05 Identidades trigonométricas (2)

Identidades trigonométricas (2) _____
1.
Usar las fórmulas de las razones trigonométricas de la suma y resta de dos ángulos, las del
ángulo doble y mitad, etc. para demostrar las siguientes identidades:
(
)
(
)
2)
(
)
(
)
4)
(
)
tan α + β − tan α
1)
sen α + β + sen α − β = 2 ⋅ sen α ⋅ cos β
3)
cos α + β − cos α − β = −2 ⋅ sen α ⋅ sen β
5)
(senα ⋅ cos β − cos α ⋅ sen β ) + (cos α ⋅ cos β + senα ⋅ sen β )
6)
cos 6α = 1 − 2 ⋅ sen2 3α
7)
tan 4α =
8)
sen3α = 3 ⋅ sen α − 4 ⋅ sen3 α
9)
cos 4α = 8 ⋅ cos 4 α − 8 ⋅ cos2 α + 1
1
2
⋅ sen2α =
12) 2 ⋅ tan2α =
3
11)
sen α + cos α
cos α + sen α
cos α − sen α
−
cos α − sen α
cos α + sen α
( ) = tanα + tan β
cos (α − β ) 1 + tan α ⋅ tan β
sen α + β
(
)
18) tan α + β + γ =
23)
25)
sen2α
1 − sen2α
cos2α
2 ⋅ tan
=1
sen8α
1 + cos 8α
1 − tan2
α
2
α
1 + tan2
2
3
8
tan α + β
(
−
)
cotan α − β
17) cos2α =
)
1
2
⋅ cos2α +
=
1 − tan α
1 + tan α
20)
1 − tan2 α
1 + tan2 α
=1+
sen α − cos α
1
2
24) cos 4 α =
26)
sen3α
sen α
−
3
8
+
1
⋅ sen2α
2
⋅ cos2α +
cos 3α
cos α
=2
8
⋅ cos 4α
1 − tan2 α ⋅ tan2 β
22) cos 3α = 4 ⋅ cos3 α − 3 ⋅ cos α
α
2 = sen α
2 α
1 + tan
2
sen3 α − cos3 α
1
tan2 α − tan2 β
1 − tan α ⋅ tan β − tan β ⋅ tan γ − tan α ⋅ tan γ
= cotan α
=
(
cotan α + cotan β
tan α + tan β + tan γ − tan α ⋅ tan β ⋅ tan γ
19) cotan α ⋅ sen2α = 1 + cos2α
1 + cos2α
cos α =
= tan β
cotan α ⋅ cotan β − 1
)
13) sen4 α =
15)
16) tan α ⋅ sen2α = 2 ⋅ sen2 α
21)
(
2
sen α + cos α
3
)
cotan α + β =
2
10) 1 −
14)
(
1 + tan α + β ⋅ tan α
1
8
⋅ cos 4α
2.
3.
Si A, B y C son los tres ángulos de un triángulo, demuestra que se cumplen las siguientes
identidades:
B
sen A + sen B + sen C = 4 ⋅ sen
2)
cos A + cos B + cos C = 1 + 4 ⋅ sen
3)
tan A + tan B + tan C = tan A ⋅ tan B ⋅ tan C
4)
sen2 A + sen2 B + sen2 c = 4 ⋅ cos
2
⋅ cos
A
2
A
2
⋅ cos
2
⋅ sen
⋅ cos
B
2
B
2
C
2
⋅ sen
⋅ cos
C
2
C
2
Usando las fórmulas de sumas de senos y cosenos, demostrar las siguientes identidades
trigonométricas:
1)
3)
sen 4A + sen2A
cos 4A + cos2A
sen A + sen3A
cos A + cos 3A
= tan3A
2)
= tan2A
4)
sen A − sen B
sen A + tan B
(
sen2A + sen 4A + sen6A = 4 ⋅ cos A ⋅ cos2A ⋅ cos 3A
8)
cos2 A ⋅ sen3 A =
1
16
tan
2
A+B
2
)
)
6)
cos 3A + cos 5A + cos 7A + cos 9A
=
A−B
(
cos A + cos2A + cos 3A = cos2A ⋅ 1 + cos2A
sen3A + sen5A + sen7A + sen9A
tan
sen A + sen2A + sen3A = sen2A ⋅ 1 + 2 ⋅ cos A
5)
7)
4.
A
1)
= tan6A
(
⋅ 2 ⋅ sen A + sen3A − sen5A
)
Encontrar los valores exactos del seno coseno y tangente de los siguientes ángulos:
1)
15º;
2)
75º ;
3)
(
)
255º;
(
4)
210º;
Demostrar que cos A = sen A + 30 + cos A + 30
6.
Demostrar que tan50 − tan 40 = tan10 , sin usar la calculadora.
7.
Demostrar las siguientes igualdades sin usar la calculadora:
1 ⎛
⋅ 3 + 1⎞
⎠
2 ⎝
2 ⋅ sen 45 ⋅ cos15 =
3)
sen 40 + sen20 = cos10
5)
7)
sen75 − sen15
cos 75 + cos15


=
3
3
2 ⋅ sen8230'⋅ cos 37 30' =
3+ 2
2
105º ;
)
5.
1)
5)
2)
cos220 + cos100 + cos20 = 0
4)
sen105 + sen15 =
6)
cos130 + cos110 + cos10 = 0
8)
2 ⋅ sen127 30'⋅ sen97 30' =
6
2
3+ 2
2