Estudio del Movimiento de Part´ıculas Cargadas en Campos

Estudio del Movimiento de Partı́culas Cargadas en Campos
Electromagnéticos
A. Peña †*, J.J. Sandoval‡**
†Universidad Central, ‡Universidad Santo Tomas
4 de diciembre de 2014
Resumen
Se muestra la solución analı́tica de la fuerza de Lorentz para el movimiento de partı́culas cargadas
en campos electromagnéticos uniformes para el caso más general. Se resuelve el sistema de ecuaciones
diferenciales para el caso más general posible y se muestran algunas consecuencias del resultado.
Palabras Clave: Campo eléctrico, Campo magnético, Fuerza de Lorentz
1.
Introducción
En los cursos de electromagnétismo para ingenieria es trabajado el movimiento de partı́culas cargadas
en campos electromagnéticos, sin embargo en la bibliografı́a acostumbrada para estos cursos, se trabaja
por separado el movimiento en campos eléctricos y magnéticos [1],[2],[3]. En el primer caso se trabaja de
manera que rememore el tiro parabólico, en tanto que en el segundo se muestra el caso más sencillo posible.
Pocas veces, por motivos de tiempo, el docente tiene la oportunidad de mostrar el caso combinado. En
ocasiones es posible usar algunos “aplets”de internet de gran calidad [4].
2.
Marco Teórico
Considerese que en una región del espacio existe simultáneamente un campo eléctrico y uno magnético,
ambos uniformes. En forma general, las componentes, en un sistema cartesiano, del campo eléctrico y
magnético se pueden escribir respectivamente ası́:
~ = Bx î + By ĵ + Bz k̂
B
~ = Ex î + Ey ĵ + Ez k̂
E
(1)
Ahora considerese que en la misma región donde existen los campos eléctrico y magnético antes mencionados, llega una partı́cula cargada (electrón, protón, ión, etc) con una velocidad inicial cuyas componentes
se pueden escribir ası́:
(2)
~v0 = v0x î + v0y ĵ + v0z k̂
La fuerza neta (fuerza de Lorentz) que actúa sobre la partı́cula de carga q y que determina su movimiento
dentro de la región donde existen los campos eléctrico y magnético, se puede escribir en términos de los
campos de la siguiente forma:
~ + q~v × B
~
F~NETA = q E
(3)
Y de manera más explicita se puede escribir como:
F~NETA = q(Ex + vy Bz − vz By )î + q(Ey − vx Bz + vz Bx )ĵ + q(Ez + vx By − vy Bx )k̂
* apenar2@ucentral.edu.co
** johnsandoval@usantotomas.edu.co
1
(4)
Es posible escribir esta fuerza neta según la segunda ley de Newton:
d2 x
d2 y
d2 z
d2~r
F~NETA = m~a = m 2 = m 2 î + m 2 ĵ + m 2 k̂
dt
dt
dt
dt
(5)
Igualando las ecuaciones (4) y (5) componente por componente, se obtiene:
d2 x
dt2
d2 y
q(Ey − vx Bz + vz Bx ) = m 2
dt
d2 z
q(Ez + vx By − vy Bx ) = m 2
dt
q(Ex + vy Bz − vz By ) = m
(6)
Estas tres ecuaciones constituyen un sistema de 3 tres ecuaciones diferenciales de segundo orden, lineales
y acopladas. A continuación se muestra un método para resolver estas ecuaciones, este método tienen la
particularidad que permite que el estudiante recuerde y ponga en práctica sus conocimientos básicos de
algebra lineal y ecuaciones diferenciales.
3.
Planteamiento y Desarrollo del Modelo
Resolver el sistema directamente puede ser un poco complejo ası́ que para resolverlas se puede usar
una transformación de cooredenadas tomando el eje z ′ parálelo al campo magnético. Este procedimiento
es equivalente a suponer que el campo magnético sólo tiene una componente. De está forma se simplifican
las ecuaciones y se obtiene:
d2 x
q(Ex + vy Bz ) = m 2
(7)
dt
q(Ey − vx Bz ) = m
d2 y
dt2
(8)
d2 z
(9)
dt2
con estas consideraciones las ecuaciones (7) y (8) están acopladas pero la ecuación (9) se ha desacoplado.
