Movimiento

Capítulo
5
CINEMÁTICA
Cinemática es una parte de la mecánica que se encarga de estudiar
única y exclusivamente el movimiento de los cuerpos sin considerar
las causas que lo originan. Cabe mencionar que la palabra “Cinema”
significa movimiento.
CONCEPTOS FUNDAMENT
ALES
FUNDAMENTALES
Móvil.- Es el cuerpo que realiza el movimiento.
Trayectoria.- Línea recta o curva que describe un móvil.
Desplazamiento.- Es aquel
vector que une el punto de
partida con el punto de llegada ( d = ∆r = r 2 − r 1 ) su módulo
toma el nombre de distancia.
Espacio Recorrido.- Longitud
o medida de la trayectoria.
Intervalo de Tiempo.- Tiempo
empleado en realizarse un acontecimiento. (∆t = tf – to)
Instante.- Se define así como un intervalo de tiempo pequeño, tan pequeño que tiende a cero. (∆t) = (tf – to) → 0
Jorge Mendoza Dueñas
98
MOVIMIENTO
IMPORTANTE
− La aceleración aparece cuando varía la velocidad.
− El sentido del vector aceleración no necesariamente coincide con el sentido del movimiento del cuerpo.
Es aquél fenómeno físico que consiste en el cambio de posición que realiza un cuerpo (móvil) en
cada instante con respecto a un sistema de referencia, el cual se considera fijo. Se afirma también
que un cuerpo está en movimiento con respecto a
un sistema de coordenadas rectangulares elegido
como fijo, cuando sus coordenadas varían a medida que transcurre el tiempo.
CLASIFICACIÓN DEL MOVIMIENTO
MEDIDAS DEL MOVIMIENTO
1.-
POR SU TRAYECTORIA
VELOCIDAD ( v )
A)
Rectilíneo.- Cuando la trayectoria es una
línea recta.
B)
Curvilíneo.- Cuando la trayectoria es una línea curva. Entre las más conocidas tenemos:
Magnitud vectorial cuyo módulo indica cual es el
espacio recorrido por un móvil en cada unidad de
tiempo. Físicamente, el módulo o valor de la velocidad indica la rapidez con la cual se mueve un cuerpo. Se representa por “v”.
Circular.- Cuando Parabólico.- Cuando la trala trayectoria es una yectoria es una parábola.
circunferencia.
Elíptico.- Cuando la trayectoria es una elipse.
El sentido del vector velocidad indica siempre el sentido del movimiento.
2.- POR SU RAPIDEZ
Unidad de velocidad en el S.I.
metro
m/ s
segundo
A)
b g
Uniforme.- Cuando el módulo de la velocidad permanece constante.
ACELERACIÓN (a)
Es una magnitud vectorial cuyo módulo mide el
cambio de la velocidad por cada unidad de tiempo.
Físicamente el módulo de la aceleración mide la
rapidez con la cual varía la velocidad. Se representa por “a”.
Unidad de la aceleración en el S.I.
metro
m / s2
segundo2
d
i
B)
Variado.- Cuando el módulo de la velocidad
varía con respecto al tiempo.
Cinemática
99
MOVIMIENTO RECTILINEO UNIFORME (M.R.U.)
Un cuerpo posee movimiento rectilíneo uniforme
cuando cumple las siguientes condiciones:
A)
B)
La trayectoria que recorre es una línea recta.
La velocidad ( v ) es constante.
Ilustración
OBSERVACIÓN
En esta clase de movimiento, el móvil recorre
espacios iguales en tiempos iguales.
FÓRMULA QUE RIGE EL M.R.U.
v=
d
t
EXPERIENCIA: MOVIMIENTO RECTILINEO UNIFORME
OBJETIVO
Demostrar que el valor de la velocidad de una
burbuja es constante, ahora, como quiera que la
trayectoria es una línea recta el movimiento de
dicha burbuja será M.R.U.
2.-
Llenar el tubo con agua coloreada hasta el
borde.
3.-
Tapar el tubo con el corcho o tapón, de manera que dentro del tubo quede atrapado
una burbuja (tratar en lo posible que dicha
burbuja sea lo más pequeña que se pueda).
4.-
Colocar el tubo en la posición mostrada, con
la burbuja abajo.
5.-
Al subir la burbuja, tomar el tiempo que demora ésta en recorrer:
MATERIAL A EMPLEARSE
− Un tubo transparente de 1,50 m de longitud,
aproximadamente.
− Un corcho o tapón que permita tapar el extremo libre del tubo.
− 4 cronómetros.
− Una cinta métrica.
NÚMERO DE ALUMNOS: Cuatro
0 – 30 cm : 1er alumno
PROCEDIMIENTO:
0 – 60 cm : 2do alumno
1.-
0 – 120 cm : 4to alumno
Graduar el tubo de 30 en 30 cm como muestra la figura.
0 – 90 cm : 3er alumno
Jorge Mendoza Dueñas
100
6.-
Repetir los pasos 4 y 5 (tres veces más) y anotarlas en la tabla.
PROCESO ADICIONAL
En un papel milimetrado hacer el gráfico d vs t
Tiempo (s)
d (m)
1era vez
2da vez
3era vez
0 - 0,30
0 - 0,60
0 - 0,90
0 - 1,20
PREGUNTAS
1.-
¿Es constante la velocidad de la burbuja?
2.-
¿Cuánto vale su velocidad?
3.-
¿Qué figura se origina en el gráfico d vs t?
4.-
¿Cuánto vale la pendiente de la recta (en el
gráfico)?
5.-
¿El movimiento de la burbuja es M.R.U.?
4ta vez
Tiempo
Promedio
v=
d
(m / s)
t
Cinemática
Ciencia
y Tecnología
101
Gol de tir
o libre
tiro
¿Podría un jugador hacer un gol de de tiro libre?
