Circuitos y Sistemas Dinámicos Ejercicios tema 4 Respuesta en frecuencia y circuitos resonantes 4.1 Dada la siguiente función de transferencia: G( jω) = a) b) c) 25jω ( jω + 0.5) ( jω) 2 + 4 jω + 100 Escribirla en forma estándar. Trazar el diagrama asintótico de Bode de módulo y fase señalando todas sus pendientes y puntos críticos. Corregir este diagrama con algunos puntos característicos. 4.2 Dibujar el diagrama asintótico de Bode de módulo y fase para el circuito de la figura tanto para la función de transferencia Ua/Ue como para Ub/Ue. Calcular el valor exacto para las frecuencias 2f1, f1, f1/2, 2 f2, f2 y f2/2 siendo f1 = 1/(2πR1C1) y f2 = 1/(2πR2C2) Comparar los resultados en los casos siguientes: a) b) R1 = 15,9 Ω; C1 = 10 µF; y R2 = 0,8 kΩ; C2 = 2 nF R1 = 20 kΩ; C1 = 0,1 µF; y R2 = 82 kΩ; C2 = 5,6 nF R2 C1 1 Ue Ub Ua C2 R1 4.3 En el circuito RLC serie de la figura: a) Calcular la función de transferencia que relaciona la tensión en la resistencia con la tensión en la fuente. b) Particularizar para L = 5 H, R = 3000 Ω y C = 5 nF. c) Dibujar el diagrama de Bode de módulo y fase. d) Repetir el problema para la función de transferencia entre la tensión de la autoinducción y la tensión de la fuente y comparar los resultados. L C + Vi R - 4.4 En el circuito de la figura: a) Escribir la función de transferencia en forma estándar que relaciona la tensión de salida con la tensión de entrada. R = 1 kΩ, r = 50 Ω, C = 10 µF, L = 1,013 H. b) Dibujar el diagrama de Bode. c) Interpretar la posible utilización práctica del circuito. Vo C r + Vi - L R Vo 4.5 (Examen Febrero 99) Para el circuito de la figura, construido con un amplificador operacional ideal, se pide: a) Demostrar que la relación entre la tensión de salida Vo y la tensión de entrada Vg en régimen permanente es: V0 0, 25( jω) 2 = Vg 0,1( jω)3 + 2, 05( jω) 2 + 2001jω + 40000 b) Dibujar los diagramas asintóticos de Bode de amplitud y fase en el papel que se ha suministrado al efecto. Indicar las pendientes de cada recta y las frecuencias de esquina (también llamadas “de codo”). Indicar los puntos característicos siguientes (indicando ganancia en dB, fase y frecuencia): amplitud máxima, amplitud = – 50 dB y fase nula. Dibujar el diagrama de Bode de forma aproximada. c) d) 4.6 En el circuito RLC serie de la figura: a) Calcular la función de transferencia que relaciona la tensión en el condensador con la tensión en la fuente. b) Particularizar para L = 5 H, R = 3000 Ω y C = 5 nF. c) Dibujar el diagrama de Bode de módulo y fase. d) Determinar la frecuencia para la que se alcanza el valor máximo de tensión en el condensador. Compararla con la frecuencia de resonancia. L C + vi vo R - 4.7 Dibujar el diagrama de Bode correspondiente a la expresión de la impedancia del siguiente circuito: L C R a) Sin realizar ninguna aproximación. b) Sustituyéndolo por su circuito paralelo equivalente. c) Comparar lo resultados y decidir para qué frecuencias es suficiente la aproximación. L = 0,05 H R = 17,5 Ω Escuela Técnica Superior de Ingeniería (ICAI) Departamento de Electrotecnia y Sistemas C = 0,5 µF Circuitos y Sistemas