Fuerza gravitatoria

FUERZAS Y MOVIMIENTO
Fuerza gravitatoria
Teoría y ejemplos resueltos
 Fuerza gravitatoria
 Movimiento circular
Índice








Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
1
2
3
4
5
6
7
8




Ejercicio 9
Ejercicio10
Ejercicio11
Ejercicio12
Teoría
Para sostener un cuerpo, es decir, para mantenerlo en equilibrio separado de la superficie terrestre,
debemos ejercer una fuerza hacia arriba del mismo módulo que la fuerza que la Tierra ejerce sobre el
cuerpo hacia abajo; a esta última la denominamos peso. El peso de un cuerpo se mide mediante
dinamómetros y es proporcional a su masa.
El espacio alrededor de la Tierra, en el cual existe una fuerza de atracción sobre cualquier cuerpo, se
denomina campo gravitatorio terrestre. Cualquier astro crea un campo gravitatorio.
En un campo gravitatorio se define la intensidad del campo gravitatorio, 𝒈 , en un punto como la
fuerza gravitatoria a la que está sometida la unidad de masa en ese punto. La intensidad del campo
gravitatorio disminuye al aumentar la distancia al astro, siendo además diferente de unos astros a
otros. Así por ejemplo, en las proximidades de la superficie terrestre, la intensidad de campo
gravitatorio es de 9,8 N/kg (𝑚 𝑠 2 ), mientras que cerca de la superficie lunar es de 1,6 N/kg.
La fuerza mutua que se ejercen dos cuerpos cualesquiera en el universo, no sólo dos astros entre si o
un astro y otro cuerpo, fue establecida por Newton y se denomina ley de la gravitación universal:
Dos cuerpos se atraen mutuamente con una fuerza directamente proporcional al producto de
sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre sus centros
𝑚1 · 𝑚2
𝐹𝑔 = −𝐺
𝑢𝑟
𝑟2
siendo G la constante de gravitación universal cuyo valor es 6,67·10-11 N·m2/kg2.
Teoría
La intensidad del campo gravitatorio en un punto se ha definido como la fuerza gravitatoria que
actúa sobre la unidad de masa en ese punto. A partir de la ley de Newton de la gravitación universal
se puede calcular el valor de la intensidad de campo gravitatorio a una distancia determinada de un
astro.
m
En la figura adjunta se muestra la fuerza que un astro de masa M
ejerce sobre una masa m situada a una distancia r. Esta fuerza,
que denominamos peso, se calcularía por la ley de Newton.
NOTA: En general vamos a poder trabajar con el módulo de
la expresión de la ley:
FG
r
Mm
r2
Si esa fuerza se ejerce sobre una masa m, sobre la unidad de
masa (1 kg) la fuerza será m veces menor, por lo que la
intensidad de campo gravitatorio se calculará como:
Mm
F G r2
g

m
m
 g G
M
r2
de modo que la intensidad de campo gravitatorio en un punto
depende de la masa del astro (M) y de la distancia al punto (r).
Es directamente proporcional a la masa del astro e inversamente
proporcional al cuadrado de la distancia a su centro.
M
F
Teoría
Si sobre un objeto actúa una fuerza neta en la misma dirección del movimiento, el cuerpo modifica
el módulo de su velocidad y puede modificarse también su sentido, pero no su dirección. Para que un
objeto modifique su dirección de movimiento, y verifique por tanto un movimiento curvilíneo, es
necesario que actúe una fuerza neta en una dirección que no coincida con la de su movimiento. Esto
último es lo que sucede con el movimiento de un balón impulsado por un jugador, con una piedra que
se lanza en una dirección que no sea la vertical, cuando un vehículo toma una curva o cuando un
satélite, natural o artificial, se mueve alrededor de un astro.
Uno de las casos más sencillos es el movimiento circular uniforme, que es el que sigue un objeto
cuando recorre una trayectoria circular con rapidez constante, que no con velocidad constante
puesto que la dirección de su velocidad se modifica continuamente. Para que un objeto describa un
movimiento circular uniforme es necesario que exista una fuerza sobre el mismo que se dirija
permanentemente hacia el centro de giro, que se denomina fuerza centrípeta, y que en este
curso aceptamos sin demostración que su valor se calcula por la expresión siguiente:
v2
FC  m
r
Siendo m la masa del objeto, v su rapidez
en el movimiento circular uniforme y r el
radio de giro de la trayectoria circular, según
muestra el esquema adjunto .
v
FC
r
1
(a) ¿Cuál es la fuerza gravitatoria o peso de una persona con una masa de 60 kg
en las proximidades de la superficie terrestre?