Para que un jugador realice esta jugada espectacular, tendría que practicar muchas veces; y
tener en cuenta la distancia pelota-arco, la fuerza y dirección del viento, la presión atmosférica,
entre otros parámetros.
Si el jugador fuese un robot que pudiese medir y calcular todos los parámetros antes mencionados,
es seguro que su procesador interno, calcularía la fuerza, velocidad y ángulo de inclinación que
debería darle al balón para que éste ingrese al arco contrario por muy eficiente que sea su arquero.
En realidad el jugador es una persona y lo más que puede hacer es practicar constantemente
en su campo de fútbol (local).
Sin embargo ayudaría bastante en nuestro medio crear dicho “Robot” que pueda cuantificar
todos los parámetros y calcular la fuerza, velocidad y ángulo de inclinación desde un punto
preferido para diferentes horas y días para que así el jugador con dichos datos y su inteligencia
pueda tener mayores herramientas para lograr su objetivo: el gol.
Reloj de arena
En realidad, existen muchos instrumentos que sirven para medir
el tiempo; antiguamente uno de los aparatos usados para dicho
efecto era el “reloj de arena”.
Para iniciar el conteo del tiempo, se voltea el aparato del tal modo
que la arena quede depositado en la zona superior, de este modo
los granos caerán lentamente hacia la base hasta que al final todo
el material queda depositado en la zona inferior.
El tiempo que demora la arena en caer totalmente siempre será
el mismo.
102
Jorge
Ciencia
Mendoza
y Tecnología
Dueñas
Móvil, tra
yectoria y desplazamiento
tray
Se muestran dos móviles: el
muchacho y el automóvil, los
cuales parten del mismo punto (A) con la intención de llegar al punto (B).
Ambos eligen trayectorias diferentes, el muchacho elige
el camino peatonal y el automóvil el de la pista; no obstante, el desplazamiento será
el mismo para ambos.
Velocidad constante
Conseguir que un móvil tenga velocidad constante en
las pistas de una ciudad es
casi imposible, debido al uso
contínuo del acelerador y el
freno.
Sin embargo no es difícil obtener una velocidad constante, ello se puede conseguir
en una autopista de tráfico
rápido y mejor aún si el tramo es una línea recta.
Transmisión del mo
vimiento cir
cular
movimiento
circular
Las fajas y engranajes se
utilizan en los árboles ó
equipos para transmitir el
movimiento circular, con los
engranajes se evitan que
una pieza resbale respecto
a la otra.
Cinemática
103
TEST
1.-
Un móvil que va con M.R.U. inicia su movimiento
en x = 12 m y luego de 8 s está en x = 28 m. Hallar su
velocidad.
a)
b)
c)
2 m/s
8 m/s
4 m/s
d)
e)
a)
b)
c)
d)
6 m/s
7 m/s
e)
6.-
2.-
Señalar verdadero o falso respecto al M.R.U.
I.- La velocidad es tangente y contraria al movimiento.
II.- La aceleración es igual a cero.
III.- El radio de curvatura de la recta de movimiento
es considerado infinitamente grande.
a)
b)
c)
3.-
VVV
FVV
FVF
FFF
VVF
Se muestran la velocidad de
dos móviles en M.R.U., al cabo
de 5 s estarán separados:
a)
b)
c)
7.-
a)
b)
c)
∆x
∆t
4
m/ s
5
8
− m/ s
5
d)
e)
25 m
30 m
Señalamos las velocidades de 4 móviles en M.R.U., al
cabo de 10 s, que alternativa se cumple si salen del
mismo punto.
a)
b)
c)
d)
−4 m/s
e)
4 m/s
8.-
12
m/ s
5
∆x
∆t
9.-
b)
a)
–5 m/s
d)
b)
+5 m/s
e)
N.A.
c)
20
m/ s
6
Los móviles“A”y“B”
parten de las posiciones mostradas
simultáneamente
con vA = 4 m/s y
vB = 3 m/s. ¿Qué
podemos opinar?
c)
d)
e)
10.-
d)
e)
C dista de D 40 m
A dista de B 25 m
78 m
48 m
30 m
d)
e)
18 m
N.A.
Marque la proposición correcta.
a)
10
−
m/ s
6
A dista de B 40 m
C dista de D 55 m
A dista de B 30 m
La figura muestra dos móviles
en M.R.U. que parten del mismo punto. Al cabo de 6 s ¿qué
distancia los separa?
a)
b)
c)
Para el movimiento de la partícula en M.R.U. en la figura, podemos decir que su velocidad media es:
Vm =
5.-
10 m
15 m
20 m
Para el movimiento de la partícula en M.R.U. en la figura podemos decir que su velocidad media es:
Vm =
4.-
d)
e)
“A” llega primero a “P”.
“B” llega primero a “P”.
Ambos llegan simultáneamente a “P”.
Falta precisar información para decidir que responder.
Ninguno llega.
En el M.R.U. el vector velocidad cambia
contínuamente.
En el M.R.U. la trayectoria no siempre es una línea recta.
En el M.R.U. la aceleración siempre es cero.
El espacio es una magnitud vectorial.
Todas las anteriores son falsas.
Marque la proposición correcta según el siguiente esquema.
a)
b)
c)
d)
e)
El móvil tiene velocidad
constante.
La velocidad del móvil aumenta.
El cuerpo se detendrá en el plano inclinado.
La velocidad del móvil disminuye.
Todas son falsas.
Jorge Mendoza Dueñas
104
PROBLEMAS RESUEL
TOS
RESUELTOS
A
1.-
problemas de aplicación
Cuantas horas dura un viaje hasta una ciudad sureña
ubicado a 540 km, si el bus marcha a razón de 45 km/h?
e A = v At = 40t
eB = v Bt = 60t
Solución:
OBSERVACIÓN
Tiempo de Encuentro:
tE =
e
v A + vB
e : espacio de separación
inicial
d = vt ⇒ 540 = 45t
o De la figura:
t = 12 horas
2 000 = e A + eB
NOTA
2000 = 40t + 60t ⇒ 2000 = 100t
Antes de realizar cualquier operación es necesario
homogenizar el sistema de unidades, si fuese necesario.
