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UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD
ESCUELA DE CIENCIAS DE LA EDUCACION
CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 551103 – EPISTEMOLOGÍA DE LAS MATEMÁTICAS (Lic. en Matemáticas)
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA
ESCUELA DE CIENCIAS DE LA EDUCACION
PROGRAMA LICENCIATURA EN MATEMATICAS
551103 – EPISTEMOLOGIA DE LAS MATEMATICAS
(Lic. en Matemáticas)
RICARDO GOMEZ NARVAEZ
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Palmira, Valle, Abril 2013
INFORMACIÓN GENERAL DEL CURSO
ESCUELA: Ciencias de la Educación
SIGLA: ECEDU
PROGRAMA: Licenciatura en Matemáticas
NIVEL: Profesional
CAMPO DE FORMACIÓN: Profesional Específico.
CURSO: Epistemología de las matemáticas (Lic. en matemáticas)
TIPO DE CURSO: Teórico
N° DE CREDITOS: 2
N° DE SEMANAS: 16
NÚCLEO PROBLEMICO AL QUE CORRESPONDE EL CURSO:
Comprensión y reflexión de la lógica de la enseñanza de las matemáticas a través de los
conocimientos fundamentales matemáticos de manera que identificar la relación de la
epistemología matemática con los procesos de enseñanza.
CONOCIMIENTOS PREVIOS:
El alumno deberá conocer sobre la historia básica de las matemáticas, sobre la epistemología
básica y la Educación Matemática.
DIRECTOR DEL CURSO: Ricardo Gómez Narváez
INTENCIONALIDADES FORMATIVAS DEL CURSO
Propósitos:
-
-
Que el alumno alcance las bases teóricas de la epistemología, métodos, y
su relación con el conocimiento científico, la filosofía de la ciencia y de la
Matemática
Que el alumno se logre alcanzar el conocimiento del desarrollo histórico y
epistemológico de la Matemáticas, mostrándole los rasgos característicos
que han ido adquiriendo el conocimiento matemático y su validación
Competencias generales del curso:
-
Comprender los fundamentos propios de la Epistemología y conocimiento
científico.
Conocer sobre la ciencia matemática y los sistemas axiomáticos formales
Aprender lo que significa la historia y la epistemología de las Matemáticas
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UNIDAD 1:
Capítulo 1: Teorías básicas de la epistemología
Lección 1: ¿Qué es la epistemología?
El concepto de epistemología presentado en el diccionario filosófico de es:
“Tratado, doctrina acerca del saber. Teoría del conocimiento”.
Si se quiere definir áreas o teorías del conocimiento de una ciencia es emprender
un proyecto elevado y considerado, porque nos encontraremos con definiciones
difíciles de entender.
Para profundizar el concepto de epistemología se recomienda la lectura del
siguiente artículo del Dr. Nelson Campos Villalobos1: “Epistemología en
educación. Qué es realmente y su aplicación”. Que lo encontramos en el siguiente
link:
Epistemología en educación. Qué es realmente y su aplicación
Lección 2: ¿Qué son las matemáticas?
Tenemos el conocimiento de que la matemática es la ciencia deductiva que se
dedica al estudio de las propiedades de los objetos abstractos y de sus
relaciones. Donde los objetos abstractos de la matemática son números,
símbolos, figuras geométricas, etc.
1
Epistemología en educación. Qué es realmente y su aplicación. Revista Epistemología y Educación 24/08/2011.
http://www.filosofiadelaeducacion.cl/articulo-detalle.php?artId=12
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Las matemáticas es una ciencia que trata sobre las estructuras matemáticas, se
puede decir que es un conjunto entre cuyos elementos existen y se determinan
ciertas relaciones.
De acuerdo a la historia los primeros desarrollos surgió en la antigüedad por las
necesidades que presentaba el hacer practico, y el objeto que tenía era elaborar
una estructura para los números y las figuras geométricas.
Uno de los primeros desarrollos era definir el concepto de número, las bases de
numeración y resolución de los problemas geométricos, uno de los escritos muy
conocido son los trece libros de Euclides.
Las matemáticas no cambia mucho hasta el siglo XVII, desde esta época hasta
mediados del siglo XIX es donde se presenta cambios en las matemáticas con el
inicio de las matemáticas infinitesimales, la nueva geometría no euclidiana, los
desarrollos de Newton, Leibniz, los descubrimientos de Gauss, la aparición de los
números complejos, la vigorización de las matemáticas y el cálculo de variaciones.
Desde mediados del siglo XIX hasta inicios del siglo XIX, las matemáticas sufren
cambios constantes es en esta época que aparece las teorías de Galois con el
álgebra Abstracta, la teoría de conjuntos con los aportes de Cantor, el análisis de
Weierstrass, la definición de número real, con las cortaduras de Dedekind, la
aritmética transfinita, los axiomas de Peano, los cuaterniones de Hamilton, la
teoría de matrices de Cayley, y la lógica de Boole.
Ya a partir del siglo XX, se da inicio a la naturaleza de las matemáticas, aquí
aparecen figuras de la Lebesgue con la formalización de la teoría de la
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integración, la teoría de funciones de Poincare, los problemas de Hilbert, la
topología, el teorema de Godel y la teoría de las probabilidades.
Las matemáticas hoy en día se consideran como una ciencia exacta, que presenta
modelos de aplicación en la Biología, Física, Ingeniería, Medicina, y hasta en las
ciencias sociales.
Lección 3: Epistemología en la educación matemática.
Para hablar de la epistemología de las matemáticas, entonces se debe abordar el
“saber” matemático, se debe abordar “la teoría del conocimiento matemático”, el
estudio de problemas filosóficos originados en las matemáticas. Pero para lograrlo
debemos hacerlo a través del conocimiento histórico, para lograr entender el
desarrollo de estos problemas matemáticos y las implicaciones que conllevaron.
Un artículo que hace referencia de este tema es el presentado por el profesor de
la Universidad Nacional Alberto Campos, en su artículo: “Acerca de la
epistemología de la matemática”, que encontramos en el siguiente Link.
Acerca de la epistemología Matemática
A partir del renacimiento, la sociedad y el pensamiento occidente recibe un cambio
en el tipo de problemas y la filosofía de la edad media.
Según muchos autores ese período histórico se caracteriza por ser una época de
crítica al pasado inmediato. El renacimiento marca el inicio de descubrimientos e
inquietudes que se prolongan en la filosofía moderna europea.
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Las ciencias comienzan a definir sus estructuras con sus caminos, metodologías,
etc., para poder llegar a la verdad.
Los filósofos anhelan un lenguaje tan exacto como el de las ciencias que es el
lenguaje matemático.
La filosofía no posee ese lenguaje matemático pero posee otro que es la razón. Si
bien esta es cuestionada y produce enfrentamientos y debates esta es el órgano
específico de la filosofía.
Pero el conocimiento hace pensar que la filosofía no es algo seguro. Hay
afirmaciones filosóficas que no se sostienen cuando se las somete a una crítica
minuciosa.
Por eso los filósofos quieren definir un método para poder utilizarlo con seguridad
para la búsqueda de soluciones y de la verdad.
El conocimiento no se acepta indiscutiblemente, es sometido a un análisis estricto.
Lección 4: El problema del conocimiento
Teoría del Conocimiento es uno de los temas más estudiados por los filósofos.
Desde los antiguos filósofos griegos lo han trabajado arduamente, alcanzando
con ello otras ramas para lograr definirlo, ramas que ahora se estudian por
separado como los son el idealismo, realismo, empirismo, escepticismo.
El estudio posterior a los filósofos griegos de la teoría de conocimiento se inicia
con Rene Descartes que buscaba los límites del conocimiento, luego Kant lo
aborda en su libro “Critica de la Razón Pura”, pasando por Hume en su escrito
“Teoría del conocimiento”
En el mundo moderno, el problema del conocimiento se convierte en una pregunta
importante para los filósofos, científicos y sicólogos. Las nuevas investigaciones
sobre el conocimiento tienen que iniciar con las teorías de referente filosófico y
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luego pasar a otro plano, por eso el concepto de conocimiento es muy difícil o
poco precisa de definir.
Uno de los artículos que sugerimos abordar para tener una idea de la teoría del
conocimiento es el que sigue a continuación:
Teoría del conocimiento2
Capítulo 2: FUNDAMENTOS DE LA ARITMÉTICA
Lección 6: Aspectos fundamentales de la matemática griega.
Si se lee la historia de la matemáticas es recurrente encontrar que los aportes de
los matemáticos griegos fue la de transformar la matemática empírica de las
civilizaciones de Mesopotamia y egipcias, en una matemática teórica y deductiva,
por ello se dice que los griegos crearon una teoría matemática en la que se
demostraba sus construcciones por deducción a partir de un conjunto de axiomas,
postulados, definiciones.
Pero estos aportes se produjo en un largo periodo, que se inicia con los trabajos
de Tales Mileto y terminando en los trece libros de Euclides de Alejandría.
Con el siguiente artículo:
Matemática Griega3
Se sugiere para dejar una buena referencia de la matemática griega.
2
Tomado de: http://revistasinvestigacion.unmsm.edu.pe/index.php/anales/article/view/943/768
3
Este artículo lo puede encontrar en la página: http://casanchi.com/did/01_matemgre.pdf
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Lección 7: El problema de los inconmensurables.
En la antigua Grecia los estudiosos de la matemática tenían la idea de que dos
segmentos tenían siempre una parte alícuota común, o sea que se podían medir o
que son conmensurables. Como Pitágoras había desarrollado la forma de
encontrar la magnitud del lado de mayor longitud del triángulo rectángulo, en este
teorema se encontró con el problema de hallar la hipotenusa de un triángulo
rectángulo cuando dos se sus lados tenían magnitud una unidad, el problema fue
que esta magnitud le daba como resultado un número que hasta el momento de
los Pitagóricos no habían tratado, es decir √2.
Los pitagóricos se alarmaron por la existencia de este tipo de números que
consideraban "tan raros", ya que contradecían sus teorías porque ellos
consideraban a los números como entes perfectos además que gobernaba el
universo y todo lo que en él existía.
Esta clase de números los consideraron tan extraños que decidieron mantener en
su descubrimiento dado que mostraba la fragilidad de sus ideas, pero según la
historia , uno de ellos los traicionó revelando este secreto, claro está que fue
ejecutado.
En el artículo de Pedro Miguel González Urbaneja, que se revisa a continuación
se hace una buena presentación de este tema: El problema de los
inconmensurables.
Problema de los Inconmensurables.4
4
Tomado de: http://www.hezkuntza.ejgv.euskadi.net/r43573/es/contenidos/informacion/dia6_sigma/es_sigma/adjuntos/sigma_33/8_solucion_eudoxo_33
.pdf
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Lección 8: Fundamentación de los números naturales.
