cnicas y curvas paramtricas con la fx-9860g

MATEMÁTICAS Y TECNOLOGÍA CON
CALCULADORA GRÁFICA
4. GEOMETRÍA CON LA FX−9860G SLIM
DIVISIÓN DIDÁCTICA
MAURICIO CONTRERAS
MATEMÁTICAS Y TECNOLOGÍA CON CALCULADORA GRÁFICA
Enero/Febrero 2008
1. ESTUDIO Y DIBUJO DE CÓNICAS Y CURVAS
Introducción
Con la FX − 9860G SLIM es posible dibujar cónicas y obtener sus elementos característicos (vértices,
centro, focos, asíntotas, etc), así como su ecuación. Además, con la FX−9860G SLIM es posible dibujar
curvas en coordenadas polares y paramétricas.
En esta sesión se analizarán las posibilidades de la FX − 9860G SLIM para tratar el currículo habitual de
Geometría de la ESO y del Bachillerato, especialmente en lo concerniente a las cónicas, las curvas y la
trigonometría (funciones circulares, resolución de triángulos, etc).
1. Cónicas
REPRESENTACIÓN GRÁFICA
Dibuja el círculo de ecuación (X - 1) + (Y − 1) ) = 2 2 gráficamente.
2
2
Procedimiento:
Pantalla de resultado:
ELEMENTOS DE LAS CÓNICAS
Determina el foco, vértice y longitud del lado recto de la parábola X = (Y − 2 ) + 3 . Utiliza los
siguientes valores de la ventana de visualización. Xmin=−1, Xmax=10, Xscale=1, Ymin=−5,
Ymax=5, Yscale=1
2
Procedimiento:
CEFIRE DE GODELLA / CASIO
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Calcula el centro y radio del círculo (X + 2 ) + (Y + 1) = 2 2 . Utiliza los siguientes valores de
la ventana de visualización. Xmin=−6.3, Xmax=6.3, Xscale=1, Ymin=−3.1, Ymax=3.1, Yscale=1
2
2
Procedimiento:
Halla los puntos de corte de la hipérbola
(X − 3)2 − (Y − 1)2
22
22
= 1 con los ejes de coordenadas.
Utiliza los siguientes valores de la ventana de visualización. Xmin=−4, Xmax=8, Xscale=1,
Ymin=−5, Ymax=5, Yscale=1
Procedimiento:
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Dibuja los ejes de simetría y la directriz de la parábola X = 2(Y − 1) + 1 . Utiliza los siguientes
valores de la ventana de visualización. Xmin=−6.3, Xmax=6.3, Xscale=1, Ymin=−3.1,
Ymax=3.1, Yscale=1
2
Procedimiento:
Dibuja las asíntotas de la hipérbola
(X − 1)2 − (Y − 1)2
22
22
= 1 . Utiliza los siguientes valores de la
ventana de visualización. Xmin=−6.3, Xmax=6.3, Xscale=1, Ymin=−5, Ymax=5, Yscale=1
Procedimiento:
CEFIRE DE GODELLA / CASIO
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Halla la excentricidad de la elipse
(X − 2)2 − (Y − 2)2
42
22
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= 1 . Utiliza los siguientes valores de la
ventana de visualización. Xmin=−3, Xmax=7, Xscale=1, Ymin=−1, Ymax=5, Yscale=1
Procedimiento:
Pantalla de resultado:
PROBLEMAS SOBRE CÓNICAS
Podemos utilizar la FX−9860G SLIM para representar curvas y cónicas, resolver problemas relacionados
con las cónicas y con sus ecuaciones paramétricas. Veamos algunos ejemplos.
PROBLEMAS SOBRE LA CIRCUNFERENCIA
Dibuja una circunferencia de centro (1, −1) y radio 2, utilizando la aplicación cónicas y la
aplicación Gráficos y Tablas de la SLIM.
a) Inicia la aplicación Cónicas. En el editor de cónicas, selecciona el tipo de ecuación [(X-H)2+(Y-K)2=R2], y
a continuación introduce los valores apropiados para el gráfico de la circunferencia.
b) Otra forma de dibujar la circunferencia es mediante el menú Graph. Una circunferencia es el lugar
geométrico de puntos del plano cuya distancia a un punto fijo (centro) es constante (radio). En este
caso, podemos escribir:
(x − 1)2 + (y − (−1))2 = 2 2
De esta expresión podemos despejar y:
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(x − 1)2 + (y + 1)2 = 4
(y + 1)2 = 4 − ( x − 1)2
y = ± 4 − (x − 1)2 − 1
Necesitamos, por tanto, dos funciones para representar la circunferencia. Abrimos el Editor de Gráficos
e introducimos las dos funciones.
Halla los puntos de corte de la recta y = 2x − 1 con la circunferencia de centro (1, −1) y radio
2. Determina la longitud de la cuerda formada.
a) Abrimos el Editor de Gráficos y dibujamos la gráfica de las dos funciones que dan la circunferencia y de
la recta. Observamos que la recta corta a la circunferencia en dos puntos. Seleccionamos la opción
Trace, pulsando [SHIFT] [F1] y recorremos las gráficas con los cursores para localizar los puntos de
intersección. Esta exploración indica que la recta corta a la circunferencia en los puntos (1, 1) y
(−0.6,−2.2)
b) También podemos resolver el problema algebraicamente, resolviendo el sistema formado por las
ecuaciones de la circunferencia y la recta:
(x − 1)2 + (y − (−1))2 = 2 2 , y = 2x − 1
Podemos sustituir la expresión de la recta en la de la circunferencia, obteniendo.