2.-
Un cazador se encuentra a 170 m de un “Blanco” y
efectúa un disparo saliendo la bala con 85 m/s (velocidad constante), ¿después de que tiempo hará impacto la bala?
t = 20 s
4.-
Dos autos se mueven en el mismo sentido con velocidades constantes de 40 m/s y 60 m/s. ¿Después de que
tiempo uno de ellos alcanza al otro? ver figura.
Solución:
Solución:
e A = v At = 60t
d = vt ⇒ 170 = 85t
eB = vBt = 40t
t = 2s
3.-
Dos autos se mueven en sentidos contrarios con velocidades constantes. ¿Después de que tiempo se encuentran si inicialmente estaban separados 2 000 m?
(velocídad de los autos 40 m/s y 60 m/s).
Solución:
o De la figura:
e A = eB + 200
60t = 40t + 200
t = 10 s
⇒
20t = 200
Cinemática
105
2.-
OBSERVACIÓN
Tiempo de Alcance:
t AL =
e
v A − vB
e : espacio de separación inicial
v A > vB
Tres móviles pasan simultáneamente por los puntos A,
B, C con velocidades de 10, 15 y 13 m/s. Si la distancia
entre A y B es 8 m, y entre B y C es de 32 m. Luego de
qué tiempo la distancia entre los móviles serán iguales,
si en ese instante guardan el mismo ordenamiento.
Solución:
5.-
Un móvil “A” que se desplaza con una velocidad de
30 m/s, se encuentra detrás de un móvil “B” a una distancia de 50 m, sabiendo que los móviles se mueven
en la misma dirección y sentido, y que la velocidad
de “B” es de 20 m/s. ¿Calcular después de qué tiempo, “A” estará 50 m delante de “B”?
Solución:
o De la figura:
8 + 32 + e 3 = e1 + 2x
40 + v 3t = v1t + 2x
40 + 13t = 10t + 2x
40 + 3t = 2x
o También:
e A = v At = 30t
e 2 = e1 + x − 8
eB = v Bt = 20t
v 2t = v1t + x − 8
o De la figura:
15t = 10t + x − 8
eA = 50 + eB + 50
30t = 50 + 20t + 50
5t = x − 8
⇒ 10t = 100
t=
1.-
............ (2)
o De (1) y (2):
t = 10 s
B
............ (1)
problemas complementarios
3.-
Un barco navega rumbo al Norte recorriendo 540 m.
Luego va hacia el Este recorriendo 720 m. Determinar
el espacio y distancia que recorrió el barco (en m).
24
s
7
Un muchacho para bajar por una escalera empleó 30 s.
¿Cuánto demoraría en subir la misma escalera si lo hace
con el triple de velocidad?
Solución:
o Cuando el
muchacho baja
Solución:
b g
L = v 30 ..... (1)
o Cuando el
muchacho sube
Cuando el muchacho baja
bg
L = 3v t ..... (2)
o Espacio = ?
o Distancia = ?
e = OA + AB
d = OB
e = 540 + 720
d=
e = 1 260 m
d = 900 m
o De (1) y (2):
2
2
b540g + b720g
t = 10 s
Cuando el muchacho sube
Jorge Mendoza Dueñas
106
4.-
Una persona sale todos los días de su casa a la misma
hora y llega a su trabajo a las 9:00 a.m. Un día se traslada al doble de la velocidad acostumbrada y llega a su
trabajo a las 8:00 a.m. ¿A que hora sale siempre de su
casa?
6.-
Un tren de pasajeros viaja a razón de 36 km/h, al ingresar a un túnel de 200 m de longitud demora 50 s
en salir de él ¿Cuál es la longitud del tren?
Solución:
Solución:
o De la fig (1):
fig (1)
d = vt ..... (α)
o De la fig (2):
La distancia que recorre el tren es el mismo que recorre el punto A.
b g
d = 2v t − 1 .... (β)
o De (α) y (β):
d = vt
fig (2)
b g
vt = 2v t − 1
200 + L = 10 50
t = 2h
L = 300 m
b g
7.-
Rpta: Sale de su casa a las 7:00 a.m.
5.-
Dos móviles A y B situados en un mismo punto a
200 m de un árbol, parten simultáneamente en la
misma dirección. ¿Después de que tiempo ambos
móviles equidistan del árbol? (vA = 4 m/s y vB = 6 m/s).
De Lima a Huacho hay aproximadamente 160 km; de
Lima a Barranca hay 200 km, un auto va de Lima con
velocidad constante saliendo a las 8 a.m. y llega a Barranca al medio día. ¿A qué hora habrá pasado por
Huacho?
Solución:
Solución:
o Lima a Barranca:
d = vt
bg
200 = v 4
De la figura:
o
dB = dA + 2x
o Lima a Huacho:
v B t = v A t + 2x
Dato: velocidad constante = 50 km/h
6t = 4 t + 2x ⇒ 2t = 2x
d = vT
t = x ............ (1)
o
160 = 50 T ⇒ T = 3, 2 h
dA + x = 200
Rpta: Pasó por Huacho a las 11.2 a.m. ó 11h 12m a.m.
4 t + x = 200 ............ (2)
o
(1) en (2):
4 t + t = 200
t = 40 s
⇒ v = 50 km / h
8.-
Un auto debe llegar a su destino a las 7:00 p.m., si
viaja a 60 km/h llegará una hora antes, pero si viaja a
40 km/h llegará una hora después. Si en ambos casos la hora de partida es la misma, encontrar dicha
hora de partida.
Cinemática
107
o Sabemos que el tren (1) se mueve con velocidad
de 15 m/s y el tren (2) con velocidad de 20 m/s,
pero en sentido contrario.
