Fundamentos Físicos de la Ingeniería Segundo Examen Parcial / 9 abril 1999 1. Una partícula de masa m se desplaza con velocidad v1 cuando choca elásticamente con otra de igual masa que se encontraba en reposo. Si tras el impacto la trayectoria de la primera partícula forma 30º con respecto a la original, determínese: a) Velocidad de ambas partículas tras el impacto. b) Percusión sufrida por cada una de las partículas. a) Conservación de la cantidad de movimiento: mv1 = mv1′ + mv 2′ → v1 = v1′ + v 2′ [1] Conservación de la energía cinética: 1 2 mv12 = 12 mv1′ 2 + 12 mv1′ 2 → v12 = v1′ 2 + v2′ 2 [2] Las ecuaciones [1] y [2] corresponden a una suma vectorial en cuadratura, por lo que las direcciones de las partículas después del choque determinan un ángulo recto, de modo que v´2 v´1 30º 60º v1’ 30º θ2 v2 ’ v1 θ1 + θ2 = 90º → θ2 = 90º −30º = 60º y las velocidades de las partículas después del choque son v1′ = v1 cos 30º = 3 v1 2 v2′ = v1 cos 60º = 1 v1 2 b) La percusión que experimenta cada una de las partículas es igual a la variación de su cantidad de movimiento durante el choque; i.e., Π = Δp = m Δ v , de modo que Π 2 = Δ (mv ) = mv 2′ − mv 2 = mv 2′ − 0 = mv 2′ Π1 = −Π 2 = −mv 2′ en las direcciones en que cambia la velocidad de cada una de las partículas. Otro método Escribimos de nuevo las ecuaciones [1] y [2] que expresan, respectivamente, la conservación de la cantidad de movimiento y de la energía cinética durante el choque, descomponiendo la primera de ellas en sus componentes longitudinal y transversal: ⎧v1 = v1′ cos 30º +v2′ cos θ2 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨0 = v1′ sen 30º −v2′ sen θ2 ⎪ ⎪ 2 2 2 ⎪ ⎪ ⎩v1 = v1′ + v1′ que constituyen un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas (v1′, v2′ , θ2 ) . Resolviendo dicho sistema de ecuaciones se obtienen de nuevo los resultados que ya conocemos. Departamento de Física Aplicada Revisión: 05/04/2008 - Impresión:05/04/2008 Universidad de Córdoba Fundamentos Físicos de la Ingeniería Segundo Examen Parcial / 9 abril 1999 2. Una barra de sección rectangular 100 × 50 mm y 2 m de longitud, sometida a una tracción de 50 t experimenta un alargamiento Δl = 1 mm y una contracción lateral - 0.007 mm en la arista de 50 mm. Calcular: a) El módulo de Young de la barra. b) El valor del coeficiente de Poisson. c) La contracción que experimenta la arista de 100 mm de la sección recta. d) Dimensiones de la sección recta si se somete a la barra a una tracción de F1 = 40 t. a) A partir de la definición del módulo de Young, se sigue: E= σl l F F/S = = 0 εl Δl / l0 Δl S F 3 2000 50 ×10 × 9.8 N × = 1.96 ×1011 2 1 0.05 × 0.100 m b) A partir de la definición del coeficiente de Poisson, tenemos: E= Δb Δl = −μ b l0 → μ=− −0.007 / 50 Δb / b =− = 0.28 Δl / l0 1 / 2000 c) La deformación transversal en la arista de 100 mm será: εa = Δa Δl 1 = −μ = − 0.28 = − 1.4 ×10−4 2000 a l0 → Δa = εa a = −1.4 ×10−4 ×100 = − 0.014 mm d) Teniendo en cuenta la proporcionalidad directa entre fuerzas y deformaciones, 40 F′ Δa ′ F ′ = → Δa ′ = Δa = × (−0.014) = − 0.0112 mm 50 F F Δa a = 100 − 0.0112 = 99.9888 mm 40 Δb ′ F ′ F′ Δb = × (−0.007) = − 0.0056 mm = → Δb ′ = 50 Δb F F b = 50 − 0.0056 = 49.9944 mm Departamento de Física Aplicada Revisión: 05/04/2008 - Impresión:05/04/2008 Universidad de Córdoba Fundamentos Físicos de la Ingeniería Segundo Examen Parcial / 9 abril 1999 