REr/rsTA CrtNcrAs V, Ns 3' MATEUdTTCASVoI. 198{ y excelentc$ HEll$EtlA]10$ locales Anillos IMACC, Academia de Ciencias Mario Estrada' de Hurnboldt, Üniitersidad Gerhard pf ister, de Cuba RDA Berlin, ABSTRACT RESUMEN rincrs review of local An actual and excellents which are henselians The most relevants i.s presented. and some oPen are stated results The rel'anentioned. are rroblens tion with the rinqs t"hith the Prois establlsof ApProximation o"iiv case. The PaPer irea in the local with a theorem showlng foncttraes used Provinq technigues tnä-o"n.f P r o P e r t i e s' apnroximation actual una revisidn Se Presenta hensellanos locales <le los anillos }os reenuncidndose y excelentes, Y Presenmds relevantes tultados tdndose algunos Problemas aliertos. Se eslablece la relaciön-con con Ia ProPiedad de los anillos Y en el caso local Aproxirnacidn con un teorema que sä concluye usuales -de läs tdcnlcas ii"iiiu de de ProPiedades ä..o=tracidn aproxlrnaciön. INTRODUCCION Estearticulopresentaunarevisicinactualizadadealqunosdelospro. r t^l^Ioa los anillos solucicin concernientes d e p e n d i e n t e s y blemas resueltos de esta revr'Ha morivado ra presentacicin :;::'.::=";;;;"'"';;";;;"tes. ^ dr a e P2f!i s t- Le^ -r el tema Por el Dr. Gerhard s o l r r e d i c t a d a sldn la conferencia en Ia Academia durante su estancia de Humboldt en Berlin ' Ia Universidad c u v a refereny demostraciones de Cuba' Para las ilefiniciönes de Ciencias t7I y t8]. a las obras fundarnentales aI lector remitimos cia no se seöaIa, Toclos}osanil].osconsi<leradosSonconmutativos,noetherianosvunitarios. i . A H t t - u oH seHseltaruos Defdni.ei6n' EI para todo par denomina Henseliano cuando J u n i d e a l d e A ' se si: nonico f (T) € A[T] ' (A'J), polinornio a) !'(o) Eo (mod J) 95 I t i i i - ror = unidad(modJ) ur jfr entonces 3 a e ,f, tal que F(al , :']:1 = Q Existen muchas propiedades equivalentes a La definlcldn. Cuando egta (Tq r... ,Tnl , se obtLene el feoreoa se generaliza al caso de n variables (T.F.f.l de 1as Funclones Impl{citas (T.f .I. ) 2.2. Teoz,etru Sea (ArJ) henselianor F = (F,,..,rfrl, r pollnomios souri A tales *",' a) Fi (Ol = Fi € At;t,..,rTn!, O (nod J) , i=l t r S n, tt AF (O) + J = Ar donde AF = ideal encrendrado Dor los rxr _menores a"t de la matrizl f b) l-äq-j Exlste entonces " = (ar,... ranl , aj € J, j = 1r... rn; que P(al=O. täl 2.3. Lenz dc Neuton - Sea {A,Jl henselianoi Ft r polLnomios sob de ra matriz,""lirl""t?Ufi ( .rrj . Fr e A[?r,...,Tn], r f n por Ios "l=i::::,ensendrado I rxr nenores j=1 ,...rn cuando para ä = (är,...,än) € An, se tiene F (ä) c 2 1, existe entonces un a = (ar,...rän) € An con: = o mod (A(Fl (äl I'Jc (1) F(a) = o ( 2 1a i = ä , m o d ( A ( r t (ä!..rc !,4. Teorern(Efkik) ,i (ver [31] Sea (A,Jl henseliano; p = {F polinomios sobre ^: ;"; n',. ;::;.;l.l""llr:.^:1,;;;;:r:I"l;], A[Tr,..