Onda transversal en una cuerda

Fundamentos de Espectroscopia:
Onda transversal en una cuerda
Prof. Jesús Hernández Trujillo Facultad de Quı́mica, UNAM
Para obtener la velocidad de propagación de una onda transversal en una cuerda, se utiliza
un tratamiento alternativo al revisado en clase. En este caso, se aplica la segunda ley de Newton
a un segmento muy pequeño de cuerda, como se indica en la figura, con el objetivo de obtener
la ecuación de onda correspondiente.
F : tensión de la cuerda.
y
A
θA
µ: densidad lineal.
F
θB
B
A partir del diagrama:
∆m = µ∆ℓ
∂y = tan θA
∂x A
∂y = tan θB
∂x B
F
x
Para el segmento:
X
Fy = F sen θB − F sen θA = F (sen θB − sen θA ).
(1)
(2)
(3)
Además, si θA y θB son pequeños (oscilaciones pequeñas), entonces sen θA ≈ tan θA y
sen θB ≈ tan θB . Con estas aproximaciones y las ecuaciones (1) y (2), la ecuación (3) toma la
forma:
X
Fy = F (tan θB − tan θA ) = F
∂y
∂x
−
B
∂y
∂x
(4)
A
Por la segunda ley de Newton:
X
Fy = (∆m)ay = µ ∆ℓ ay ,
(5)
p
donde ay es la componente y de la aceleración y ∆ℓ = (∆x)2 + (∆y)2 . Como las oscilaciones
son pequeñas, entonces ∆x ≫ ∆y. Por lo tanto ∆ℓ ≈ ∆x.
Al sustituir ∆ℓ = ∆x y ay = ∂ 2 y/∂t2 en (5):
X
De (4) y (6):
µ ∆ℓ
Fy = µ ∆ℓ
∂2y
=F
∂t2
∂y
∂x
1
B
∂2y
∂t2
−
(6)
∂y
∂x
A
,
y mediante un despeje, se obtiene
F
∂2y
=
2
∂t
µ
1
∆x
∂y
∂x
−
B
∂y
∂x
(7)
A
Ahora, se utiliza la definición de la derivada parcial de una función g(x, t) respecto a x:
∂g
g(x + ∆x, t) − g(x, t)
= lı́m
∂x ∆x→0
∆x
(8)
Si se considera que se ha analizado un segmento infinitesimal (y, por lo tanto, que ∆x → 0)
y se identifica
∂y
g(x, t) ≡
(9)
∂x A
∂y
(10)
g(x + ∆x, t) ≡
∂x B
entonces, (7) toma la forma
F ∂2y
∂2y
=
∂t2
µ ∂x2
(11)
Esta es la ecuación de onda para una perturbación que se propaga con rapidez v:
2
∂2y
2∂ y
=
v
∂t2
∂x2
(12)
A partir de (11) y (12), se obtiene
v=
s
F
µ
(13)
Es decir, se obedece la ecuación de onda y la velocidad de propagación de la perturbación en
la cuerda se obtiene a partir de la tensión que se ejerce sobre esta y de la densidad lineal.
2