Las ecuaciones (7) y (8) se solucionan para la velocidad, es decir, se reescriben como:
qEz = m
q(Ex + vy Bz ) = m
dvx
dt
dvy
dt
despejando vy de la ecuación (10) y suponiendo que Bz es diferente de cero tenemos:
q(Ey − vx Bz ) = m
vy =
derivando se llega a
m dvx
Ex
−
Bz q dt
Bz
dvy
m d2 vx
=
dt
Bz q dt2
(10)
(11)
(12)
(13)
y reemplazando en la ecuación (11) y reorganizando términos se obtiene
B 2 q2
Ey q 2 Bz
d2 vx
+ vx z 2 =
2
dt
m
m2
2
(14)
cuya solución general es de la forma
vx (t) = G cos(ωt) + H sin (ωt) + J
(15)
donde se debe determinar G, H, J y ω, esto se hace reemplazando la ecuación (15) en la ecuación (14).
Primero se cálculan las derivadas de (15)
dvx (t)
= −Gω sin(ωt) + Hω cos (ωt)
dt
d2 vx (t)
= −Gω 2 cos(ωt) − Hω 2 sin (ωt)
dt2
(16)
(17)
(18)
al reemplazar en la ecuación (14) se llega a:
−Gω 2 cos(ωt) − Hω 2 sin(ωt) +
Ey q 2 Bz
Bz2 q 2
(G
cos(ωt)
+
H
sin(ωt)
+
J)
=
m2
m2
reordenando términos se tiene que
2 2
2 2
B 2 q2
Bz q
Ey q 2 Bz
Bz q
2
2
+
H
sin(ωt)
+J z2 =
−
ω
−
ω
G cos(ωt)
2
2
m
m
m
m2
(19)
(20)
esta ecuación es cierta sı́
Bz2 q 2
Ey
,
J=
(21)
2
m
Bz
de esta forma se encuentra el valor de J, y ω.
Para encontrar G y H se usan las condiciones iniciales vx (0) = v0x y vy (0) = v0y , para ello se retoman
las expresiones (12) y (15) en donde se reemplazan las expresiones correspondientes,
ω2 =
vx (t) =G cos(ωt) + H sin (ωt) +
vy (t) =
Ey
Bz
m
Ex
(−Gω sin(ωt) + Hω cos(ωt) −
qBz
Bz
(22)
(23)
aplicando las condiciones iniciales se tiene
vx (0) = G +
Ey
= v0x
Bz
vy (0) =
Hmω Ex
−
= v0y
qBz
Bz
(24)
lo que implica que
Ex
Ey
H = v0y +
(25)
Bz
Bz
Como el inerés son las posiciones, se deben integrar las ecuaciones de velocidad de la siguiente forma:
Z t
Z t
Z x(t)
dx
vx dt =
dx = x(t) − x0
(26)
dt =
0 dt
0
x(0)
G = v0x −
donde se reemplaza x(0) = x0 como es más habitual escribir. Ası́ se llega a
Z t Ey
Ex
Ey
′
′
v0x −
cos(ωt ) + v0y +
sin(ωt ) +
dt′
x(t) − x0 =
Bz
Bz
Bz
0
(27)
y se obtiene
Ex cos(ωt) − 1 Ey t
Ey sin(ωt)
− v0y +
+
x(t) = x0 + v0x −
Bz
ω
Bz
ω
Bz
3
(28)
Un preocedimiento similar se debe seguir para la otra componente de la velocidad, a continuación se
muestra:
Z t
Z t
Z y(t)
dy
vy dt =
dt =
dy = y(t) − y0
(29)
0
0 dt
y(0)
donde se reemplaza y(0) = y0 como es más habitual escribir. Ası́ se tiene
Z t Ex
Ex
Ey
sin(ωt′ ) + v0y +
cos(ωt′ ) −
dt′
− v0x −
y(t) − y0 =
Bz
Bz
Bz
0
(30)
y se obtiene:
Ey cos(ωt) − 1
Ex sin(ωt) Ex t
y(t) = y0 + v0x −
+ v0y +
−
Bz
ω
Bz
ω
Bz
(31)
donde ω = qBz /m.