Dinámicos 4.8 (Examen Septiembre 99) Se considera el siguiente diagrama de Bode de amplitud: Amplitud (dB) 30 20 10 0 10-1 10 0 10 1 10 2 103 Pulsación (rad/s) a) Determinar una función de transferencia que tenga dicha función de amplitud sabiendo que se trata de un cociente de polinomios. Es necesario determinar los coeficientes de los términos de los polinomios del numerador y denominador. b) Una vez obtenida la expresión de la función de transferencia, dibujar el diagrama de fase. 4.9 El circuito de la figura representa una bobina real en paralelo con un condensador. (L = 0,1 H; R = 30,5 Ω; C = 0,25 µF) L a) Se pide estudiar la variación del módulo de la impedancia de este dipolo al variar la frecuencia, representando el diagrama asintótico de Bode de amplitud correspondiente. R b) C Mediante este diagrama estimar el valor máximo que alcanza la impedancia. 4.10 Aplicando la definición de factor de calidad, deducir su expresión para un circuito RLC en serie a la frecuencia de resonancia. 4.11 Sabiendo que se cumple ω2 LC = 1 , calcular la tensión en la impedancia Z de la figura. Exprésese en forma exponencial. I = 2e j0 A ; f = 50 Hz ; L = 38,2 mH C _ I L _ Z _ Uz 4.12 Un osciloscopio se utiliza para medir la tensión en una bobina real con una inductancia de 1 mH y una resistencia de 1 kΩ. El osciloscopio tiene una impedancia de entrada de 1,2 MΩ en paralelo con una capacidad de 20 pF. La bobina está alimentada mediante un generador de tensión sinusoidal con una pulsación de 7 Mrad/s, que tiene una resistencia interna de 12 kΩ. La amplitud de pico de la fuente cuando está en vacío es de 50 V. a) Dibujar el circuito correspondiente. b) Determinar el error porcentual cometido en la medida. Escuela Técnica Superior de Ingeniería (ICAI) Departamento de Electrotecnia y Sistemas Gen. Bobina OSC Circuitos y Sistemas Dinámicos 4.13 El circuito representa un sintonizador elemental para 1000 Hz. Siendo la tensión de entrada de 1 V calcular: a) Tensión de salida para f = 1000 Hz. b) Tensión de salida para f = 500 Hz. c) Tensión de salida para f = 2000 Hz. d) Determinar si existe resonancia en el circuito y a qué frecuencia en caso afirmativo. e) Igualmente en caso afirmativo, determinar las frecuencias de corte. 10000Ω + Ue 2.2µF 11.5mH - Us 0.1Ω 4.14 En el circuito de la figura, calcular los valores de L y C para que la carga R se vea con una impedancia igual a la de la fuente (puramente resistiva, Rg) si esta es sinusoidal y su pulsación es ωg. Considerar que Rg >> R. L Rg + (ωg) R C - 4.15 Para el circuito de la figura: a) Calcular su frecuencia de resonancia. b) Demostrar que si se cumple RL = RC = L / C presenta resonancia para todas las frecuencias. L C RL RC 4.16 En el circuito RLC serie de la figura determinar: a) Frecuencia de resonancia. b) Factor de calidad. c) Ancho de banda. d) Intensidad en resonancia para una tensión de alimentación de 5 V. e) Tensión en el condensador en la resonancia. Particularizar para los siguientes valores: L (H) 5 2 1 0,5 R (Ω) 3000 1200 600 300 C(nF) 5 12,7 25 50 L C + R - Escuela Técnica Superior de Ingeniería (ICAI) Departamento de