UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA 201527 – SISTEMAS DINÁMICOS SISTEMAS DE NIVEL DE LÍQUIDO Un sistema de nivel de líquido (sistema hidráulico), se describe mediante ecuaciones diferenciales lineales o no lineales, en dependencia de si el flujo manipulado es laminar o turbulento, respectivamente. Esto se puede establecer de acuerdo con la magnitud del número de Reynolds. Si el número de Reynolds está entre 3000 y 4000, el flujo es turbulento. El flujo es laminar si el número de Reynolds es menor que unos 2000. Si se introduce el concepto de resistencia y capacitancia para los sistemas del nivel de líquido, es posible describir en forma simple las características dinámicas de tales sistemas. Figura 1 Sistema de nivel de líquido Resistencia: Considere el flujo a través de un tubo corto que conecta dos tanques. La resistencia R para el flujo de líquido en tal tubo se define como el cambio en la diferencia de nivel (la diferencia entre el nivel de líquido en los dos tanques) necesaria para producir un cambio de una unidad en la velocidad del flujo; es decir, cambio en la diferencia de nivel m R cambio en la velocidad del flujo m 3 /s Para entender mejor este concepto, considere el sistema del nivel de líquido de la figura 1. En este sistema el líquido sale a chorros a través de la válvula de carga a un lado del tanque. Si el flujo a través de esta restricción es laminar, la relación entre la velocidad del flujo en estado estable y la altura en estado estable en el nivel de la restricción se obtiene mediante Q KH (1) Donde, Q : Velocidad del flujo del líquido en estado estable, m3 /s Página 1 de 5 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA 201527 – SISTEMAS DINÁMICOS K : Coeficiente, m 2 /s H : Altura en estado estable, m Entonces, la resistencia Rl se obtiene mediante: Rl dH H (2) dQ Q Se aprecia que la resistencia del flujo laminar es constante y análoga a la resistencia eléctrica. Si el flujo es turbulento a través de la restricción, la velocidad del flujo en estado estable se obtiene mediante: Q K H (3) La resistencia Rt para el flujo turbulento, se obtiene a partir de: Rt dH dQ Derivando la ecuación (3) se obtiene dQ K dH (4) 2 H Reemplazando las ecuaciones (3) y (4) en la ecuación (2), se tiene Rt 2H (5) Q Se observa que la resistencia de flujo turbulento depende del flujo y de la altura. Sin embargo, el valor de Rt se considera constante si los cambios en la altura y en el flujo son pequeños. Capacitancia: La capacitancia C de un tanque se define como el cambio necesario en la cantidad de líquido almacenado, para producir un cambio en la altura. Página 2 de 5 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA 201527 – SISTEMAS DINÁMICOS cambio en el líquido almacenado m 3 C cambio en la altura m Debe señalarse que la capacidad ( m3 ) y la capacitancia ( m 2 ) son diferentes. La capacitancia del tanque es igual a su área transversal. Si ésta es constante, la capacitancia es constante para cualquier altura. Ejemplo 1 Encuentre un modelo matemático que relacione el flujo de entrada qi (t ) con el flujo de salida qo (t ) , para el sistema de nivel de líquido de la figura: Válvula de control qi Válvula de carga h qo Capacitancia Resistencia C R Figura 2 Sistema de nivel de líquido Solución: El parámetro de entrada en este caso es el flujo qi (t ) , y el parámetro de salida es el flujo qo (t ) , se puede analizar el sistema teniendo en cuenta que: flujo de entrada - flujo de salida = flujo acumulado Es decir, qi (t ) qo (t ) C dh(t ) dt Teniendo en cuenta que, h(t ) Rqo (t ) Página 3 de 5 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA 201527 – SISTEMAS DINÁMICOS Se obtiene: qi (t ) qo (t ) RC dqo (t ) dt Reescribiendo esta última ecuación se tiene una ecuación diferencial de primer orden: dqo (t ) 1 1 qo (t ) qi (t ) dt RC RC Ejemplo 2 Encuentre un modelo matemático que relacione el flujo de entrada qi (t ) con la altura del líquido acumulado h(t ) , para el sistema de nivel de líquido de la figura 2. Solución: El parámetro de entrada en este caso es el flujo qi (t ) , y el parámetro de salida es la altura del líquido acumulado h(t ) , se puede analizar el sistema teniendo en cuenta que: flujo de entrada - flujo de salida = flujo acumulado Es decir, qi (t ) qo (t ) C dh(t ) dt Teniendo en cuenta que, qo (t ) 1 h (t ) R Se obtiene: qi (t ) 1 dh(t ) h (t ) C R dt Reescribiendo esta última ecuación se tiene una ecuación diferencial de primer orden: dh(t ) 1 1 h(t ) qi (t ) dt RC C Página 4 de 5 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA 201527 – SISTEMAS DINÁMICOS REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS A continuación se presenta el listado de las referencias bibliográficas requeridas: Golnaraghi, F. & Kuo, B. (2010). Theoretical foundation and background material: Modeling of dynamic systems. En: Automatic control systems (9a.ed.). (pp. 147-252). Estados Unidos: John Wiley & Sons. Ogata, K. (2004). Hydraulic systems. En: System Dynamics (4a. ed.). (pp. 164234). Estados Unidos: Pearson Education. Ogata, K. (2010). Modelado matemático de sistemas de fluidos y sistemas térmicos. En: Ingeniería de control moderna (5a. ed.). (pp. 100-158). Madrid, España: Pearson Education. A continuación se presenta el listado de las referencias bibliográficas complementarias: Curso virtual de análisis de sistemas dinámicos. Recuperado en http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ingenieria/2001619/index.html Design and analyze control systems. Recuperado en http://www.mathworks.com/help/control/index.html Modelado de Sistemas Hidráulicos. Recuperado en https://www.youtube.com/watch?v=oQRzGwQud1I Problemas resueltos de sistemas automáticos. Recuperado en http://www.inevid.com/p/sistemas-automaticos.html Teoría de control básica. Recuperado en http://controltheory.org/index_spa.html Página 5 de 5