(x − 1)2 + (y − (−1))2 = 2 2
⇒ (x − 1)2 + (2 x − 1 + 1))2 = 2 2
⇒ x 2 − 2x + 1 + 4x 2 = 4
⇒ 5x 2 − 2 x − 3 = 0
Para resolver esta ecuación de segundo grado, utilizaremos la FX−9860G SD. Selecciona el menú Equa
y pulsa [F2] para seleccionar el tipo Polynomial. Aparece una pantalla en la que pregunta cuál es el
grado de la ecuación. Pulsa [F1] para indicar que es de grado 2.
En la siguiente pantalla introduce los coeficientes y el término independiente de la ecuación y pulsa [F1]
para seleccionar el comando SOLV.
CEFIRE DE GODELLA / CASIO
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Observamos que las soluciones del sistema de ecuaciones son 1 y −
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3
lo que implica que las abcisas
5
3
. Las correspondientes ordenadas de los puntos de corte se
5
pueden obtener sustituyendo estos valores de x en la ecuación de la recta:
de los dos puntos de corte son 1 y −
- Si x=1, entonces y=2(1)-1=1.
3
3
11
.
- Si x= − , entonces y=2( − )-1= −
5
5
5
Por tanto, los puntos de intersección son (-1, 1) y ( −
3
11
,−
).
5
5
c) Vamos a verificar gráficamente estas soluciones. Abrimos el Editor de Gráficos y representamos
gráficamente las tres funciones (la semicircunferencia positiva, la semicircunferencia negativa y la
recta).
d) Pulsa [SHIFT] [F5] (G−Solve) [F5] (ICST) para hallar los puntos de corte. Pulsa [EXE] y las teclas de
cursor y [EXE] y verás en pantalla un punto de intersección. Repite el proceso para obtener el otro punto
de corte.
Observamos que las soluciones gráficas coinciden con las soluciones algebraicas, ya que hemos
obtenido como intersección los puntos (1, −1) y −0.6, −2.2), siendo el último punto equivalente a
3
11
− ,−
).
5
5
e) Para hallar la longitud de la cuerda que determina la recta sobre la circunferencia, calcularemos la
distancia entre los dos puntos de corte. Sabemos que la distancia, d, entre dos puntos de coordenadas
(x1, y1) y (x2, y2) viene dada por la fórmula:
d = ( x1 − x 2 )2 + (y 1 − y 2 )2
⎛
3⎞
5⎠
2
⎛
En nuestro caso hemos de calcular: d = ⎜1 + ⎟ + ⎜ − 1 +
⎝
⎝
2
11 ⎞
⎟ . Con la calculadora gráfica, en el menú
5⎠
RUN, o pantalla principal, obtenemos:
CEFIRE DE GODELLA / CASIO
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Por tanto, la longitud de la cuerda que determina la recta y=2x−1 sobre la circunferencia de radio 2 y
centro (1, −1) es 2.
La recta de ecuación 2y + x = −2 ¿corta a la circunferencia x 2 + (y − 1.5)2 = 2 ? Halla los
puntos de intersección, si es posible.
a) La ecuación de la circunferencia se puede expresar de la siguiente forma:
x 2 + (y − 1.5)2 = 2
(y − 1.5)2 = 2 − x 2
y = 1.5 ± 2 − x 2
b) Usando el Editor de Gráficos, representamos las dos funciones y también la recta de ecuación
1
2y + x = −2 que podemos expresar en la forma explícita y = − (2 + x ) .
2
Observamos que la recta es exterior a la circunferencia. Por tanto, no corta a la circunferencia.
La recta de ecuación y = − x + 2.5 corta a la circunferencia x 2 + y 2 = 8 . Halla la longitud de
la cuerda formada, si es ello posible.
PROBLEMAS SOBRE SECCIONES CÓNICAS
Dibuja una circunferencia de centro (0, 0) y radio 2.
c) Selecciona el menú Conics, pulsando [MENU], las teclas de cursor y [EXE]. Selecciona la opción
Circunferencia y en la siguiente pantalla introduce los valores H=0, K=0 y R=2, para indicar las
coordenadas del centro y el radio.
d) Pulsa [F6] (DRAW) para dibujar la circunferencia.
Observa que como h = 0, k = 0 y r = 2, la fórmula se puede simplificar:
CEFIRE DE GODELLA / CASIO
x2 + y2 = r 2
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Dibuja la circunferencia de centro (−3, 1) y radio 2.
Repite los mismos pasos que en el ejercicio anterior, pero introduciendo los nuevos valores H=−3, K=1 y
R=2. Al pulsar [F6] (DRAW) aparece la gráfica de la circunferencia:
Dibuja una circunferencia de centro (0, 0) y radios 1, 2, 3, 4 y 5. ¿En qué cambia la
circunferencia? ¿Cómo son las circunferencias obtenidas?
Dibuja la circunferencias de radio r=2, pero que sus centros sean los puntos (H, K) siendo a)
H=1, 2, 3, −1, −2, −3 y K=0; b) H=0 y K=1, 2, 3, −1, −2, −3. Comenta los resultados.
