matemáticas 3º eso - Mauricio Contreras

8.
Gráficas y
funciones
Matemáticas 3º ESO
274
1.
Gráfica  Proceso
2.
Proceso  Gráfica
3.
Ecuaciones
4.
Modelos funcionales



Rectas
Parábolas
Proporcionalidad inversa
5.
Problemas de
proporcionalidad
Gráficas y funciones
1. Gráfica  Proceso

MERIENDA EN EL CAMPO
Ana ha quedado con sus amigos para merendar en el campo. Sale de casa y tiene que entrar en la
tienda a comprar coca-cola; después va al lugar donde han quedado y espera a que llegue el resto de
la panda. Por fin, ya están todos, y se van al río a merendar. Después de pasar la tarde, vuelve a
casa haciendo un alto para despedirse de sus amigos.
a) ¿Qué distancia hay de casa de Ana a la tienda?. ¿Y entre ésta y el lugar de la cita?. ¿A qué
distancia está el río?.
b) ¿Cuánto tiempo pasa en la tienda?. ¿Cuánto están en el río?.
c) Si sale de la tienda a las 4 h 15’, ¿dónde está a las 4 h 40’?. ¿Y a las 6 h?. ¿A qué hora salió de
casa?. ¿A qué hora regresó?.

CAPACIDAD PULMONAR
Para medir la capacidad espiratoria de los pulmones se hace una prueba que consiste en inspirar al
máximo y después espirar tan rápido como se pueda en un aparato llamado “espirómetro”. Esta curva
indica el volumen de aire que entra y sale de los pulmones mientras se realiza una “espirometría”.
275
Matemáticas 3º ESO
a) ¿Cuál es el volumen en el momento inicial?.
b) ¿Cuánto tiempo duró la observación?.
c) ¿Cuál es la capacidad máxima de los pulmones de esta persona?.
d) ¿Cuál es el volumen a los 10 segundos de iniciarse la prueba?.

AUTOMÓVILES O TRACTORES
Cierta empresa tiene capacidad para montar automóviles o tractores. Según los recursos que dedique
a la fabricación de unos, puede destinar el resto a la fabricación de los otros. En la gráfica se
representa la relación existente.
1) Construye una tabla como la siguiente con algunos valores. Observa el sentido de crecimiento de
dichos valores.
TRACTORES
X
0
AUTOMÓVILES
Y
800
Dominio de una función es el conjunto de valores de x para los que está definida la función;
es decir, para los que existe gráfica. Se representa por Dom (f).
Imagen o Recorrido de una función es el conjunto de valores que toma la y para cada uno
de los puntos de su dominio. Se representa por Im (f).
Una función es decreciente si al aumentar la x, la y disminuye; es decir, al recorrer la gráfica
de izquierda a derecha, la gráfica baja.
Una función es creciente si al aumentar la x, la y aumenta; es decir, al recorrer la gráfica de
izquierda a derecha, la gráfica sube.
2) Esta gráfica, ¿es creciente o decreciente?. ¿Cuál es su dominio?. ¿Cuál es su recorrido?.
276
Gráficas y funciones

PRECIOS DEL PETRÓLEO
En la siguiente gráfica se muestra la evolución de los precios del petróleo, en dólares por barril, desde
1972 hasta 1983. Comenta la gráfica. ¿A qué puede deberse el cambio brusco de crecimiento que se
produce en 1979?.

CURACIONES
Para el tratamiento de una enfermedad cardiaca se está experimentando, en un laboratorio, un
medicamento en distintas dosis para comprobar sus efectos favorables. La gráfica C muestra el
porcentaje de curaciones que se obtienen con una dosis de x miligramos.
Por otra parte, se ha observado que este medicamento produce efectos secundarios que perjudican
el hígado. El porcentaje de enfermos afectados depende también de la dosis administrada y aparece
en la gráfica E.
¿Cuál es la dosis que consideras más adecuada?.
277
Matemáticas 3º ESO
Para responder esta cuestión, te recomendamos que construyas dos tablas de valores como las
siguientes para cada una de las gráficas C y E. Extrae conclusiones de las tablas.
Nº de dosis
X
% de curaciones
C
Nº de dosis
X
% de efectos secundarios
E
¿Hacia qué porcentaje de curaciones se acerca la gráfica C cuando se aumenta indefinidamente el
número de dosis del medicamento?.

TIPOS DE CRECIMIENTO
Las siguientes funciones son todas crecientes. Pero ¿crecen de la misma forma?. Si es preciso,
construye tablas de valores y analiza los distintos tipos de crecimiento.
Si una función es creciente entre a y b, la gráfica podría ser (entre otros) de los siguientes
tipos. El crecimiento no es siempre de la misma forma.
278
Gráficas y funciones

BOTELLAS
Tomamos una botella y la vamos llenando de agua vaso a vaso. Cada vez que echamos un vaso de
agua medimos la altura que alcanza el agua en el interior de la botella y anotamos los resultados:
nº de vasos echados  nivel alcanzado
1) Aquí tenemos cuatro botellas y sus correspondientes gráficas. Asigna a cada una la suya.
279
Matemáticas 3º ESO
2) Dibuja la gráfica correspondiente a esta botella.

MONTAÑISMO
Las siguientes gráficas nos muestran la marcha de seis montañeros:
a) Describe el ritmo de cada uno. ¿Cuáles de estas gráficas te parecen menos realistas?.
b) ¿Quién recorre más camino? ¿Quién camina durante menos tiempo?.
280
Gráficas y funciones

TIERRA Y LUNA
Lanzamos un objeto hacia arriba desde una cierta altura y con la misma velocidad en la Tierra y en la
Luna. Representamos gráficamente la relación entre la altura alcanzada y el tiempo empleado del
modo siguiente:
Describe cada uno de los recorridos, indicando desde dónde se lanza, la altura máxima que alcanza,
los tiempos empleados en subir y bajar. ¿Qué gráfica corresponde a la Tierra y cuál a la Luna?.
Una función presenta un máximo absoluto en un punto cuando el valor de la función en
dicho punto es el mayor de su dominio. El máximo es relativo si el valor de la función en
dicho punto es mayor que en los puntos cercanos. En un punto de máximo relativo la
función pasa de ser creciente a ser decreciente.
281
Matemáticas 3º ESO

PÉNDULO
Si separamos un péndulo de su posición de equilibrio y lo soltamos, éste irá alternando su posición en
torno a dicho punto del modo que se describe en la siguiente gráfica:
1) ¿Cuántos máximos tiene esta gráfica?. ¿Cuántos mínimos?. Intenta calcular, lo más
aproximadamente que puedas, las coordenadas de estos puntos extremos.
Una función tiene un mínimo relativo en un punto si el valor de la función en dicho punto es
menor que en los puntos cercanos. En un punto de mínimo relativo, la función pasa de ser
decreciente a ser creciente.
Una función tiene un máximo relativo en un punto si el valor de la función en dicho punto es
mayor que en los puntos cercanos. En un punto de máximo relativo, la función pasa de ser
creciente a ser decreciente.
Un extremo local de una función es un punto de máximo o mínimo relativo.
2) Estudia las regularidades de la gráfica. ¿Es simétrica la gráfica?.
3) Dibuja una gráfica simétrica que esté sugerida por la forma de esta curva e interpreta el
fenómeno que dicha función define.
282
Gráficas y funciones

OSCILÓGRAFO
Interpreta la imagen que ves en un oscilógrafo.
Una función es periódica si sus valores coinciden cada cierto intervalo de valores de x. Una
función es periódica de período P si el trozo de gráfica correspondiente a un intervalo de
valores de x de longitud P se repite indefinidamente a la izquierda y a la derecha.

