El problema de la radiación

El problema de la radiación de energía
La temperatura de un cuerpo o sistema, es entendida como, una medida del nivel de agitación
promedio en un estado de equilibrio que tienen las partículas que lo conforman; y no es más
que una medida relativa, del estado energético promedio de las partículas que lo constituyen.
Todo cuerpo material a T > 0 radia energía, y según puntos de vista modernos, aún a 0oK, la
energía es diferente de 0 (energía del punto cero).
Todo cuerpo (independiente de su tamaño) esta obligado, a servir de intermediario para que la
energía fluya.
Los estados en que se clasifica la materia son estados de equilibrio. Estos, pueden ser: estable,
inestable, e indiferente. La clase de equilibrio en que se encuentre la materia, depende del
estado energético de las unidades fundamentales que la constituyan. Dentro de cada estado de
la materia, hay infinidad de configuraciones posibles, que determinan la posibilidad de
absorber energía, para que esta pueda fluir. Tales posibilidades son los estados entrópicos
(configuraciones) de la materia.
Los estados de equilibrio estable pueden ser identificados con un estado de energía definido, y
su nivel de estabilidad dependerá de lo baja que sea su energía.
La capacidad que tiene la materia de recibir energía, y consecuentemente de emitirla, depende
de su estructura interna, la cual es medida por la capacidad energética de sus entidades
constituyentes.
En el proceso de absorción y emisión de energía, es afectado todo el sistema, pero no todas
sus partes en la misma proporción. Así que; en los sistemas simples, unas partes se involucran
más que otras en el proceso, y entonces en cada proceso se pueden tener responsables netos
definidos. En cambio, en los sistemas complejos, existe es un efecto neto promedio.
¿Cómo surge el mecanismo de recibir la energía (absorción), y de entregar energía (emisión),
en su proceso de flujo?
Cuando se trata de ondas mecánicas, el mecanismo se justifica por las interacciones
mecánicas entre las partículas; pero cuando se trata de radiación electromagnética, por su
misma naturaleza, el asunto no es tan simple.
El espectro electromagnético, cubre todo el rango de longitudes de onda o frecuencias; y en
términos de una u otra, se expresa la energía electromagnética, en el proceso de absorción y
emisión, en el continuo fluir de la misma.
La radiación
Como lo advertí desde el comienzo del curso; la esencia de nuestra discusión es, la
transferencia de energía. A lo largo del mismo, hemos analizado con algún detalle lo que he
considerado fundamental para la comprensión de su propagación. Inicialmente discutimos el
movimiento oscilatorio armónico, como el movimiento preferido por la naturaleza para la
transferencia de energía, y tomamos como modelo el sistema masa-resorte, y lo identificamos
k
, y designamos con “onda” la
intrínsicamente por una frecuencia angular dada por ωo =
m
configuración que adquiere el medio a través del cual se propaga la energía (mecánica)
entregada (liberada) por el oscilador.
Dada la familiaridad alcanzada con los osciladores, independiente de la naturaleza de la
energía en transito, la fuente, tanto para las ondas mecánicas, como para la radiación, tiene
similares características. Al enfrentar la discusión de la radiación, me parece conveniente
utilizar subjetivamente el mismo esquema de los osciladores para discutir lo esencial del flujo
de energía la radiación electromagnética.
La figura 1, muestra una representación macroscópica de lo que puede suceder en el interior
de la materia, en un cuerpo que esta a temperatura diferente de cero absoluto; tomando esta
condición como referente, para que el cuerpo radíe energía. Aunque los resultados de la
mecánica cuántica predicen, que aún a T = 0oK, la energía de un sistema es diferente de cero,
y en algún contesto podía radiar; para los fines de este curso, eso es solo una inquietud, por la
que alguno de ustedes puede eventualmente interesarse. En la figura se considera que las
partículas que conforman el cuerpo están unidas por fuerzas (atómicas, moleculares, etc), que
pueden ser representadas aproximadamente por fuerzas elásticas, con características similares
a las que están presentes en un sistema masa-resorte; y que las partículas sometidas a estas
fuerzas, en primera aproximación, se comportan como osciladores armónicos que obedecen la
ley de Hooke.
