} {
}
1
2
Ε PˆxxW ( f ) = Ε PˆxxM ( f ) =
Pxx ( f ) ∗ W ( f ) .
LU
(2.1.94)
(2.1.95)
2. Resolución: depende de la ventana utilizada (ver Tabla 2.1).
3. Varianza (con 50% de solape y ventana de Bartlett):
{
}
9 2
Var PˆxxW ( f ) ≈
Pxx ( f ) .
8K
(2.1.96)
2.2. MÉTODOS INDIRECTOS
2.2.1. Método de Blackman-Tukey
Como se indicó al principio del capítulo, los estimadores indirectos estiman el espectro
a partir de una estimación de la autocorrelación. Así, Blackman y Tukey, en 1958,
propusieron y analizaron un método en que primero se enventana la secuencia de
autocorrelación y después se calcula su transformada de Fourier para producir una
estimación del espectro. La razón para enventanar la secuencia de autocorrelación
rxx (k ) es que, para retardos grandes, las estimaciones son menos fiables porque se usan
menos puntos en la estimación (N − k ) (ver Anexo VI). Para valores de k cercanos a N,
la varianza de estas estimaciones es muy grande, por lo que deberían tener un menor
peso. Por ejemplo, para el retardo k = N − 1 , la estimación de rxx (k ) ,
rˆxx ( N − 1) =
1
x( N − 1) x(0) ,
N
(2.2.1)
consta de una sola muestra, lo que da una medida de la varianza poco fiable.
Puesto que el estimador insesgado de la autocorrelación puede generar
secuencias de autocorrelación no válidas, lo cual se traduciría es estimaciones
espectrales no positivas (recuerde la propiedad Pxx ( f ) ≥ 0 ), se utilizará el estimador
sesgado de la autocorrelación. Así, el estimador de Blackman-Tukey es
PˆxxBT ( f ) =
M
∑ rˆ
k =− M
xx
(k ) w(k )e − j 2 πfk ,
(2.2.2)
donde w(k ) es la ventana aplicada para reducir la contribución al periodograma de las
estimaciones menos fiables. Se extiende desde -M hasta M, con M < N − 1 , siendo
típicamente M ≈ N 10 . De esta manera, las estimaciones de rxx (k ) con mayor varianza
son puestas a cero y, por tanto, la estimación espectral de potencia tendrá una varianza
Análisis Espectral Multivariable de Señales Cerebrales
39
2. ESTIMACIÓN ESPECTRAL CLÁSICA UNIVARIABLE
menor. Con esta definición para w(k ) , los límites del sumatorio anterior se pueden
extender desde menos infinito a más infinito. Consecuentemente, la expresión
equivalente en el dominio frecuencial para el estimador de Blackman-Tukey es:
12
PˆxxBT ( f ) = PˆxxP ( f ) ∗ W ( f ) = ∫ PˆxxP (u )W ( f − u )du .
−1 2
(2.2.3)
El efecto del enventanado de la secuencia de autocorrelación se refleja en un suavizado
de la estimación del periodograma, decreciendo, así, la varianza de la estimación
espectral a expensas de la reducción en resolución. Aunque existe una considerable
flexibilidad en la elección de la ventana, w(k ) debe, además de tener una transformada
de Fourier no negativa ( W ( f ) ≥ 0 ) para que la estimación realizada sea no negativa,
poseer simetría conjugada para que W ( f ) sea real y asegurar así, que la estimación es
real.
Analicemos las prestaciones de este método. Comenzamos con el sesgo,
calculando el valor esperado de la estimación:
{
} {
}
Ε PˆxxBT ( f ) = Ε PˆxxP ( f ) ∗ W ( f ) .
(2.2.4)
Sustituimos el valor esperado del periodograma y tenemos
{
o, equivalentemente,
}
Ε PˆxxBT ( f ) = Pxx ( f ) ∗ WB ( f ) ∗ W ( f ) ,
(2.2.5)
{
(2.2.6)
} ∑r
Ε PˆxxBT ( f ) =
M
k =− M
xx
(k ) wB (k ) w(k )e − j 2 πfk .