Para completar las ecuaciones de trayectorı́a se escribe también la solución de la ecuación (9) que no
hace parte del sistema acoplado. Su solución es el caso es la correspondiente a un movimiento uniformemente acelerado.
qEz 2
t
(32)
z(t) = z0 + v0z t +
2m
4.
Resultados del Modelo
Las ecuaciones (28), (31) y (35) son las ecuaciones de movimiento de la partı́cula. Para comprender
esta solución analizaremos diferentes casos tı́picos.
4.1.
Partı́cula en presencia de un campo magnético
Imaginese que la partı́cula tiene velocidad inicical ~v0 = (vx , vy , vz ) e ingresa en una región en la que
~ = (0, 0, Bz ). En este caso las tres ecuaciones
no hay campos eléctricos, pero existe un campo magnético B
solución se reducen a:
x(t) = x0 + v0x
sin(ωt)
cos(ωt) v0y
− v0y
+
ω
ω
ω
cos(ωt)
sin(ωt) v0x
+ v0y
−
ω
ω
ω
z = z0 + v0z t
y(t) = y0 + v0x
se pueden tomar las ecuaciones (33) y (34) y reescribirlas como:
2
sin(ωt)
cos(ωt)
v0y 2
= v0x
− v0y
x(t) − x0 −
ω
ω
ω
2
cos(ωt)
v0x 2
sin(ωt)
y(t) − y0 +
= v0x
+ v0y
ω
ω
ω
desarrollando los cuadrados y sumando estas dos ecuaciones se tiene
v0y 2 v0x 2
2
2
x(t) − x0 −
+ y(t) − y0 +
= v0x
+ v0y
ω
ω
(33)
(34)
(35)
(36)
(37)
(38)
esta es la ecuación
de un cı́irculo en el plano x − y con centro en el punto (x0 + voy /ω, y0 − vox /ω)
q
2
2 . Además la ecuación (35) dice que la partı́cula en en el eje z se mueve con
y radio R = v0x + v0y
velocidad constante. Este movimiento es una espiral, pero si las velocidades iniciales vox y voy son cero
simulataneamente, el radio del cı́rculo es cero y la partı́cula se mueve en lı́nea recta. En la figura 1 se ve
la trayectoria de este tipo (las unidades de los ejes son arbitrarias).
4
Figura 1: Movimiento espiral de una partı́cula en un campo magnético. (ejes en unidades arbitrarias)
4.2.
Partı́cula en presencia de un campo magnético y un campo elécrico
perpendiculares
En un caso más general tambien la partı́cula describe movimientos circulares, para ello se hace un
procedimiento similar al anterior con las ecuaciones (28) y (31) rescribiendolas primero como:
Ey sin(ωt)
Ex cos(ωt)
Ey t v0y
−
= v0x −
− v0y +
(39)
x(t) − x0 −
Bz
ω
Bz
ω
Bz
ω
Ey cos(ωt)
Ex sin(ωt)
Ex t v0x
+
= v0x −
+ v0y +
(40)
y(t) − y0 +
Bz
ω
Bz
ω
Bz
ω
estas dos ecuaciones se pueden elevar al cuadrado y sumarlas para obtener:
2 2
2
2
Ey
Ex
Ex t v0x
1
1
Ey t v0y
+ y(t) − y0 +
= 2 v0x −
−
+
+ 2 v0y +
(41)
x(t) − x0 −
Bz
ω
Bz
ω
ω
Bz
ω
Bz
esta tambien es la ecuación de un cı́rculo, solo que ahora su centro se mueve en la coordenada x con
velocidad Ey /Bz y en la coordenada y con velocidad Ex /Bz . El radio del cı́rculo es la raiz cuadrada del
término de la derecha, pero como se ve no depende del tiempo, ası́ que este radio es constante. Para ver
este fenómeno primero se considera un campo eléctrico con sólo una componente perpendicular al campo
~ = (Ex , 0, 0) además de las condiciones anteriores. En la figura 2 se ve
magnético. Tomese por ejemplo E
a la izquierda la vista superior (plano x − y) allı́ claramnete el circulo se desplaza a lo largo del eje y,
note que un campo en x produce movimiento del circulo en el eje y y viceversa. En la parte derecha de
la figura 2 se ve que en la dirección z se mantiene el movimiento constante, la distancia entre los aros de
la espiral es constante y es en lı́nea recta.
