Lógica Proposicional

Proposiciones
Operaciones entre proposiciones
Tablas de verdad
Relaciones entre proposiciones
Leyes del algebra de proposiciones
Reglas de inferencia lógica
Funciones proposicionales y Cuantificadores
Lógica Proposicional
Sergio Stive Solano Sabié
Marzo de 2012
Sergio Solano Sabié
Lógica Matemática
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Proposiciones
Definición 1.1
Una proposición (o declaración) es una oración declarativa
que es verdadera o falsa, pero no ambas.
Comúnmente se denotan con las letras minúsculas p, q, r, s, t, . . .,
las cuales reciben el nombre de letras o variables proposicionales, de esta forma, el lenguaje proposicional se hace más
simple y exacto que el lenguaje natural.
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Proposiciones
Ejemplo 1.1
Los siguientes ejemplos ilustran cómo se pueden simbolizar
las proposiciones:
1
p : Hoy es sábado.
2
q : Estudio ingenierı́a de sistemas.
3
r : New York es llamada la capital del mundo.
4
s : 1 no es un número primo.
5
t : 4 + 3 = 10.
6
v:3>5
7
w : El sol es amarrillo
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Proposiciones
Ejemplo 1.2
Las siguientes expresiones NO son proposiciones:
1
Viajar en el dı́a.
2
x + 3 = 7.
3
Mirar T.V.
4
¿De qué color es la mesa?
Toda afirmación es verdadera o falsa y no hay una que sea verdadera y falsa al mismo tiempo. Esta suposición la llamamos la
Ley del tercero excluido.
Una consecuencia de esta suposición es que si una afirmación
no es falsa tendrá que ser verdadera.
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Operaciones básicas
En el lenguaje cotidiano se encuentran expresiones como:
Ejemplo 2.1
1
Las rosas son rojas y tienen espinas.
2
El tablero es verde o es blanco.
3
En el paı́s no hay violencia.
4
Si estudio lógica matemática entonces seré un destacado
ingeniero de sistemas.
5
4 es un número par si y sólo si se puede dividir por 2.
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Operaciones básicas
Los términos de enlace, “y”, “o ”, “no”, “si,...,entonces”, “si
y sólo si”, reciben el nombre de Conectivos lógicos , y estas
nuevas proposiciones que se obtienen uniendo dos o más proposiciones simples mediante conectivos lógicos se conocen
como proposiciones compuestas.
Al igual que a las proposiciones, los conectivos lógicos también se les asignan un lenguaje simbólico, ası́:
LENGUAJE NATURAL LENGUAJE FORMAL
NOMBRE
y
∧
Conjunción
o
∨
Disyunción
No
∼
Negación
Si ... entonces
⇒
Condicional
Si y sólo si
⇔
Bicondicional
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Operaciones básicas
Ejemplo 2.2
1
p : Las rosas son rojas, q : Las rosas tienen espinas,
p ∧ q : Las rosas son rojas y tienen espinas.
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Operaciones básicas
Ejemplo 2.2
2
r : El tablero es verde, s : El tablero es blanco,
r ∨ s : El tablero es verde o es blanco.
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Ejemplo 2.2
3
t : En el paı́s hay violencia, ∼ t : En el paı́s no hay
violencia.
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Operaciones básicas
Ejemplo 2.2
4
x : Estudio lógica matemática, y : Seré un destacado
ingeniero de sistemas,
x ⇒ y : Si estudio lógica matemática entonces seré un
destacado ingeniero de sistemas.
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Operaciones básicas
Ejemplo 2.2
5
u : 4 es un número par, v : 4 es divisible por 2,
u ⇔ v : 4 es un número par si y sólo si es divisible por 2.
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Tablas de verdad
Si conocemos los valores de verdad, (V ó F) de las proposiciones simples p y q que componen las proposiciones compuestas
p ∧ q, ∼ p, p ∨ q, p ⇒ q y p ⇔ q, entonces podremos deducir el
valor de verdad de estas.
Lo anterior se logra mediante la elaboración de una tabla de
verdad, la cual depende del conectivo lógico utilizado y de los
valores de verdad (V ó F) de las proposiciones p y q.