Figura 1. Representación del posible mecanismo de generación de radiación electromagnética.
En la figura he tratado de ser objetivo, considerando que en la materia no tenemos una sola
clase de átomos, por eso incluyo diferentes masas, y consecuentemente diferentes constantes
de resorte, para las fuerzas que las unen; lo cual implica considerar movimientos vibratorios
de diferentes frecuencias, y para la energía fluyendo, diferentes longitudes de onda. Estas
diferentes longitudes de onda, producto de las diferentes frecuencias y/o de las
superposiciones de las diferentes ondas, a través de las cuales fluye la energía.
A temperaturas ordinarias la mayoría de los cuerpos; aunque radien energía en longitudes de
onda que están por fuera del espectro visible (en el infrarrojo), se hacen visibles, no por que
sean auto luminosos o tengan luz propia, sino por la luz que reflejan; de allí que el color que
se aprecia en los objetos, depende de la luz que incide sobre ellos, y la que ellos nos reflejan.
Los cuerpos sólidos, emiten espectros continuos. Si les aumentamos la temperatura, y los
volvemos auto luminosos; en la medida que la temperatura aumenta, podemos apreciar en
ellos cambios en su coloración. Esto debido a que, entre mayor sea la temperatura, mayor es
la frecuencia de la parte del espectro que radia más intensamente, y corresponde a la emisión
más intensa de la región visible del espectro.
Aunque la forma detallada del espectro de radiación térmica emitida por un cuerpo a una
temperatura dada, T, de alguna manera depende de su composición; hay cuerpos o sistemas,
que absorben toda la energía que incide sobre ellos, y emiten sólo una radiación que les es
característica, sin que ésta dependa de la radiación incidente; son los llamados cuerpos
negros. Estos cuerpos han sido el objeto central en la discusión de los problemas de la
radiación. Una representación aproximada de estos sistemas, es una cavidad con un pequeño
orificio a través del cual incide y sale la radiación. Su superficie interior es rugosa (difusa), y
pintada con un color oscuro (como gris humo). En tales condiciones, a la cavidad le es
permitido el ingreso de cualquier radiación, pero la radiación emitida, esta condicionada al
efecto de las múltiples reflexiones que sufre la radiación incidente, dentro de la cavidad; de tal
forma que, la radiación que consigue escapar de la cavidad es sólo aquella que en alguna de
las múltiples reflexiones su dirección de reflexión coincide con la del orificio. La radiación
que consigue escapar se convierte en la muestra de lo que sucede en el interior de la cavidad,
análogamente a la radiación característica de los cuerpos negros, por eso la denominación de
“radiación de cuerpo negro” o “radiación de cavidad” se consideran como equivalentes.
A una temperatura T, cuando el sistema adquiere el equilibrio con el entorno; es decir, cuando
la velocidad de emisión es igual a la de absorción, una representación del comportamiento
experimental de la radiación, en términos de la longitud de onda de la radiación es mostrada
en la figura 2.
Figura 2. Comportamiento de la radiación de un sistema en equilibrio a 5000K, en función de
la longitud de onda.
Los intentos iniciales para interpretar la radiación, se concentra en la energía fluyendo fuera
de los cuerpos, pues los procesos internos, origen de la radiación, obedecían a la
interpretación clásica.
En relación con la fig. 1, consideremos una pequeña sección del material con área A
Figura 3
Asumiendo que en el equilibrio, el cuerpo se comporta como un radiador de cavidad, la
distribución espectral de la radiación se describe por la cantidad llamada radiancia espectral
R, y definida como la cantidad de energía que radia la unidad de área en la unidad de tiempo a
la temperatura absoluta T, en un rango de longitudes de onda (o frecuencias). La dependencia
de la radiancia con la temperatura es dada por la Ley de Stefan
RT = σT4
Donde σ = 5.67 x 10 W/m K , es una constante universal, constante de Stefan y
Boltzmann. En todo el rango de longitudes de onda, fig. 2, la cantidad total de energía radiada
corresponderá al área bajo la curva.
