Ondas mecánicas Carlos L. Beltrán Rı́os 6 de marzo de 2013 1. Hallar la energı́a total de vibración de una cuerda de longitud L fija en ambos extremos que oscila en su modo caracterı́stico n con una amplitud A. La cuerda está sometida a una tensión T y posee una masa total M . 7. Una onda que se propaga por una cuerda, responde a la ecuación, en unidades del S.I.: y(x, t) = 3 × 10−3 sin(80t − 6x) 2. Considere dos ondas que se propagan, en un medio elástico, a lo largo de la dirección x dadas por y1 (x, t) = A1 sin( π2 x − ω1 t) y y2 (x, t) = A2 sin( 3π 2 x − ω2 t), donde x y y están en metros y t en segundos. Determine: Si la cuerda tiene un extremo fijo en la pared, escriba la ecuación de la onda reflejada a) La amplitud de la onda resultante en un punto situado a x = 2 m 8. Una cuerda uniforme, de masa m y longitud L, cuelga de un techo. a) Demostrar que la rapidez de una onda transversal en la cuerda es una función de la distancia y medida desde el extremo inferior y que su valor es √ v = g y b) Demostrar que el tiempo que transcurre para que laq onda transversal recorra la cuerda completa es t = 2 Lg c) ¿ Afecta la masa de la cuerda a los b) En el instante t = 0 ¿cuál es la longitud de onda de la onda? 3. Considere la misma cuerda del problema anterior y calcule la energı́a total si la cuerda esta vibrando de tal forma que se describe su vibración a través de dos modos normales. Dicha vibración se describe como y(x, t) = A1 sin( πx 3π x π ) cos(ω1 t)+A3 sin( ) cos(ω3 t− ) L L 4 resultados de a) y b)?. Determine las expresiones correspondientes. 9. a) ¿ Cómo varı́a la velocidad de propagación de una onda transversal a lo largo de una cuerda si la tensión se duplica?, b) ¿ y si se reduce a la mitad? c) ¿ En cuánto debe modificarse la tensión de la cuerda para duplicar la velocidad de propagación? d) ¿ Y para reducirla a la mitad? 4. Un aro circular de cuerda homogénea se hace girar rápidamente con una velocidad angular constante ω, de manera que se tensa formando una circunferencia de radio R. En un momento dado se forma un rizo en la cuerda. a) ¿ Con qué velocidad se propagará el rizo por la cuerda? b) ¿ Bajo qué condiciones podrá el rizo permanecer estacionario respecto a un observador estacionario? 10. Para cierta onda transversal la distancia entre dos máximos sucesivos es λ y N máximos pasan por un punto dado a lo largo de la dirección de propagación cada t segundos. Determine la velocidad de la onda. 5. Una cuerda homogénea, de longitud L y masa m, cuelga verticalmente sujeta firmemente por su extremo superior. a) Expresar la velocidad de propagación de un pulso transversal a lo largo de la cuerda en función de la distancia x respecto al extremo inferior (libre de la cuerda. b) Calcular el tiempo que empleará dicho pulso en recorrer toda la cuerda. c) Supongamos que sacudimos transversalmente el extremo inferior de la cuerda, con una frecuencia f , de modo que se genere una onda sinusoidal a lo largo de la cuerda. Expresar la longitud de onda, λ, en función de x. 11. Un alambre de longitud L y masa m se estira bajo una tensión T . Si se generan dos pulsaciones, separadas por un intervalo de tiempo ∆t, en cada extremo del alambre, ¿ a que distancia del extremo izquierdo se encuentran las pulsaciones? 6. Un cable uniforme y flexible, de 10 m de longitud y 6 kg de peso, cuelga verticalmente con su extremo superior firmemente sujeto a un soporte. Del extremo inferior del cable se cuelga una pesa de 6 kg. Se golpea transversalmente el cable cerca de su extremo inferior. Calcular el tiempo que empleará la perturbación resultante en llegar al extremo superior del cable. 