Dibuja
una
circunferencia
x 2 + y 2 + 4x − 6y − 12 = 0 . Dibuja también la
(x − [− 2])2 + (y − 3)2 = 52 . ¿Por qué se obtiene la misma
de
circunferencia de ecuación
circunferencia?
ecuación
a) Selecciona el MENÚ Conics y elige la ecuación AX2 + AY 2 + BX + CY + D = 0 .
b) En la siguiente pantalla introduce los valores de los parámetros A=1, B=4, C=−6, D=−12 y pulsa [F6]
(DRAW) para dibujar la circunferencia.
c) Pulsa [SHIFT] [F2] (Zoom) [F4] (OUT) para visualizar completamente la circunferencia.
d) Pulsa [EXIT] varias veces hasta que aparezca la ventana de selección de ecuación. Selecciona el tipo
de ecuación (X − H)2 + (Y − K )2 = R2 y en la siguiente pantalla introduce los valores de los parámetros:
H=−2, K=3, R=5. Pulsa [F6] (DRAW) para que se dibuje la circunferencia.
e) Observa que, en ambos casos, se obtiene el mismo resultado. En efecto, al desarrollar la expresión
(x − [− 2])2 + (y − 3)2 = 52
se obtiene la ecuación
x 2 + y 2 + 4x − 6y − 12 = 0 . Se trata de la misma
circunferencia.
Dibuja la elipse de ecuación
x2 y2
x2 y2
+
= 1 . Dibuja la elipse de ecuación
+
= 1 . ¿En qué se
9
4
4
9
diferencian?
CEFIRE DE GODELLA / CASIO
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a) En el menú Cónicas, selecciona la ecuación
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(X − H)2 (Y − K)2
+
= 1 . En la siguiente pantalla introduce los
A2
B2
valores de los parámetros: A=2, B=3, H=0, K=0. Pulsa [F6] (DRAW) y observa el resultado.
b) Pulsa [EXIT] para volver a la pantalla de selección. Introduce los valores de los parámetros A=3, B=2,
H=0, K=0 para la otra elipse. Pulsa [F6] (DRAW) y observa el resultado.
c) Observa que la segunda elipse es la imagen de la primera por un giro de centro el origen y ángulo de
giro 90º.
Modifica los parámetros A y B solamente, manteniendo H y K en la expresión
(X − H)2 (Y − K)2
+
= 1 . Primero, cambia A = 1, 2, 3 y 4. Tras cada cambio, dibuja el
A2
B2
correspondiente gráfico. ¿Qué diferencias observas?. Después, haz cambios análogos para B.
¿Qué diferencias aparecen? ¿Qué ocurre si A = B?
Cuando A = B, la ecuación se puede simplificar:
( x − h) 2 ( y − k ) 2
+
=1
a2
a2
( x − h) 2 + ( y − k ) 2
=1
a2
( x − h) 2 + ( y − k ) 2 = a 2
La ecuación de la elipse se transforma en la ecuación de una circunferencia.
Modifica los valores de H y K (sin cambiar los valores de A y B). ¿Cómo afecta esto a los
gráficos resultantes?
Dibuja parábolas horizontales, utilizando la ecuación de selección X = A(Y − K)2 + H . Cambia el
parámetro A, asignándole los valores 0’5, 0’7, 1, 1’5, 4, −0’5, −0’7, −1, −1’5, −4. ¿Cómo afecta
a la forma de la curva?
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Dibuja parábolas verticales, utilizando la ecuación de selección Y = A(X − K)2 + H . Cambia el
parámetro A, asignándole los valores 0’1, 0’2, 0’5, 0’7, 1, 1’5, −0’1, −0’2, −0’5, −0’7, −1, −1’5.
¿Cómo afecta a la forma de la curva?
Dibuja la parábola dada por la ecuación y = 0.5(x − 2)2 − 3 . Dibuja la parábola de ecuación
y = 0.5x 2 − 2x − 1 . ¿Por qué se obtiene la misma parábola?
En el menú de Cónicas, selecciona la ecuación
(X − H)2 − (Y − K )2
A2
B2
= 1 (que corresponde a una
hipérbola horizontal) e introduce los valores A=1, H=0, K=0 y modifica los valores del
parámetro B, de forma que tome valores entre 0’2 y 3. ¿Cómo afecta esto a la forma de la
hipérbola? Haz lo mismo para el caso de hipérbolas verticales dadas por la ecuación
(Y − H)2 − (X − K )2
A2
B2
=1
En el menú de Cónicas, selecciona la ecuación
(X − H)2 − (Y − K )2
A2
B2
= 1 (que corresponde a una
hipérbola horizontal) e introduce los valores B=1, H=0, K=0 y modifica los valores del
parámetro A, de forma que tome valores entre 0’2 y 3. ¿Cómo afecta esto a la forma de la
hipérbola? Haz lo mismo para el caso de hipérbolas verticales dadas por la ecuación
(Y − H)2 − (X − K )2
A2
B2
=1
En el menú de Cónicas, selecciona la ecuación
(Y − H)2 − (X − K )2
A2
B2
(X − H)2 − (Y − K )2
A2
B2
=1
o la ecuación
= 1 . Asigna el valor A=1 y B=1 y modifica los valores de H y K. ¿Cómo afecta
esto a la forma de la hipérbola?