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Conjunción (∧)
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
p∧q
V
F
F
F
La proposición p∧q
es verdadera si p y
q son verdaderas,
y falsa si alguna de
ellas es falsa.
Negación (∼)
p
V
F
∼p
F
V
∼ p es falso cuando p es verdadero
y ∼ p es verdadero
cuando p no lo es.
Sergio Solano Sabié
Lógica Matemática
Disyunción (∨)
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
p∨q
V
V
V
F
La proposición p ∨
q es falsa si las
proposiciones p y q
lo son, y verdadera en cualquier otro
caso.
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Conjunción (∧)
p
1
1
0
0
q
1
0
1
0
p∧q
1
0
0
0
Se pueden simbolizar los valores de
verdad de una proposición; asignando 1 al valor verdadero y 0 al valor falso.
Negación (∼)
p
1
0
∼p
0
1
utilizando el sistema binario, mediante el cual se
le asigna1 al valor verdadero y 0 al
valor falso.
Sergio Solano Sabié
Lógica Matemática
Disyunción (∨)
p
1
1
0
0
q
1
0
1
0
p∨q
1
1
1
0
Se pueden simbolizar los valores de
verdad de una proposición; asignando 1 al valor verdadero y 0 al valor falso.
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Condicional (⇒)
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
p⇒q
V
F
V
V
La
proposición
p ⇒ q es verdadera si nunca
ocurre que p sea
verdadera y que q
sea falso.
Sergio Solano Sabié
Bicondicional(⇔)
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
p⇔q
V
F
F
V
La
proposición
p ⇔ q es verdadera si p y q son
ambas verdaderas
o falsas, y falso en
caso contrario.
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Tablas de verdad
Condicional (⇒)
p
1
1
0
0
q
1
0
1
0
p⇒q
1
0
1
1
Se pueden simbolizar los valores de
verdad de una proposición; asignando 1 al valor verdadero y 0 al valor falso.
Sergio Solano Sabié
Bicondicional(⇔)
p
1
1
0
0
q
1
0
1
0
p⇒q
1
0
0
1
Se pueden simbolizar los valores de
verdad de una proposición; asignando 1 al valor verdadero y 0 al valor falso.
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Tablas de verdad
Ejemplo 3.1
Elaborar la tabla de verdad de (p ∨ ∼ q)∧ ∼ r.
Solución.
p
V
V
V
V
F
F
F
F
q
V
V
F
F
V
V
F
F
r
V
F
V
F
V
F
V
F
∼q
F
F
V
V
F
F
V
V
∼r
F
V
F
V
F
V
F
V
Sergio Solano Sabié
p∨∼q
V
V
V
V
F
F
V
V
(p ∨ ∼ q)∧ ∼ r
F
V
F
V
F
F
F
V
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Tablas de verdad
Ejemplo 3.1
Elaborar la tabla de verdad de (p ∨ ∼ q)∧ ∼ r.
Solución.
p
V
V
V
V
F
F
F
F
q
V
V
F
F
V
V
F
F
r
V
F
V
F
V
F
V
F
∼q
F
F
V
V
F
F
V
V
∼r
F
V
F
V
F
V
F
V
Sergio Solano Sabié
p∨∼q
V
V
V
V
F
F
V
V
(p ∨ ∼ q)∧ ∼ r
F
V
F
V
F
F
F
V
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Tablas de verdad
Ejemplo 3.2
Elaborar la tabla de verdad de (p ⇒ q) ⇔ r.
Solución.
p
V
V
V
V
F
F
F
F
q
V
V
F
F
V
V
F
F
r
V
F
V
F
V
F
V
F
p⇒q
V
V
F
F
V
V
V
V
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(p ⇒ q) ⇔ r
V
F
F
V
V
F
V
F
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Reglas de inferencia lógica
Funciones proposicionales y Cuantificadores
Tablas de verdad
Ejemplo 3.2
Elaborar la tabla de verdad de (p ⇒ q) ⇔ r.
Solución.
p
V
V
V
V
F
F
F
F
q
V
V
F
F
V
V
F
F
r
V
F
V
F
V
F
V
F
p⇒q
V
V
F
F
V
V
V
V
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(p ⇒ q) ⇔ r
V
F
F
V
V
F
V
F
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Tautologı́a
Definición 4.1
Una tautologı́a es una proposición que siempre es verdadera
sin importar el valor de verdad de sus componentes.
