La ecuación de Poisson en la Electrostática

La ecuación de Poisson en la Electrostática
14 de septiembre de 2012
Un problema de Fı́sica, a la vez fundamental y lo suficientemente simple de
exponer, que conduce a la ecuación de Poisson es el de la interacción electrostática entre cargas eléctricas. El punto de partida es la ley de Coulomb, enunciada
originalmente por el francés Charles-Augustin de Coulomb (1736-1806):
dadas dos partı́culas cargadas en reposo, idealmente en el vacı́o, con cargas q1
y q2 y situadas en los puntos r1 y r2 , respectivamente, existe una fuerza de
interacción entre ellas que viene dada por la expresión:
F12 = Ke q1 q2
r2 − r1
(1)
3
|r2 − r1 |
La notación F12 indica que se trata de la fuerza debida a q1 ejercida sobre
q2 , y Ke es una constante de proporcionalidad cuyo valor depende del sistema
de unidades que se elija. En el Sistema Internacional (SI), en el cual la unidad
de carga eléctrica es el coulomb, esa constante se expresa de forma conveniente
(por razones que no se van a discutir aquı́) en la forma Ke = 1/(4π0 ), siendo
0 la denominada permitividad del vacı́o[1].
Otro principio básico es el llamado Principio de superposición, o de
linealidad, que puede enunciarse de la forma siguiente:
dada una carga q situada en el punto r, la fuerza total ejercida sobre ella por
otras cargas q1 , . . . , qn situadas en los puntos r1 , . . . , rn , respectivamente, es la
suma vectorial de las fuerzas que cada una de las cargas qi ejercerı́a individualmente sobre la carga q:
Fq =
n
X
1=1
Fiq = q
n
X
i=1
Ke qi
r − ri
3
|r − ri |
(2)
El hecho de que la fuerza total sobre q se pueda expresar en la forma Fq =
qE(r), en donde E(r) no depende de q, sino sólo de las cargas qi y de sus
posiciones ri , permite decir que la magnitud E(r) resume todo el efecto fı́sico
(en lo que a fuerzas eléctricas se refiere) que la existencia de las cargas qi produce
sobre otra carga q que se sitúe en el punto r. Esta interpretación es la que dota
a la magnitud E(r), que se denomina campo eléctrico, de un significado fı́sico
propio. En conclusión, la ley de Coulomb puede reformularse diciendo que un
1
conjunto de cargas estáticas originan un campo eléctrico en todo el espacio, cuya
expresión es:
n
1 X
r − ri
E(r) =
qi
3
4π0 i=1
|r − ri |
(3)
Cuando lo que se considera es una distribución continua de carga especificada
mediante una densidad de carga ρ(r) (carga por unidad de volumen), en vez de
un conjunto discreto de cargas puntuales, la extensión correspondiente de la
Ec.(3) es:
Z
r − r0
1
3 0
ρ(r)
(4)
E(r) =
3 d r
4π0 D
|r − r0 |
estando la integral extendida a toda la región D que contiene carga.
Las funciones definidas por integrales del tipo de la que aparece en la Ec.(4)
son, por tanto, de gran interés en la Electrostática. Pero no sólo ahı́; también lo
son en otros campos de la Fı́sica. En la teorı́a de la gravitación de Newton,
el campo gravitatorio originado por una distribución de masa (discreta o continua) viene dado por expresiones completamente análogas. En realidad, la única
diferencia formal (pero fundamental por sus consecuencias fı́sicas) entre las dos
interacciones reside en que, mientras que la carga eléctrica puede ser positiva o
negativa, la masa sólo tiene un signo.