Respecto al pasajero. ¿Qué velocidad creerá él,
que tiene el tren (2)?. La respuesta es (15 + 20) es
decir 35 m/s, y esto es lógico pues el pasajero verá
moverse al tren (2) con mayor rapidez.
Visto esto, podemos suponer al tren (1) en reposo,
pero el tren (2) tendrá una velocidad de 35 m/s.
Solución:
fig. (1)
fig. (2)
fig. (3)
o Tren (2) a punto de pasar por el pasajero,
o De la figura (1):
d = vt ........................ (a)
o De la figura (2):
d = 60 t − 1 ............ (b)
o De la figura (3):
d = 40 t + 1 ............ (c)
b g
b g
o De (b) y (c):
b g b g
60 t − 1 = 40 t + 1 ⇒ t = 5 h
o Tren (2) ya pasó por completo al pasajero.
Rpta: La hora de partida será las 2:00 p.m.
9.-
Dos trenes corren en sentido contrario con velocidades de v1 = 15 m/s y v2 = 20 m/s. Un pasajero del primer tren (el de v1) nota que el tren 2 demora en pasar
por su costado 6 s. ¿Cuál es la longitud del segundo
tren? (Se supone que el pasajero está inmóvil mirando a través de la ventana).
Solución:
o Supongamos que el pasajero se encuentra en la
parte delantera del tren (1)
o Para el pasajero:
bg
e = vt ⇒ L = 35 6
L = 210 m
10.-
Dos móviles se mueven con M.R.U. en dos carreteras
que se cruzan en 90° simultáneamente del punto de cruce con velocidades v1 = 4 m/s y v2 = 2 m/s. Si las carreteras están desniveladas 10 m. ¿Qué tiempo después, la
distancia de separación entre móviles es de 90 m?
Jorge Mendoza Dueñas
108
o Al formar el triángulo DFE, se tiene:
Solución:
L=
o Por motivos didácticos tomaremos parte de las
carreteras los lados AB y CD de un paralelepípedo.
2
b2tg + b4tg
2
L = 2 5t
o Ahora, en el triángulo DEB:
902 = L2 + 102
2
902 = 2 5t + 102
d
i
8100 = 20t2 + 100
8 000 = 20t 2
t2 = 400
t = 20 s
PROBLEMAS PROPUESTOS
A
1.-
problemas de aplicación
Dos móviles parten de un punto A en direcciones perpendiculares con velocidades constantes de 6 m/s y
8 m/s respectivamente. ¿Determinar al cabo de que
tiempo se encontrarán separados 100 m?
Rpta.
6.-
Una moto y un auto se encuentran a una distancia
de 1 000 m. Si parten simultáneamente en la misma
dirección y con velocidades de 25 m/s y 15 m/s respectivamente. ¿En que tiempo se produce el encuentro?
10 s
Rpta.
2.-
Un móvil que va con M.R.U. inicia su movimiento
en: x = −12 m y luego de 8 s está en x = +28 m, hallar
su velocidad.
Rpta.
3.-
5 m/s
Javier un joven estudiante, desea saber a qué distancia se encuentra el cerro más próximo, para lo cual
emite un grito y cronómetro en mano, comprueba que
el eco lo escucha luego de 3 s. ¿Cuál es esa distancia
en metros? (vsonido = 340 m/s).
Rpta.
7.-
Dos móviles con velocidades constantes de 40 y
25 m/s parten de un mismo punto, y se mueven en
la misma recta alejándose el uno del otro. ¿Después de cuanto tiempo estarán separados 13 km?
Rpta.
8.-
510 m
Dos atletas parten juntos en la misma dirección y sentido con velocidades de 4 m/s y 6 m/s, después de
1 minuto. ¿Qué distancia los separa?
Rpta.
5.-
9.-
120 m
10.200 m
100 km/h
Dos móviles se mueven en línea recta con velocidades
constantes de 10 m/s y 20 m/s, inicialmente separados
por 15 m. ¿Qué tiempo transcurre para que el segundo
después de alcanzar al primero se aleje 15 m?
Rpta.
Hallar el espacio que recorre una liebre en 10 s. Si en
un quinto de minuto recorre 40 m más.
Rpta.
200 s
Un móvil debe recorrer 300 km en 5 h, pero a la mitad
del camino sufre una avería que lo detiene 1 h, ¿con
que velocidad debe continuar su viaje para llegar a
tiempo a su destino?
Rpta.
4.-
25 s
3s
Dos móviles con velocidades constantes parten simultánea y paralelamente de un mismo punto. Si la dife-
Cinemática
109
rencia de sus velocidades de 108 km/h. Hallar la distancia que los separa después de 30 s.
Rpta.
B
1.-
Un auto vá de una ciudad a otra en línea recta con
velocidad constante a razón de 30 km/h, pensando
cubrir la travesía en 8 h. Pero luego de 3 h, el auto se
malogra; la reparación dura 1 h, ¿con qué velocidad
debe proseguir para que llegue a su destino con 1 h
de adelanto?
Rpta.
4.-
5.-
15 s
Dos móviles están en “A” y “B” en la misma recta. El
primero parte de “A” hacia “B” a las 7 a.m. a razón de
90 km/h, el segundo parte de “B” hacia “A” a las 12 m.
Si se encuentran a las 3 p.m. Hallar AB, sabiendo además que el espacio del primero es al del segundo
como 2 es a 1.
Rpta.
8.-
1 080 km
1 190 m
Un avión desciende con velocidad constante de
100 km/h bajo un ángulo de 16° con el horizonte. ¿Qué
tiempo tardará su sombra en llegar a tocar un objeto
que se encuentra a 4 km? (cos 16° = 24/25).
Rpta.
10.-
120 m
Un alpinista se encuentra entre dos montañas y emite un grito. Si registra los ecos después de 3 s y 4 s de
haber emitido el grito. ¿Cuál será la distancia que separa las montañas? velocidad del sonido en el aire,
considerar 340 m/s.
Rpta.
