Práctica 12 - Universidad de Concepción

UNIVERSIDAD DE CONCEPCION
FACULTAD DE CIENCIAS FISICAS Y MATEMATICAS
DEPARTAMENTO DE MATEMATICA
Listado 12
Integrales Múltiples Impropias
Cálculo III (521227)
∫∫ e
1. Calcular
y−x
y+x
{
d ( x, y ) con S = ( x, y ) ∈ IR 2 : 0 ≤ x ≤ 2 ∧ 0 ≤ y ≤ 2 − x } .
S
2. Hallar
∫∫ ln( x
2
+ y 2 ) d ( x , y) , donde A = {( x, y ) ∈ IR 2 : 0 < x 2 + y 2 ≤ 1 }.
A
∫∫ (1 + x
3. Calcular
1
2
D
+y
4. Evaluar I = ∫∫ e (
− x2 + y2
)
2 4
{
}
d ( x , y ) con D = ( x, y ) ∈ IR 2 : x 2 + y 2 ≥ 1 .
) d ( x , y) para verificar que
IR 2
∞
−x
∫ e dx =
2
0
π
.
2
{
5. Sea R = ( x, y , z ) ∈ IR 3 : x 2 + y 2 + z 2 ≥ 1 }. Analizar la convergencia de:
a)
∫∫∫ (x
R
1
2
+ y2 + z
)
2 2
d ( x, y, z)
y
b)
∫∫∫ (x
R
6. Sean f , g : IR 2 → IR las funciones: f ( x, y ) = e
{
y Bn = ( x , y ) ∈ IR 2 : 1 ≤
a) Calcular
x2
y2
+
2
a
b2
2
1
d ( x, y , z ) .
+ y2 + z2
 x2 y2 
− 2 + 2 
a b 


)
; g ( x, y ) = f ( x, y ) sen( xy)
}
≤ n 2 , con a y b constantes positivas y n ∈ IN .
∫∫ f ( x, y ) d ( x, y )
Bn
b) Calcular
∫∫
f ( x, y ) d ( x, y ) con B = { ( x, y ) ∈ IR 2 :
B
c) Analizar la convergencia de
x2 y 2
+
≥1
a2 b2
}
∫∫ g (x, y )d ( x, y )
B
1/2
7.
¿Para qué valores de p converge la integral
∫∫∫
IR
8.
3
(x
{
d ( x , y, z )
2
Si D = (x, y ) ∈ IR 2 : 0 ≤ x ≤ 1 ∧ 0 ≤ y ≤ x } , mostrar que
+ y +z
2
∫∫
D
9.
{
}
Sean E = ( x, y ) ∈ IR 2 : x 2 + y 2 ≥ 1 y la integral
∫∫ (1 + x
E
)
p
?
d ( x, y )
diverge.
x− y
1
2
2
+ y2
)
p
d ( x, y ) .
Determinar para qué valores de p > 0 la integral converge y para cuáles
diverge.
10. Sea G : A ⊆ IR 3 → IR 3 , g (u, v, w) = (au , bv , cw) , con a , b y c
{
∈ IR + ;
}
donde A = (u, v, w) ∈ IR 3 : u 2 + v 2 + w 2 < 1 .
a) ¿Satisface G las condiciones del teorema del cambio de variables?
b) Evaluar
∫∫∫ f ( x, y, z ) d ( x, y, z ) , con f ( x, y, z ) =
Tn
2

Tn = ( x , y , z ) ∈ IR 3 : x 2
a

+
y
b
2
2 +
z
c
2
2
(
≤ 1−
1
n
)2 
1−
(
1
x2 y 2 z 2
+ +
a 2 b2 c 2
)
3
,
2
y n ∈ IN .
∫∫∫ f ( x, y, z ) d ( x, y, z ) , donde
c) Analizar la convergencia de
T
T=
{( x, y , z ) ∈ IR
3
2
: x2
a
+
y
b
2
2 +
z
c
2
2
}
<1
.
11. Para la función f (x , y ) =
y
y la región R del plano acotada por las rectas
x
y = x , y = 0 y x = 1 , determinar el valor de ∫∫ f (x , y ) d ( x, y ) .
R
2/2