Para los griegos, un número se consideraba como la cantidad o una medida
representada, este podía ser por un entero natural, o por una relación de dos
enteros naturales (los racionales). Lo que se consideraba a “número” como una
abstracción ligada a conjuntos de objetos y que se divide, por consideración de los
conjuntos infinitos, en dos conceptos diferentes.
En la actualidad, se define un número como elemento de un conjunto de números
que deben verificar ciertas propiedades. Los números hoy en día se definen como
Naturales N, Enteros Z, Racionales Q, Irracionales I y los números Complejos C, Y
los números reales se construyeron por etapas sucesivas (cortaduras de
Dedekind) a partir del conjunto de los números naturales.
El conjunto de los números naturales contiene clases simbolizadas por cifras que
expresan el número de elementos que contiene un conjunto dado. Por ejemplo, el
número natural 4 representa a un conjunto formado por cuatro elementos.
El conjunto de los números naturales se denota por N = {1, 2, 3, 4,...}. En sentido
estricto, este conjunto no contiene al cero; si se quiere incluir este elemento en el
conjunto, se denota por N* = {0, 1, 2, 3, 4,...}.
Entre los números naturales no se contemplan los valores negativos. Por tanto,
este conjunto puede interpretarse intuitivamente como aquel que sirve para contar.
En él pueden definirse operaciones de suma, resta, multiplicación y división, así
como relaciones de orden (mayor que, menor que)
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Lección 9: Fundamentación de los números reales.
Los números racionales e irracionales forman los números reales, el conjunto de
estos números se designa por la letra R. El origen del número irracional esta
siempre en la intuición geométrica y es en la misma geometría de Pitágoras quien
fue el primero en señalarlo en su famoso teorema, y que lo denominó “como
numero extraño
Los matemáticos griegos también estudiaron estos números irracionales sencillos
y otros cada vez más complejos encontrándose en Euclides, esencialmente se
puede decir que los griegos se limitaron a trabajar con números irracionales que
se derivan de su aplicación repetida de la extracción de raíces cuadradas sin
llegar nunca a tener la idea de número irracional.
Este apareció hasta el final del siglo XVI al introducirse los números decimales,
cuyo
uso
se
generalizo
con
el
uso
de
la
tabla
de
logaritmos.
Cuando se transforma un quebrado ordinario en decimal, se pueden obtener
además de números limitados e ilimitados y que son periódicos necesariamente,
también no hay nada que impida que un número decimal sea periódico y que este
no obedece a ninguna ley determinada. Con esto se tiene ya el concepto de
número irracional.
Históricamente el cálculo obligo así a que se introdujeran nuevos conceptos y que
se consideraran tan importantes, se utilizaban al reconocer su extraordinaria
utilidad. A mediados del siglo XIX se vio la necesidad de formular la manera
precisa y aritméticamente los fundamentos de los números irracionales.
Weierstrass fue el primero que abrió el camino de estas investigaciones a través
de las lecciones que explico en la Universidad de Berlín en el año 1872, pero con
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las teorías de conjuntos de G. Cantor abre un camino para que Dedekind realice
un estudio riguroso en el tratamiento de los números reales, el cual permite
extender la concepción de número con las cortaduras que llevan su nombre.
Lección 10: Los números complejos.
Los números complejos que aparecieron en el siglo I con Herón de Alejandría,
luego de Herón el matemático Diophantus o Diofanto, realiza una serie de trabajos
donde encuentra ecuaciones que no tiene raíces reales. Pero cerca del siglo XVI,
en Italia, los Algebristas se dedican a investigar seriamente estos números. Es en
el libro “Ars Magna”, obra de Gerolamo Cardano, es que se presenta los métodos
de resolución de las ecuaciones de tercer y cuarto grado e incluye un tratado de
los números complejos.
Fue Rene Descartes quien le dio el nombre de número imaginario, pero luego se
le llamo número complejo. Los números complejos en un principio no fueron
aceptados hasta el siglo XVIII, cuando se les dio una interpretación geométrica
con Wessel, En 1777 el matemático suizo Leonard Euler introdujo el símbolo i (por
“imaginario”), que después de eso se adoptó de manera general, y por definición:
i2=-1. En 1833, William Rowan Hamilton (Inglaterra 1805-1865) da la primera
definición algebraica rigurosa de los complejos como pares de números reales.
La presencia de los números complejos en diversas áreas de las matemáticas en
este siglo puede ser clasificada de manera muy genérica de la siguiente forma:
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a) ALGEBRA. La solución de ecuaciones algebraicas motivó la introducción de los
números complejos. Estos complejos constituyen por su parte un cuerpo cerrado
donde muchos problemas de algebra lineal y otras áreas del algebra abstracta
encontraron solución.
b) ANALISIS. El siglo XIX fue testigo del desarrollo de una poderosísima y
bellísima rama de las matemáticas, la teoría de funciones complejas. Uno de los
elementos más sorprendentes es que la condición de diferenciable implica la de
infinitamente diferenciable, hecho sin análogo en las funciones reales.
c) GEOMETRIA. Los números complejos introdujeron generalidad y propiedades
de simetría en varias ramas de la geometría, tanto Euclidiana como la no
Euclidiana.
d) TEORIA DE NUMEROS. Ciertas ecuaciones diofanticas pueden ser resueltas
con el uso de complejos.
Los fundamentos de los números complejos con sus propiedades la encontrarán
en el siguiente documento:
Numeros complejos 5.
Capítulo 3: Epistemología del algebra:
Un proceso natural, que establece la epistemología para la construcción de un
conocimiento, se fundamenta en dos partes: Primero, la necesidad de tener una
5
Tomado de: http://www.uhu.es/320099001/Docencia/tema%201.pdf
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fuente o fenómeno de observación, y Segundo, la información que se adquiere
debido a la interacción con la realidad, se fundamenta y se organiza a partir del
modelo epistemológico que cualquier observador contenga. Para la matemática el
álgebra necesita de mucha observación, de habilidad y de comprensión de los
fundamentos aritméticos.
Lección 11: Historia del Algebra
En la historia del álgebra, se destacan estos dos aspectos, donde, por una parte,
las necesidades respectivas de la época, son el fenómeno por estudiar para
satisfacerlas, y por otra, se puede apreciar, cómo los distintos personajes utilizan
sus respectivos modelos de pensamiento para solucionarlas. Teniendo este
fenómeno epistemológico, se analizan las siguientes concepciones cognitivas que
intervienen a la hora de crear un saber determinado.
En el siguiente cuadro 1 se presenta el inicio del algebra y un poco de historia.
Desde el siglo XVII a.c. Los matemáticos de Mesopotamia y de Babilonia ya sabían
resolver ecuaciones de primero y segundo grado. Además resolvían también,
algunos sistemas de ecuaciones con dos ecuaciones y dos incógnitas
En el siglo XVI aC. Los egipcios desarrollaron un álgebra muy elemental que
usaron para resolver problemas cotidianos que tenían que ver con la repartición de
víveres, de cosechas y de materiales. Ya para entonces tenían un método para
resolver ecuaciones de primer grado que se llamaba el "método de la falsa
posición". No tenían notación simbólica pero utilizaron el jeroglífico hau (que quiere
decir montón o pila) para designar la incógnita.
Alrededor del siglo I dC. Los matemáticos chinos escribieron el libro Jiu zhang suan
shu ( que significaEl Arte del cálculo), en el que plantearon diversos métodos para
resolver ecuaciones de primero y segundo grado, así como sistemas de dos
ecuaciones con dos incógnitas. Con su ábaco (suan zí) tenían la posibilidad de
representar números positivos y negativos.
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En el siglo II, el matemático griego Nicómaco de Gerasa publicó su Introducción a
la Aritmética y en ella expuso varias reglas para el buen uso de los números.
En el siglo III el matemático griego Diofanto de Alejandría publicó su Aritmética en
la cual, por primera vez en la historia de las matemáticas griegas, se trataron de
una forma rigurosa no sólo las ecuaciones de primer grado, sino también las de
segundo. Introdujo un simbolismo algebraico muy elemental al designar la incógnita
con un signo que es la primera sílaba de la palabra griega arithmos, que significa
número. Los problemas de álgebra que propuso prepararon el terreno de lo que
siglos más tarde sería "la teoría de ecuaciones". A pesar de lo rudimentario de su
notación simbólica y de lo poco elegantes que eran los métodos que usaba, se le
puede considerar como uno de los precursores del álgebra moderna.
En el siglo VII los hindúes habían desarrollado ya las reglas algebraicas
fundamentales para manejar números positivos y negativos.
Siglo IX. Época en la que trabajó el matemático y astrónomo musulmán AlJwarizmi, cuyas obras fueron fundamentales para el conocimiento y el desarrollo
del álgebra. Al - Jwarizmi investigó y escribió acerca de los números, de los
métodos de cálculo y de los procedimientos algebraicos para resolver ecuaciones y
sistemas de ecuaciones. Su nombre latinizado dio origen a la palabra algoritmo
que, usada primero para referirse a los métodos de cálculos numéricos en
oposición a los métodos de cálculo con ábaco, adquirió finalmente su sentido
actual de "procedimiento sistemático de cálculo". En cuanto a la palabra álgebra,
deriva del título de su obra más importante, que presenta las reglas fundamentales
del álgebra, Al-jabr wal muqabala.
En el siglo X vivió el gran algebrista musulmán Abu Kamil, quien continuó los
trabajos de Al-Jwarizmi y cuyos avances en el álgebra serían aprovechados en el
siglo XIII por el matemático italiano Fibonacci. Durante este mismo siglo, el
matemático musulmán Abul Wafa al Bujzani, hizo comentarios sobre los trabajos
de Diofanto y Al-Jwarizmi y gracias a ellos, los europeos conocieron la Arithmetica
de Diofanto.
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1202. Después de viajar al norte de África y a Oriente, donde aprendió el manejo
del sistema de numeración indoarábigo, Leonardo de Pisa, mejor conocido como
Fibonacci, publicó el Liber Abaci (Tratado del Ábaco) obra que en los siguientes
tres siglos fue la fuente principal para todos aquellos estudiosos de la aritmética y
el álgebra.
En el siglo XV, el matemático francés Nicolás Chuquet introdujo en Europa
occidental el uso de los números negativos, introdujo además una notación
exponencial muy parecida a la que usamos hoy en día, en la cual se utilizan
indistintamente exponentes positivos o negativos.
En 1489 el matemático alemán Johann Widmann d´Eger inventó los símbolos "+" y
"-" para sustituir las letras "p" y "m" que a su vez eran las iniciales de las palabras
piu (más) y minus (menos) que se utilizaban para expresar la suma y la resta.
En 1525, el matemático alemán Christoph Rudolff introdujo el símbolo de la raíz
cuadrada que usamos hoy en día: Este símbolo era una forma estilizada de la letra
"r" de radical o raíz.
