α - Centro Concertado Juan XXIII Cartuja
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BLOQUE TEMÁTICO I:
ANÁLISIS
TEMA 0 Repaso de logaritmos y trigonometría
TEMA 1 Funciones reales de variable real: Límites y
continuidad
TEMA 2 Derivadas y técnicas de derivación
TEMA 3 Aplicaciones de las derivadas
TEMA 4 Integral indefinida
TEMA 5 Integral definida
Matemáticas II: Análisis
Curso 2013/14
1
O. REPASO LOGARITMOS Y TRIGONOMETRÍA
1ª.- Definición de logaritmo.
2ª.- Propiedades de los logaritmos.
3ª.- Ecuaciones logarítmicas.
4ª.- Medidas de ángulos.
5ª.- Razones trigonométricas de un ángulo agudo.
6ª.- Inversas de las razones trigonométricas.
7ª.- Propiedades de las razones trigonométricas.
8ª.- Ecuación fundamental de la trigonometría.
9ª.- Razones trigonométricas de ángulos notables.
10ª.- Razones trigonométricas de un ángulo cualquiera.
11ª.- Reducción al primer cuadrante.
12ª.- Ecuaciones trigonométricas.
13ª.- Gráficas de las funciones trigonométricas.
Matemáticas II: Análisis
Curso 2013/14
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1ª.- Definición de logaritmo.
Se llama logaritmo en base a (a > 0 y a ≠ 1) de un número positivo x, a otro
número y, que es el exponente al que hay que elevar a para obtener el número x.
loga x = y ay = x
(a > 0; a ≠ 1; x > 0)
A los logaritmos en base 10 (a = 10) se les denomina logaritmos decimales. Su escritura
se abrevia omitiendo la base:
log10 x = log x
A los logaritmos en base e (a = e) se les denomina logaritmos neperianos y se
designan como ln, Ln ó L:
Loge x = ln x = Ln x = L x
Ejemplo resuelto 0 – 1º
a) log2 4 = 2 porque 22 = 4
b) log2 8 = 3 porque 23 = 8
c) log2 1/2 = -1 porque 2-1 = ½
d) log2 2 = 1 porque 21 = 2
e) log2 1 = 0 porque 20 = 1
f) log 1 = 0 porque 100 = 1
g) Ln e = 1 porque e1 = e
h) log 100 = 2 porque 102 = 100
i) log 0,01 = -2 porque 10-2 = 1/102 = 1/100 = 0,01
j) ln e = 1/2 porque e1/2 =
e
Ejercicio 0 – 1º
Sin utilizar la calculadora, halla el valor de los siguientes logaritmos, justificándolo:
a) log2 16 =
b) log4 = 16 =
c) log2 ¼ =
d) log 10 =
e) log3 1 =
f) ln 1 =
g) ln (1/e) =
h) log 0,1 =
i) Ln e3 =
j) ln
3
e
=
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3
2ª.- Propiedades de los logaritmos
Las propiedades de los logaritmos son las siguientes:
1ª.- En cualquier base a, el logaritmo de la unidad siempre vale 0:
loga 1 = 0
2ª.- En cualquier base a, el logaritmo de la base siempre vale 1:
loga a = 1
3ª- En cualquier base, el logaritmo del producto de dos números coincide con la
suma de los logaritmos de dichos números:
loga (A.B) = loga A + loga B
4ª.- En cualquier base, el logaritmo del cociente (división) de dos números
coincide con la resta de los logaritmos de dichos números:
loga (A/B) = loga A - loga B
5ª.- En cualquier base, el logaritmo de una potencia coincide con el producto del
exponente por el logaritmo de la base:
loga An = n.loga A
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3ª.- Ecuaciones logarítmicas
Son aquellas ecuaciones en las que la incógnita está en una expresión afectada
por un logaritmo:
b ) logx+log50 3
a) 5log2 (x+3)=log2 32
c ) 2lnx-ln(10-3x)=0
Para resolver una ecuación logarítmica se modifican sus miembros con la ayuda
de las propiedades de los logaritmos hasta conseguir que en cada miembro haya solo un
logaritmo y luego se aplica:
loga M loga N
M N
Y se resuelve la ecuación M N .
Es necesario comprobar que las soluciones obtenidas son válidas, ya que no
están definidos los logaritmos de cero ni de números negativos.
Ejemplo resuelto 0 – 2º
Resuelve las siguientes ecuaciones logarítmicas:
A) 5log2 (x+3)=log2 32
5log2 (x+3)=log2 32 log2 (x+3)5 =log 2 32 ( x 3) 5 32 ( x 3) 5 2 5
( x 3) 2
x 1
Puedes comprobar que x = -1 sí es solución de la ecuación inicial.
B) logx+log50 3
logx+log50 3 log(50x ) 3 log(50 x ) log1000 50 x 1000
x 20
Puedes comprobar que x = -1 sí es solución de la ecuación inicial.
C) 2lnx-ln(10-3x)=0
2lnx-ln(10-3x)=0
x2
=1
(10-3x)
lnx 2 -ln(10-3x)=0 ln
x 2 3 x 10 0
x2
=0
(10-3x)
ln
x2
=ln1
(10-3x)
x 1 2; x 2 5
La solución x = - 5 no es válida porque en la ecuación original aparecería log(-5) que no es válido.
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Ejercicio 0 – 2º
Resuelve las siguientes ecuaciones logarítmicas:
A ) 5 log x 3 log x 2log 6
SOLUC: A) x = 6
B) 10 y 5/3
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B ) log(3x 2 5x 30) - log(3x 8) 1
C)
log x 1
log 2
2
2
C) x = 20
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4ª.- Medidas de ángulos
El sistema de medidas angulares más utilizado es el sexagesimal, cuya unidad es
el grado sexagesimal (º). En la calculadora se identifica como “DEG”.
El grado sexagesimal es la noventava parte del ángulo recto, es decir, del ángulo
comprendido entre dos segmentos perpendiculares. Por esta razón al ángulo recto se le da
el valor de 90 grados sexagesimales (90º).
Cada grado sexagesimal se divide en 60 partes iguales llamadas minutos
sexagesimales y cada minuto se divide en 60 partes iguales llamadas segundos
sexagesimales.
El valor de un ángulo en el sistema sexagesimal se puede dar de dos formas:
En forma decimal: 34,5º
En forma compleja: 34º 30’ 0’’
La calculadora te permite pasar de una a otra forma indistintamente.
Sin embargo, en el SI (Sistema Internacional de Unidades), los ángulos se
miden en radianes (rad). En la calculadora se identifica como “RAD”.
Un radián es un ángulo que abarca un arco de circunferencia cuya longitud es
igual a la del radio:
La equivalencia entre grados sexagesimales y radianes es la siguiente:
360º = 2π radianes
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Existe un tercer sistema para medir ángulos: el sistema centesimal. En este
sistema el ángulo recto mide 100 grados centesimales, es decir, un grado centesimal el la
centésima parte del ángulo recto. En la calculadora se suele identificar como “GRAD”
Ejercicio 0 – 3º
Completa la siguiente tabla correspondiente a la equivalencia entre grados
sexagesimales y radianes:
ÁNGULOS
GRADOS
0º
90º
180º
270º
45º
30º
60º
150º
120º
135º
2250º
210º
330º
300º
RADIANES
GRADOS
RADIANES
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5ª.- Razones trigonométricas de un ángulo agudo
Considera el triángulo rectángulo de la figura, el cual consta de tres lados: dos
catetos (a y b) y la hipotenusa (c); y de tres ángulos: dos agudos (α y β) y uno recto (90º)
β = 90º-α
a
c
α
90º
b
Se define el seno del ángulo α como el cociente entre las longitudes del cateto
opuesto a dicho ángulo y la hipotenusa:
senα=
cateto opuesto a
hipotenusa
c
Se define el coseno del ángulo α como el cociente entre las longitudes del cateto
contiguo a dicho ángulo y la hipotenusa:
cosα=
cateto contiguo b
hipotenusa
c
Se define la tangente del ángulo α como el cociente entre su seno y su coseno, es
decir, entre las longitudes del cateto opuesto y el cateto contiguo a dicho ángulo:
a
sen
a
cateto opuesto
tgα=
c
b
cos
b cateto contiguo
c
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6ª.- Inversas de la razones trigonométricas
Se define la cosecante del ángulo α como la inversa del senα, es decir, el cociente
entre las longitudes de la hipotenusa y el cateto opuesto a dicho ángulo:
cosec =
1
hipotenusa
c
sen cateto opuesto a
Se define la secante del ángulo α como la inversa del cosα, es decir, el cociente
entre las longitudes de la hipotenusa y el cateto contiguo a dicho ángulo:
secα=
1
hipotenusa
c
cos cateto contiguo b
Se define la cotangente del ángulo α como la inversa de la tgα, es decir, el
cociente entre el cosα y el senα, o sea, el cociente entre las longitudes del cateto contiguo
y el cateto opuesto a dicho ángulo:
b
1
cos
b cateto contiguo
cotgα=
c
a
tg sen
a
cateto opuesto
c
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7ª.- Propiedades de las razones trigonométricas
De la definición de las razones trigonométricas para un ángulo agudo se pueden
deducir múltiples propiedades. Destacamos las siguientes:
1ª.- La definición de seno, coseno y tangente no depende del tamaño del triángulo
elegido, sólo depende de los ángulos
C´´
β=90º-α
C´
β=90º-α
C
α
B´´
B´
B
A
En efecto los triángulos ABC, AB´C´ y AB´´C´´ son semejantes, es decir, aunque sus lados
no tienen las mismas longitudes, sus ángulos sí son iguales y por tanto la relación entre
sus lados siempre es la misma.
2ª.- Los valores de las tres razones trigonmétricas de un ángulo agudo siempre
serán un nº mayor o igual a 0.
3ª.- El seno y el coseno de un ángulo agudo nunca será superior a 1, puesto que
los catetos son menores o iguales que la hipotenusa. La tangente sí.
4ª.- El seno de un ángulo α siempre coincidirá con el coseno de su
complementario β = 90º-α, ya que el cateto opuesto a α es el cateto contiguo a β = 90º-α.
β = 90º-α
a
c
α
90º
b
senα=
cateto opuesto a
cateto contiguo a
cos(90º )
hipotenusa
c
hipotenusa
c
5ª.- El coseno de un ángulo α siempre coincidirá con el seno de su
complementario β = 90º-α, ya que el cateto contiguo a α es el cateto opuesto a β = 90º-α.
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cosα=
cateto contiguo b
cateto opuesto b
sen (90º )
hipotenusa
c
hipotenusa
c
6ª.- La tangente de un ángulo α siempre coincidirá con la cotangente de su
complementario β = 90º-α, ya que el cateto contiguo a α es el cateto opuesto a β = 90º-α y
viceversa.
tgα=
sen a
cos(90º )
cot g (90º )
cos b sen (90º )
8ª.- Ecuación fundamental de la trigonometría
Si elevamos al cuadrado el seno y el coseno de un ángulo y sumamos los
resultados siempre obtenemos el mismo valor, la unidad. Veámoslo:
a2
2
2
2
2
c 2 sen 2 cos 2 a b a b
b2
c2 c2
c2
2
2
(cos ) cos 2
c
(sen )2 sen 2
PITÁGORAS
C
C
2
2
1
A este resultado se le conoce como ecuación fundamental de la trigonometría:
sen 2 cos 2 1
Esta ecuación puede transformarse en otras dos ecuaciones equivalentes. Para ello,
primero dividamos ambos miembros de la ecuación por sen 2 :
sen 2 cos 2
1
2
sen
sen 2
sen 2 cos 2
1
2
2
sen sen sen 2
1 ctg 2 cos c 2
1 ctg 2 cos c 2
Si ahora dividimos la ecuación fundamental de la trigonometría por cos2 :
sen 2 cos 2
1
cos 2
cos 2
sen 2 cos 2
1
cos 2 cos 2 cos 2
tg 2 1 sec c 2
tg 2 1 sec c 2
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Ejemplo resuelto 0 – 3º
Sabiendo que α es un ángulo agudo, calcula el resto de sus razones
trigonométricas y sus inversas, a partir del dato que te dan:
A) sen α = 2/3
Aplicamos la ecuación fundamental de la trigonometría y obtenemos el valor del cos α:
2
4
5
5
sen 2 cos2 1 ( )2 cos2 1 cos2 1
cos2
cos
3
9
9
3
Pero desechamos el valor negativo porque las razones trigonométricas de los ángulos agudos son siempre
positivas.
cos
5
3
Ya podemos calcular la tangente y las inversas:
tg
cosec
1
3
sen 2
sen 2 / 3
2 2 5
cos
5
5/3
5
se c
1
3 3 5
cos
5
5
cot g
1
cos
5
tg sen
2
B) tg α = 2
Si aplicamos la ecuación equivalente a la ecuación fundamental de la trigonometría
tg 2 1 sec c 2
obtenemos el valor de la sec α y a continuación cos α:
tg 2 1 sec c 2 22 1 secc 2 5 secc 2 secc 5
secc 5 cos
1
5
5
5
De nuevo hemos desechado el signo negativo al tratarse de un ángulo agudo.
Ahora podemos calcular el sen α y podemos hacerlo con la ecuación fundamental de la
trigonometría o con la definición de tangente:
tg
sen
5
2 5
sen cos.tg sen .2 sen
cos
5
5
Calculemos las inversas que nos faltan:
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csc
1
5
5
sen 2 5 2
ctg
1 1
tg 2
Ejercicio 0 – 4º
A) Sabemos que sen α = 1/2 y que α es un ángulo agudo. Calcula el resto de
razones trigonométricas y sus inversas.
B) Sabemos que β es un ángulo agudo y que tg β = 3. Calcula el resto de razones
trigonométricas y sus inversas.
3
C) Sabemos que c o t g 3 y que α es un ángulo agudo. Calcula las razones
trigonométricas de dicho ángulo y sus inversas.
SOLUC: A) c o s
C) c o s
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3
2
1
2
tg
3
3
sen
3
2
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B) c o s
10
10
sen
3 10
10
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9ª.- Razones trigonométricas de ángulos notables
Las razones trigonométricas de 0º, 30º, 45º, 60º y 90º se pueden calcular
fácilmente mediante geometría y son tan utilizadas que conviene conocerlas.
9.1 Razones trigonométricas de 45º
Consideremos un cuadrado de 1 m de lado. Si trazamos una cualquiera de sus
dos diagonales obtenemos dos triángulos rectángulos isósceles con los ángulos agudos
iguales y de 45º:
2m
1m
45º
1m
sen 45º
cateto opuesto 1
2
;
hipotenusa
2 2
cos45º
cateto contiguo 1
2
;
hipotenusa
2 2
tg 45º 1
Como vemos el seno y el coseno de 45º valen lo mismo y, por tanto, la tangente vale 1.
9.2 Razones trigonométricas de 30º y 60º
Consideremos un triángulo equilátero de de 2 m de lado. Los tres ángulos son
iguales y valen 60º. Si trazamos la altura de uno cualquiera de sus lados, obtenemos dos
triángulos rectángulos escalenos de los que conocemos sus ángulos agudos que son de
30º y 60º:
60º
2m
60º
60º
2m
2m
60º
60º
2m
sen 30º
cateto opuesto 1
;
hipotenusa
2
30º 30º
1m
cos30º
2m
3 m 60º
1m
cateto contiguo
3
;
hipotenusa
2
tg 30º
1
3
3
3
Como puede comprobarse 60º = 90º - 30º es el ángulo complementario de 30º y, por tanto
cumple las propiedades 4ª, 5ª y 6ª vistas en la pregunta 7ª.
sen 60º
Matemáticas II: Análisis
3
cos30º;
2
cos60º
1
sen 30º;
2
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tg 60º 3 cot g 30º
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9.3 Razones trigonométricas de 0º y 90º
En este caso lo haremos por aproximación. Consideremos un triángulo rectángulo
y hagamos que el ángulo α vaya disminuyendo hasta hacerse 0º:
c
a
α
b
Si disminuimos el ángulo α, el cateto a va disminuyendo y, cuando mas nos aproximemos
a 0º mas se aproximará el valor del cateto a a 0. Cuando α sea 0,º, el cateto a valdrá 0 y
por tanto el sen0º = 0
Del mismo modo, si disminuimos el ángulo α, manteniendo la longitud del cateto b, la
hipotenusa c va disminuyendo y, cuando mas nos aproximemos a 0º mas se aproximará el
valor de la hipotenusa al cateto b. Cuando α sea 0º c y b serán iguales y por tanto el cos0º
=1
sen 0º
cateto opuesto 0
0;
hipotenusa
c
cos0º
cateto contiguo b c
1;
hipotenusa
tg 0º
0
0
1
Teniendo en cuenta que 90º es el ángulo complementario a 0º, obtenemos:
sen 90º cos0º 1;
cos90º sen 0º 0;
tg 90º
sen 90º 1
cos90º 0
En la siguiente tabla se recogen todos los resultados obtenidos:
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS NOTABLES
Senα
cosα
Tgα
0º = 0 rad
0
1
0
30º = rad
1
2
3
2
3
3
45º = rad
2
2
2
2
1
60º = rad
3
2
1
2
3
1
0
∞
6
4
3
90º = rad
2
Matemáticas II: Análisis
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10ª.- Razones trigonométricas de un ángulo cualquiera
Hasta ahora hemos hablado solo de ángulos agudos (de 0º a 90º). Pero también
hay ángulos mayores de 90º y ángulos negativos.
Para representar cualquier ángulo (ángulos comprendidos entre 0º y 360º, ángulos
mayores de 360º y ángulos negativos) se utiliza la denominada circunferencia
goniométrica, es decir, una circunferencia de radio la unidad y centrada en el origen de
coordenadas cartesiano.
Los ángulos se representan siempre partiendo del semieje positivo de las x y se
consideran positivos si se miden en sentido contrario a las agujas del reloj y negativos
cuando se miden en el sentido de las agujas del reloj.
1m
ángulo positivo
α
O
ángulo negativo
Utilizando esta representación, a cualquier punto de la circunferencia goniométrica
se le puede asociar con un ángulo positivo entre 0º y 360º, llamado ángulo reducido o a un
ángulo negativo.
Cada punto de la circunferencia goniométrica también representa a cualquier
ángulo que sea igual al ángulo reducido más un múltiplo entero de 360º (ó 2π radianes)
1m
α, α + 360º, α + 2.360º, … (α + n.360º ó α + n.2π)
α
O
Según el valor del ángulo reducido α el plano se divide en cuatro zonas o
cuadrantes:
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90º π/2 rad
2º cuad.
180º = π rad
er
1 cuad
O
0º = 0 rad
er
3 cuad. 4º cuad
270º
3π/2 rad
Primer cuadrante
Segundo cuadrante
Tercer cuadrante
Cuarto cuadrante
0º < α < 90º
90º < α < 180º
180º < α < 270º
270º < α < 360º
0 < α < π/2 rad
π/2 < α < π rad
π < α < 3π/2 rad
3π/2 < α < 2π rad
Si representamos un ángulo del primer cuadrante en la circunferencia
goniométrica y aplicamos la definición de seno y coseno, podemos observar que la
ordenada del punto A coincide con el valor del seno del ángulo α y la abscisa coincide con
el valor del coseno.
La tangente del ángulo α, aplicando el Teorema de Tales a triángulos semejantes,
correspondería con la longitud del segmento verde.
A
1
α
tgα
x cos
A = (x, y)
y sen
y = senα
O x = cosα
Esta nueva definición de las razones trigonométricas a través de las coordenadas
de los puntos de la circunferencia goniométrica se puede extender a cualquier ángulo sea
o no agudo.
De esta nueva definición mediante coordenadas se pueden deducir múltiples
consecuencias:
1ª.- Por ejemplo, podemos deducir fácilmente las razones trigonométricas de los
ángulos que separan a los diferentes cuadrantes:
Matemáticas II: Análisis
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x cos90º 0
B = (0,1) y sen 90º 1
tg 90º
90º
x cos180º 1
y sen 180º 0 C = (-1,0)180º
tg 180º 0
0º
x cos360º 1
A = (1,0) y sen 360º 0
tg 360º 0
270º
x cos270º 0
D = (0,-1) y sen 270º 1
tg 270º
2ª.- También podemos deducir cuales serán los signos de las razones
trigonométricas en los diferentes cuadrantes:
x cos 0
y sen 0 B = (x,y)
tg 0
x cos 0
A = (x,y) y sen 0
tg 0
x cos 0
y sen 0 C = (x,y)
tg 0
x cos 0
D = (x,y) y sen 0
tg 0
cuadrante
ángulo α
1º
0º < α < 90º
+
+
+
+
+
2º
90º < α < 1890º
-
+
+
-
-
3º
180º < α < 270º
-
-
-
-
+
4º
270º < α < 360º
+
-
-
+
-
Matemáticas II: Análisis
abscisa ordenada senα Cosα tgα
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3ª.- Los valores del seno y del coseno de cualquier ángulo siempre estarán
comprendidos entre los valores -1 y 1, es decir, no pueden valer ni más de 1, ni menos de 1. La tangente puede tomar cualquier valor real.
4ª.- También podemos descubrir que un ángulo α y cualquier otro ángulo que
difiera de él en un nº entero de vueltas (α + n.360º ó α + n.π rad) tienen las mismas
razones trigonométricas:
A
1
tgα
α
x cos cos( n .360º )
A = (x, y) y sen sen ( n .360º )
tg tg ( n .360º ) (n 0, 1, 2, ...)
y = senα
O x = cosα
5ª.- También podemos observar que hay dos ángulos reducidos de diferentes
cuadrantes que comparten algunas razones trigonométricas:
cos(180º ) x cos
sen (180º ) y sen B (x , y )
tg (180º ) tg
cos(180º ) x cos
sen (180º ) y sen C (x , y )
tg (180º ) tg
x cos 0
A (x , y ) y sen 0
tg 0
cos(360º ) x cos
D (x , y ) sen (360º ) y sen
tg (360º ) tg
Esta propiedad es importante tenerla en cuenta cuando se resuelven ecuaciones
trigonométricas.
Matemáticas II: Análisis
Curso 2013/14
20
Ejercicio 0 – 5º
A) Sabemos que sen α = -1/2 y que α es un ángulo del cuarto cuadrante. Calcula
el resto de razones trigonométricas y sus inversas.
B) Sabemos que β > 90º y que tg β = 3. Calcula el resto de razones
trigonométricas y sus inversas.
3
C) Sabemos que c o t g 3 y que su seno el positivo. Calcula las razones
trigonométricas de dicho ángulo y sus inversas.
IMPORTANTE: Ten en cuenta en qué cuadrante están los ángulos para poner los
signos adecuados a las razones trigonométricas.
SOLUC: A) c o s
3
2
tg
3
3
1
2
sen
3
2
C) c o s
Matemáticas II: Análisis
B) c o s
Curso 2013/14
10
10
se n
3
10
10
21
11ª.- Reducción al primer cuadrante
La consecuencia última de la pregunta anterior permite calcular las razones
trigonométricas de cualquier ángulo no agudo a partir de las razones
trigonométricas de uno del primer cuadrante, es decir, de uno que sea agudo.
11.1 Ángulos suplementarios
Dos α y β ángulos son suplementarios si suman 180º, es decir, β = 180º - α.
En la figura pueden observarse un ángulo agudo α (1er cuadrante) y su suplementario β =
180º - α (2º cuadrante) y la relación que existe entre las razones
trigonométricas de ambos ángulos:
sen (180º - α) = sen α
tg α
sen (π- α)
sen α
cos (180º - α) = - cos α
cos (π-α)
cos α
tg (π- α)
tg (180º - α) = - tg α
11.2 Ángulos que difieren en 180º
En la figura pueden observarse un ángulo agudo α (1er cuadrante) y un ángulo β que difiere
de él en 180º (β = 180º + α) y que es del 3er cuadrante. La relación que existe entre las
razones trigonométricas de ambos ángulos es:
Matemáticas II: Análisis
Curso 2013/14
22
tg α
tg (π+α)
sen (180º + α) = - sen α
cos (π+α)
sen α
cos (180º + α) = - cos α
tg (180º + α) = tg α
sen (π+α)
cos α
11.3 Ángulos que suman 360ºEn la figura pueden observarse un ángulo agudo α
(1 cuadrante) y un ángulo β que suma con él 360º (β = 360º - α) y que es del 4º
cuadrante.
er
La relación que existe entre las razones trigonométricas de ambos ángulos es:
sen α
sen (360º - α) = - sen α
tg α
cos α
cos (360º - α) = cosα
cos (2π-α
sen (2π-α)
tg (360º - α) = - tg α
tg (2π-α)
11.4 Ángulos negativos (ángulos opuestos)
En la figura pueden observarse un ángulo agudo α (1er cuadrante) y su ángulo opuesto - α
que es del 4º cuadrante.
La relación que existe entre las razones trigonométricas de ambos ángulos es:
Matemáticas II: Análisis
Curso 2013/14
23
sen α
sen (- α) = - sen α
α
cos (- α) = cos α
tg α
cos α
cos (-α)
sen (-α)
tg (- α) = - tg α
tg (-α)
11.5 Ángulos mayores de 360º
Como ya se dijo las razones trigonométricas de un ángulo mayor de 360º son las mismas
que las de su ángulo reducido correspondiente.
Matemáticas II: Análisis
Curso 2013/14
24
12ª.- Ecuaciones trigonométricas
Son ecuaciones en las que la incógnita se ve afectada por las razones
trigonométricas.
Ejemplo resuelto 0 – 5º
Resuelve las siguientes ecuaciones trigonométricas dando todas las soluciones
positivas que sean posibles. Exprésalas en grados sexagesimales y en radianes:
A)
senx
1
2
n .2 r a d
x 1 3 0 º n .3 6 0 º ó
1
1
6
senx
x arcsen ( )
2
2
x 1 5 0 º n .3 6 0 º ó 5 n .2 r a d
1
6
B)
tgx 1
n .2 r a d
x 1 4 5 º n .3 6 0 º ó
4
t g x 1 x a r c t g (1)
x 2 2 5 º n .3 6 0 º ó 5 n .2 r a d
1
4
C)
( n 0 , 1, 2 , ...)
cos x 1
c o s x 1 x a rc c o s ( 1) x 1 1 8 0 º n .3 6 0 º n .2 ra d
D)
( n 0 , 1, 2 , ...)
senx
( n 0 , 1, 2 , ...)
3
2
2
n .2 r a d
x 1 6 0 º n .3 6 0 º
3
3
3
s en x
x a rcc o s(
)
2
2
x 1 2 0 º n .3 6 0 º 4 n .2 r a d
1
3
Matemáticas II: Análisis
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( n 0 , 1, 2 , ...)
25
E)
sen 2 x cos x
sen 2x cos x
5
4
5
5
1 cos2 x cos x 4 4cos2 x 4cos x 5 4cos2 x 4cos x 1 0
4
4
Como vemos hemos obtenido una ecuación de 2º grado en cosx que podemos resolver
4 cos 2 x 4 cos x 1 0 cos x
Si
cos x
F)
4 4 2 4.( 4).( 1) 4 0 1
b b 2 4ac
2a
2.( 4)
8
2
2
n .2 rad
x1 60º n .360º
3
x 300º n .360º 5 n .2 rad
2
3
1
1
x arco cos( )
2
2
(n 0, 1, 2, ...)
2 co s 2 x co s x 1 0
cos2 x 3cos x 2 0 cos x
b b 2 4ac 3 (3)2 4..1.2 3 1 cos x 2(imposible )
cos x 1
2a
2.1
2
El primer valor es imposible pues el cosen de un ángulo está comprendido entre -1 y 1.
Si
cos x 1 x arco cos(1)
G)
x 0º n .360º n .2 rad
(n 0, 1, 2, ...)
cos2 x 1 0
cos2 x 1 0 cos2 x 1
cos2 x 1 cos x 1
Si cos x 1 x arccos(1) x 0º n .360º n .2 rad
Si cos x 1 x arccos(1) x 180º n .360º n .2 rad
Matemáticas II: Análisis
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(n 0,1, 2, ...)
26
Ejercicio 0 – 5º
Resuelve las siguientes ecuaciones trigonométricas dando todas las soluciones
positivas que sean posibles. Exprésalas en grados sexagesimales y en radianes:
A)
2sen 2x 1
E)
2cos2 x cosx 1
H)
2cos2 x senx 1
SOLUC: A)
B)
F)
C)
tg 2x tgx 0
senx tgx
G)
3
x1 45º n.360º n.2rad x2 135º n.360º n.2rad
4
4
5
7
x3 225º n.360º n.2rad x4 315º n.360º n.2rad
4
4
x1 0º n.360º n.2rad
C)
tgx 1
x2 180º n.360º n.2rad
5
x3 45º n.360º n.2rad x4 225º n.360º n.2rad
4
4
x1 60º n.360º n.2rad
3
E)
5
x2 300º n.360º n.2rad
3
x3 180º n.360º n.2rad
x1 90º n.360º n.2rad
2
G)
3
x2 270º n.360º n.2rad
2
Matemáticas II: Análisis
(n 0,1, 2,...)
D)
sen 2x 1
sen 2x cos2 x 1
3
n.2rad
4
B)
7
x2 315º n.360º n.2rad
4
(n 0,1, 2,...)
x1 90º n.360º n.2rad
2
D)
3
x2 270º n.360º n.2rad
2
(n 0,1, 2,...)
x1 135º n.360º
(n 0,1, 2,...)
x1 0º n.360º n.2rad
F)
(n 0,1, 2,...)
x2 180º n.360º n.2rad
(n 0,1, 2,...)
5
n.2rad
6
H)
7
x2 210º n.360º n.2rad
6
x3 90º n.360º n.2rad
2
x1 150º n.360º
(n 0,1, 2,...)
Curso 2013/14
(n 0,1, 2,...)