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2. Curvas en polares y paramétricas
CURVAS EN COORDENADAS POLARES
Representa gráficamente la función r=3sin2θ.
a) Selecciona el menú del editor de gráficos.
b) Pulsa [F3] (TYPE) [F2] (r =) para seleccionar el comando Tipo coordenadas polares. De esta forma,
todas las líneas que no contienen expresiones se convierten al tipo r: r1, r2, r3, etc. Las líneas ocupadas
por expresiones no cambian.
c) En la línea r2 e introduce la expresión: [3] [sin] [2] [θ] [EXE]. De esta forma se señala el cuadro de
marcación de la línea r2.
d) Pulsa [F6] (DRAW) para que se represente gráficamente la función. Si hay marcas de verificación en
otras funciones, también se representarán gráficamente.
Representa gráficamente la función r=5sin3θ.
a) En la ventana del editor de gráficos selecciona el comando Tipo / Tipo r= para indicar una expresión
en coordenadas polares.
b) En la línea “r3” e introduce la expresión: [5] [sin] [3] [θ].
c) Pulsa [EXE] para guardar la expresión.
d) Selecciona solamente la línea r3.
e) Pulsa [F6] (DRAW) para que se dibuje la gráfica de la función.
GRÁFICAS DE FUNCIONES PARAMÉTRICAS
Representa gráficamente la función cuyas ecuaciones paramétricas son: x=3sin(t), y=3cos(t).
a) En la ventana del editor de gráficos, pulsa [F3] (TYPE) [F3] (PARM) para seleccionar el comando
Tipo / Tipo paramétrico.
b) En la línea “xt4” introduce la expresión de x: [3] [sin] [X,θ,T] [EXE].
c) En la línea “yt4” introduce la expresión de y: [3] [cos] [X,θ,T] [EXE].
d) Pulsa [F6] (DRAW) para dibujar la función.
e) Comprueba que la gráfica corresponde a una circunferencia de centro el origen de coordenadas y
radio 3.
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ECUACIONES PARAMÉTRICAS DE SECCIONES CÓNICAS
Representa gráficamente la elipse de ecuaciones paramétricas x = 5cost , y = 2sint .
Forma cartesiana
Elevando al cuadrado las ecuaciones paramétricas, obtenemos x 2 = 52 cos2t , y 2 = 22 sin2t ⇒
y2
22
= sin2 t . Sumando las dos expresiones:
x2
= cos2t ,
52
x2 y2
x2 y2
+
= cos2t + sin2t , de donde:
+
=1
52 22
52 22
.
e) Abrimos el menú Cónicas y seleccionamos la ecuación
(X − H)2 (Y − K)2
+
= 1 . En la siguiente pantalla
A2
B2
introducimos los valores de los parámetros: A=5, B=2, H=0, K=0 y pulsamos [F6] (DRAW) para dibujar
la elipse.
f)
Alternativamente, podemos dibujar la elipse en la aplicación Gráficos, usando una ecuación cartesiana
y2
y2
y2
x2
x2
x2
diferente. Despejando y de la ecuación 2 + 2 = 1 , obtenemos: 2 + 2 = 1 ⇒ 2 = 1 − 2 ⇒
2
5
5
2
5
2
⎛
x2 ⎞
y = ± 2 2 ⎜1 − 2 ⎟ . Representando gráficamente estas dos funciones en los mismos ejes de
⎜
5 ⎟⎠
⎝
coordenadas, obtendremos la gráfica de la elipse. Abrimos el Editor de Gráficos e introducimos las
fórmulas de dichas funciones en las líneas Y1 e Y2 para obtener la gráfica.
Forma paramétrica
También podemos dibujar la elipse en su forma paramétrica original. En el editor de gráficos introducimos
las ecuaciones paramétricas x = 5 cos t , y = 2 sin t , y desactivamos las funciones cartesianas que
hemos utilizado anteriormente para representar la elipse.
Las ecuaciones paramétricas de una elipse son x = 3 cos t , y = 4 sin t + 0.5 . Halla la
ecuación de la recta tangente a la elipse en el punto t =
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π
.
3
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La resolución tradicional consiste en utilizar el cálculo diferencial para calcular la pendiente de la elipse en
π
t = , y calcular la correspondiente ecuación de la tangente. Con la calculadora gráfica podemos resolver
3
el problema gráficamente y utilizando tablas de valores.
a) Abre el Editor de Gráficos, selecciona el tipo paramétrico e introduce las ecuaciones paramétricas de la
elipse: x = 3 cos t , y = 4 sin t + 0.5 . Utiliza unas dimensiones adecuadas de la ventana gráfica para
visualizar la elipse.
π
π
, siendo
≈ 1.0472 .
3
3
Pulsa [SHIFT] [MENU] (SET UP) y selecciona la opción Derivative: On, para que se muestre en la
ventana gráfica el valor de la derivada en cada punto. Recorre de nuevo el gráfico con la opción
TRACE.
b) Utiliza el comando TRACE para recorrer el gráfico y localizar donde ocurre t =
En esta exploración vemos que el punto en que t =
(dada por
π
está situado en el primer cuadrante y la pendiente
3
dy
) es negativa. Esperamos también que la tangente tenga ordenada en el origen positiva.
dx
c) Mientras está activa la pantalla TRACE, pulsa [SHIFT] [F5] (G−Solve) y selecciona la opción [Y-CAL]
π
π
π
≈ 1.0472 , obtenemos que el punto en que t =
para calcular el punto en el que t = . Tomando
3
3
3
es (1.5000, 3.9641), con cuatro decimales exactos.