UNA NORIA
Los cestillos de una noria van subiendo y bajando a medida que la noria gira. Esta es la
representación gráfica de la función tiempo – distancia al suelo de uno de los cestillos:
a) ¿Cuánto tiempo tarda en dar una vuelta completa?.
b) Observa cuál es la altura máxima y di cuál es el radio de la noria.
c) Explica cómo podríamos calcular la altura a los 130 segundos sin necesidad de continuar la
gráfica.
283
Matemáticas 3º ESO

UNA EXCURSIÓN
Un turista hace una excursión a la cima de un monte famoso y tarda desde su residencia a la cima 2
horas 30 minutos. La gráfica muestra con detalle las velocidades que ha llevado durante la excursión:
1) ¿En qué vehículo pudo viajar la primera hora y media?. ¿Y en la última media hora?. ¿Crees que
en algún período de tiempo fue andando?. ¿Estuvo en algún momento parado?.
2) ¿Indica la gráfica cuándo cambia el medio de locomoción. ¿Qué particularidad presenta la gráfica
entonces?.
3) ¿En qué períodos aumenta o disminuye la velocidad?. ¿Cómo dirías que es la función en esos
intervalos?.
4) ¿A qué hora alcanzó la velocidad máxima?.
5) ¿Cuántos kilómetros recorre en la última hora?.
Se dice que una función es continua en un punto si la gráfica de dicha función no presenta
saltos en dicho punto. La gráfica de una función continua se puede dibujar sin levantar el
lápiz del papel.
Una función es discontinua en un punto si en dicho punto la gráfica presenta un salto. Para
dibujar la gráfica de una función discontinua hay que levantar el lápiz del papel.

GOLOSINAS
En la puerta de un colegio hay un puesto de golosinas. En esta gráfica se ve la cantidad de dinero
que hay en su caja a lo largo de un día.
284
Gráficas y funciones
a) ¿A qué hora empiezan las clases de la mañana?
b) ¿A qué hora es el recreo?. ¿Cuánto dura?.
c) El puesto se cierra a mediodía y el dueño se lleva el dinero a casa. ¿Cuáles fueron los ingresos
esta mañana?.
d) ¿Cuál es el horario de tarde en el colegio?.
e) ¿Es ésta una función continua o discontinua?.

CARTERA DE PEDIDOS
La siguiente gráfica muestra la evolución de la cartera de pedidos y los “stocks” en la industria
española durante los años 70 – 74.
a) ¿En qué momentos hay un equilibrio entre pedidos y stocks?.
b) ¿En qué años alcanzan los pedidos su valor máximo y / o mínimo?. ¿Qué ocurre con los stocks?.
c) Comenta, a la vista de estas gráficas, la evolución de los stocks y los pedidos a lo largo de esos
años.
285
Matemáticas 3º ESO
2. Proceso  Gráfica

EXCURSIÓN
Un ciclista sale de excursión a un lugar que dista 20 km de su casa. A los 15 minutos de la salida,
cuando se encuentra a 6 km, hace una parada de 10 minutos.
Reanuda la marcha y llega a su destino una hora después de haber salido.
a) Representa la gráfica tiempo – distancia a su casa.
b) ¿Lleva la misma velocidad antes y después de la parada?. (Suponemos que la velocidad es
constante en cada etapa).

TIOVIVO
Un tiovivo acelera durante 2 minutos hasta alcanzar una velocidad de 10 km/h. Permanece a esta
velocidad durante 7 minutos y decelera hasta parar en 1 minuto. Tras permanecer 5 minutos parado,
comienza otra vuelta.
Dibuja la gráfica tiempo – velocidad.

APARCAMIENTO
El aparcamiento de un centro comercial tiene la siguiente tarifa de precios:
PRECIO DESDE LAS 9 HORAS HASTA LAS 22 HORAS
Las dos primeras horas..................
3ª hora o fracción y sucesivas.......
Máximo diario...............................
gratuito
1 euro
10 euros
Representa la gráfica de la función tiempo de aparcamiento – coste.
286
Gráficas y funciones

ASCENSOR
En las playas españolas se han construido en los últimos años grandes rascacielos con potentes
ascensores. La siguiente tabla nos da la altura que alcanza uno de estos ascensores, desde su punto
más bajo, según el tiempo que está subiendo.
Tiempo (segundos)
0
1
2
3
4
5
6
7
Altura (metros)
-6
-3
0
3
6
9
12
15
a) ¿Qué variables se relacionan?.
b) ¿Qué significan los números negativos?. Haz la gráfica correspondiente.
c) ¿Qué escala has elegido en los ejes?.
d) ¿Es continua o discontinua esta gráfica?. ¿Es creciente o decreciente?. Explica tu respuesta.
e) ¿Cuánto tiempo empleará en llegar al último piso (situado a 75 m del suelo)?. ¿A qué altura del
suelo llega a los 20 segundos?.
f)
Explica la tendencia de esta gráfica en cuanto a su crecimiento. Intenta hacer la gráfica de este
ascensor cuando baja.

AUTOESCUELA
En una autoescuela las tarifas son las siguientes:
Precio de cada clase............
22 euros
Precio matrícula carné........
250 euros
a) He utilizado los servicios de esta autoescuela y con 5 clases me han dado el carné. ¿Cuánto he
pagado?.
b) ¿Cuánto hubiese pagado con 6 clases?. ¿Y con 7 clases?.
c) Haz la gráfica en la que relaciones lo que cuesta obtener el carné según el número de clases
recibidas.
287
Matemáticas 3º ESO
3. Ecuaciones

DESCUBRE LA REGLA
Se trata de “adivinar” la regla pensada para asociar un número a otro número. Uno de los jugadores,
papel que irá rotando, piensa la regla e irá indicando el número asociado a cada uno de los números
iniciales que propongan los otros jugadores por turnos. Quién descubra la regla se anotará un punto.
Pueden decidirse normas particulares:
a) Poner un tope al número de preguntas.
b) Asignar distinta puntuación según el número de datos utilizados. Etc.
Aunque inicialmente expreses las reglas encontradas de forma oral, es necesario que utilices letras
para representar un número de forma general.
Algunas posibles reglas a utilizar son:
1) n 
n
2
2) n   n - 2 5
5) n  2  n -1

6) n  2  n +
3
2
3) n  3  n
7) n 
1
n
4) n  3 n +5
8) n 
3
n
DESCUBRE EL NÚMERO
Es un juego similar al anterior, pero dando la “regla” seguida y el número final. En este caso se trata
de determinar el número inicial. Se puede jugar en parejas o en grupos y se necesita una calculadora.
El jugador A (que irá rotando) piensa una regla y elige un número al que aplica la transformación
elegida. El jugador B conociendo la regla y el número hallado, tiene que encontrar el de partida. Si la
respuesta es correcta, se anota B un punto; en caso contrario, se lo anota A.
El juego puede ser abierto o más dirigido si se proporciona previamente un listado con las “reglas”
que tienen que utilizar los jugadores.
Para obtener el número inicial, puedes utilizar diferentes tipos de estrategias:

Por tanteo, ensayo y error. Probando de manera arbitraria con distintos números,
aplicándoles la “regla” y observando el resultado final.