3. El movimiento del pistón de un automóvil de 500 g de masa podemos considerarlo vibratorio armónico simple. Si la carrera del pistón (doble de la amplitud) es 10 cm y la velocidad angular del cigüeñal es de 3600 r.p.m., calcular: a) Aceleración del pistón en el extremo de la carrera. b) Fuerza resultante que se ejerce sobre él en el extremo de la carrera. c) Velocidad máxima del pistón. Comenzamos escribiendo las ecuaciones del m.a.s.: x = A sen(ωt + φ) → v = ω A cos(ωt + φ) → a = −ω 2 A sen(ωt + φ) = −ω 2 x a) La aceleración del pistón en el extremo de su recorrido es la que corresponde a la elongación máxima x=A (amplitud), de modo que a = Aω 2 con A = 0.05 m y ω = 3600 × 2π rad = 376.99 , resulta 60 s a = 0.05× 376.992 = 7.11×103 m s2 b) Aplicando la segunda ley de Newton, tenemos F = ma = 0.5× 7.11×103 = 3.55×103 N c) La velocidad máxima en el m.a.s. se alcanza en la posición de elongación nula y viene dada por vmax = Aω = 0.05× 376.99 = 18.85 Departamento de Física Aplicada Revisión: 05/04/2008 - Impresión:05/04/2008 m s Universidad de Córdoba Fundamentos Físicos de la Ingeniería Segundo Examen Parcial / 9 abril 1999 4. Un cuerpo de 1260 kg flota en agua marina (densidad 1.05 g/cm3) emergiendo 0.24 m3 sobre la superficie libre del agua. a) Determínese la densidad del cuerpo. b) Realmente este cuerpo es poroso y está formado por una masa sólida de densidad 1.2 g/cm2 con pequeñísimas burbujas de aire atrapadas. ¿Cuál es el porcentaje en volumen del aire existente en el cuerpo? Nota: Despreciar la densidad (peso) de aire contenido en el cuerpo. a) Como el cuerpo está en equilibrio de flotación, podremos aplicar el principio de Arquímedes para determinar el empuje vertical, que será igual al peso del cuerpo. El empuje está relacionado con el volumen sumergido VS, del modo E = ρm gVS = mg → VS = E P ρm m 1260 = = 1.2 m3 ρm 1050 El volumen del cuerpo es Vcuerpo = 1.2 + 0.24 = 1.44 m3 y la densidad de este cuerpo es ρcuerpo = m Vcuerpo = 1260 kg g = 875 3 = 0.875 1.44 m cm3 b) El volumen de la masa sólida, Vms, viene dado por Vms = m 1260 = = 1.05 m3 ρms 1200 de modo que el volumen de aire viene dado por Vaire = 1.44 – 1.05 = 0.39 m3 que en porcentaje volumétrico representa Vaire 0.39 = = 0.27 = 27% Vtotal 1.44 Departamento de Física Aplicada Revisión: 05/04/2008 - Impresión:05/04/2008 Universidad de Córdoba Fundamentos Físicos de la Ingeniería Segundo Examen Parcial / 9 abril 1999 5. Para medir la velocidad del agua que circula por una tubería, se intercala en ésta un venturímetro cuyos diámetros en el tramo principal y en el estrechamiento se encuentra en la relación 5:1. La diferencia de presión entre el tramo principal y el estrechamiento resulta ser de 0.35 atm. ¿Cuál es la velocidad? v2 v1 2 1 Aplicamos el teorema de Bernoulli entre los puntos 1 y 2: 1 1 p1 + ρv12 = p2 + ρv22 2 2 → v22 − v12 = 2 ( p1 − p2 ) [1] ρ con 101325 Pa kg p1 − p2 = 0.35atm × = 25331.25 Pa 3 1atm m Por otra parte, de la ecuación de continuidad, se sigue: ρ = 1000 2 v1 S1 = v2 S2 2 ⎛1⎞ v S D2 ⎛ D ⎞ 1 → 1 = 2 = 22 = ⎜⎜ 2 ⎟⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟⎟ = ⎜⎝ 5 ⎠ ⎜⎝ D1 ⎟⎠ 25 v2 S1 D1 [2] Resolviendo el sistema de ecuaciones dado por [1] y [2], se obtiene ⎧⎪v22 − v12 = 70.9 m ⎪⎨ → v1 = 0.34 ⎪⎪⎩v2 = 25v1 s v2 = 8.43 Departamento de Física Aplicada Revisión: 05/04/2008 - Impresión:05/04/2008 m s Universidad de Córdoba