(b) ¿Cuál sería la fuerza gravitatoria que sobre la misma persona se ejercería en la
superficie de la Luna?
Dado que la intensidad de campo gravitatorio es la fuerza que actúa sobre la unidad de
masa, la fuerza sobre una masa m valdrá: F = m·g
Se necesitan los valores de la intensidad de campo gravitatorio en la superficie de la Tierra
y en la superficie de la Luna, que puedes encontrar en la Ayuda.
(a) En la superficie terrestre la intensidad de campo gravitatorio es 9,8 N/kg. Por tanto:
F = m·g = 60·9,8 = 588 N
(b) En la superficie lunar la intensidad de campo gravitatorio es 1,6 N/kg. Por tanto:
F = m·g = 60·1,6 = 96N
2
Astro
¿De qué factores depende la intensidad del campo gravitatorio en un punto alrededor de
un astro? A partir de los datos de la tabla calcula la intensidad del campo gravitatorio en la
superficie de la Tierra, en la superficie de la Luna y en la superficie de Marte.
Masa del astro (kg)
Radio del astro (m)
Tierra
5,98·1024
6,37·106
Luna
7,34·1022
1,74·106
Marte
6,40·1023
3,32·106
Escribe la expresión de la intensidad
del campo gravitatorio en un punto. Ve
a la ayuda si no la conoces.
La expresión es:
g G
M
r2
Depende de la masa del astro y de la
distancia del centro del astro al punto.
Realiza el cálculo de la intensidad del campo para
cada astro.
Para la Tierra: gT = 6,67·10-11·5,98·1024/(6,37·106)2 = 9,8 N/kg
Para la Luna: gL = 6,67·10-11·7,34·1022/(1,74·106)2 = 1,6 N/kg
Para Marte:
gM =6,67·10-11·6,4·1023/(3,32·106)2 = 3,9 N/kg
3
Utiliza la expresión: F = m·g y los datos de la tabla para calcular el peso de los siguientes cuerpos:
(a) Un coche de 1400 kg en la superficie de la Tierra.
(b) Un astronauta con una masa de 70 kg en la Luna.
(c) Una manzana de 0,2 kg en el planeta Júpiter.
(d) Un astronauta de 70 kg en la superficie de una estrella de neutrones.
Astro
Tierra
Luna
Júpiter
Estrella de neutrones
g (N/kg)
9,8
1,6
26,3
2·1012
Utiliza la expresión indicada en el ejercicio para calcular cada uno de los apartados.
(a)
(b)
(c)
(d)
F
F
F
F
=
=
=
=
1400·9,8 = 13720 N
70·1,6 = 112 N
0,2·26,3 = 5,3 N
70·2·1012 = 1,4·1014 N
4
¿Por qué es mayor la intensidad del campo gravitatorio en un punto próximo a la superficie
terrestre que la intensidad del campo gravitatorio en un punto próximo a la superficie lunar?
Si todavía no has asimilado el concepto, vuelve a leer la ayuda.
La expresión de la intensidad del campo gravitatorio es:
g G
M
r2
lo que significa que es directamente proporcional la masa del astro e
inversamente proporcional al cuadrado de la distancia al punto. En
general se puede responder a la pregunta del ejercicio diciendo que:
G
MT
ML

G
rT2
rL2
Siendo la masa de la Tierra unas 81 veces mayor que la de la Luna,
aunque también el radio de la Tierra es unas 3,7 veces mayor que el
de la Luna, el resultado es que la intensidad del campo gravitatorio
terrestre es unas 6 veces (81/3,72) mayor que la intensidad del campo
gravitatorio lunar.
5
Una piedra pesa 73,5 N en la superficie terrestre.
(a) Calcula su peso en la superficie de la Luna.
(b) ¿Con qué aceleración caería la piedra en las proximidades de la superficie terrestre?
(c) ¿Con qué aceleración caería la piedra en las proximidades de la superficie de la Luna?
DATOS. Intensidades de campo gravitatorio: gT = 9,8 N/kg; gL =1,6 N/kg.