-,Tn) / (pl,...,Frl escogerse especiarmente). Entonces existe d a ce s: cu a n cl o," l l s o b r e: A (este ideal rrn- €,,-^r: " l " rt:I;:,.:' debe, por ''an), con las slsuienr es p r opl e! 8l e A, se tlene: "rP(r,st atät ! sr '' %--*-- ;;,', razones tdcnictt -- * x 0{ - ' Nr i) rr {ä) = o nod ii) . 36 entonces exlate a = (e, r... 1änf r "r€ rr{al = o y tl A, tal = äf gue (nod ilsl (ver lel ) 3, AlllLLos EXCELENTES Nos referlmos Prlmeranente solamente al caso local. necesarlag dos deflnlciones A se denomLna eatettarto cuando dados los ldeales 3.I. Defi.niciön: Un anillo primos p g Cl de A, todas las cadenas de ldeales prlnosr gue comlenzan .con p y termlnan con g, tienen la mlsma Longltud. A es uniuensalnpnte catenayio cuando toda A - älgebra de tlPo flnlto es catenaria. A se denomlna un G. anöl,Lo cuando gus flbras 3.2. Deföniai6n: Un anlllo males son geomdtrlcamente regulares. for- reEs decLr para todo p e Spec A, Ia flbra Ä OOrn OtAt eE un anlflo gularyPermaneceregularParatodaextensl6nfinitadeo(A}.Egulvalengeomdtrlcanen= FnA, Ä. t p i-es eI anlllo temente sip e Spec Äyp te FF regular. 3.3. Definieidn: Un anil-lo 1) Es universal'urente 2l es un G - anlllo. A se denomLna escel'ente cuando: Iocal catenario en el marco de Ia temdtlca gue esta[os lmpottante, Otra definlcldn con la proPledad de apr*l a ros anlllos es Ia correspondiente anallzando macidn. anlllO 3.A. Definieio.n: un aniLlo local A con ldeal maxlmal n se dcnonina (se escrlbe A e AE) cuando se cumple con la Propiedad de Aproximacldnr 1o slguiente: Fr (fl todo Las 3.5. =t,._--:f. . = o , f € Ä n , lcr3 € A; nümero natural propledades en el r € A_tTrr...tTnl Sean Frr...rFr sigulente Y. fundamentales polinonlos, gue {A ef completado tle A) . Entonces Para tales gue F, (f"l = o e Y" = f {nod mc) ' de Ios anllIos con AE se pueden resuntr - teorenra. I Teorenu: Sea A e AE' entonces: 1) A es henseliano 2l A es universalmente forrnales 3l Las fibras catenarlo de A son geomdtricarnente 37 & tales normales, e8 d e c l r : F e s p e c i v p = F n Ä que A_ /FA_ es geonCtrlcamnte lnpllcan PP {l Sl Bll e s u n a extensldn finlta, nornal entoncea tubl.ataa: entre los problenas que estCn en estudlo B € AE cltamos los slgulrafrar Sl A e AE'/es A excelente? Esta-conJetura vlene sugertda por aer excelentes todos los anlllos conoii;'' l . ',,:ii cidos con la propledad AE, y puede reducirse a demostrar gue3 .Dado A € AE y F e Spec Ä con [ fl i = O entonce= i- ." regular. La ret-,.,' puesta a P.l aflrmat-iva para dim s 2 y estd para dloens;.o-r ,es "rrP"raodlo nes nayorea. Un problena näs ddbil P2. lEs Reg o = € {\ n P-) es el siguiente spec A: A o regutar} , aUferto ,.. en spec A? La solu3tdn de n.t rmprica p-2r'pues cuando A exceLente es sienpre RegA spec A. La respuesta es afrrmativa al nenos para drm A s 3. lot"ttl,-en .,,.i Un probLema adn nds importante Io constituye: P3. lQud anillos poseen la proptedad AE? En este sentido meheiÖnanos a continuacidn 10s resultados obtentdos nd.s lnportantes. l l G r e e m b e r g ,1 9 6 6 , { v e r t5l}, si R es un ani1lo hensellano- y excelente, entonces R € AE. r' . i' de valoracidn discretar 2) Artinr 1964 (ver [li): sea k un cuerPo valorado Or de caracter{stica \ entohcesA=k{;.t .. .,Xn ( s e r i e s ' de potencias l^r, convergentes) posee Ia | propiedad AE. 3) Artin, t9e9 :(ver t2li; seb R un anlllo de valoraclcin discreta exfels.i te y hänsellano, ( xr .;;."";=:; {serles de potenclas alge-.. braicas) posee la " ;propiedad " ",Xnt ,\8. 