Entre 1545 y 1560, los matemáticos italianos Girolamo Cardano y Rafael Bombelli
se dieron cuenta de que el uso de los números imaginarios era indispensable para
poder resolver todas las ecuaciones de segundo, tercero y cuarto grado.
En 1557 el matemático inglés Robert Recorde inventó el símbolo de la igualdad, =.
En 1591 el matemático francés François Viète desarrolló una notación algebraica
muy cómoda, representaba las incógnitas con vocales y las constantes con
consonantes.
En 1637 el matemático francés René Descartes fusionó la geometría y el álgebra
inventando la "geometría analítica". Inventó la notación algebraica moderna, en la
cual las constantes están representadas por las primeras letras del alfabeto, a, b,
c,… y las variables o incógnitas por las últimas, x, y, z. Introdujo también la
notación exponencial que usamos hoy en día.
Cuadro 1: Historia de las matemáticas6
6
Documento que puede encontrar en:
http://redescolar.ilce.edu.mx/redescolar/act_permanentes/mate/nombres/mate3a/mate3a.htm
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Lección 12: ¿Qué es el álgebra elemental y el problema de su aprendizaje?
En las instituciones educativas el área de las matemáticas básica es enseñada en
tres bloques: la aritmética, el álgebra y la geometría, la aritmética que es el inicio
de las matemáticas responde al estudio de las cantidades discretas, la geometría
se inmersa en las cantidades continuas y el álgebra corresponde a la rama de las
matemáticas que generaliza las operaciones y relaciones que efectuamos entre
cantidades.
Pero el álgebra no es la de generalización de la aritmética, sino aquella donde se
presentan modelos de los demás ramas de la matemática. Es por ello que se debe
considerar el álgebra como una herramienta útil de modelación.
Por el momento es muy clara la definición de álgebra, pero aparece un
cuestionamiento que es que abordaremos con el siguiente artículo de Kieran, C. y
Filloy Yague, E. (1989), y es el del problema que se presenta en los colegios cn el
aprendizaje del algebra:
EL APRENDIZAJE DEL ÁLGEBRA ESCOLAR 7
Lección 13: Ruptura de la aritmética y el algebra
7
Este documento lo puede encontrar en: ddd.uab.es/pub/edlc/02124521v7n3p229.pdf
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Uno de los problemas que se encuentra un docente de matemáticas cuando
enseña algebra, es convencer al estudiante de que el álgebra es una herramienta
que simplifica procesos aritméticos. Y muchos de estos estudiantes se mentalizan
en que el álgebra es “más complicada” que la aritmética.
No se busca que los estudiantes dejen a un lado lo aritmético, sino que
comprendan que en la estructura aritmética hay procesos que no son
convenientes hacerlos, y que el álgebra es la herramienta que nos ayuda a
simplificar estos procesos.
Mason (1996) formula que la diferencia entre aritmética y álgebra es que:
“la aritmética procede directamente de lo conocido a lo desconocido utilizando
cálculos conocidos; el álgebra procede indirectamente de lo desconocido vía lo
conocido a ecuaciones y desigualdades que pueden ser resueltas utilizando
técnicas establecidas” (p. 23).
En el artículo de Gustavo Barallobres (2000), nos presenta la ruptura entre la
aritmética y el álgebra de una manera muy didáctica.
Algunos elementos de la didáctica del álgebra8
Lección 14: Utilidad del Algebra
El álgebra que nos enseñan en la secundaria es descrita como la forma de
representar de manera simbólica con incógnitas y números lo que nos surge en la
vida cotidiana. Es por eso que cuando se está aprendiendo algebra en el colegio,
8
Este artículo se puede encontrar en:
http://www.google.com.co/#gs_rn=15&gs_ri=psy-ab&suggest=p&cp=66&gs_id=3e&xhr=t&q=ecaths
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aparece la pregunta: “¿para qué nos enseñan álgebra?”, si yo voy a ser médico
¿En qué voy a utilizar el álgebra? Generalmente en esta época se tiene la
concepción de que estudiar algebra es manera más de perder el tiempo, pero lo
que ellos no sabían era que sin intención la aplicaban día a día en sus vidas.
Pero un ejemplo que siempre he presentado cuando enseñe algebra es cuando le
comente a un alumno, si sabía a qué velocidad que tenía cuando se acercaba al
colegio. Aquí es donde se presenta una forma de utilizar el álgebra, si el
estudiante conoce la distancia del colegio a la casa y el tiempo que demora en dar
ese recorrido, lo que hace es dividir la distancia sobre el tiempo y obtiene la
velocidad que tiene en ese recorrido, es decir hace un proceso algebraico.
Con el siguiente ejemplo también se observa la utilidad del algebra: “Un día
estando en el salón, la profesora les pidió sacarle fotocopia a una página de un
libro, a quince de mis compañeros, la cual valía a $100 cada una o, a $1200 pesos
las quince, ya que la promoción en la fotocopiadora era que más de diez
fotocopias costaban a $80, en ese momento les surgió una duda, si compraban las
quise juntas ¿Cuánto tendrían que dar cada uno si solo existen monedas de $50 o
de $100 y ninguna sirve para completar ochenta pesos exactos? O, ¿tendrían que
pagar $100 doce alumnos, y tres alumnos no pagarían?, O simplemente pagaban
cada uno su fotocopia y se ahorraban tremendo problema; En ese momento llegue
y les pregunte ¿Qué si acaso las quince fotocopias a $1200 no era un
razonamiento no lineal, ya que no existe la moneda de $80? O, ¿que si la solución
fácil de cada una a $100 no era un razonamiento lineal ya que si tenían
exactamente la moneda de $100?, ellos sin saber habían estado indagando en un
problema de álgebra, cuando se la pasaban asegurando que en sus vidas nunca
aplicaban el álgebra, que no les servía para nada”
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Lección 15: La enseñanza del algebra
Se ha notado que en el nivel superior los estudiantes llegan a la universidad con
dificultades en el aprendizaje de las matemáticas, especialmente porque tienen un
nivel bajo en algebra y aritmética. Cuando se les presenta un problema algebraico
el estudiante no sabe a quién o a que recurrir, porque no se ha acostumbrado a
pensar matemáticamente, sino que siempre ha pensado mecánicamente. Por
ejemplo cuando se está enseñando a multiplicar comúnmente las escuelas hacen
que los niños se aprendan de memoria las famosas tablas de multiplicar, sin
darles la explicación de lo que significa “multiplicar”, igualmente cuando se enseña
algebra a los jóvenes se les enseña las reglas pero no a deducirla, entonces el
estudiante entra en el ámbito de la mecanización. Pero esta mecanización solo
estará consiente mientras esta en el curso o en el tema, luego se olvida.
Si a los estudiantes se les enseña a deducir las formulas algebraicas, o a
representarlas geométricamente es posible que cuando las vuelva a necesitar las
recordará o las aplicará.
El freno en el aprendizaje de los estudiantes en la universidad, no se debe a que
no saben, sino más bien a que lo que aprendieron mecánicamente y lo olvidaron
porque no lo siguieron manejando.
Por otro hay estudiantes que no aprenden algebra no porque no recuerden sino
porque no le encuentran la razón de ser de las ecuaciones o fórmulas algebraicas.
La cultura que se tiene de las matemáticas, y en especial del algebra, es que al
estudiante hay darles la razón de cada ecuación, para que sirve, en que la usa, en
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donde la encuentra en su vida cotidiana, y se notará que habrá interés en
aprender algebra.
Se sugiere el siguiente artículo de la Prof. Lina Soraya Llanos Vargas (2011)9,
de un trabajo sobre “Enseñanza del Álgebra y la Resolución de Problemas”, que
dará una buena información sobre el tema que tratamos.
Enseñanza del Álgebra y la Resolución de Problemas
Bibliografía Unidad 1
Mason, J. (1996). Expressing generality and roots of algebra. En N. Bednarz, C.
Kieran y L. Lee (Eds.), Approaches to Algebra. Perspectives for Research and
Teaching. London: Kluwer Academic Publishers.
UNIDAD 2:
Capítulo 4: FUNDAMENTOS DE LA GEOMETRÍA
Las matemáticas se han desarrollado gracias a la evolución del concepto de
número y de la geometría, y se sabe que las matemáticas modernas tienen sus
raíces en la matemática griega, babilónica y egipcia.
9
De hecho, las
Artículo tomado de:
http://cremc.ponce.inter.edu/360/revista360/matematica/Lina%20Llanos-%20Algebra.pdf
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construcciones de las pirámides, los monumentos y palacios que se elaboraron en
esta época antigua, fueron el inicio de una matemática que permitió la
construcción de un edificio llamado Geometría.
Lección 16: Los Elementos de Euclides.
Ya se ha conocido que los trece libros de los Elementos de Euclides formar parte
de uno de los textos teóricos más nombrado y utilizados en todos los tiempos.
Este escrito ha sido revisado, estudiado y criticado por los grandes matemáticos
de los siguientes siglos.
Su construcción nos obliga a comprender el manejo que da Euclides a los
conceptos de Longitud, Número y Magnitud. Pero no se conoce si estos libros
fueron escritos con la intensión de ser un texto para una academia o fueron
escrotos como texto investigativo.
Epistemológicamente, el nombre inicial del estos libros “Στοƪχεƪα” se ha traducido
también como “tratado” o “Curso”, por ello no se conoce la intencionalidad de los
trece libros de Euclides, como tampoco se sabe las razones que motivaron para
escribirlos ni las nociones conceptuales que les sirvieron de base.
Los que han estudiado las obras de Euclides coinciden en que estos libros
constituyen el origen de la forma y orden para las demostraciones, porque es
donde se presenta una secuencia lógica de los axiomas, definiciones, postulados
y las demostraciones de teoremas.
Los Elementos de Euclides constituyeron la base de todos los estudios
matemáticos durante siglos, pero los Elementos no es un escrito de todos los
conocimientos geométricos, se nota cuando se estudia que es un texto que
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procura dar enseñanza de la aritmética elemental conocida, donde los números
tenían un significado importante y donde se buscaba la relación Número-Magnitud.
Pero para entender el contexto axiomático de los Elementos, se requiere echar un
vistazo a la Metafísica y Física de Aristóteles, para así entender la mecánica de
las construcciones de los postulados y teoremas.
Recomendamos en siguiente trabajo de: ALBERTO DOU MASDEXEXAS10
Epistemología de los Elementos
Lección 17: El quinto postulado.
El primer libro de los Elementos de Euclides contiene los principios de la
geometría, en ella se presenta los postulados y axiomas, donde los axiomas
constituyen la base fundamental de todo el edificio euclidiano,
Los primeros 5 postulados que se establecen son los siguientes:
1. Trazar una línea recta desde un punto cualquiera a otro punto cualquiera.
2. Prolongar de una manera ilimitada en línea recta una recta limitada.
3. Describir un círculo para cada centro y cada radio.
4. Todos los ángulos rectos son iguales
5. Si una recta, al incidir sobre otras dos, forma del mismo lado ángulos
internos menores que dos rectos, las dos rectas prolongadas al infinito se
encontraran en el lado en que estén los ángulos menores que dos rectos.