12. Se puede producir un ruido al perturbar el flujo de aire proveniente de una pitillo de bebida. Si el flujo se perturba con los hoyitos,ver figura, en un disco que gira con frecuencia de 55Hz, ¿en qué circunferencia de hoyos equidistantes hay que soplar para oı́r la nota La de 440Hz? 1 a) Una expresión para la rapidez de una onda que se propaga a lo largo del alambre de un extremo a otro. b) El tiempo en que demora en recorrer la onda la longitud total del alambre. c) Determine la energı́a en el punto inicial y final del alambre. ¿Que puede decir sobre la energı́a, la potencia y la intensidad de la onda a partir de estos resultados? d ) Realice los cálculos anteriores considerando ahora que el radio de la sección transversal del alambre varia uniformemente. • • • • • •• •• • •A• • •B• •• CD •• •E 13. Una onda en una membrana circular se describe a través de la ecuación diferencial ∂Ψ 1 ∂2Ψ 1 ∂2Ψ 1 ∂ ρ + 2 − ρ ∂ρ ∂ρ ρ ∂φ2 v 2 ∂t2 17. Una cuerda muy larga y flexible, de masa µ por unidad de longitud, está estirada horizontalmente sometida a una tensión F . Sujetamos con la mano el punto medio de la cuerda y la sacudimos hacia arriba y abajo imprimiéndole un m.a.s. con una amplitud A y una frecuencia f . En estas condiciones se generan ondas transversales que recorren la cuerda en ambas direcciones. Antes de que el movimiento se complique como consecuencia de las reflexiones en los extremos lejanos de la cuerda, calcular: a) la potencia en función del tiempo que debe suministrar la mano y b) el valor medio de dicha potencia. a) Muestre que una solución a la ecuación diferencial anterior esta dada por Ψ(ρ, φ, t) = , donde ı = A sin(kρ − ωt)e−ımφ kρ √ −1 y m es un número entero. b) Haga una gráfica de Ψ(ρ, φ, t) en el caso m = 0. z 18. Un pulso transversal de amplitud A avanza en el sentido positivo del eje x, a lo largo de una curda de densidad lineal µ, sometida a una tensión F . el pulso se describe por la función A 1 − |ct − x| , si |ct − x| < l l y(x, t) = 0, si |ct − x| > l Determine: x y a) Si el pulso es solución a la ecuación diferencial de onda. b) Dibuje la forma del pulso c) Una expresión para la densidad de energı́a y la energı́a total transportada por el pulso. d ) Calcular la intensidad de la onda (flujo de energı́a) e) Para un valor de x fijo integre el flujo de energı́a en un intervalo de tiempo t ∈ (−∞, ∞). ¿Que puede decir de su resultado? 14. Sea una onda viajera unidimensional g(x, t) = g(x − vt) que se propaga respecto a un sistema de referencia S. Sea S ′ un sistema de referencia, que se mueve respecto ~ = V î, con V > 0. al sistema S con una velocidad V Muestre que vista desde S ′ la onda se propaga con una rapidez |V − v|. 19. Un pulso que viaja por una cuerda, en la dirección x positiva, como el mostrado en la figura, esta descrito por la ecuación 15. En un medio S se propaga una onda armónica Ψ(x, t) = A cos(ωt − kx). Hallar la expresión de la onda en un sistema de referencia S ′ que se mueve en el sentido positivo del eje de las X a una velocidad constante V .¿Como son la longitud de onda y la frecuencia observada desde el sistema S ′ respecto al sistema S y(x, t) = Ae−B(vt−x) . Determine: 16. Un alambre de densidad volumétrica ρ posee una longitud L, esta sometido a una tensión T y posee una sección transversal circular. El alambre esta fabricado de manera que el área de su sección transversal disminuye uniformemente de un extremo a otro. Si se genera un pulso en el extremo de mayor área determine: 2 y 2 v 1 x −2 2 −1 0 1 2 a) Que es solución a la ecuación diferencial de onda unidimensional m b) la velocidad de un punto sobre la cuerda. Determine una expresión para el caso x = 0,5 m′ 20. Supongamos que se propaga una perturbación longitudinal a lo largo de un muelle de constante k, longitud L y masa m, el