27
13ª.- Fórmulas de la trigonometría
13.1 Razones trigonométricas de la suma de dos ángulos
sen( ) sen cos cossen
cos( ) cos cos sensen
tg( )
tg tg
1tgtg
13.2 Razones trigonométricas de la resta de dos ángulos
sen( ) sen cos cossen
cos( ) cos cos sensen
tg( )
tg tg
1tgtg
13.3 Razones trigonométricas del ángulo doble
sen(2) 2sen cos
cos(2) cos2 sen2 1 2sen2 2cos2 1
tgn(2)
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2tg
1tg 2
28
13.4 Transformación en productos de la suma y resta de senos y cosenos
senA senB 2sen
A B
A B
cos
2
2
senA senB 2cos
A B
A B
sen
2
2
cosA cosB 2cos
A B
A B
cos
2
2
cosA cosB 2sen
A B
A B
sen
2
2
13ª.- Gráficas de las funciones trigonométricas
Las gráficas de las funciones trigonométricas:
f(x) = sen x
g(x) = cos x
h(x) = tg x
podemos construirlas mediante una tabla de valores adecuados y teniendo en cuenta que
sus valores se repiten cada vuelta, cada 360º, es decir, cada 2π radianes. También
podemos ayudarnos de la interpretación gráfica de estos valores en la circunferencia
goniométrica:
X
Matemáticas II: Análisis
f(x) = sen x g(x) = cos x (x) = tg x
0º = 0 rad
0
1
0
90º = π/2 rad
1
0
180º = π rad
0
-1
0
270º = 3π/2 rad
-1
0
360º = 2π rad
0
1
0
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29
f(x) = sen x
g(x) = cos x
Matemáticas II: Análisis
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30
h(x) = tg x
Matemáticas II: Análisis
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31
1.
FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL:
LIMITES Y CONTINUIDAD
1ª.- Funciones reales de variable real.
2ª.- Dominio de definición de una función: Cálculo.
3ª.- Límite de una función en un punto: Definición y cálculo.
4ª.- Límites laterales.
5ª.- Propiedades algebraicas de los límites.
6ª.- Límite de una función en el infinito: Definición y cálculo.
7ª.- Indeterminaciones.
8ª.- Regla de L’Hôpital.
9ª.- Asíntotas.
10ª.- Continuidad de una función.
Matemáticas II: Análisis
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32
1ª.- Funciones reales
Una función es una relación de dependencia
entre dos conjuntos en la que a cada elemento x del
conjunto inicial le corresponde un único elemento y
del conjunto final. Se simboliza mediante la notación:
f :A B
x y f (x )
Si A y B son conjuntos de números reales, se habla de función real de variable
real.
La expresión gráfica de una función permite interpretar
algunas de sus características, como monotonías, extremos
relativos, continuidad, etc. Sin embargo, esta forma de
expresión presenta generalmente mucha dificultad para
encontrar la ley matemática que la define.
No todas las gráficas corresponden a una función; para que así sea, a cada valor de
x debe corresponderle un único valor de y. Así estas gráficas no corresponden a una
función:
Las funciones las podemos clasificar en:
Algebraicas:
Constantes: f (x ) 2
2
Polinómicas: f (x ) 3x 5x 7
Racionales: f (x )
x
x 2
Irracionales: f (x ) x 2 4
Transcendentes:
x 2
Exponenciales: f (x ) 3
Logarítmicas: f (x ) log(x 7)
Trigonométricas: f (x ) senx
g (x ) cos x
h(x ) tg (3x 6)
Empíricas (definidas a trozos o ramas)
Matemáticas II: Análisis
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33
x 2 5
f (x )
1
2 x
g (x ) 1
x
si x 2
si x 2
si x 0
si x 0
IMPORTANTE: Las funciones valor absoluto pueden ser expresadas analíticamente
mediante funciones a trozos (o por ramas).
Ejemplo resuelto 1 – 1º
Expresa las siguientes funciones mediante una función a trozos (o por ramas)
A) f (x ) x x
0
x
x x
x
x
x (x ) x 2
x .x x 2
x 2
f (x ) x x 2
x
si x 0
si x 0
B) f (x ) x 2 5 x
-5
2
x 2
x 2
x 2
x 2
5x
5 x
5x
5x
x 2 5 x
( x 2) (5 x ) 7
7
f (x ) x 2 5 x 2x 3
7
Matemáticas II: Análisis
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2x 3
7
x 5
5 x 2
x 2
34
C)
f (x ) x 2 9
-3
x2 9
x2 9
3
x 2 9
x2 9
x 2 9 x 3
f ( x ) x 2 9 x 2 9 3 x 3
x2 9 x 3
Ejercicio 1 – 1º
Expresa a las siguientes funciones mediante una función por partes:
a ) f (x ) x
b ) g (x ) x 2 x 1
d ) f (x ) 1 x 2
e ) g (x ) x 2 5x 2
c ) h (x ) x 5 x
f ) g (x ) x 2 x
2ª.- Dominio de definición de una función. Cálculo.
Se llama dominio de definición de una función al conjunto de números reales que
puede tomar la variable independiente, x, para los cuales está definida la función.
Dom f (x ) x R | f (x ) R
Se llama recorrido o imagen de una función al
conjunto de números reales que toma la variable
dependiente. Mientras que el dominio lo buscamos en el
conjunto inicial, el recorrido lo buscaremos en el conjunto
final.
Ejemplo resuelto 1 – 2º
Analiza y describe, en las siguientes funciones reales dadas mediante sus gráficas, el
dominio y el recorrido.
Matemáticas II: Análisis
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35
a)
b)
Dom g (x ) R 4
Im g (x ) 5,
Dom f ( x ) , 3 3,
Im f (x ) 7, 5
Ejercicio 1 – 2º
Asocia cada gráfica con su dominio
Como acabamos de ver, si conocemos la gráfica de una función f(x), podemos
descubrir fácilmente su dominio y su recorrido.
Veamos ahora como hallar el dominio de una función si conocemos su expresión
analítica:
a) Polinómicas
Son aquellas cuya expresión analítica es un polinomio. Su dominio coincide con el
conjunto de los números reales, Dom f (x ) R .
b) Racionales
Son aquellas cuya expresión analítica es una fracción algebraica, es decir, el
P (x )
cociente entre dos polinomios: f (x )
Q (x )
El dominio es el conjunto de los números reales, excluidos los números para los que
se anule el denominador (ceros o raíces):
Matemáticas II: Análisis
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36
Dom f (x ) R x R | Q (x ) 0
Dom f ( x ) R valores que anulan el denominador
Ejemplo resuelto 1 – 3º
Dada la función f (x )
x
, su dominio es Dom f (x ) R 2 , ya que el número 2 es el
x 2
cero del denominador.
Ejercicio 1 – 3º
Calcula el dominio de las siguientes funciones:
3x 1
a ) f (x )
x 2 x 4
4 x 2 3x
b ) f (x )
x 2 2x
d ) f ( x ) 3x 7
e ) f ( x ) x 2 5x 2
c ) f (x )
4x 2
x 3 4x
c) Irracionales
Son aquellas cuya expresión matemática presenta un radical: f (x )
n
g (x )
Si n es impar, el dominio de f(x) coincide con el dominio de g(x):
Dom f (x ) Dom g (x )
Si n es par, el dominio de f(x) es el conjunto de los números reales tales que
g (x ) 0 :
Dom f (x ) x R | g (x ) 0
Matemáticas II: Análisis
Curso 2013/14
37
Ejemplo resuelto 1 – 4º
Dadas las siguientes funciones reales, hallar su dominio
x 5 2 , su dominio coincide con el de la función x 5 2 que
son todos los números reales ( Dom f (x ) R )
A) Dada la función f (x )
3
B) Dada la función f (x )
7
1
1
, su dominio coincide con el de la función
que, al
x 3
x 3
ser una función racional, son todos los números reales salvo los que anulan a su
denominador (es Dom f (x ) R 3 .
C) f (x ) x 2 4
El dominio de f(x) serán el conjunto de números reales que hacen al radicando mayor o
igual que cero y, por tanto, coinciden con las soluciones de la inecuación x 2 4 0
Resolvemos la inecuación de segundo grado anterior y descubrimos que sus soluciones
son:
, 2 2, R (2,2)
Por tanto:
Dom f (x ) , 2 2, R ( 2, 2) .
D) g (x )
x 5
x 7
El dominio de g(x) serán el conjunto de números reales que hacen al radicando mayor o
igual que cero y, por tanto, coinciden con las soluciones de la inecuación
x 5
0
x 7
Resolvemos la inecuación racional anterior y descubrimos que sus soluciones son:
,5 7, R (5, 7]
Por tanto
Dom g (x ) ,5 7, R (5, 7]
Ejercicio 1 – 4º
Halla el dominio de las siguientes funciones:
a ) f (x ) x 13
b ) f (x ) 2x 18
d ) g (x ) x 2 4x 3
e ) h (x )
Matemáticas II: Análisis
3x 6
x 1
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c ) f (x )
f ) g (x )
2x
2
2x 16x 24
x 1
x 3
38
d) Exponenciales
g (x )
Son aquellas en las que la incógnita se encuentra en el exponente: f (x ) a
,
con a > 0 y a ≠ 1.
El dominio de estas funciones coincide con el dominio de g(x):
Dom f (x ) Dom g (x )
Ejemplo resuelto 1 – 5º
x 2
A) Dada la función f (x ) 3
B) Dada la función f (x ) 7
, su dominio es Dom f (x ) R .
3
x 5
, su dominio es Dom f (x ) R 5 .
e) Logarítmicas
Son aquellas en las que la incógnita se encuentra dentro de una expresión
logarítmica: f ( x ) loga g ( x ) , con a > 0 y a ≠ 1.
El dominio de estas funciones, es el subconjunto de los números reales tales que
hacen g(x) positivo (g(x) > 0):
Dom f (x ) x R | g (x ) 0
Recuerda que no se pueden calcular logaritmos de números negativos ni tampoco
está definido el logaritmo de 0.
Ejemplo resuelto 1 – 6º
Dada la función f (x ) log(x 7) , su dominio coincide con las soluciones de la
inecuación x 7 0 cuyas soluciones son: x 7 Por tanto: Dom f (x ) 7,
Ejercicio 1 – 5º
Calcula el dominio de las siguientes funciones:
a ) f (x )
x 2
d ) f (x )
g ) f (x ) 7
Matemáticas II: Análisis
1
x 2 2x
b ) f (x )
e ) f (x )
x 2 2x
2x 6
x 2 25
x 2
x 1
x 5
f ) f ( x ) log 2
x 16
c ) f (x )
x 7
Curso 2013/14
39
f)
Definidas a trozos
En este tipo de funciones la expresión analítica depende de los tramos del dominio
en los que se encuentre la variable independiente.
Ejemplo resuelto 1 – 7º
Halla el dominio de definición de las siguientes funciones:
x 2 5
A ) f (x ) 7 x
2x 6
si x 2
1x
B ) g (x ) 7 x
5 2x 8
si x 2
si x 0
si x 0
A) El dominio de definición de la función x2- 5 es todo R y por tanto también lo será el intervalo
(-∞,2] que es donde está definida la rama x2- 5
El dominio de definición de la función
7x
es R 3 y cómo esta rama está definida
2x 6
para x > 2 habrá que eliminar el nº x = 3
Por tanto
Dom f (x ) R 3
1 x es el intervalo (-∞,1] y por tanto también lo
B) El dominio de definición de la función
será el intervalo (-∞,0] que es donde está definida la rama
El dominio de definición de la función 7
7 x
2x 8
1x
es R 4 y como esta rama está definida
para x > 0 habrá que eliminar el nº x = 4.
Por tanto
Dom g (x ) R 4
Matemáticas II: Análisis
Curso 2013/14
40
3ª.- Límite de una función un punto: Definición y cálculo
Límite de una función f(x) en un punto de abscisa x = a es el valor hacia el que
tiende o se aproxima la función f(x) cuando a la variable independiente x le vamos dando
valores cada vez más próximos a a.
Escribiremos:
lim f (x ) L
xa
lim f (x )
lim f (x )
xa
xa
lim f ( x ) No existe
xa
Este límite puede existir o no existir y, si existe, puede valer un número real L, puede valer
+ ó - tal y como se puede observar en las gráficas de las funciones siguientes:
f(x)
f(x)
f(x)
5
0
a
lim f (x ) 5
xa
0
a
0
lim f (x )
a
lim f (x )
xa
xa
lim f (x ) 2
x1
2
lim f (x ) 2
lim f (x ) No existe
lim f (x ) 3 x a
xa
x a
-3
Los límites laterales no coinciden
Matemáticas II: Análisis
Curso 2013/14
41
2
0
a
a
lim f (x )
lim f (x ) No existe
lim f (x ) x a
xa
x a
lim f (x )
lim f (x ) No existe
lim f (x ) 2 x a
xa
x a
Los límites laterales no coinciden
Los límites laterales no coinciden
Como hemos tenido la oportunidad de comprobar en los ejemplos anteriores, el
límite de una función f(x) en un punto de abscisa x = a es “relativamente” fácil de calcular si
conocemos la gráfica de la función. Pero, ¿qué ocurre si lo que conocemos es la expresión
analítica de la función f(x)? En estos casos para calcular el límite de una función f(x) en un
punto de abscisa x = a, sustituimos a en la función f(x). Según que el resultado tenga
sentido o no, existen dos posibilidades:
1ª.- Si x = a SI pertenece al dominio de f(x) y f(x) NO es una función por partes
entonces obtenemos f(a) que es un número real, que será el valor del límite.
Ejemplo resuelto 1 – 8º
Calcula el límite de las siguientes funciones en los valores que se indican:
A ) f (x ) x 2 cuando x 2
B ) f (x )
x
x 3
C ) f (x ) e x
Sol . :
cuando x 1
cuando x 0
Sol . :
Sol . :
D ) f (x ) Ln (x ) cuando x e
Sol . :
E ) f (x ) ex 1Ln(x ) cuando x 1
Sol . :
Matemáticas II: Análisis
Curso 2013/14
lim f (x ) lim x 2 22 4
x2
x2
lim f (x ) lim
x1
x1
x
1
1
x 3 13
2
lim f (x ) lim e x e 0 1
x 0
x0
lim f (x ) lim Ln (x ) Ln (e ) 1
x e
xe
lim f (x ) lim e x 1Ln (x ) e 1 1Ln (1) e 2.0 0
x 1
x1
42
2ª.- Si x = a SI/NO pertenece al dominio de f(x) y f(x) SI es una función por
partes entonces procederemos del siguiente modo.
f1 ( x )
Sea f ( x )
f2 ( x )
si x c
si x c
, consideraremos dos casos:
Cálculo de lim f(x) en el punto de ruptura
Para calcular lim f ( x ) calcularemos lim f ( x ) f1 (c ) y lim f ( x ) f2 (c ) . Si
x c
x c
x c
coinciden, éste es el valor del límite. Si no coinciden, éste límite no existe.
Cálculo de lim f(x) en otro punto cualquiera del dominio
Para hallar lim f ( x ) , a ≠ c, procederemos así:
x a
Si a < c, lim f ( x ) f1 (a )
xa
Si a > c, lim f (x ) f2 (a )
xa
Ejemplo resuelto 1 – 9º
Hallar los límites de la función f(x) en los puntos 3, 1 y 7:
2x 5
f (x )
x 7
A)
si x 3
si x 3
x = 3 es la abscisa del punto de ruptura de la función f(x), por tanto estudiamos los límites laterales
lim f ( x ) lim (2x 5) 2.3 5 1
x 3
x 3
lim f (x ) lim ( x 7) 3 7 4
x 3
B)
lim f ( x ) 1 lim f (x ) 4
x 3
x3
lim f (x ) No existe
x3
x = 1 pertenece a la primera rama. Por tanto: li m f ( x ) li m ( 2 x 5 ) 2 . 1 5 3
x 1
C)
x3
x 1
x = 7 pertenece a la segunda rama. Por tanto: l i m f ( x ) l i m ( x 7 ) 1 7 6
x 7
x 7
Ejemplo resuelto 1 – 10º
Hallar el límite de la función g(x) en x = 0
x 5
g (x ) 1
x
si x 0
si x 0
x = 0 es la abscisa del punto de ruptura de la función f(x), por tanto estudiamos los límites laterales
Matemáticas II: Análisis
Curso 2013/14
43
lim g (x ) lim (x 5) 0 5 5
x 0
x 0
lim g (x ) lim
x 0
x 0
1
1
x 0
lim g (x ) 5 lim g (x ) lim g (x ) No existe
x 0
x 0
x 0
Ejemplo resuelto 1 – 11º
x
h (x ) x 1
x
Halla el lim h (x ) , siendo:
x 1
si x 1
si x 1
x = -1 es la abscisa del punto de ruptura de la función f(x). Por tanto estudiamos los límites laterales. Pero en este caso las
ramas a la izquierda y a la derecha son la misma. Por tanto
x
1
x 1 0
x
1
lim h (x ) lim
x 1
x 1 x 1
0
lim h (x ) lim
x 1
x 1
lim h (x ) lim h (x )
x 1
x 1
lim h (x ) No existe
x 1
Ejemplo resuelto 1 – 12º
Halla el valor de m para que exista lim f (x ) , siendo:
x 2
x 1
f (x ) x
mx
si x 2
si x 2
x = -2 es la abscisa del punto de ruptura de la función f(x). Por tanto, para que exista el límite de la función f(x) cuando x tiende a
–2, los límites laterales tienen que coincidir. De esta condición sale el valor de m.
x 1 2 1 1 1
x
2
2 2
lim f (x ) lim mx m .(2) 2m
lim f (x ) lim
x 2
x 2
x 2
lim f (x ) lim f (x )
x 2
x 2
1
2m
2
m
1
4
x 2
Ejercicios 1 – 6º y 7º
6.- Halla el límite cuando x 2 en cada una de estas funciones:
3x 2 1
a ) f (x )
x 9
x
x
c ) f (x )
x
Matemáticas II: Análisis
1
1
1
1
si x 2
si x 2
si x 2
si x 2
Curso 2013/14
x 3 2x
b ) f (x )
5
si x 2
si x 2
2
3x 4 x 1
d ) f (x )
x2 1
si x 2
si x 2
44
7.- Halla el valor de k para que exista lim f (x ) , siendo:
x 1
x 2 2
f (x )
x k
si x 1
si x 1
Si x = a NO pertenece al dominio de f(x) pueden ocurrir dos posibilidades:
1ª.- Obtener una expresión que contenga a un nº real k, distinto de cero,
k
dividido entre 0 ; k 0 . En este caso estudiamos los límites laterales para
0
ver si existe o no el límite y, en caso de que exista valdrá +∞ ó -∞.
Ejemplo resuelto 1 – 13º
Calcula el límite de las siguientes funciones en los valores que se indican:
A)
Sol . :
f (x )
1
x2
lim f (x ) lim
x1
x1
cuando x 0
1 1
0
x2
1 1
x 2 0
1 1
lim f (x ) lim 2
x 0
x0 x
0
lim f (x ) lim
x 0
B)
Sol . :
x0
f (x )
1
x 1
lim f (x ) lim
x 1
x 1
Estudiamos los límites laterales
lim
x 1
1
x2
cuando x 1
1
1
1
x 1 11 0
1
1
x 1 0
1
1
lim f (x ) lim
x 1
x 1 x 1
0
lim f (x ) lim
x 1
x 1
Matemáticas II: Análisis
lim
x1
Estudiamos los límites laterales
1
x 1
No existe
Curso 2013/14
45
1
C)
f (x ) e x 2
cuando x 2
1
Sol . :
1
1
lim f (x ) lim e x 2 e 2 2 e 0
x 2
1
1
lim f (x ) lim e x 2 e 0 e
x 2
Estudiamos los límites laterales
x 2
x 2
1
0
1
1
1
0
e
1
lim f (x ) lim e e e
x 2
D)
cuando x
lim f (x ) lim tgx lim
x
2
x
2
x
lim f (x ) lim tgx lim
x
2
x
2
x
2
lim f (x ) lim tgx lim
x
E)
2
x
No existe
x 2
f (x ) tgx
Sol . :
lim e x 2
x 2
2
x
2
2
senx
cos x
2
2 1
0
cos
2
sen
Estudiamos los límites laterales
senx
1
cos x 0
senx
1
cos x 0
f (x ) Ln (x )
lim tgx
x
2
No existe
cuando x 0
Sol: Este es un caso diferente porque:
1º.- Aunque x = 0 no es del dominio de f(x), si sustituimos x por 0 no sale una expresión:
2º.- No existe un límite lateral
k
;k 0
0
lim Ln (x ) ya que el dominio de f(x) es el intervalo (o,∞).
x 0
Pero podemos resolverlo dándole a x valores cada vez más próximos a cero por su derecha y vemos que Ln(x) tiende a -∞ (como
fácilmente podríamos recordar del curso pasado por la forma que tiene la gráfica de la función f (x ) Ln (x ) .
Por tanto sí existe lim Ln (x ) y vale -∞:
x 0
lim Ln (x )
x 0
Ejercicio 1 – 8º
Calcula el límite de las siguientes funciones: (Relación de límites)
2ª.- Obtener una expresión indeterminada, en cuyo caso el límite se calcula
transformando la expresión de la función dada en otra equivalente en la que sí
tengan sentido las operaciones y así poder llegar al valor del límite, en caso de
que exista.
Esto lo estudiaremos más adelante en una pregunta específica.
Matemáticas II: Análisis
Curso 2013/14
46
4ª.- Límites laterales
Son los valores hacia los que tiende una función cuando la variable independiente,
x, se acerca por la izquierda (x a-) y por la derecha (x a+) a ese punto. Escribiremos:
lim f (x ) o lim f (x )
xa
xa
a - es un número próximo a a, pero menor que a. Igualmente, a + está próximo a a,
pero mayor que a.
Para que exista el límite de una función en un punto, deben existir los límites
laterales en ese punto y ser iguales:
lim f ( x )
x a
lim f ( x ) lim f ( x )
x a
x a
Ejercicio 1 – 9º
Dadas las siguientes gráficas de funciones, calcula, si existen, los siguientes límites:
A)
a ) lim f (x )
b ) lim f (x )
c ) lim f (x )
d ) lim f (x )
e ) lim f (x )
f ) lim f (x )
x3
x4
Matemáticas II: Análisis
x4
x
Curso 2013/14
x4
x
47
B)
a ) lim f (x )
b ) lim f (x )
d ) lim f (x )
e ) lim f (x )
x2
c ) lim f (x )
x 1
x
x 1
x2
f ) lim f (x )
x
5ª.- Propiedades algebraicas de los límites
1. El límite de una función en un punto, si existe, es único.
Si lim f (x ) y lim g (x ) existen, entonces se cumple:
xa
2.
3.
4.
5.
xa
lim f (x ) g (x ) lim f (x ) lim g (x )
xa
xa
xa
lim k f (x ) k lim f (x )
xa
xa
lim f (x ) g (x ) lim f (x ) lim g (x )
xa
xa
lim f (x )
f (x ) x a
lim
,
x a g (x )
lim g (x )
xa
si
lim g (x ) 0
x a
xa
lim g ( x )
6.
xa
lim f (x ) g ( x ) lim f (x )
xa
x a
Matemáticas II: Análisis
,
Curso 2013/14
si
lim f (x ) 0
xa
48
6ª.- Límite de una función en el infinito: Definición y
cálculo.
Límite de una función f(x) cundo x tiende a +∞ ó a -∞ es el valor hacia el que tiende
o se aproxima una función cuando a la variable independiente x le vamos dando,
respectivamente, valores positivos cada vez más grandes o valores negativos cada
vez más pequeños.
Escribiremos:
lim f (x ) L
lim f (x )
x
x
lim f (x )
x
Este límite puede valer un número real L, puede valer + ó - tal y como se puede
observar en las gráficas de las funciones siguientes:
f(x)
f(x)
f(x)
2
0
0
lim f (x )
x
lim f (x ) 0
x
0
lim f (x )
lim f (x ) 2
2
0
0
lim f (x ) 5
lim f (x )
x
Matemáticas II: Análisis
x
lim f (x )
x
5
x
lim f (x )
x
x
3
lim f (x ) 2
x
lim f (x ) 2
x
Curso 2013/14
lim f (x )
x
lim f (x )
x
49
Igual que ocurría con el límite de una función en un punto, el límite de una función
f(x) cuando x ó cuando x es “relativamente” fácil de calcular si conocemos la
gráfica de la función. Pero, ¿qué ocurre si lo que conocemos es la expresión analítica de la
función f(x)? En este caso procederemos del siguiente modo:
1º.- Para calcular el límite de una función polinómica cuando x + , nos
fijaremos en su término de mayor grado, pues para valores grandes de x, el valor de las
potencias de grado inferior es insignificante comparado con el suyo (se dice que el
monomio de mayor grado es un infinito de grado superior al resto de monomios).
Para cualquier función polinómica f (x ) an x n a1x a0 ,
an 0
n 0 , se
cumple que:
si an 0
lim f (x )
x
si an 0
2º.- En el caso de funciones exponenciales:
lim a x
si
a 1
si
0a 1
x
lim a x 0
x
3º.- En el caso de funciones logarítmicas:
si
a 1
lim loga x
si
0 a 1
x
lim loga x
x
IMPORTANTE: El cálculo de límites en menos infinito se reduce al caso anterior, ya
que:
lim f (x ) lim f ( x )
x
x
Ejemplo resuelto 1 – 14º
Calcular los siguientes límites:
a ) lim ( 3x 2 5x 1)
x
Sol . :
ya que do min a el monomio 3x 2 ; Se puede escribir lim(3x 2 5x 1 lim(3x 2 ) 3.2
x
x
2
b ) lim (x 2x 8)
x
Sol . : ya que do min a el monomio x 2 ; lim (x 2 2x 8) lim (( x )2 2( x ) 8) lim (x 2 2x 8) lim (x 2 ) 2
x
Matemáticas II: Análisis
Curso 2013/14
x
x
x
50
c ) lim 2x
Sol : lim 2x 2
x
x
1
d ) lim
x 2
x
x
1
1
Sol : lim 0
x 2
2
e ) lim e x
Sol : lim e x lim e x lim
x
x
1
f ) lim
x 2
x
x
1
1
1
0
ex e
x
x
1
1
Sol : lim lim
x 2
x 2
x
lim
x
1
1
2
x
lim 2x 2
x
Ejercicio 1 – 10º
Calcular los siguientes límites:
a ) lim (2x 3 7 x 2 4)
b ) lim ( 3x 5 7 x 4 )
x
d ) lim (5x 3 1)
e ) lim 5 x
x
i ) lim e 2 x
f ) lim e x
x
j ) lim 53 x
x
c ) lim ( 2x 7 3x 5)
x
x
k ) lim 2e x
x
x
x
g ) lim e x
h ) lim Lnx
l ) lim e x
m ) lim 2Lnx
x
x
x
x
Operaciones con el infinito serían (L representa a un nº real distinto de cero):
L
L
( )
L
( L )
L
( L )
( )
L
L
L
L
L
0
L
L 0
0
L ;L 1
( )
L 0 ;L 1
Observa que en el producto y en el cociente con el infinito se aplica la regla de los
signos de la forma habitual.
Matemáticas II: Análisis
Curso 2013/14
51
7ª.- Indeterminaciones
Al operar con límites tanto finitos como infinitos nos podemos encontrar con
expresiones en las que el resultado tenga sentido o no, es decir, nos podemos encontrar
casos en los cuales no es posible hallar directamente el límite. Se dice entonces que el
límite está indeterminado.
Límite indeterminado no significa que no exista, sino que no se puede calcular
directamente. En estos casos, el límite se calcula transformando la expresión de la función
dada en otra equivalente en la que si tengan sentido las expresiones.
Las expresiones que indican indeterminación son:
0
;
0
;
;
0 ; 1 ;
00 ;
0
IMPORTANTE: Las tres últimas indeterminaciones NO se exigen para el examen de
selectividad en Andalucía
Resolución de indeterminaciones:
Indeterminaciones del tipo
0
0
Esta indeterminación aparece, entre otras situaciones, al calcular los límites de
funciones racionales (cocientes de funciones polinómicas) o de funciones irracionales
en un punto de abscisa x = a.
Las indeterminaciones de funciones racionales (cocientes de funciones polinómicas)
se resuelven factorizando numerador y denominador mediante la regla de Ruffini y
simplificando.
Las indeterminaciones de cocientes de funciones irracionales se resuelven
multiplicando numerador y denominador por la expresión conjugada de la función que lleve
raíz.
Ejemplo resuelto 1 – 15º
Calcular los siguientes límites:
2x 2 8
2
x 2 x
x 2
a ) lim
b ) lim
x 1
x 1
2x 2
Matemáticas II: Análisis
2 x 2 x 2
2 x 2 2( 2 2) 8 8
0
(IND ) lim
lim
x 2
x
2
0
x 2 x 1
x 1 ( 2 1) 3 3
0
x 1
1 1
(IND ) lim
lim
x 1 2 x 1
x 1 2
0
2
Curso 2013/14
52
c ) lim
x0
lim
x 0
x
x 4 2
x
x 4 2
0
x ( x 4 2)
x ( x 4 2)
x ( x 4 2)
x ( x 4 2)
(IND ) lim
lim
lim
lim
lim ( x 4 2) 4
2
x 0
x 0
x 0
0
x
( x 4 2)( x 4 2) x 0 x 4 22 x 0 (x 4) 4
Ejercicio 1 – 11º
Calcular los siguientes límites:
x2 1
x 1 x 1
A) lim
3x 3 6x 2
x 0 9x 2 18x
3x 6
x 2 9x 18
B ) lim
x2 3 1
D ) lim
3
x 0
x
x
C ) lim
2
1
E ) lim
x 1 (x 1)2
x (x 1)
x 2 7x 6
x 1
1x
F ) lim
Ejercicio 1 – 12º
(x 1)3
x 1 1 x 2
A ) lim
1 3x
x 2
x 2
D ) lim
x 3 4x 2 5x 2
x 1
x2 x 2
B ) lim
E ) lim
x 0
x 9 3
x2
Indeterminaciones del tipo
3
4
C ) lim 2
x 2 x 5x 6
x 2
F ) lim
x 0
1x 1x
3x
Las indeterminaciones de funciones racionales (cocientes de funciones
polinómicas) se resuelven dividiendo numerador y denominador por la máxima potencia del
denominador, o bien, aplicando la regla de los grados:
Matemáticas II: Análisis
Curso 2013/14
53
,
P (x ) a
lim
,
x Q (x )
b
0 ,
si grado de P (x ) grado de Q (x ) (el signo es el de
a
)
b
si grado de P (x ) grado de Q (x ) (siendo a y b los
coeficientes de los tér min os principales de P (x ) y Q (x ))
si grado de P (x ) grado de Q (x )
Las reglas utilizadas para el cociente de polinomios son también válidas para los
cocientes de funciones irracionales.