-8
2 o
4
Ley de desplazamiento de Wien
Cuando la temperatura del cuerpo (o sistema) disminuye, el valor de la máxima radiancia, en
términos de la longitud de onda, se desplaza hacia la derecha (mayores longitudes de onda), y
en términos de la frecuencia se desplaza a la izquierda (menores frecuencias), las figuras 4, 5
y 6 ilustran este hecho; siendo que en la fig. 6, donde se muestra la variación de la raiz cuarta
de la intensidad radiada con la longitud de onda, se aprecia mejor ésta variación. Este valor
máximo de la longitud de onda multiplicado por la temperatura correspondiente, Wien
encontró que tiene un valor constante, y constituye la Ley de desplazamiento de Wien.
Figura 4
Figura 5
Figura 6
Ley de Rayleigh Jeans
Como se mencionó antes, los cuerpos con la característica de cuerpo negro, radían energía
con características independientes de la radiación incidente y de los constituyentes del cuerpo.
Con el fin encontrar una explicación al comportamiento de la radiación, se asumió que la
radiación característica provenía de un estado de equilibrio del sistema, y Lord Rayleigh y Sir
James Jeans mostraron que el equilibrio dentro de la cavidad se alcanzaba, cuando como
producto de las múltiples reflexiones se obtenían ondas estacionarias, con nodos en la pared
de cavidad. La radiación en tales circunstancias, era la característica de la energía asociada
tales ondas estacionarias; y calcularon el número de ondas estacionarias por intervalo de
frecuencia. Para un rango de frecuencia de f a f + df, encontraron que el número de ondas en
un volumen V podía ser expresado como
N(f) df =
8πV 2
f df
c2
()
donde c es la velocidad de las ondas electromagnéticas.
La energía promedio asociada a cada onda estacionaria, en el equilibrio térmico, puede ser
determinada a partir de la ley clásica de equipartición de energía. Esta ley establece que la
energía promedio para cada onda estacionaria de la cavidad, es la misma independiente de su
frecuencia, y esta dada por E = kT ; donde k = 1.37x10-23J oK, es la constante de Boltzmann.
De esta manera entonces, el contenido promedio de energía por unidad de volumen de la
cavidad, para ese rango de frecuencia, será simplemente el producto del número de ondas
estacionarias por la energía promedio de cada onda y dividido por el volumen de la cavidad;
es decir que, la densidad de energía, ρT, esta dada por
ρ T ( f )df =
8πf 2
kTdf
c3
()
y constituye la fórmula de Rayleigh Jeans para la radiación de cavidad. Las figuras 7 y 8
muestran la comparación entre los resultados predichos por Rayleigh Jeans en términos de f y
λ, y el resultado experimental. De estas figuras se puede apreciar que, los resultados de
Rayleigh Jeans coinciden para grandes longitudes de onda; y en la medida que la longitud de
onda disminuya, se hace notable la inconsistencia, la que es cada vez mayor. Mientras el
resultado de Rayleigh Jeans, predicen una densidad infinita, el resultado experimental muestra
que es finita, esa cada vez mayor inconsistencia de los dos resultados es llamada célebremente
“catástrofe ultravioleta”, reflejando así lo errada que estaba la física clásica, al tratar de
explicar el problema de la radiación del cuerpo negro. El resultado análogo se muestra en la
gráfica de intensidad radiada contra la frecuencia, fig. 8, la coincidencia entre los dos
resultados se presenta a bajas frecuencias, y divergen cada vez más, en la medida en que la
frecuencia crece.