10
Tomado de: http://dmle.cindoc.csic.es/pdf/HISTORIADELAMATEMATICA_1986_00_00_03.pdf.
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Con los primeros tres postulados Euclides nos está enseñando a trazar rectas y
círculos con regla y compas. Con el cuarto postulado se enseña la congruencia de
los ángulos rectos
Pero con el quinto postulado fue una de los más cuestionados y señalados, hasta
tal punto que muchos matemáticos intentaron demostrarlo argumentado que era
un teorema, e incluso Euclides no lo utiliza en ninguna otra demostración, quizás
dudando aun si es o no un axioma.
Durante los 20 siglos siguientes de escrito los Elementos los matemáticos han
presentado demostraciones sin que se llegue a una conclusión lógica, Una de las
demostraciones era optar por el método del absurdo, pero se concluyó que no
había contradicción lógica para negar el quinto postulado.
Luego del paso sucesivo de generaciones, intentaron obtener por derivación el
llamado "axioma de las paralelas", sin dejar nunca de afrontar el reto que
representaba este enunciado euclidiano, hasta desembocar, ya en el siglo XIX, a
una situación extraordinaria: el descubrimiento de la posibilidad de construir
geometrías no euclidianas, que, como luego se comprobó, tendrían aplicabilidad
real en los desarrollos de la Física cuántica y relativista del siglo XX.
Lección 18: Geometrías no euclidianas
La Geometría euclidiana se entiende como una de las componentes de la
Matemática que trata de las propiedades de las figuras en el plano y en el espacio,
y que junto a la Aritmética y el Álgebra y Análisis conforma el conjunto del edificio
matemático.
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La geometría no euclidiana aparece cuando no se logra demostrar uno de los
postulados importantes planteados por Euclides en sus Elementos. Este postulado
que en principio se consideraba demostrable y que Euclides solo lo mencionó es
el quinto postulado, ya citado arriba, y que formula la imposibilidad de que por un
punto exterior a una recta pueda ser trazada más de una paralela a dicha recta.
Sin embargo para a principios del siglo XIX, Gauss estaba convencido de que el
quinto postulado era independiente de los otros cuatro postulados. Empezó a
deducir una nueva geometría en la que más de una línea puede dibujarse que
pase por un punto dado y que sean paralelas a una recta dada, pero según se lee
en la historia Gauss nunca publicó este trabajo sino que lo mantuvo en secreto.
Es por eso que los reconocimientos de la geometría no euclidiana se ha dado al
matemático ruso Nikolai Ivanovich Lobachevski, ruso, al húngaro János Bolyai,
que de forma separada formulan el primer sistema de geometría no euclidiana”.
Lobachevsky lo hace publicó en “On the Principles of Geometry” en el Kazan
Messenger, dándole el nombre de la “geometría imaginaria” que, desde 1826,
había desarrollado. Y Bolyai lo publica en 1832 en el “Absolute Science of Space”,
apareciendo como un apéndice al tratado matemático de su padre titulado:
“Tentamen".
Aunque la geometría no euclidiana se mantuvo durante varias décadas marginada
de las apreciaciones matemáticas, es G.F.B. Riemann (1826-1866) cerca de 1854
en su disertación que lleva el título “Sobre las Hipótesis en que se apoyan los
Fundamentos de la Geometría”, donde insiste en darle un cambio a la visión de la
geometría, ya que su propuesta se refería a una geometría más general.
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Para profundizar sobre la geometría no euclidiana recomendamos el siguiente
artículo de Geometría de Riemann11 que se encuentra a continuación:
Geometría de Riemann
Lección 19: Geometría Analítica
En la matemática griega la aritmética y la geometría eran disciplinas separadas,
cada una de ellas contenía sus propios entes u objetos y métodos. Con el álgebra
se logra ampliar el campo de las operaciones aritméticas a objetos diferentes a los
aritméticos.
Uno de los primeros que le dio cimientos sólidos al algebra fue Rene Descartes,
cuando utiliza un lenguaje algebraico conocido hoy en día como el “método
analítico”.
Para Descartes el álgebra no era solo un instrumento para la descripción de un
fenómeno geométrico, sino que era el medio para entenderlos. Es por ello que el
método analítico no solo era usado para resolver problemas de tipo geométrico
sino que propuso un nuevo método general para resolver problemas matemáticos.
11
Artículo que lo puede encontrar en la página web:
http://www.matematicasyfilosofiaenelaula.info/Epistemologia%202009/Geometria%20de%20Riemann.pdf
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Revisando el siguiente artículo nos informamos sobre los conocimientos
presentados por Descartes:
Geometría sintética 12
Lección 20: El conocimiento cognitivo de la geometría
En los últimos años, en el campo de la Didáctica de las Matemáticas se han
presentado varias teorías cognitivas cuyos conceptos básicos no tienen el mismo
significado, a pesar de que utilizan terminología parecida; esto sucede con
nociones como visualización, capacidad espacial, razonamiento geométrico,
pensamiento espacial o visión espacial.
En el siguiente artículo de Raymond Duval, nos presenta el punto de vista
cognitivo de la geometría
La Geometría desde un Punto de Vista Cognitivo
Capítulo 5: FUNDAMENTOS DEL CÁLCULO
Lección 21: Antecedentes del cálculo infinitesimal.
El cálculo infinitesimal, también llamado "cálculo", tiene su origen en la antigua
geometría griega. Históricamente se ha encontrado que Demócrito calculó el
12
Este artículo se encuentra en la página web: http://revistasuma.es/IMG/pdf/39/013-025.pdf
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volumen de pirámides y conos a base de un número infinito de secciones de
grosor infinitesimal (infinitamente pequeño). Luego tenemos a Eudoxo y
Arquímedes utilizaron el "método de agotamiento" o exhaución para encontrar el
área de un círculo con la exactitud finita requerida mediante el uso de polígonos
regulares inscritos de cada vez mayor número de lados. Igualmente se conoce
que Pappus de Alejandría hizo contribuciones importantes sobre cálculo de áreas.
Pero con las dificultades para trabajar con números irracionales y las paradojas de
Zenón de Elea impidieron formular una teoría sistemática del cálculo en el periodo
antiguo.
Pasaron muchos años cuando en el siglo XVII, Cavalieri y Torricelli ampliaron el
uso de los infinitesimales. Luego Descartes y Fermat utilizaron el álgebra para
calcular el área y las tangentes (integración y Derivación en términos modernos).
Fermat y Barrow tenían la certeza de que ambos cálculos estaban relacionados,
hasta que Newton en Inglaterra y Leibniz en Alemania (se dice que casi en el
mismo momento) demostran que los problemas del área y la tangente son
inversos, lo que se conoce como teorema fundamental del cálculo.
En el siglo XVIII las aplicaciones del cálculo se volvieron notorias, pero había
dificultades con aquellas cantidades infinitas e infinitesimales, así como la intuición
geométrica, que causaban todavía confusión y duda sobre sus fundamentos. Y es
por eso que Berkeley que era un obispo y no era matemático criticó de manera
muy agresiva argumentado que los misterios de la religión no eran mayores que
aquellos de los que estaba plagada la matemática. Estas críticas hacen que la
estructura del cálculo tambaleara. Las críticas de Berkeley no fueron
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metodológicas
sino
también
de
significado,
porque
para
Berkeley
los
infinitesimales e infinitesimales de infinitesimales carecen de sentido.
Es a partir del siglo XIX donde los matemáticos Bolzano y Cauchy dan los
primeros pasos para darle bases sólidas
a la fundamentación matemática
contemplando las cantidades finitas, definiendo con precisión los conceptos de
límite en términos de épsilon-delta y de derivada. Luego Cauchy y Riemann
hicieron lo propio con las integrales, y Dedekind y Weierstrass con los números
reales. Por eso este periodo se llama periodo de la fundamentación del cálculo.
Por ejemplo, se supo que las funciones diferenciables son continuas y que las
funciones continuas son integrables, aunque los recíprocos son falsos. A principios
del siglo XX, el análisis se llamó no convencional, pero ya se apropió del uso de
los infinitesimales.
En la actualidad, el cálculo infinitesimal tiene un doble aspecto: por un lado, se ha
consolidado su carácter disciplinario en la formación de la sociedad culta del
conocimiento, destacando en este ámbito textos propios de la disciplina como el
de Louis Leithold, el de Earl W. Swokowski o el de James Stewart entre muchos
otros; por otro su desarrollo como disciplina científica que ha desembocado en
ámbitos tan especializados como el cálculo fraccional, la teoría de funciones
analíticas de variable compleja o el análisis matemático. El éxito del cálculo ha
sido extendido con el tiempo a las ecuaciones diferenciales, al cálculo de vectores,
al cálculo de variaciones, al análisis complejo y a la topología algebraica y la
topología diferencial entre muchas otras ramas.
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El desarrollo y uso del cálculo ha tenido efectos muy importantes en casi todas las
áreas de la vida moderna: es fundamento para el cálculo numérico aplicado en
casi todos los campos técnicos y/o científicos cuya principal característica es la
continuidad de sus elementos, en especial en la física. Prácticamente todos los
desarrollos técnicos modernos como la construcción, aviación, transporte,
meteorología, etc. hacen uso del cálculo. Muchas fórmulas algebraicas se usan
hoy en día en balística, calefacción, refrigeración, etc. Como complemento del
cálculo, en relación a sistemas teóricos o físicos cuyos elementos carecen de
continuidad, se ha desarrollado una rama especial conocida como Matemática
discreta.
Lección 22: Newton.
Isaac Newton, nombrado caballero en 1707, su vida se guió por las creencias
religiosas, consideraba que la revelación divina lo iluminaba en sus trabajos. Su
formación teológica no permitió que revelara muchos de sus descubrimientos en
las disciplinas como la física y la química, y como también en matemáticas.
Isaac Newton Nació el 4 de enero de 1643 en Woolsthorpe, Lincolnshire. A la
edad de los tres años su madre enviudó y se volvió a casar dejándolo al cuidado
de su abuela. Cuando volvió a enviudar su madre lo envió al Colegio de Trintty
College durante el verano de 1661. En 1665 recibió el título de Bachiller y en 1668
el título de profesor. Durante toda su vida se dedicó a la investigación.
Las investigaciones en Física son relevantes, donde explica que la luz del Sol es
una mezcla heterogénea de rayos diferentes y cada uno de ellos es de color
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distinto. Al separarlos a través de las refracciones y reflexiones obtenemos los
colores que conocemos. Comprobó a través de un prisma que si una luz solar lo
atraviesa genera diferentes rayos dando como resultado colores independientes.