Ejemplo resuelto 1 – 16º
Calcular los siguientes límites:
3x 4 2x 2 5
IND
x
4x 4 7
a ) lim
2x 3
x x 5
b ) lim
c ) lim
x
d ) lim
x
5
6x 1
I N D
lim
x
lim
x
2x
x
lim 2 2
x
5
5
5
5
lim
lim
0
6( x ) 1 x 6 x 1 x 6 x
4 x 2 3x
x 1
otra forma de resolverlo sería:
3x 4
3 3
lim
x 4x 4
x 4
4
lim
4x 2
2x
IND lim
lim
lim 2 2
x
x x
x
x
IN D xlim
4 x 2 3x
3
3
2
4
4
x2
x lim
x lim
2 2
x
x
x
1
1
1
1
1
1
x
x
x
Ejercicio 1 – 13º
Calcular los siguientes límites:
2x 3 5x 3
a ) lim
x
7x 2 1
Matemáticas II: Análisis
x 5
b ) lim
x 2x 3
Curso 2013/14
c ) lim
x
x2 1
2x
54
Indeterminaciones del tipo 0
Estas indeterminaciones se resuelven transformándolas en las del tipo , o en
las del tipo 0 0 .
Ejemplo resuelto 1 – 17º
Calcular el siguiente límite:
3
lim
4
x
x 2
(2x 3) o . IND
otra forma de resolverlo sería: 0. IND lim
x
lim
6x 9
4
x
x 2
6x 9
x4 2
6x
6
6
lim
0
IND xlim
x 2
x x
6x
9
6
9
6 9
x 2 x 2 lim x x 2 0 0
IND
lim
x
x
1
2
2
x4
2
1 4
1
x
x4 x4
Indeterminaciones del tipo
Aparecen al calcular límites de funciones racionales o irracionales.
Las indeterminaciones con funciones racionales se resuelven efectuando las
operaciones.
Las indeterminaciones con funciones irracionales se resuelven multiplicando el
numerador y el denominador por la expresión conjugada de la función que lleva raíz.
Ejemplo resuelto 1 – 18º
Calcular los siguientes límites:
x2 x 1
a ) lim
x
x
x 1
(IN D )
x2 x 1 x2 x
2x 1
2x
lim
lim ( 2) 2
xlim
IN D xlim
x
x
1
x
1
x
x
b ) lim ( x 2 x x ) (IND )
x
lim
x
( x 2 x x )( x 2 x x )
( x2 x x)
Matemáticas II: Análisis
lim
x
( x 2 x )2 x 2
( x2 x x)
lim
x
x2 x x2
x2 x x
Curso 2013/14
lim
x
x
x2 x x
x
x
x
1
lim
lim
IND xlim
x x x
x 2x
2
x2 x
55
Ejercicio 1 – 14º
3x 3 5 4x 3 x
B ) lim
x
x 2
x 2
A ) lim x 2 5 (x 2)
x
3x 5 x 2 2
D ) lim
x
x
2
E ) lim
x
x
x 2 2x x
x2 x x2 1
K ) lim
x
x2 x x2 1
ex
si x 0
M ) lim
x 1 Ln (x ) si
x 0
1 x 2
si x 0
O ) lim x
x
3
si x 0
F ) lim 2x x 2 x
x
3x 3 5 4x 3 x
H ) lim
x
x 2
x 2
G ) lim x 2 5 (x 2)
x
J ) lim
x3
x
C ) lim 2
x 2x 1
2
x3
x
I ) lim 2
x 2x 1
2
L) lim 2x x 2 x
x
ex
si x 0
N ) lim
x 1 Ln (x ) si
x 0
1 x 2
si x 0
P ) lim x
x
3
si x 0
Ejercicio 1 – 15º
Sabiendo que:
lim p (x )
x2
lim r (x ) 3
x2
lim q (x )
x 2
lim s (x ) 0
x2
Calcula razonadamente, en los casos en que sea posible, el valor de los siguientes límites:
s (x )
x 2 p (x )
A ) lim
Matemáticas II: Análisis
B ) lim s (x )
x 2
p (x )
C ) lim s (x ).q (x )
x 2
Curso 2013/14
D ) lim p (x ) 2q (x )
x 2
56
Indeterminaciones del tipo 1
Recordemos que esta indeterminación no se exige en las PAU de Andalucía.
Este tipo de indeterminaciones se resuelve aplicando la siguiente propiedad:
lim f (x ) 1
lim g ( x ) f ( x ) 1
g (x )
f (x )
1 (IND ) e x a
xlim
a
lim g (x )
x a
x a
Si
válida para cualquier número real a,
o
.
Puedes ver la demostración en la página 233 del libro.
Ejemplo resuelto 1 – 19º
2x
x2 3
lim
Calcular el siguiente límite:
2
x x 1
1
I N D e
x 2 3
lim 2 x
1
x 2 1
x
8x
lim
e x x
2
1
e0 1
Ejercicio opcional
Calcular los siguientes límites:
x 5
a ) lim
x x 1
x2
x 3
2
b ) lim 1
x
3x
3 x 2
5x
1
d ) lim 1
x
x
2
x 7x 4
g ) lim
x
x 3
Matemáticas II: Análisis
5x
1
e ) lim 5
x
5x
x 1
x 7
2
2
c ) lim 1
x
5x
3
1
f ) lim 1
x
5x
x 4x 10
h ) lim
x
x 4
Curso 2013/14
x
1
x 6
57
8ª.- Regla de L’Hôpital
0
y 0. las hemos resuelto para funciones
0
racionales e irracionales pero, ¿qué ocurre con el resto de las funciones?. Por
ejemplo, con los siguientes límites:
Las indeterminaciones
2x e x
lim
(IND )
2
x
x
lim
x 0
Lnx
lim xLnx o .( )(IND ) lim
x 0
x 0
1
x
senx 0
(IND )
0
x
(IND )
En estos casos se aplica la denominada regla de L’Hôpital que dice:
f (x )
0
si dan lugar a una indeterminación del tipo ;
x a , g (x )
0
Los límites del tipo lim
pueden obtenerse derivando el numerador y el denominador y calculando, si
existe, el límite del cociente de sus derivadas.
f (x ) 0
f '(x )
ó (IND ) lim
x a , g (x )
x a , g '(x )
0
lim
A veces, después de este primer paso, se llega a otra indeterminación, por lo que
se puede repetir el proceso hasta romper la indeterminación.
Ejemplo resuelto 1 - 20º
Calcular los siguientes límites:
2x e x
x
x2
A) lim
2x e
lim
x
x 2'
x
I N D
L 'H
2
)I N D ) lim
x
senx
B) lim
x 0 x
Matemáticas II: Análisis
0
0
I N D
l im
x
2
e
2 x
'
2 x e
x
x
L 'H
2
'
'
x
lim
'
x
'
L 'H
lim
x 0
s e n x
x
'
Curso 2013/14
lim
x 0
lim
x
e x
2
cos x
1
2 e
2x
x
2
lim ( c o s x ) c o s 0 1
x 0
58
C) lim xLnx
x 0
l i m x L n x 0 .
x 0
I N D
Lnx
lim
x 0
1
x
1
'
L 'H
Lnx
x
(
I
N
D
)
l
i
m
l
i
m
lim ( x ) 0
'
x 0
x 0 1
x 0
1
x 2
x
Ejemplo resuelto 1 – 21º Selectividad 2012
a .sen (x ) xe x
es finito, siendo a un nº real, calcula el valor de a
x 0
x2
Sabiendo que lim
y el de dicho límite.
En primer lugar calculamos el valor del límite:
lim
x 0
x
a .s e n ( x ) x e
x 2
lim
x 0
a . c o s ( x ) e
2x
El límite obtenido
-
a 1
0
x
a . s e n ( 0 ) 0 .e
02
xe
x
0
a .0 0 .1
0
0
0
a .cos(0) e
2 .0
0
0 .e
0
I N D
L 'H
lim
x 0
a . s e n ( x )
x
2
'
xe
x
'
a 1 0
a 1
0
0
depende del parámetro “a”. Discutámoslo:
Si a ≠ 1 el límite coincide con un nº real, distinto de 0, dividido entre 0
k
; k 0 y este límite valdría +∞ ó -∞, y el
0
límite no sería finito como dice el enunciado. Por tanto el parámetro “a” no puede ser distinto de 1.
-
Si a = 1, quedaría la indeterminación
0
y tendríamos que romperla mediante la regla de L’Hôpital para calcular el
0
límite.
Calculemos el valor del límite para a = 1
L `H
cos(x ) e x xe x
a . cos(x ) e x xe x a 1 a 1 0
a .sen (x ) xe x L 'H
lim
(IND ) lim
2
`
x 0
x 0
x 0
2x
0
0
x
2x
sen (x ) e x e x xe x
sen (x ) e x (2 x ) sen (0) e 0 (2 0) 0 1.2
lim
lim
1
x 0
x 0
2
2
2
2
Como podemos observar el límite es finito y vale – 1.
lim
Sol: a =1 y lim f (x ) 1
x 0
Ejercicio 1 - 16º
A)
2003 1- A – 1
D)2006 1 – B – 1
Matemáticas II: Análisis
B) 2004 – 5 – B – 1
C) 2005 – 3 – A – 1
E) 2009 3 – A – 1
F) 2010 2 – B - 1
Curso 2013/14
59
9ª.- Asíntotas
Las asíntotas de una función f(x) son rectas a las que se aproxima la función
cuando x tiende hacia un valor real a, a o .
a)
Asíntotas verticales
Son rectas paralelas al eje de ordenadas, de forma que la recta x = a es una
asíntota vertical de la función f(x) si cuando x se acerca al valor real a la función se
acerca a la recta, ya sea con valores mayores o menores que dicho valor. Es decir, x = a
es una asíntota vertical de la función f(x) si existe alguno de los límites siguientes:
lim f (x ) ( )
x a
lim f (x )
x a
lim f (x )
lim f (x )
x a
x a
lim f (x )
x a
Así pues, para calcular las asíntotas verticales de una función (si es que tiene) se
localizan los valores de la variable x que hacen tender la función a o .
Las curvas nunca cortan a las asíntotas verticales.
Una función puede tener o no tener asíntotas verticales y, si tiene, puede tener una
o varias (e incluso infinitas como le ocurre a la función tangente).
Las funciones polinómicas no tienen asíntotas verticales.
En las funciones racionales cuya fracción sea irreducible, las asíntotas verticales
son los valores de x que anulan el denominador; es decir, tiene tantas asíntotas verticales
como raíces reales distintas tenga el denominador y que no lo sean del numerador.
Para estudiar la situación de la gráfica de la función respecto de la asíntota vertical ,
hay que hallar el valor de los límites laterales en el punto de abscisa x = a:
lim f ( x ) y lim f ( x ) .
x a
x a
Otra forma de hacerlo es darle a x valores muy próximos a x = a y a ambos lados de
a. Supongamos, por ejemplo, que la recta de ecuación x = 7 es una asíntota vertical de
f(x); calculamos f(7,01) y f(6,99) y obtenemos, p.e., f(7,01) = - 2300 y f(6,99) = 2320, de
estos resultados deducimos que por la derecha de la asíntota la gráfica tiende a ,
puesto que el valor obtenido es negativo y por la izquierda tiende a , puesto que el
valor es positivo.
Matemáticas II: Análisis
Curso 2013/14
60
b)
Asíntotas horizontales
Son rectas paralelas al eje de abscisas, de forma que la recta y = b es una
asíntota horizontal de la función f(x) si cuando x tiende a y/o a la función se
acerca a la recta (asíntota por la derecha y/o asíntota por la izquierda). Es decir, y = b es
una asíntota horizontal de la función f(x) si existe alguno de los límites laterales
siguientes:
lim f (x ) b ;
x
y = b es A.H. de f(x) por la derecha
lim f (x ) b
x
y = b es A.H. de f(x) por la izquierda
Así pues, para calcular las asíntotas horizontales de una función (si es que tiene) se
hace tender x hacia y a , y si alguno de estos límites es finito diremos que f(x) tiene
asíntota horizontal, que puede ser por la derecha, por la izquierda o a ambos lados.
La gráfica de una función puede cortar a sus asíntotas horizontales.
Una función puede tener como máximo dos asíntotas horizontales, correspondientes
a los límites laterales.
Las funciones polinómicas no tienen asíntotas horizontales.
Una función racional sólo puede tener una asíntota horizontal (en caso de existir,
será la misma cuando x tienda hacia o ). Esto ocurrirá, si el grado del denominador
es mayor o igual que el grado del numerador.
Si reflexionas un poco podrás concluir que cuando el grado del denominador sea
mayor que el del numerador la asíntota será el eje de abscisas, es decir, y = 0
Para estudiar la situación de la gráfica de la función respecto de la asíntota
horizontal, calculamos la imagen de un valor positivo de x muy grande y de un valor
negativo de x muy pequeño.
Supongamos que la asíntota es y = 4; calculamos f(1000) y f(- 1000) y obtenemos,
p.e., f(1000) = 3,980 y f(- 1000) = 4,001, de estos resultados deducimos que por la derecha
la gráfica se acerca a la asíntota por abajo, puesto que el valor obtenido es menor que el
valor de la asíntota y por la izquierda la gráfica se acerca a la asíntota por arriba, puesto
que el valor obtenido es mayor que el valor de la asíntota.
Matemáticas II: Análisis
Curso 2013/14
61
c)
Asíntotas oblicuas
Son rectas de ecuación y = mx + n (siendo m un nº real ≠ 0, es decir rectas ni
horizontales ni verticales) a las que la función se acerca cuando x tiende a +∞ y/o a -∞.
La pendiente m y la ordenada en el origen n de la asíntota oblicua se calculan
mediante los siguientes límites:
f (x )
x
x
m lim
n lim f (x ) mx
x
IMPORTANTE:
1º.- Si m no es un nº real ≠ 0, NO hay A.O.
2º.- n puede valer 0 ó ≠ 0, según la asíntota pase o no por el origen de
coordenadas o no.
3º.- Una función puede tener o no asíntotas oblicuas y, si tiene, a lo sumo son
dos (una en +∞ y otra en -∞) .
4º.- Si una función tiene asíntotas horizontales en un lado de su gráfica (en
+∞ ó -∞), no puede tener asíntotas oblicuas en dicho lado.
Las funciones polinómicas no tienen A.O.
Las funciones racionales solo tienen A.O. cuando el polinomio del numerador tiene
un grado más que el del denominador.
Matemáticas II: Análisis
Curso 2013/14
62
En las funciones definidas a trozos, hemos de tener cuidado a la hora de buscar
las asíntotas (verticales, horizontales u oblicuas), ya que, aunque una rama pueda tener
una asíntota, es posible que la tenga en un valor de x en el que no esté definida dicha
rama.
Ejemplo resuelto 1 - 22º
Determina las asíntotas de las funciones y, cuando tenga AH y/o AV, indica como
queda la gráfica de la función respecto a la asíntota:
A) f (x )
A.V.
x 2
x 1
(Sol . : AV
. .:x 1 ;
A.H . : y 1)
La única raíz del denominador es x = 1 y, además no lo es del numerador. Por tanto, x = 1 es la única asíntota vertical
de f(x). Para saber la posición relativa de la función respecto a su asíntota estudiamos los límites laterales:
x 2
3
x 2
3
lim f (x ) lim
;
lim f (x ) lim
x 1
x 1 x 1
x 1
x 1 x 1
0
0
A.H. Como es una función racional basta con estudiar el límite
cuando x tiende a +∞:
x 2
x
lim f (x ) lim
lim
1
x
x x 1
x x
Por tanto, la recta de ecuación y = 1 es una asíntota horizontal de f(x), y lo es tanto a su derecha como a su izquierda. Para
saber la posición relativa de la función respecto a su asíntota tomamos un valor negativo de x muy pequeño y otro valor positivo
de x muy grande y calculamos sus imágenes.
1000 2 1002
1000 2 998
f (1000)
1, 003 1;
f ( 1000)
0, 997 1
1000 1
999
1000 1 1001
Por tanto, cuando x tiende a +∞ la gráfica de la función está por encima de su asíntota horizontal y, cuanto x tiende a –∞ la
gráfica de la función está por debajo de la asíntota.
A.O. No tiene puesto que hay A.H.
2x 2 4x
B ) f (x )
(Sol . : AV
. . : NO ;
x 2
A.V. La única raíz del denominador es x = 2 pero, además
A.H . : NO ;
A .O . : y 2x )
lo es también del numerador. Por tanto, no sabremos si x = 2 es
o no es una asíntota vertical de f(x). Para averiguarlo estudiamos el límite de la función cuando x tiende a 2.
lim f ( x ) lim
x 2
x 2
2x 2 4 x
0
2 x ( x 2)
(IND ) lim
lim 2 x 4
x 2
x 2
x 2
0
x 2
Por tanto No tiene A.V.
A.H. Como es una función racional basta con estudiar el límite
cuando x tiende a +∞:
2x 2 4x
2x 2
lim f (x ) lim
lim
x
x
x x
x 2
Por tanto, NO tiene A.H.
A.O.
Si tiene puesto que es una función racional, siendo el grado del numerador una unidad superior al del denominador.
Hallemos los valores de m y de n (basta con estudiarlo en +∞ puesto que es una función racional).
2x 2 4 x
f (x )
2x 2 4 x
2x 2
m lim
lim
: x lim
lim
2
2
x
x
x
x
x
x 2x
x2
x 2
2x 2 4 x
2x 2 4 x 2x (x 2)
2x 2 4 x 2x 2 4x
0
n lim f (x ) 2x lim
2x lim
lim
lim
lim 0 0
x
x
x
x
x x 2
x
x 2
x 2
x 2
Por tanto, la recta de ecuación y = 2x es la A.O. de f(x)
Matemáticas II: Análisis
Curso 2013/14
63
C ) f (x )
x 1
x2 9
(Sol . : AV
. . : x 3 ;
A.H . : y 0)
A.V. Las dos únicas raíces del denominador son x = 3 y x = - 3 y, además no lo son del numerador. Por tanto, x = 3 y x = - 3
son dos asíntotas verticales de f(x). Para saber la posición relativa de la función respecto a su asíntota estudiamos los límites
laterales:
lim f (x ) lim
x 3
x 3
lim f (x ) lim
x 3
x 3
x 1
2
;
x 2 9 0
lim f (x ) lim
x 3
x 1
4
;
x 2 9 0
x 3
lim f (x ) lim
x 3
A.H. Como es una función racional basta con estudiar el límite
x 3
x 1
2
x 2 9 0
x 1
4
x 2 9 0
cuando x tiende a +∞:
x 1
x
lim f (x ) lim 2
lim 2 0
x
x x 9
x x
Por tanto, la recta de ecuación y = 0 (el eje de abscisas) es una asíntota horizontal de f(x), y lo es tanto a su derecha como a su
izquierda. Para saber la posición relativa de la función respecto a su asíntota tomamos un valor negativo de x muy pequeño y
otro valor positivo de x muy grande y calculamos sus imágenes.
f (1000)
1000 1
0;
10002 9
f (1000)
1000 1
0
(1000)2 9
Por tanto, cuando x tiende a +∞ la gráfica de la función está por encima de su asíntota horizontal y, cuanto x tiende a –∞ la
gráfica de la función está por debajo de la asíntota.
A.O. No tiene puesto que hay A.H.
D ) f (x )
A.V.
x 2
x2 4
(Sol . : AV
. .:x 2;
A.H . : y 0 ;
A .O . : NO )
Las dos únicas raíces del denominador son x = 2 y x = -2 y, además , x = - 2 lo es también del numerador, pero x = 2
no lo es. Por tanto, x = 2 es una asíntota vertical de f(x) pero x = - 2 tenemos que estudiarlo para ver si lo es o no lo es:
x 2
0
x 2
1
1
1
lim f (x ) lim 2
lim (IND ) lim
lim
x 2
x 2 x 4
x 2 0
x 2 (x 2)( x 2)
x 2 x 2
4
4
Por tanto No hay A.V. en x = - 2
Para saber la posición relativa de la función respecto a su asíntota (x = 2) estudiamos los límites laterales:
x 2
4
x 2
4
lim f (x ) lim 2
;
lim f (x ) lim 2
x 2
x 2 x 4
x 2
x 2 x 4
0
0
A.H. Como es una función racional basta con estudiar el límite
cuando x tiende a +∞:
x 2
x
lim f (x ) lim 2
lim 2 0
x
x x 4
x x
Por tanto, la recta de ecuación y = 0 (el eje de abscisas) es una asíntota horizontal de f(x), y lo es tanto a su derecha como a su
izquierda. Para saber la posición relativa de la función respecto a su asíntota tomamos un valor negativo de x muy pequeño y
otro valor positivo de x muy grande y calculamos sus imágenes.
f (1000)
1000 2
0;
10002 4
f ( 1000)
1000 2
0
( 1000)2 4
Por tanto, cuando x tiende a +∞ la gráfica de la función está por encima de su asíntota horizontal y, cuanto x tiende a –∞ la
gráfica de la función está por debajo de la asíntota.
A.O. No tiene puesto que hay A.H.
1
si
x 1
x
2
E ) f (x ) x si 1 x 2
4 si
x 2
Matemáticas II: Análisis
Aunque 1/x tiene una asíntota vertical, x = 0, esta no es asíntota de la función
ya que 1/x está definida para valores menores que – 1. Por el contrario la
asíntota horizontal, y = 0, si lo es de la función. Diremos que la función tiene
asíntota horizontal por la izquierda, ya que el intervalo en el que está definida
1/x, es para valores menores que – 1.
No hay A.O.
Curso 2013/14
64
F ) f (x ) 3x
(Sol . : AV
. . : NO ;
A .H . : y 0 por la izquierda
;
A.O . : NO )
No tiene asíntotas verticales.
Tiene una asíntota horizontal, y = 0, por la izquierda, puesto que al calcular los límites laterales en o , obtenemos:
lim f (x ) lim f (x ) lim 3 x lim
x
x
x
x
1
1
1
0;
3x 3
lim f (x ) lim 3x 3
x
x
A.O. en -∞ NO tiene puesto que aquí tiene A.H. Veamos si tiene o no A.O .en +∞
m lim
x
L 'H
f (x )
3x
3x .ln 3
lim
lim
(IND ) lim
lim 3 x .ln 3
x
x
x
x
x
x
1
Por tanto no tiene A.O. en +∞ porque el límite no ha salido finito y distinto de 0.
G ) f (x ) 5 x
(Sol . : AV
. . : NO ;
A.H . : y 0 por la derecha
;
A .O . : NO )
No tiene asíntotas verticales.
Tiene una asíntota horizontal, y = 0, por la derecha, puesto que al calcular los límites laterales en
o
,
obtenemos:
lim f (x ) lim f ( x ) lim 5 ( x ) lim 5 x 5 ;
x
x
x
lim f ( x ) lim 5 x lim
x
x
x
x
1
1
1
0
5x
5
A.O. en +∞ NO tiene puesto que aquí tiene A.H. Veamos si tiene o no A.O .en -∞
m lim
x
L 'H
f (x )
f ( x )
5( x )
5x
5 x .ln 5
lim
lim
lim
lim
( IND ) lim
lim 5 x .ln 5
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
1
Por tanto no tiene A.O. en -∞ porque el límite no ha salido finito y distinto de 0.
H ) f (x ) Ln (x 2 1)
(Sol . : AV
. . : NO ;
A.H . : NO ;
A.O . : NO )
A.V. Su dominio es todo R y NO tiene asíntotas verticales.
A.H. Estudiemos los límites en +∞ y en -∞ (para -∞ serviría el estudio hecho en +∞ ya que la función tiene simetría par)
lim f (x ) lim Ln (x 2 1) ;
x
lim f (x ) lim f ( x ) lim Ln (x )2 1 lim (x 2 1)
x
x
x
x
x
NO tiene A.H.
A.O. Estudiemos si hay en +∞:
2x
'
L 'H
Ln (x 2 1)
2
f (x )
Ln (x 2 1)
x
1 lim 2x 0
m lim
lim
(IND ) lim
lim
x
x
x
x
x x 2 1
x
x
1
x'
Por tanto NO tiene A.O. en +∞ porque aunque el límite ha salido finito no es distinto de 0.
Como la función tiene simetría par, tampoco tendrá A.O. en -∞.
I ) f (x ) x 2 2x
(Sol . : A V
. . : NO ;
A .H . : NO
A .O . : y x 1
e
y x 1
A.V. Su dominio es (-∞,0]U[2, ∞) y NO tiene asíntotas verticales.
A.H. Estudiemos los límites en +∞ y en -∞:
lim f (x ) lim
x
x
x 2 2x lim
x
lim f (x ) lim f ( x ) lim
x
x
x
x 2
( x )2 2.( x ) lim
x
x 2 2x lim
x
x 2
NO tiene A.H.
A.O. Estudiemos si hay en +∞:
f (x )
x 2 2x
x2
lim
lim
1
x
x
x x
x
x
m lim
Matemáticas II: Análisis
Curso 2013/14
65
x 2 2x x x 2 2x x
n lim f (x ) x lim x 2 2x x (IND ) lim
x
x
x
1. x 2 2x x
x 2 2x x 2
2x
lim
lim
1
x
x
x 2 2x x
x 2 2x x
Por tanto en +∞ SI tiene una A.O. y su ecuación es y
=x-1
Análogamente si estudiamos la existencia de A.O. en -∞ obtenemos que también tiene y su ecuación es
J ) f (x )
1 x
e
x
A.V. Su dominio es
A.H . : y 0 por la izquierda
;
A.O . : NO )
R – {0}. Veamos si tiene A.V. en x = 0:
lim f ( x ) lim
x 0
(Sol . : AV
. .:x 0;
y = -x + 1 .
x 0
1 x
1 0
e
e .1 ;
x
0
lim f ( x ) lim
x 0
x 0
1 x
1 0
e
e .1
x
0
La recta x = 0 (que es el eje de ordenadas) es una A.V.
A.H. Estudiemos los límites en +∞ y en -∞:
'
L 'H
ex
1 x
ex
ex
lim f ( x ) lim
e 0. ( IND ) lim
( IND ) lim
lim
'
x
x x
x x
x
x
1
x
1 1
0 .0 0
x e x
En +∞ NO tiene A.H. pero en -∞ SI tiene y es la recta de ecuación y = 0 (el eje de abscisas)
lim f ( x ) lim f ( x ) lim
x
x
x
1
e
x
x
lim
x
A.O. Estudiemos si hay en +∞, ya que en -∞ NO hay al haber asíntota horizontal:
'
L 'H
ex
f (x )
ex
ex
lim
: x lim 2 (IND ) lim
x
x x
x x
x
x
x2
m lim
'
'
x
L 'H
e
ex
ex
(IND ) lim
lim
'
x 2x
x
x
2
2x
lim
Por tanto en +∞ NO tiene una A.O. porque el límite no ha salido finito y distinto de 0.
Ejercicio 1 - 17º
Determina las asíntotas de las funciones:
A) f (x )
2
2x 4
; B ) f (x )
3x 1
x 2
C ) f (x )
2x 3 2x 2
x2 1
Ejercicio 1 - 18º
Determina las asíntotas de las funciones:
A) f (x ) x 3 .e x
; B ) f (x )
2x 2 2
x 1
C ) f (x )
x3
1 x
2
Ejercicio 1 - 19º
Determina las asíntotas de las funciones:
2
A ) f (x ) x .e
Matemáticas II: Análisis
x 2
ex
; B ) f (x )
x 1
Curso 2013/14
2
C ) f (x ) x 1 e x
66
Ejercicio 1 - 20º
Determina las asíntotas de las funciones:
1
si x 0
A) f (x ) x 1
x 2 3x 1 si x 0
2
; B ) f (x )
x Lnx
2
x 1
Ejercicio 1 - 21º
A)
2003 5 - B – 2
B) 2003
6–A–2
C) 2005
3–A–1
6-B–1
C) 2009
2–A–1
D) 2006
5-A–1
Ejercicio 1 - 22º
A)
2008 3 – A – 1
B) 2008
Ejercicio 1 - 23º
Las gráficas siguientes corresponden a cuatro funciones que no están definidas en x = 1.
Asocia cada gráfica con alguna de estas funciones:
1
;
x 1
1
3) f (x )
;
1x
1) f (x )
2
Matemáticas II: Análisis
1
(x 1)2
1
4) f (x )
2
(x 1)2
2) f (x )
Curso 2013/14
67
10ª.- Continuidad de una función
Una función f(x) es continua en un punto de abscisa, x = a, si se verifica que:
1. Existe f(a).
2. Existe lim f (x ) .
x a
3. Se cumple que: lim f (x ) f (a )
x a
Si alguna de estas condiciones no se cumple, diremos que la función es
discontinua en a.
En la práctica no es necesario comprobar las tres condiciones, ya que estas se
resumen en la tercera condición.
Las funciones elementales: constantes, polinómicas, racionales, irracionales,
exponenciales, logarítmicas y trigonométricas; son continuas en sus respectivos dominios
de definición, por tanto, para estudiar su continuidad hallaremos su dominio de definición.
Una función f(x) es continua en un intervalo abierto (a, b) si lo es en todos sus
puntos.
Una función f(x) es continua en un intervalo cerrado [a, b] si lo es en el intervalo
abierto (a, b) y además es continua por la derecha en x = a y por la izquierda en x = b.