4) Sea lK la categor{a de ,los W_ objetos *n ",,rrros 10ca1,e" ;il::::;,':iI':]"rrillil;"::""il;r!lx;, . A es excelente . A satisface el ,teoramä de preparaci,dn Weierträss (t{VSl se demues.,"que A ;;.";": ": cuando.k es u, .,,o.-.^-:::, - e :n lK I A € ae de . i,: i '{i - cornpreto de caracter(strcas p > o, enronp. :a:l_{i';: d e r n u e . s t r ag u e x c e r e n c l a ( v e r t 6 t l r e s d e c i r t a m;,l"i":ilrfäado bii; en este ca$o k 1se E r p r o b r e m a ,c u a t*t " " '*nl e AE. un euerpo valoraao re sotucicin ,r.rlllrlr"" no complero tiene 1a elguter- (y por es excelente * {x, ,. . . ,*^} [conpleto. de interds 5) Otro problena Informalmenter' por dada residual el "meno.r" es Ia 5) D. Popescu separable problena datla pareialmente viene recientemente' anunciado ha cuerpo del y cuyo ctrerpc Contlene = A/n de A' k residual gue Io henSeliano lOcal el en t4l ' muy interegante siguiente arin no Publicado: resultado, enLonces A e AE' y excele'nte, Si A es henseliano En eI K es casl es: aniIIO clausura a este Respuesta y s<;Io sl ?' d;roeee osh e AE. Es declr, A € AE p r o p i e dad?' con AE, tambidn esta de anillos estricta (A'nl viene lOcal de un anlllo estricta 1a henselizacidn henselizacidn la con AE) st tanto es separable' i/X extensfdn la cuando completo casi K se denomina slguientes: son conocidos los resultados en gue A es local, y excelente {ver [6J y [11])' , A € AE<=>A es henseliano (ver t12!) A es henseliano v excelente , A € AE y factorial(=) caso dimA=1 dlmA=2 dimA=3 ,LaafirmacidndePopescusehademostradoparaalgunosejem(ver tllll henselianos y excelentes plos de anillos =) A es hensellano de dernostrar A"e AE Estd pendiente y excelente DEApRoxtMAclÖN FuERTE 4 . A n t ur-o sco N L A P R o p tE D AD a.l.Defint)ciön:Unani}lolocal(e,m)PoseelaPropledadl.uertedeAProxle A[Tr""'Tnl se tiene: Sean Fl""'Fr macicjn (se escribe A € SAE) cuando <0 : IN *|}.| , tal gue una funci6n sobrg A. Entonces existe r poli.nomios An, con n r , t € Ä n i = r , . . . , r , e x r s t et 6 c u a n d oF i ( r ) = i ' T , r l ; ; ; ; ö i T l' ; . =olt=Et(1n6,d*") ri(t) Lacondici<jnSAEessö}oaParentementemjsfuerte,loguedemuestra eI siguiente' teorema 4.2 Teonena (Pfister y Popescu tBl ) AeAEäAesAE Es necesario observar se conoce en .trasos sinPles aPlicaciones' Ias posibles Con el piedades 4.3. resque = (ver t2l ). Su determinacldn b,.. KJ funcidn t9' sdlo es de interds por de Prou s u a l d e demostracldn una töcnlca de nostrar teorema y demostramos el Pr6xlnro enunciamos de aproximacidn (f ... ,frr) ; r, f(t)=o,te rxrr' Yrr " ""*}= n {*,"} {xr "" todo C € ( [ltxrl)N - gntonces existen Para f r , -..,f* e C 39 i. la objetivo