Métodos Estadı́sticos en la Ingenierı́a INTERVALOS DE CONFIANZA Intervalo de confianza para la media µ de una distribución normal con varianza σ 2 conocida: n σ 1X σ ♦ X1 , ..., Xn m.a.s. de X ∼ N (µ, σ) Ie = X ± zα/2 √ ♦µ b=X = Xi ∼ N µ, √ n i=1 n n Intervalo de confianza para la media µ de una distribución normal con varianza desconocida: 2 Pn n 2 X 2 X − n X 1 S i i=1 2 ♦µ b = X ♦ σb2 = S = Ie = X ± tn−1; α/2 √ Xi − X = n − 1 i=1 n−1 n √ X −µ S2 √ ∼ tn−1 ♦ X ∼ N µ, σ/ n y (n − 1) 2 ∼ χ2n−1 son independientes =⇒ σ S/ n Intervalo de confianza para la varianza σ 2 de una distribución normal con media µ conocida: ! 2 n n nD2 nD2 1X D2 X Xi − µ 2 2 2 b , Ie = ♦σ =D = (Xi − µ) ∼ χ2n ♦n 2 = χ2n; α/2 χ2n; 1−α/2 n i=1 σ σ i=1 Intervalo de confianza para la varianza σ 2 de una distribución normal con media desconocida: ! 2 n 2 2 2 X X − X (n − 1) S (n − 1) S S i 2 , 2 ∼ χ2n−1 Ie = ♦ σb2 = S ♦ (n − 1) 2 = 2 χn−1; α/2 χn−1; 1−α/2 σ σ i=1 Intervalo de confianza para la diferencia de medias γ = µ1 − µ2 de dos distribuciones normales independientes con varianzas σ12 y σ22 conocidas: s ! r 2 2 2 2 σ1 σ2 σ1 σ2 Ie = X − Y ± zα/2 + ♦γ b = X − Y ∼ N µ 1 − µ 2 , + n1 n2 n1 n2 ♦ X1 , . . . , Xn1 m.a.s. de X ∼ N (µ1 , σ1 ) ; Y1 , . . . , Yn2 m.a.s. de Y ∼ N (µ2 , σ2 ) X e Y independientes. Intervalo de confianza para la diferencia de medias µ1 − µ2 de dos distribuciones normales independientes con varianzas desconocidas e iguales (σ12 = σ22 = σ 2 ): s 2 2 Sp Sp (n1 − 1) S12 + (n2 − 1) S22 Ie = X − Y ± tn1 +n2 −2; α/2 ♦ Sp2 = + n1 n2 n1 + n2 − 2 r X −Y ∼N (n1 + n2 − 2) µ 1 − µ2 , 2 2 σ σ + n1 n2 Sp2 ∼ χ2n1 +n2 −2 σ2 ! indep. 1 =⇒ X − Y − (µ1 − µ2 ) r ∼ tn1 +n2 −2 1 1 Sp + n1 n2 Intervalo de confianza para la diferencia de medias γ = µ1 − µ2 de dos distribuciones normales independientes con varianzas desconocidas y distintas (σ12 6= σ22 ): r X − Y ± tf ; α/2 Ia = S12 S22 + n1 n2 ! 2 ♦f = (S12 /n1 + S22 /n2 ) X −Y −γ a r 2 − 2 ♦ ≈ tf S1 S22 (S12 /n1 ) (S22 /n2 )2 + + n1 n2 n1 + 1 n2 + 1 2 Intervalo de confianza para el cociente de varianzas β = σ12 /σ22 de dos distribuciones normales independientes con medias µ1 y µ2 conocidas: Ie = D12 /D22 D12 /D22 , Fn1 , n2 ; α/2 Fn1 , n2 ; 1−α/2 χ2n1 D2 /σ 2 n ♦ 12 12 ∼ 21 ≡ Fn1 ,n2 χn2 D2 /σ2 n2 D2 ♦ βb = 12 D2 Intervalo de confianza para el cociente de varianzas β = σ12 /σ22 de dos distribuciones normales independientes con medias desconocidas: S12 /S22 Ie = S12 /S22 , χ2n1 −1 S 2 /σ 2 n −1 ♦ 12 12 ∼ 12 ≡ Fn1 −1,n2 −1 χn2 −1 S2 /σ2 n2 − 1 S2 ♦ βb = 12 S2 Fn1 −1, n2 −1; α/2 Fn1 −1, n2 −1; 1−α/2 Intervalo de confianza para la diferencia media µD = µX −µY de datos apareados (Xi , Yi ) i = 1, ..., n. Se supone que D = X − Y ∼ N (µD , σD ) con σD desconocida: Ie = SD D ± tn−1; α/2 √ n D − µD √ ∼ tn−1 ; SD / n n ♦µ bD = D = Di = Xi − Yi i = 1, ..., n; 1X Di n i=1 n 2 2 ♦ σc D = SD = 2 1 X Di − D n − 1 i=1 D1 , . . . , Dn m.a.s. de D = X − Y ∼ N (µD , σD ) Intervalos de confianza para el parámetro p de una distribución binomial X ∼ B(n, p), n grande: r Ia = pb ± zα/2 pb (1 − pb) n s Ia = sen2 arcsen 2 zα/2 zα/2 nb p + 3/8 ± √ n + 3/4 2 n ♦ X ∼ B(n, p) ≈ N np, Ie = p np(1 − p) 2 zα/2 nb p+ ± zα/2 nb p (1 − pb) + 2 4 Ia = 2 n + z α/2 ! !! ♦ pb = s a s ♦ arcsen X No total de éxitos = o n N total de pruebas X + 3/8 a ≈N n + 3/4 √ 1 arcsen p, √ 2 n (X + 1) F2(X+1), 2(n−X); α/2 X , X + (n − X + 1) F2(n−X+1), 2X; α/2 (n − X) + (X + 1) F2(X+1), 2(n−X); α/2 2 Intervalo de confianza para la diferencia de parámetros w = p1 − p2 de dos distribuciones binomiales independientes X1 ∼ B(n1 , p1 ) y X2 ∼ B(n2 , p2 ) con n1 y n2 grandes: r pb1 (1 − pb1 ) pb2 (1 − pb2 ) X1 X2 Ia = (b p1 − pb2 ) ± zα/2 + ♦w b = pb1 − pb2 = − n1 n2 n1 n2 p a ♦ X1 − X2 ≈ N n1 p1 − n2 p2 , n1 p1 (1 − p1 ) + n2 p2 (1 − p2 ) b grande): Intervalos de confianza para el parámetro λ de una distribución de Poisson X ∼ P (λ), (nλ s q 2 2 b zα/2 z zα/2 4λ α/2 b ± zα/2 λ/n b b+ Ia = λ Ia = λ ± + 2 2n 2 n n ( Ia = máx 0, ♦ n X 2 zα/2 3 b − √ λ+ 8n 2 n r !)2 (r 2 zα/2 3 b + √ λ+ 8n 2 n , √ a Xi ∼ P (nλ) ≈ N nλ, nλ )2 p a b=X≈ ♦λ N λ, λ/n i=1 λ grande ♦ X ∼ P (λ) =⇒ p Ie = a X + 3/8 ≈ N √ λ, 1/2 ! ♦ χ22K; 1−α/2 χ22K+2; α/2 , 2n 2n q a b + 3/8 ≈ N nλ ♦K= n X √ nλ, 1/2 Xi i=1 Intervalos de confianza para la diferencia de parámetros δ = λ1 − λ2 de dos distribuciones de Poisson b 1 y n2 λ b2 grandes): independientes X ∼ P (λ1 ) e Y ∼ P (λ2 ) , (n1 λ p s a b b b λ = X ≈ N λ , λ /n 1 1 1 1 b1 − λ b2 ± zα/2 λ1 + λ2 b1 −λ b2 p Ia = λ ♦ δb = λ ♦ a b2 = Y ≈ λ n1 n2 N λ2 , λ2 /n2 Intervalo de confianza para el parámetro λ de una distribución exponencial X ∼ Exp (λ): ! n X χ22n; 1−α/2 χ22n; α/2 2n 1 , Ie = ♦ 2nλX = 2λ Xi ∼ G , ≡ χ22n 2 2 2nX 2nX i=1 b= n−1 ♦λ n P Xi ♦ Si θ = E [X] = 1/λ =⇒ θb = X i=1 Intervalo de confianza para el cociente de parámetros ω = λ1 /λ2 de dos distribuciones exponenciales independientes X ∼ Exp (λ1 ) e Y ∼ Exp (λ2 ) : Ie = Y /X F2n1 ,2n2 ; 1−α/2 , Y /X F2n1 , 2n2 ; α/2 2n1 λ1 X = 2λ1 2n2 λ2 Y = 2λ2 n1 P i=1 n2 P i=1 Xi ∼ G(n1 , 1/2) ≡ χ22n1 Yi ∼ G(n2 , 1/2) ≡ χ22n2 3 ♦ω b= Y X χ22n1 λ1 /λ2 2n indep. =⇒ ∼ 2 1 ≡ F2n1 , 2n2 χ Y /X 2n2 2n2 Métodos Estadı́sticos en la Ingenierı́a CONTRASTES DE HIPÓTESIS PARAMÉTRICAS Contrastes de hipótesis para la media µ de una distribución normal con varianza σ 2 conocida: H 0 : µ = µ0 H1 : µ 6= µ0 R = | Z |≥ zα/2 H 0 : µ ≤ µ0 H1 : µ > µ0 ♦Z= R = {Z ≥ zα } X − µ0 H0 √ ∼ N (0, 1) σ/ n H 0 : µ ≥ µ0 H1 : µ < µ0 R = {Z ≤ −zα } Contrastes de hipótesis para la media µ de una distribución normal con varianza desconocida: H 0 : µ = µ0 H1 : µ 6= µ0 R = | T |≥ tn−1; α/2 ♦T = H 0 : µ ≤ µ0 H1 : µ > µ0 R = {T ≥ tn−1; α } X − µ0 H0 √ ∼ tn−1 S/ n H 0 : µ ≥ µ0 H1 : µ < µ0 R = {T ≤ −tn−1; α } Contrastes de hipótesis para la varianza σ 2 de una distribución normal con media µ conocida: H0 : σ = σ0 H1 : σ 6= σ0 n o R= W ∈ / χ2n; 1−α/2 , χ2n; α/2 H0 : σ ≤ σ0 H1 : σ > σ0 R= W ≥ χ2n; α ♦W =n D2 H0 2 ∼ χn σ02 H0 : σ ≥ σ0 H1 : σ < σ0 R = W ≤ χ2n; 1−α Contrastes de hipótesis para la varianza σ 2 de una distribución normal con media desconocida: H0 : σ = σ0 H1 : σ 6= σ0 H0 : σ ≤ σ0 H1 : σ > σ0 n o 2 2 R= W ∈ / χn−1; 1−α/2 , χn−1; α/2 R= W ≥ χ2n−1; α ♦ W = (n − 1) H0 : σ ≥ σ0 H1 : σ < σ0 S 2 H0 2 ∼ χn−1 σ02 R = W ≤ χ2n−1; 1−α Contrastes para la diferencia de medias γ = µ1 − µ2 de dos distribuciones normales independientes con varianzas σ12 y σ22 conocidas: H0 : µ1 − µ2 = γ0 H1 : µ1 − µ2 6= γ0 H0 : µ1 − µ2 ≤ γ0 H 1 : µ1 − µ2 > γ 0 R = | Z |≥ zα/2 X − Y − γ0 H0 ♦Z= r 2 ∼ N (0, 1) σ1 σ22 + n1 n2 H0 : µ1 − µ2 ≥ γ0 R = {Z ≤ −zα } H 1 : µ1 − µ2 < γ 0 R = {Z ≥ zα } 4 Contrastes para la diferencia de medias γ = µ1 − µ2 de dos distribuciones normales independientes con varianzas desconocidas e iguales (σ12 = σ22 = σ 2 ): H0 : µ1 − µ2 = γ0 H1 : µ1 − µ2 6= γ0 H0 : µ1 − µ2 ≤ γ0 H 1 : µ1 − µ2 > γ 0 R = | T |≥ tm; α/2 X − Y − γ0 H0 r ♦T = ∼ tm ; m = n1 + n2 − 2 1 1 Sp + n1 n2 H0 : µ1 − µ2 ≥ γ0 R = {T ≤ −tm; α } H 1 : µ1 − µ2 < γ 0 R = {T ≥ tm; α } Contrastes para la diferencia de medias γ = µ1 − µ2 de dos distribuciones normales independientes con varianzas desconocidas y distintas (σ12 6= σ22 ): H0 : µ1 − µ2 = γ0 H1 : µ1 − µ2 6= γ0 H0 : µ1 − µ2 ≤ γ0 H 1 : µ1 − µ2 > γ 0 R ' | T |≥ tf ; α/2 X − Y − γ0 H0 ♦T = r 2 ≈ tf S1 S22 + n1 n2 H0 : µ1 − µ2 ≥ γ0 R ' {T ≤ −tf ; α } H 1 : µ1 − µ2 < γ 0 R ' {T ≥ tf ; α } Contrastes para el cociente de varianzas β = σ12 /σ22 de dos distribuciones normales independientes con medias µ1 y µ2 conocidas: H0 : β = β0 H1 : β 6= β0 H0 : β ≤ β0 H 1 : β > β0 R= F ∈ / Fn1 ,n2 ; 1−α/2 , Fn1 ,n2 ; α/2 R = {F ≥ Fn1 ,n2 ; α } ♦F = H0 : β ≥ β0 H 1 : β < β0 D12 /D22 H0 ∼ Fn1 ,n2 β0 R = {F ≤ Fn1 ,n2 ; 1−α } Contrastes