Ejemplo 4.1
Demostrar que la proposición (p ∨ q) ⇔ (∼ q ⇒ p) es una
tautologı́a.
Demostración.
Para verificar la validez de esta proposición es necesario
realizar la tabla de verdad de ella:
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Tautologı́a
Definición 4.1
Una tautologı́a es una proposición que siempre es verdadera
sin importar el valor de verdad de sus componentes.
Ejemplo 4.1
Demostrar que la proposición (p ∨ q) ⇔ (∼ q ⇒ p) es una
tautologı́a.
Demostración.
Para verificar la validez de esta proposición es necesario
realizar la tabla de verdad de ella:
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Tautologı́a
Definición 4.1
Una tautologı́a es una proposición que siempre es verdadera
sin importar el valor de verdad de sus componentes.
Ejemplo 4.1
Demostrar que la proposición (p ∨ q) ⇔ (∼ q ⇒ p) es una
tautologı́a.
Demostración.
Para verificar la validez de esta proposición es necesario
realizar la tabla de verdad de ella:
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Tautologı́a
p
1
1
0
0
q
1
0
1
0
p∨q
1
1
1
0
∼q
0
1
0
1
∼q⇒p
1
1
1
0
(p ∨ q) ⇔ (∼ q ⇒ p)
1
1
1
1
Nótese que en la última columna solamente aparecen valores
verdaderos. Luego, por definición la proposición dada es una
tautologı́a.
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Absurdo o contradicción
Definición 4.2
Un absurdo o contradicción es una proposición que siempre
es falsa sin importar el valor de verdad de sus componentes.
Ejemplo 4.2
Verifique que la proposición (p ∧ ∼ q) ∧ q es una
contradicción.
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Absurdo o contradicción
Definición 4.2
Un absurdo o contradicción es una proposición que siempre
es falsa sin importar el valor de verdad de sus componentes.
Ejemplo 4.2
Verifique que la proposición (p ∧ ∼ q) ∧ q es una
contradicción.
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Reglas de inferencia lógica
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Absurdo o contradicción
Solución.
Construyamos la tabla de verdad de la proposición dada, ası́:
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
∼q
F
V
F
V
p∧∼q
F
V
F
F
(p ∧ ∼ q) ∧ q
F
F
F
F
Por lo tanto esta proposición es una contradicción.
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Absurdo o contradicción
Solución.
Construyamos la tabla de verdad de la proposición dada, ası́:
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
∼q
F
V
F
V
p∧∼q
F
V
F
F
(p ∧ ∼ q) ∧ q
F
F
F
F
Por lo tanto esta proposición es una contradicción.
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Proposiciones equivalentes
Definición 4.3
Dos proposiciones compuestas P y Q se consideran
logicamente equivalentes o simplemente equivalentes, y se
denota P ≡ Q si y sólo si tienen los mismos valores de verdad
para cada una de las opciones en la tabla de verdad.
Note que lo anteior implica que P ≡ Q si y sólo si P ⇔ Q es
una tautologı́a.
Ejemplo 4.3
Las proposiciones (p ∨ q) y (∼ q ⇒ p) son equivalentes puesto
que en el ejemplo 4.1 se verificó que (p ∨ q) ⇔ (∼ q ⇒ p) es
una tautologı́a.
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Proposiciones equivalentes
Definición 4.3
Dos proposiciones compuestas P y Q se consideran
logicamente equivalentes o simplemente equivalentes, y se
denota P ≡ Q si y sólo si tienen los mismos valores de verdad
para cada una de las opciones en la tabla de verdad.
Note que lo anteior implica que P ≡ Q si y sólo si P ⇔ Q es
una tautologı́a.
Ejemplo 4.3
Las proposiciones (p ∨ q) y (∼ q ⇒ p) son equivalentes puesto
que en el ejemplo 4.1 se verificó que (p ∨ q) ⇔ (∼ q ⇒ p) es
una tautologı́a.
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Equivalencias importantes
Las siguientes equivalencias son ciertas (es decir los bicondicionales correspondientes son tautologı́as), y serán muy usadas
en la construcción de argumentos validos.