Se conoce de Newton las 3 Leyes o principios de Movimiento y dedujo la ley de la
gravitación universal. Estas leyes las publicó en su libro Principios matemáticos de
la filosofía natural (1687). Después de publicado el físico Robert Hooke dijo
públicamente que Newton le había robado las ideas que tenían pensadas para su
libro. La mayoría de los historiadores no aceptan estos cargos en contra de
Newton Las tres leyes de Newton del movimiento son las llamadas leyes clásicas
del movimiento. Ellas iluminaron por 200 años el conocimiento científico y no
fueron objetadas hasta que Albert Einstein desarrolló la teoría de la relatividad en
1905.
Se deja el siguiente trabajo de Mauricio Nieto, donde encontrará más información
sobre Isaac Newton
ISAAC NEWTON 13
Lección 23: Leibniz.
Gottfried Wilhen Leibniz, es uno de las grandes pensadores y matemáticos del
siglo XVII, fue filósofo, diplomático, abogado, historiador, trabajo en la lógica,
matemática, la óptica, la mecánica, hidrostática, neumática e inventó las máquinas
para el cálculo. Se le considera como el primero en concebir el lenguaje simbólico
13
Este documento lo encuentra en: http://historiadelaciencia-mnieto.uniandes.edu.co/pdf/ISAACNEWTON.pdf
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en
matemáticas
para
lograr
escribir
simbólicamente
los
procesos
de
argumentación y razonamiento.
Este fue el sueño de Leibniz, desarrollar un lenguaje simbólico generalizado y una
algebra como instrumento parejo, de tal forma que se pudiera determinar la verdad
de cualquier proposición en cualquier campo de la investigación humana mediante
un simple cálculo. Como su búsqueda no tuvo éxito, logró inventar con este
método simbólico el cálculo.
El cálculo inventado por Leibniz se basó en la forma de tratar el cambio y el
movimiento creando una notación que tenemos hoy en día en el cálculo
diferencial.
Leibniz nació el 1 de julio de 1646 en Hannover, y muere el 14 de noviembre de
1716, fue un filósofo, matemático, jurista, bibliotecario y político alemán. Fue uno
de los grandes pensadores de los siglos XVII y XVIII, y se le reconoce como "El
último genio universal". Realizó profundas e importantes contribuciones en las
áreas de metafísica, epistemología, lógica, filosofía de la religión, así como a la
matemática, física, geología, jurisprudencia e historia.
Leibniz ocupa un lugar importante tanto en la historia de la filosofía como en la de
las matemáticas. Inventó el cálculo infinitesimal, independientemente de Newton, y
su notación es la que se emplea desde entonces. También inventó el sistema
binario, fundamento de virtualmente todas las arquitecturas de las computadoras
actuales.
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Fue uno de los primeros intelectuales europeos que reconocieron el valor y la
importancia del pensamiento chino y de la China como potencia desde todos los
puntos de vista. Junto con René Descartes y Baruch Spinoza, es uno de los tres
grandes racionalistas del siglo XVII.
Leibniz escribió principalmente en tres idiomas en latín escolástico, en francés y
en alemán. Durante su vida publicó muchos ensayos y artículos académicos, pero
sólo dos libros filosóficos, De Ars combinatoria y la Théodicée.
En el siguiente artículo de Javier de Lorenzo, presentamos una breve reseña de lo
realizado por Leibniz en la matemática.
LEIBNIZ y la MATEMATICA 14
Lección 24: Euler
La matemática durante la época moderna se diferencia de la de la antigüedad en
que ningún grupo de matemáticos mantuvo el liderazgo matemático durante un
periodo largo. El matemático Leonhard Euler (1707-1783), junto con los hermanos
Bernoulli le aportaron a las matemáticas muchos trabajos importantes desde
finales del siglo VII hasta mediados del siglo XVIII.
14
El artículo que referenciamos lo puede encontrar en: http://institucional.us.es/revistas/themata/29/06%20lorenzo.pdf
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Euler nació en Basilea, Suiza en el año 1707 y muere en San Petersburgo en el
año 1783. Desde muy niño mostro sus facultades para las matemáticas, y por ello
se ganó la admiración de los hermanos Bernoulli, que venían huyendo de Bélgica.
Después de su grado en la Universidad de Basilea, fue invitado por Catalina I para
convertirse en uno de los asociados de la la Academia de Ciencias de San
Petersburgo por el año 1727. Aquí en la academia perdió la visión de su ojo
derecho, pero Euler continuó con sus trabajos sin descanso.
En el año 1741, Federico el Grande lo invitó a la Academia de Berlín, donde
depura los métodos del cálculo integral, convirtiéndola en una de las herramientas
de aplicación en la física, configurando de esta forma las matemáticas aplicadas
que sirvieron de base a los siguientes matemáticos para el desarrollo de las
ecuaciones diferenciales, las funciones trigonométricas y logarítmicas.
A Euler se le distingue porque introduce la notación de los logaritmos naturales
con el símbolo “e”, y en 1748 es cuando publica su obra Introductio in analysim
infinitorum, en donde expone el concepto de función en el marco del análisis
matemático, concepto clave para lograr los resultados positivos en el teorema
sobre las funciones homogéneas y la teoría de la convergencia.
En la Geometría logro el desarrollo de conceptos importantes como el de
ortocentro, circuncentro y baricentro de un triángulo, y dio bases teóricas en las
funciones trigonométricas para relacionarlos con los números complejos.
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Lección 25: Análisis no estándar
En matemática por mucho tiempo se manejaba conceptos sin precisarlos, pero se
intuía que estos conceptos eran básicos y debía tenerse en cuenta para los
desarrollos matemáticos. Muchas de las soluciones que se daban a un problema
se buscaban con ensayo y error, y de los polinomios que no se lograban
solucionar se manejaba el concepto de soluciones con números imaginarios.
Es por eso que los números imaginarios eran concebidos como unos conceptos
irreales, que eran usados sin tener el conocimiento del porque eran utilizados,
pero que sabían que debían incluirlos porque permitían soluciones correctas
.
Riemann cuando trato de mostrar su teoría de integración por medios de sumas se
encontró con aquellas funciones que eran discontinuas en una infinidad de puntos
en un intervalo cualquiera, pero dio una base para que Lebesque generalizara y
diera solución a las funciones que tienen infinitos puntos de discontinuidad.
El análisis no estándar se da como inicio del periodo de rigorización o
fundamentación del análisis, y consistió en cimentar sobre un piso firme el edificio
matemático dándole una estructura ordenada es la respuesta última a una
asignatura pendiente que tenía la matemática. En su origen, el cálculo diferencial
se basó también en unos “números ideales” que nadie sabía definir porque tenían
que ser no nulos y a la vez menores que cualquier cantidad positiva. Eran los
infinitésimos. Por ejemplo, Leibniz explicaba así el cálculo de la derivada de f(x) =
x2: tomamos un infinitésimo dx, calculamos el incremento df = f(x+dx)−f(x) y lo
dividimos entre la cantidad (no nula) dx.
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En el artículo “origen, destierro y renacimiento de los infinitesimales” de
Kemel George González, presenta una breve historia de la aparición del análisis
no estándar.
“Origen, destierro y renacimiento de los infinitesimales
Capítulo 6: LA CRISIS DE LOS FUNDAMENTOS
Lección 26: Paradojas clásicas: aporías de Zenón y Epiménides.
La paradoja de la dicotomía o de la bipartición de las distancias
El corredor de Zenón razonaba así:
Corredor: Antes de alcanzar la meta habré de pasar por el punto medio. Y
después habré de alcanzar la marca de 3/4, que está a la mitad de la distancia
restante. Y antes de recorrer la cuarta parte final tendré que pasar por otra marca
de mitad del trayecto. Estas marcas intermedias no acaban jamás. ! Nunca podré
alcanzar la meta!.
Para poner un ejemplo más concreto del razonamiento de Zenón, supongamos
que un corredor de maratón A tenga que recorrer la distancia BC, sometida a un
número infinito de subdivisiones, en un tiempo finito; ésta es, evidentemente, una
suposición absurda porque !no es posible recorrer un espacio compuesto de
elementos infinitos en un lapso de tiempo finito! Por consiguiente, el movimiento
es imposible, aunque la experiencia común nos diga lo contrario.
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Aquiles pies ligeros y la tortuga
Otra famosa paradoja ideada por Zenón es la paradoja de Aquiles. En este caso el
guerrero quería alcanzar a una tortuga distante 1 Km.
Cuando Aquiles llega al lugar que ocupaba la tortuga, ésta ha avanzado 10 metros
más. Pero cuando Aquiles recorre estos 10 metros, la tortuga ha vuelto a avanzar
un poco más.
Tortuga: Nunca podrás cogerme, viejo. !Cada vez que llegues al último lugar
donde estuve, yo estaré siempre un poco más adelante, aunque sea la mitad de
un pelo!.
Zenón sabía, desde luego, que Aquiles podía alcanzar a la tortuga. Lo que hacía
era, simplemente, hacer ver las paradójicas consecuencias de imaginar el espacio
y el tiempo formados por una sucesión infinita de puntos e instantes individuales
consecutivos, como las cuentas de un collar.
La paradoja de la flecha
El tercer argumento es el de la flecha. La flecha ocupa siempre un espacio
determinado y, como tal, está siempre quieta, en cualquier instante. Para poderse
mover debería estar el mismo tiempo dentro y fuera de su espacio; pero una suma
de estados no da movimiento. Por consiguiente !El movimiento es imposible!
La paradoja del estadio
La cuarta y última de las paradojas de Zenón es la paradoja del estadio, y, tal vez,
es la más difícil de exponer:
Dos filas de igual número de soldados (B B B B y C C C C) parten de los extremos
de un estadio en dirección al centro (la tribuna formada por A A A A) a la misma
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velocidad. Se paran cuando estén alineados. El primer soldado B recorre un
espacio igual a dos A, pero, en el mismo tiempo, el primer soldado C recorre
cuatro soldados B. Dado que los tamaños de A, B y C son iguales, se concluye
que la velocidad de los soldados C es doble que la de los soldados B, y habíamos
dicho que la velocidad era la misma.
AAAA
B B B B ----->
<-----CCCC
Lección 27: Logicismo, intuicionismo y formalismo15.
La intuición (del latín intuitus, mirada, de intueri, fijar la mirada) en un sentido
ordinario y general, puede entenderse como tal el «pálpito» o el «presentimiento»
que alguien se atribuye cuando dice saber algo sin ser consciente de las razones
por las que lo sabe. Así se habla, por ejemplo, de la intuición femenina o de
alguien que juega y gana a la bolsa por intuición. Son fenómenos psicológicos
complejos, cuya interpretación incumbe a la psicología. En sentido filosófico, se
define como un conocimiento inmediato, en el que el objeto conocido es captado
directamente por la facultad correspondiente, la sensibilidad o el entendimiento.