Efectuar un tanteo más sistemático y ordenado

Aplicar a los resultados finales las operaciones inversas a las dadas en las “reglas” y en
orden inverso a como actúan.
Las reglas que se pueden utilizar son del mismo tipo que en la actividad anterior.
288
Gráficas y funciones

VOLVER AL PRINCIPIO
Introduce el número que quieras en tu calculadora. A continuación pulsa la siguiente secuencia de
teclas:
x
3
+
2
=
¿Qué secuencia de teclas habrás de pulsar para, partiendo del resultado final, volver a obtener el
número inicial?.
Haz lo mismo con las siguientes secuencias de teclas:
:
2
+
3
=

5
=
x
7
=
+
3
=
:
5
=

3
:
4
=
x
5

2
=
Investiga qué ocurre con otras secuencias parecidas. Invéntate algunas e intenta “volver al principio”
en cada una de ellas.

INFORMACIÓN CONDENSADA
Expresa lo más concisamente que puedas cada una de las siguientes informaciones:
1) La edad de Roberto es cinco años menos que la de Alfonso.
2) Antonio tiene 2000 pesetas más que Juan.
3) Carmen supera a Concha en 3 años.
4) Marisa tiene triple dinero que Eva.
5) En una reunión hay dos chicos por cada tres chicas.
6) El precio de una bombilla eléctrica de 25 w es de 1,25 euros. ¿Cuál será el precio de varias
bombillas, si hay que añadir el 12% de IVA?.
7) El precio de cinco tornillos es de 32 céntimos. ¿Cuál será el precio de varios tornillos?.
289
Matemáticas 3º ESO

EMPAREJA
Empareja cada frase con su expresión simbólica:
1) El número par que sigue al que ocupa la posición n.
2) El perímetro de un triángulo isósceles
a) 2 l = 5 b
3) Tengo dos bolígrafos por cada cinco lápices.
x
y
3
c) a  b = 30
4) La diferencia de dos números dividida entre 3.
d) 2 a + b
5) La tercera parte de un número, menos otro.
e) 2 n + 2
b)
6) El área de un rectángulo es 30 unidades cuadradas
f)
7) El área de un rectángulo son 10 unidades cuadradas
8) La edad de Victoria es tres años menos que la de Ana
x - y
3
g) 2b = 3l
h) n + (n + 1) = 21
9) Tengo tres bolis por cada dos lápices
10) Pagué 150 euros por dos CD’s y 3 DVD’s
11) La suma de dos números consecutivos es 21
i)
a  b = 10
j)
v=a–3
k) 150 = 2 d + 3 c

¿CUÁNTO VALE X?
En cada una de las fórmulas siguientes hay un número desconocido que representamos por la letra x.
Ahora, x puede ser cualquiera de los números 0, 1, 2, 3, 4, 5, ó 6. ¿Qué valores puede tomar x en
cada uno de los casos que siguen?,
a) x + 1 = 5
b) x – 2 = 4
c) 3 x = 6
d) x / 2 = 1
e) x + 1 = x
f) x  x = 1
g) x / 4 = 4
h) x (3 – x) = 2
i) 2 x = 12
j) 12 = 8 x – 4
k) 7 + 7 x = 49
l) (6 – x) 7 x = 0
En cada una de las expresiones anteriores aparece una letra x, cuyo valor no conocemos, y
el signo =. Estas expresiones son ecuaciones.
Hay ecuaciones de diversos tipos:
De primer grado, en las que la incógnita o incógnitas están elevadas a la unidad: 7+7 x = 49.
De segundo grado, en las que la incógnita o las incógnitas están elevadas al cuadrado. Por
2
ejemplo: 2x -3x+5=0, (6 – x) 7 x = 0.
De tercer grado, de cuarto, etc:
tipos.
290
3
4
x -1=0, x -2x+1=0. También existen ecuaciones de otros
Gráficas y funciones
Las dos partes del signo igual, se llaman miembros de la ecuación. Los números que
multiplican a las incógnitas se llaman coeficientes.
Una solución de una ecuación es un valor numérico que al sustituir a la incógnita hace cierta
la igualdad. Resolver una ecuación es determinar la o las soluciones de la misma, es decir,
buscar el valor o los valores de las incógnitas que hacen cierta la igualdad.
Hay ecuaciones muy raras que no tienen ninguna solución. Por ejemplo, la ecuación 0x = 5.
Intenta explicar, con tus palabras, por qué esta ecuación no tiene solución. Escribe otras
ecuaciones sin solución.
Hay, sin embargo, otras ecuaciones que tienen varias soluciones. Por ejemplo, la ecuación
a(a – 1)=0, cuyas soluciones son a = 0 y a = 1. Otro ejemplo, la ecuación (x + 5) (x – 3)(2 x
– 4) = 0, cuyas soluciones son x = 5, x = 3 y x = 2.
1) Halla seis soluciones distintas de la ecuación a + b = 10. ¿Cuántas soluciones crees que tiene
esta ecuación?.
2) Busca algunas soluciones de la ecuación 2  b = a.
3) Comprueba que x = 0 y x = 3 son soluciones de la ecuación: 2  x 2  x   x + 3 .
4) Comprueba que x = 0 no es solución de la ecuación x 2  4  x + 3 = 0 . ¿Es x = 1 solución de esta
ecuación?. ¿Y x = 3 ?. Explica las razones de tu decisión.
5) Inventa tres ecuaciones cuya solución sea x = 2. Inventa 3 ecuaciones cuya solución sea a =
6) Resuelve las siguientes ecuaciones:

x
9;
3
a -102 = 11 ;
27  y = 18 ;
1
.
2
2 b + 3 = 9 .
BUSCA LO QUE FALTA
La siguiente igualdad es cierta si x = 2:
2 x + 7 = 11
En las que siguen has de rellenar el rectángulo con operaciones y números para que sean ciertas
también para x = 2.
a) 2 x + 7 + 3 = 11
c)
2x + 7
 11
5
b)
3  (2 x + 7) = 11
d)
(2 x + 7) + 3 x = 11
Dos ecuaciones son equivalentes si tienen las mismas soluciones.Las ecuaciones x - 3 = 2 y
x +1 = 6 son equivalentes ya que tienen como solución x = 5.
Si a los dos miembros de una ecuación se les suma o resta un mismo número o una misma
expresión, la ecuación que resulta es equivalente a la dada.
Si se multiplican o dividen los dos miembros de una ecuación por un mismo número, distinto
de cero, la ecuación resultante es equivalente a la dada.
291
Matemáticas 3º ESO

ECUACIONES Y BLOQUES
Indica cuál es el valor de las expresiones que se preguntan en cada ecuación.
a) 3 x + 7 = 28 ................................................................................... ¿3 x?.
b)
x
 4  12
2
.................................................................................... ¿
x
?.
2
c) 2  (x – 3) = 20 .............................................................................. ¿x – 3?.

d)
x +1
 5 ....................................................................................... ¿x + 1?.
4
e)
x+2
1  7
4
................................................................................. ¿
x+2
?. ¿x + 2?.
4
CALCULA X
Puedes comprobar que la siguiente ecuación se cumple para x = 4.
2x+3=5x–9
Averigua cuál es el valor de x en cada una de estas ecuaciones:
a) 2 x + 3 + 5 = 5 x - 9 + 5
b) 2 x + 3  12 = 5 x - 9 - 12
c) 7  2 x + 3 = 7  5 x - 9
d)
2 x+3 5 x-9
=
4
4
f)
3
4

x +1 x + 2
e)