Sean P , Q y R proposiciones, entonces:
Idempotencia
Doble negación
∼ (∼ P ) ≡ P
Conmutativa
1
P ∧P ≡P
1
P ∧Q ≡ Q∧P
2
P ∨P ≡P
2
P ∨Q ≡ Q∨P
Asociativa
1
P ∧ (Q ∧ R) ≡ (P ∧ Q) ∧ R
2
P ∨ (Q ∨ R) ≡ (P ∨ Q) ∨ R
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Equivalencias importantes
Las siguientes equivalencias son ciertas (es decir los bicondicionales correspondientes son tautologı́as), y serán muy usadas
en la construcción de argumentos validos.
Sean P , Q y R proposiciones, entonces:
Idempotencia
Doble negación
∼ (∼ P ) ≡ P
Conmutativa
1
P ∧P ≡P
1
P ∧Q ≡ Q∧P
2
P ∨P ≡P
2
P ∨Q ≡ Q∨P
Asociativa
1
P ∧ (Q ∧ R) ≡ (P ∧ Q) ∧ R
2
P ∨ (Q ∨ R) ≡ (P ∨ Q) ∨ R
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Equivalencias importantes
Las siguientes equivalencias son ciertas (es decir los bicondicionales correspondientes son tautologı́as), y serán muy usadas
en la construcción de argumentos validos.
Sean P , Q y R proposiciones, entonces:
Idempotencia
Doble negación
∼ (∼ P ) ≡ P
Conmutativa
1
P ∧P ≡P
1
P ∧Q ≡ Q∧P
2
P ∨P ≡P
2
P ∨Q ≡ Q∨P
Asociativa
1
P ∧ (Q ∧ R) ≡ (P ∧ Q) ∧ R
2
P ∨ (Q ∨ R) ≡ (P ∨ Q) ∨ R
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Equivalencias importantes
Leyes de De Morgan
Distributiva
1
P ∧ (Q ∨ R) ≡ (P ∧ Q) ∨ (P ∧ R)
1
∼ (P ∧ Q) ≡ ∼ P ∨ ∼ Q
2
P ∨ (Q ∧ R) ≡ (P ∨ Q) ∧ (P ∨ R)
2
∼ (P ∨ Q) ≡ ∼ P ∧ ∼ Q
La prueba de todas estas equivalencias se realizan a través de
tablas de verdad mostrando que los bicondicionales correspondientes son tautologı́as.
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Equivalencias importantes
La siguientes equivalencias se pueden probar a través de tablas
de verdad mostrando que los bicondicionales correspondientes
son tautologı́as o derivando resultados de las equivalencias que
conocemos hasta el momento.
Ejercicios
1
(P ⇒ Q) ≡ (∼ P ∨ Q) (Condicional-negación y disyunción)
2
∼ (P ⇒ Q) ≡ (P ∧ ∼ Q) (Negación del condicional).
3
(P ⇒ Q) ≡ (∼ Q ⇒∼ P ) (Contrarrecı́proco).
4
(P ∧ (Q ∨ ∼ Q)) ≡ P (Absorción).
5
(P ∨ (Q ∧ ∼ Q)) ≡ P (Absorción).
6
(P ⇔ Q) ≡ ((P ⇒ Q) ∧ (Q ⇒ P ))
(Bicondicional-condicional)
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Equivalencias importantes
La siguientes equivalencias se pueden probar a través de tablas
de verdad mostrando que los bicondicionales correspondientes
son tautologı́as o derivando resultados de las equivalencias que
conocemos hasta el momento.
Ejercicios
1
(P ⇒ Q) ≡ (∼ P ∨ Q) (Condicional-negación y disyunción)
2
∼ (P ⇒ Q) ≡ (P ∧ ∼ Q) (Negación del condicional).
3
(P ⇒ Q) ≡ (∼ Q ⇒∼ P ) (Contrarrecı́proco).
4
(P ∧ (Q ∨ ∼ Q)) ≡ P (Absorción).
5
(P ∨ (Q ∧ ∼ Q)) ≡ P (Absorción).
6
(P ⇔ Q) ≡ ((P ⇒ Q) ∧ (Q ⇒ P ))
(Bicondicional-condicional)
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Solución
Veamos que (P ⇒ Q) ⇔ (∼ P ∨ Q) es una tautologı́a.