Como conocimiento, la intuición puede referirse a una u otra de las facultades
mencionadas; en el primer caso se trata de conocimiento intuitivo sensible, o
15
Texto de Néstor Martín Gulias que se encuentra en:
http://intuicionismo-logicismo-formalismo.blogspot.com/2011/06/la-intuicion-del-latin-intuitus-mirada.html
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experiencia de lo particular y concreto, y en el segundo, de un posible
conocimiento intuitivo de carácter intelectual de un principio, una idea o un
concepto, conocimiento que generalmente no se admite o, por lo menos, cuyo
sentido es muy discutible.
Como conocimiento inmediato, la intuición elimina todo tipo de proceso o elemento
intermedio entre el sujeto que conoce y el objeto conocido (la filosofía tradicional
dice: sin medio quod, ni quo ni ex quo): excluye, por ejemplo, la mediación de la
inferencia, de la abstracción o del concepto, o de algún otro objeto o
procedimiento intermedio. Desde Kant queda claro que no existe la intuición
intelectual y que, si se habla de intuición, debemos referirnos a objetos sensibles o
fenómenos. Se está de acuerdo en el carácter inmediato de la percepción y puede
llamarse intuición sensible al conocimiento empírico inmediato, sin dejar de lado,
no obstante, los problemas con que nos enfrentamos a la hora de precisar en qué
consiste dicho conocimiento y en qué nos basamos a la hora de aceptarlo.
El conocimiento intuitivo intelectual es generalmente rechazado, y no se admite la
intuición como una fuente de conocimiento, porque todo conocimiento se define
más bien como una creencia racional justificada, esto es, basada en razones, de
las que uno debe ser consciente. Estas razones pueden ser: que se trate de un
enunciado analítico, que pueda inferirse de otros enunciados, que pueda ser
objeto de comprobación o experiencia directa, o que pueda comprobarse
recurriendo a la ciencia de la época o al testimonio fidedigno, o que se trate de
algo que esté fuera de toda duda razonable.
Cualquier enunciado que sea evidente para alguien, ha de serlo porque alguien
tiene tan buenas razones para considerarlo verdadero que le producen la mayor
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certeza posible; la evidencia no funda el conocimiento, sino que es tan sólo la
máxima certeza que proviene del conocimiento. En general, la teoría de la
intuición, entendida como posibilidad de conocimiento inmediato de algo tanto en
el orden sensible como en el intelectual, se ha basado en la doctrina tradicional de
las facultades, de origen aristotélico. Las teorías epistemológicas actuales intentan
más bien explicaciones de tipo lingüístico del conocimiento; por lo mismo, si se
habla de intuición, exigen que se determine qué tipo de expresión proposicional
adopta dicha intuición.
Históricamente, las teorías sobre la intuición arrancan de Platón y Aristóteles.
Platón habla del pensamiento puro, o nous, por oposición al conocimiento
discursivo, o diánoia, y del conocimiento de la esencia de las cosas a través de la
idea del Bien. Aristóteles se refiere a la intuición intelectual (nóesis) de los
primeros principios y de las esencias o universales, que no es más que el
coronamiento de un conocimiento que comienza por los sentidos, pero que llega a
captar la necesidad y la universalidad de los primeros principios o axiomas, cosa
que los sentidos no pueden alcanzar.
La filosofía escolástica se ocupó preferentemente de la cuestión de si al hombre le
compete alguna posibilidad de intuición intelectual, cuestión que se resolvía
aludiendo a la situación futura del hombre bienaventurado en la contemplación
intuitiva de la divina esencia. La filosofía moderna retomó la idea de la intuición
intelectual aristotélica de los primeros principios, y de ella hizo Descartes, como
por lo demás había hecho ya Aristóteles, el punto de partida de todo pensar
discursivo. A ella atribuye las características de la evidencia: la claridad y la
distinción.
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El empirismo matizó que dicha evidencia intelectual sólo podía tener comienzo en
un conocimiento sensible. La filosofía trascendental de Kant limitó la posibilidad de
intuición al mundo fenoménico: la intuición empírica es la aceptación del objeto por
medio de la sensibilidad; la intuición pura es la exigencia trascendental del espíritu
de que toda intuición empírica suceda en el espacio y tiempo y es la manera como
el espíritu piensa la posibilidad de todo objeto de la experiencia sensible. No hay
posibilidad alguna de conocer intuitivamente, esto es, directamente, concepto
alguno, puesto que todo concepto, si no ha de ser vacío, debe integrarse en la
experiencia.
El idealismo alemán de Schelling, Fichte y Hegel, renovó la noción de intuición
intelectual, transformada en la identidad absoluta del sujeto y el objeto. En épocas
recientes, Bergson y Husserl han fundamentado sus respectivos sistemas en una
noción peculiar de intuición. Como que a la razón le resulta imposible captar el
sentido de la vida, vivida desde la perspectiva humana, desde la duración,
Bergson recurre a la vivencia directa de la misma, a la intuición, entendida como
posibilidad del espíritu humano de acceder al corazón mismo de las cosas.
Husserl, por su parte, se refiere a la «intuición eidética» como conocimiento
directo de la esencia, que no se apoya en los hechos; al contrario, el conocimiento
de éstos requiere el previo de la esencia, pasando de aquéllos a éstas por medio
de la «reducción fenomenológica o eidética». Por peculiares que puedan parecer
estas ideas han constituido el trasfondo histórico sobre el que se ha edificado el
existencialismo posterior.
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Los axiomas de la intuición
El primero de los llamados principios matemáticos de la experiencia, según Kant,
que se formula de la siguiente manera: «Todas las intuiciones son magnitudes
extensivas». Significa esto que nada es objeto de la experiencia si no es posible
representarlo como una magnitud; todo cuanto está en el espacio-tiempo posee
magnitud. Es un principio que formula, a modo de un juicio sintético, un
conocimiento a priori sobre la experiencia.
El intuicionismo
En general, el intuicionismo es toda adopción de la intuición como método
adecuado de conocimiento. Teoría de fundamentación de la matemática formulada
por el matemático holandés Luitzen Egbertus Jan Brouwer (1881-1966), que, en
polémica contra el platonismo matemático, cultivado por Bolzano, Cantor y
Russell, entre otros, sostiene, bajo influencia de la noción kantiana de aritmética,
que la matemática debe fundamentarse en la intuición del tiempo. De ahí deriva la
afirmación fundamental de que sólo deben aceptarse aquellas entidades
matemáticas cuya demostración pueda construirse (y rechazar aquellas cuya
demostración no sea posible). El intuicionismo matemático influyó directamente en
el desarrollo de la lógica intuicionista de Arend Heyting, en 1930.
El intuicionismo matemático sostiene que sólo deben admitirse las entidades
matemáticas efectivamente demostradas, esto es, aquellas que puedan
construirse como objetos matemáticos según reglas admitidas.
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El intuicionismo ético
Es una teoría metaética defendida inicialmente por G.E. Moore, y luego por H.A.
Prichard y W.D. Ross, que sostiene que las nociones de «bueno» y «correcto» son
en sí indefinibles y que se captan sólo por medio de una intuición específica y no a
través de conceptos, pruebas o razonamientos. La pretensión de afirmar que la
bondad o la rectitud son definibles como cualquier otra propiedad natural la tilda
Moore de falacia naturalista.
La falacia naturalista es la calificación (naturalistic fallacy) que G.E. Moore aplica,
en sus Principia Ethica (1903), a la presunción de que «bueno», el concepto
fundamental de toda la ética, puede definirse en términos de propiedades
naturales. Supone, por tanto, que «bueno» es un concepto simple, no analizable
en otros que puedan considerarse sus características definitorias. Es, por lo
mismo, indefinible y es una propiedad -sólo cognoscible por intuición- de las
personas, cosas o acciones, no equiparable a una cualidad natural.
Moore cree que las teorías éticas tradicionales -sobre todo, el naturalismo ético y
las éticas basadas en metafísicas- se equivocan al querer definir la bondad moral,
igual como se define cualquier cosa descomponible en propiedades. Así, por
ejemplo, cuando se define el triángulo como la figura geométrica que tiene tres
lados y tres ángulos, nada nos impide intercambiar los términos de la definición y
entender que toda figura geométrica con tres lados y tres ángulos es un triángulo.
En el caso de «bueno» no existe una tal definición e incluso en las habitualmente
dadas como, por ejemplo, en la definición utilitarista de bueno» como «aquello que
produce felicidad al mayor número posible de personas», no se da por supuesto,
sin más, que «lo que produce la felicidad del mayor número de personas» sea
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bueno, porque siempre tiene sentido inquirir si algo es bueno. Si bueno es lo que
agrada, no es simplemente evidente que lo que agrada sea también bueno.
Moore defiende, en consecuencia, el intuicionismo ético. No toda noción ética es,
sin embargo, según él, indefinible: «deber», «correcto», «obligación», etc., son
definibles en otros términos -por lo común referidos al bien o a la bondad-, que
pueden considerarse características suyas, por lo que estos términos no se
refieren simplemente a sentimientos o actitudes de quien los utiliza o no tienen,
simplemente, significado emotivo, sino cognoscitivo.
El logicismo es una de las tres teorías, junto con el formalismo y el intuicionismo,
que estudian desde el punto de vista filosófico los fundamentos de las
matemáticas, debida sobre todo a los trabajos de A.N. Whithead y Bertrand
Russell, que exponen en su obra conjunta Principia Mathematica (1910-1913).
Según estos autores, que siguen planteamientos iniciados por Peano y Frege,
todos los conceptos fundamentales de la aritmética, el álgebra, el análisis
matemático, etc., se fundamentan en nociones lógicas, de modo que el sistema de
axiomas matemáticos puede fundarse igualmente en unos cuantos axiomas
lógicos.
El formalismo en una acepción general, valoración preferente de la forma o la
estructura de algo frente a una menor valoración de lo que se considera, según los
diversos contextos, su opuesto: contenido o fondo, sustancia o materia de un
asunto o de una cosa, valor semántico, emotivo, expresivo, pragmático o figurativo
de una expresión lingüística o artística («contenidismo»). Como sentido peyorativo
derivado de este sentido general, formalismo es también, en los aspectos éticos o
jurídicos, el atenerse puramente a la letra y al aspecto de procedimiento de una
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ley, sin tener en cuenta para nada el espíritu (propósito, finalidad, objetivo real)
con que fue redactada.
El formalismo es un afán de rigor metodológico que impulsa a expresar las teorías
científicas evolucionadas a modo de sistemas axiomáticos en un lenguaje
formalizado, a saber, un lenguaje artificial construido según las reglas de la
formalización: empleo de símbolos (definidos y no definidos) sometidos a reglas
(sintácticas) de formación de fórmulas y deducción (cálculo) de nuevas fórmulas,
cuyo conjunto se denomina «sistema formal».