Tipos de discontinuidades
Según la condición de continuidad que no se cumpla, las discontinuidades pueden
clasificarse de la siguiente forma:
Discontinuidad evitable
Una función presenta una discontinuidad evitable en un punto de abscisa, x = a,
cuando el límite de la función en x = a existe y es finito, pero no coincide con el valor de la
función en a, o bien la función no está definida en x = a :
lim f ( x ) f (a ) o lim f ( x ) y
x a
lim f (x ) 2
x 1
x a
; f (1) 2
f (a )
no f (c )
Esta discontinuidad se evita redefiniendo la función en a y haciendo que en este
punto tome el valor del límite.
Matemáticas II: Análisis
Curso 2013/14
68
Ejemplo resuelto 1 - 23º
Estudia la continuidad de las siguientes funciones. Si son discontinuas en algún
punto, indica de qué tipo es. En caso de que haya alguna discontinuidad evitable, define
una nueva función que la evite:
A)
x 2 4
si x 2
f (x ) x 2
1
si x 2
(Sol . : Continua en R 2; x 2 discontinuidad evitable lim f (x ) ;
x 2
La expresión
x2 4
x 2
f (2) ;
lim f (x ) f (2) )
x 2
, es una función racional, que es continua en todo su dominio, es decir, en R – {2}, Por tanto f(x) también
es continua en R – {2}.
Veamos si f(x) es continua en x = 2:
1º. f(2) existe y vale 1.
2º. Veamos si existe
lim f (x ) . Para ello
estudiamos los límites laterales:
x 2
x2 4
0
( x 2)( x 2)
( IN D ) lim
lim ( x 2) 4
x 2
x 2
x 2
0
x 2
f (x ) 4
xlim
2
x2 4
0
( x 2)( x 2)
lim f ( x ) lim
( IN D ) lim
lim ( x 2) 4
x 2
x 2
x 2
x 2
x 2
0
x 2
3º. No es continua en x = 2 porque: f (2 ) 1 lim f ( x ) 4
lim f ( x ) lim
x 2
x 2
x 2
Por tanto f(x) es continua en todo R menos en x = 2 que tiene una discontinuidad evitable. A partir de f(x), podemos definir una
nueva función g(x) que en la que se elimina dicha discontinuidad y que por tanto será continua en todo R.
x 2 4
si x 2
g (x ) x 2
4
si x 2
B)
f (x )
x2 9
3x
(Sol . : Continua en R 3 ; x 3discontinuidad evitable lim f (x ) ;
x 2
x2 9
, es una función racional, que es continua en todo su dominio, es decir, en R
3x
Veamos el tipo de discontinuidad que hay en x = 3: Para ello veamos si existe lim f ( x ) .
La expresión
f (3))
- {.3}
x 3
lim f ( x ) lim
x 3
x 3
x2 9
0
( x 3)( x 3)
( x 3)( x 3)
( x 3)
( I N D ) lim
lim
lim
lim ( x 3) 6
x 3
x 3
x 3
x3
3x
0
3x
( 3 x )
1
El límite existe y es finito. Por tanto la discontinuidad es evitable-.
Por tanto f(x) es continua en todo R menos en x = 3 que tiene una discontinuidad evitable. A partir de f(x), podemos definir una
nueva función g(x) en la que se elimina dicha discontinuidad y que por tanto será continua en todo R.
x 2 9
si x 3
g (x ) 3 x
6
si x 3
Matemáticas II: Análisis
Curso 2013/14
69
Ejercicio 1 - 24º
Haz el mismo estudio que en el ejemplo anterior en las funciones siguientes:
A)
x 2 6x 9 si x 2
f (x )
5
si x 2
B)
f (x )
1x
1 x2
Discontinuidad no evitable de primera especie (o esencial)
Una función presenta una discontinuidad no evitable de primera especie con
salto finito en un punto, x = a, cuando existen los límites laterales, son finitos y
distintos:
lim f (x ) lim f (x )
x a
x a
lim f (x ) 2
no lim f (x )
x 1
lim f (x ) 1
x 1
x 1
; f (1) 2
Ejemplo resuelto 1 - 24º
Estudia la continuidad de la siguiente función:
1 si x 0
f (x ) 0 si x 0
1 si x 0
(Sol . : Continua en R 0 x 0Discontinuidad NO evitable
de 1ª especie
de salto finito)
La expresión – 1 es una función constante y por tanto continua en todo R. Por consiguiente f(x) también lo es en el intervalo
(-∞,0)
La expresión 1 es una función constante y por tanto es continua en todo R. Por consiguiente f(x) también lo es en el
intervalo (0,+∞)
Veamos si f(x) es continua en el punto de ruptura, es decir, en x = 0:
1º. f(0) existe y vale 0.
2º. Veamos si existe lim f ( x ) . Para ello estudiamos los límites laterales:
x 0
lim f ( x ) lim ( 1) 1
x 0
N o lim f ( x )
lim f ( x ) lim 1 1
x 2
x 0
x 0
NO es continua en x = 0 porque: N o lim f ( x )
x 0
x 0
La función es continua en R – {0}, y en x = 0 tiene una discontinuidad no evitable de primera especie de salto finito.
Matemáticas II: Análisis
Curso 2013/14
70
Una función presenta una discontinuidad no evitable de primera especie con
salto infinito o asintótica en un punto, x = a, cuando uno o los dos límites
laterales son o :
lim f (x )
x a
lim f (x )
no lim f (x )
x 1
lim f (x ) 0,5
x 1
x 1
o
lim f (x )
x a
es
no lim k (x )
; f ( 1) 0,5
x 3
no k (3)
Ejemplo resuelto 1 - 25º
Estudia la continuidad de la siguiente función:
0
si x 1
f (x ) 1
si x 1
x 1
(Sol . : Continua en R 1 x 1 Discontinuidad NO evitable
de 1ª especie de salto infinito )
La expresión 0 es una función constante y por tanto continua en todo R. Por consiguiente f(x) también lo es en el intervalo (∞,1)
La expresión
1/(x-1)
es una función racional y por tanto es continua en todo su dominio, es decir, R – {1}. Por
consiguiente f(x) también lo es en el intervalo (1,+∞)
Veamos si f(x) es continua en el punto de ruptura, es decir, en x = 1:
1º. f(1) existe y vale 0.
2º. Veamos si existe lim f ( x ) . Para ello estudiamos los límites laterales:
x 1
lim f ( x ) lim (0 ) 0
No
1
1
lim f ( x ) lim
x 1
x 1 x 1
0
x 1
NO es continua en x = 1 porque:
x 1
lim f ( x )
x 1
N o lim f ( x )
x 1
La función es continua en R – {1}, y en x = 1 tiene una discontinuidad no evitable de primera especie de salto infinito
Matemáticas II: Análisis
Curso 2013/14
71
Una función presenta una discontinuidad no evitable de segunda especie en
un punto, x = a, cuando uno o los dos límites laterales no existen:
lim f (x )
x a
o
lim f (x )
x a
En la tabla se esquematizan las discontinuidades evitables y las no evitables de
primera especie:
Discontinuidad no evitable de primera especie
Discontinuidad evitable
Matemáticas II: Análisis
No evitable de salto finito
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No evitable de salto infinito
72
Ejemplo resuelto 1 - 26º
Clasifica las discontinuidades que presenta la siguiente función:
En x = -4, es discontinua no evitable con salto infinito o asintótica, al cumplirse:
lim f (x )
x 4
lim f (x )
x 4
En x = -2, la función es discontinua no evitable con salto finito, por existir los límites laterales, ser finitos y distintos.
En x = 1, la función es continua por la izquierda. Podría decirse que presenta una discontinuidad no evitable de segunda
especie al carecer de límite lateral por la derecha.
En x = 3, la función es continua por la derecha. Como el caso anterior podría ser considerada como discontinua no
evitable de segunda especie al no tener límite lateral por la izquierda.
En x = 5, la función es discontinua evitable. Evitamos la discontinuidad redefiniendo la función en x = 5, haciendo f(5) =
4.
En x = 8, la función es discontinua no evitable con salto infinito al ser un límite lateral finito y otro infinito.
En x = 10, la función es discontinua evitable. Evitaremos la discontinuidad definiendo f(10) = 2.
Ejemplo resuelto 1 - 27º
Halla el valor del parámetro m para que la función f(x) sea continua en R.
1
si x 0
f (x ) x 1
2x m si x 0
La
expresión
(S ol . : Si
m 1 f ( x ) es con tin ua en R )
1 es una función racional y por tanto continua en todo su dominio que es R – [1]. Por consiguiente la
x 1
función f(x) es continua en el intervalo (-∞,0) independientemente del valor del parámetro m.:
La expresión 2 x m es una función polinómica y por tanto continua en todo su dominio que es R . Por consiguiente
la función f(x) es continua en el intervalo (0,+∞) independientemente del valor del parámetro m.:
Veamos que ocurre con la continuidad de función f(x) en x = 0
1º. f(0) existe y vale -1.
Matemáticas II: Análisis
Curso 2013/14
73
2º. Veamos si existe
lim f ( x ) . Para ello
estudiamos los límites laterales:
x 0
1
1
x 1
lim f ( x ) lim (2 x m ) m
lim f ( x ) lim
x 0
x 0
x 0
x 0
si
m 1
lim f ( x ) 1 f (0 )
x0
Como vemos el valor de uno de los límites laterales depende del valor del parámetro m, y por tanto, la existencia o no
del límite de f(x) en x = 0. Si queremos que dicho límite exista debemos imponer la condición de que los límites laterales
coincidan, es decir, m = - 1. De esta forma la función también será continua en x = 0.
Ejercicios 1 - 25º a 34º
25º.- Estudia la continuidad de la función:
x 2
si x 2
x 1
f (x ) 2
3x 2x si x 2
x 2
26º.- Halla el valor que deben tener a y b para que la siguiente función sea continua
en R:
si
x 1
5x
2
f (x ) ax b si 1 x 2
3x 2 si
x 2
(Sol: a = 3 y b = - 8)
27º.- Halla el valor de a y b para que las funciones sean continuas en R:
a 2x
si
x 0
x 1
f (x ) x 2b si 0 x 2
ax 2 5 si
x 2
28º.- Halla el valor (o los valores) del parámetro a para que la función:
ex
si x 1
f (x ) 2
(a 2a )x e si x 1
(Sol.: a = 0 y a = - 2)
sea continua en el punto x = 1. (e es la base de los logaritmos neperianos)
29º.- Estudia la continuidad de las siguientes funciones:
si
x 1
0
a ) f (x ) x 1 si 1 x 3 ;
x 2 5 si
x 3
Matemáticas II: Análisis
Curso 2013/14
ex
si x 0
b ) f (x ) 2
x 2x 1 si x 0
74
e ax
si
x 0
30º.- Dada la función: f (x ) x 2a si 0 x 2 , calcula los valores de a y b
x b si
x 2
para que f(x) sea continua.
x 2 2x 8
presenta una discontinuidad evitable
x 2
en el punto x = 2, y define una función g que sea continua en R y coincida con f en todo su
dominio. (Sol.: g(x) = f(x) si x ≠ 2 y g(2) = 6)
31º.- Comprueba que la función: f (x )
32º.- Estudia la continuidad de las siguientes funciones:
4
x 2
x 5 si
a ) f (x ) 3x 1 si 2 x 3 (Sol.: Continua en R – {- 5, 2})
2x 2 si
x 3
b ) g (x ) x 2 ln(x 4) (Sol.: Continua en (4, +))
x 1
(Sol.: Continua en [-1, +))
x2 3
33º.- Estudia la continuidad de la función:
c ) h (x )
x 2 1
si x 0
f (x ) x 1
si x 0, 2 (Sol.: Continua en R – {2})
x 2 4x 2 si x 2
34º.- Estudia la continuidad de la función:
f (x ) x 3
Matemáticas II: Análisis
(Sol.: R)
Curso 2013/14
75
2.
DERIVADAS Y TÉCNICAS DE
DERIVACIÓN
1ª.- Tasas de variación media.
2ª.- Derivada de una función en un punto.
3ª.- Función derivada.
4ª.- Reglas de derivación.
5ª.- Interpretación geométrica de la derivada de una función
en un punto.
6ª.- Derivadas laterales.
7ª.- Continuidad y derivabilidad.
1ª.- Tasas de variación media e instantánea
En muchas situaciones reales interesa conocer propiedades relativas al cambio o
variación que experimenta una variable respecto a otra. Esta variación se puede evaluar a
través del cociente entre el incremento que sufre la variable dependiente y el incremento
de la variable independiente. A este cociente le llamamos tasa de variación media
(T.V.M.) de la función.
La tasa de variación media (T.V.M.) de una función f(x), en el intervalo [a, b], viene
dada por la expresión:
TV
. .M .
f (b ) f (a )
b a
Geométricamente, la T.V.M. de la función f en el intervalo [a, b] coincide con la
pendiente de la recta secante a la gráfica de la función f(x) que pasa por los puntos (a, f(a))
y (b, f(b)).
Si hacemos el cambio b= a + h podemos expresarla como:
Matemáticas II: Análisis
Curso 2013/14
76
f ( a h ) f (a )
h
siendo h la amplitud del intervalo, tal y como se ve en la imagen siguiente:
TV
. .M .
Ejemplo resuelto 2 - 1º
2
Calcula la T.V.M. de la función f (x ) x 2x en el intervalo 1, 3 .
Sol . :
f (3) f (1) 3 ( 1)
f (3) 3 2 2.3 3
. .M
2
T V
f (1) 1 2 2.1 1
31
2
La T.V.M. de una función nos informa acerca de su variación en un intervalo, pero
no nos da información sobre la variación de la función en un punto. Si h es muy pequeño, o
próximo a cero, obtenemos una información más precisa sobre cómo varía la función en el
punto a . Por ejemplo, a la policía de tráfico en carretera le importa más la velocidad de un
vehículo al atravesar un núcleo urbano que su velocidad media por hora; por eso, se
instalan radares que detectan velocidades en un punto concreto del trayecto. Esta
velocidad es, de hecho, una velocidad media entre dos puntos muy próximos; en la
práctica es la que marca el cuentakilómetros en un instante determinado.
La tasa de variación instantánea (T.V.I.) en el punto a sería, pues, la variación
media entre los puntos a y a + h, muy próximos:
f ( a h ) f (a )
h 0
h
TV
. .I . lim
Ejemplo resuelto 2 - 2º
2
Calcula la T.V.I. de la función f (x ) x 2x en el punto x = - 1.
TV
. .I lim
h0
f ( 1 h ) f ( 1)
como f (1 h ) ( 1 h )2 2( 1 h ) 3 4h h 2
h
y
f (1) 3
2
TV
. .I lim
h 0
3 4h h 3
h
Matemáticas II: Análisis
lim ( 4 h ) 4
h 0
Curso 2013/14
77
2ª.- Derivada de una función en un punto
A la T.V.I. de la función f(x) en el punto x = a se le llama derivada de f(x) en el
df
punto de abscisa x = a, y se denota por f´(a) (otras formas: y´(a), Df(a),
(a ) ). Por
dx
tanto:
f ( a h ) f (a )
f (a ) lim
h 0
h
Ejemplo resuelto 2 - 3º
A) Dada la función f (x ) 3x 2 , calcula la derivada de la función f(x) en los puntos de
abscisa x = - 1 y x = 2:
f ( 1 h ) f ( 1)
3 h 5 ( 5)
3h
f ( 1 h ) 3( 1 h ) 2 3h 5
lim
lim
3
f ( 1) hlim
0
h 0
h 0 h
f ( 1) 3( 1) 2 5
h
h
f (2 h ) f (2)
3h 4 4
3h
f (2 h ) 3(2 h ) 2 3h 4
lim
lim
3
f (2) hlim
0
h 0
h 0 h
f (2) 3(2) 2 4
h
h
2
B) Calcula la derivada de la función f (x ) x 2x 3 , en los puntos x = 1 y x = - 2.
f (1 h ) f (1)
(1 h )2 2(1 h ) 3 0
h 2 4h
h (h 4)
lim
lim
lim
lim (h 4) 4
h0
h 0
h 0
h0
h 0
h
h
h
h
f (1) lim
f ( 2 h ) f ( 2)
( 2 h )2 2( 2 h ) 3 ( 3)
h 2 2h
h (h 2)
lim
lim
lim
lim (h 2) 2
h0
h0
h0
h 0
h 0
h
h
h
h
f (2) lim
Ejercicio 2 - 1º
Aplicando la definición de derivada de una función en un punto, calcula las siguientes
derivadas en los puntos que se indican:
A ) f (x ) 1 x 2 en x 2
B ) g (x ) 2x 2 3x 1 en x 1
1
C ) h (x )
en x 1
x
D ) i (x ) x 1 en x 3
3ª.- Función derivada
El cálculo del valor de la derivada de una función en un punto a exige la resolución
de un límite, en muchos casos engorroso. Sí, además, para una misma función tenemos
necesidad de calcular su derivada en distintos puntos, esta dificultad se acrecienta. La
manera de simplificar el proceso es hallar, de una vez, otra función genérica que nos dé el
Matemáticas II: Análisis
Curso 2013/14
78
valor de la derivada en cualquier punto con sólo sustituir en ella. Esta función recibe el
nombre de función derivada.
La función derivada de una función f es una función que asocia a cada valor de x,
su derivada. Se denota por f´(x), o por y´:
f (x h ) f (x )
h 0
h
f (x ) lim
A partir de la función derivada se puede definir, si existe, también su derivada, y
recibe el nombre de derivada segunda, se representa por f´´(x).
Análogamente se definen las sucesivas funciones derivadas derivada tercera,
cuarta,…
Ejemplo resuelto 2 - 4º
2
Dada la función f (x ) 3x 2x , calcula su función derivada, aplicando la definición.
f (x h ) f (x )
3( x h ) 2( x h )2 (3x 2 x 2 )
3x 3h 2 x 2 4 xh 2h 2 3x 2 x 2
lim
lim
h 0
h 0
h 0
h
h
h
2
3h 4 xh 2h
h (3 4 x 2h )
lim
lim
lim (3 4 x 2h ) 3 4 x
h 0
h 0
h 0
h
h
f (x ) lim
Ejercicio 2 - 2º
Aplicando la definición de derivada de una función, calcula la función derivada de :
A ) f (x ) 1 x 2
B ) g (x ) 2x 2 3x 1
1
C ) h (x )
en x 1
x
IMPORTANTE
Observa que el conocimiento de la función derivada de una función f(x) simplifica el
proceso de cálculo del valor de la derivada de f en cualquier punto de abscisa x = a,
porque bastaría con sustituir el valor de x = a en la función derivada f’(x).
Así, para calcular f´(- 1), siendo f la función del ejemplo anterior, bastará sustituir x
por -1 en la función derivada f´(x) = 3 - 4x: f´(- 1) = 3 – 4 (- 1) = 7
Matemáticas II: Análisis
Curso 2013/14
79
4ª.- Reglas de derivación
Para calcular la función derivada de una función dada no aplicaremos la definición,
sino que usaremos las siguientes reglas de derivación que se recogen en la tabla de la
página siguiente:
Matemáticas II: Análisis
Curso 2013/14
80
REGLAS DE DERIVACIÓN PARA EL CÁLCULO DE LA FUNCIÓN
DERIVADA
Función
Forma simple
Forma compuesta
Constante
f ( x) K
f ( x ) 0
Identidad
f ( x) x
f ( x ) 1
Potencial
Irracional
Exponencial
Potencialexponencial
f ( x) xn f ( x) n xn1
f ( x)
n
x f ( x )
1
Trigonométrica
n n g ( x )
f ( x) ah( x ) , a 0 f ( x) ah( x ) ln a h '( x)
f ( x) e x f ( x) e x ln e e x
f ( x ) e h ( x ) f ( x ) e h ( x ) h '( x )
h( x)
f ( x ) g ( x)
f ( x ) h ( x ). g ( x )
1
x
1
1
f (x) loga x f '(x) loga e lna
x
x
h ( x ) 1
g ( x ) g ( x )
h(x)
ln g ( x ).h '( x )
f ( x) ln g ( x) f ( x)
f ( x) loga g( x) f ' ( x)
g' ( x)
g' ( x)
loga e
lna
g( x)
g(x)
f ( x ) sen g ( x ) f ( x ) g ( x ) cos g ( x )
f ( x ) cos x f ( x ) sen x
f ( x ) cos g ( x ) f ( x ) g ( x ) sen g ( x )
1
cos2 x
1
1 x2
1
f ( x ) arccos x f ( x)
1 x2
1
f ( x ) arctg x f ( x)
1 x2
f ( x ) arcsen g ( x ) f ( x )
f ( x ) arccos g ( x ) f ( x )
g ( x )
2
g ( x )
2
1 g ( x )
f ( x ) arctg g ( x) f ( x )
Suma o resta de
funciones
f ( x ) g ( x ) h( x ) f ' ( x ) g ' ( x ) h' ( x )
Producto de
funciones
f ( x ) g ( x ).h ( x ) f ' ( x ) g ' ( x ).h ( x ) g ( x ).h' ( x )
Matemáticas II: Análisis
g'(x)
cos2 g(x)
1 g ( x )
f ( x ) K .g ( x ) f ' ( x ) K .g ' ( x )
f ( x)
f (x) tgg(x) f '(x) g'(x)1tg2g(x)
Producto de un nº
por una función
Regla de la
cadena o función
compuesta
g ( x )
g ( x)
f ( x ) sen x f ( x ) cos x
f ( x ) arcsen x f ( x)
Cociente de
funciones
n 1
f ( x) a x , a 0 f ( x) a x ln a
f (x) tgx f '(x) 1tg2x
Funciones arco
g ( x )
g ( x )
f ( x) n g ( x) f ( x)
n n x n 1
f ( x) ln x f ( x)
Logarítmica
n 1
n
f ( x ) g ( x ) f ( x ) n g ( x )
g ( x )
2
1 g ( x)
g ( x)
g ' ( x).h( x) g ( x).h' ( x )
f ' ( x)
h( x )
h( x)2
f (x ) ( g h )(x ) f (x ) g (h(x )) h (x )
Curso 2013/14
81
Ejercicio 2 - 3º
Calcula las derivadas de las funciones que se indican:
a ) f (x ) 6
d ) f (x )
c ) f (x ) 8x 9
b ) f (x ) 3x
2
x4
e ) f (x )
1
7
x
f ) f (x ) 3x 4 10
5
g ) f (x ) 3(x 2 x 1)
h ) f (x ) (2x 4 3x 2 3)3
j ) f (x ) 3x
k ) f (x ) e 4 x
m ) f (x ) 6 log x
n ) f (x ) ln (3x 3 )
p ) f (x ) 4x 3 5x
1
ex
q ) f (x )
3
1
3x 5x 6
i ) f (x )
2
l ) f (x ) 2e 5x
3
o ) f (x ) 2(x ln x )3
x2
3
x2 2
5 2x 4
x
r ) f (x )
5
x
2x 3
Ejercicio 2 - 4º
Calcula las derivadas de las funciones que se indican:
a ) f (x ) (x 2 1) (x 3 2x )
b ) f (x ) (5x 6 3x 2 ) (7x 4 3x 2 )
c ) f (x ) (x 2x 3 ) ( 5x 7)3
d ) f (x )
x 2 3x
f ) f (x )
4x 5
x2 1
g ) f (x )
x
i ) f (x ) (1 e 2x ) (1 x )
j ) f (x ) e 5x 3 (2x 3 1) 4 k ) f (x ) e 4x (x 1)
l ) f (x ) (1 x 3 )2 ln2x
m ) f (x ) x ln(x 3 7x ) n ) f (x ) 4x 3 ln(x 1)
e 2 x 1
o ) f (x )
(2x 1)3
x
p ) f (x ) 5 x
e
ln x 3
r ) f (x )
x2
s ) f (x )
u ) f (x ) ln ((1 x ) (x x 3 ))
v ) f (x ) e x ln(x 2 )
5x 1
5x 1
e ) f (x )
2x 2
(x 1)2
h ) f (x )
x 2
x 2
3
ln(x 2)
(x 2)3
2
e 3x 1
q ) f (x )
2x 4 3x
t ) f (x )
log (2x )
2x 3 1
Ejercicio 2 - 5º
Halla la derivada de estas funciones en los puntos que se indican en cada caso:
a ) f ( x ) ( x 2 1) e x
f (0)
x2 3
b ) f (x ) 2
f (1)
x 1
Matemáticas II: Análisis
Curso 2013/14
82
Ejercicio 2 - 6º
Halla las derivadas 1ª y 2ª de cada una de estas funciones:
a ) f ( x ) 3x 6 2x 1
b ) f ( x ) e 3x
Ejercicio 2 - 7º
Calcula la derivada de las siguientes funciones:
a ) f (x )
5 4
x
2
b ) f (x )
d ) f (x ) 5(2x 5 4x ) 1
f ) f (x ) 2
x
1
ex
h ) f (x ) 3e 6x
1
6
m ) f (x ) 3x 2 33 x 2 7
2
x
x
1
2
x 2x
p ) f (x ) 4x x 2
2
k ) f (x ) (1 ln x )3
j ) f (x ) log (2x 3)
l ) f (x ) 22x ln x
o ) f (x ) 5x 2
c ) f (x ) 5 x 3
e ) f (x ) (2x 2 3x 1) 4
g ) f (x )
i ) f (x ) ln2x 1
1
x
n ) f (x )
1 x
x 2
1
ex
Ejercicio 2 - 8º
Calcula la derivada de las siguientes funciones:
a ) f (x ) (x 3x 4 )(4x 2)
b ) f (x ) ( 2x 3 9x 2 )(x 5x 6 )
c ) f (x ) (5x 2) 4 (2x 3 8)
d ) f (x )
2x 1
3x 2
e ) f (x )
(1 x )2
2x
2
2x
(3 x )2
g ) f (x ) (5x e 2x ) (7 2x )3
h ) f (x ) e 3x
j ) f (x ) (2x 3 7)5 ln (x 2 1)
k ) f (x ) x 5 ln(x 4x 3 ) l ) f (x ) (7 x 2 1)ln x 3
2e 5 x
m ) f (x )
(x 4)2
2x
n ) f ( x ) 3 x 2
e
p ) f (x )
ln( 3x 2 4x )
x2 5
2x 1
s ) f (x ) ln
x 2
Matemáticas II: Análisis
q ) f (x )
(2x 3 5) i ) f (x ) e 6 x (5x x 3 )
5log7 x
2x 3
t ) f (x ) 5x x
Curso 2013/14
7
f ) f (x )
2
3
e 7 x 1
o ) f (x )
5x 6 8x
r ) f (x )
ln x 3
(x 2 1)2
x 1
83
Ejercicio 2 - 9º
Halla la derivada de estas funciones en los puntos que se indican en cada caso:
a ) f ( x ) ( x 2 1)5
f ( 1)
x 3
b ) f ( x ) ln
f (6)
x 2
Ejercicio 2 - 10º
Halla las derivadas 1ª y 2ª de cada una de estas funciones:
a ) f (x )
1
x 2
b ) f ( x ) x e 3x
5ª.- Interpretación geométrica de la derivada de una
función en un punto
Hemos visto que la T.V.M. de la función f en el
intervalo [a, a+h] coincide con la pendiente de la recta
secante a la gráfica de la función por los puntos P y Q.
Cuando h tiende a 0, es decir, cuando Q se acerca a P, la recta
secante se convierte en la recta tangente a la curva en el punto P y la
pendiente de la recta secante en la pendiente de la recta tangente.
Por tanto, la pendiente, m, de la recta tangente en el punto P es la
T.V.I. en el punto P, es decir, la derivada f´(x) de la función f(x) en x =
a:
f (a h ) f (a )
f (a ) m recta tan gente en el punto (a , f (a ))
h 0
h
lim
Si tenemos en cuenta que la ecuación punto – pendiente de una recta es:
y y0 m (x x0 ) , donde (x0, y0) es un punto de la recta y m, su pendiente; y puesto que
f´(a) nos da la pendiente de la recta tangente a f en el punto (a, f(a)), se tiene que la
ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función f en dicho punto es:
y f (a ) f (a )(x a ) ecuación de la recta tangente
Matemáticas II: Análisis
Curso 2013/14
84
La recta normal en P es la recta que pasa por P y es perpendicular a la tangente, es
1
decir, tiene de pendiente el número m '
, (recuerda que el producto de las
f (a )
pendientes de dos rectas perpendiculares da como resultado -1: m.m’ = -1 por lo que su
ecuación es:
y f (a )
1
(x a ) ecuación de la recta normal
f (a )
Ejemplo resuelto 2 - 5º
Halla la ecuación de la recta tangente y de la recta normal a la gráfica de la función
f (x ) x 2 2x en el punto de abscisa x = - 1. (Sol.: en forma explícita y = - 4x – 1)
La ecuación, en forma punto pendiente, de la recta tangente pedida es de la forma
y f ( 1) f '( 1)( x 1)
Hallemos por tanto f(-1) y f’(-1)
f ( 1) ( 1) 2 2 .( 1) 1 2 3
f '( x ) 2 x 2 ;
f '( 1) 2( 1) 2 4
y 3 4 ( x 1) y 4 x 1
La ecuación, en forma punto pendiente, de la recta normal pedida es de la forma
y f ( 1)
1
( x 1)
f '(x )
y 3
1
( x 1)
4
y
1
13
x
4
4
Ejemplo resuelto 2 - 6º
2
Dada la función f (x ) x x 1 se ha trazado una recta tangente a ella que tiene
por ecuación y 5x 3 . ¿En qué punto se ha trazado? Sol.: (2, 7)
La recta tangente trazada tiene de pendiente m = 5. Por tanto la derivada de la función en el punto de tangencia desconocido
tiene que valer 5, es decir, f’(x) = 5. Si igualamos la derivada de la función a 5, obtenemos la abscisa del punto de tangencia:
Como
f (x ) x
2
x 1
f '( x ) 2 x 1
2x 1 5
x 2
2
Sustituyendo x = 2 en f(x), obtenemos la ordenada del punto de tangencia f(2) = 2 + 2 + 1 = 7
Ejemplo resuelto 2 - 7º
Escribe la ecuación de la tangente a la curva f (x ) 3x 2 x que es paralela a la recta
7x y 1 0 . (Sol.: en forma explícita y = -7x - 3)
La ecuación, en forma punto pendiente, de la recta tangente pedida es de la forma
y f ( a ) f '( a )( x a )
pero
desconocemos las coordenadas del punto de tangencia (a,f(a))
Como la recta tangente pedida es paralela a la recta de ecuación 7x +y + 1 = 0. Entonces ambas tienen que tener la misma
pendiente, es decir, m = - 7, y por tanto ya conocemos que f’(a) = - 7
Si calculamos la función derivada de f(x) y la igualamos a – 7, obtenemos la abscisa del punto de tangencia, y así podremos
calcular la ordenada f(a) para sustituir en la ecuación de la recta tangente.