Elaboremos su tabla de verdad:
P Q ∼ P P ⇒ Q ∼ P ∨ Q (P ⇒ Q) ⇔ (∼ P ∨ Q)
V V
F
V
V
V
V F
F
F
F
V
F V
V
V
V
V
F F
V
V
V
V
1
2
Usando las equivalencias vistas, tenemos:
∼ (P ⇒ Q) ≡∼ (∼ P ∨ Q) Ejercicio 1
≡∼ (∼ P ) ∧ ∼ Q Leyes de De Morgan
≡ P ∧ ∼ Q Doble negación.
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Inferencias lógicas
Para definir las inferencias lógicas es necesario precisar algunos conceptos tales como razonamiento y demostración.
Razonamiento
Es el proceso que se realiza
para obtener una
demostración.
Demostración
es el encadenamiento de
proposiciones que permiten obtener
otra proposición, llamada conclusión,
a partir de ciertas proposiciones
iniciales supuestas como verdaderas,
que reciben el nombre de premisas.
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Inferencias lógicas
Inferencias lógicas
Son las conclusiones que se pueden obtener después de
realizar un razonamiento, este razonamiento solamente es
verdadero si se cumplen las siguientes condiciones:
1
Las premisas deben ser verdaderas.
2
Durante el proceso de deducción las premisas deben
relacionarse sujetas a las leyes de la lógica.
Sergio Solano Sabié
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Relaciones entre proposiciones
Leyes del algebra de proposiciones
Reglas de inferencia lógica
Funciones proposicionales y Cuantificadores
Reglas de inferencia
A continuación se muestran las Reglas de Inferencia más utilizadas en la derivación de un argumento. La prueba de todas estas
implicaciones se realizan a través de tablas de verdad mostrando que los bicondicionales correspondientes son tautologı́as.
Adición (A)
Simplificación (S)
De P ∧ Q podemos inferir P .
Esquematicamente,
De P podemos inferir P ∨ Q.
Esquematicamente,
P ∧Q
P
P
P ∨Q
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Modus Ponendo Ponens (MP)
Modus Tollendo Tollens (MT)
De P ⇒ Q y P podemos inferir
Q. Esquematicamente,
De P ⇒ Q y ∼ Q podemos
inferir ∼ P . Esquematicamente,
P ⇒Q
P ⇒Q
P
∼Q
Q
∼P
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Silogismo Disyuntivo (SD)
De P ∨ Q y ∼ Q podemos
inferir P . Esquematicamente,
Silogismo Hipotético (SH)
De P ⇒ Q y Q ⇒ R podemos
inferir P ⇒ R.
Esquematicamente,
P ∨Q
P ⇒Q
∼Q
Q⇒R
P
P ⇒R
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Adjunción (AD)
De P y Q podemos inferir
P ∧ Q. Esquematicamente,
Dilema Constructivo (DC)
De P ⇒ Q, R ⇒ S y P ∨ R
podemos inferir Q ∨ S.
Esquematicamente,
P
P ⇒Q
Q
R⇒S
P ∧Q
P ∨R
Q∨S
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Ejemplo 6.1
Demostrar c a partir de las premisas dadas.
Premisa 1: ∼ b
Premisa 2: a ⇒ b
Premisa 3: ∼ a ⇒ c
Demostración.
1. ∼ b (P)
2. a ⇒ b (P)
3. ∼ a MT(1,2)
4. ∼ a ⇒ c (P)
5. c MP(3,4)
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Ejemplo 6.2
Si un hombre se orienta siempre por su sentido del deber, tiene
que renunciar al goce de muchos placeres, y si se guı́a
siempre por su deseo de placer, a menudo olvidará su deber. O
bien un hombre se guı́a siempre por su sentido del deber, o
bien siempre se orienta por su deseo de placer. Si un hombre
se guı́a siempre por su sentido del deber, no descuidará a
menudo su deber, y si siempre se guı́a por su deseo de placer,
no renunciará al goce de muchos placeres. Luego, un hombre
debe renunciar al goce de muchos placeres si y sólo si no
descuida a menudo su deber.