El formalismo es un nombre equivalente a cálculo lógico. Se entiende que la
lógica es una ciencia formal, que sólo se ocupa de la forma de sus enunciados y
de las propiedades fundamentales de estas formas, que son la validez y la
deducción. Por esta razón, se dice que la lógica no es una teoría, sino un lenguaje
simbólico: un sistema de signos, con reglas sintácticas de construcción y de
transformación. Esta idea de un puro lenguaje sin contenido, aplicada a las
matemáticas, se convierte, a partir de la publicación de Los fundamentos de la
geometría, en 1899, de David Hilbert, en el «formalismo», una de las principales
concepciones generales de las matemáticas, junto con el logicismo y el
intuicionismo. Más tarde, el formalismo matemático se utiliza para expresar
determinadas parcelas de las ciencias empíricas, como son la mecánica o la
termodinámica, y de las no empíricas, como la teoría de conjuntos.
El formalismo de Hilbert contiene: Términos primitivos (sin significado
relacionado con objetos); reglas de formación de fórmulas (sintácticas); axiomas o
postulados (que no se demuestran); reglas de transformación (para deducir a
partir de los axiomas); definiciones (todo término es definido o es primitivo) y
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teoremas (fórmulas válidas del sistema, o verdaderas en el sistema, que son un
axioma o una fórmula deducida según las reglas de transformación).
Hilbert creyó que eran propiedades de un sistema formalizado: la consistencia
(que el sistema no implique ninguna contradicción), la completud (que implique la
posibilidad de demostrar toda verdad propia del sistema) y la decidibilidad (que el
sistema disponga de un procedimiento de demostrar si una fórmula es un axioma
o un teorema del sistema). Sin embargo, Kurt Gödel demostró, en 1931, que la
matemática (aritmética y geometría) es una teoría incompleta (contiene verdades
en el sistema cuya verdad no es decidible por el sistema), y el estadounidense
Alonzo Church demostró, en 1936, que la lógica (elemental) de predicados era
indecidible (no toda fórmula tiene un procedimiento efectivo de demostración).
Desde la Estética el formalismo es una escuela rusa de crítica y teoría literaria
que surgió hacia 1915-1916, llegó a su apogeo a principios de los años veinte y
fue suprimida alrededor de 1930. Sus principales representantes, Jakobson,
Majakovskij, Slovskij, Ejxenbaum y Tynjanov, se reunían en el Círculo Lingüístico
de Moscú y el Opajoz de San Petersburgo. Partidarios del neopositivismo, los
formalistas intentaban deshacerse de toda «preconcepción filosófica» en lo
referente a la naturaleza de la creación artística.
Su objetivo era sistematizar la ciencia literaria como campo distinto del esfuerzo
intelectual y situar la obra de arte en el centro de atención, acentuando
intensamente la diferencia entre literatura y vida, y rechazando las explicaciones
biográficas, psicológicas y sociológicas habituales.
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El formalismo entró en crisis a finales de los años veinte, porque no supo crear un
esquema suficientemente flexible e integrado que permitiera reflejar la unidad
básica de la estructura estética. Por otra parte, su interpretación heterodoxa del
enfoque marxista de la literatura fue duramente atacado y los formalistas se vieron
obligados a callar o a reconocer sus errores. Esto supuso la extinción de la
escuela formalista.
También se entiende como formalismo aquella tendencia estética no figurativa de
las artes plásticas que, fundándose en la distinción de Kant entre belleza libre y
belleza adherente , así como entre percepción subjetiva (sentimiento de placer) y
percepción objetiva (representación de una cosa), y acercando, en general, el arte
al conocimiento (se capta la belleza en la forma igual que se conoce mediante la
forma), sitúa la esencia del arte en la sola forma y en un tipo de contemplación
productiva de la obra estética: el artista es un creador de formas, a saber, de un
sistema de relaciones formales de líneas y colores, con los que consigue la
expresión de la belleza libre. Sus orígenes se deben a las ideas estéticas del
neokantiano Johann Gottfrid von Herbart (1776-1841), que fueron luego
proseguidas por Konrad Fiedler (1841-1895), Adolf von Hildebrand (1847-1921) y
Heinrich Wöfflin (1864-1945), entre otros. Las ideas estéticas de Ortega y Gasset
y Eugeni d'Ors siguen muy a menudo los puntos de vista de las teorías del
formalismo.
El formalismo ético es un sistema de ética que, en principio, no se interesa ni
por los fines ni por las consecuencias de los actos morales (no es teleológico),
sino que funda la moralidad de un acto en el hecho moral de que se percibe su
obligación (es deontológico). La moral de Kant, para quien el único motivo de
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actuación moral es la voluntad buena, aquella que se decide a obrar por fuerza del
imperativo categórico, o simplemente por deber, es una ética formal clásica; la
ética de R.M. Hare, para quien moral es sólo aquella acción que se ajusta a la
prescriptividad y a la posibilidad de universalización, esto es, que se realiza sólo
porque está mandada y porque es una conducta que puede universalizarse, es un
ejemplo de formalismo (mitigado) ético actual.
El constructivismo es en un sentido general, tomado del uso de este concepto
en matemáticas, en lógica y en arte, es una aplicación del principio enunciado por
G.B. Vico, verum ipsum factum, que puede interpretarse como «el hombre
entiende sólo lo que él mismo ha hecho», así como una interpretación de los
planteamientos de I. Kant, que afirma, genéricamente, que «sólo conocemos a
priori de las cosas lo que nosotros mismos ponemos en ella»
y de un modo
concreto, al especificar la forma de conocer propia de las matemáticas, que es
característica suya construir sus propios objetos . En arte, el movimiento estético,
iniciado en Rusia hacia 1919 (Tatlin, Rodchenko), se orienta a la construcción del
propio objeto artístico que inventa libremente, y que no es una copia de la
naturaleza, acentuando su aspecto geométrico, universal y objetivo.
En epistemología, la llamada escuela de Erlangen, centrada en torno a Paul
Lorenzen (n. 1915), sostiene una teoría constructivista de la ciencia y de la ética,
basada en una metodología constructivista, cuya lema fundamental es que «sólo
entendemos aquello que podemos construir». Lo que, para este fin, se construye
es precisamente una sintaxis racional, o una lógica, a modo de metalenguaje,
cuyo objetivo es poder comprender nuestro propio pensamiento y nuestro lenguaje
ordinario.
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El constructo propiamente, «constructo teórico» es el objeto conceptual que es
mero producto de la mente. A diferencia de los objetos reales y concretos, que
existen en el espacio-tiempo, y de los cuales tratan las ciencias empíricas, y de las
realidades psíquicas, como por ejemplo una percepción, una vivencia o una
emoción, el objeto que es simplemente producto de una actividad mental no existe
sino en la mente. Reciben también el nombre de entidades teóricas.
Mario Bunge los distingue en «conceptos», «proposiciones», «contextos» y
«teorías» .
Mario Bunge: constructos:
“Los conceptos son las unidades con que se construyen las proposiciones: son los
átomos conceptuales. Por ejemplo, en la proposición «los números son
constructos», los conceptos son «los números» (o «el conjunto de todos los
números»), «son» (o «está incluido en») y «constructos» (o «la categoría de todos
los constructos»).
Las proposiciones son los constructos que [...] pueden ser evaluados en lo que
respecta a su grado de verdad. [...]
Un contexto es un conjunto de proposiciones formadas por conceptos con
referentes comunes. Por ejemplo, el conjunto de las proposiciones referentes a los
perros ovejeros es un contexto.
Una teoría es un [...] conjunto de proposiciones enlazadas lógicamente entre sí y
que poseen un referente común. Ejemplo: la teoría de la evolución por selección
natural. [...]
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En definitiva, suponemos que hay cosas (objetos concretos o materiales), de las
que se ocupan las ciencias fácticas, y constructos, de los que tratan las ciencias
de lo conceptual, tales como la lógica, la matemática y la semántica. En otras
palabras, postulamos que todo objeto es, o bien concreto o bien conceptual, y que
ningún objeto es concreto y conceptual.”
Epistemología, Ariel, Barcelona 1980, p. 51-54.
Un concepto (del latín conceptus, de concipere, «concebir»; en la tradición
filosófica latina, «lo concebido por la mente») en un sentido amplio, equivale a
«idea general» o «idea abstracta». Según lo entiende la filosofía tradicional, es el
resultado del proceso de abstracción, por el que el sujeto (que conoce) logra una
representación mental del objeto (conocido) de un modo general y abstracto.
Un concepto se distingue de una imagen en que ésta posee características
concretas comunes con algún objeto determinado, mientras que el concepto sólo
contiene características generales, esenciales y definitorias, obtenidas por
abstracción. La imagen mental de una montaña contiene la forma de alguna
montaña, mientras que el concepto sólo posee las características definitorias que
se aplican necesariamente a cualquier montaña: «cumbres elevadas», por
ejemplo. No sólo son los conceptos resultado de un proceso cognoscitivo, sino
que, además, según la interpretación tradicional, como representación mental que
son, son necesarios para pensar las cosas, en el sentido de que sólo el concepto
posee la suficiente determinación que hace posible el reconocimiento y
comprensión de lo percibido por los sentidos. Así, el concepto de «flor» se obtiene,
evidentemente, por abstracción de la experiencia de muchas flores observadas;
pero, una vez en la mente, es también el conjunto de características mentales con
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el que puede decidirse si el objeto contemplado es, pongamos por caso, una flor,
un fruto o las hojas de una planta; o el criterio que utilizamos para aplicar los
nombres a las cosas. Los conceptos sirven, según la larga tradición que empieza
en Platón, para «reconocer» adecuadamente los objetos de la experiencia, de
suerte que, su relación con las cosas va en una doble dirección; en expresión de
Kant: conceptos sin experiencias son vacíos, y experiencias sin conceptos son
ciegas. En última instancia, son los herederos y los representantes de las antiguas
ideas platónicas o de las formas aristotélicas. Se discute acerca de su grado de
realidad: el realismo conceptual les da cierta entidad independiente de la mente y
de los objetos individuales, mientras que el nominalismo afirma que, al existir sólo
objetos individuales, la generalidad del concepto no es más que mental. En la
filosofía actual, sobre todo la de orientación analítica, los conceptos son el
elemento conceptual que media entre el signo lingüístico y el significatum o cosa
significada por el signo.
Así, en el triángulo lingüístico de Ogden y Richards, el concepto ocupa el vértice
B, que representa el «contenido», o también el «sentido» (Frege), la «intensión»
(Carnap) o la «imagen mental» (Saussure) del término, que es el signo, o mejor, el
significante, y que se refiere a una cosa u objeto, el significatum. Se le relaciona,
por consiguiente, con el sentido o significado.
Los conceptos, entendidos como significados, se refieren a un mundo exterior, del
que representan objetos (conceptos de nombres) y propiedades (conceptos de
predicados o atributos). Los tipos principales de los conceptos de nombres se
refieren a entidades singulares (Sócrates), colectivas (Unión Europea), generales
(caballo), universales (sustancia), concretas (Venus de Milo) y abstractas
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(belleza). Los conceptos de propiedades se refieren a cualidades o a relaciones.