2  x + 3 x + 1

3
2
CON DENOMINADORES
x x -1 x -13


, utilizaremos un método que consiste en “efectuar
3
2
9
la operación inversa de aquella que nos molesta”. Así, procedemos de la siguiente forma:
Para resolver la ecuación
Nos molesta el 9; multiplicamos toda la ecuación por 9:
x
x -1
x -13
x -1
9  9
 9
 3x - 9 
 x -13 .
3
2
9
2
Nos molesta el 2; multiplicamos todo por 2:
x -1
2  3x - 2  9 
 2   x -13  6x - 9 x -1  2 x -13 .
2
Observa que hemos multiplicado por 18=92, que es el mínimo común múltiplo de los
denominadores. De esta forma hemos quitado denominadores.
Nos molestan los paréntesis; quitamos paréntesis:
6x - 9x + 9 = 2x - 26 .
Agrupamos las x, restando 2x en ambos miembros:
6x - 9x + 9 - 2x = 2x - 26- 2x  -5x+9=-26
Pasamos el 9 al segundo miembro, restando 9 en ambos miembros:
5x + 9 - 9 = -26 - 9  -5x = -35 De donde: x = 7.
292
Gráficas y funciones
Observa en general, que: “lo que esta sumando pasa al otro miembro restando; lo que
está restando pasa sumando; lo que está multiplicando pasa dividiendo y lo que está
dividiendo pasa al otro miembro multiplicando”. Si dominas estas reglas básicas, junto
con las operaciones de quitar denominadores y quitar paréntesis, podrás resolver
fácilmente cualquier ecuación de primer grado.
Resuelve las siguientes ecuaciones:
a)
x
2x
x=
 10
15
5
d) 5 -

6x - 4
 x-3
5
b) x +
e)
2x - 3 x - 1 12x + 4


9
3
9
x x x 3x 1
  

2 4 8 4 4
c) x -
f)
x+2
6
3
21- x 2x - 7
5x - 5

 8
5
15
10
EDADES
Dos niños, A y B, tienen, respectivamente, 8 y 2 años. ¿Al cabo de cuántos años la edad del primero
será el doble que la del segundo?

SUMA Y DIFERENCIA
Halla dos números sabiendo que su suma es 100 y su diferencia es 20.

INTERCAMBIO DE SOLARES
2
Una persona posee un solar de 30 metros de fachada y otro de 500 m de área. Otra persona le
propone cambiarlo por un solar de 50 metros de fachada, en la misma calle. Todos los solares tienen
la misma profundidad. ¿Cuánto ha de valer ésta para que el intercambio sea equitativo?.
293
Matemáticas 3º ESO

CARNE Y PESCADO
El otro día en el mercado compré carne y pescado gastándome 1080 ptas. Sabiendo que el precio de
la carne fue el doble que el del pescado, ¿cuánto me costó la carne?.

DEPÓSITOS
a)
En una casa tenemos un depósito de agua. Se baña mi padre y consume la mitad; luego lo hace
mi madre y gasta las tres quintas partes. Para mí sólo quedan 40 litros. ¿Qué capacidad tiene
nuestro depósito?.
b)
Un depósito está lleno el domingo. El lunes se vacían sus 2/3 partes, el martes se gastan 2/5 de
lo que quedaba y el miércoles 300 litros. Si aún quedó 1/10, ¿cuál es su capacidad?.
4. Modelos funcionales
En las actividades que siguen, analiza algunos de los tipos de “reglas” que surgen con más
frecuencia en situaciones reales. Se trata de estudiar la “regla” en sí, como una máquina
procesadora que genera una salida a partir de una entrada:
ENTRADA

FÓRMULA

SALIDA
Busca en cada caso regularidades y pautas de comportamiento generales.
Si x es la entrada y f es la fórmula, entonces a la salida se le representa por f(x) y se llama
imagen de x.
Si y es la salida y f es la fórmula, entonces a la entrada se le representa por f -1 (y) y se
llama antimagen de y.
294
Gráficas y funciones

FUNCIÓN LINEAL
Estudia la regla x  2  x + 0'5 , siguiendo el siguiente proceso:
Multiplicar por 2
Sumar 0'5
1) Analiza la regla x 
 2 x  2 x + 0'5 .
¿Cómo transforma a los números que entran?.

Si x es muy grande y positivo, ¿cómo es la imagen?.

¿Y si se acerca a 0?.

¿Y si es negativo?. ¿La imagen será siempre negativa?.
1) Haz la representación gráfica de la función x  2  x + 0'5 en unos ejes coordenados.
2) Estudia el perfil obtenido:

Al pasar x de 3 a 4, ¿qué ocurre en la gráfica?. ¿Y de 4 a 5?. ¿Y de –1 a 0?. ¿Y de n a
n+1?.

¿Es posible siempre encontrar un número cuya imagen sea un número dado?.
3) Modifica los parámetros:

Cambia 0’5

Cambia 2
¿Qué ocurre con los números negativos?. ¿Y al aumentar o disminuir su valor?.
Representa las nuevas gráficas superpuestas en los mismos ejes de coordenadas. Compara
dichas gráficas, observando los cambios que se producen al variar uno u otro parámetro en
ax +b:

Al cambiar b: se mantiene la dirección: Se trata de una traslación.

Al cambiar a: cambia la dirección: más o menos inclinada, creciente o decreciente.
4) Punto de corte:
Halla las coordenadas del punto de corte utilizando un método gráfico o por tanteo, e
interpreta el significado de dicho punto.
295
Matemáticas 3º ESO

PROPORCIONALIDAD DIRECTA
Ejemplo.- Un kilo de jamón cuesta 20 euros, un kilo de queso cuesta 10 euros y 4 kilos de
azúcar cuestan 10 euros. Completa la siguiente tabla y represéntala gráficamente:
PESO
0
COSTE
JAMÓN
1
2
3
4
5
6
7
8
9
QUESO
AZÚCAR
Halla las funciones que dan el coste de cada producto según el peso.
El coste de cada producto es directamente proporcional a su peso. Las funciones que dan
estas proporcionalidades son las siguientes:
JAMÓN
y = 2x
QUESO
y=x
AZÚCAR
y=
1
x
4
Observa que cada proporcionalidad tiene su gráfica:
La función de proporcionalidad y = mx tiene por representación gráfica una recta que pasa
por el origen de coordenadas (0, 0). El número m se llama constante de proporcionalidad o
pendiente y mide la inclinación de la recta. Cuanto mayor sea la constante de
proporcionalidad, mayor es la pendiente de la recta, es decir más inclinada está.
Si m>0, la recta está inclinada de izquierda a derecha.
Si m<0, la recta está inclinada de derecha a izquierda.
296
Gráficas y funciones
Observa las siguientes rectas:
La pendiente de una recta es la variación (positiva o negativa) que experimenta la y cuando
la x aumenta una unidad. Para hallarla se divide la variación de la y por la variación de la x
entre dos puntos.
1)
Un grifo abierto durante 5 minutos hace que el nivel de un depósito suba 20 cm. ¿Cuánto subirá
el nivel si se abre el grifo durante 15 minutos?
2)
En una población, durante el año pasado, nacieron 28 bebés semanales de media. ¿Cuántos
bebés se esperan para el próximo trimestre?
3)
Una máquina fabrica 20 piezas en una hora. ¿Cuántas piezas fabricará en una jornada de 8
horas? ¿Cuánto tardará en fabricar 15 piezas? ¿Y 150 piezas?
4)
Un coche ha tardado 4 horas en recorrer una distancia de 280 km. ¿Cuántos kilómetros
podemos suponer que recorrerá en 5 horas? ¿Cuánto tardará en recorrer 420 km?
5)
Tres cajas de cereales pesan dos kilos y cuarto. ¿Cuánto pesarán cinco cajas iguales a las
anteriores?
6)
Una fábrica de automóviles ha producido 8100 vehículos en 60 días. Si se mantiene el ritmo de
producción, ¿cuántas unidades fabricará en un año?
297
Matemáticas 3º ESO