9.-
v2
=2
v1
Dos autos separados a una distancia, parten simultáneamente con velocidades constantes de 30 m/s y
20 m/s en el mismo sentido para luego encontrarse
en un punto “P”. Si el segundo auto partiese 2 s después, el encuentro de los autos sería “x” m antes de
“P”, calcular “x”.
Rpta.
600 m
Dos móviles se desplazan en la misma pista con velocidades constantes. Luego de 10 s el móvil “A” gira
180° y mantiene su rapidez constante. ¿Qué tiempo
emplean hasta encontrarse desde las posiciones indicadas?
Rpta.
7.-
15 s
“A” y “B” realizan una carrera de 300 m, con velocidades constantes en módulo de 5 m/s y 10 m/s. Al llegar
“B” a la meta regresa donde “A” y luego así sucesivamente hasta que “A” llega a la meta. ¿Qué espacio total recorrió “B”?
Un alumno sale de su casa todos los días a las 7:00 y se
dirige al colegio a velocidad constante v1 llegando
siempre a las 8:00. Si el alumno un día sale de su casa a
las 7:15 y a medio camino observa que no llegará a
tiempo por lo que aumenta su velocidad a v2 (cte), llegando finalmente a tiempo. Determinar v2/v1.
Rpta.
50 km/h
Un tren de pasajeros viaja a razón de 72 km/h y tiene
una longitud de 100 m. ¿Qué tiempo demorará el tren
en cruzar un túnel de 200 m?
Rpta.
3.-
900 m
problemas complementarios
Rpta.
2.-
6.-
150 s
Dos trenes de longitudes diferentes van al encuentro por vías paralelas con velocidades v 1 y v2 demorando en cruzarse 20 s. Si van al encuentro con velocidades v1 y (8/5)v2 respectivamente demoran en cruzarse 15 s. ¿Cuánto tiempo tardarán en cruzarse si
viajan en la misma dirección con velocidades v 1 y v2
respectivamente.
Rpta.
180 s
Jorge Mendoza Dueñas
110
MOVIMIENTO RECTILINEO UNIFORME
MENTE V
ARIADO (M.R.U.V
.)
UNIFORMEMENTE
VARIADO
(M.R.U.V.)
Un cuerpo posee movimiento rectilíneo uniformemente variado cuando cumple las siguientes condiciones:
A)
B)
FORMULAS DEL M.R.U.V
M.R.U.V..
La trayectoria que recorre es una línea recta.
La velocidad cambia, permaneciendo constante el valor de la aceleración.
vF = v o ± at
En esta clase de movimiento, el móvil efectúa variaciones de velocidad iguales en tiempos iguales.
OBSERVACIONES
1.-
Si la velocidad del móvil aumenta:
(movimiento acelerado)
−
La velocidad y la aceleración tienen el mismo sentido.
El signo de la aceleración es positivo.
−
a=
vF − v o
t
1
e = v ot ± at2
2
vF2 = v o2 ± 2ae
2.-
Si la velocidad del móvil disminuye:
(movimiento retardado)
−
La velocidad y la aceleración tienen
sentidos contrarios.
El signo de la aceleración es negativo.
−
e=
FG v + v IJ t
H 2 K
F
o
Usar : (+); si el movimiento es acelerado.
Usar : (−); si el movimiento es retardado.
Donde:
vF = velocidad final
vo = velocidad inicial
a = aceleración
t = tiempo
e = espacio
Cinemática
111
TEST
1.-
−
−
−
−
a)
b)
c)
2.-
b)
c)
d)
e)
FFVV
N.A
c)
d)
e)
7.-
El movimiento es desacelerado cuando la aceleración y la velocidad tienen sentidos contrarios.
El movimiento es acelerado cuando la aceleración
y velocidad tiene el mismo sentido.
Siempre que la aceleración es cero el móvil está
detenido.
Cuando la velocidad es cero no necesariamente
la aceleración es cero.
N.A.
a)
b)
c)
d)
e)
8.-
Está siempre acelerado.
Está siempre frenando.
Tienen el mismo sentido.
Son de igual valor numérico.
Se mantienen constantes.
−
a)
−
Respecto al M.R.U.V. de una partícula como se muestra no se
puede afirmar.
a)
b)
c)
d)
e)
Lleva movimiento desacelerado y luego será acelerado.
La velocidad en un instante será cero.
Se mueve hacia la derecha.
Se mueve hacia la izquierda.
Cuando la velocidad se hace cero la aceleración
se mantiene.
a)
b)
c)
10.-
Velocidad – constante
Aceleración – constante
Velocidad – en dirección
Aceleración – la velocidad
Aceleración – variando
Durante el desaceleramiento en el M.R.U.V. señalar
verdadero o falso.
−
Tendrá 9 m/s de velocidad a
los 8 s.
Tendrá 9 m/s a los 2 s.
Habrá recorrido 20 m en 2 s.
Tarda 8 s en recorrer 20 m.
El movimiento es desacelerado.
Es proporcional al cuadrado del tiempo.
Es proporcional al tiempo y depende de la velocidad inicial.
No depende de la velocidad inicial y si de la aceleración.
Es función del cuadrado del espacio recorrido.
No depende del espacio recorrido.
En el M.R.U.V. la.................. se mantiene ........... y es acelerado cuando tiene el mismo sentido que la velocidad.
a)
b)
c)
d)
e)
9.-
Es proporcional al tiempo.
Es inversamente proporcional al cuadrado del
tiempo.
Es proporcional al cuadrado del tiempo.
Es independiente de la velocidad inicial.
Es independiente de la aceleración.