Unas («filósofo», por ejemplo, en «Sócrates es filósofo») y otras («más importante
que», por ejemplo, en «Sócrates es más importante que Anaxágoras») pueden
llamarse predicados de la oración, proposición o enunciado, y la tradición ha
distinguido, sobre todo a las primeras (aunque también a todo concepto de
nombre abstracto, universal y general), con el nombre de universales.
Desde el punto de vista de la lógica, a los conceptos, en cuanto contenido
conceptual de los términos, les competen las dos propiedades fundamentales de
la extensión y comprensión. La explicación que Gottlob Frege da de los conceptos
aclara su naturaleza predicativa. Así como, en la realidad, lo que hay se divide en
objeto o función, toda expresión del lenguaje o es un nombre (que designa o se
refiere a un objeto) o es una expresión functorial (que designa o se refiere a una
función).
Aunque, por definición, los conceptos son representaciones generales y
abstractas, suelen dividirse de acuerdo con la clase de los objetos a que se
refieren o que designan. Así, hay conceptos concretos o abstractos, singulares o
colectivos. «Rey de España» es un concepto concreto, pero «realeza» es
abstracta. «Juan Carlos I» es un concepto individual, pero «la guardia real» es
colectiva, mientras que «rey» es un concepto general.
En el ámbito científico, los conceptos se dividen fundamentalmente en:
1-
clasificatorios,
2-
comparativos y
3-
métricos.
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Los conceptos clasificatorios sirven para distribuir los objetos de un universo
determinado según grupos, o clases, ordenados y sistemáticos. Esta ordenación
sistemática recibe el nombre de clasificación. Para que una clasificación sea
adecuada, debe cumplir con determinadas condiciones formales y materiales.
Las condiciones formales de una clasificación adecuada exigen:
1) que los grupos o clases sean disjuntos (los elementos de un grupo no
pertenezcan también a otro);
2) la suma de los conjuntos tenga igual extensión que el universo que clasifican,
de modo que no quede ningún elemento sin grupo o clase asignada, y
3) que ningún grupo o clase sea un conjunto vacío.
Por extensión de un dominio se entiende el conjunto de elementos que contiene.
Los conceptos clasificatorios se basan en una relación de equivalencia entre todos
los elementos que pertenecen a un universo. Cada elemento es clasificable
porque, por el hecho de compartir alguna propiedad común con otros, pertenece
junto con ellos a una misma clase de equivalencia con relación a dicha propiedad.
Las condiciones materiales de una clasificación adecuada exigen que el criterio
con que se dividen las clases, o se establece la clasificación, sea pertinente e
interesante con miras a posibles leyes científicas que puedan enunciarse sobre el
tema en cuestión; esto es, que sea teóricamente fecundo (ver texto 1 y texto 2 ).
Los conceptos comparativos establecen el «más» y el «menos» entre grupos o
clases, con relación a la propiedad que comparten; los grupos o clases se
determinan según el grado de la propiedad que se comparte. Son especialmente
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útiles en aquellas ciencias que no han desarrollado todavía conceptos métricos, o
para aquellos campos en los que las ciencias no han desarrollado aún conceptos
métricos. «Más largo», «más corto», «más pesado«, «más ligero», «más frío»,
«más caliente» son ejemplos de conceptos comparativos. Los conceptos métricos
o cuantitativos, o simplemente magnitudes y cantidades, son los conceptos
científicos por excelencia; todas las ciencias tienden a ellos y son la expresión
matemática de sus resultados. Son, en el fondo, conceptos comparativos que
pueden clasificarse por el grado o la cantidad de la propiedad que se comparte
con la suficiente precisión; o bien, aquellos que utilizan valores numéricos para
indicar la cantidad o la magnitud que poseen de una determinada propiedad. La
medición cuantitativa se realiza con números reales (magnitudes escalares;
temperatura, tiempo, masa, por ejemplo) o con vectores (magnitudes vectoriales;
velocidad, aceleración, fuerza, por ejemplo) .
Una proposición es (del latín propositio, oración, parte de un discurso, que
traduce el griego lógos apofantikós, o bien prótasis, la oración asertórica, que
afirma o niega algo de algo) en general, la oración asertórica, que afirma o niega
algo de alguna cosa, y es susceptible de ser verdadera o falsa, identificándose así
con enunciado. En un sentido más estricto, es el significado de un enunciado.
Una teoría (theoria, ceremonia religiosa o contemplación) es en sentido amplio, un
enunciado que aporta un conocimiento que está más allá de los datos o hechos
que se perciben de una forma inmediata; conjetura o hipótesis meramente
especulativa que nada tiene que ver con la práctica, con la observación o con la
verificación; también campo amplio de estudio, filosófico o no, como la «teoría de
las ideas de Platón», la «teoría de la sociedad» o la «teoría del conocimiento». El
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sentido etimológico del término está presente en los grandes autores de la
antigüedad, como Platón y Aristóteles, quienes entienden el conocimiento en
general, respectivamente, como contemplación de las ideas o como saber
contemplativo y actividad intelectual superior del hombre. Con la presencia, en la
época moderna, de las ciencias empíricas, una teoría es preferentemente una
teoría científica, o sea, un conjunto de enunciados-hipótesis y leyes confirmadassobre un aspecto de la realidad, que establecen entre sí relaciones de
deducibilidad y cuyas últimas afirmaciones son enunciados de observación, y cuyo
concepto se relaciona intrínsecamente con los de ley e hipótesis. Sin embargo, las
teorías no se limitan al ámbito de las ciencias empíricas, sino que abarcan
cualquier campo del saber y debe decirse que, en principio, todo el conocimiento
humano es teórico, porque todo conocimiento va más allá de los simples hechos
conocidos en un momento dado; también hay teorías puramente lógicas o
matemáticas. La teoría es al aspecto sustancial del conocimiento, tanto del
científico como del no científico. En la ciencia actual el interés se centra en las
teorías, y no en la experiencia por sí misma, o en los datos o las observaciones;
datos y observaciones se obtienen en función de la teoría , y aun todo dato se
considera que lleva una «carga de teoría». Popper ha contribuido de un modo en
especial, en particular con su obra La lógica de la investigación científica (1934), a
que últimamente se haya dado una importancia peculiar a la teoría en la
metodología de las ciencias: las ciencias son sistemas de teorías y la misma
epistemología es el estudio de las teorías . De aquí que la filosofía de la ciencia, o
teoría del conocimiento científico, sea una reflexión de segundo grado, no ya
sobre hechos ni siquiera sobre generalizaciones de hechos, sino sobre teorías,
que Popper interpreta como un sistema de conjeturas y refutaciones: redes de
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mallas cada vez más finas, con las que se intenta captar, comprender y dominar la
realidad.
Lección 28: Gödel y la incompletitud.
Cuando Kurt Gödel público en 1931 en una revista científica el artículo “Sobre
proposiciones formalmente indecidibles de Principia Matemática y sistemas
relacionados”, no fue tan atractivo para los matemáticos de esa época.
Y la razón fue que el tema solo les interesaba a los pocos matemáticos que
lograron entender lo propuesto por Gödel, pero el artículo después (años 50) de
un tiempo pasó a ser unos de las propuestas más novedosas e importante en la
comunidad matemática y se le considera como el resultado más revolucionario del
siglo XX.
Gödel hace uso del rigor de las matemáticas para demostrar, que las matemáticas
mismas son incompletas. Con el teorema, Gödel demuestra que en cualquier
sistema lógico basado en axiomas y reglas de inferencia, existen enunciados cuya
verdad o falsedad no vamos a poder decidir, basándonos en la propia lógica
matemática del sistema. Gödel ataca entonces un problema en los fundamentos
de la matemática, donde el método axiomático que se conocían y se había
heredado de los griegos no ra tan fuerte y completo como se había pensado
Recordemos que antes del siglo XIX, se consideraba a la geometría como la única
rama de las matemáticas que tenía establecido una fundamentación axiomática
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sólida, luego los matemáticos consideraron que todo el dominio del razonamiento
matemático podría ser fundamentado y ordenado por medio del método
axiomático, y
Gödel le pone fin a esta suposición, porque confronta a los
matemáticos de que el método axiomático tiene ciertas limitaciones que excluyen
toda posibilidad de que incluso la aritmética ordinaria de los números enteros
puede ser nunca completamente sistematizada por medio de él (axiomas).
Parecía que se caía toda fundamentación matemática, pero lo bueno de este
teorema fue que se introdujo en la fundamentación de la matemática una nueva
técnica de análisis que es comparable con el método algebraico de Rene
Descartes.
Lo maravilloso del trabajo de Gödel fue dio paso al inicio de nuevas ramas de la
lógica matemática, revoluciono la filosofía matemática e inclusive la filosofía en
general
Lección 29: Corrientes actuales en Filosofía de las Matemáticas
En el siglo XX los matemáticos y el pensamiento matemático supero a los de los
periodos anteriores, y los descubrimientos aparecieron desde su temprana edad,
ya que en 1903 Lebesgue en su disertación formaliza la teoría de integración.
Igualmente los matemáticos discutían en torno a al axioma de elección, las
demostraciones existenciales no constructivas, el papel del lenguaje lógico, etc.,
es por ello que los matemáticos con tendencia lógica se centraron en discutir la
naturaleza de número, la noción de clase y conjunto y el papel importante que
jugaba la lógica en la matemática, y estas discusiones llevan resultados
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importantes como la teoría de tipos de Russell y la axiomatización de la teoría de
conjuntos de Zermelo.
Siempre se buscó la fundamentación de las matemáticas, y por los años treinta se
consideró que las matemáticas no estaban sentadas sobre una base sólida. En el
año 1931 el matemático Kurt Gödel con el teorema de Incompletitud, pone en
crisis los fundamentos, dando pie a la búsqueda definitiva de la fundamentación
matemática.
Se puede considerar que en esa búsqueda de la fundamentación da paso a que
aparezca la caracterización de Turing de la Teoría del Algoritmo, luego el análisis
no estándar de Robinson en 1961, seguido de La teoría del caos y las catástrofes
en 1963.
Las corrientes de filosofía matemática que aparecieron después de la crisis
matemática fueron:
Realismo, platonismo, Formalismo, Didacticismo, Intuicionismo, Constructivismo,
Estructuralismo, El empirismo matemático y el Cuasi-empirismo matemático
Lección 30: Perspectivas de la Enseñanza de la Matemática
A continuación se deja el siguiente documento, donde se presenta los aportes de
la matemática la ciencia y computación hasta el siglo XXI. Esperando que algunos
estudiantes empiecen a visualizar temas para la elaboración de su trabajo de
grado.
Matemáticas del siglo XXI 16
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Tomado de la página web: http://wordpress.colegio-arcangel.com/matematicas3/siglo-xxi/
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Bibliografía
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