ECUACIONES DE RECTAS I
Halla las ecuaciones de las siguientes rectas:

SEÑALES DE TRÁFICO
Interpreta el significado de las siguientes señales de tráfico:

ORDENADA EN EL ORIGEN
Ejemplo.- El alquiler de un coche cuesta 10 euros más 5 euros por cada hora. Escribe la
fórmula de la función tiempo transcurrido  precio. Representa gráficamente dicha función.
Si x es el tiempo transcurrido en horas e y el precio (en euros), la función pedida es y = 10 +
5 x . La representación gráfica de esta función es una recta que no pasa por el origen de
coordenadas:
298
Gráficas y funciones
La ecuación y = m x + n representa una recta de pendiente m que no pasa por el origen de
coordenadas y corta al eje de ordenadas (eje de las y) en el punto (0, n). El número n se
llama ordenada en el origen y representa la distancia del origen de coordenadas al punto de
corte de la recta con el eje de las y.
1) La cuota de abono mensual de un teléfono individual de Telefónica es de 12 euros, y cada paso
cuesta 0,04 euros. Halla la ecuación de la recta y represéntala gráficamente.
2) La tarifa de los taxis en una ciudad es de 100 ptas por la bajada de bandera y 40 pesetas por
kilómetro recorrido. Haz una tabla que exprese el precio del viaje según los kilómetros que
hagamos. Halla la función que relaciona los kilómetros recorridos (x) con el precio del viaje (y).
Representa gráficamente dicha función.
3) La facturación mensual de la luz, cuando la potencia contratada es de 5’5 kw, es de 14,58 euros,
y además por cada kilovatio-hora consumido hay que abonar 0,15 euros. Halla la ecuación de la
función consumo  precio y represéntala gráficamente. ¿Cuál será el importe de un recibo
correspondiente a un mes en el que se consumieron 1125 kwh?.
5
x
3
dichas gráficas?. ¿Cómo son sus pendientes?.
4) Dibuja las gráficas de las funciones: a) y = 
b) y = 
5
x+5.
3
¿Qué relación existe entre
Dos rectas paralelas tienen la misma pendiente.
299
Matemáticas 3º ESO

a)
RECTAS HORIZONTALES Y VERTICALES
Dibuja las rectas de ecuaciones: a) y=4, b) y=3, c) y=
5
. ¿Cómo son todas ellas?
2
Las rectas horizontales tienen una ecuación de la forma y=b, siendo b un número.
b)
¿Cuáles son las ecuaciones de las siguientes rectas?
Las rectas verticales tienen por ecuación x=a, siendo a un número.
c)

1)
300
¿Cuáles son las ecuaciones de los ejes de coordenadas?
ECUACIONES DE RECTAS II
Halla las ecuaciones de las siguientes rectas:
Gráficas y funciones
2)
Halla las ecuaciones de las siguientes rectas:
a) Pasa por los puntos A(2, 3) y B(5, 4)
3
3

b) Pasa por el punto P  ,  2  y su pendiente es 
2
5

c) Pasa por el punto A(2, 2) y su ordenada en el origen vale 5
d) Pasa por el punto B(1, 5) y es paralela a la recta de ecuación y=2x

PUNTOS DE CORTE
1) Observa las siguientes rectas. Escribe las coordenadas de los puntos de corte de cada recta con
los ejes de coordenadas.
Observa que todos los puntos de corte con el eje de abcisas tienen su ordenada igual a
0. En general, los puntos de corte de una función y = f  x con el eje de abcisas se
obtienen haciendo y = 0 en la fórmula de la función y averiguando los correspondientes
valores de x.
Observa que todos los puntos de corte con el eje de ordenadas tienen su abcisa igual a
0. En general, el punto de corte de la función y = f  x con el eje de ordenadas se obtiene
haciendo x = 0 en la fórmula de la función y hallando el correspondiente valor de y.
2) Halla los puntos de corte con los ejes coordenados de las siguientes rectas:
a) y = 3 x + 2

a)
b) y = - 3 x – 7
c) y =
1
x+2
3
d) y = - x + 9
LA GRANJA
En una granja hay gallinas y conejos. En total hay 30 animales y hemos contado 100 patas.
¿Cuántos conejos y gallinas hay?
301
Matemáticas 3º ESO
Sea x = número de gallinas. Sea y = número de conejos. El enunciado expresado en
x  y  30 
ecuaciones es:
.
2x  4 y  100
A un conjunto de varias ecuaciones que deben verificarse simultáneamente, lo llamaremos
sistema de ecuaciones. El anterior es un sistema de ecuaciones de primer grado con dos
incógnitas, pero pueden haber sistemas de tres o más incógnitas y ecuaciones, e incluso,
puede que sean de grado 2 o superior.
Resolver un sistema es encontrar los valores de las incógnitas que verifican todas las
ecuaciones. Existen tres métodos para resolver un sistema de dos ecuaciones de primer
grado con dos incógnitas:

Método de reducción.
Consiste en multiplicar las ecuaciones por números adecuados y después sumarlas con el
objetivo de eliminar una incógnita:
x  y  30

 . Multiplicamos la primera por 2.
2x  4 y  100
 2x  2 y  60
 . Sumamos las dos igualdades, obteniendo: 2 y = 40, de donde
2x  4 y  100 
40
y
 20 . Para hallar el valor de x, sustituimos el valor de y en cualquiera de las dos
2
ecuaciones dadas, o volvemos a aplicar el método de reducción para eliminar la incógnita y.
Comprueba que x = 10.

Método de sustitución.
Consiste en despejar una de las incógnitas en una de las ecuaciones y sustituir el valor
obtenido en la otra ecuación para obtener el valor de la otra incógnita.
x  y  30

 . Despejamos x en la primera ecuación:
2x  4 y  100
x =  y + 30
Sustituimos esta expresión de x en la segunda ecuación: 2 y  30  4y  100
Resolvemos esta ecuación. Quitando paréntesis: 2y  60  4y  100 . De donde: 2 y = 40
Luego: y 

40
 20 . Sustituimos este valor de y en la ecuación x = y + 30, obteniendo: x=10
2
Método de igualación.
Consiste en despejar una misma incógnita en las dos ecuaciones y después igualar las
expresiones obtenidas. De esta forma se obtiene una ecuación en la otra incógnita que
podemos resolver.
x  y  30
x  30  y 

 . Despejamos x en las dos ecuaciones:

2x  4 y  100
x  50  2 y
Igualando las dos expresiones obtenidas:
30  y  50  2y . De donde: 2y  y  50  30 .
Luego: y = 20.
Sustituyendo este valor de y en cualquiera de las ecuaciones obtenemos x = 10.
302
Gráficas y funciones
b)