Electrotecnia y Sistemas Circuitos y Sistemas Dinámicos 4.17 El circuito de la figura representa una bobina real en paralelo con un condensador alimentados con una fuente de intensidad. Determinar: a) Frecuencia de resonancia. b) Factor de calidad de la bobina. c) Ancho de banda. d) Impedancia a la frecuencia de resonancia. e) Intensidad en la bobina en la resonancia. (Suponer que en la fuente I = 1 A) Particularizar para los siguientes valores: L (H) 0,02 0,05 0,1 R (Ω) 6,5 17,5 30,5 C(µF) 1,3 0,5 0,25 L C R 4.18 Una red monofásica, representada mediante su dipolo equivalente (fuente de tensión u en serie con autoinducción Lr) está alimentando una carga que además tiene un condensador en paralelo con el objeto de mejorar su factor de potencia en régimen alterno senoidal. La carga es pasiva y equivale a una resistencia R = 700 Ω en serie con una autoinducción de valor L = 1,42 H. a) Se considera inicialmente que la tensión u es senoidal y que tiene una expresión instantánea u(t) = u1 (t) = 2 20363 sen(100 π t) V . En esta situación, calcular la intensidad eficaz en el condensador. b) En la misma situación que en el apartado anterior, calcular el factor de potencia del conjunto carga-condensador. c) Determinar la frecuencia de resonancia paralelo del conjunto carga-condensador. En los siguientes apartados se considera que la tensión u(t), además de la onda fundamental, contiene un armónico de orden 5 que no se tuvo en cuenta para el diseño del condensador de compensación de reactiva. Su nueva expresión es: u(t) = u1 (t) + u 5 (t) = 2 [ 20363 sen(100 π t) + 2000 sen(5100 π t) ] V En estas condiciones, calcular: d) La intensidad eficaz en el condensador. e) El factor de potencia en el conjunto carga-condensador, definido como FP = P/S. f) Determinar la frecuencia de resonancia serie del conjunto red-carga-condensador. Interpretar los resultados desde el punto de vista de la resonancia. o Lr = 0.3 H C = 1.6µF Carga u(t) o Escuela Técnica Superior de Ingeniería (ICAI) Departamento de Electrotecnia y Sistemas Circuitos y Sistemas Dinámicos 4.19 La tensión a la entrada del circuito de la figura tiene la expresión: vi(t) = 100 [ cos(20000πt) + cos(40000πt) ] Los condensadores C1 y C2 se escogerán de forma que el circuito transmita a la salida de forma eficaz la señal de 10 kHz y bloquee al máximo la señal de 20 kHz. a) Establecer el valor de ambos condensadores b) Determinar la expresión de la tensión a la salida. C1 160mH 1kΩ C2 1kΩ vi vo 4.20 El circuito de la figura es resonante a dos frecuencias distintas. A una de ellas (ω1) presenta baja impedancia, mientras que a la otra frecuencia (ω2) presenta impedancia infinito. Se pide: a) Deducir el valor de las frecuencias ω1 y ω2. b) Deducir el valor del factor de calidad y del ancho de banda asociado a cada resonancia. R CS L 4.21 (Examen Febrero 2000) Para el circuito de la figura, en el que el amplificador de ganancia K es ideal, se pide: CP K Ue C1 R2 Us R1 C3 L C2 a) Determinar la función de transferencia entre la tensión de salida y la tensión de entrada. b) Dibujar el diagrama de Bode asintótico en amplitud y