Como se acaba de señalar, las integrales del tipo mencionado son de gran
importancia, pero su estudio no es trivial. Se trata de integrales dependientes
de un parámetro r, o bien de tres parámetros reales si se emplea un sistema de
coordenadas cartesiano de modo que r = (x, y, z), con la caracterı́stica de que el
integrando posee una singularidad cuando r ∈ D. Eso es lo que hace que su estudio no sea trivial (difı́cilmente se encontrarán como ejemplos en el estudio de las
integrales dependientes de parámetros en textos estándar de Análisis Matemático.) Fueron estudiadas de manera exhaustiva por algunos grandes matemáticos
del Siglo XIX, y su estudio dio lugar a una rama del Análisis Matemático conocida como teorı́a del potencial. De forma resumida, las propiedades básicas
de interés de estas integrales para las aplicaciones en los problemas de Fı́sica de
donde provienen son las siguientes [2, 3]:
Sea D ⊂ R3 una región acotada, y ρ una función acotada integrable (en valor
absoluto) en D. Entonces, la función φ definida por la integral
Z
1
φ(x) =
ρ(r) d3 r ,
(R = |x − r|)
(5)
R
D
está definida en todo R3 , es continua y tiene derivadas parciales primeras continuas (es decir, φ ∈ C 1 (R3 ).) Además, esas derivadas parciales se obtienen
derivando el integrando con respecto a los parámetros:
Z
∂φ
∂
1
(x) =
ρ(r)
d3 r ,
(x = (x1 , x2 , x3 ))
(6)
∂xi
∂x
R
i
D
2
Si además ρ ∈ C 1 (D), entonces φ tiene derivadas parciales segundas continuas
en el interior de D, aunque ya no se pueden calcular simplemente derivando el
integrando con respecto a los parámetros. A pesar de que no hay una expresión
simple para cada derivada parcial segunda individualmente, sı́ existe una tal
expresión para una combinación especial de ellas, a saber:
∇2 φ(x) ≡
3
X
∂2φ
i=1
∂x2i
= −4πρ(x) ,
∀ x ∈ D̊
(7)
en donde ∇2 se conoce como el operador laplaciano, o simplemente la laplaciana
(un sı́mbolo alternativo que también se usa es 4, en vez de ∇2 .)
En el exterior de la región D, es decir en R3 \ D̄, la función φ es de clase C ∞
sin ninguna condición adicional sobre ρ, y las derivadas parciales de cualquier
orden se calculan derivando con respecto a los parámetros dentro de la integral.
Mediante un sencillo cálculo directo se verifica que ∇2 φ = 0 en el exterior de la
región D.
La Ec.(7) se conoce como ecuación de Poisson, llamándose ecuación de
Laplace cuando el segundo miembro es cero.
Los resultados anteriores permiten expresar el campo eléctrico dado por la
Ec.(4) en la forma E(x) = −∇φ(x), siendo φ el potencial electrostático coulombiano:
Z
1
1
ρ(r) d3 r
(8)
φ(x) =
4π0 D
R
(el signo - tiene que ver con conveniencias de notación que provienen de la
Mecánica Clásica.)
En definitiva, el potencial electrostático debido a la distribución de carga
ρ(r) en la región D cumple la ecuación diferencial en derivadas parciales de
Poisson:
ρ(x)
∇2 φ(x) = −
(9)
0
en el interior de la región D, y la ecuación de Laplace:
∇2 φ(x) = 0
(10)
en el exterior. Nótese que (intencionadamente) no se ha mencionado que ocurre
en los puntos de la frontera de la región.
El operador ∇2 es fundamental, pues, en distintos campos de la Fı́sica. Una
razón profunda para ello es que es el único operador diferencial lineal de segundo orden que es invariante ante las rotaciones. La invariancia ante rotaciones
está ligada a que todas las direcciones del espacio sean igual de buenas, es decir, a que el espacio sea isótropo. Como se puede ver en la Ec.(8), el potencial
coulombiano generado en un punto x por la carga situada en un punto r depende sólo de R = |x − r| , y esa distancia es invariante bajo rotaciones de los ejes
de coordenadas. De ahı́ que la laplaciana aparezca ligada a la ley de Coulomb
de una forma natural.
3
Referencias
[1] M. Alonso and E. J. Finn, Fundamental University Physics, Vol. 2,
Addison-Wesley 1967.
[2] R. Courant and D. Hilbert, Methods of Mathematical Physics, Vol. 2, Wiley
1962.
[3] V. I. Smirnov, A Course of Higher Mathematics, Vol. 4 Part 2, AddisonWesley 1964.
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