En otra granja de la competencia hay, entre gallinas y conejos, un total de 55 animales y 176
patas. ¿Cuántas gallinas y cuántos conejos hay?.
MÉTODO GRÁFICO
Una ecuación de primer grado con dos incógnitas a x + b y = c representa una recta. Luego
cada una de las ecuaciones de un sistema de primer grado con dos incógnitas representa
una recta:
ax  by  c  recta r 

dx  ey  f  recta s
Por lo tanto, un método que puedes usar para resolver un sistema de dos ecuaciones con
dos incógnitas consiste en dibujar, en unos mismos ejes, las gráficas de las rectas r y s que
representan las dos ecuaciones. Se pueden presentar tres casos:
r y s se cortan en un punto
r y s son coincidentes
r y s son paralelas
sistema con solución única
infinitas soluciones
sistema sin solución
Un sistema con solución única se dice que es compatible determinado.
Un sistema con infinitas soluciones se dice compatible indeterminado.
Un sistema sin solución se dice que es incompatible.
Utiliza el método gráfico para resolver los siguientes sistemas de ecuaciones, indicando si son
compatibles o incompatibles, determinados o indeterminados:
a)
x  y  5

x  y  3
b)
6x  15y  2

4x  10y  1 
c)
3x  y  5 

6x  2y  10
303
Matemáticas 3º ESO

1)
SISTEMAS
Resuelve los siguientes sistemas por el método de sustitución:
a)
2)
b)
x  3y  9

x  y  17
c)
3x  5y  29

5x  2y  7 
Resuelve los siguientes sistemas por el método de reducción:
a)

6x  y  5 

3x  3y  15
2x  y  13

xy 2 
b)
4x  3y  29

5x  3y  16 
c)
5x  4y  2 

3x  2y  10
EL GITANO Y EL BURRO
Un gitano compró un burro por 17000 ptas. Lo vendió por 18000 ptas. Lo volvió a comprar por 19000
ptas y de nuevo lo vendió por 20000 ptas. ¿Crees que el gitano ha hecho un buen negocio?.

UNA BOTELLA DE VINO
Una botella de vino cuesta 100 pesetas. El vino vale 90 pesetas más que la botella. ¿Cuánto vale la
botella?.

EL CABALLO Y EL MULO
Un caballo y un mulo caminaban juntos llevando sobre sus lomos pesados sacos. Lamentábase el
jamelgo de su enojosa carga, a lo que el mulo le dijo: “¿De qué te quejas?. Si yo te tomara un saco,
mi carga sería el doble que la tuya. En cambio, si te doy un saco, tu carga se igualará a la mía”.
Decidme, doctos matemáticos, ¿cuántos sacos llevaba el caballo y cuántos el mulo?.
304
Gráficas y funciones

CONSTRUCCIÓN DE POZOS
Una empresa A que se dedica a construir pozos ofrece el siguiente presupuesto:
Maquinaria y mano de obra: 200 euros.
Cada metro perforado: 50 euros.
¿Cuál será el coste de un pozo en función de los metros que haya sido necesario perforar hasta
encontrar agua?. Dibuja la gráfica que muestre cómo varía el precio según los metros.
Otra empresa B, del mismo ramo, cobra sólo por metro perforado: 100 euros. Si un estudio previo
pronostica la presencia de una corriente subterránea de 5 ó 6 metros de profundidad, ¿cuál de las
dos empresas interesa elegir?. ¿Y si el pronóstico es de 10 metros?.

GASOLINA Y GASOLEO
Un coche de gasolina, de marca A, cuesta 17000 euros y consume 12 litros cada 100 km. El precio
de la gasolina es 1,08 euros / l. Calcula el gasto, G, en función del número, x, de kilómetros
recorridos. Otro coche de gasóleo, de marca B, cuesta 20000 euros y consume 7 litros cada 100 km.
el litro de gasóleo cuesta 0,70 euros. Calcula el gasto, G’, en función del número, x, de kilómetros
recorridos.
Representa gráficamente las funciones G y G’, que dan el gasto en función del número de km
recorridos. ¿A partir de cuántos kilómetros recorridos empieza a resultar más barato el de gasóleo
que el de gasolina?.

CONTRATO DE TRABAJO
En el contrato de trabajo a un vendedor de libros se le ofrecen dos alternativas:
A: Sueldo fijo mensual de 1000 euros.
B: Sueldo fijo mensual de 800 euros más el 20% de las ventas que haga.
a) Haz una gráfica que muestre lo que ganaría en un mes según la modalidad del contrato. Toma
como variable independiente las ventas que haga y como variable dependiente el sueldo.
b) ¿A cuánto tienen que ascender sus ventas para ganar lo mismo con las dos modalidades del
contrato?. ¿Cuáles son esas ganancias?. ¿Qué modalidad de contrato le interesa más?.
305
Matemáticas 3º ESO

ENTRENAMIENTO CICLISTA
Un ciclista realiza su entrenamiento diario para la próxima Vuelta Ciclista. El entrenamiento consiste
en un recorrido de varios kilómetros por una carretera recta y horizontal, una breve parada para
reponer fuerzas y la subida a una montaña cercana, con una nueva parada en la cima para
descansar y posterior bajada de regreso a casa. Su entrenador ha ido anotando los tiempos en
diferentes tramos y ha realizado el siguiente gráfico del recorrido en un día cualquiera.
a) ¿Cuántos kilómetros ha recorrido hoy el ciclista? ¿Cuánto tiempo ha empleado en cada parada?
¿Qué distancia ha subido y ha bajado?
b) ¿Cuál es la velocidad media en los primeros 30 minutos? ¿Y en los 10 primeros minutos? ¿Y
entre el minuto 20 y el 30? Recuerda que la velocidad media es el cociente entre el espacio
recorrido y el tiempo empleado en dicho recorrido.
c) Calcula la velocidad media en los siguientes intervalos de tiempo, expresados en minutos: [40,50]
[50, 60], [50, 70], [80, 90], [90, 120], [90, 100], [100, 120].
d) ¿Por qué la velocidad media del ciclista no es constante mientras sube o baja la montaña?
306
Gráficas y funciones

PENDIENTE DE UNA CARRETERA
El perfil de la ladera de una montaña de una zona pirenaica se indica en la siguiente gráfica. En ella
figuran las altitudes de distintos pueblos, B, C, D, E, del recorrido y sus distancias horizontales
respecto de un pueblo del valle, A, situado a 900 m de altura.
a)
Calcula la variación de altura cada 5 km del recorrido.
b)
¿Cuál es la variación de altura cada dos pueblos?
c)
Calcula la pendiente de un posible tramo recto de carretera que uniera los pueblos A y B, y otro
que uniera B y C, otro C y D, y un último que uniera D y E.
d)
La pendiente máxima autorizada para estos tramos es del 7%. El tramo que une C y D, ¿tiene la
pendiente máxima autorizada?
Dada una función x  f(x), llamamos tasa de variación media de dicha función en el
f(b) - f(a)
intervalo a, b al cociente:
tvm f a, b 
b-a
En un diagrama sagital, la tasa de variación media viene dada como un cociente de
segmentos paralelos.
En un diagrama cartesiano, la tasa de variación media viene dada como un cociente de
segmentos perpendiculares (uno vertical y otro horizontal).
307
Matemáticas 3º ESO