cual es estirado de uno de sus extremos. Sea ξ el desplazamiento experimentado por una sección del muelle de abscisa x. 23. Las ondas sonoras procedentes de un altavoz se difunden de forma casi uniforme en todas las direcciones del espacio cuando sus longitudes de onda son grandes en comparación con el diámetro del altavoz. Por el contrario, cuando sus longitudes de onda son pequeñas, gran parte de la energı́a acústica se dirige hacia adelante. Calcular, para un altavoz de 20 cm de diámetro, la frecuencia para la cual la longitud de onda del sonido en el aire es: a) 1/10 del diámetro del altavoz, b) igual al diámetro del altavoz y c) 10 veces el diámetro del altavoz. a) Mostrar que la variación de la tensión del muelle varı́a a lo largo del mismo y viene dada por la expresión ∂ξ ∆F = kL ∂x b) Mostrar que la fuerza resultante sobre un elemento del muelle de longitud dx es dF = kL 24. Muestre que la rapidez máxima transversal para una partı́cula en una cuerda es menor que la velocidad de la onda en la cuerda. Recuerde que al deducir la ecuación de la onda en la cuerda se obtiene que A ≪ λ siendo A la amplitud de la onda y λ su longitud de onda. ∂2ξ dx ∂x2 c) Mostrar que la velocidad de propagación de las ondas longitudinales en el muelle es r k v=L m 25. Una cuerda esta formada por dos secciones con densidades lineales µ1 = 0,10 kg/m y µ2 = 0,2 kg/m. Una onda, y(x, t) = (0,050 m) sin(7,5x − 12,0t) con x en metros y t en segundo, incide desde el medio mas ligero. Determine 21. Un alambre de aluminio, cuya longitud es l1 = 60,0 cm y cuya sección transversal es 1,0 × 10−2 cm2 está unido a un alambre de acero de la misma sección transversal. El alambre complejo soporta a un cuerpo m cuya masa es de 10,0 kg, en una disposición como la que se muestra en la figura, de tal manera que la distancia l2 desde la unión hasta la polea de soporte es de 86,6 cm. En el alambre se generan ondas transversales utilizando un generador externo de frecuencia variable. a) Determinar una expresión algebraica para obtener la menor frecuencia de excitación para la cual se observa una onda estacionaria tal que el punto de unión de los alambres sea un nodo. b) ¿Cuál es el número total de nodos que se observan a esta frecuencia, excluyendo los dos extremos del alambre? La densidad del aluminio es de 2,60 g/cm3 y la del acero es de 7,80 g/cm3. l1 a) ¿Cuál es la longitud de onda en la sección mas ligera? b) ¿Cuál es la tensión de la cuerda? c) ¿Cual es la longitud de onda en la sección mas pesada? 26. Una cuerda de un metro de largo tiene dos secciones de igual longitud, con densidades lineales de 0,50 kg/m y 1,0 kg/m. La tensión total de la cuerda es constante. Los extremos oscilan de manera tal que en la cuerda surge una onda estacionaria con un solo nodo donde se unen las cuerdas ¿cuál es la razón entre las frecuencias de oscilación en cada segmento de la cuerda? 27. Demuestre que si la tensión de una cuerda estirada cambia por una pequeña cantidad ∆T , la frecuencia de su modo fundamental cambia en la cantidad 1 ∆T f ∆f = 2 T l2 m 28. Una fuente emite ondas sonoras (S) de longitud de onda λ, un detector (D) se encuentra a una distancia l de la fuente. El sonido llega directamente al detector y también al reflejarse desde un obstáculo (A). El obstáculo esta equidistante de la fuente y el detector. Cuando el obstáculo esta a la distancia d, como se ve en la figura, las ondas llegan al detector en fase (interferencia constructiva). 22. Una cuerda de longitud L se hace vibrar con una frecuencia f = 50 Hz, como se muestra en la figura. Se modifica la masa de m a m′ y el aspecto de la vibración cambia. Determine la relación m′ /m para que la frecuencia permanezca constante. 