fase, especificando claramente las pendientes de los diferentes tramos y las pulsaciones a las que se producen los cambios, para el caso: R1 = 102 Ω, R2 = 10 kΩ, C1 = 1 µF, C2 = 49 µF, C3 = 2 µF, L = 2 H, K = 1000. c) Estimar la ganancia máxima y los valores de pulsación y fase para los cuales la ganancia es de 0 dB. Con ello, dibujar aproximadamente el diagrama de Bode. d) Calcular, si existe, el valor de R2 para el cual el sistema resulta de segundo orden. Escuela Técnica Superior de Ingeniería (ICAI) Departamento de Electrotecnia y Sistemas Circuitos y Sistemas Dinámicos 4.22 (Examen Septiembre 2000) Se pretende estudiar la respuesta en frecuencia del circuito de la figura. 4 kΩ 0.2 µF 0.2 µF Vi Vo 0.1 H Se pide: a) Obtener la función de transferencia Vo/Vi en forma factorizada. b) Atendiendo al polinomio del denominador, indicar el tipo de respuesta (sobreamortiguada, críticamente amortiguada o subamortiguada). c) Determinar las frecuencias a las que se producen los cambios de tendencia en el diagrama de Bode en amplitud (no es preciso dibujar dicho diagrama). d) ¿Cuánto vale Vo/Vi a frecuencia cero y a frecuencia infinita? e) ¿Cuánto vale Vo/Vi a frecuencia angular 50 krad/s? 4.23 Para el circuito de la figura hallar una relación entre L y C para una R dada, tal que el circuito presente una carga puramente resistiva y de valor R, visto desde la fuente, a todas las frecuencias. C R L L C + u - i 4.24 (Examen Febrero 2001) Dada la función de transferencia siguiente: H (s) = s3 + ( s 2 + 4 ⋅ s + 25 2 + 100 s 2 + 1 + 100 ⋅ 2 s + 100 ) ( ) Se pide: a) Dibujar el diagrama asintótico de Bode de amplitud. b) Dibujar aproximadamente la curva real de este mismo diagrama. Indicar los puntos calculados para trazar dicha curva. c) Indicar aproximadamente la pulsación para la que la amplitud sea de – 60 dB. d) Indicar esta misma pulsación utilizando la curva real. e) Dibujar el diagrama asintótico de Bode de fase. f) Dibujar la fase real de forma aproximada. g) Indicar qué término del tipo (s + a) es necesario incluir en el numerador de la función de transferencia original para que la amplitud a frecuencias bajas —menores que la menor frecuencia de esquina de H(s)— sea 0 dB. Escuela Técnica Superior de Ingeniería (ICAI) Departamento de Electrotecnia y Sistemas Circuitos y Sistemas Dinámicos R 4.25 (Examen Febrero 2001) Dado el circuito de la figura, determinar la pulsación para la cual el circuito es resonante para la fuente de intensidad. L E R2 R1 I C 4.26 (Examen Septiembre 2001) En el circuito de la figura, R1 = 5 Ω, L = 100 mH, R2 = 4000 Ω, C = 3.08 µF. 1 . Se aproxima la pulsación de resonancia que ve la fuente E mediante la expresión ω*r = LC Se pide: a) Expresión exacta de la pulsación de resonancia ωr que ve la fuente E. Error absoluto cometido al usar la aproximación para el circuito representado con los valores dados. b) Valor aproximado del ancho de banda. Explicar las aproximaciones que se realicen. c) Valor que debe tener R1 para que la respuesta natural del circuito sea críticamente amortiguada. R1 E + – Escuela Técnica Superior de Ingeniería (ICAI) Departamento