Si permitimos que w BT (k ) = w B (k ) w(k ) sea la ventana combinada aplicada a la
secuencia de autocorrelación rxx (k ) , utilizando el teorema de convolución en
frecuencia, obtenemos
Ε PˆxxBT ( f ) = Pxx ( f ) ∗ WBT ( f ) .
(2.2.7)
{
}
Si asumimos que M << N , entonces podemos aproximar w B (k ) w(k ) por w(k ) , con lo
que finalmente llegamos a la expresión
{
}
Ε PˆxxBT ( f ) ≈ Pxx ( f ) ∗ W ( f ) ,
(2.2.8)
donde W ( f ) es la transformada de Fourier de la ventana w(k ) .
El cálculo de la varianza requiere un proceso de cálculo más complicado. La
expresión general de la varianza del estimador espectral Blackman-Tukey es:
{
} {[
]} [ {
}] .
2
Var PˆxxBT ( f ) = Ε PˆxxBT ( f ) − Ε PˆxxBT ( f )
2
(2.2.9)
Comenzamos calculando el valor cuadrático medio. A partir de la igualdad
40
Análisis Espectral Multivariable de Señales Cerebrales
2. ESTIMACIÓN ESPECTRAL CLÁSICA UNIVARIABLE
12
PˆxxBT ( f ) = PˆxxP ( f ) ∗ W ( f ) = ∫ PˆxxP (u )W ( f − u )du ,
(2.2.10)
−1 2
desarrollamos el valor cuadrático
[Pˆ
BT
xx
]
12
2
(f) = ∫
12
∫
−1 2 −1 2
PˆxxP (u ) PˆxxP (v)W ( f − u )W ( f − v)dudv ,
(2.2.11)
y hallamos el valor medio
{[
]}
12
2
Ε PˆxxBT ( f ) = ∫
{
}
Ε PˆxxP (u )PˆxxP (v ) W ( f − u )W ( f − v)dudv .
(2.2.12)
  sen( Nπ( f − f ) )  2 
1
2
≈ Pxx ( f1 ) Pxx ( f 2 )1 + 
 ,
  Nsen(π( f1 − f 2 ) )  
(2.2.13)
12
∫
−1 2 −1 2
Utilizando la aproximación
{
Ε Pˆ
P
xx
( f1 )Pˆ ( f 2 )}
P
xx
llegamos a una expresión del valor cuadrático medio que consta de dos términos. El
primero de ellos es
2
12
∫−1 2 ∫−1 2 Pxx (u ) Pxx (v)W ( f − u )W ( f − v)dudv = ∫−1 2 Pxx (u )W ( f − u )du  =
2
= Ε PˆxxBT ( f ) .
(2.2.14)
12
12
[{
}]
Este término, al ser introducido en la ecuación inicial, va a ser cancelado por el segundo
término de la derecha. Por ello, la varianza es
{
}
 sen( Nπ(u − v) )
Pxx (u ) Pxx (v) 
 W ( f − u )W ( f − v)dudv.
−1 2 ∫−1 2
 Nsen(π(u − v) ) 
(2.2.15)
12
Var PˆxxBT ( f ) = ∫
2
12
Puesto que
1  sen( Nπf ) 
WB ( f ) = 
N  sen(πf ) 
2
(2.2.16)
es la transformada de Fourier en tiempo discreto de una ventana de Bartlett, w B (k ) , se
aproxima a un valor constante al tender N hacia infinito, y W ( f ) converge a un
impulso. Por consiguiente, para valores altos de N, podemos realizar la siguiente
aproximación:
1
N
 sen(Nπ(u − v) ) 
1
 Nsen(π(u − v) )  ≈ N δ(u − v ) .


2
(2.2.17)
Es decir, el primer término tiende a un impulso de área 1 N . Por tanto, con N elevado,
la varianza del estimador de Blackman-Tukey es, aproximadamente
Análisis Espectral Multivariable de Señales Cerebrales
41
2. ESTIMACIÓN ESPECTRAL CLÁSICA UNIVARIABLE
{
}
1
Var PˆxxBT ( f ) ≈
N
12
∫
−1 2
Pxx2 (u )W 2 ( f − u )du.
