1.. actividades tema 11

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. ACTIVIDADES TEMA 11
1. Un ejercicio de ecuaciones diferenciales. Obténgase la solución
general de la ecuación diferencial homogénea:
y − 2y + 2y = 0.
Solución. La ecuación diferencial tiene como ecuación característica:
λ2 − 2λ + 2 = 0,
y sus raíces son:
λ1 = 1 + i, λ2 = 1 − i.
En consecuencia1 , la solución general de la ecuación diferencial es:
y (x) = c1 z1 (x) + c2 z2 (x) = c1 ex sen x + c2 ex cos x.
2. Un ejercicio de ecuaciones diferenciales. Obténgase la solución general de la ecuación diferencial:
y (iv + y − y − y = 9x 2 − 6x + 1.
(1)
Solución. La solución general de la ecuación diferencial es:
y (x) = yh (x) + yp (x),
donde yh(x) es la solución general de la ecuación diferencial homogénea
asociada, e yp (x) es una solución particular de la ecuación diferencial
completa (1).
La ecuación diferencial homogénea asociada es:
y (iv + y − y − y = 0,
y tiene como ecuación característica:
λ4 + λ3 − λ2 − λ = 0.
Las raíces de la ecuación característica son:
λ1 = 0 (raíz simple), λ2 = 1 (raíz simple), λ3 = −1 (raíz doble).
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Si α ± iβ es un par de raíces complejas (conjugadas) simples, consideramos
como par de soluciones z1 (x) y z2 (x) de la ecuación diferencial homogénea:
eαx sen(βx) y eαx cos(βx).
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En consecuencia, la solución general de la ecuación homogénea asociada
es:
yh (x) = c1 + c2 ex + c3 e−x + c4 xe−x .
Para encontrar una solución particular de la ecuación completa (1),
como cero es raíz simple de la ecuación característica de la ecuación homogénea asociada, y el término independientes 9x 2 −6x +1 un polinomio
de grado dos, ensayamos la función2 :
yp (x) = x(Ax 2 + Bx + C) = Ax 3 + Bx 2 + Cx.
Sus derivadas sucesivas son:
⎧ ⎪
yp = 3Ax 2 + 2Bx + C,
⎪
⎪
⎪
⎨y = 6Ax + 2B,
p
⎪
y
⎪
p = 6A,
⎪
⎪
⎩ (iv
yp = 0,
que al sustituir en la ecuación completa (1), resulta:
−3Ax 2 − (6A + 2B)x + 6A − 2B − C = 9x 2 − 6x + 1,
luego:
⎧
⎪
⎪
⎨−3A = 9
−6A − 2B = −6
⎪
⎪
⎩6A − 2B − C = 1
→ A = −3,
→ B = 12,
→ C = −43,
y, por tanto:
yp (x) = −3x 3 + 12x 2 − 43x.
En conclusión, la solución general de la ecuación diferencial (1) es:
y (x) = yh (x) + yp (x) = c1 + c2 ex + c3 e−x + c4 xe−x − 3x 3 + 12x 2 − 43x.
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Si el término independiente es un polinomio de grado m y λ = 0 raíz de mul-
tiplicidad k de la ecuación característica, ensayamos la función: x k pm (x), donde
pm (x) es un polinomio de coeficientes indeterminados de grado m. Si λ = 0 NO
es raíz de la ecuación característica, ensayamos la función: pm (x), donde pm (x)
es un polinomio de coeficientes indeterminados de grado m.
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3. Un ejercicio de ecuaciones diferenciales. Obténgase la solución general de la ecuación diferencial:
y + y = sen x.
(2)
Solución. La solución general de la ecuación diferencial (2) es:
y (x) = yh (x) + yp (x),
donde yh(x) es la solución general de la ecuación diferencial homogénea
asociada, e yp (x) es una solución particular de la ecuación diferencial
completa (2).
La ecuación diferencial homogénea asociada es:
y + y = 0,
y tiene como ecuación característica:
λ2 + 1 = 0.
Las raíces de la ecuación característica son:
λ1 = i, λ2 = −i.
En consecuencia3 , la solución general de la ecuación diferencial homogénea es:
yh (x) = c1 z1 (x) + c2 z2 (x) = c1 sen x + c2 cos x.
3
Si α ± iβ es un par de raíces complejas (conjugadas) simples, consideramos
como par de soluciones z1 (x) y z2 (x) de la ecuación diferencial homogénea:
eαx sen(βx) y eαx cos(βx).
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Para encontrar una solución particular de la ecuación completa (2), como i es raíz simple de la ecuación característica de la ecuación homogénea
asociada, y el término independiente es sen x, ensayamos la función4 :
yp (x) = x(A cos x + B sen x).
Sus derivadas sucesivas son:
yp = (A + Bx) cos x + (B − Ax) sen x,
yp = (2B − Ax) cos x − (2A + Bx) sen x,
que al sustituir en la ecuación completa (2), resulta:
2B cos x − 2A sen x = sen x
luego:
2B = 0
−2A = 1
→ B = 0,
→ A = −1/2,
y, por tanto:
yp (x) = −1/2x cos x.
En conclusión, la solución general de la ecuación diferencial (2) es:
y (x) = yh(x) + yp (x) = c1 sen x + c2 cos x − 1/2x cos x.
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Si el término independiente es de la forma Pm (x) cos(βx) + Qr (x) sen(βx),
y λ = iβ NO es raíz de la ecuación característica, ensayamos ps (x) cos(βx) +
qs (x) sen(βx), donde ps (x) y qs (x) son polinomios de coeficientes indeterminados de grado s = máx(m, r ). Si λ = iβ es raíz de multiplicidad k de la ecuación
característica, ensayamos x k (ps (x) cos(βx) + qs (x) sen(βx)).
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