π
. Para ello, construiremos
3
una tabla de valores. Selecciona el Editor de Tabla, eligiendo el [MENU] [TABLE]. Pulsa [F5] (SET) para
que aparezca la ventana de configuración de tabla. Introduce como valor inicial de t=0 y como valor final
π ≅ 3,14159265. Introduce como paso Step=π/6 y pulsa [EXE]. Asegúrate que están seleccionadas las
ecuaciones paramétricas de la elipse y pulsa [EXE]
d) Por último, necesitamos determinar la pendiente de la elipse cuando t =
CEFIRE DE GODELLA / CASIO
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MATEMÁTICAS Y TECNOLOGÍA CON CALCULADORA GRÁFICA
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π
.
3
Observa que dicho punto tiene de coordenadas (1.5, 3.9641), con una pendiente de -0.7698, con cuatro
decimales exactos. Usando la forma punto−pendiente, la ecuación de la recta tangente a la elipse
π
x = 3 cos t , y = 4 sin t + 0.5 para t =
es
3
y − 3.9641 = −0.7698(x − 1.5)
⇒ y − 3.9641 = −0.7698 x + 1.1547
Con la tabla hecha, usa las teclas de cursor para explorar la tabla; en particular el punto en el que t =
⇒ y = −0.7698 x + 5.1188
Podemos representar gráficamente esta recta, utilizando el Editor de Gráficos:
La gráfica muestra que la recta y = −0.7698 x + 5.1188 es tangente a la elipse.
Representa
gráficamente
la
curva
4π
5π
y = 1.7 sin t + 0.85 para
.
≤t ≤
5
3
de
ecuaciones
paramétricas
x = 1.7 cos t ,
a) Empezamos explorando el gráfico. Abrimos el Editor de Gráficos y elegimos el tipo paramétrico.
Introducimos las ecuaciones paramétricas de la curva x = 1.7 cos t , y = 1.7 sin t + 0.85 . Usa una
ventana de visualización apropiada para ver el gráfico.
b) Vemos que el gráfico es una circunferencia de centro (0, 0.85) y radio 1.7. Para dibujar el gráfico en el
4π
5π
4π
5π
intervalo
, vemos que
≤t ≤
≈ 2.513 y
≈ 5.236 .
5
3
5
3
c) Pulsa [SHIFT] [F3] (VIEW WINDOW) para modificar las dimensiones de la ventana de visualización.
4π
5π
y como [Tθmax] el valor
. Después dibuja la gráfica de nuevo.
Introduce como [Tθmin] el valor
5
3
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MATEMÁTICAS Y TECNOLOGÍA CON CALCULADORA GRÁFICA
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El segmento de circunferencia dibujado corresponde al gráfico de x = 1.7 cos t , y = 1.7 sin t + 0.85 para
4π
5π
.
≤t ≤
5
3
Las ecuaciones paramétricas de una elipse son x = 3 cos t , y = 4 sin t + 0.5 . Halla la
ecuación de la recta normal a la elipse en el punto t =
π
.
3
Este problema es similar al que hicimos anteriormente. Para t =
π
, obtenemos el punto (1.5, 3.9641), con
3
una pendiente de −0.7698, con cuatro decimales exactos.
Usando la propiedad de que la pendiente de la normal es la recíproca y negativa de la pendiente de la
tangente, y usando la forma punto−pendiente, obtenemos que la ecuación de la normal a la elipse
π
1
x = 3 cos t , y = 4 sin t + 0.5 para t =
es y − 3.9641 =
( x − 1.5) .
3
0.7698
Representa gráficamente la curva cuyas ecuaciones paramétricas son
2π
π
y = 5 sinh t , desde t = −
hasta t =
.
5
4
x = 2 cosh t ,
Abre el Editor de Gráficos y selecciona el tipo paramétrico. Introduce las ecuaciones paramétricas
x = 2 cosh t , y = 5 sinh t (usa el catálogo de funciones, [SHIFT] [4] (CATALOG) para copiar las funciones
hiperbólicas). Pulsa [SHIFT] [F3] (View Window) para accder a la pantalla que permite configurar la ventana
de visualización. Introduce el valor de [Tθmin] como −π y el valor de [Tθmax] como π para explorar el
gráfico.
Aparentemente, el gráfico es una rama de la hipérbola x = 2 cosh t , y = 5 sinh t . Con la hipérbola
π
y el valor de [Tθmax]
4
2π
π
. Dibuja de nuevo la gráfica. Observa que es un segmento de hipérbola desde t = −
hasta
como
5
4
2π
t =
.
5
dibujada, pulsa [SHIFT] [F3] (View Window) e introduce el valor de [Tθmin] como −
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MATEMÁTICAS Y TECNOLOGÍA CON CALCULADORA GRÁFICA
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3. Actividades
1) Dibuja la elipse de ecuación 3x 2 + 4 y 2 = 192 . Halla la ecuación de la recta tangente a dicha elipse en
el punto A(4, 6). Halla las ecuaciones de las rectas tangentes a la elipse trazadas por el punto P(10, 0).
2) Dibuja la cónica de ecuación x 2 + 4 y 2 − x + 2y − 1 = 0 . Determina sus elementos (vértices, focos,
excentricidad, ejes y distancia focal).
3) Dibuja la hipérbola de ecuación
x2
− y 2 = 1 . Determina las ecuaciones de sus asíntotas y las
2
ecuaciones de las tangentes que pasan por el punto P(0, 1).