PARÁBOLAS
Dibuja la gráfica de la función y  x 2 , construyendo previamente una tabla de valores. Recuerda que
la variable x puede tomar tanto valores positivos, cero, como negativos.
a) Estudia el perfil obtenido. ¿Para qué valores de x es creciente?. ¿Y decreciente?. ¿Tiene
máximo?. ¿Tiene mínimo?. ¿Podrías obtener toda la gráfica con sólo tener media parte?.
¿Cómo?.
La gráfica de la función y  x 2 es una curva llamada parábola y tiene las siguientes
propiedades:

Es simétrica respecto del eje de ordenadas (eje OY), es decir, al doblar el papel por
dicho eje coinciden las dos ramas de la curva. Esto significa que al cambiar x por x en
la fórmula de la función, la y no cambia. Se dice que la función es par.
 El punto más bajo (origen de coordenadas) es el vértice de la parábola. A la izquierda del
vértice la función es decreciente, y a la derecha creciente.
b) Utilizando cartulina resistente construye una plantilla con el perfil de la gráfica anterior y usa dicha
plantilla para dibujar las gráficas de las siguientes parábolas:
1) y  x 2  3
2) y  x 2  4
3) y  x  4
4) y  x  3
2
2
Para ello te servirá de ayuda comparar las tablas de valores de estas funciones con la de y  x 2 .
c) Utiliza la plantilla de y  x 2 para dibujar las siguientes parábolas:
1) y   x 2
2) y  x 2  3
3) y  x 2  4
4) y  x  4
2
5) y  x  3
2
d) Dibuja en unos mismos ejes de coordenadas las gráficas de las siguientes funciones:
y  x 2 , y  2x 2 , y  0'5x2 . ¿Puedes utilizar ahora la plantilla de y  x 2 ?. ¿Qué relación existe
entre las tres gráficas?.
La gráfica de la función y  a  x  p2 es una parábola cuyo vértice es el punto de
coordenadas V(p, 0) y es simétrica respecto de la vertical x = p que pasa por el vértice. El
vértice de la parábola es un mínimo si a>0 y es un máximo si a<0.
La gráfica de la función y  a  x  p2 se obtiene desplazando la gráfica de la parábola
y  a  x 2 , p unidades hacia la derecha.
La gráfica de la función y  a  x 2  q es una parábola cuyo vértice es el punto de
coordenadas V(0, q) y es simétrica respecto del eje vertical. El vértice de la parábola es un
mínimo si a>0 y es un máximo si a<0.
308
Gráficas y funciones
La gráfica de la función y  a  x 2  q se obtiene desplazando la gráfica de la parábola
y  a  x 2 , q unidades hacia arriba.
Para localizar el vértice de cualquier parábola basta considerar dos puntos simétricos
A(a, b) y B(c, d) de la misma. Observa la figura.
La abcisa x del vértice es la media aritmética de a y c, x 
ac
. La ordenada y del vértice
2
se obtiene sustituyendo este valor de x en la fórmula de la parábola.
El problema es... ¿cómo obtener dos puntos simétricos de la parábola?. Con un poco de
suerte podrás verlos en la misma tabla de valores.
e) Localiza el vértice de las siguientes parábolas y represéntalas gráficamente:
1) y  x 2  7
4) y 
f)
2 2
x 4
3
2) y  x  52
3) y  2x 2  3
5) y  x 2  5x  6
6) y  x 2  10x  32
Averigua cuál es la fórmula que corresponde a cada una de las siguientes parábolas:
309
Matemáticas 3º ESO
g) Dada la parábola y  3x 2  8 ,

¿Para qué valor de x es y = 35 ?. ¿Es único?.

¿Para qué valor de x es y = 20 ?. ¿Es único?.

¿Para qué valor de x es y = 8 ?. ¿Es único?.

¿Para qué valor de x es y = 5 ?. ¿Qué ocurre?.

¿Hay algún valor de x para el que y = 0 ?.

¿Cuál es el conjunto imagen de esta función?.
h) Dada la parábola y  3x  22 ,
310

¿Para qué valor de x es y = 27 ?. ¿Es único?.

¿Para qué valor de x es y = 12 ?. ¿Es único?.

¿Para qué valor de x es y = 0 ?. ¿Es único?.

¿Para qué valor de x es y = 5 ?. ¿Qué ocurre?.

¿Hay algún valor de x para el que y < 0 ?.

¿Cuál es el conjunto imagen de esta función?.
Gráficas y funciones

DUPLICACIÓN
Si en un círculo duplicamos el perímetro, ¿se duplica el área también?
¿Puede ser una recta la gráfica de perímetro  área? Dibuja la gráfica correspondiente.

BOLÍGRAFOS
Un comerciante ha comprado una partida de bolígrafos a 100 ptas. unidad. Por lo que ha ocurrido
otras veces, el comerciante sabe que, si los pone a la venta a 150 ptas. no vendería ninguno; pero,
reducir sus ganancias haría aumentar su venta. Si los pone a la venta a 145 ptas. vendería 200 de
ellos y, por cada 5 ptas. que rebaje, aumentaría su venta en 200 unidades.
¿Cuál de las gráficas que siguen será la adecuada para presentar la relación
Beneficios?.
Precio de venta 
Justifica tu elección y estudia a qué precio le interesaría vender cada bolígrafo para conseguir unos
beneficios máximos.

NARANJAS
Tenemos 200 kg de naranjas que hoy se venderían a 0,40 euros / kg. Cada día que pase se
estropeará 1 kg y el precio aumentará 0,01 euros/kg.
a)
¿Cuándo hemos de vender las naranjas para obtener el máximo beneficio?
b)
¿Cuál sería ese máximo beneficio?
311
Matemáticas 3º ESO

LA PALANCA
La palanca es un dispositivo mecánico que consiste en una barra rígida apoyada sobre un eje,
alrededor del cual puede girar.
Si el brazo largo es de longitud doble que el corto, entonces el peso que levanta el brazo corto es
doble que el que levanta el brazo largo.
Si el brazo largo es de longitud triple que el corto, entonces el peso que levanta el brazo corto es
triple que el que levanta el brazo largo.
a) En general, si a y b son las longitudes de cada brazo de la palanca, y m y n los pesos respectivos
en sus extremos, escribe la relación que hay entre a, b, m y n.
b) Imagina que a=1 metro y m= 1 kg. Escribe la relación entre b y n. Dibuja una gráfica que muestre
la variación de n al variar b. ¿Toca la gráfica a los ejes de coordenadas?.