de Electrotecnia y Sistemas L R2 C Circuitos y Sistemas Dinámicos 4.27 (Examen Septiembre 2001) Dado el circuito de la figura, se pide: R1 L1 C1 R2 C2 V1 a) V2 Obtener la función de transferencia entre la tensión de salida y la tensión de entrada en la forma estándar indicada a continuación: a ( jω) + a N −1 ( jω) + V2 = G0 ⋅ N M M −1 V1 b M ( jω) + b M −1 ( jω) + N G( jω) = b) N −1 + a n ( jω ) + n + b m ( jω ) + m + a1 ( jω ) + 1 + b1 ( jω) + 1 Indicar las dimensiones de cada elemento a n , b m y del término G 0 . ¿Qué significa el valor de G 0 ? Sabiendo que los elementos del circuito tienen los siguientes valores: R1 = 110 Ω, L1 = 1 mH, C1 = 1 µF, R2 = 10 kΩ, C2 = 0,1 µF Se pide: c) Calcular el valor de G 0 , así como todas las pulsaciones (en rad/s) representativas del diagrama de Bode asintótico en amplitud. d) Trazar el diagrama de Bode asintótico de amplitud señalando todas sus pendientes y puntos representativos. e) Indicar sobre el diagrama del apartado d) algunos puntos característicos (pulsaciones del apartado c). f) Calcular la expresión de la tensión v2(t) en régimen permanente para una tensión de entrada v1(t) = 10 sen(100t) V. Escuela Técnica Superior de Ingeniería (ICAI) Departamento de Electrotecnia y Sistemas Circuitos y Sistemas Dinámicos 4.28 (Examen Febrero 2002) Considerando el circuito de la figura se pide: a) Obtener la función de transferencia I (s) Vi ( s ) b) ¿Cuál es el orden del circuito? c) i(t) Pulsación de resonancia vista desde el generador vi. d) Factor de calidad y ancho de banda correspondientes. e) Obtener la función de transferencia f) Obtener la función de transferencia L R . Vo1 ( s ) Vi ( s ) Vo 2 ( s ) Vi ( s ) . vo1(t) + − L vi(t) R C C . Conocidos los valores de los componentes del circuito: R = 100 Ω, L = 1 H, C = 1 µF; Se pide: g) Trazar el diagrama de Bode de amplitud y fase de las funciones de transferencia Vo 2 ( s ) Vi ( s ) Vo1 ( s ) Vi ( s ) y . Se deben dibujar claramente las asíntotas señalando sus pendientes y las pulsaciones de esquina. Además, se deben estimar los valores máximos o mínimos de módulo y su posición en el diagrama de Bode de amplitud. 4.29 (Examen Septiembre 2002) Para el amplificador que se representa en la figura se pide lo siguiente: C2 I(s) a) R C1 + Vg - gVg RL + V0 - Hallar la función de transferencia Vo(s)/I(s) en forma normalizada, en función de los parámetros que constan en la figura. (Nota: “g” es la ganancia en A/V de la fuente dependiente) b) Comprobar que la función de transferencia hallada es dimensionalmente correcta. c) Particularizando la función de transferencia hallada anteriormente para los valores: R = 80 kΩ, C1 = C2 = 1pF, g = 0,1 mA/V y RL = 3,3 kΩ, dibujar los diagramas asintóticos de amplitud y fase. Indicar los puntos característicos. Escuela Técnica Superior de Ingeniería (ICAI) Departamento de Electrotecnia y Sistemas Circuitos y Sistemas Dinámicos vo2(t) 4.30 (Examen Febrero 2003) Considerando el circuito de la figura, en el que el amplificador operacional se puede considerar a todos los efectos como un amplificador ideal, se pide: a) Obtener la función