Teorern Sean f se desconoce q u e e n general u{ ."' v 6 ,) 2 6([{x}lN, t"1"" gue f{Ysl = o, coir Y y (nod (x)c)), x = (x Deroetmclln: t Prlcra$ente, (f1,...,fr) ä l= de la generalldad, sln restriccldn rei (ctx,vl _-u*C t t x l t ) , podemos tonar Ü definida por Yi* if,.l por el caräbter noetheriano de [{x':f}. Sea htf sin : r ,{altura de }}.'Entonces, restriccidn de la generalltlail äe " "'e*o l' f":::,l',""i;,.:,, ä:il::lll'llill;r:::':"::":":'::" lt:. .t ji I ar. I tj |: I' Ir t, ? t71l.l tal qued E?, o seatal eued(f) I o y d = r,j11 1;-.2t, Aftrnauoe ahora que d,ad.osy"r con y" = y(mod (X)c), si tomannosc>>1. = O. de fr(yrl ! ..... = fr(y") = O resulta f(V") Efecttvanente, consLderando /6-;F = ?ro....n?" nodemostomar y f 1 { Y } l p a r a o i > 1 . E s c o g i e n d o ) ?r't c ord ?i(vt, t)l, como (rnod = y por mcl tanto ord resulta frlr"l ft(i) fr(yq) - ira pi(t), 1 . A h o r a/ T i , . . . , f r (yc) =o impiicaf (vsl ,Trllcl fr(v"l loparat> ... f"(y"l = O, de donde nuestra af irmacicjn. El resto de Ia demostracidn consiste en la aplicacioh del Lema de Ueqton, y para ello, dadq f tal que f(f;=6, por tanto f (t) = O {rnod d'l (tlfilc), encont.rar, paträ todo (xlc) " C e 01, un y^ - w G 0 { x } , c o n y " I f (nod t a l q u e f ( y . l = O ( m o dä , ( y " ) ( X l c ) . Se aplica i !. f' t: l para ello induccicin en el nümero n d e v a r i a b l e s Para n=O la afirmacicin es trivial. ;Fodqos ahora suponer, sln restricci<jn de la generalidad Xo - regular (irc. d. (t) (O,.. .,O, Xn) * o) Apttcando el !{.V.S. a d, (r} resutta: Xt. gue d'l(f)'es d' (tl = Untd.ad,.f *rr*tr_r*"ll.." l, aonaeä, € C t [ x , , - . . , x , r - 1 ! l .1, 0) YF(xtl = xn*är,-r*i]1...r Dlvldtendo los i, por FtXrr) resulta: ir =Frxni f, *';!l ,, O , vt fntroducimos e e Itxr,..., Xn-1)1, i=1r...,N v =-i; n*,rr*,, ;:::;lT 1it=";i:' ahor zr = s_l ,rlq zi, x l , i = 1 , . - . , N y i k = 1r...,r 40 def ininoJ = o ( m o d F ( x , . , ): o ( m o dd ' z ( y ) = t*(rr) Ahora, gx(riu) =rXr, * A"-.t x=-1* '. '* F' Polinomio Consideremos eI Y dividamos son nuevas variabl€sr ...,s-1 9X(Ziu los.A*, i=O, donde Aj ) =F' .'looi*l' .q+ ( (( ( ( . t o n < lqe € C { i x ,-, . . . , x n f I , i z i Il , l A i l lt \ € C \'\), \ r ) t " . x ." j ) t\ j=Or.-. i=l,,..rNi t*" " . r X n - 1 )1{""} t^,i s-1 f sustituYendo Ahora bien, -l { = fl. rv -v A. ( l , resulta = ä. l Ftxrr).h = F(xn) .h' r t L ( --'l xr,... ,Xn-1, ti, ' t j.l I qL. l Por ü - ., Ia = o A -p r i c a n d o ä .' )l r- "i6n 9 r^ ,- l mo3 eI cidn ar con : a. inverso camino requerida C e Para t o d o .r,"ontramos = O, tanto por Y" = f (nod $, (X)c) ; Yi de las = ir.. del sistema la en A cle soluciön sustiiücionäX (mod (xc) de induccicin hipcitesis la 9X. (*r ' " "Xn-1 l o esta ecua- WVS, resulta segrin eI tdrminos, de los unicidad una ecuacidn del tiPo ecuaciön ahora recorre- (mo<l (x)c) ' si obtenemos Ia solu: o mod A'(Y") (xc) ' qed' '"utizadas f, Rt n l r o c n R IrR t1l 1 1. 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