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Solución. Tomando el siguiente lenguaje formal:
P : se orienta por su sentido del deber
Q: renuncia al goce de placeres
R: se guı́a por su deseo de placer
S: olvidará su deber
Las premisas quedan ası́:
1. P ⇒ Q
2. R ⇒ S
3. P ∨ R
4. P ⇒∼ S
5. R ⇒∼ Q
Conclusión: Q ⇔∼ S.
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1. P ∨ R (P)
2. P ⇒ Q (P)
3. R ⇒ S (P)
4. Q ∨ S DC(1,2,3)
5. P ⇒∼ S (P)
6. R ⇒∼ Q (P)
7. ∼ S∨ ∼ Q DC (1,5,6)
8. Q∨ ∼ (∼ S) Doble nagación aplicada en 4.
9. Q ⇒∼ S Condicional-negación y disyunción aplicada en 8.
10. ∼ S ⇒ Q Condicional-negación y disyunción aplicada en 7.
11. (Q ⇒∼ S) ∧ (∼ S ⇒ Q) AD(9,10)
12. Q ⇔∼ S Bicondicional-condicional aplicado a (10,11)
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Funciones proposicionales
Definición 7.1
Sea A un conjunto dado. Una función proposicional definida
sobre A es una expresión p(x), la cual tiene la propiedad que
p(a) es verdadera o falsa para cada a ∈ A. El conjunto A es
llamado dominio de p(x), y el conjunto Tp de todos los
elemento de A para los cuales p(a) es verdadero es llamado el
conjunto de verdad de p(x). En otras palabras,
Tp = {x : x ∈ A, p(x) es verdadera}
Frecuentemente, cuando A es algún conjunto de números, la
condició p(x) tiene la forma de una ecuación o inecuación que
involucra la variable x.
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Funciones proposicionales y Cuantificadores
Funciones proposicionales
Ejemplo 7.1
Hallar el conjunto de verdad de cada función proposicional p(x)
definida sobre el conjunto N de números naturales.
1
Sea p(x) : x + 2 > 7. El conjunto de verdad es
Tp = {x : x ∈ N, x + 2 > 7} = {6, 7, 8, . . .}
que consiste de todos los naturales mayores que 5.
2
Sea p(x) : x + 5 < 3. El conjunto de verdad es
Tp = {x : x ∈ N, x + 5 < 3} = ∅
el conjunto vacı́o.
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Cuantificador universal
Sea p(x) una función proposicional definida sobre un conjunto
A. Considere la expresión
(∀x ∈ A)p(x) o ∀xp(x)
la cual se lee “Para todo x en A, p(x) es una declaración verdadera ” o, simplemente, “Para todo x, p(x)”. El sı́mbolo
∀
el cual se lee “para todo ” o “para cada” es llamado el cuantificador universal.
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Cuantificador universal
Ejemplo 7.2
1
La proposición (∀n ∈ N)(n + 4 > 3) es verdadera
2
La proposición (∀n ∈ N)(n + 2 > 8) es falsa
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Cuantificador existencial
Sea p(x) una función proposicional definida sobre un conjunto
A. Considere la expresión
(∃x ∈ A)p(x) o ∃x, p(x)
la cual se lee “Existe un x en A tal que p(x) es una declaración
verdadera ” o, simplemente, “Para algún x, p(x)”. El sı́mbolo
∃
el cual se lee “existe ” o “para algún ” es llamado el cuantificador existencial.
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Cuantificador existencial
Ejemplo 7.3
1
La proposición (∃n ∈ N)(n + 4 < 7) es verdadera
2
La proposición (∃n ∈ N)(n + 6 < 4) es falsa
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Negación de declaraciones cuantificadas
Teorema 7.1 (De Morgan)
∼ (∀x ∈ A)p(x) ≡ (∃x ∈ A) ∼ p(x)
Teorema 7.2 (De Morgan)
∼ (∃x ∈ A)p(x) ≡ (∀x ∈ A) ∼ p(x)
Ejemplo 7.4
1
∼ (∀n ∈ N)(n + 4 > 3) ≡ (∃n ∈ N)(n + 4 ≤ 3).
2
∼ (∃n ∈ N)(n + 4 < 7) ≡ (∀n ∈ N)(n + 4 ≥ 7).
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Funciones proposicionales y Cuantificadores
GRACIAS POR SU ATENCIÓN
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