3 donde Tc es la temperatura en grados Celcius. En aire seco la temperatura disminuye a una razón β(◦ C/m) con el aumento en la altura. a)Suponiendo que este cambio es constante hasta una altitud de H (m), determine una expresión para calcular el tiempo que demora en viajar una onda sonora producida a una altura H hasta el piso, suponiendo que este se halla a una temperatura 1 ◦ Ts (◦ C). b) Determine el tiempo si β = ( C/m), 150 H = 9000 (m) y Ts = 30 (◦ C) a) ¿A que distancia, moviendo el obstáculo hacia la derecha o a la izquierda, se debe colocar este para que se produzca una interferencia destructiva? b) Manteniendo el obstáculo en su posición ¿ que tanto se debe alejar o acercar el detector para que haya interferencia destructiva? D d l 34. En un cilindro largo se bombea agua a una tasa R (cm3 /s), el radio de cilindro es r (cm) y en su parte superior hay un generador de ondas sonoras que emite con frecuencia constante f (Hz), cuando la columna de agua asciende. a)¿cuanto tiempo transcurre entre dos resonancias sucesivas?. b) Calcule el tiempo si R = 18,0 (cm3 /s), r = 4,0 (cm) y f = 200 (Hz) A S 29. Mida la distancia que separa sus oı́dos, el tı́mpano se encuentra a una distancia de 25 mm del oı́do externo, a partir de esta información, considerando que la temperatura del aire de su habitación es de unos 28◦ C que frecuencia debe emitirse a través de los parlantes de un computador, separados una distancia 40cm, para que usted pueda .observar”mı́nimos de interferencia si se encuentra a una distancia de 1 m de los parlantes. 30. Muestre que a) Para un proceso adiabático el modulo de comprensión de un gas esta dado por B = γP , siendo P la presión del aire. 35. Un tubo abierto de longitud L se coloca verticalmente en una cubeta cilı́ndrica que tiene una área A en el fondo. Se vierte agua dentro de la cubeta hasta que un diapasón vibrando con frecuencia f , situado sobre el tubo, produce resonancia. Encuentre la masa del agua en la cubeta en estos momentos. Determine la masa si L = 0,40 (m), A = 0,10 (m2 ) y f = 440 Hz) b) La velocidad de las ondas sonoras en un gas durante un proceso adiabático esta dada por s γB v= ρ Para los siguientes ejercicios utilizar el servicio en lı́nea de la pagina fooplot para hacer los gráficos 31. Muestre que la velocidad de la onda sonora en un gas esta dada por r γRT v= M Donde R es la constante universal de los gases, T la temperatura del gas en grados Kelvin y M su masa molecular. 36. El teorema de Fourier establece que cualquier onda periódica de frecuencia f , no importa que tan complicada sea, puede expresarse como una suma de funciones armónicas pares e impares, esto es y(t) = 32. Se detona una carga explosiva a varios kilómetros en la atmósfera. A una distancia de 400 m de la explosión la presión acústica alcanza un máximo de 10 Pa. Si se supone que la atmósfera es homogénea sobre la distancia considerada, cual es el nivel sonoro, en decibelios, a 4 km de la explosión. Nota: las ondas sonoras en el aire absorben a una tasa de 7 db/km ∞ X An sin(n ω t + φn ) n=0 donde ω = 2π f . Use An = n−1 , con n = 1, · · · , 10 y φn = 0 para todo n y determine y(t) a medida que adiciona términos a la sumatoria. 37. Considere dos ondas viajeras de amplitudes A1 = A2 = 0,10 (m), frecuencias angulares ω1 = ω2 = 2,5 (rad/s), números de onda k1 = k2 = 1,0 (rad/m) y φ1 = 0, φ2 puede tomar valores en el conjunto {0, π/8, π/4, π/2, π} a) Haga las gráficas y señale para que valores de φ2 hay 33. La velocidad del sonido, en m/s, depende de la temperatura del aire de acuerdo con la expresión v = 331,5 + 0,607 Tc 4 interferencia constructiva y destructiva. Repita el anterior proceso pero considerando b)A1 6= A2 = 0,2 (m), c)ω1 6= ω2 = 3,5 (rad/s) 5