Matemáticas II: Análisis
Curso 2013/14
85
Como
f (x ) 3x
2
x
f '( x ) 6 x 1
6x 1 7
x
6
1
6
Sustituyendo x = 1 en f(x), obtenemos la ordenada del punto de tangencia f(- 1) = 4
y 4 7 (x 1)
La ecuación de la recta tangente pedida es
y 7x 3
Ejemplo resuelto 2 - 8º
3
2
Dada la función f (x ) ax 2x 3x 1 ¿cuál debe ser el valor de a para que la
pendiente de la recta tangente en el punto de abscisa x = - 1 sea 11 ? (Sol.: a = 4)
Si la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en el punto de abscisa x = - 1 tiene que valer 11, entonces, según la
interpretación geométrica de la derivada de una función en un punto, esto es lo mismo que afirmar que la derivada de la función f(x) en el
punto de abscisa x = - 1 vale 11, es decir, f’(- 1) = 11.
Por tanto, hallamos la función derivada y obligamos a que f’(- 1) = 11. De esta condición obtenemos el valor de a:
f (x ) a x 3 2x 2 3x 1
f '( x ) 3 a x 2 4 x 3
2
3 a ( 1) 4 ( 1) 3 11
3a 4 3 1 1
f '( 1) 11
a 4
Ejemplo resuelto 2 - 9º
2
Calcula el punto de corte de las rectas tangentes a las curvas f (x ) x 5x 11 y
1
g (x )
en el punto de abscisa x = 1. Sol.: (4, - 2)
x
Hallamos la ecuación de la recta tangente a cada una de las funciones en el punto indicado y buscamos el punto de intersección
de ambas rectas resolviendo el sistema de ecuaciones que forman sus ecuaciones:
La ecuación, en forma punto pendiente, de la recta tangente a la función f(x) en el punto de abscisa x = 1 es de la forma
Hallemos por tanto f(1) y f’(1)
y f (1) f '(1)( x 1)
f (1) 1 2 5 .1 11 1 5 1 1 7
f '( x ) 2 x 5 ;
f '(1) 2 .1 5 3
y 7 3( x 1) y 3 x 1 0
La ecuación, en forma punto pendiente, de la recta tangente a la función g(x) en el punto de abscisa x = 1 es de la forma
Hallemos por tanto g(1) y g’(1)
y g (1) g '(1)( x 1)
g (x )
g '( x )
1
x
1
;
x2
1
1
1
1
g '(1) 2 1
1
g (1)
y 1 1( x 1) y x 2
Resolviendo el sistema de ecuaciones lineales formado por las dos ecuaciones obtenemos una única solución que son las
coordenadas del punto de intersección de ambas rectas:
x=4 e y=2
Matemáticas II: Análisis
Curso 2013/14
86
Ejemplo resuelto 2 - 10º
3
Halla en qué punto ( o puntos) la recta tangente a la curva f (x ) x 3x 1 es
paralela al eje OX; y encuentra la ecuación de esa (o esas) rectas. Sol.: (Hay dos puntos: (1, - 1), (- 1, 3); y
las ecuaciones de las rectas tangentes son: y = - 1, y = 3)
La pendiente del eje de abscisas (eje OX) vale 0 (m = 0; recuerda que su ecuación es y = 0). Por tanto, todas las rectas paralelas al eje
de abscisas (eje OX) también tienen pendiente nulaComo buscamos puntos de la gráfica de la función cuyas rectas tangentes sean paralelas al eje de abscisas, entonces buscamos puntos
de la gráfica de la función cuya derivada sea nula (f’(x) = 0). Igualando la derivada de la función a 0 encontramos las abscisas de estos
puntos:
f (x ) x
3
3x 1
f '( x ) 3 x
2
3
3x
2
3 0
x 1 1
Como vemos hay dos puntos (1, f(1) = (1, - 1) y (- 1, f(- 1)) = (- 1, 3)
Las ecuaciones de las tangentes son: y = -1 e
y = 3.
Ejemplo resuelto 2 - 11º
Una recta tangente a la curva f (x ) x
¿Cuál es el punto de tangencia? Sol.: (1, 1)
3
tiene pendiente 3 y pasa por el punto (0, -2).
Nos piden un punto (a, f(a)) de la gráfica de la función en el que la recta tangente tiene de pendiente m = 3. Aplicando la
interpretación geométrica de la derivada de una función en un punto, sabemos que f’(a) = 3. Si imponemos la condición de
que la función derivada tiene que valer 3, descubriremos quien es a.
f (x ) x
3
f '( x ) 3 x
2
3x
2
3
x 1 1
Como vemos hay dos puntos (1, f(1)) = (1, 1) y (- 1, f(- 1)) = (- 1, - 1) de la gráfica de f cuyas respectivas rectas tangentes
tienen de pendiente 3, y sus respectivas ecuaciones son:
y f (1) f '(1)( x 1 )
y f ( 1 ) f ' ( 1)( x 1)
y 1 3( x 1 )
y 1 3(x 1)
y 3x 2
y 3x 2
pero nos han pedido la recta tangente que pase por el punto (0, - 2), y sólo es la primera tangente la que pasa por este
punto.
Ejercicios 2 - 11º a 21º
11º.- Halla la ecuación de la recta tangente a la función f (x )
x
en el punto
x 1
2
de abscisa x = 2.
12º.- Halla la ecuación de la recta tangente a la función f (x )
x2
que es paralela
x 2
a la recta de ecuación 3x y 1 .
2
13º.- Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función f (x ) 3x x
en el punto de abscisa x = 2. Sol.: y = - x + 4
Matemáticas II: Análisis
Curso 2013/14
87
2
14º.- Obtén la ecuación de la recta tangente a la curva f (x ) x 3x que es paralela a
la recta 3x 2y 1 0 . Sol.: y = -3/2x – 9/16
2
15º.- Halla las ecuaciones de las rectas tangentes a la curva f (x )
que son
x 1
paralelas al segmento que une los puntos (1, -1) y (3, -5). Sol.: (0, 2), (- 2, - 2); y = - 2x+2, y = -
2x - 6
3
2
16º.- Halla la ecuación de las rectas tangentes a f (x ) x 3x 9x que son
paralelas al eje OX. Sol.: (-1, 5), (3, - 27); y = 5, y = - 27
17º.- Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función:
f (x ) e x que es paralela a la bisectriz del primer cuadrante. Sol.: y = x + 1
x
18º.- (Selectividad 2003) Sea f : R R : la función definida por f (x ) e 3 ¿En
qué punto de la gráfica de f la recta tangente a esta pasa por el origen de
coordenadas?. Halla la ecuación de dicha tangente. Sol: (3, e) y e x
3
19º.- 2004
4-A-2.
20º.- De entre todas las rectas que pasan por el origen de coordenadas,
determinan las que son tangentes a la gráfica de la función definida por
1
f (x ) x 2 4x 4 Calcula los puntos de tangencia correspondientes. Solc: hay
4
dos rectas cuyas ecuaciones son
y 2 4 6( x 4 );
y 8 2(x 4 )
21º.- Halla la ecuación de la recta tangente a las gráficas de las funciones:
si x 2
3x 5
a. f (x ) 2
en el punto de abscisa x = 4. Sol.: (
x 7 x 4 si x 2
x 3
si x 3
b. f (x ) x 1
en el punto de abscisa x = 2. Sol.: (
x
e
si x 3
x 2 3
si x 6
c. f (x ) x 5
2x 5 si x 6
Matemáticas II: Análisis
Curso 2013/14
88
6ª.- Derivadas laterales
Sabemos que para que un límite exista es necesario y suficiente que existan los
límites laterales y que sean iguales. Por tanto, y puesto que la derivada es un límite, estos
límites dan lugar a las dos derivadas laterales por la izquierda, f´(a - ), y por la derecha,
f´(a + ) , y se definen así:
f (a ) lim
h 0
f (a h ) f (a )
h
f (a ) lim
h 0
f (a h ) f (a )
h
Diremos por tanto, que una función es derivable en un punto si, y solo si, es
derivable por la izquierda y por la derecha en dicho punto y las derivadas laterales
coinciden:
f (a ) y f (a )
f (a )
f (a ) f (a )
Desde el punto de vista gráfico, que f (a ) f (a ) significa que la recta tangente a
f(x) en el punto (a, f(a)) es única.
7ª.- Continuidad y derivabilidad
TEOREMA
Para que una función f(x) sea derivable en un punto es condición
necesaria pero, no suficiente, que la función f(x) sea continua en
dicho punto. antes debe ser continua en ese punto.
Este teorema nos enseña dos aspectos trascendentales de la relación entre la continuidad
y la derivabilidad:
1º.- Para que una función sea derivable en un punto, antes tiene que ser
continua.
2º.- La continuidad en un punto no garantiza la derivabilidad en dicho punto.
Matemáticas II: Análisis
Curso 2013/14
89
Por ejemplo, la función del apartado a) es continua en el punto de abscisa x = 0,
pero sin embargo en dicho punto la función no es derivable porque sus derivadas laterales
no coinciden en x = 0, es decir la recta tangente a la función en el punto (0, f(0)) no es
única.
a
Lo mismo le ocurre a la función del apartado b) en el punto de abscisa x = a, donde
además se han trazado la tangente por la izquierda y la tangente por la derecha para
visualizar que no coinciden.
Las funciones elementales no presentan, en general, dificultades de derivabilidad
en los puntos de su dominio.
Para las funciones definidas a trozos, primero hay que estudiar su continuidad,
después su derivabilidad. En el primer caso hay que comparar los límites laterales; en el
segundo, las derivadas laterales.
Gráficamente, la derivabilidad puede calificarse como “suavidad”, como ausencia de
cambios bruscos. En la siguiente figura observados como la función f(x) es derivable en
todos sus puntos; en cambio, g(x) no es derivable en los puntos a , b y c. En el punto a ,
por no estar definida; en b , por no ser continua; en c , por no ser “suave”, es un punto
anguloso.
Ejemplo resuelto 2 - 12º
Averigua si la siguiente función es derivable en x = 2: (Soluc: no)
3x 2 1 si x 2
f (x )
si x 2
12x
Veamos primero si f(x) es continua en x = 2.
1º. f(2) existe y vale 11.
2º. Veamos si existe
lim f (x ) . Para ello
estudiamos los límites laterales:
x 2
Matemáticas II: Análisis
x 2
2
1 3 .2 2 1 11
f (x )
xlim
2
lim f ( x ) lim (12 x ) 12 .2 2 4
x 2
x2
lim f ( x ) lim 3 x
x 2
Curso 2013/14
90
No es continua en x = 2 porque
lim f ( x ) y por tanto f(x) no es derivable en x = 2.
x 2
Ejemplo resuelto 2 - 13º
Estudia la derivabilidad de la función siguiente y calcula su derivada:
x2 1
si
x 0
f (x ) x 1
si x 0, 2
x 2 4x 2 si
x 2
Primero veamos donde es continua f(x).
La expresión x 2 1
es una función polinómica que es continua y derivable en todo du dominio que es R. Por
tanto f(x) también será continua y derivable en el intervalo (-∞, 0) y su derivada vale 2x
La expresión x 1
es una función polinómica que es continua y derivable en todo du dominio que es R. Por
tanto f(x) también será continua y derivable en el intervalo (0. 2) y su derivada vale - 1.
La expresión x 2 4 x 2
es una función polinómica que es continua y derivable en todo du dominio que
es R. Por tanto f(x) también será continua y derivable en el intervalo (2, ∞) y su derivada vale 2x - 4
Veamos que ocurre en los puntos de ruptura:
Continuidad en x = 0:
1º. f(0) existe y vale f(0) = -0 + 1 = 1.
lim f ( x ) . Para ello
2º. Veamos si existe
estudiamos los límites laterales:
x 0
lim f ( x ) lim x 2 1 1
x 0
lim f ( x ) 1
lim f ( x ) lim ( x 1) 1
x0
x 0
x 0
3º. La función es continua en x = 0 porque f ( 0 ) 1 lim f ( x ) 1
x 0
x 0
Derivabilidad en x = 0: Estudiemos las derivadas laterales de f(x) en x = 0
lim f '( x ) lim 2 x
x 0
x 0
0
lim f '( x ) lim ( 1) 1
x0
f '(0)
x 0
La función no es derivable en x = 0
Continuidad en x = 2:
1º. f(2) existe y vale f(2) = - 2 + 1 = - 1.
lim f (x ) . Para ello
2º. Veamos si existe
estudiamos los límites laterales:
x 2
lim f ( x ) lim x 1 1
x 2
x 2
lim f ( x ) lim ( x
x 2
x 2
2
lim f ( x )
4 x 2) 2
x 2
La función no es continua en x = 2 porque
lim f ( x ) y por tanto tampoco es derivable en este punto
x 2
Su función derivada sería por tanto:
2x
si
x 0
f '(x ) 1
si x (0,2)
2x 4 si
x 2
NOTA: Observa detenidamente como hemos indicado en la segunda rama que f’(0) y f’(2) NO existen
Matemáticas II: Análisis
Curso 2013/14
91
Ejemplo resuelto 2 - 14º
Calcular m y n para que la siguiente función sea derivable en x = 1 Soluc: m = 2
y n = - 1)
x 2 5x m si x 1
f (x )
2
si x 1
x nx
Para que f(x) sea derivable en x = 1, primero tiene que ser continua en dicho punto. Y para que f sea continua en x = 1 tiene
que lim f ( x ) y para ello los límites laterales en x = 1 tienen que coincidir. Al imponer esta condición obtenemos una
x 2
ecuación con dos incógnitas:
lim f ( x ) lim x
x 1
x 1
2
5x m
1
2
5.1 m 4 m
4 m 1 n
lim f ( x ) lim ( x 2 nx ) 1 2 n .1 1 n
x 1
x 1
Como la función es derivable en x = 1, entonces sus derivadas laterales en dicho punto tienen que coincidir. Al imponer esta
condición sale una nueva ecuación. Entre esta y la obtenida anteriormente hallamos m y n.
lim f '( x ) lim
x 1
x 1
x
lim f '( x ) lim ( x
x 1
2
2
x 1
5 x m ' lim 2 x 5 2 .1 5 3
x 1
3 2 n
nx ) ' lim ( 2 x n ) 2 .1 n 2 n
x 1
n 1
Y por tanto m = 2
Ejemplo resuelto 2 - 15º
Estudia en función de los valores de los parámetros a y b la derivabilidad de la
función y calcula su derivada.
x 3 x si x 1
f (x ) 2
ax bx si x 1
La expresión x 3 x
es una función polinómica que es continua y derivable en todo su dominio que es R. Por tanto f(x)
2
también será continua y derivable en el intervalo (-∞, -1) y su derivada en este intervalo vale 3x - 1
La expresión a x 2 b x
es una función polinómica que es continua y derivable en todo su dominio que es R,
independientemente de los valores de a y de b. Por tanto f(x) también será continua y derivable en el intervalo (- 1. +∞) y su
derivada en este intervalo vale 2ax + b, independientente de los valores de a y de b.
Veamos que ocurre en el punto de ruptura x = -1:
Para que f(x) sea continua en x = -1, tiene que
2
1º.- Existir f(- 1) y existe: f(- 1) = a.(- 1) + b.(- 1) = a - b
2º.-
lim f ( x )
y para ello los límites laterales tienen que coincidir. Al imponer esta condición obtenemos la primera
x 1
relación que han de cumplir a y b:
3
( 1)
3
( 1) 1 1 0
0 a b
lim f ( x ) lim ( ax bx ) a .( 1) 2 b .( 1) a b
x 1
x 1
3º.- Ambos valores coincidir, y lo hacen si a = b
lim f ( x ) lim x
x 1
x 1
x
2
a b
Para que f(x) sea derivable en x = - 1 no basta con que sea continua, las derivadas laterales tienen que coincidir en dicho
punto. Al imponer esta segunda condición obtenemos una segunda relación que, junto con la primera permite obtener a y b.
lim f '( x ) lim x
x 1
lim f '( x ) lim ( a x
x 1
x 1
2
x 1
3
x ' lim 3 x 2 1 2
2 2a b
b ) 2 a b 2 a b
x 1
b x )' lim (2 ax
x 1
Por tanto para que f sea derivable en todo R debe cumplirse: a = b = - 2
CONCLUSIÓN: Si a = b = -2 la función f(x) es continua y derivable en todo R y su derivada sería:
Matemáticas II: Análisis
Curso 2013/14
92
3x 2 1 si x 1
f '(x )
4 x 2 si x 1
Si a = b ≠ -2 o si a ≠ b sólo es derivable en R – {- 1}, y su derivada sería:
3x 2 1 si x 1
f '(x )
2ax b si x 1
Ejercicios 2 - 22º a 47º
22º.- Calcular m y n para que la siguiente función sea derivable en x = 1 :
3 mx 2 si x 1
f (x ) 2
si x 1
nx
23º.- Determina, si es posible, el valor del parámetro a para que la función f(x) sea
derivable en todo su dominio de definición:
si 0 x 1
x ln x
f (x )
1x
x 1
a (1 e ) si
24º.- Estudia la derivabilidad de la siguiente función:
3x 2 2x si
x 0
f (x ) 2x
si 0 x 3
x 2 3 si
x 3
25º.- Dada la siguiente función, calcula el valor de m y de n para que sea derivable:
m
si x 0
f (x ) x 1
3x n si x 0
(Sol.: m = - 3; n = 3)
26º.- Estudia la derivabilidad de la siguiente función:
f (x ) x x 2
27º.- Estudia la derivabilidad de la siguiente función:
f (x ) x 2 x
Matemáticas II: Análisis
Curso 2013/14
93
28º.- 2003 1-B-2
2003 2-A-1
2003 3-B-2
29º.- 2004 3- A-2
2004 5-A-1
30º.- 2006 5-A-1
2007 4-B-2 apdo a)
31º.- 2008 1-A-1
2008 1-B-2 apdo a)
32º.- 2008 3-B-2 apdo. a)
2006 1-A-2 apdo a)
2007 5-A-2 apdo a)
2008 2-A-1
2008 4-A-1
33º.- 2008 5-B-1 apdos. a) y b)
2008 4-B-1
2009 1-B-2 apdo.a)
2009 4-B-1
34º.- 2009 1-A-1
2010 2-B-1
2010 2-A-1
35º.- 2010 3-A-1
2010 3-B-1
2010 4-B-2 apdo. a)
36º.- 2010 6-A-1
2010 6-B-1
2011 2-B-1
2011 6-B-2 apd.a)
37º.- Calcula la ecuación de la recta tangente a la gráfica de cada una de las siguientes
funciones en los puntos que se indican:
a ) f (x ) e x ,
en
x 0
Sol.: x+1; x/4+1
b ) f (x ) x ,
en
x 4
3
38º.- Determina los puntos de la curva de ecuación f (x ) x 12x en los que la
recta tangente es paralela al eje de abscisas. Sol.: (2, - 16), (- 2, 16)
x2
en el
x2 1
punto de abscisa x = 1. ¿En qué punto la tangente es paralela al eje de abscisas? Sol.:
39º.- Calcula la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f (x )
y – 1/2 = 1/2(x - 1); (0, 0)
40º.-Estudia la derivabilidad de las siguientes funciones:
x 2 2x 1 si
x 1
si 1 x 2
a. f (x ) 2x 2
x 2 8x si
x 2
2x si x 1
b. f (x ) 2
si x 1
x
(Sol.: En x=1 es cont., pero no deriv. presenta un punto anguloso)
ex
si
x 1
4
c.f (x )
si 1 x 1
x 3
1 ln x si
x 1
Matemáticas II: Análisis
(Sol.: En x=-1 es cont., no deriv., en x=2 no es cont.)
(Sol.: En x=-1 no es cont., en x=1 es cont., pero no deriv.)
Curso 2013/14
94
x 2 x
si x 0
41º.- Una función f(x) está definida: f (x ) 2
. Halla a y b para
x ax b si x 0
que f(x) sea continua y derivable en x = 0. Sol.: b = 0, a = 1
42º.- Calcula los valores que deben tomar los parámetros a y c para que la función f(x) sea
ax 2 c si x 1
derivable en x = 1: f (x )
. Da, en este caso, la ecuación de la recta
si x 1
ln x
tangente a la gráfica de f en x = 1. Sol.: a = 1/2, c = -1/2; y = x - 1
3
2
43º.- Considérese la curva de ecuación f (x ) kx 6x kx 18
a) ¿Cuánto debe valer k si las tangentes en los puntos A (1, f(1)) y B (- 2, f(- 2))
son paralelas?
b) Determinar las ecuaciones de ambas tangentes.
44º.- Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función:
e 2x
si x 0
f (x ) 2
en el punto de abscisa x = - 1
x 2x 1 si x 0
45º.- Comprueba si la función: f (x ) x es derivable en x = 0.
46º.- Representa gráficamente la función y x 2 x 2 . A partir de su gráfica,
indica en qué puntos no es derivable.
47º.- Comprueba si la función f (x ) x 1 es derivable en x = 1.
Matemáticas II: Análisis
Curso 2013/14
95
3.
APLICACIONES DE LA DERIVADA AL
ESTUDIO DE FUNCIONES.
1ª.- Monotonía de una función: Crecimiento y decrecimiento.
2ª.- Extremos relativos.
3ª.- Curvatura de una función: Concavidad y convexidad.
4ª.- Puntos de inflexión.
5ª.- Estudio y representación gráfica de funciones.
6ª.- Estudio y representación de funciones polinómicas.
7ª.- Estudio y representación de funciones racionales.
8ª.- Estudio y representación de funciones irracionales.
9ª.- Estudio y representación de funciones exponenciales.
10ª.- Estudio y representación de funciones logarítmicas.
11ª.- Estudio y representación de funciones definidas a trozos.
12ª.- Estudio y representación de funciones con valor absoluto.
13ª.- Optimización.
Matemáticas II: Análisis
Curso 2013/14
96
1ª.- Monotonía: crecimiento y decrecimiento
La monotonía se basa en estudiar cómo aumenta o disminuye la variable
dependiente y, al aumentar o disminuir la variable independiente x.
En la figura se observa que f(x) es creciente para valores de x menores que x1 ;
decreciente, entre x1 y x2 , y nuevamente creciente para valores de x mayores que x2 .
En la misma figura se han trazado rectas tangentes a f(x), en los puntos a , x1 , b , c ,
x2 y d , para los cuales puede verse que donde la función es creciente la tangente tiene
pendiente positiva; donde es decreciente tiene pendiente negativa y en x1 y x2 , que son
donde la función toma sus valores máximo y mínimo, las tangentes son rectas horizontales
y, por tanto, de pendiente cero.
Teniendo en cuenta que el valor de la pendiente de la recta tangente a f(x) viene
dado por su derivada, f (x ) , en el punto correspondiente, en la práctica, para determinar
los puntos en los que una función crece o decrece bastará con estudiar el signo de la
derivada.
Si f (x0 ) 0
f (x ) es creciente en x0.
Una función es creciente en un intervalo cuando lo es en cada uno de sus puntos.
Por tanto, si f (x ) 0
x (a , b ) f (x ) es creciente en el intervalo (a, b).
Si f (x0 ) 0
f (x ) es decreciente en x0.
Una función es decreciente en un intervalo cuando lo es en cada uno de sus
puntos. Por tanto, si f (x ) 0
x (a , b )
f (x ) es decreciente en el intervalo (a,
b).
Matemáticas II: Análisis
Curso 2013/14
97
Para calcular la monotonía de una función f(x), supuesta la existencia de la
derivada, conviene seguir estos pasos:
1. Calculamos f (x ) .
2. Hallamos los puntos singulares de la función, es decir, los puntos que anulan la
1ª derivada, f (x ) 0 . Determinamos también los puntos de discontinuidad de
f (x ) .
3. Consideramos los intervalos determinados por las soluciones de f (x ) 0
(puntos singulares o rices de la primera derivada) y los puntos de discontinuidad
de f (x ) .
4. Calculamos el signo de f (x ) en dichos intervalos:
Si f ( x ) 0 , x (a , b ) , entonces f(x) es creciente en (a, b).
Si f ( x ) 0 , x (a , b ) , entonces f(x) es decreciente en (a, b).
Ejemplos no resueltos 3 - 1º a 3º
1º.- Halla los intervalos de monotonía de:
a ) f (x )
x 1
x 3
b ) f (x )
x2 4
x
(Sol.: decr.: ( 2, 0) (0, 2) ; cre: ( , 2) (2, ) )
2º.- Determina los intervalos de monotonía de las funciones:
a ) f (x ) x 2 ;
b ) f (x ) x 3 ;
c ) f (x ) x 3 3x
3º.- Estudia el crecimiento de la siguiente función:
f (x )
2x 2 x 1
x 1
(Sol.: decrece: (0, 1) (1, 2) ; crece: ( , 0) (2, ) )
Ejercicios 3 - 1º
1º.- Halla los intervalos de monotonía de las funciones:
a ) f (x ) x 2 1 ;
Matemáticas II: Análisis
b ) f ( x ) x 4 2x 2 ;
Curso 2013/14
c ) f ( x ) x 3 2x 2 1
98
Ejercicios 3 - 2º
2º.- Halla los intervalos de monotonía de las funciones:
a ) f (x )
x
x 2
2
b ) f (x ) x ln x
(Sol.: decrece: ( , 2) ( 2, ) ; crece: ( 2, 2) )
(Recuerda: loga P x a
x
P ) (Sol.: decrece:
(0, e 1 ) ; crece: (e 1 , ) )
x
(Sol.: decrece: (0, 1) (1, e ) ; crece: (e , ) )
ln x
d ) f (x ) x e x (Sol.: decrece: ( , 1) ; crece: ( 1, ) )
c ) f (x )
Matemáticas II: Análisis
Curso 2013/14
99
2ª.- Extremos relativos: máximos y mínimos
Un punto crítico de una función f(x) es un punto donde la primera derivada vale
cero (punto singular), f (x0 ) 0 , o la derivada no está definida, f (x 0 ) (no existe f’(x0)).
Los máximos y mínimos relativos de una función sólo pueden darse en los puntos
críticos; sin embargo, no todo punto crítico es necesariamente un máximo o un mínimo.
TEOREMA
Si f '(x 0 ) y
f (x 0 ) 0
f (x ) tiene un extremo relativo en x 0
Para la determinación de los extremos relativos de una función podemos utilizar los
resultados del estudio de su monotonía (teniendo la precaución de no incluir como
extremos puntos en los que la función no esté definida) o seguir el siguiente procedimiento:
1. Calculamos f (x ) .
2. Hallamos los puntos que anulan la 1ª derivada, f (x ) 0 .
3. Calculamos f (x ) y sustituimos en ella los valores de x que han anulado la
primera derivada y estudiamos el signo de f (x0 ) :
Si f (x0 ) 0 en x = x0 hay un máximo relativo.
Si f (x0 ) 0 en x = x0 hay un mínimo relativo.
Si f (x0 ) 0 , este criterio no puede aplicarse, y recurriríamos a estudiar el
signo de la primera derivada para valores muy próximos por la izquierda y
por la derecha del punto, es decir, la monotonía, de forma que:
♦ Si f (x ) es positiva a la izquierda de un punto crítico (función creciente) y
negativa a la derecha (función decreciente), el punto crítico es un
máximo.
♦ Si f (x ) es negativa a la izquierda de un punto crítico y positiva a la
derecha, el punto crítico es un mínimo.
Matemáticas II: Análisis
Curso 2013/14
100
IMPORTANTE
Para que una función tenga un máximo o un mínimo no es necesario que f (x ) 0 .
Por ejemplo, f (x ) x tiene un mínimo en x = 0 y, sin embargo, f (0) no está definida.
Por tanto, la caracterización dada se refiere a funciones derivables.
Ejemplos no resueltos 3 – 4º a 7º
4º.- Calcular los extremos relativos de las funciones:
a ) f (x ) x 3 3x (Sol.: mínimo relativo: (1, 2) ; máximo relativo: (1, 2) )
7x 3
b ) f (x )
(Sol.: f (x ) 0 no tiene solución, luego no hay extremos relativos. Es decreciente)
2x 4
5º.- Hallar los extremos relativos de la siguiente función:
2x 2 x 1
f (x )
x 1
(Sol.: mínimo relativo: (2, 9) ; máximo relativo: (0, 1) )
6º.- Calcula los intervalos de monotonía y los extremos relativos de la siguiente
función:
4
f (x ) ln x 2 (Sol.: decrece: ( , 0) (0,2) ; crece: (2, ) ; mínimo relativo: (2, 2 ln 4) )
x
3
2
7º.- Dada la función f (x ) x ax 5 , hallar el valor de a para que tenga un
extremo relativo (máximo o mínimo) cuando x = 2. (Sol.: a = -3)
Ejercicio 3 – 3º
Hallar los extremos relativos de las funciones:
a ) f ( x ) 2x 2 3x 2
x
b ) f (x ) 2
(Sol.: mínimo relativo:
x 2
c ) f (x ) x ln x
( 2,
2
2
) ; máximo relativo: ( 2,
))
4
4
(Sol.: mínimo relativo: (e 1 , e 1 ) )
x
(Sol.: mínimo relativo: (e , e ) )
ln x
e ) f ( x ) x e x (Sol.: mínimo relativo: ( 1, e
d ) f (x )
1
))
Ejercicio 3 – 4º
Calcula los intervalos de monotonía y los extremos relativos de la siguiente función:
a ) f ( x ) x 3 3x 2 4x 3
b ) f (x ) x 4 4x 3 4x 2 1
(2, 1)
Matemáticas II: Análisis
(Sol.: decrece: ( , 0) (1,2) ; crece: (0, 1) (2, ) ; mínimo relativo:
y
(0, 1) ; máximo relativo: (1, 0) )
Curso 2013/14
101
3ª.- Curvatura de una función: concavidad y convexidad
Diremos que una función es cóncava en un intervalo, si las pendientes de las rectas
tangentes trazadas a la curva van disminuyendo. Por el contrario, si las pendientes van
aumentando, diremos que la función es convexa en ese intervalo.