FUNCIONES HIPERBÓLICAS
1
en unos ejes coordenados, construyendo previamente una
x
tabla de valores. Da a x valores tanto positivos como negativos.
1) Dibuja la gráfica de la función x 
¿Cuál es el dominio de esta función?. ¿Qué ocurre cuando x se aproxima a 0?. ¿Y en el punto
0?. ¿Qué ocurre cuando x toma valores positivos cada vez más grandes?. ¿Y cuando x toma
valores cada vez más negativos?.
¿Es creciente?. ¿Es decreciente?. ¿Es simétrica?.
3
en unos ejes coordenados, construyendo previamente
x
una tabla de valores. Da a x valores tanto positivos como negativos.
2) Dibuja la gráfica de la función x 
¿Cuál es el dominio de esta función?. ¿Qué ocurre cuando x se aproxima a 0?. ¿Y en el punto
0?. ¿Qué ocurre cuando x toma valores positivos cada vez más grandes?. ¿Y cuando x toma
valores cada vez más negativos?.
¿Es creciente?. ¿Es decreciente?. ¿Es simétrica?.
312
Gráficas y funciones
2
en unos ejes coordenados, construyendo previamente
x
una tabla de valores. Da a x valores tanto positivos como negativos.
3) Dibuja la gráfica de la función x 
Haz un estudio de esta función, de forma análoga a las de los apartados anteriores.
¿Qué relación existe entre las funciones x 
Las funciones del tipo x 
a
con a > 0 y con a < 0 ?.
x
a
se llaman hipérbolas y tienen las siguientes propiedades:
x
1) Su dominio es todos los números, salvo x = 0.
2) Es creciente si a < 0 y decreciente si a > 0.
3) Es simétrica respecto del origen de coordenadas, es decir, al doblar el papel por los dos
ejes de coordenadas, consecutivamente, coinciden las dos ramas de la curva.
4) Cuando x se acerca a 0, los valores de la función se hacen cada vez más grandes
(positivos o negativos). Se dice que la recta x = 0 (eje de ordenadas o eje de las y) es una
asíntota vertical de la curva.
5) Cuando x se hace cada vez más grande (positiva o negativa), los valores de la función se
hacen cada vez más cercanos a 0. Se dice que la recta y = 0 (eje de abcisas, o eje de las
x) es una asíntota horizontal de la curva.
Asíntota de una curva es una recta hacia la que se acerca la curva cada vez más y más, sin
llegar nunca a tocarla.

PROPORCIONALIDAD INVERSA
1) Supongamos que un coche puede circular a velocidad constante durante todo un viaje. Si la
distancia a recorrer es de 480 km, ¿cuánto tardará si circula a 60 km/h?. ¿Y si lleva una velocidad
de 90 km/h?. Haz una tabla que exprese la duración del viaje según las distintas velocidades que
desarrolla. ¿Cuánto vale el producto de la velocidad por el tiempo en todos los casos?.
313
Matemáticas 3º ESO
2
2) El área de un rectángulo es 18 cm . ¿Qué valores pueden tener la base y la altura?. Construye
una tabla con los posibles valores de base y altura y represéntala gráficamente. ¿Cuánto vale el
producto de base por altura en todos los casos?.
Si el producto de los valores correspondientes de dos magnitudes x e y es constante, se
dice que dichas magnitudes son inversamente proporcionales y se cumple:
x y = k
k
y= .
o bien
x
La representación gráfica de una proporcionalidad inversa es una hipérbola.

INVERSAMENTE PROPORCIONALES
Averigua cuáles de las siguientes magnitudes son inversamente proporcionales:
1) Número de obreros y tiempo que tardan en hacer una valla.
2) Espacio recorrido por un móvil y tiempo empleado en recorrerlo.
3) Número de grifos de una bañera y tiempo que tarda en llenarla.
4) Tiempo que se tarda en limpiar un monte y número de personas que realizan la limpieza.
5) Número de kilos de manzanas compradas y precio que se abona.
6) Tiempo que se tarda en hacer un viaje en avión y velocidad del mismo.
7) Número de litros de aceite que se pueden comprar con 5000 ptas y precio del litro.
8) El coste del agua de una garrafa y el volumen de agua que contiene.
314
Gráficas y funciones

FABRICACIÓN DE CAMISETAS
El coste por unidad de fabricación de una camiseta es 200 
2000
, donde n representa el número de
n
camisetas fabricadas de ese modelo.
Describe cómo varía el precio / camiseta, si varía el número de camisetas confeccionadas y dibuja
una gráfica aproximada que presente esa variación. ¿Cuántas camisetas se deberían encargar para
que salieran a 3 euros.?. ¿Y a 1,50 euros?

UN PRODUCTO
El producto de dos números es 20. ¿Cuáles pueden ser estos números?.
Busca algún procedimiento general para hallar uno de los factores conociendo el otro.
¿Qué forma tendrá la gráfica de la relación 1er factor  2º factor ?.

ÁNGULOS EN UN POLÍGONO REGULAR
En un polígono regular la medida de los ángulos central e interior varía según el número de lados.
Dibuja las gráficas correspondientes a:
a) nº de lados  ángulo central

b) nº de lados  ángulo interior.
ÁREA CONSTANTE
2
Se quiere construir un gran ventanal rectangular de 26 m de luz. Manteniendo constante su área, si
modificamos su base variará también la altura:
Base (en metros)
36
18
16
14
12
10
8
6
4
2
1
Altura (en metros)
Completa la tabla, dibuja la gráfica correspondiente y coméntala.
315
Matemáticas 3º ESO
5. Problemas de proporcionalidad

ELECCIONES
Las últimas elecciones al ayuntamiento de Castrópolis, con 21 concejales, han arrojado los siguientes
resultados:
Partido Regular.........................................5600 votos
Partido Natural..........................................3650 votos
Unión de Fuerzas Locales........................1250 votos
Expresa por medio de fracciones y porcentajes los votos de cada candidatura. Si el reparto de
concejales se hiciese por el sistema proporcional, ¿cuántos concejales deberían adjudicarse a cada
candidatura?.

TRES SOCIOS
Para formar el capital de un pequeño negocio se reúnen tres socios, que aportan, respectivamente,
1000, 1500 y 2000 euros. Al cabo de un año los beneficios han sido de 500 euros. ¿Cuánto
corresponderá a cada socio, si desea repartir el beneficio de forma directamente proporcional al
capital aportado por cada uno?.
316
Gráficas y funciones

ANTENA COLECTIVA
Dos comunidades de vecinos deciden instalar una antena de televisión colectiva cuyo coste es de
1560 euros. Si en cada comunidad viven 75 y 55 vecinos, respectivamente, y deciden pagar
proporcionalmente, ¿cuánto deberá pagar cada comunidad?. ¿Y cada vecino?.

LOTERÍA
a) Dos amigos, Virgilio y Basilio, compran un décimo de lotería que cuesta 30 euros. Virgillio paga
20 euros y Basilio 10 euros. El décimo resulta premiado con 15000 euros y deciden repartirse los
beneficios de forma proporcional. ¿Cuánto corresponde a cada uno?.
b) Tres amigos juegan un décimo de lotería en Navidad, que resulta premiado con 60000 euros.
Calcula cuánto corresponde a cada uno, sabiendo que el primero juega el doble que el segundo y
éste el triple que el tercero.

TRANSPORTE
Para enviar un paquete de 5 kg de peso a una población que está a 60 km de distancia, una empresa
de transporte me ha cobrado 13,50 euros. ¿Cuánto me costará enviar un paquete de 15 kilos a 200
km de distancia?.
317
Matemáticas 3º ESO

¡VAYA TELA!
Una pieza de tela de 2’5 m de larga y 80 cm de ancha cuesta 5000 ptas. ¿Cuánto costará otra pieza
de tela de la misma calidad de 3 m de larga y 1’20 m de ancha?.

CINE
Un cine, dando dos sesiones diarias, puede dar entrada a 18000 personas en 30 días. ¿A cuántas
personas podrá recibir este local en 45 días si amplia su oferta a tres sesiones diarias?

PINTORES
Si 4 pintores, trabajando 8 horas diarias durante 12 días han pintado 8 viviendas, ¿cuántos pintores
se necesitarán para que, trabajando 6 horas al día, pinten 15 viviendas en 10 días?.
318