(2.2.18)
Si M es lo suficientemente grande para considerar que Pxx ( f ) es constante en el lóbulo
principal de W ( f − u ) , podemos sacar Pxx2 (u ) fuera de la integral:
{
}
12
1
Var PˆxxBT ( f ) ≈ Pxx2 ( f ) ∫ W 2 ( f − u )du.
−
12
N
(2.2.19)
Finalmente, aplicando el teorema de Parseval, obtenemos
{
}
1
Var PˆxxBT ( f ) ≈ Pxx2 ( f )
N
M
∑w
2
(k ) ,
(2.2.20)
k =− M
con el supuesto N >> M >> 1 . Observamos un compromiso entre bias y varianza. Si
queremos obtener un sesgo pequeño, deberíamos elegir un valor de M grande, para
minimizar la anchura del lóbulo principal de W ( f ) (y obtener una resolución
aceptable), pero la varianza sería elevada, según nos demuestra la fórmula anterior, ya
que M determina el número de términos utilizados en el sumatorio. Generalmente, se
recomienda un valor máximo de M = N 5 .
Por último, resumimos las propiedades del método de Blackman-Tukey:
PˆxxBT ( f ) =
1. Sesgo o bias:
M
∑ rˆ
k =− M
{
xx
(k ) w(k )e − j 2 πfk .
(2.2.21)
}
Ε PˆxxBT ( f ) ≈ Pxx ( f ) ∗ W ( f ) .
(2.2.22)
2. Resolución: depende de la ventana utilizada (ver Tabla 2.1).
3. Varianza:
{
}
1
Var PˆxxBT ( f ) ≈ Pxx2 ( f )
N
2.3. COMPARACIÓN
PARAMÉTRICOS
DE
M
∑ w (k ) .
2
(2.2.23)
k =−M
PRESTACIONES
DE
MÉTODOS
NO
En los métodos no paramétricos, existe un compromiso entre resolución y varianza.
Ahora caracterizaremos las prestaciones de cada método atendiendo a dos nuevos
criterios:
1. Variabilidad del estimador, que es una varianza normalizada.
νA =
{
}
Var PˆxxA ( f )
,
2
A
ˆ
Ε P (f)
[{
xx
}]
(2.3.1)
donde A = P, M, B, W o BT para las cinco estimas de la potencia espectral.
42
Análisis Espectral Multivariable de Señales Cerebrales
2. ESTIMACIÓN ESPECTRAL CLÁSICA UNIVARIABLE
2. Figura de mérito, definido como el producto de la variabilidad por la
resolución.
M A = ν A ∆f .
(2.3.2)
Esta figura de mérito debería ser lo menor posible, y, como vamos a descubrir, va a ser
aproximadamente igual para todos los métodos no paramétricos. Analicemos pues, cada
uno de los métodos no paramétricos vistos en los apartados anteriores:
2.3.1. Periodograma.
El periodograma es asintóticamente insesgado, y para valores altos de N, la varianza es
aproximadamente igual a Pxx2 ( f ) . Por tanto, asintóticamente, la variabilidad del
periodograma es igual a uno,
Pxx2 ( f )
P
ν = 2
= 1,
(2.3.3)
Pxx ( f )
lo cual indica la escasa calidad al ser fijo e independiente de la longitud de los datos, N.
Como la resolución del periodograma es ∆f = 0.89 N , la figura de mérito resulta
MP =
0.89
,
N
(2.3.4)
que es inversamente proporcional a la longitud de los datos.
2.3.2. Periodograma modificado.
El periodograma modificado es, al igual que el periodograma, asintóticamente
insesgado, y para valores altos de N, su varianza es aproximadamente la misma. Por
ello, la variabilidad del periodograma modificado es
νM =
Pxx2 ( f )
= 1.