El estudio de la derivada segunda, f (x ) , de una función f (x ) nos va a permitir
deducir la curvatura de la gráfica asociada a la función.
La concavidad y la convexidad dependen de la posición desde la que se observa la
gráfica. Nosotros seguiremos el siguiente criterio:
Una función f (x) es cóncava en un intervalo
(a, b) si la gráfica de la función queda debajo de la
recta tangente en cada uno de los puntos del
intervalo.
Una función f (x) es
intervalo (a, b) si la gráfica de la
encima de la recta tangente en
puntos del intervalo.
convexa en un
función
queda
cada uno de los
Para determinar los intervalos de concavidad y convexidad procederemos del
siguiente modo:
1. Calculamos f (x ) .
2. Hallamos los puntos que anulan la 2ª derivada, f (x ) 0 . Determinamos
también los puntos de discontinuidad de f (x ) .
3. Consideramos los intervalos determinados por las soluciones de f (x ) 0 y los
puntos de discontinuidad de f (x ) .
4. Calculamos el signo de f (x ) en dichos intervalos:
Si f ( x ) 0 , x (a , b ) , entonces f(x) es cóncava en (a, b).
Si f ( x ) 0 , x (a , b ) , entonces f(x) es convexa en (a, b).
Ejemplos no resueltos 3 – 8º y 9º
8º.- Estudia el tipo de concavidad que presentan las funciones:
Matemáticas II: Análisis
Curso 2013/14
102
a ) f (x ) x 3 6x 2 9x
b ) f (x ) 2x 2 4 ln x
(Sol.: convexa: (2, ) ; cóncava: ( , 2) )
(Sol.: convexa: (1, ) ; cóncava: (0, 1) )
9º.- Estudia la monotonía y la concavidad de la función:
f (x ) (x 1) e x
(Sol.: decrece: (2, ) ; crece: ( , 2) ; máximo (2 , 0,14) ; convexa: (3, ) ; cóncava: ( , 3) )
Ejercicio 3 – 5º
Determina los intervalos de curvatura de las siguientes funciones:
a ) f (x ) x 3 x 2 8x ;
Matemáticas II: Análisis
b ) f (x )
Curso 2013/14
x2
;
1x
c ) f (x ) x e x
103
4ª.- Puntos de inflexión
Una función tiene un punto de inflexión en un punto, si la
función cambia de curvatura en dicho punto.
La tangente a la función en un punto de inflexión atraviesa la
gráfica de la misma.
Si una función tiene en x = x0 un punto de inflexión, entonces f (x0 ) 0 . El
teorema recíproco no es cierto.
Ejemplo resuelto 3 – 10º
4
2
La derivada segunda de la función f (x ) x es f (x ) 12x , luego f (0) 0 y
como se puede observar en la figura, en el punto (0, 0) la función no tiene un punto
de inflexión.
La determinación de los puntos de inflexión podemos hacerla a partir del estudio de
la curvatura de la función o mediante el siguiente proceso:
1. Calculamos f (x ) .
2. Hallamos los puntos que anulan la 2ª derivada, f (x ) 0 .
3. Calculamos f (x ) y sustituimos en ella los valores de x que han anulado la
segunda derivada:
Si f (x0 ) 0 , entonces diremos que la función tiene un punto de inflexión
en x = x0 .
Si f (x0 ) 0 , este criterio no puede aplicarse, y recurriríamos a estudiar el
signo de la segunda derivada para valores muy próximos por la izquierda y
por la derecha del punto, es decir, la curvatura, de forma que:
♦ Si f (x ) es positiva a la izquierda del
punto y negativa a la derecha, se trata
Matemáticas II: Análisis
Curso 2013/14
104
de un punto de inflexión convexo - cóncavo.
♦ Si f (x ) es negativa a la izquierda del
punto y positiva a la derecha, se trata
de un punto de inflexión cóncavo convexo.
Ejemplos no resueltos 3 – 10º y 11º
10º.- Determina los puntos de inflexión de las funciones:
a ) f (x ) x 4 6x 2
6
b ) f (x ) x 2
(Sol.: ( 1, 5), (1, 5) )
(Sol.: no tiene)
11º.- Calcular la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función
y x 3 x 2 en su punto de inflexión. (Sol.: P.I.: (0, 2) y x 2 )
Ejemplo resuelto 3 – 12º
Halla a, b y c de modo que la función y x 3 ax 2 bx c tenga un mínimo para x
= 3 y un punto de inflexión en (0, 2). (Sol.: a = 0; b = - 27; c=2)
La función f (x ) x 3 ax 2 bx c es una función polinómica y por tanto es continua y derivable en todo su dominio que es R.
Por tanto en los puntos donde alcance sus extremos se cumple que su primera derivada se anula f '(x ) 0 y en los puntos de
inflexión se cumple que su segunda derivada también se anula f ''(x ) 0
Como f '(x ) 3x 2 2ax b y f(x) tiene un mínimo en x = 3 f '(3) 0
Como f ''(x ) 6x 2a
y f(x) tiene un PI en (0, 2) f ''(0) 0
3.32 2a .3 b 0
6.0 2a 0
27 6a b 0
a 0
Como a = 0 y 27 + 6a + b = 0 b 27
Nos falta obtener el valor de c. Para ello razonamos del siguiente modo:
Como el punto (0, 2) es un PI de f(x), dicho punto también es de su gráfica y por tanto se cumple que
f (0) 2
03 0.02 27.0 c 2
c 2
Ejemplo no resuelto 3 – 13º
Matemáticas II: Análisis
Curso 2013/14
105
Sea f(x) una función polinómica de la que se conoce la
gráfica de su función derivada f´(x), representada en la
figura. Determina:
a) Extremos relativos e intervalos de monotonía de
f(x). (Sol.: Crec. (0, 2) ), Decrec. ( , 0) (2, ) ; Mín.: x = 0; Máx.: x = 2)
b) Puntos de inflexión e intervalos de curvatura de f(x). (Sol.: P.I.: x = 1, Conv. ( ,1) , Conc. (1, ) ;
los intervalos de curvatura de f(x) coinciden con los de monotonía de f´(x))
Ejercicios 3 – 6º a 29º
6º.- Estudia monotonía, extremos relativos, curvatura y puntos de inflexión de las
siguientes funciones:
a ) f (x ) x 3 3x 2 9x 22 ;
b ) f (x )
2x 3
x 1
c ) f (x ) x 3 3x 4 ;
d ) f (x )
2x
x 1
7º.- Estudiar el tipo de concavidad y la existencia o no de puntos de inflexión en las
siguientes funciones:
x
a ) f (x ) 2
(Sol.: conv.: ( 6, 0) ( 6, ) ; cónc: ( , 6) (0, 6) ;P.I.: x 6; x 0; x 6 )
x 2
b ) f (x ) x ln x
(Sol.: convexa: (0, ) ; P.I.: no tiene)
x
e
(Sol.: convexa: (1, e ) ; cóncava: (0, 1) (e , ) ; P.I.: (e ,
))
2
ln x
d ) f (x ) x e x (Sol.: convexa: (2, ) ; cóncava: ( , 2) P.I.: ( 2, 2 e ) )
c ) f (x )
2
2
2
2
2
8º.-
Se
sabe
3
que
la
función
f : R R
viene
definida
por
la
expresión
2
f (x ) ax bx cx d , que su gráfica pasa por el punto (0, 4), que tiene un PI en
(1, 2) y que la recta tangente a la gráfica de la función en el punto de abscisa x = 0 es
horizontal. Calcula a, b, c y d. (Sol : a = 1, b = - 3, c = 0 y d = 4)
9º.- Sea f la función f : 0, R definida por la expresión f (x ) x 2 ln(x ) .
a) Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f y sus
extremos relativos (puntos dónde se obtienen y valores que se alcanzan)
b) Calcula la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de
abscisa x e
Sol : a) En (0,
1
e
) decrece y en (
1
.b) y e 2 e x e
2
Matemáticas II: Análisis
1
e
, ) crece. Tiene un mínimo en (
1
e
,
1
)
2e
3
y 2 ex e
2
Curso 2013/14
106
10º.- La figura muestra la gráfica de la función
derivada f ´(x) de la función f(x). Determina, a
de la gráfica, los máximos y mínimos relativos y
puntos de inflexión de f(x), y haz su
representación aproximada. (Sol.: Mín.: x = 1; Máx.: x =
partir
los
10; P.I.:
x = 2, x = 4, x = 7)
11º.- Sea f la función f : R R definida por la expresión f (x ) x 1 x 1 x 2
.
a) Halla las ecuaciones de la recta tangente y normal a la gráfica de f en el
punto de abscisa x = 1.
b) Determina los intervalos de concavidad y convexidad de f. ¿Tiene puntos
de inflexión ?.
Sol : a)
y 2x 2
y
1
1
x
2
2
2
2
2 20
b) En (, ) cóncava y en ( , ) convexa. Tiene un PI en ( ,
)
3
3
3 27
ax 2 b
12º.- De la función f : 0, R definida por f (x )
.se sabe que la recta
x
tangente a su gráfica en el punto de abscisa x = 1 viene dada por y = - 2.
a) Calcula a y b.
b) Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento y sus extremos
relativos.
Sol : a) a = b = -1
b) Crece en el intervalo (0,1) y decrece en el intervalo (1, ) . Tiene un máximo en (1, 2)
13º.- Estudia la derivabilidad de la función f : 0, R definida por
3 x2
f (x ) 1 x
x 4
si 0 x 1
si x 1
.y calcula su derivada
x
si 0 x 1
2
Sol : f '( x ) 3 x
1 x
si x 1
x2 2
x 2 2x 1 si x 1
14º.- Dada la función f (x )
si x 1
x 1
a) Halla su función derivada. (Sol.: no en x = 1)
b) ¿Tiene f(x) algún punto en el que f´(x) = 0 ? (Sol.: x = - 1)
c) Estudia el crecimiento y decrecimiento de f(x). (Sol.: decrece:
( , 1) ; crece: ( 1, ) )
d) Escribe la ecuación de la recta tangente a f(x) en x = 0.
Matemáticas II: Análisis
Curso 2013/14
107
15º.- Dada la función f(x), estudiar la monotonía de f(x) y calcular la recta tangente a
la gráfica de f(x) en el punto de abscisa x = 2.
2x si x 1
f (x ) 2
(Sol.: )
si x 1
x
3
2
16º.- La función f (x ) x ax 4x b corta al eje de abscisas en x = 3 y tiene
un punto de inflexión en x = 2/3. Hallar a y b. (Sol.: a = 2; b = - 21)
2
17º.- Hallar a y b para que la función f (x ) a ln x bx x tenga extremos en los
puntos x = 1 y en x = 2. Para esos valores de a y b, ¿qué tipo de extremos tiene la
función en x = 1 y en x = 2? (Sol.: )
3
2
18º.- Dada la función f (x ) ax bx cx d , halla los coeficientes a, b, c y d
para que se cumplan las siguientes condiciones: la gráfica de la función tiene un
punto de inflexión en (-1, 1), siendo la tangente en este punto paralela a la recta
4x y 5 y, además, pasa por el punto (0, 1). (Sol.: a = 4/5, b = -12/5, c = -16/5, d = 1)
19º.- Una función polinómica de tercer grado verifica que su gráfica pasa por el punto (1, 0) y tiene tangente paralela al eje OX en el punto (0, 4). Sabemos también que el
coeficiente de tercer grado de la función es 2. Determina la función. (Sol.: f(x)=2x 3–2x 2 + 4)
20º.- 2003 2-B-1
2003 2-A-1
2003 5-A-1
21º.- 2004 2-B-1
2004 3-B-1
2004 6-A-2
22º.- 2004 6-B-1
2005 1-A-1
2005 -1-A-2a)
23º.- 2005 5-A-2
2005 6-B-1
2006 1-A-1
24º.- 2006 2-A-1
2006 6-A-1
2007 1-A-1
25º.- 2007 2-B-1
2007 4-B-1
2007 5-A-1
26º.- 2007 5-B-1
2008 4-A-1
2008 4-B-1
27º.- 2008 5-A-1
2008 6-A-1
2009 1-A-1
28º.- 2009 4-A-1
2010 5-B-1
2010 6-A-1
Matemáticas II: Análisis
Curso 2013/14
108
29º.- 2011 3-B-1
2011 4-B-1
2011 5-A-1
5ª.- Estudio y representación de funciones
Para hacer un estudio completo de una función y representarla gráficamente
conviene ser sistemático a la hora de obtener la información sobre ella, y es necesario
interpretar gráficamente los resultados que se van obteniendo.
No siempre son necesarios todos los cálculos, pero un posible esquema para
realizar el estudio de una función es el siguiente:
1. Dominio y continuidad
Calcular el conjunto de números reales que puede tomar x , para los cuales está
definida la función: Dom f x
| f (x )
Hacer también un estudio de posibles discontinuidades.
2. Simetría
Simetría par
f (x ) f (x )
Simetría impar f (x ) f (x )
Cuando se da alguna de estas dos simetrías es fácil intuir como es la función a la
izquierda del origen de coordenadas si se conoce como es a la derecha, y viceversa-
3. Puntos de corte con los ejes de coordenadas
a) Puntos de corte con el eje X (abscisas)
Son las soluciones del sistema:
y f ( x )
y 0
f (x ) 0
b) Puntos de corte con el eje Y (ordenadas)
Son las soluciones del sistema:
y f (x )
x 0
y f (0)
4. Signo de la función
Matemáticas II: Análisis
Curso 2013/14
109
Para determinar dónde la función es positiva y dónde es negativa, señalaremos en
la recta real las abscisas de los puntos de corte con el eje OX y también los puntos de
discontinuidad. De este modo la recta real queda dividida en intervalos. A continuación
estudiamos el signo de la función en ellos tomando un valor cualquiera de x en cada uno
de los intervalos, hallamos su imagen y así sabremos el signo de la función.
Esta propiedad permite situar a la gráfica de la función por encima o por debajo del
eje OX.
5. Asíntotas. Ramas infinitas
Estudiamos la existencia de A.V., de A.H. y de A.O y, en caso de que las haya
averiguamos sus expresiones.
Es importante destacar que aunque no tenga A.H. si es interesante saber el
comportamiento de la función cuando x tiende a y a , es decir cómo son las ramas
de la función en y a .
6. Monotonía: crecimiento y decrecimiento
Ya hemos indicado en este tema como hacerlo-
7. Extremos relativos: máximos y mínimos relativos
La determinación de los extremos relativos puede salir del estudio del apartado
anterior, es decir de la monotonía.
Si sólo nos pidieran los extremos relativos podríamos seguir el método descrito en la
pregunta correspondiente en este mismo tema.
8. Curvatura: tipo de concavidad
Ya se ha descrito anteriormente.
9.- Puntos de inflexión
Podemos obtenerlos del estudio del apartado anterior o siguiendo el proceso
descrito en la pregunta correspondiente.
10.- Tabla de valores
Puede resultar conveniente construir una tabla de valores en el caso de no haber
obtenido suficientes datos en los apartados anteriores, o bien, si queremos hacer una
representación gráfica más precisa.
Matemáticas II: Análisis
Curso 2013/14
110
6ª.- Estudio de funciones polinómicas
Las funciones polinómicas, f (x ) an x n a1x a0 , son continuas y derivables
en todo R, es decir, su dominio es: Dom f (x )
; por tanto, no tienen asíntotas de ningún
tipo.
Para representar una función polinómica:
1.º Estudiar si tiene o no tiene simetría.
2.º Calcular, si es posible, los puntos de corte con los ejes.
3.º Estudiar el signo de la función.
4.º Hallar sus dos ramas infinitas: lim f (x ) ,
x
lim f (x )
x
5.º Estudiar la monotonía de la función y hallar sus extremos.
6.º Estudiar la curvatura de la función y hallar sus puntos de inflexión.
7.º Para obtener mayor precisión en la representación gráfica construir una tabla
de valores.
Veamos la gráfica de algunas funciones polinómicas:
Constantes
Lineales
Afines
Parabólicas
Polinómicas de 3er grado
Matemáticas II: Análisis
Curso 2013/14
111
y x 3 3x 2 4
Para dibujar una parábola, vamos a tener que calcular varios puntos:
Puntos de corte con los ejes
Con el eje OX: y 0 ax 2 bx c 0
Con el eje OY: x 0 y c Punto 0, c
Coordenadas del vértice
La abscisa del vértice de la parábola es x0
sustituimos este valor en la función, f (
b
; para calcular la ordenada
2a
b
) .
2a
Ejemplo no resuelto 3 – 14º
Estudia y representa las funciones:
a ) f (x ) x 2 3x 2
b ) f (x ) x 2 6x 4
Ejercicios 3 – 30º a 32º
30º.- Estudia y representa las funciones:
a ) f (x ) 4 x 2
b ) f (x ) x 2 5x 6
31º.- Estudia y representa las funciones siguientes:
a ) f (x ) x 3 6x 2 9x 5
b ) f (x ) x 3 3x
Matemáticas II: Análisis
(Sol.: M: (1, 9) ; m: (3, 5) ; P.I.: (2, 7) )
(Sol.: M: (1, 2) ; m: (1, 2) ; P.I.: (0, 0) )
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112
c ) f (x ) (x 2)3 3
d ) f (x ) x 3 6x 2
(Sol.: no M; no m; P.I.: (2, 3) )
(Sol.: M: (0, 0) ; m: ( 4, 32) ; P.I.: ( 2, 16) )
32º.- Estudia y representa las funciones:
a ) f (x ) x 3 3x 2
(Sol.: M: (1, 4) ; m: (1, 0) ; P.I.: (0, 2) )
b ) f (x ) x 3 3x 2 24x 3
(Sol.: M: (4, 83) ; m: (2, 25) ; P.I.: ( 1, 29) )
c ) f (x ) 2x 3 21x 2 60x 32
(Sol.: M: (4, 83) ; m: (2, 25) ; P.I.: ( 1, 29) )
7ª.- Estudio de funciones racionales
Una función racional es aquella que puede escribirse como cociente de polinomios,
P (x )
f (x )
, donde P y Q son polinomios.
Q (x )
El dominio es el conjunto de los números reales, excluidos los números para los
que se anule el denominador (ceros o raíces):
Dom f ( x )
Dom f ( x )
x
| Q (x ) 0
valores que anulan el denominador
Las funciones racionales son continuas y derivables en su dominio de definición.
Para representar una función racional:
1.º Calcular el dominio.
2.º Simetría.
3.º Calcular, si es posible, los puntos de corte con los ejes.
4.º Signo de la función.
5.º Hallar las asíntotas verticales y horizontales (existe A.H. cuando el grado
del numerador es menor o igual que el grado del denominador, en cuyo caso,
es la misma tanto en como en ).
6.º Estudiar la monotonía de la función y hallar sus extremos.
7.º Estudiar la curvatura de la función y hallar sus puntos de inflexión.
8.º Para obtener mayor precisión en la representación gráfica construir una tabla
de valores.
Matemáticas II: Análisis
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113
Las gráficas de las funciones racionales pueden ser:
Funciones de proporcionalidad inversa. Son funciones racionales cuyo
k
numerador es una constante, f (x ) . Las gráficas de estas funciones son
x
hipérbolas equiláteras.
Ejemplo no resuelto 3 – 15º
Estudia y representa las funciones siguientes:
a ) f (x )
x
x 1
b ) f (x )
x2
x2 1
2
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114
c ) f (x )
4 2x 2 x 3
x2
d ) f (x )
1
x 3
Ejercicio 3 – 33º
Estudia y representa las funciones siguientes:
a ) f (x )
x3
1x2
b ) g (x )
x 2 2x 8
x
Ejercicio 3 – 34º
Estudia y representa las funciones siguientes:
a ) f (x )
x2 9
x2 4
x 3 2x
b ) g (x )
x2 1
8ª.- Estudio de funciones irracionales
a) Irracionales: f ( x ) n g ( x )
Si n es impar, el dominio de f(x) coincide con el dominio de g(x):
Dom f (x ) Dom g (x )
Si n es par, el dominio de f(x) es el conjunto de los números reales tales que
g (x ) 0 :
Dom f (x ) x
| g (x ) 0
Las funciones irracionales son continuas y derivables en su dominio de definición.
Para representar una función irracional:
1º. Calcular el dominio.
2º. Simetría.
3º. Calcular, si es posible, los puntos de corte con los ejes.
4º. Signo de la función.
Matemáticas II: Análisis
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115
5º. Hallar las asíntotas verticales y horizontales. Cuidado con las ramas en y
en , ya que alguna puede no existir.
6º. Estudiar la monotonía de la función y hallar sus extremos.
7º. Estudiar la curvatura de la función y hallar sus puntos de inflexión.
8º. Para obtener mayor precisión en la representación gráfica construir una tabla de
valores.
Cuando g(x) es un polinomio de primer grado su representación gráfica es una
parábola con eje de simetría el eje de abscisas.
Ejemplo no resuelto 3 16º
Estudia y representa las funciones siguientes:
a ) f (x ) x
b ) f (x ) 3x 6
c ) f ( x ) x 2 2x
Ejercicio 3 – 34º
Estudia y representa las funciones siguientes:
a ) f (x ) x 2 2x
b ) f (x ) x 2 9
9ª.- Estudio de funciones exponenciales
g (x )
Exponenciales: f (x ) a
El dominio de estas funciones, con a > 0 y a ≠ 1, coincide con el dominio de g(x):
Dom f (x ) Dom g (x )
Matemáticas II: Análisis
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116
Para su representación gráfica se siguen todos los pasos detallados en la
pregunta nº 5.
La representación gráfica de la función f (x ) a
x
será:
Ejemplo 3 - 17º
Haz la representación gráfica de f (x ) xe
x
Ejercicio 3 – 34º
Representa a la función: f (x )
ex
x
Ejercicio 3 – 35º
Estudia y representa las funciones siguientes:
a ) f (x )
ex
x2
ex
b ) f (x )
x
Matemáticas II: Análisis
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117
10ª.- Estudio de funciones logarítmicas
Logarítmicas: f ( x ) loga g ( x )
El dominio de estas funciones, con a > 0 y a ≠ 1, es el subconjunto de los
números reales tales que hacen g(x) positivo:
Dom f (x ) x R | g (x ) 0
Recuerda que no se pueden calcular logaritmos de números negativos ni
tampoco está definido el logaritmo de 0.
Para representarla gráficamente seguimos el esquema general.
La representación gráfica de la función f (x ) log a x será:
NOTA: La primera gráfica corresponde, por tanto, a log(x) y a ln(x).
Ejemplo 3 – 18º
Representar las funciones:
a ) f (x ) x ln x
b ) f (x )
x
ln x
(Sol.:
Ejercicio 3 – 36º
Representa las funciones:
a ) f (x ) ln (x 2 1)
b ) f (x )
x
ln(x )
Ejercicio 3 – 37º
Representa gráficamente la función:
a ) f (x ) ln (4 x 2 )
Matemáticas II: Análisis
b ) f (x )
x 2 2x
ex
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118
11ª.- Estudio de funciones definidas a trozos
En este tipo de funciones la expresión analítica depende de los tramos del dominio
en los que se encuentre la variable independiente. Habrá que hacer el estudio de cada una
de las funciones y adaptarlo a su dominio de definición.
Debemos tener especial cuidado en los puntos de ruptura. Estudiaremos la
continuidad y la derivabilidad en dichos puntos. Puede ocurrir que la función sea continua y
no derivable en un punto de ruptura y que tenga un máximo o un mínimo relativo en dicho
punto. Por ejemplo, f (x ) x tiene un mínimo en x = 0 y, sin embargo, f (0) no está
definida.
Ejemplo no resuelto 3 – 19º
Estudia y representa las funciones:
1
si
x 0
x
a ) f (x ) x si 0 x 2
1 si
x 2
2x 2 si x 2
b ) f (x )
2
si x 2
x
Ejercicio 3 – 38º
Estudia y representa las funciones:
e x si x 0
a ) f (x )
x si x 0
2
x 9 si x 3
b ) f (x )
x 3 si x 3
Matemáticas II: Análisis
Curso 2013/14
119
12ª.- Estudio de funciones con valor absoluto
Si la función es de la forma: f (x ) g ( x ) podemos representar a la función
g(x) y pasar arriba todo el tramo de la gráfica que esté por debajo del eje de
abscisas.
En cualquier otro caso convertimos a la función f(x) en una función a trozos o
por ramas.
Ejemplo 3 – 20º
Estudia y representa las funciones:
a ) f (x ) x 2 3
b ) f (x ) x x
Ejercicio 3 – 39º
Estudia y representa las funciones:
x3
a ) f (x ) 2
x 1
b ) f (x )
1
1 x
c ) f (x ) x x 2
d ) f (x ) x x 2
Ejercicios 3 - 40º a 43º
40º.- 2003 4-B-2
2004 1-A-1
2005 1-B-1
41º.- 2005 2-A-1
2005 4-A-1
2005 6-A-2
42º.- 2006 3-B-1
2006 4-B-1
2009 3-B-1
43º.- 2009 6-A-1
2010 4-B-1
Matemáticas II: Análisis
Curso 2013/14
120
13ª.- Optimización de funciones
A lo largo de este tema hemos tratado una de las aplicaciones más usuales de la
derivada, la representación gráfica de curvas, en esta pregunta veremos otra aplicación, la
optimización.
Respecto a la optimización, todos sabemos que uno de los retos permanentes de la
Humanidad es el máximo aprovechamiento de los recursos: alimentos, materias primas,
espacio y tiempos disponibles, etc.
A las empresas dedicadas a la fabricación de recipientes les interesa conocer las
dimensiones de los envases que, manteniendo la misma capacidad, necesitan menos
material para su construcción.
Los avances técnicos y los modelos matemáticos son algunas de las respuestas que
el ser humano ha sabido dar al problema.
Hallar máximos y mínimos de funciones es un problema que se plantea
frecuentemente, no sólo en matemáticas, sino también en numerosos ámbitos: social,
económico, tecnológico... Así, es frecuente oír expresiones como mínimo consumo,
máximo rendimiento… Son problemas de optimización de funciones.
Se trata de encontrar la solución óptima, es decir, la que da mayor beneficio o la que
cuesta menos. Para ello utilizaremos el cálculo de derivadas que, como sabemos, da las
condiciones de existencia de máximos y mínimos.
El proceso general a seguir para resolver este tipo de problemas es:
1. Hacer un esquema o dibujo de la situación, siempre que sea posible
2. Hallar la expresión algebraica de la función que se debe optimizar (si es que no
nos la han dado, que será lo más habitual).
3. Si la función depende de más de una variable, hay que buscar una relación
entre ellas; esta relación siempre es una igualdad. Expresaremos una variable
en términos de la otra y la sustituiremos en la función a optimizar, con lo que
obtendremos una función de una sola variable.
4. Se halla la derivada primera y se calculan los valores que la anulan: f (x ) 0 .
Entre estos valores se hallan los máximos y mínimos de la función.
5. Comprobar que los resultados obtenidos tienen sentido y son válidos en el
contexto del problema y se da la solución al enunciado..
Matemáticas II: Análisis
Curso 2013/14
121
Ejemplos no resueltos 3 – 21º a 28º
21º.- Una discoteca abre a las 10 de la noche y cierra cuando se han marchado
todos sus clientes. La expresión que representa el número de clientes en función del
número de horas que lleva abierta, t, es N (t ) 80t 10t 2 .
a) ¿A qué hora el número de clientes es máximo? ¿Cuántos clientes hay en ese
momento? (Sol.: 2 de la mañana; 160 personas)
b) ¿A qué hora cerrará la discoteca? (Sol.: 6 de la mañana)
22º.- Halla dos números positivos cuya suma es 30 y el producto de uno por el
cuadrado del otro es máximo. Razona la respuesta.
(Sol: f (x ) x 2 (30 x )
Sol . 20 y 10 )
23º.- Una hoja de papel debe tener 18 cm2 de texto impreso. Los márgenes superior e
inferior han de ser de 2 cm de altura y los laterales de 1 cm de anchura. Halla las
dimensiones de la hoja para que el coste del papel sea mínimo.
(Sol: A ( x 2)( y 4) ;
x y 18
A ( x ) 26 4 x
36
x
Sol . 5 10 )
24º.- Se desea construir, al lado de una carretera, una zona de descanso para
automovilistas. Tendrá forma rectangular y estará vallada por los tres lados no adyacentes
a la carretera. Si su superficie es de 7200 m2, ¿qué dimensiones debe tener para que el
coste de la valla sea mínimo?
(Sol: L x 2y ;
x y 7200
L(x )
x 2 14400
x
Sol . 120 60 240 m )
3
25º.- Se ha de construir un gran depósito cilíndrico de 81 m de volumen. La
superficie lateral ha de ser construida con un material que cuesta 30€/ m2, y las dos bases
con un material que cuesta 45€/ m2.
¿Qué dimensiones (radio y altura) ha de tener el depósito para que el coste de los
materiales necesarios para construirlo sea el mínimo posible?.
¿Cuál será, en este caso, el coste del material?.
SOLUC: Función a optimizar:
C (r )
4860
90 r 2
r
siendo r el radio del cilindro
La base del cilindro debe medir 3 m de radio y la altura debe medir 9 m.
La superficie lateral cuesta 5086,8 € y las dos bases 2543,4 €. Total = 7630,2
26º.- Un fabricante desea diseñar una caja abierta con base cuadrada y que tenga un
área total de 108 metros cuadrados de superficie. ¿Qué dimensiones producen la caja de
máximo volumen? Dato: La abertura de la caja es uno de los lados cuadrangulares.
SOLUC: Función a optimizar:
V ( x) 27 x
1 3
x
4
siendo x la longitud de uno de los lados de la base de la caja.
Se trata de una caja rectangular de base cuadrada de 6 m de lado y 3 m de altura.