Calcula la masa de la piedra
Contesta al apartado (a)
Contesta al apartado (b)
Contesta al apartado (c)
La masa de la piedra se calcula a partir de la expresión que
relaciona el peso y la intensidad de campo gravitatorio: F = m·g
Despejando la masa y sustituyendo los valores en la Tierra:
m = FT/gT = 73,5/9,8 = 7,5 kg
La masa de un cuerpo no depende del campo en el que está
situado y es la misma en la Tierra que en la Luna. Aplicando la
expresión anterior en la Luna: FL = m·gL = 7,5· 1,6 = 12 N
Dado que la fuerza de rozamiento de la piedra con el aire es
despreciable, la piedra cae sometida a una fuerza neta que es su
propio peso. Aplicando la 2ª ley de Newton se calcula su
aceleración:
a = F/m = 73,5 N/ 7,5 kg = 9,8 m/s2.
Análogamente en la Luna:
a = F/m = 12 N/ 7,5 kg = 1,6 m/s2.
6
La intensidad del campo gravitatorio en las proximidades de la superficie terrestre es 9,8 N/kg, y el radio
de la Tierra es 6,38·106 m.
(a) Utiliza la fórmula de Newton para comprobar que la masa de la Tierra es 5,98·10 24 kg.
(b) Calcula el volumen de la Tierra y su densidad media, suponiendo que es una esfera.
(c) ¿Cómo se explica el valor hallado de la densidad media, si la densidad de los materiales de la
superficie terrestre es alrededor de 2500 kg/m 3?
Contesta al apartado (a)
Contesta al apartado (b)
Contesta al apartado (c)
En ejercicios anteriores hemos visto que la expresión de la ley de
Newton de la gravitación universal y el concepto de intensidad de
campo conducen a la expresión: g = G·M/r2. Aplicado a la Tierra y
despejando M, se tiene:
M = g·r2/G = 9,8·(6,38·106)2/6,67·10-11 = 5,98·1024 kg
El volumen de la esfera terrestre es:
V=4/3··r3 = 4/3·  ·(6,38·106)3 = =1,09·1021 m3
La densidad media se calcula dividiendo la masa de la Tierra por
su volumen: d = M/V = 5,98·1024/1,09·1021 = 5500 kg/m3
La explicación es que el núcleo de la Tierra está formado por
materiales más densos que los de la superficie, y de ahí el valor
hallado para la densidad media.
7
(a) Calcula la fuerza con la que la Tierra atrae a una masa de 1 kg situada a una altura de 10 km
sobre la superficie terrestre. Compara dicho valor con la fuerza gravitatoria si la masa de 1 kg
estuviese sobre la superficie terrestre.
(b) ¿Con qué fuerza la masa de 1 kg atrae a la Tierra cuando está situada a 10 km de la superficie de
ésta?
DATOS: M = 5,98·1024 kg; R = 6,38·106 m
Contesta al apartado (a)
Contesta al apartado (b)
Se aplica la expresión de la ley de Newton de la gravitación
universal para los dos cálculos: F = G·M·m/r2
A 10 km de la superficie:
F = 6,67·10-11·5,98·1024·1/(6,39·106)2 = 9,77 N
Sobre la superficie terrestre:
F = 6,67·10-11·5,98·1024·1/(6,38·106)2 = 9,80 N
Si se redondea a una cifra decimal los resultados son idénticos,
9,8 N, lo que explica que para calcular el peso en las
proximidades de la superficie terrestre no sea necesario aplicar
repetidamente la ley de Newton, sino que basta con aplicar la
expresión F = m·g, tomando g = 9,8 N/kg.
Según la 3ª ley de Newton, la fuerza que la masa ejerce sobre la
Tierra es una fuerza de la misma dirección que la de la fuerza que
la Tierra ejerce sobre la masa, del mismo módulo (9,77 N) y de
sentido opuesto.
8
Una persona se encuentra encima de una báscula de resorte en un ascensor parado; la indicación de la
báscula en esas condiciones es de 550 N.
¿Cuál será la indicación de la báscula (mayor, igual o menor que 550 N) en cada una de las situaciones
siguientes:
(a) El ascensor desciende con movimiento uniforme.
(b) El ascensor asciende con movimiento uniformemente acelerado.
(c) El ascensor está en caída libre.
¡¡Repasa las leyes de Newton!!