4) Dibuja las parábolas x = 2y 2 − 5 y + 1 , y = 3x 2 − 4x + 2 . Halla el vértice, el foco y la directriz de cada
una de dichas parábolas.
5) Dibuja la parábola de ecuación 5x = − y 2 + 5 y + 3 . Determina el vértice, el foco y la directriz de dicha
parábola. Halla las ecuaciones de las rectas tangentes desde el punto P(0, 1).
6) Prepara la SLIM para trabajar en coordenadas polares. Representa gráficamente las funciones: r=1,
r=2⋅(1+cos θ) en los mismos ejes de coordenadas. Halla los puntos de corte de dichas curvas.
7) Dibuja la gráfica de las funciones r=a⋅cos(nθ), r=a⋅sin(nθ) para distintos valores de a y n.
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8) Dibuja la gráfica de las funciones:
a)
⎧ x(t ) = 2(t − sin(t ))
(cicloide)para los parámetros de visualización que se indican.
⎨
⎩ y (t ) = 2(1 − cos(t ))
a)
⎧ x(t ) = t ⋅ cos(t )
para t∈[0, 6π] (espiral de Arquímedes)
⎨
⎩ y (t ) = t ⋅ sin(t )
b)
⎧⎪ x(t ) = cos 3 t
para t∈[0, 2π] (astroide).
⎨
⎪⎩ y (t ) = sin 3 t
c)
⎧ x(t ) = cos(t )
(circunferencia).
⎨
⎩ y (t ) = sin(t )
d)
⎧ x(t ) = 3 ⋅ cos(t )
(elipse)
⎨
⎩ y (t ) = 2 ⋅ sin(t )
e)
⎧ x(t ) = 3 ⋅ (2 cos(t ) + cos(2t ))
(tricúspide)
⎨
⎩ y (t ) = 3 ⋅ (2 sin(t ) − sin(2t ))
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2. TRIGONOMETRÍA
Introducción
Con la SLIM podemos también resolver problemas topográficos y resolver triángulos de cualquier tipo.
Además, esta calculadora es una potente herramienta para resolver triángulos, trabajar con expresiones
trigonométricas, representar gráficas de funciones circulares y sus inversas, y resolver ecuaciones
trigonométricas.
En este apartado analizaremos las posibilidades de esta calculadora para resolver problemas relacionados
con la Trigonometría.
1. Resolución de triángulos y Trigonometría
GRÁFICAS DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
Representa gráficamente la función y=sinx en la ventana de visualización trigonométrica.
a) Selecciona el menú GRAPH, pulsando [MENU] y las teclas de cursor. Pulsa [SHIFT] [F3] (V-WINDOW)
para ver el cuadro de diálogo de la ventana de visualización.
b) Pulsa [F2] (TRIG) para seleccionar la pantalla trigonométrica. Se muestran los parámetros de la ventana
trigonométrica, tal como se indica a continuación.
Ángulo en radianes
Ángulo en grados sexagesimales
c) Pulsa [EXE] para aceptar estos parámetros.
d) En el editor de gráficos introduce la fórmula de la función, pulsando [sin] [X,θ,T] [EXE].
e) Pulsa [F6] (DRAW) para dibujar la gráfica.
f)
Con la ventana de gráficos activa, pulsa [SHIFT] [F3] (V-WINDOW) para que aparezca el cuadro de
diálogo de la ventana de visualización.
g) Pulsa [F3] (STD) [EXE] para seleccionar las dimensiones de la pantalla Estándar. Con esto se aplican
los parámetros por defecto.
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h) Pulsa [F6] (DRAW). Observa que la gráfica de la función y=sinx que está en la ventana de gráficos se
vuelve a dibujar según los valores de la nueva ventana de visualización.
i)
También puedes guardar la configuración actual de la ventana de visualización. Para ello, pulsa [SHIFT]
[F3] (V-WINDOW) [F4] (STO). Aparecerá un cuadro de diálogo en el que puedes poner un número del 1
al 6 para la configuración.
j)
Para recuperar una configuración de la ventana de visualización previamente almacenada, pulsa
[SHIFT] [F3] (V-WINDOW) [F5] (RCL). Aparecerá una lista con los nombres de las configuraciones de
ventana almacenadas. Selecciona el nombre deseado y pulsa [EXE]
Dibuja la gráfica de la función y=3cos(2x) y guarda su imagen en un archivo.
a) En el editor de gráficos introduce la fórmula de la función y=3cos(2x).
b) Selecciona la ventana de visualización Trigonométrica y pulsa [F6] (DRAW) para dibujar la gráfica.
c) Con la ventana de gráficos activada, pulsa [SHIFT] [F3] (V-WINDOW) [F4] (STO) [1] para guardar la
imagen en la memoria 1. Pulsa [EXE].
Recupera la imagen coseno de la gráfica anterior.
a) En el editor de gráficos edita la función y=3x+7.
b) Pulsa [F6] (DRAW) para dibujar la gráfica de la función.
c) Con la ventana de gráficos activa, pulsa [SHIFT] [F3] (V-WINDOW) [F5] (RCL) [1] para recuperar la
imagen. Observa el resultado.
Representa gráficamente la función y=tanx en la ventana de visualización trigonométrica.
a) En el editor de gráficos introduce la fórmula de la función, pulsando [tan] [X,θ,T] [EXE].
b) Pulsa [F6] (DRAW) para dibujar la gráfica.