Matemáticas II: Análisis
Curso 2013/14
122
2
27º.- Determina el punto Q de la parábola y x que está más próximo al punto P(3,
0). Comprueba que la recta QP es perpendicular a la tangente a la parábola en Q.
SOLUC: Función a optimizar:
d ( x) x 4 x 2 6 x 9
Se trata del punto Q = (1,1).
La recta que pasa por QP tiene de ecuación y= - x/2 + 3/2 ; La recta tangente a la parábola en el punto Q tiene de ecuación y =
2x – 1. Por tanto ambas rectas son perpendiculares puesto que sus pendientes cumplen la condición de perpendicularidad: m.m’
=-1
2
28º.- Determina un punto de la curva y x .e x en la que la pendiente de la recta
tangente sea máxima.
2
SOLUC: Función a optimizar:
m( x) e x (1 2 x2 )
Ejercicios 3 – 44º a 71º
44º.- Expresar el número 60 como suma de tres enteros positivos de forma que el
segundo sea triple del primero y su producto sea máximo. Determinar el valor de dicho
producto.
SOLUC: Función a optimizar:
P ( x ) 180 x 2 12 x 3
Son los números: 10, 30 Y 20.
45º.- Un solar rectangular de 11250 m2 se divide en tres zonas
rectangulares iguales, como muestra la figura, para venderlo. Se
valla el borde del campo y la separación de las zonas. Calcula las
dimensiones del solar para que la longitud de la valla utilizada sea
mínima.
SOLUC: Función a optimizar:
l ( x) 6 x
15000
x
siendo x el ancho de cada zona rec tan gular
El solar debe medir 150 m x 75 m.
46º.- Un número más el cuadrado de otro número suman 48. Hallar ambos números para que su
producto sea máximo.
SOLUC: Función a optimizar:
El primero es 32 y el segundo es 4.
Matemáticas II: Análisis
Curso 2013/14
123
47º.- Determina las dimensiones de un rectángulo de área máxima que puede
2
2
inscribirse en el semicírculo determinado por x y 25,
y 0.
SOLUC: Función a optimizar A( x ) 2 x 25 x 2 siendo x la mitad de la base del rectángulo
Sería un rectángulo cuya base mide 5 2 u y su altura mide
5 2 u
2
48º.- Entre todos los triángulos rectángulos de 5 metros de hipotenusa determina el
de área máxima.
SOLUC: Función a optimizar: A( x)
1
x 25 x 2
2
Se trata de un triángulo rectángulo isósceles cuyos catetos miden
5 2 u cada uno
2
49º.- Con una cartulina de 8X5 metros se desea construir una caja sin tapa, de
volumen máximo. Hallar las dimensiones de dicha caja.
SOLUC: Función a optimizar: V ( x ) 4 x 3 26 x 2 40 x siendo x la altura de la caja
La caja debe tener 6 m de largo, 3 m de ancho y 1 m de alto.
50º.- Un rectángulo esta acotado por los ejes y por la gráfica de y
6x
¿Qué
2
longitud debe tener el rectángulo para que su área sea máxima?
SOLUC: Función a optimizar: A( x ) 3x
x2
2
Se trata de un rectángulo cuya base mide 3 u y cuya altura mide 3/2 u
51º.- Dos postes de 12 y 28 metros de altura, distan 30 metros entre si. Hay que
conectarlos mediante un cable que este atado en algún punto del suelo entre los postes.
¿En que punto ha de amarrarse al suelo con el fin de utilizar la menor longitud de cable
posible?
SOLUC: Función a optimizar: l ( x) 144 x 2 x 2 60 x 1684 siendo x la distancia del poste menor al
punto del suelo donde se ata la cuerda
Se debe de atar a 9 m del poste menor y por tanto a 21 m del mayor.
Matemáticas II: Análisis
Curso 2013/14
124
52º.- Se pide calcular el volumen máximo de un paquete rectangular enviado por
correo, que posee una base cuadrada y cuya suma de anchura + altura + longitud sea 108.
SOLUC: Función a optimizar: V ( x ) 108 x 2 2 x 3 siendo x la longitud de uno de los lados de la base del
paquete rectangular de base cuadrada.
3
El volumen es de 46656 u (*observa que el paquete que ha salido es cúbico).
53º.- Una página rectangular ha de contener 24 dm2 de texto, con márgenes
superior e inferior de 1,5 dm y laterales de 1 dm , ¿Qué dimensiones de la página
requieren la mínima cantidad de papel?
SOLUC: Función a optimizar: A( x)
24
3x 3 siendo x el ancho de la página.
x2
La página debe medir 6 dm de ancho y 9 dm de largo.
54º.- Con 4 metros de alambre se desean construir una circunferencia y un cuadrado. ¿Cuanto alambre hay
que emplear en cada figura para lograr que entre ambas encierren el área mínima posible?
SOLUC: Función a optimizar: A( x )
La circunferencia debe tener
4 8x 4x 2
x 2 siendo x la longitud de uno de los lados del cuadrado.
2
4
m de radio, y el cuadrado debe tener
m de lado.
4
4
55º.- Dado un cilindro de volumen 4 m3, determinar sus dimensiones para que su área
total sea mínima.
SOLUC: Función a optimizar: A( r ) 2 r 2
Radio del cilindro
3
Altura del cilindro
4
Matemáticas II: Análisis
2
3
8
r
siendo r el radio del cilindro
3
u ( racioaliza do )
2
4
2 2
u
2
2 2
u ( racioaliza do )
Curso 2013/14
3
u
125
56º.- Inscribir en una esfera de radio 1 m un cilindro circular que tenga:
a)
Volumen máximo
b)
Área lateral máxima.
En ambos casos determinar sus dimensiones, radio de la base y altura.
SOLUC: a) Función a optimizar: V ( h) h
h 3
4
siendo h la altura del cilindro
2
b) Función a optimizar: S ( h ) 2 1 h .h h 4 h 2 siendo h la altura del cilindro
4
En ambos casos la respuesta es la misma:
Radio del cilindro
2
6
m
3
3
Altura del cilindro
2
3
2 3 m
3
57º.- Determina las dimensiones de una puerta normanda
(formada por un rectángulo y un semicírculo como en la figura),
sabiendo que es la que tiene un perímetro mínimo entre las que
tienen un área igual a 2 m2.
58º.- Hallar las dimensiones del rectángulo de área máxima que tiene un lado sobre
el eje X y está inscrito en el triangulo determinado por las rectas y 0, y x , y 4 2 x .
59º.- Entre todos los rectángulos de perímetro 10 cm., encontrar el que tiene área
máxima.
60º.- De entre todas las rectas del plano que pasan por el punto (1,2), encuentra aquella que forma
con las partes positivas de los ejes coordenadas un triángulo de área mínima. Halla el área de dicho
triángulo.
61º.- Se tiene un alambre de longitud L (12 cm.) y se desea dividirlo en dos trozos
para formar con cada uno de ellos un triángulo equilátero. Hallar la longitud de cada trozo
para que la suma de las áreas de los dos triángulos sea mínima.
Matemáticas II: Análisis
Curso 2013/14
126
62º.- De una lámina cuadrada de cartón de lado L se debe cortar de en cada esquina
un cuadrado, de modo que con el cartón resultante, doblando convenientemente, se pueda
construir una caja sin tapa. Determinar la longitud del lado del cuadrado de las esquinas
para que la capacidad de la caja sea máxima.
63º.- Una ventana está formada por un rectángulo rematado con un semicírculo en la
parte superior. Si el marco ha de tener una longitud p, determinar sus dimensiones para
que la superficie de la ventana sea máxima.
64º.- De entre todos los rectángulos de perímetro 8 cm., determina las dimensiones
del que tiene diagonal de menor longitud.
65º.- Un triángulo isósceles de perímetro 30 cm, gira alrededor de su altura
engendrando un cono. ¿Qué valor debe darse a la base para que el volumen del cono sea
máximo?.
66º.- Descomponer el número 44 en dos sumandos tales que el quíntuplo del
cuadrado del primero más el séxtuplo del cuadrado del segundo sea un mínimo.
67º.- Un rectángulo esta acotado por los ejes y por la gráfica de y
6x
¿Qué
2
longitud debe tener el rectángulo para que su área sea máxima?
68º.- Hallar la base x y la altura y de una cartulina rectangular de perímetro 60 cm.
que, al dar una vuelta completa alrededor de un lado vertical, genere un cilindro de
volumen máximo.
69º.- Un fabricante desea diseñar una caja abierta con base cuadrada y que tenga un
área total de 108 metros cuadrados de superficie. ¿Qué dimensiones producen la caja de
máximo volumen? Dato: La abertura de la caja es uno de los lados cuadrangulares.
Matemáticas II: Análisis
Curso 2013/14
127
70º.- Una página rectangular ha de contener 24 dm2 de texto, con márgenes superior
e inferior de 1.5 dm y laterales de 1 dm pulgada, ¿Qué dimensiones de la página requieren
la mínima cantidad de papel?
71º.- De todas las rectas del plano que pasan por el punto (1;-3) determina la que
forma un triángulo de área máxima con la parte positiva del eje de abscisas y la negativa
del eje de ordenadas.
Matemáticas II: Análisis
Curso 2013/14
128
TEMA 4: INTEGRAL INDEFINIDA
1ª.- Primitiva de una función.
2ª.- Integrales inmediatas.
3ª.- Integración por cambio de variable o sustitución.
4ª.- Integración por partes.
5ª.- Integración de funciones racionales.
6ª.- Descomposición de funciones racionales en suma de
fracciones simples.
1ª.- Primitiva de una función
Se dice que la Función F(x) es una primitiva de la función f(x) si se cumple que
F '(x ) f ( x ) , es decir, si f(x) es la derivada de F(x). Esto se expresa del siguiente
modo:
f ( x )dx
F ( x )
Ejemplo resuelto 4 – 1º
a)
Una primitiva de f(x) = 2x, es la función F(x) = x2 puesto que F’(x) =(x2)’ = 2x =
f(x). También lo es F(x) = x2 + 2 y F(x) = x2 - 7 y F(x) = x2 + 5, etc, etc. Por eso
escribimos:
2xdx
b)
(C cte .)
Una primitiva de f(x) = 2x +3, es la función F(x) = x2 + 3x puesto que F’(x) =(x2
+3x)’ = 2x + 2 = f(x). También lo es F(x) = x2 + 3x +6 y F(x) = x2 + 3x – 1, etc.
Por eso escribimos:
(2x
c)
x 2 C
3)dx x 2 3x C
Una primitiva de f(x) = 7, es la función F(x) = 7x puesto que F’(x) =(7x)’ = 7 =
f(x). También lo es 7x -10 y 7x +2, etc. Por eso escribimos:
Matemáticas II: Análisis
Curso 2013/14
129
7dx
d)
7 x C
Una primitiva de f(x) = x, es la función F ( x )
1
x
2
2
puesto que
'
1
F '( x ) x 2 x f ( x ) . También lo es si le sumamos cualquier
2
constante C, y por eso escribimos:
xdx
1 2
x C
2
IMPORTANTE: Cada función f(x) tiene infinitas primitivas. En efecto: si F(x) es una
primitiva de f(x), también F(x) + C (C una constante) será primitiva de f(x) Por esta
razón no hablamos de la primitiva de f(x) , sino del conjunto de todas sus primitivas
y escribimos:
f ( x )dx
F ( x ) C
Y a F(x) + C que representa al conjunto de todas las primitivas de f(x) se le
denomina integral indefinida de f(x) .
Si en el enunciado se impone alguna condición a la primitiva, entonces podemos
concretar el valor de la constante C.
A la expresión
f ( x )dx
F ( x ) C
se le llama también integral indefinida
de f(x) o simplemente integral de f(x) Por eso, al cálculo de primitivas se le llama
también cálculo de integrales o integración.
NOTA: Observa que la integración es el proceso inverso a la derivación.
Ejemplo resuelto 4 – 2º
De todas las primitivas de la función f(x) = 3x2 – x + 2, halla la que pasa por el punto
(-1, 2)
(3 x
2
x 2 )d x x
3
1
x
2
2
2x C
Ahora imponemos que la primitiva tiene que pasar por el punto indicado y, por tanto:
Matemáticas II: Análisis
Curso 2013/14
130
1
( 1)2 2 ( 1) C
2
( 1)3
2
1
1
2 C
2
2
C
11
2
La primitiva pedida es:
F (x ) x 3
1 2
11
x 2x
2
2
Ejercicio 4 – 1º
Realiza las siguientes integrales:
a)
c)
dx
b)
cos( x ) dx
e)
(2 x 5 2)dx
1
dx
x
c)
f)
e
1
1x 2
x
dx
dx
Ejercicio 4 – 2º
a)
De todas las primitivas de la función f(x) = 3x2 -1, halla la que pasa por el punto
(2,0)
b)
De todas las primitivas de la función f(x) = ex, halla la que pasa por el punto
(0,1)
c)
De todas las primitivas de la función f(x) = 1/x, halla la que pasa por el punto
(1,3)
2ª.- Integrales inmediatas
Son aquellas integrales que se pueden realizar de forma directa o con alguna
sencilla modificación.
En la tabla de la siguiente hoja tienes las reglas de integración que te permitirán
realizar las integrales inmediatas. Observa que no son más que las reglas de
derivación vistas en sentido inverso.
Cuando una integral no se pueda adaptar de forma sencilla para poder aplicar las
reglas de integración de la tabla, diremos que no es una integral inmediata. Para
hacer frente a este tipo de integrales existen diversos mecanismos que se irán
dando en las próximas preguntas.
Matemáticas II: Análisis
Curso 2013/14
131
REGLAS DE INTEGRACIÓN PARA EL CÁLCULO DE LA PRIMITIVA
DE UNA FUNCIÓN
Función
Forma simple
Forma compuesta
kdx kx C
Constante
Potencial (n ≠ -1)
Logarítmica o
Potencial (n = -1)
n
x dx
x
n 1
1 n1
x C
n 1
(n 1)
1
dx dx ln x C
x
x
a dx
x
Seno
x
2
2
xC
C
(n 1)
2
f ( x)
a f ( x)
C
ln a
dx e f ( x ) C
f '( x ) sen f(x ) dx cos
f(x ) C
f '( x ) cos f(x ) dx sen f(x ) C
x ) dx sec 2 x dx
x
f '( x)a f ( x ) dx
f '( x )e
x dx sen x C
cos
(1 tg
1
cos
C
sen x dx cos
Coseno
dx tg x C
2
f '( x)(1 tg f(x)) dx f '( x) sec
f '( x )
dx tg f(x ) C
cos f(x )
2
f(x ) dx
2
2
2
(1 ctg x ) dx co sec x dx f '( x )(1 cotg f(x )) dx f '( x )co sec
f '( x )
1
dx cotg f(x ) C
dx cot g x C
sen f(x )
sen x
1
1 x2
1
1 x2
dx arcsen x C
dx arccos x C
a
2
f '( x )
f(x ) dx
2
f '( x )
2
dx arccos f ( x ) C
1 f ( x)
1 f ( x)
2
1
1
x
dx arctg C
2
x
a
a
dx arcsen f ( x ) C
1 f ( x )
f '( x )
1
1 x 2 dx arctg x C
Arco tangente
2
2
2
Arco coseno
n 1
f '( x )
dx ln f ( x ) k
f ( x)
ax
C
ln a
e dx e
Arco seno
f ( x )
dx
Se tratan como potenciales
Exponencial
Cotangente
f '( x) f ( x)
1
Irracional
Tangente
n
f '( x )
a f ( x )
2
2
dx arctg f ( x ) C
dx
1
f ( x)
arctg
C
a
a
k. f ( x)dx k . f ( x)dx
Producto de un nº
por una función La integral del producto de una constante por una función, es igual a la constante por la
integral de la función.
( f ( x) g ( x ))dx f ( x )dx g ( x )dx
Suma o resta de
funciones
La integral de la suma / resta de dos funciones, es igual a la suma / resta de la integral de
cada una de ellas.
Regla de la
cadena o función
compuesta
Matemáticas II: Análisis
g ' f (x )f '(x )dx
g f (x ) C
Esta es la regla que se ha aplicado en todas las formas compuestas.
Curso 2013/14
132
Ejemplo no resuelto 4 – 3º
POTENCIAL SIMPLE: Calcula las siguientes integrales indefinidas:
2
x dx
a)
b)
d)
x dx
e)
g)
2
3 x dx
j)
5 x 3 dx
m)
h)
(2 x
7
1
dx
x2
f)
x5
dx
3
i)
2x
dx
3 2x
3
5x
) dx
3x
x2
c)
dx
x . x dx
k)
x
l)
n)
x
6
dx
x2
dx
x2
(2 x
3
3x
x 3 3x 2 5 x 2
dx
x 2
2
x ) dx
Ejemplo no resuelto 4 – 4º
POTENCIAL COMPUESTA: Calcula las siguientes integrales indefinidas:
2
( x 1 ) dx
a)
2
2
2 x ( x 1) dx
d)
e)
x 1dx
g)
i)
b)
2
sen x cos xdx
3
(2 x 5 ) dx
j)
(3 x
f)
( 3 x 4 ) dx
h)
c)
2
2
cos xsenxdx
1)( x
3
2
dx
3 5x
5
x ) dx
k)
3
dx
(5 x )2
2x 3
dx
( x 2 3x )2
Ejemplo no resuelto 4 – 5º
LOGARÍTMICA: Calcula las siguientes integrales indefinidas:
4
dx
x
d)
4x
dx
x 2 1
g)
a)
tgxdx
b)
e)
1
dx
2x
h)
c)
x
dx
x 2 1
3
dx
x 8
f)
x2
dx
x 3 8
ctgxdx
Ejemplo no resuelto 4 – 6º
EXPONENCIAL: Calcula las siguientes integrales indefinidas:
2x
a)
e
d)
e
dx
senx
Matemáticas II: Análisis
b)
cos xdx
e
2x 3
e)
e
c)
dx
cos x
Curso 2013/14
senxdx
2
1 x
dx
f)
2ln x
dx
x
133
Ejemplo no resuelto 4 – 7º
TRIGONOMÉTRICAS: Calcula las siguientes integrales indefinidas:
a)
j)
m)
2
tg xdx
p)
8
dx
sen 2x
d)
g)
7
dx
cos2 x
2
2xsenx dx
e
x
e)
x
cos e dx
n)
f)
cos(1 x )dx
i)
x
2
cos( x
2
3 c o sc xdx
q)
c)
k)
senx
dx
2
2
(5 5tg x )dx
h)
b)
(3 senx 2 cos x )dx
3
2
2 3
sec ( x 9)dx
3 sec
l)
2
x )dx
cos(5x )dx
(2x 1) cos( x
o)
3x
9)dx
2
c o sc (2x 1)dx
2
xdx
2
(5 5 cot g x )dx
Ejemplo no resuelto 4 – 8º
ARCO: Calcula las siguientes integrales indefinidas:
a)
2
x 1 (ln x )2
g)
cos x
dx
1sen 2x
j)
m)
d)
1x 2
1
1
9 x 2
dx
1
dx
2
x x 1
2x
1x 4
e)
h)
x2
dx
1 x 6
1
i)
1
dx
2
4 x 4 x 4
1 e 2 x
1
1
1 9x 2
dx
1
dx
2
x x 1
l)
ex
f)
dx
dx
2x 2
n)
3 3x 2
c)
dx
1
k)
dx
b)
dx
13x 2
dx
dx
Ejercicio 4 – 3º
a)
d)
4
7 x dx
j)
m)
e)
x 5x 3
dx
3x
h)
x
(5 cos x 3 )dx
2x
dx
x 2 1
Matemáticas II: Análisis
1
x
2
c)
dx
7 x 4 5 x 2 3x 4
dx
x2
x dx
3
g)
b)
k)
n)
5x 3
3
3x
3
dx
x 4 5 x 2 3x 4
dx
x
f)
i)
(3tgx 5 cos x )dx
cos xdx
o)
Curso 2013/14
3
5 x 2 dx
l)
3
(3x 5tgx )dx
sen xdx
3
dx
2
x 1
134
3ª.- Integración por cambio de variable (o sustitución).
Cuando una integral no es inmediata, algunas veces es posible convertirla en
inmediata, haciendo un cambio de variable apropiado.
Este método consiste en cambiar una expresión de la variable x por una nueva
variable t, de forma que la integral en la nueva variable t sea inmediata.
f ( x )dx g (t )dt
La dificultad de este método está en encontrar el cambio variable apropiado.
Ejemplo resuelto 4 – 9º
Halla las primitivas de las siguientes funciones:
a)
1
x
x 1
dx
¿La ves como una integral inmediata?
Hagamos el cambio t = ( x -1 )1/2
Si t
1
x
2
x 1 t
x 1
b)
dx
1
1
x 1ln x
(t 2 1 )t
2
x 1 x t 1 s u s t it u y e n d o
d x 2t d t
1
2t d t 2
2 dt 2 arctgt 2 arctg ( x 1 ) C
t
1
dx
¿La ves como una integral inmediata?
Hagamos el cambio t = 1 - lnx
t 1 ln x
sustituyendo
1
dt x d x dx xdt
Si t 1 ln x
xdt
x. t
Matemáticas II: Análisis
dt
t
1
t
2
dt
1
1
t 2
1
1
2
C
Curso 2013/14
1
t2
C
1
2
2 t
C 2 1 ln x C
135
Ejercicio 4 – 4º
Calcula la integral indefinida de las siguientes funciones mediante el cambio de
variable que se indica.
dx
a )
(1 x )
d )
1
Soluc:
c )
3
e )2
x
x
x
dx
a )2 a r c t g
3
t
t
x
2
dx
x
b )
x
e ) (
C
b)
3
2
c o s 2 x 3 1 t g x
3
e x 1 ) dx
x
1 arctg
e
x
1
x2
3 12x
dx
t
3
12x
t e x 1
(1 t g x ) 2 C
(1 2 x ) 2 (1 2 x ) 2
2 (1 2 x )
1
C
8
8
5
2
e
c )
t 1 t g x
d )2
x
3
3
x
2
x
ln (1
x ) C
C
4ª.- Integración por partes.
Este método se utiliza también para integrales que no son inmediatas y se basa en
la derivada de un producto de funciones. En efecto a partir de la derivada del producto de
dos funciones se obtiene una regla que permite calcular la integral de un producto de dos
funciones.
DEMOSTRACIÓN (no es necesaria):
La fórmula de la derivada de un producto de dos funciones u y v es:
(u .v )' u '.v u .v '
Que escrita en forma diferencial sería:
d (u .v ) du .v u .dv
Integrando los dos miembros:
d (u .v ) v .du u .du
u .v v .du u .dv
y despejando obtenemos la expresión de la integración por partes:
u .dv
u .v v .du
Hay que elegir u y dv adecuadamente, de forma que la nueva integral que aparece
debe de ser más sencilla que la inicial. En caso contrario hay que cambiar de
elección.
Matemáticas II: Análisis
Curso 2013/14
136
Ejemplo resuelto 4 – 10º
Halla la integral indefinida de las siguientes funciones:
A)
xe
x
dx
Sol :
e x ( x 1) C
u x
derivando du dx
Si llamamos
x
int egrando v e x
dv e dx
x e x dx udv u .v vdu xe x e x dx xe x e x C
e x ( x 1) C
B)
ln xdx
Sol :
x (ln x 1) C
1
dx
x
int egrando
v x
1
ln x dx udv u .v vdu x ln x x
dx x ln x dx
x
x ln x x x (ln x 1) C
u ln x
Si llamamos
dv dx
derivando
du
En estos dos ejemplos sólo ha habido que utilizar una vez la integración por partes.
Otras veces hay que repetir la integración por partes en la segunda integral que
aparece
Ejemplo resuelto 4 - 11º
Halla la integral indefinida de la siguiente función:
x
2
senxdx
Sol :
x 2 cos x 2xsenx 2 cos x
u x2
derivando du 2xdx
Si llamamos
int egrando v cos x
dv senxdx
x
2
senxdx udv u .v vdu x 2 .( cos x ) ( cos x ).2xdx
x 2 cos x 2 x cos xdx
Matemáticas II: Análisis
Curso 2013/14
137
La integral
x cos xdx
obtenida es más sencilla que la inicial, pero no es
inmediata. Veamos qué ocurre si a esta nueva integral le aplicamos la integración
por partes:
u x
derivando du dx
Si llamamos
int egrando v senx
dv cos xdx
x cos xdx udv u .v vdu xsenx senxdx
xsenx ( cos x ) C xsenx cos x C
Sustituyendo este último resultado en la integral que obtuvimos en la primera
integración por partes queda:
x
2
senxdx x 2 cos x 2 x cos xdx x 2 cos x 2 xsenx cos x C
x 2 cos x 2xsenx 2cos x C
También puede ocurrir que al cabo de una o dos integraciones sucesivas se
obtenga en el segundo miembro una integral que coincida con la de partida. En este
caso se agrupa la integral del segundo miembro con la del primero y se despeja.
Ejemplo resuelto 4 – 12º
Halla la integral indefinida de la siguiente función:
e
x
cos xdx
Sol :
ex
(senx cos x ) C
2
u ex
derivando du e x dx
Si llamamos
int egrando v senx
dv cos xdx
e
x
cosxdx udv u .v vdu e x senx e x senxdx
La integral
e
x
senxdx obtenida, aunque no es la misma que la inicial, si es
del mismo tipo que la inicial. Veamos qué ocurre si a esta nueva integral le
aplicamos la integración por partes:
u ex
derivando du e x dx
Si llamamos
int egrando v cos x
dv senxdx
e x senxdx udv u .v vdu e x ( cos x ) ( cos x )e x dx
e x cos x e x cos xdx
Matemáticas II: Análisis
Curso 2013/14
138
Como podemos observar nos ha salido la misma integral del inicio. Sustituyendo
este último resultado en la integral que obtuvimos en la primera integración por
partes queda:
e
x
cos xdx e x senx e x senxdx e x senx e x ( cos x ) e x cos xdx
e x senx e x cos x e x cos xdx
Si agrupamos las dos integrales en el primer miembro y despejamos obtenemos el
resultado que nos habían pedido:
e
x
cos xdx e x cos xdx e x senx e x cos x
2 e x cos xdx e x senx e x cos x
e x senx e x cos x e x
e cos xdx
(senx cos x ) C
2
2
x
Ejercicio 4 – 5º
Calcula la integral indefinida de las siguientes funciones mediante integración por
partes.
a ) x cos xdx
d ) x 2 cos xdx
b ) arctgxdx
e ) e x senxdx
g ) x 2e x dx
h ) cos2 xdx
S ol : a )x se n x cos x C
b ) x .a r c t g x
2
d )x
g )e
x
senx
(x
2
2x cos x
2x 2)
Matemáticas II: Análisis
h)
c ) arcsenxdx
2senx
C
e )
f ) x 3 ln xdx
i ) 2x 2 cos(2x )dx
1
ln (1 x
2
2
) C
c ) x .a r c s e n x
x
e
2
1
( c o s x .s e n x x ) C
2
Curso 2013/14
(s e n x
i )x
cos x ) C
2
f )
x
4
s e n (2 x ) x c o s (2 x )
1 x
4
2
C
4
ln x
x
16
C
1
s e n (2 x ) C
2
139
5ª.- Integración de funciones racionales.
P (x )
siendo P(x) y Q(x) dos
Q (x )
polinomios. Para integrar este tipo de funciones hemos de seguir las siguientes etapas.
Las funciones racionales son del tipo f ( x )
Si el grado del numerador es mayor o igual que el grado del denominador
efectuamos la división P(x) : Q(x)
P (x ) Q (x )
R (x ) C (x )
y teniendo en cuenta la regla de la división expresamos el dividendo como el producto del
divisor por el cociente mas el resto:
P ( x ) Q ( x ).C ( x ) R ( x )
y dividiendo los dos lados de la igualdad entre el divisor obtenemos la siguiente expresión
para la función racional:
P (x )
R (x )
C (x )
Q (x )
Q (x )
De esta forma la integral de la función racional se reduciría a la suma de dos
R (x )
integrales: una polinómica (C(x)), que es inmediata, mas otra racional
dónde el
Q (x )
grado del numerador es menor que el del denominador.
P (x )
Q ( x )dx C ( x )dx
R (x )
Q ( x )dx
Para calcular la segunda integral pasaríamos al punto siguiente.
Matemáticas II: Análisis
Curso 2013/14
140
Si el grado del numerador es menor que el grado del denominador lo primero
que debemos tener en cuenta es si es una integral inmediata. Para ello, como
regla general, comprobamos si el integrando pertenece a uno de estos tipos:
n 1
1 Forma potencial
f (x )
dx
f
'(
x
)
f
(
x
)
dx
n
n 1
f
(
x
)
2 Forma neperiana
f (x ) dx
f '(x )
n
f '(x )
3 Forma arco tangente
ln f (x )
f '(x )
1 f (x )
2
dx arctgf (x )
f '(x )
a 2 f (x )
2
dx
1
f (x )
arctg
a
a
Si no pertenece a ninguno de los tres tipos anteriores, entonces descomponemos a la
función racional en suma de fracciones simples (pregunta siguiente).