Respecto a la velocidad en el M.R.U.V. podemos afirmar:
Respecto al M.R.U.V. para una partícula como mostramos en la figura y que tiene la velocidad inicial señalada, que podemos afirmar:
b)
c)
d)
d)
5.-
d)
e)
Respecto al espacio recorrido en el M.R.U.V. podemos
afirmar:
a)
b)
Respecto a la velocidad y aceleración de un móvil
en M.R.U.V. como se muestra podemos decir que es
correcto:
a)
b)
c)
d)
e)
4.-
VFVF
VVVV
VFFV
6.-
En el M.R.U.V. no se cumple que:
a)
3.-
Siempre que la aceleración tiene el mismo sentido de la velocidad el movimiento es acelerado.
Desplazamiento o trayectoria es lo mismo.
Siempre que el desplazamiento y la aceleración tienen la misma dirección, el movimiento es acelerado.
Cuando el móvil tiene velocidad inicial y final
igual a cero, se puede asegurar que tuvo primero
M.R.U.V. acelerado y después M.R.U.V. retardado.
La velocidad y aceleración tienen sentidos contrarios.
El espacio en el tiempo “t” viene dado por:
1
e = at 2
2
Cuando se detiene, la aceleración siempre desaparece.
VFF
VVV
VVF
d)
e)
VFV
FFF
Si una partícula es acelerada desde el reposo con una
aceleración “a”, el espacio recorrido en el 4to segundo
viene dada por:
a)
b)
c)
3
a
2
5
a
2
7
a
2
d)
9
a
2
e)
1
a
2
Jorge Mendoza Dueñas
112
PROBLEMAS RESUEL
TOS
RESUELTOS
A
1.-
problemas de aplicación
Un móvil aumenta su velocidad de 10 m/s a 20 m/s
acelerando uniformemente a razón de 5 m/s2. ¿Qué
distancia logró aumentar en dicha operación?
Solución:
4.-
vF2 = v 2o ± 2ad
Un avión parte de reposo con M.R.U.V. y cambia su
velocidad a razón de 8 m/s2, logrando despegar luego de recorrer 1 600 m. ¿Con qué velocidad en m/s
despega?
Solución:
Notamos que el movimiento es acelerado.
v F2 = v 2o + 2ad
2
2
b20g = b10g + 2b5gd
d = 30 m
2.-
Un automóvil corre a razón de 108 km/h y luego frena, de tal modo que se logra detener por completo en
6 s. ¿Cuál es su aceleración?
vF2 = v 2o ± 2ae
Notamos que el movimiento es acelerado.
Solución:
v F2 = v 2o + 2ad
b gb
vF2 = 0 + 2 8 1 600
g
v F = 160 m / s
5.-
v o = 108 km / h = 60 m / s
Un móvil posee una velocidad de 20 m/s y acelera
uniformemente a razón de 2 m/s2 durante 5 segundos. ¿Qué distancia recorrió en el 5to segundo de su
movimiento?
Solución:
v −v
0 − 60
a= F o ⇒ a=
t
6
a = − 10 m / s2 Movimiento retardado
3.-
Una partícula recorre 30 m en 5 s con un M.R.U.V. si al
partir tenía una velocidad de 4 m/s. ¿Que velocidad
tuvo al término del recorrido?
Distancia recorrida hasta los 5 segundos
Solución:
d=
FG v
H
o
IJ
K
FG
H
IJ
K
+ vF
4 + vF
5
t ⇒ 30 =
2
2
vF = 8 m / s
Distancia recorrida hasta los 4 segundos
Cinemática
113
La distancia recorrida en el 5to segundo será: x = d5 − d4
1
d = v ot + at 2
2
d= 0 +
1
4 8
2
b gb g
2
d =128 m
LM b g b g OP − LMv b4g + 1 ab4g OP
2
N
Q N
Q
1
1
L
O L
O
x = M20b5g + × 2 × b25gP − M20b 4 g + × 2 × b16gP
2
2
N
Q N
Q
1
x = vo 5 + a 5
2
2
2
2.-
o
Solución:
x = 29 m
B
1.-
Un tren que lleva una velocidad de 216 km/h, aplica los
frenos y produce un retardamiento de 4 m/s en cada
segundo, hasta detenerse. Determinar el espacio que
recorrió en el último segundo de su movimiento.
216 km / h = 60 m / s
problemas complementarios
Un móvil que parte del reposo, recorre en el décimo
segundo de su movimiento 20 metros más que lo recorrido en el quinto segundo; determinar el espacio
recorrido desde que inicio el movimiento hasta el final del octavo segundo de su movimiento.
o Calculando el tiempo que demora en detenerse .
Solución:
v F = v o ± at
o Espacio recorrido en el quinto segundo.
x = d5 − d4
0 = 60 − 4 t
⇒
t = 15 s
8
0
Reposo:
1
d = v ot + at 2
2
1
d = at 2
2
1
2 1
x= a 5 − a 4
2
2
bg
x=
bg
2
25
a − 8a ..................... (1)
2
o El espacio que recorrió en el último segundo.
o Espacio recorrido en el décimo segundo.
x = d15 − d14
x + 20 = d10 − d9
1
2 1
x + 20 = a 10 − a 9
2
2
b g
x + 20 = 50a −
LM b g b g OP − LMv b14g − 1 ab14g OP
2
N
Q N
Q
1
1
L
O L
O
x = M60b15g − × 4 × b15g P − M60b14 g − × 4 × b14 g P
2
2
N
Q N
Q
1
x = v o 15 − a 15
2
2
bg
81
a ............ (2)
2
2
2
o
2
2
o De (1) y (2): a = 4 m / s2
x=2m
o Nos piden el espacio recorrido desde el inicio del
movimiento hasta el final del octavo segundo.
3.-
Dos móviles que parten del reposo se dirigen al encuentro con movimiento uniformemente acelerado
desde dos puntos distantes entre si 180 m y tardan
10 s en cruzarse. Los espacios recorridos por estos móviles están en la relación de 4 a 5. Calcular las aceleraciones de dichos móviles.