Usa el mismo procedimiento para representar gráficamente las funciones y=tan(2x), y=tan(3x)
en la ventana de visualización trigonométrica. Compara dichas gráficas.
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EXPRESIONES TRIGONOMÉTRICAS
Calcula el siguiente producto: sin(45º+30º)×sin(45º−30º).
a) Pulsa [MENU] y las teclas de cursor para seleccionar la aplicación RUN/MAT.
b) Pulsa [SHIFT] [MENU] (SETUP) para abrir la pantalla de configuración. Con las teclas de cursor, sitúate
en la línea Angle y pulsa [F1] (DEG) [EXE] para expresar los ángulos en grados sexagesimales.
c) Pulsa [sin] [ ( ] [4] [5] [+] [3] [0] [ ) ] [×] [sin] [ ( ] [4] [5] [−] [3] [0] [)] [EXE]. Observa el resultado.
Calcula la siguiente suma: tan(45º)+tan(30º).
a) Pulsa [AC] para borrar la pantalla principal.
b) Comprueba en el menú de configuración ( [SHIFT] [MENU] (SETUP) ) que los ángulos se miden en
grados sexagesimales.
c) Pulsa [tan] [4] [5] [+] [tan] [3] [0] para introducir la expresión: tan(45)+tan(30). Pulsa [EXE] y observa el
resultado.
Calcula la expresión tan(30+45)
a) Pulsa [AC] para borrar la pantalla principal.
b) Comprueba en el menú de configuración ( [SHIFT] [MENU] (SETUP) ) que los ángulos se miden en
grados sexagesimales.
c) Pulsa [tan] [ ( ] [3] [0] [+] [4] [5] [)] para introducir la expresión tan(30+45). Pulsa [EXE] y observa el
resultado.
Efectúa los siguientes cálculos con expresiones trigonométricas:
a) sin(45+30)×cos(45−30)
b) cos(45+30)×cos(45-30)
d) tan (45) − tan (30 )
e) tan(45)+
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1
tan(45)
c) cos(45+30)
f)
sin( 2 × 30)
1 − cos 2 (30 )
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ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS
Resuelve la ecuación sin x = 1 / 2
a) Si es necesario, pulsa [MENU] y las teclas de cursor para iniciar la aplicación principal.
b) Comprueba en el menú de configuración ( [SHIFT] [MENU] (SETUP) ) que los ángulos se miden en
grados sexagesimales.
c) Pulsa [AC] para borrar la pantalla principal.
d) Pulsa [SHIFT] [4] (CATALOG) para abrir el catálogo de funciones. Pulsa [×] (S). Se muestran en
pantalla las funciones cuyo nombre empieza por la letra s. Recorre la lista con las teclas de cursor.
e) Selecciona el comando Solve( y pulsa [EXE]. En la pantalla principal aparece Solve(.
f)
Pulsa [sin] [X,θ,T] [SHIFT] [ ⋅ ] (=) [1] [÷] [2] [ , ] [0] [ , ] [0] [ , ] [360] [ ) ] para introducir la expresión
Solve(sin(x)=1/2, 0, 0, 360).
g) Pulsa [EXE] y observa cómo la SLIM presenta solo la solución entre 0º y 360º.
h) Pulsa [SHIFT] [MENU] (SETUP) para abrir el menú de configuración. En la línea Angle, selecciona
Radian, pulsando [F2] (RAD) y pulsa [EXE] para confirmar.
i)
Pulsa [W] para situar el cursor en la línea donde está situada la expresión Solve(sin(x)=1/2, 0, 0, 360).
Pulsa [W] [DEL] [2] [SHIFT] [EXP] (π) para indicar un ángulo de 2π radianes. Pulsa la tecla [EXE] y
observa cómo representa la SLIM la solución de la ecuación entre 0 y 2 π radianes.
Utilizando el mismo procedimiento, resuelve las siguientes ecuaciones trigonométricas:
a) cos(x)=
2
2
d) sin(2x)=cos 60º
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b) sin(x)=cos(x)
c) tan(x)=2
e) cos(2x)=1+4sin(x)
f) sin 2 ( x ) − cos 2 ( x ) =
1
2
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RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS
Situándose a cierta distancia del pie de una torre, el ángulo bajo el que se la ve, mirando
desde el suelo, es de 50º. ¿Bajo qué ángulo se verá situándose a triple distancia?
En la siguiente figura, h representa la altura de la torre, d es la distancia del primer punto de observación a la
misma. La incógnita del problema es x. Se cumple:
tan 50º =
Por tanto:
tan x =
h
d
tan x =
h
3d
1 h 1
⋅ = ⋅ tan 50 º .
3 d 3
a) Si es necesario, pulsa [MENU] y las teclas de cursor para iniciar la aplicación principal.
b) Comprueba en el menú de configuración ( [SHIFT] [MENU] (SETUP) ) que los ángulos se miden en
grados sexagesimales.
c) Pulsa [AC] para borrar la pantalla principal.
d) Pulsa [SHIFT] [4] (CATALOG) para abrir el catálogo de funciones. Pulsa [×] (S). Se muestran en
pantalla las funciones cuyo nombre empieza por la letra s. Recorre la lista con las teclas de cursor.
e) Selecciona el comando Solve( y pulsa [EXE]. En la pantalla principal aparece Solve(.
f)
Pulsa [tan] [X,θ,T] [SHIFT] [ • ] (=) [ ( ] [tan] [5] [0] [ ) ] [÷] [3] [ , ] [0] [ , ] [0] [ , ] [3] [6] [0] [ ) ] para
introducir la expresión Solve( tan(x)=tan(50º)/3, 0, 0, 360 ).
g) Pulsa [EXE] y observa el resultado.