Ejemplo resuelto 4 – 13º
Halla las siguientes integrales indefinidas:
a)
x 3 3x 2 5 x 2
dx
x 2
Sol :
x3 x2
3x 8ln | x 2| C
3
2
Como el polinomio del numerador es de mayor grado que el del denominador,
efectuamos la división y, haciendo uso de la expresión:
P (x )
R (x )
C (x )
Q (x )
Q (x )
podemos expresar a la función racional como:
x
3
3x 2 5x 2
x
x 2
2
x 3
8
x 2
Y por tanto:
x 3 3x 2 5x 2
dx
x 2
Matemáticas II: Análisis
(x
2
x 3 ) dx
Curso 2013/14
8
dx
x 2
x3
3
x2
2
3x
8 ln | x 2 |
C
141
5
b)
x
c)
2 x 1
dx
( x 2 x 3 )3
x3 1
dx
x 4 4x 2
dx
2x
1
dx
2x 2 x 1
4 ( x 3 1)
dx
4 ( x 4 4 x 2)
2x
1x 4
Sol :
( 2 x 1 )( x 2 x 3 ) 3 dx
1x
2x
f)
2x 1
dx
x 3) 3
2
x 3 1
dx
x 4 4x 2
e)
5
C
x
Sol :
5
x 2 1
x 1
5
2
dx 5 x dx 5
5
C
2
2 1
1
x
x
(x
d)
dx
2
4
8
dx
16 x 2 8 x 8
2 .4
( 4 x 1 )2 (
7 )2
dx
2
1
4
1
2 ( x 2 x 3 )2
C
1
ln(x 4 4x 2) C
4
Sol :
4x 3 4
dx
x 4 4 x 2
arctag ( x
1
dx
x 1
( x 2 x 3 )3 1
3 1
1
4
ln( x
4 x 2)
4
C
arctag ( x 2 ) C
Sol :
2x
dx
1 ( x 2 )2
2
dx
1
C
2(x 2 x 3)2
2
Sol :
7
)
C
arctag (
8
dx
16 x 2 8 x 1 7
4
( 4 x 1 )2 (
2
7 )2
dx
2.
1
7
4x 1
7
) C
8
( 4 x 1 )2 7
ar c ta g (
4x 1
7
)
dx
C
Ejercicio 4 – 6º
Calcula la integral indefinida de las siguientes funciones:
a ) xdx 3
Sol : a ) ln | x 3 | C
Matemáticas II: Análisis
b ) 2 x3 5 dx
b)
3
ln | 2 x 5 | C
2
c ) 3xx 34 dx
c )3 x 5 ln | x 3 | C
Curso 2013/14
2
d ) 3 x 2 x 7x3 4 dx
d )
3
x
4
2
5
1
x
ln | 2 x 3 | C
4
8
142
Ejercicio 4 – 7º
Calcula la integral indefinida de las siguientes funciones:
2
a ) xx 2 11 dx
2
b ) ( xx 21)1
dx
2
c ) 3 x x54x 1 dx
2
d ) 3 x 2 x 5x1 1 dx
6ª.- Descomposición de funciones racionales en suma
de fracciones simples.
P (x )
(con grado del
Q (x )
numerador menor que el del denominador) en suma de fracciones simples, hemos de
hallar las raíces de su denominador. Una vez halladas las raíces del polinomio del
denominador nos podemos encontrar con las situaciones siguientes:
Para descomponer a una fracción racional f ( x )
Raíces reales simples.
Si el polinomio del denominador tiene sólo raíces reales simples (por ej: x1, x2,
x3,…), entonces la descomposición en suma de fracciones simples es la siguiente:
P (x )
A
B
C
...
Q (x )
x x1
x x2
x x3
Como vemos la integral de la función racional se reduciría a una suma de integrales
inmediatas de tipo logaritmo neperiano.
Antes de integrar hay que hallar los valores de los números A, B, C… Esto se
consigue dándole a x, sucesivamente, los valores de la distintas raíces
Ejemplo resuelto 4 – 14º
Halla la siguiente integral indefinida:
x 2
dx Sol
2
x
x
:
2ln | x | 3ln | x 1 | C
Es la integral de una función racional con el grado del numerador menor que el del
denominador y, como no es inmediata, hallamos las raíces del denominador que son x = 0
y x = -1 y ambas son simples pues: x2 + x = x(x + 1) .
La descomposición en suma de fracciones simples es:
x 2
x 2 x
x 2
A
B
x (x 1)
x
x 1
Para hallar las constantes A y B antes quitamos denominadores
x 2
A ( x 1)
Bx
x (x 1)
x (x 1)
x (x 1)
Matemáticas II: Análisis
Curso 2013/14
x 2 A (x 1) B x
143
Si hacemos x = 0 en la última expresión obtenemos el valor de A:
S i x
0
0 2 A ( 0 1) B .0
A 2
Si hacemos x = -1 en la última expresión obtenemos el valor de B:
Si x
1
1 2 A ( 1 1) B .( 1)
B 3
Por tanto la función racional expresada en suma de fracciones simples es:
x 2
x 2 x
x 2
2
3
x (x 1)
x
x 1
Y la integral quedaría:
x 2
x 2 x
dx
2
dx
x
3
dx
x 1
2 ln | x |
3 ln | x
1 |
C
Raíces reales simples y múltiples.
Si tiene raíces reales simples y múltiples: (por ej: x1 (simple), x2 (doble), x3 (simple),
…), entonces la descomposición en suma de fracciones simples es la siguiente:
P (x )
A
B
C
D
...
2
Q (x )
x x1
x x2
x x3
(x x 2 )
Como vemos la integral de la función racional se reduciría a una suma de integrales
inmediatas de tipo logaritmo neperiano y otras de tipo potencial.
Antes de integrar hay que hallar los valores de los números A, B, C… Los valores de
las constantes de las fracciones que no tienen potencias en el monomio del denominador,
se obtienen dándole a x, sucesivamente, los valores de las distintas raíces.
Para hallar los valores de las constantes de las fracciones que tienen potencias en
el monomio del denominador hay que dar a x un valor distinto a las raíces del
denominador.
Ejemplo resuelto 4 – 15º
Halla la siguiente integral indefinida:
3x 5
dx
x 3 x 2 x 1
Sol :
1
1
4
ln| x 1| ln| x 1|
C
2
2
x 1
Es la integral de una función racional con el grado del numerador menor que el del
denominador y, como no es inmediata, hallamos las raíces del denominador que son x = 1, que es simple y x = 1, que es doble puesto que x3.+ x2 - x +1 = (x + 1)(x – 1)2
La descomposición en suma de fracciones simples es:
x
3
3x 5
3x 5
A
B
C
2
2
x 1
x 1
x x 1
( x 1)( x 1)
(x 1)2
Para hallar las constantes A, B y C antes quitamos denominadores
Matemáticas II: Análisis
Curso 2013/14
144
3x 5
A (x 1)2
B (x 1)(x 1)
C (x 1)
2
2
2
(x 1)(x 1)
(x 1)(x 1)
( x 1)(x 1)
(x 1)(x 1)2
3 x 5 A ( x 1 ) 2 B ( x 1 )( x 1 ) C ( x 1 )
Si hacemos x = 1 en la última expresión obtenemos el valor de C:
Si x 1
3 .1 5 A .0 B .0 C .2
C 4
Si hacemos x = -1 en la última expresión obtenemos el valor de A:
Si x
3 ( 1) 5 A ( 1 1) 2 B .0 C .0
1
A
1
2
Para hallar el valor de B podemos dar a x un valor cualquiera, por ejemplo x = 0.
Si x 0
3 .0 5
1
( 1) 2 B .1 .( 1) 4 .1
2
B
1
2
Por tanto la función racional expresada en suma de fracciones simples es:
x
3x
x
3
5
x
2
1
(x
1
x 2
1)(x 1)2
x
1
2
2
1
x 1
(x
4
1)2
Y la integral quedaría:
3x 5
dx
3
x x 2 x 1
1
ln | x 1 |
2
1
2 dx
x 1
1
ln | x
2
1 |
1
2 dx
x 1
4
x 1
4
( x 1 )2
dx
C
Raíces reales y complejas
Esta situación no se exige en este curso.
Ejercicio 4 – 8º
Calcula las siguientes integrales indefinidas:
2 x 3 1
dx
x 3
a )
2
d ) xx 21
S ol : a )
2
x
3
3
3x
dx
x
2
f ) ln | x |
b )
e )
3x 2
dx
x 2 1
2x 5
dx
(x 3)3
1
x
C ln
x
1 x
f ) 6x
c )
1 8 x 5 5 ln | x 3 | C
c ) ln | x | ln | 1 x |
d ) 3 ln | x
b)
1
C
x
dx
5 7x 4 5x 3 x 2 5x 2
x 6 2x 5 2x 3 x 2
Matemáticas II: Análisis
Curso 2013/14
dx
5
1
ln | x 1 | ln | x 1 | C
2
2
9
x 4
9
4 ln | x | C ln
C
x 1
x 1
| x 1 |3
2
2
5 ln | x 1 |
C
x 1
(x 1)2
1 |
2
x
1
x 2 x 3
e )
x
2
1
C
3
2(x 3)2
145
Ejercicio 4 – 9º
2
a ) x5 x3 x3 dx
b ) x ( x21)x 3 6 dx
Ejemplo resuelto 4 – 16º
R se sabe que f’’(x) = x2 + 2x + 2, y que su gráfica tiene
De una función f: R
tangente horizontal en el punto P = (1, 2). Halla la expresión de f.
f’(x) será una primitiva de f’’(x), es decir:
f '(x )
f
' ' ( x )d x
(x
2
2 x 2 )d x
1
x
3
3
x
2
2x C
Y f(x) será una primitiva de f’(x), es decir:
f (x )
f
1
' ( x )d x
(3
3
x
2
x
1
x
12
2 x C )d x
4
1
x
3
3
x
2
Cx D
Tendremos que calcular cuánto valen los parámetros C y D.
Como la gráfica de f tiene tangente horizontal en el punto P = (1, 2), entonces la derivada de la función f en ese punto tiene que
valer 0, es decir:
f '(1) 0
f ' (1 )
1 3
1 1 2 2 .1 C
3
0
C
10
3
Y como el punto P =(1, 2) es un punto de la gráfica de la función, entonces:
f (1 ) 2
1
1 3
14
1 1 2 C .1 D 2
12
3
f (1 )
D
1
12
Por tanto la función f tiene como expresión:
f (x )
1
x
12
4
1
x
3
3
x
2
10
1
x
3
12
Ejercicio 4 - 10º
Determina la función f: R
R sabiendo que su derivada segunda es constante e igual
a 3 y que la recta tangente a su gráfica en el punto de abscisa x = 1 es 5x – y – 3 = 0.
S ol :
f (x )
3
x
2
2
2x
3
2
Ejercicio 4 - 11º
Encuentra la primitiva de la función f(x) = x2 sen(x), sabiendo que el valor de la función
para x = π es 3.
Matemáticas II: Análisis
Curso 2013/14
146
Ejercicio 4 - 12º
Determina la expresión de la función f(x) sabiendo que:
f ’’(x) = xLn(x)
f’(1) = 0
y
f(e) = e/4
Ejercicio 4 - 13º
Determina la expresión de la función f(x) sabiendo que:
f´(x) = xe-x2
y
f(0) = 1/2
Ejercicio 4 - 14º
2
Sea la función g: R → R definida por g ( x ) ln( x 1) (donde ln denota logaritmo
neperiano). Calcula la primitiva de g que pasa por el origen de coordenadas.
Ejercicio 4 - 15º a 23º
15º.- A) 2003 1-B-1
B) 2003 3-B-1
C) 2003 4-A-1
16º.- A) 2004 3-B-2
B) 2004 6-A-1
C) 2005 2-A-2
17º.- A) 2005 5-B-2
B) 2006 2-A-2
C) 2006 2-B-2
18º.- A) 2006 4-A-2
B) 2006 5-A-2
C) 2007 1-B-1
19º.- A) 2007 2-B-2
B) 2007 4-A-2
C) 2007 6-A-1
20º.- A) 2008 1-A-2
B) 2008 6-A-2
C) 2009 2-B-2
21º.- A) 2010 1-A-2
B) 2010 5-A-2
C) 2010 6-A-2
22º.- A) 2011 1-B-2
B) 2011 2-A-2
C) 2011 2-B-2
23º.- A) 2011 3-B-2
Matemáticas II: Análisis
Curso 2013/14
147
TEMA 5: INTEGRAL DEFINIDA
1ª.- Integral definida de una función.
2ª.- Propiedades de la integral definida.
3ª.- Función integral y teorema fundamental del cálculo integral.
4ª.- Regla de Barrow.
5ª.- La integral definida y el cálculo de áreas.
1ª.- Integral definida de una función
Supongamos que tenemos una función f(x) continua en un intervalo cerrado [a,b] y
que en dicho intervalo la función es positiva (f(x) ≥ 0).
Si quisiéramos calcular el área de la región que forma su gráfica con el eje OX en
dicho intervalo, podríamos proceder del siguiente modo: Podemos dividir el intervalo [a,b]
en n subintervalos, de modo que la función f(x) tiene en cada uno de estos subintervalos
un máximo y un mínimo
Si tomamos el valor mínimo que toma f(x) en cada
subintervalo, el recinto que forma la función con el eje de
abscisas queda dividido en un conjunto de rectángulos
como se indica en la figura. La suma de las áreas de estos
rectángulos se aproximaría al área buscada pero por
defecto (el área de los n rectángulos es menor que la que
buscamos).
sn (Suma de las áreas de los n rectángulos inferiores) < A
Es evidente que cuando mayor sea n (nº de subintervalos en los que dividimos el
intervalo [a,b]), más nos aproximaremos al valor del área buscada.
Matemáticas II: Análisis
Curso 2013/14
148
Si tomamos ahora el máximo que toma la función en cada subintervalo, el recinto
quedará también dividido en n rectángulos tal y como se
muestra en la figura. En este caso, la suma de las áreas
de los n rectángulos nos aproximará, por exceso, al valor
del área buscada (obtendríamos un valor superior al
buscado). Obviamente cuanto mayor sea el nº de
rectángulos considerados, mejor será la aproximación.
sn (Suma de las áreas de los n rectángulos superiores) > A
Es decir:
sn < A < Sn
Si hacemos que el nº de subintervalos tienda a infinito (n ) , ambas sumas
coincidirían entre sí y obtendríamos el valor del área buscada, es decir:
lim
s A limSn
n n
n
Este límite común recibe el nombre de integral definida de la función f(x) en el
intervalo [a,b], y se designa por:
b
a
Matemáticas II: Análisis
f ( x )dx
Curso 2013/14
149
2ª.- Propiedades de la integral definida.
1ª.- Si los límites de integración son iguales entonces la integral definida vale 0.
a
Si ab
a
f (x)dx
0
2ª.- Signo de la integral definida: Si el integrando es una función positiva en el
intervalo de integración, entonces la integral definida también lo será, pero si el integrando
es una función negativa entonces la integral definida será negativa.
Si f (x )0 (x[a,b]
Si f (x )0 (x[a,b]
b
a
b
a
f (x )dx
0
f (x )dx
0
3ª.- Aditividad con respecto al intervalo de integración: si dividimos al intervalo
de integración en dos o más subintervalos, la integral definida coincide con la suma de las
integrales definidas en cada uno de los subintervalos.
Si c[a,b]
b
a
c
b
a
c
f (x)dx
f (x)dx
f (x)dx
4ª.- Linealidad respecto al integrando: si el integrando se puede expresar como
suma / resta de dos o más funciones, entonces la integral definida coincide la suma / resta
de dichas funciones.
Si f (x)g(x)h(x)
b
f(x)dx
a
b
a
g(x)h(x)dx
b
a
b
g(x)dx
h(x)dx
a
5ª.- Monotonía respecto al integrando: si tenemos dos funciones y una de ellas
toma valores menores o iguales que la otra en cada uno de los puntos del intervalo de
integración, entonces la integral definida de la primera también será menor o igual que la
de la segunda en dicho intervalo.
Si f (x )g(x ) (x[a,b])
Matemáticas II: Análisis
Curso 2013/14
b
a
b
f (x )dx
a
g(x )dx
150
6ª.- Integral del producto de un nº real por una función: si el integrando se
puede expresar como producto de un nº real por una función, entonces la integral definida
coincide con el producto de dicho nº real por la integral de la función.
Si f (x )k.g(x) (kR)
b
a
b
f (x )dx
a
k.g(x) dx
b
k
a
g(x )dx
7ª.- Si permutamos los límites de integración, la integral definida cambia de signo.
b
a
f ( x )dx
a
b
f ( x )dx
8ª.- Teorema del valor medio del cálculo integral: si el integrando es una
función continua en el intervalo cerrado de integración, entonces siempre existirá un valor x
= c del intervalo abierto de modo que la integral definida se pueda expresar mediante el
área de un rectángulo de base la amplitud del intervalo de integración y de altura f(c).
Si f (x ) es continua en[a,b] c(a,b)
/
b
a
f (x )dx f (c ).(b a )
3ª.- Función Integral y teorema fundamental del cálculo
integral.
Como hemos visto la integral definida de una función f(x) es un nº real (positivo,
negativo o nulo). Pero si el límite superior de integración no lo fijamos, sino que lo dejamos
variable, podemos definir la siguiente expresión que es una función que depende de x y
que se denomina función integral:
F (x )
x
f (t )dt
a
(f (t ) continua en [ a ,b ]
y x [ a , b ])
El teorema fundamental del cálculo integral dice que la función integral es derivable y
que su derivada coincide con el integrando:
F (x )
x
a
f (t )dt es derivable y
F '( x ) f ( x )
Es decir, F es una primitiva de f
Matemáticas II: Análisis
Curso 2013/14
151
4ª.- Regla de Barrow
Al inicio del tema definimos a la integral definida como un límite. Pero en la
práctica este mecanismo es fácil sólo para funciones sencillas y, de hecho, nosotros
todavía no lo hemos aplicado en este tema para calcular el valor de una integral definida.El matemático inglés Barrow dedujo una regla práctica para hallar el valor de las
integrales definidas y es la siguiente:
REGLA DE BARROW
La integral definida de una función f(x) en un intervalo [a, b] es igual al valor que
toma una cualquiera de sus primitivas en el extremos superior del intervalo menos el valor
que toma esa misma primitiva en el extremo inferior del intervalo.
En lenguaje simbólico sería:
b
a
b
f ( x )dx G ( x ) G ( b ) G ( a )
a
Siendo G(x) una primitiva de f(x)
Para aplicar la regla de Barrow podemos seguir el siguiente esquema:
1º.- Buscamos una primitiva cualquiera G(x) del integrando, es decir:
G (x )
f ( x )dx
2º.- Calculamos el valor de la primitiva en los extremos del intervalo de
integración, es decir, calculamos G(a) y G(b).
3º.- Hacemos la diferencia entre los valores anteriores:
b
a
b
f ( x )dx G ( x ) G ( b ) G ( a )
a
Es importante darnos cuenta que la primitiva G(x) a utilizar es indiferente, puesto
que al hacer la diferencia entre los extremos del intervalo, la constante de la primitiva se
anularía y el resultado de la diferencia sería el mismo para cualquier primitiva de f(x). Por
tanto podemos utilizar, si queremos, la primitiva más sencilla, que sería aquella en la que la
constante C vale 0.
Matemáticas II: Análisis
Curso 2013/14
152
Ejemplo resuelto 5 – 1º
Calcula las siguientes integrales definidas:
A)
2
(2 x 3 ) dx
1
x 2
2
1
3x
2
2
3.2
1
2
3.1
2
2
0
Como la integral es inmediata no he indicado los tres pasos a seguir y los he aplicado directamente y secuencialmente.
B)
e
1
1
dx
x
e
ln x
1
ln e
ln 1
1
0
1
Aquí ocurre igual que en el apartado anterior.
C)
3
1
dx
4
2 x (ln x )
En este caso, aunque parece que no es una integral inmediata, en realidad sí lo es si la preparamos. Preparémosla para
calcular una integral indefinida de f(x).
1
x (ln x ) 4
dx
1
(ln x ) 3
1
4
(ln x ) dx
x
3
3(ln x ) 3
Y ahora calculemos la integral definida:
3
3
1
4
2 x (ln x )
dx
1
3
3(ln
x
)
2
1
3(ln 3)3
1
3(ln 2)3
1
3(ln 3)3
1
3(ln 2)3
1
3
1 1
(ln 2)3 (ln 3)3
3
4
2
sen x . cos x .dx
0
D)
En este caso también tenemos que prepararla para que sea inmediata.
3
4
sen x . cos x .dx
2
4
senx .sen x . cos x .dx
4
6
( senx . cos x senx . cos x )dx
2
4
senx .(1 cos x ). cos x .dx
4
( senx ). cos xdx
6
( senx ). cos xdx
cos5 x
cos7 x
5
7
La integral definida sería:
3
4
2
sen x . cos x .dx
0
Matemáticas II: Análisis
cos5 x
cos7 x
5
7
2
0
...
Curso 2013/14
2
35
153
Ejercicio 5 – 1º
Calcula las siguientes integrales definidas:
A)
C)
5
2
(3x
2
e
1
2x 3)dx (SOL
3
(ln x ) dx (SOL
B)
: 105)
0
D)
: e 2)
senxdx (SOL
0
x
: 2)
e sen (2x )dx (SOL
2
: 5 (e 1))
Ejercicio 5 – 2º
A)
6
1
3
(4x 4x
Matemáticas II: Análisis
4
3)dx
Curso 2013/14
B)
1
1
0 1x
2
dx
154
5ª.- La integral definida y el cálculo de áreas
Una de las aplicaciones de la integral definida es el cálculo de áreas de recintos
limitados por las gráficas de funciones.
Para aplicarla lo haremos en grado creciente de dificultad en los siguientes
apartados:
5.1 Área de la región limitada por la gráfica de una función y el eje
OX.
Podemos encontrarnos con dos situaciones:
a) La función no cambia de signo en el intervalo de integración.
Si la función f(x) tiene signo constante en el intervalo de integración, entonces la
función delimita con el eje de abscisas sólo un recinto.
Si la función f(x) es positiva, la región estaría por
encima del eje de abscisas y la integral definida nos daría el
área de esta región.
A
b
a
f ( x )dx
Pero si la función es negativa en el intervalo de
integración, la región estaría por debajo del eje de abscisas. La
integral definida sería negativa y su valor absoluto nos
proporcionaría el valor del área de esta región.
A
b
a
f ( x )dx
b) La función cambia de signo en el intervalo de integración.
Si la función f(x) no tiene signo constante en el intervalo de integración, entonces
su gráfica determina con el eje de abscisas varias regiones tal y como se indica en la
figura:
Matemáticas II: Análisis
Curso 2013/14
155
En este caso el área del recinto que determina la gráfica de f con el eje de abscisas
será la suma de las áreas de cada uno de los recintos
A AR1
AR2
AR3
c
a
f ( x )d x
d
c
f ( x )d x
b
d
f ( x )d x
Siendo c y d las abscisas de los dos puntos de corte de la gráfica de f con el eje OX-
Ejemplo no resuelto 5 – 2º
Halla el área del recinto limitado por la parábola y = x2 , el eje OX, la recta x = 1 y la
recta x = 5. (SOL: 124/3 u2)
Ejemplo no resuelto 5 – 3º
Halla el área del recinto limitado por la curva y = - x2 , el eje OX y las rectas x = - 2 y
x = 2. (SOL: 16/3 u2)
Ejemplo no resuelto 5 – 4º
Halla el área limitada por la curva y = x3 – 6x2 + 8x y el eje OX. (SOL: 8 u2)
Ejemplo no resuelto 5 – 5º
Halla el área de la región comprendida entre la función f(x) = x3 – x2 – 4x + 4 y el eje
de abscisas. (SOL: 71/6 u2)
Ejemplo no resuelto 5 – 6º (selectividad 2003)
En la figura adjunta puedes ver representada en el intervalo [0,2] la gráfica de la
2
parábola y = x /4. Halla el valor de m para el que las áreas de las superficies rayadas
son iguales. (SOL: m = 17/12)
Matemáticas II: Análisis
Curso 2013/14
156
5.2 Área de la región limitada por las gráficas de dos funciones.
En esta figura se ve claramente que el área pedida es la
diferencia entre las áreas que forman con el eje de abscisas f
y g.
A Af
Ag
b
a
f ( x )d x
b
a
g ( x )d x
Aquí las funciones se cortan en el intervalo de
integración y eso significa que en el primer subintervalo
g es mayor que f y en el segundo ocurre al contrario. El
área pedida sería:
A AR1 AR2
c
a
g ( x ) f ( x ) dx
b
c
f ( x ) g ( x ) dx
IMPORTANTE
Existe un procedimiento o norma general para estos casos y consiste en definir
una nueva función h(x) = f(x) – g(x) (o al contrario: h(x) = g(x) – f(x)). A continuación se
calcula el área de la gráfica de esta nueva función con el eje de abscisas procediendo
del mismo modo que en el punto 5.1 anterior, es decir, tendríamos que ver si h(x)
mantiene o cambia su signo en el intervalo de integración.
Ejemplo no resuelto 5 – 7º
Halla el área del recinto limitado por las funciones y = x2 e y = x1/2 .
(SOL: 1/3 u2)
Ejemplo no resuelto 5 – 8º
Halla el área de la región comprendida entre las funciones f(x) = x3 y g(x) = x
(SOL: 1/2 u2)
Matemáticas II: Análisis
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157
Ejemplo no resuelto 5 – 9º (Selectividad 2008)
Sea la función f : R → R y g : R → R las funciones definidas mediante:
f ( x ) x ( x 2)
g ( x) x 4
y
a) Esboza las gráficas de f y g sobre los mismos ejes. Calcula los puntos de corte
entre ambas gráficas.
b) Calcula el área del recinto limitado por ambas gráficas.
(SOL: 109/6 u2)
Ejemplo no resuelto 5 – 10º (Selectividad 2012)
Halla el área del recinto limitado por las funciones f(x) = x3 – 4x y g(x) = 3x - 6
(SOL: 131/4 u2)
Matemáticas II: Análisis
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158
5.3 Área de la región limitada por las gráficas de dos o más
funciones y el eje de abscisas.
En la siguiente gráfica se ha representado la región delimitada entre dos funciones
f(x) y g(x) y los ejes de coordenadas.
g(x)
F(x)
0
a
b
Puedes observar que el área de dicho recinto es la resta de dos áreas: el área que
forma la gráfica de la función f(x) con el eje de abscisas en el intervalo [0,b] menos la
que forma la gráfica de la función g(x) con el eje de abscisas en el intervalo [a,b], es
decir:
A Af
Ag
b
0
f ( x )d x
b
a
g ( x )d x
Es importante destacar que el área que forma f(x) con el eje de abscisas, en este
caso particular, coincide con el área de un rectángulo y, por tanto, podríamos calcular
dicha área sin necesidad de realizar la integral definida, bastaría con aplicar la fórmula
de base por altura.
Ejercicio no resuelto 5 –10º
Halla el área de la región del plano limitada por las gráficas de las funciones f(x) =
lnx, g(x) = 2 y los ejes de coordenadas. (SOL: e2 – 1 u2 )
Ejercicio no resuelto 5 – 11º
Halla el área de la región del plano limitada por la parábola y = 4x - x2, y las
tangentes a la curva en los puntos de intersección con el el eje de abscisas.
(SOL: 16/3 u2 )
Ejercicios de selectividad 5 – 3º al 34º
3º.- a) 2003 1 – A – 2
b) 2003 2 – A – 2
c) 2003 2 – B – 2
4º.- a) 2003 3 – A – 2
b) 2003 4 – A – 2
c) 2003 4 – B – 1
Matemáticas II: Análisis
Curso 2013/14
159
5º.- a) 2003 5 – A – 2
b) 2003 5 – B – 1
c) 2003 6 – B – 2
6º.- a) 2004 1 – A – 2
b) 2004 1 – B – 1
c) 2004 1 – B – 2
7º.- a) 2004 2 – A – 2
b) 2004 2 – B – 2
c) 2004 3 – A – 1
8º.- a) 2004 4 – A – 1
b) 2004 4 – B – 1
c) 2004 5 – A – 2
9º.- a) 2004 5 – B – 2
b) 2004 6 – B – 2
c) 2005 1 – A – 2
10º.- a) 2005 1 – B – 2
b) 2005 2 – B – 2
c) 2005 3 – A – 2
11º.- a) 2005 3 – B – 2
b) 2005 4 – A – 2
c) 2005 4 – B – 2
12º.- a) 2005 5 – A – 1
b) 2005 6 – A – 1
c) 2005 6 – B – 2
13º.- a) 2006 1 – A – 2
b) 2006 1 – B – 2
c) 2006 2 – B – 2
14º.- a) 2006 3 – A – 2
b) 2006 3 – B – 2
c) 2006 4 – A – 1
15º.- a) 2006 4 – B – 2
b) 2006 5 – A – 2
c) 2006 5 – B – 2
16º.- a) 2006 6 – A – 2
b) 2006 6 – B – 2
c) 2007 1 – A – 2
17º.- a) 2007 1 – B – 2
b) 2007 2 – A – 2
c) 2007 3 – A – 2
18º.- a) 2007 3 – B – 2
b) 2007 4 – B – 2
c) 2007 5 – A – 2
19º.- a) 2007 5 – B – 2
b) 2007 6 – A – 1
c) 2007 6 – A – 2
20º.- a) 2007 6 – B – 2
b) 2008 1 – A – 2
c) 2008 1 – B – 1
21º.- a) 2008 1 – B – 2
b) 2008 2 – A – 2
c) 2008 2 – B – 2
22º.- a) 2008 3 – A – 2
b) 2008 3 – B – 2
c) 2008 4 – A – 2
23º.- a) 2008 4 – B – 2
b) 2008 5 – A – 2
c) 2008 5 – B – 1
24º.- a) 2008 5 – B – 2
b) 2008 6 – A – 2
c) 2008 6 – B – 2
25º.- a) 2009 1 – A – 2
b) 2009 1 – B – 2
c) 2009 2 – A – 2
26º.- a) 2009 3 – A – 2
b) 2009 3 – B – 2
c) 2009 4 – A – 2
27º.- a) 2009 4 – B – 2
b) 2009 5 – A – 2
c) 2009 5 – B – 2
28º.- a) 2009 6 – A – 2
b) 2009 6 – B – 2
c) 2010 1 – B – 2
29º.- a) 2010 2 – A – 2
b) 2010 2 – B – 2
c) 2010 3 – A – 2
30º.- a) 2010 3 – B – 2
b) 2010 4 – A – 2
c) 2010 4 – B – 2
31º.- a) 2010 5 – B – 2
b) 2010 6 – B – 2
c) 2011 1 – A – 2
32º.- a) 2011 3 – A – 2
b) 2011 4 – A – 2
c) 2011 4 – B – 2
33º.- a) 2011 5 – A – 2
b) 2011 5 – B – 2
c) 2011 6 – A – 2
34º.- a) 2011 6 – B – 2
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