Contesta al apartado (a)
Contesta al apartado (b)
Contesta al apartado (c)
Sobre la persona actúan dos fuerzas en sentidos opuestos: la
fuerza gravitatoria o peso, y la fuerza que el muelle de la balanza
ejerce sobre ella. Por la primera ley de Newton, cuando el cuerpo
está en reposo o en movimiento rectilíneo y uniforme, la fuerza
neta es cero. Por tanto, cuando el ascensor desciende con
movimiento uniforme, (y sería la misma respuesta si ascendiese),
la báscula señalará 550 N.
La persona asciende acelerada igual que el ascensor, por lo que
debe haber una fuerza neta hacia arriba; la fuerza que ejerce el
muelle debe ser superior al peso de la persona y la báscula
señalará un valor mayor que 550 N.
Para que la persona esté en caída libre es necesario que la fuerza
neta sea igual a su peso, lo que significa que la fuerza ejercida por
el muelle de la balanza sea cero, y la indicación de la balanza
será, por tanto, cero también.
9
(a)¿Cuál es la fuerza que proporciona la fuerza centrípeta necesaria para que un coche coja bien una
curva?
(b) En la figura se observa una ambulancia de 2000 kg tomando una curva de 50 m de radio con
velocidad constante de 72 km/h. Dibuja la fuerza que le permite tomar la curva con seguridad y
calcula su valor.
Contesta al apartado (a)
La fuerza centrípeta necesaria para que la
ambulancia tome la curva con seguridad la
proporciona la fuerza de rozamiento de los
neumáticos con el suelo.
r
Dibuja la fuerza centrípeta
FC
La fuerza centrípeta, como su nombre indica, se
dirige al centro de curvatura.
Contesta al apartado (b)
La fuerza centrípeta se calcula por la expresión: FC = mv2/r
Dado que 72 km/h = 20 m/s, sustituyendo:
FC = 2000·202/50 = 16000 N
O
10
En el año 1990 se estimó que había cerca de 2000 satélites artificiales alrededor de la Tierra, aunque no
todos estaban en funcionamiento.
(a) ¿Cuál es la fuerza que mantiene en órbita al satélite alrededor de la Tierra?
(b) ¿En qué dirección y sentido actúa esa fuerza?
(c) ¿Qué haría un satélite si esta fuerza desapareciese de repente?
Contesta al apartado (a)
v
La fuerza centrípeta necesaria para que un
satélite orbite alrededor de la Tierra es la fuerza
gravitatoria que la Tierra ejerce sobre él.
Contesta al apartado (b)
La dirección de la fuerza centrípeta es radial
respecto al centro de la Tierra y con sentido
hacia dicho centro.
Contesta al apartado (c)
Seguiría en trayectoria rectilínea
velocidad que llevase en ese instante.
con
la
FC
11
El tiempo que tarda un satélite en dar una vuelta alrededor de la Tierra se llama período del satélite y
depende de la altura de la órbita. Cuanto más lejos está de la Tierra mayor es su período; a una altura de
200 km el período es de unos 90 minutos, mientras que a 36000 km de altura el período es de 24 horas.
En el dibujo se muestran los distintos tipos de satélites según su órbita.
(a) ¿Cómo crees que se verá desde la Tierra un satélite que describe una órbita situada en el mismo
plano que el ecuador a 36000 km de altura sobre la superficie terrestre?
(b) ¿Cómo se llama este tipo de satélites y cuál es su utilidad?
Contesta al apartado (a)
Un satélite que gire en una órbita en el mismo
plano que el ecuador terrestre, y con un
período de 24 h, se verá desde la Tierra
siempre en el mismo punto del espacio.
Contesta al apartado (b)
La órbita en la que se mueven dichos satélites
se denomina geoestacionaria y a los satélites se
les denomina geoestacionarios. Estos satélites
se utilizan para comunicaciones.
12
En el dibujo se muestra un satélite de comunicaciones. Busca información sobre la
finalidad de cada uno de los componentes señalados en el dibujo.
Muestra la información que has encontrado
Los paneles solares transforman la energía solar en
energía eléctrica mediante células fotovoltaicas.
Los reflectores curvados de antena sirven para
captar señales que llegan o para emitir señales,
según que la antena sea receptora o emisora.
Los propulsores sirven para corregir desviaciones
que se puedan producir en la órbita del satélite.
La capa térmica es un aislante protector del satélite
frente a la radiación solar.