Jorge Mendoza Dueñas
114
5.-
Solución:
Un automóvil está esperando en reposo que la luz del
semáforo cambie. En el instante que la luz cambia a
verde, el automóvil aumenta su velocidad uniformemente con una aceleración de 2 m/s2 durante 6 segundos, después de los cuales se mueve con velocidad uniforme. En el instante que el automóvil empezó a moverse después del cambio de luz, un camión
lo sobrepasa en la misma dirección, con el movimiento uniforme a razón de 10 m/s. ¿Cuánto tiempo y cuán
lejos del semáforo el automóvil y el camión volverán
a estar juntos?
o Distancia total:
Solución:
180 = 5x + 4 x
x = 20
o Con el móvil (1):
1
d = v o 10 + a1 10
2
2
b g b g
b5gb20g = 0 + 21 a b100g
1
⇒
a1 = 2 m / s2
⇒
a2 = 1, 6 m / s2
o Con el móvil (2):
1
d = v o 10 + a2 10
2
b g
b g
2
b4gb20g = 0 + 21 a b100g
2
4.-
Un automóvil que parte del reposo a razón de 2 m/s2
se encuentra a 20 m detrás de un ómnibus que marcha
con velocidad constante de 8 m/s. ¿Después de cuanto
tiempo el auto sacará al ómnibus una ventaja de 64 m?
Solución:
o Con el camión:
e = x + y = 10 T .......................... (1)
o Con el automóvil:
Entre A y B : vF = v o + at
bg
vB = 0 + 2 6
v B = 12 m / s
Entre A y C :
y
67
4 x4
8 6
47
4
8
1
2
x + y = 2 6 + vB T − 6
2
b gb g
o Con el auto (vo = 0)
b g
b g
x + y = 36 + 12 T − 6 .............. (2)
1
d = v ot + a t 2
2
20 + x + 64 = 0 +
1
2 t2
2
bg
84 + x = t ...... (1)
2
o Con el camión (v = 8 m/s = cte)
o (1) = (2)
b g
10 T = 36 + 12 T − 6
10 T = 36 + 12T − 72
T = 18 s
x = vt
Finalmente:
x = 8t .............. (2)
e = x + y = 10 T = 10 18
o De (1) y (2):
t = 14 s
b g
e = 180 m
Cinemática
6.-
115
o Entre B y C :
Dos trenes de 200 m y 400 m de longitud avanzan en
vías paralelas en sentidos opuestos y cuando se encuentran, sus velocidades son 12 y 18 m/s y sus aceleraciones constantes son iguales a 3 m/s2. Hallar el tiempo
que demoran los trenes en cruzarse completamente.
v F2 = v 2o − 2aeBC (mov. retardado)
b g
2
b g
0 = 20 − 2a 44
88a = 400
Solución:
o Cuando los trenes están a punto de cruzarse
8.-
⇒
a = 4 , 55 m / s2
Dos moviles A y B se encuentran inicialmente separados una distancia “d” (B detrás de A). Si ambos se mueven en el mismo sentido “B” con velocidad constante
de 10 m/s y “A” partiendo del reposo con a = 2 m/s2.
Después de que tiempo de iniciado el movimiento la
distancia de separación es mínima. (Ambos móviles
no se encuentran).
Solución:
o Momento en que “A” cruza a “B” completamente.
1
e A = 600 = v ot + at 2
2
1
600 = 30t + 6 t 2
2
bg
7.-
b
g
eB = d + eA − x .............. (1)
t 2 + 10t − 200 = 0
De donde:
t = 10 s
1 2
o e A = v ot + at
2
Un conductor viaja por una autopista recta con una
velocidad inicial de 20 m/s. Un venado sale a la pista
50 m más adelante y se detiene. ¿Cuál es la aceleración mínima que puede asegurar la parada del vehículo justamente antes de golpear al venado si el chofer demora 0,30 s en reaccionar?
1
e A = 0t + ⋅ 2 ⋅ t 2
2
eA = t 2 .............. (2)
o eB = v B t
eB = 10t .............. (3)
Solución:
o (2) y (3) en (1):
10t = d + t 2 − x
e
j
10t = t2 − x + d
x = t 2 − 10t + d
b g
2
x = t − 5 + d − 25
o Antes que el conductor reaccione su velocidad
sigue siendo constante
Para que x sea mínimo: t − 5 = 0
b g b g
e AB = v 0 , 30 = 20 0 , 30
t = 5s
e AB = 6 m
Cuando el conductor reacciona, éste presiona los frenos y el movimiento pasa a ser M.R.U.V. cuya velocidad final es cero (para no atropellar al venado).
eBC = 50 − 6 = 44 m
9.-
Un pasajero desea subir a un microbús que se encuentra detenido y corre tras él con una velocidad uniforme
de 5 m/s y cuando estaba a 6 m del microbús, éste parte con aceleración constante de 2 m/s2. Hallar el tiempo que demora el pasajero en alcanzar al microbús. (Si
lo alcanza).
Jorge Mendoza Dueñas
116
10.-
Solución:
o Suponiendo que lo alcanza: Para ello en el instante
de alcance la velocidad del microbús no deberá ser
mayor que la del pasajero (5 m/s).
Sale un tren hacia el norte con velocidad de 30 km/h,
luego de 10 minutos sale otro también hacia el norte y
con la misma velocidad. ¿Con qué velocidad en km/h
constante venía un tren desde el norte, si se cruzó con
el primer tren en cierto instante y luego de 4 minutos
con el segundo tren?
Solución:
eH − eM = 6
FG
IJ
H
K
F 1 I
5t − G 0t + ⋅ 2t J = 6
H 2 K
1
5t − v ot + at 2 = 6
2
2
⇒
5t − t 2 = 6
t 2 − 5t + 6 = 0
De donde:
o Cálculo del tiempo de encuentro entre “B” y “C”
t = 2s ó t = 3s
t=
o Analizando:
o De la figura:
Si: t = 2 s ⇒ v M = v o + at
b gb g
FG
H
vM = 0 + 2 2
x = 30t − 30 t −
vM = 4 m / s < 5 m / s
Si:
10
60
IJ
K
x = 5 km
bg
t = 3 s ⇒ vM = 0 + 2 3
o (2) en (1):
v M = 6 m / s > 5 m / s (no cumple)
o Finalmente:
4
x
............ (1)
=
60 v + 30
t = 2s
4
5
=
60 v + 30
v = 45 km / h
PROBLEMAS PROPUESTOS
A
1.-
problemas de aplicación
Un cuerpo parte del reposo con M.R.U.V. y avanza
50 m en 5 s. ¿Cuál es su aceleración en m/s2?