de transferencia entre la tensión de salida y la tensión de entrada en el formato normalizado indicado a continuación: a ( jω ) + aN −1 ( jω ) + V G ( jω ) = 2 = G0 ⋅ N M M −1 V1 bM ( jω ) + bM −1 ( jω ) + N −1 N + an ( jω ) + + a1 ( jω ) + 1 + bm ( jω ) + + b1 ( jω ) + 1 n m b) Indicar las unidades de cada elemento ai , bi + y G0 , comprobando que son coherentes con las unidades de la función de transferencia. c) − ¿Se podría haber calculado el valor de G0 de C V1 forma más directa sin haber tenido que obtener la función de transferencia completa? En caso afirmativo explicar muy brevemente cómo se calcularía dicho valor. R1 L V2 R2 Sabiendo que los valores de los elementos del circuito son: R1 = 10 Ω, R2 = 90 Ω, L = 1H y C = 1µF , se pide: d) Calcular todas las pulsaciones (en rad/s) necesarias para trazar el diagrama de Bode asintótico de amplitud. e) Dibujar el diagrama de Bode asintótico de amplitud. f) Indicar sobre el diagrama del apartado anterior el valor de la ganancia en dB de los puntos más significativos, es decir, para la pulsación tendiendo a cero y las pulsaciones citadas en d). Si la tensión de entrada es una onda no senoidal de pulsación cos (ω t ) cos ( 5ω t ) cos ( 9ω t ) v1 ( t ) = 5 − 10· + + 1 5 9 ω = 200 rad/s con serie de Fourier: V g) Para obtener la expresión de la tensión de salida v2(t) en régimen permanente ¿es razonable ignorar los términos de orden superior al cinco? 4.31 (Examen Febrero 2003) a) c) Si M = • u Para el circuito de la figura, obtener la función de transferencia U(s)/I(s). b) Comprobar que la expresión hallada es dimensionalmente correcta. M i A L1 • R C L2 B L1L 2 , determinar la pulsación de resonancia del dipolo visto entre A y B. Escuela Técnica Superior de Ingeniería (ICAI) Departamento de Electrotecnia y Sistemas Circuitos y Sistemas Dinámicos SOLUCIONES 4.1 a) G ( jω) = 4.2 Bode. 1 1 ⋅ 2 1 + jω 1/ 2 ⋅ jω 2 2 ⋅ 0,2 jω ⋅ jω + 1 + 10 10 4.3 a) H(s) = b) H(s) = c) s⋅C⋅R s ⋅ L ⋅ C + s ⋅ R ⋅ C +1 1,5 ⋅ 10 −5 ⋅ s 2 2 s s 6324,555 + 66666,67 + 1 1 jω ⋅ H( jω) = 2 66666,67 jω jω + +1 6324 , 555 66666 ,67 4.4 2 a) jω +1 R 1/ L ⋅ C ⋅ H( jω) = 2 r+R jω jω⋅ L + r + R +1 1/ L ⋅ C 2 jω 314,192 + 1 b) H( jω) = 0,95238 ⋅ 2 jω 1, 013 314,192 + 1050 jω + 1 c) Un posible uso sería como filtro para bloquear señales de frecuencia 314,192 rad/s (50Hz). 4.5 4.6 Bode. 1 s ⋅ L ⋅ C + s ⋅ R ⋅ C +1 1 a) H(s) = b) H(s) = c) H( jω) = d) ωmax 2 2,5 ⋅ 10−8 ⋅ s 2 + 15 ⋅ 10− 6 ⋅ s + 1 K = 2 1 2 jω jω jω + 15 ⋅ 10− 6 ⋅ jω + 1 ω + 2 ⋅ ς ⋅ ω + 1 6324,5 n n = 6310,3093 rad / s ω0 = 6324,55 rad / s 4.7 c) Para los valores elegidos, en el diagrama de amplitud la aproximación es válida para ω > 700 rad/s, en cambio en el de fase sólo es aceptable para ω > 4000 rad/s. 4.8 H( jω) = 1 + jω ω ω 1+ 2⋅ j + j 40 40 2 Escuela Técnica Superior de Ingeniería (ICAI) Departamento de Electrotecnia y Sistemas Circuitos y Sistemas Dinámicos 4.9Bode. b) 55,7 dB. 4.10 Factor de calidad del circuito serie: Q = 4.11 U Z = 24 e 4.12 b) 67% j π 2 1 β⋅ L⋅C V 4.13 a) Us = 0,8313 V. b) Us = 0,0048 V. c) Us = 0,0048 V. d) f 0 = 1000,6Hz e) ω1 = 996,3Hz 4.14 4.15 ω2 = 1004,918Hz 