Figura 7
Figura 8
Ley de radiación de Planck
De la discrepancia surgida entre la predicción teórica elaborada por Rayleigh y Jeans, y los
resultados experimentales (radiación de cavidad), parece posible sintetizarlos en tres aspectos:
a)- el asumir ondas estacionarias en la cavidad con nodos en las paredes, b)- el cálculo del
número de ondas estacionarias en la cavidad, y c)- lo más importante, el asumir la validez de
la equipartición de la energía, con una energía promedio para cada onda, la que conduce a una
dependencia de la energía con la temperatura. Respecto a los aspectos a) y b), prácticamente
en cualquier circunstancia, a la luz de un comportamiento ondulatorio, como el asumido para
la radiación, no hay razón para buscar en ellos la causa del error. Respecto a la energía, el
asunto es diferente; pues ésta, cuando hablamos de un comportamiento ondulatorio, tiene
parámetros muy importantes para su interpretación, como la longitud de onda o la frecuencia
y la amplitud, y no aparece un nexo muy directo con la temperatura, como lo establece
tradicionalmente la física clásica. En tal sentido, parece obligado el buscar otras alternativas a
fin de conciliar la teoría con los resultados experimentales, que fue precisamente lo que hizo
Planck. La correcta predicción de la teoría en el extremo de pequeñas frecuencias (o grandes
longitudes de onda), posiblemente indujo a Planck a introducir una primera suposición, que
consistía en admitir que; por lo menos para la radiación de cavidad, la energía promedio de
las ondas estacionarias E , dependía de la frecuencia. Además, en el esquema clásico se
suponía que la variable energía, era una variable continua, Planck vió aquí otra posibilidad
para introducir otra suposición, al asumir la variable energía, como una variable discreta, en
lugar de que asumiera cualquier valor, él propuso que la variable energía sólo podía tomar
valores como E = 0, ∆E, 2∆E, 3∆E, 4∆E, …, (E = n∆E, con n = 0,1, 2, 3, 4, … . Para
justificar esta suposición, Planck consideró que las partículas en las paredes de la cavidad
se comportaban como osciladores armónicos, que no absorbían o emitían cualquier
energía, sino solamente aquellas cantidades discretas, llamados cuantos (paquetes
discretos de energía), lo cual era consistente con la condición para obtener ondas estacionarias
dentro de la cavidad. Con estas modificaciones, Planck realizó los cálculos que lo llevaron a
encontrar que la E tiende a cero, si ∆E se escoge grande, y que E tiende a kT, si ∆E es
pequeño. Lo anterior, se puede entonces interpretar diciendo que: las diferencias grandes de
energía adyacentes, correspondían al comportamiento de altas frecuencias de la radiación de
cavidad, y las diferencias pequeñas, al comportamiento de bajas frecuencias. Esto entonces lo
postuló Planck diciendo que, la diferencia ∆E, es directamente proporcional a la frecuencia; es
decir
∆E = hf
Así que
()
En = n∆E =nhf
()
Siendo la constante de proporcionalidad h = 6.626 x 10-34 J-s, la constante de Planck.
En base a las anteriores consideraciones Planck derivó la siguiente relación para energía
promedio E , para la radiación
hf
E=
e
hf
kT
()
−1
y utilizando este resultado para la energía promedio en la cavidad, en lugar de kT, de la física
clásica, la densidad de energía en el rango de frecuencias de f a f + df, se puede escribir como
ρ ( f )df =
8πf 2
c3
hf
e
hf
kT
df
()
−1
o en términos de la longitud de onda λ
ρ ( λ ) dλ =
8πhc
λ
1
5
e
hc
λkT
()
−1
que es la relación de Planck para la radiación del cuerpo negro o de cavidad. De esta
manera, con la teoría de los cuantos de Planck, nacía el concepto de la cuantización de la
energía en la física.
Figura 9
La fig. 9, resume la evolución de la solución al problema de la radiación, centrado en el caso
de la radiación del cuerpo negro o de cavidad, confrontando las predicciones de la física
clásica, y la solución alcanzada, rompiendo el paradigma clásico, con la nuevo enfoque
cuántico de Planck.
A pesar del éxito alcanzado por Planck con su teoría de los cuantos para resolver el problema
de la radiación, él nunca estuvo convencido de que el problema de la radiación no tuviera
solución dentro de la física clásica, y solamente después de muchos años de trabajo, con
intentos fallidos, tratando de encontrar una solución clásica al problema, fue que exclamo,
“bien valió la pena todo este esfuerzo, pues por lo menos me convencí de que ese problema
no tiene solución dentro de la física clásica”