Rpta.
2.-
4 m/s2
Una gacela pasa por dos puntos con velocidad de 3 m/s
y 7 m/s y M.R.U.V. Si dichos puntos están separados 50 m.
¿Qué tiempo empleó en el recorrido?
Rpta.
3.-
10 s
Un móvil parte con una velocidad 36 km/h y una aceleración de 6 m/s2. ¿Qué velocidad en m/s tendrá luego de 5 s?
Rpta.
4.-
40 m/s
Un móvil que se desplaza a razón de 10 m/s ve incrementada su velocidad por una aceleración de 5 m/s2.
¿Qué distancia habrá logrado avanzar durante los
2 primeros segundos de este movimiento variado?
Rpta.
30 m
Cinemática
5.-
Un auto al pasar por dos puntos separados 180 m demoró 8 s. Si por el primer punto pasa con una velocidad de 20 m/s. Determinar con qué velocidad pasa por
el segundo punto (en m/s).
Rpta.
6.-
8.-
9.-
1.-
– 4 m/s2
Lo atrapa a 1 m del agujero
Un auto que se mueve describiendo un M.R.U.V. en cierto instante, pasó con una rapidez de 15 m/s por un punto “A” situado entre dos montañas como se muestra. Si
en este instante toca el claxón, con que aceleración
deberá moverse a partir de ese instante, para escuchar
los ecos simultáneamente (vsonido = 320 m/s).
Rpta.
8.-
Durante que segundo de movimiento, un móvil que
parte del reposo y tiene M.R.U.V. recorrerá el triple del
espacio recorrido en el quinto segundo.
8 m/s
Dos móviles que parten del reposo en la misma dirección y sentido, están separados 200 m, si se observa
que el alcance se produce 10 s después de iniciado
los movimientos. Determinar sus aceleraciones si estas están en la relación de 3 a 1.
Rpta.
9.-
a2 = 2 m/s2 ; a1 = 6 m/s2
6 m/s
Dos móviles se encuentran en una recta, inicialmente
en reposo, separados por una distancia de 400 m. Si
parten al mismo instante acercándose mutuamente
con aceleraciones de 3 m/s2 y 5 m/s2. Calcular después
de qué tiempo vuelven a estar separados por segunda vez una distancia de 200 m.
Rpta.
10.-
2
10 m/s
Una zorra trata de atrapar una liebre que se encuentra en reposo. Cuando la zorra se encuentra a 9 m de
la liebre, ésta acelera a 2 m/s2. Calcular la velocidad
mínima constante de la zorra de tal modo que pueda
atrapar a la liebre ¿y comérsela?
Rpta.
N = 14avo segundo
Un auto corre una pista horizontal con una aceleración de 2 m/s2, después de 5 s de pasar por el punto A,
posee una velocidad de 72 km/h. ¿Qué velocidad tenía el auto cuando le faltaba 9 m para llegar a A?
Rpta.
3.-
Un ratón de regreso a su agujero, a la velocidad constante de 1 m/s, pasa al lado de un gato, despertándo2
lo, si el gato acelera a razón de 0,5 m/s y el agujero
está a 5 m. ¿Atrapa el gato al ratón?. Si lo atrapa, ¿a qué
distancia del agujero lo hace?
Rpta.
7.-
18 s ; 180 m
6s
problemas complementarios
Rpta.
2.-
x = 96 m
10 m
2
Durante el 6to segundo de su desplazamiento una
pelota logró avanzar 6 m, si su velocidad al inicio era
de 28 m/s. ¿Con qué aceleración retardó uniformemente su movimiento?
Rpta.
B
6.-
602,08 m
Un bote inicialmente en reposo acelera a razón de 2 m/s
durante 6 s, después de la cual se mueve con velocidad
constante. En el instante que el bote parte, una lancha que
se mueve en la misma dirección y sentido con velocidad
constante de 10 m/s lo pasa. ¿Después de qué tiempo y a
qué distancia se encontrarán nuevamente?
Rpta.
Un auto se mueve con velocidad de 45 m/s,
desacelerando constantemente. Si luego de 3 s su velocidad se ha reducido a 30 m/s. ¿Cuánto tiempo más
debe transcurrir para lograr detenerse?
Rpta.
10.-
5.-
Una partícula parte del reposo con M.R.U.V., y en 5 s
recorre 50 m. Calcular el espacio que recorre en el tercer segundo de su movimiento.
Rpta.
Un tren va frenando y lleva un movimiento uniformemente retardado, sabiendo que emplea 20 s y luego
30 s en recorrer sucesivamente un cuarto de kilómetro. Hallar el espacio que recorrerá antes de pararse.
Rpta.
e = 3 600 m
Un móvil parte del reposo con una aceleración constante y en 4 s recorre 32 m. Calcular el espacio que
recorre en los 4 s siguientes.
Rpta.
4.-
25 m/s
Un móvil parte del reposo con una aceleración constante. Si su velocidad aumenta a razón de 10 m/s cada
5 s. Calcular el espacio que habrá recorrido en 1 minuto (en metro).
Rpta.
7.-
117
13,10 s
Una partícula parte del origen hacia la derecha con una
velocidad de 10 m/s y con una aceleración de 1 m/s2
hacia la izquierda. ¿Cuáles son los instantes en que su
distancia desde el origen es 1 m?
Rpta.
t = 0,1 s ; t = 19,9 s ; t = 20,1 s