1 1 C = ⋅ 2 L R 2 L + ωg L C L ⋅ C ⋅ R C 2 − L2 R L2 − a) ω0 = 4.16 a) b) 1 L⋅C ω L ⋅ ω0 1 QS = 0 = = β R R ⋅ C ⋅ ω0 ω0 = c) β= R ω0 = L QS d) I= 5 R e) VC0 = − j a) ω0 = 5 L ⋅ R C 4.17 1 R − L⋅C L 2 Escuela Técnica Superior de Ingeniería (ICAI) Departamento de Electrotecnia y Sistemas Circuitos y Sistemas Dinámicos b) c) d) e) 4.18 a) ω0 ⋅ L R R β= L R 2 + ω2 ⋅ L2 Z0 = R 2 R + ω2 ⋅ L2 I0B = 2 R + jω ⋅ L ⋅ R Q= IC = 10, 053 A b) cosϕ = 0,99 c) ω0 = 444 rad / s d) IC = 83,173 A e) f) 4.19 P = 0,196 S ω = 1626, 79 rad / s FP = b) C1 = 1,192 nF C2 = 394,8 pF vi (t) = 36, 063 cos(20 000 π t) + 0, 24612 cos(40 000 π t) V a) ω1 = b) Q1 = a) US C1 (R1C2 s + 1) Ls = ⋅K⋅ Ue C1 + C2 + R1C1C2 s R 2 LC3 s 2 + L s + R 2 a) 4.20 1 ω2 = L ( CS + CP ) ω1 L ( Cs + Cp ) R Cs β1 = 1 L CP R Cs L ( Cs + C p ) Q 2 = ∞ β2 = 0 4.21 b) c) d) Bode. Bode. R 2 = 344,9275Ω 4.22 V0 L ⋅ C ⋅ s2 + 1 = Vi L ⋅ C ⋅ s 2 + R ⋅ C ⋅ s + 2 b) Sobreamortiguada. c) 2679,5 rad/s; 7071 rad/s; 37320,5 rad/s d) 0,5 V/V; 1 V/V e) 0 V/V a) 4.23 L = 2 ⋅ R2 C Escuela Técnica Superior de Ingeniería (ICAI) Departamento de Electrotecnia y Sistemas Circuitos y Sistemas Dinámicos 4.24 a) b) Bode. Bode. c) d) e) f) ω = 1000 rad / s Bode. Bode. g) (s+4). ω0 = 4.25 R1 1 R ⋅ − 2 R1 + R 2 L ⋅ C L 2 4.26 a) b) c) 1 1 − L ⋅ C C2 ⋅ R 2 β = 20,876Hz R1 = 368,5Ω ωr = α = 1,83 rad / s 4.27 V2 C s ⋅ C2 ⋅ R 2 + 1 =− 1⋅ 2 V1 C2 s ⋅ C1 ⋅ L1 + s ⋅ C1 ⋅ R1 + 1 b) G0: Ganancia del sistema a frecuencia 0. Es la ganancia estática. c) G0 = –10. Pulsaciones: 1krad/s, 10 krad/s y 100 krad/s. a) d) e) f) G ( jω) = Bode. Bode. v 2 (t) = 100 sen(100 t − 3, 037) V 4.28 I(s) 1 Cs = Vi (s) 2 LCs 2 + RCs + 1 b) El circuito es de 2º orden 1 c) ωres = LC a) 1 L R ; β= R C L 2 Vo1 (s) 1 2LCs + 2RCs + 1 e) = Vi (s) 2 LCs 2 + RCs + 1 d) Q = f) Vo2 (s) 1 =− Vi (s) 2 a) RR L ( g − C 2 s ) Vo (s) =− 2 I(s) RR L C1C2 s + ( RC1 + RC2 + R L C2 + RR L C2 g ) s + 1 b) [Ω] = 4.29 Ω 2 Ω −1 −2 −1 −1 2 s ⋅ s + s + s + s + Ω ⋅ s ⋅ Ω s + [⋅] Escuela Técnica Superior de Ingeniería (ICAI) Departamento de Electrotecnia y Sistemas Circuitos y Sistemas Dinámicos 4.30 a) V2 R1 + R2 = ⋅ V1 R1 R ·R R1 L 2 LC ( jω ) + 1 2 C + ( jω ) + 1 R1 + R2 R1 + R2 R1 + R2 LC ( jω ) + R2 C ( jω ) + 1 2 b) an y bn tienen unidades de tiempon y G0 es adimensional c) Sí, resolviendo el circuito en corriente continua: abriendo los condensadores y cortocircuitando las bobinas. d) jω jω + 1· + 1 2 −7 −2 10 ( jω ) + 10 ( jω ) + 1 ω1 ω 2 V2 = 10 ⋅ −6 = 10· 2 2 V1 10 ( jω ) + 90·10−6 ( jω ) + 1 jω jω + 2· z +1 ωn ωn ω = 99.9 rad / s ω 2 = 100.1 krad / s donde 1 z = 0.045 ω n = 1000 rad / s e) (1.0000K,60.977) (1.0000K,60.860) 50 8,20.043) (100.041,23.098) 25 (100.041K,3.0089) 0 f) VDB(V2) 100d g) No, porque para la pulsación 1800 rad/s (armónico 9) la ganancia en amplitud es incluso mayor que para frecuencias bajas. 4.31 L1L 2 − M 2 2 s + L1s U(s) R a) = L I(s) L2C s2 + 2 s + 1 R [ V ] = [Ω] + [Ω] + [Ω] = Ω b) [ ] [ A ] [ i] + [ i] + [ i] (L L 1 c) ω0 = 2 − M 2 ) C s3 + 1 L2 C Escuela Técnica Superior de Ingeniería (ICAI) Departamento de Electrotecnia y Sistemas Circuitos y Sistemas Dinámicos