Pxx2 ( f )
(2.3.5)
Sin embargo, la resolución del periodograma modificado depende de la ventana
utilizada. Así, para el caso de una ventana de Bartlett con ancho de banda a 3dB de
∆f = 1.28 N , resulta una figura de mérito
MM =
1.28
.
N
(2.3.6)
2.3.3. Método de Bartlett.
En este método, se consigue una reducción en varianza a través del promediado de
periodogramas. Con N = KL , si N es suficientemente alto, la varianza se puede
aproximar por
1
Var {PxxB ( f )} ≈ Pxx2 ( f ) ,
(2.3.7)
K
y la variabilidad
Análisis Espectral Multivariable de Señales Cerebrales
43
2. ESTIMACIÓN ESPECTRAL CLÁSICA UNIVARIABLE
1 Pxx2 ( f ) 1
= .
K Pxx2 ( f ) K
νB =
(2.3.8)
Puesto que la resolución es ∆f = 0.89 K N , la figura de mérito
MB =
0.89
,
N
(2.3.9)
es la misma que para el periodograma.
2.3.4. Método de Welch.
Las propiedades estadísticas del método de Welch dependen del overlap utilizado.
Consideraremos un overlap del 50% y una ventana de Bartlett. Para un N elevado, la
variabilidad es, aproximadamente,
νW =
9 1
9 L
.
=
8 K 16 N
(2.3.10)
El ancho de banda a 3dB en una ventana de Bartlett de longitud L es 1.28 L , por lo
que la resolución es
∆f = 1.28 K ,
(2.3.11)
N
y la figura de mérito resulta ser
0.72
.
(2.3.12)
MW =
N
2.3.5. Método de Blackman-Tukey.
En este método la varianza depende de la ventana utilizada, y para nuestro estudio,
vamos a considerar una ventana de Bartlett de longitud 2 M , con N >> M >> 1 . Con
estos supuestos, la varianza del estimador Blackman-Tukey es
{
Var Pˆ
BT
xx
}
1
(f) ≈ P (f)
N
2
xx
2

k 
1 −  ≈ Pxx2 ( f ) 2 M .
∑
 M
3N
k =− M 

M
(2.3.13)
Por tanto, la variabilidad
ν BT =
2M
.
3 N
(2.3.14)
Puesto que el ancho de banda a 3 dB de la ventana de Bartlett de longitud 2 M es igual
a 1.28 (2 M ) , la resolución es
∆f = 0.64 .
(2.3.15)
M
Y la figura de mérito queda
0.43
M BT =
,
(2.3.16)
N
44
Análisis Espectral Multivariable de Señales Cerebrales
2. ESTIMACIÓN ESPECTRAL CLÁSICA UNIVARIABLE
que es ligeramente inferior a la figura de mérito del método anterior.
Para concluir, resumimos las prestaciones de los métodos no paramétricos en la
siguiente tabla:
Método no paramétrico
Periodograma
Periodograma modificado
Bartlett
Welch
Blackman-Tukey
Variabilidad
(ν )
1
1
1 (K )
9 (8 K )
2 M (3 N )
Resolución Figura de mérito
(∆f )
(M )
0.89 N
0.89 N
1.28 N
1.28 N
0.89(K N )
0.89 N
1.28 L
0.72 N
0.64 M
0.43 N
Tabla 2.2. Prestaciones de los métodos no paramétricos.
Para el método del periodograma modificado se ha supuesto una ventana de Bartlett de
longitud N, para el método de Welch una ventana de Bartlett de longitud L y un overlap
del 50%, y en el método de Blackman-Tukey la ventana utilizada es de Bartlett con
longitud 2 M . Observamos que las figuras de mérito son similares en todos los métodos,
y estos parámetros son inversamente proporcionales a la longitud de la secuencia de
datos, N. Así, aunque cada método difiera en resolución y varianza, las diferencias en
prestaciones son relativamente pequeñas y están limitadas por la cantidad de datos. De
los resultados obtenidos parece claro que las estimas de Welch y Blackman-Tukey son,
de alguna manera, mejores que las demás.
Análisis Espectral Multivariable de Señales Cerebrales
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