para el cociente de varianzas β = σ12 /σ22 de dos distribuciones normales independientes con medias desconocidas: S 2 /S 2 H H0 : β = β0 R= F ∈ / Fn1 −1,n2 −1; 1−α/2 , Fn1 −1,n2 −1; α/2 ♦ F = 1 2 ∼0 Fn1 −1,n2 −1 H1 : β 6= β0 β0 H0 : β ≤ β0 H 1 : β > β0 R = {F ≥ Fn1 −1,n2 −1; α } H0 : β ≥ β0 H 1 : β < β0 R = {F ≤ Fn1 −1,n2 −1; 1−α } Contrastes para la diferencia de las medias µD = µX −µY de dos distribuciones apareadas. Se supone que D = X − Y ∼ N (µD , σD ) con σD desconocida: H 0 : µD = µ0 H1 : µD 6= µ0 H 0 : µD ≤ µ0 H 1 : µD > µ 0 R = | T |≥ tn−1; α/2 ♦T = R = {T ≥ tn−1; α } 5 D − µ0 H0 √ ∼ tn−1 SD / n H 0 : µD ≥ µ0 H 1 : µD < µ 0 R = {T ≤ −tn−1; α } Contrastes para el parámetro p de una distribución binomial X ∼ B(n, p) con n grande: H0 pb − p0 H0 : p = p 0 ♦Z= p ≈ N (0, 1) R ' | Z |≥ zα/2 H1 : p 6= p0 p0 (1 − p0 ) /n H0 : p ≤ p 0 H0 : p ≥ p 0 R ' {Z ≥ zα } R ' {Z ≤ −zα } H1 : p > p0 H1 : p < p0 Contrastes sobre la relación entre los parámetros p1 y p2 de dos distribuciones binomiales independientes X1 ∼ B(n1 , p1 ) y X2 ∼ B(n2 , p2 ); ( n1 y n2 grandes; pb = (X1 + X2 ) / (n1 + n2 ) ): H0 pb1 − pb2 H0 : p 1 = p 2 ♦Z= s ≈ N (0, 1) R ' | Z |≥ zα/2 H1 : p1 6= p2 1 1 + pb (1 − pb) n1 n2 H0 : p 1 ≤ p 2 H0 : p 1 ≥ p 2 R ' {Z ≥ zα } R ' {Z ≤ −zα } H1 : p 1 > p 2 H1 : p 1 < p 2 Contrastes para H0 : H1 : H0 : H1 : b grande): el parámetro λ de una distribución de Poisson X ∼ P (λ), (nλ λ = λ0 λ 6= λ0 R ' | Z |≥ zα/2 λ ≤ λ0 λ > λ0 R ' {Z ≥ zα } b − λ0 H0 λ ♦Z= p ≈ N (0, 1) λ0 /n H0 : λ ≥ λ0 R ' {Z ≤ −zα } H1 : λ < λ 0 Contrastes sobre la relación entre los parámetros λ1 y λ2 de dos distribuciones de Poisson indepenb b b b b dientes X ∼ P (λ1 ) e Y ∼ P (λ2 ); ( n1 λ1 y n2 λ2 grandes; λ = n1 λ1 + n2 λ2 / (n1 + n2 ) ): H 0 : λ1 = λ2 H1 : λ1 6= λ2 H 0 : λ1 ≤ λ2 H 1 : λ1 > λ 2 R ' | Z |≥ zα/2 ♦Z= q R ' {Z ≥ zα } b1 − λ b2 λ H0 ≈ N (0, 1) b 1 + λ/n b 2 λ/n H 0 : λ1 ≥ λ 2 H1 : λ1 < λ 2 R ' {Z ≤ −zα } Contrastes para el parámetro λ de una distribución exponencial X ∼ Exp(λ): o n n P H0 : λ = λ0 H ♦ W = 2nλ0 X = 2λ0 Xi ∼0 χ22n R= W ∈ / χ22n; 1−α/2 , χ22n; α/2 H1 : λ 6= λ0 i=1 H 0 : λ ≤ λ0 H 0 : λ ≥ λ0 2 R = W ≤ χ2n; 1−α R = W ≥ χ22n; α H1 : λ > λ 0 H1 : λ < λ 0 Contrastes para el cociente de parámetros ω = λ1 /λ2 de dos distribuciones exponenciales independientes X ∼ Exp (λ1 ) e Y ∼ Exp (λ2 ) : ω0 H0 H0 : λ1 /λ2 = ω0 R= F ∈ / F2n1 ,2n2 ; 1−α/2 , F2n1 ,2n2 ; α/2 ♦F = ∼ F2n1 ,2n2 H1 : λ1 /λ2 6= ω0 Y /X H0 : λ1 /λ2 ≤ ω0 H0 : λ1 /λ2 ≥ ω0 R = {F ≥ F2n1 ,2n2 ; α } R = {F ≤ F2n1 ,2n2 ; 1−α } H1 : λ1 /λ2 > ω0 H1 : λ1 /λ2 < ω0 6