Por tanto, el ángulo buscado mide 21,66º.
Utiliza un procedimiento similar para resolver los siguientes problemas:
a) Halla a qué altura vuela el avión de la siguiente figura:
b) De un triángulo conocemos un lado y los dos ángulos adyacentes al mismo: a=7 cm, B=
60º y C= 45º. Halla el resto de elementos.
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c) Resuelve el triángulo de la siguiente figura, siendo a=10 cm, b=9 cm, C= 70º.
PROBLEMAS TOPOGRÁFICOS
Con ayuda de un teodolito hemos medido los ángulos a y b de la figura, obteniendo los valores
a=45º y b=35º. Sabiendo que la distancia entre los puntos A y B es de 20 m, calcula la altura
del edificio.
Si h es la altura del edificio y x es la distancia del punto A al pie de la vertical que pasa por el punto de
referencia del teodolito, se cumple:
h
x
⎫
⎪⎪
⎬
h ⎪
tan 35º =
20 + x ⎪⎭
tan 45 º =
De la primera ecuación, deducimos: x =
tan 35º =
h
20 +
h
tan 45º
h
. Sustituyendo en la segunda ecuación, obtenemos:
tan 45º
. Utilizamos la SLIM para resolver esta ecuación
a) Comprueba en el menú de configuración ( [SHIFT] [MENU] (SETUP) ) que los ángulos se miden en
grados sexagesimales. En la línea Input Mode, selecciona el modo Math, pulsando [F1].
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b) Pulsa [SHIFT] [4] (CATALOG) [×] (S) para que aparezca el catálogo de funciones por la letra S. Con
ayuda de las teclas de cursor, selecciona Solve y pulsa [EXE]
c) Con ayuda del teclado de trigonometría, introduce la ecuación en la pantalla y pulsa [EXE]. La
secuencia de teclas a pulsar es la siguiente:
[tan] [3] [5] [SHIFT] [•] (=) [a b ] [X,θ,T] [T] [2] [0] [+][a b ] [X,θ,T] [T] [tan] [4] [5] [X] [X] [ , ]
c
c
[0] [ , ] [0] [ , ] [3] [6] [0] [ ) ]
d) Pulsa [EXE] y observa cómo presenta la solución la SLIM.
Utiliza un procedimiento similar para resolver los siguientes problemas:
a) Halla la distancia que separa los dos barcos B y B’ teniendo en cuenta que la distancia
entre los dos faros F y F’ es de 2500 m y conociendo los ángulos de la siguiente figura:
b) Halla el valor de la resultante de las dos fuerzas de la siguiente figura:
c) Un foco de luz está sujeto al techo de una habitación mediante un hilo, tal como indica la
siguiente figura. Con esos datos, halla razonadamente la longitud total del hilo, y averigua
a qué distancia del techo está el foco de luz.
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2. Actividades
1) Averigua el valor de las letras en las siguientes figuras:
2) En estos momentos la sombra de Mireia es de 0,18 metros y la de una torre es de 12,5 metros. Si
Mireia mide 1,82 metros de alta, ¿cuál es la altura de la torre?
3) Calcula el lado que lleva la interrogación en cada uno de los siguientes triángulo rectángulos,
aproximando hasta las centésimas. ¿Es cierto en cada caso que h 2 = a 2 + b 2 , siendo h=hipotenusa, a
y b catetos?
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4) Dibuja un polígono cualquiera, señala sus ángulos interiores y determina cuánto vale su suma.
5) Comprueba con la SLIM algunas fórmulas trigonométricas:
a) (sin 65º)2 + (cos 65º)2 = 1,
b) 1+(tan 45º)2=
1
(cos 45º ) 2
6) Dibuja las gráficas de las funciones trigonométricas: y=sin (x), y=cos (x), y=tan (x), y =
cos(x)
.
sin(x)
7) Representa gráficamente las funciones Y1 = 8 ⋅ sen x e Y2 = 8 ⋅ cos x , utilizando trazos de distintos
grosor.
8) Representa gráficamente las funciones y = 2 sen x , y = 4 sen x , y = 6 sen x .
9) Representa gráficamente las funciones y = sen x, y = sen 2 x, y = sen 3 x.
10) Representa gráficamente las funciones y = 2sen x, y = 4sen (2x), y = 6sen (3x).
11) La resultante de dos fuerzas de 20 y 35 Nw vale 18 Nw. Halla el ángulo que forman dichas fuerzas.
12) Con los datos de la siguiente figura, calcula la distancia que separa al punto A del punto B.
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13) En la figura anterior considera un nuevo punto D, situado en la misma orilla que B. Suponiendo que
DAC=30º y DCA=100º, calcula la distancia que separa a los puntos B y D.
14) Usando la FX−82 ES, completa la siguiente tabla y comprueba que cos θ = sin ( 90 − θ )
θ
15
75
36
54
18
72
cos θ
sin θ
15) Usando la SLIM, comprueba las siguientes fórmulas trigonométricas:
a) cos(15º ) =
6+ 2
4
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b) cos(36º ) =
3+ 5
8
c) cos(54º ) =
5
5
−
8
8
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