~ = (Ex , Ey , 0). En la figura
Tambien se puede tomar un campo electrico más complejo, por ejemplo E
3 se ve a la izquierda la vista superior (plano x − y) allı́ claramente el cı́rculo se desplaza a lo largo del
eje y y del eje x, note que un campo en x produce movimiento del cı́rculo en el eje y y viceversa. En la
parte derecha de la figura 3 se ve que en la dirección z se mantiene el movimiento constante, la distancia
entre los aros de la espiral es constante y es en lı́nea recta.
4.3.
Campo magnético nulo
Un caso interesante es mostrar que sucede cuando no hay campo magnético, no es posible simplemente
hacer Bz = 0 en las ecuaciones mostradas, ya que se llegó a ellas suponiendo que Bz no podı́a ser cero,
para esto se supone que Bz tiende a cero y se hace un desarrollo en series de Taylor para recuperar una
expresión que corresponde a un movimiento uniformemente acelerado.
5
Figura 2: Movimiento espiral de una partı́cula en un campo magnético en dirección z y campo eléctrico
en dirección x. Izquierda: vista superior (plano x − y). Derecha: vista en 3D (ejes en unidades arbitrarias)
Figura 3: Movimiento espiral de una partı́cula en un campo magnético en dirección z y campo eléctrico
en dirección x y en direccion y. Izquierda: vista superior (plano x − y). Derecha: vista en 3D (ejes en
unidades arbitrarias)
6
Solamente se toman los términos de la serie hasta el segundo orden, recuerde que en esta expansión
sin θ ≈ θ,
cos θ ≈ 1 − θ2 /2
con esto las ecuaciones solución (28) y (31) quedan escritas respectivamente como:
Ex 1 − ω 2 t2 /2 − 1 Ey t
Ey ωt
− v0y +
+
x(t) = x0 + v0x −
Bz ω
Bz
ω
Bz
Ey 1 − ω 2 t2 /2 − 1
Ex ωt Ex t
y(t) = y0 + v0x −
+ v0y +
−
Bz
ω
Bz ω
Bz
(42)
(43)
(44)
reduciendo términos semejantes en estas ecuaciones, considerando que ω = qBz /m y recordando que Bz
tiende a cero se obtiene:
qEx 2
x(t) = x0 + v0x t +
t
(45)
2m
qEy 2
t
(46)
y(t) = y0 + v0y t +
2m
estas son las ecuaciones de movimiento en un campo eléctrico constante, tal como ocurre con la componente paralela al campo magnético, ecuación (35).
5.
Conclusiones
Se encontró la trayectoria de partı́culas en campos electromagnéticos y se estudiarons algunos casos
particulares. Se mostro que el campo magético produce movimiento en cı́rculos y los centros de estos
cı́rculos se pueden desplazar al introducir campos eléctricos. Se mostró que la solución general se reduce
a casos partı́culares, para obtener estas simplificaciones es suficiente con hacer cero alguna o todas las
componentes del campo eléctrico y para el caso del campo magnético es necesario aplicar un desarrollo
en series de Taylor.
Referencias
[1] Sears, F. W. y Zemansky, M. W. Fı́sica Universitaria con Fı́sica Moderna. Undecima edición. Pearson
Education México 2005.
[2] Serway, R. A. y Jewet, J. W. Fı́sica Para Ciencias e Ingenierı́a Séptima edición. Cengage Learning
México 2008.
[3] Ohanian, H. O. y Market, J. T. Fı́sica Para Ingenierı́ y Ciencias Tercera edición. Mc Graw Hill
México 2009.
[4] Recuperado el 20 de septiembre de 2013 de
http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/elecmagnet/movimiento/cicloide/cicloide.htm
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