PDF

41
Capitulo 2. SOLUCION NUMERICA DE UNA ECUAC ION NO-LINEAL EN UNA VARIABLE
De
con
acuerdo
f(xa) ~ -7.019... x10-
los
4
.
resultados
Observe
I f(.91015625) 1= 4.42... x10 -
4
que
de
el
la
TABLA
menor
xa = .909765625 :::: a 2
2.2,
valor
If(xn)l,
de
y ocurri6 en la iteracion n == 7 .
'
n = 1,2,3,... ,8
Y
es
Sera que x7 es mejor
aproximaci6n de a 2 que xa?
Si usamos el metodo de Bisecci6n para buscar aproximaciones de a 1 E[- .5,-A]
a
3
y
E[3.7 , 3.8] , con la misma precisi6n de a 2 , obtenemos: a1 '" -.458 984375 = x e ' f( xa)
a
3 ::::
=
7.485 .. x 10- s
3.733203 125 = x e ' f(xa) = - 2A08 ..x10 -
3
•
Algunas de las desventajas del metodo de Bisecci6n co n respecto a otros metodos son
No tiene en cuenta la magnitud de los valores de la fu nci6n en las aproximaciones calculadas
xn ' s610 tiene en cuenta su signo, 10 que hace que una aproximaci6n intermedia , mejor que
';'-- - '
la respuesta final, pase desapercibida .
Aunque ,el metodo converge , siempre, su convergencia es muy lenta , comparada con la convergencia de otros metod os que estudiaremos, por 10 que se sugiere escoger el intervalo inicial [a,b] tan pequeno como sea posible 0 usar el metodo de Biseccion para obtener un , buen punta de arranque para la aplicaci6n de otro metodo.
Una de las mayores ventajas que tiene el metoda de Biseccion es que el error de b- a truncamiento , a - xn se acota facilmente (recuerde que a - xn ~ - n- )'
2
I
I,
I
I
Ejercicio 2.1 Use el metodo de Biseccion para estimar la menor raiz positiva de la ecuacion x - tanx = 0 , can una precision de por 10 menos 3 cifras decimale~ exactas, empezando con un intervalo [a, b] que contenga a dicha raiz y b - a = 0.1 .,- • "
2.1.2 Metodo de Pos·ici6n Falsa (0 Regula Falsi): Consideremos una funcion f continua en un intervalo [a,b] y tal que f(a)f(b) < O . EI metodo de Posicion Falsa , para encontrar una aproximaci6n de una raiz a de f(x) = 0 en (a ,b), es similar al metodo de Bisecci6n en el sentido de que se generan subintervalos [an,bn] que encierran a la raiz a , pero esta vez xn no es el punto media de [an ,bn] , sino el punto de interseccion de la recta que pasa por los puntos (an ,f(a n)) , (bn, f(b n)) con el eje x (ver la FIGURA 2,6 siguiente) .
AI reemplazar la curva por una recta se obtiene una "posicion falsa" de la raiz , de aqui ei nombre del metodo. Tambien se Ie canoce como metodo de Interpolaci6n Lineallnversa . t
42
METODOS NUMERICOS
xn ' es decir, If(xn)I<E
0
IXn - Xn_1/< E
para
escogida . EI procedimiento termina cuando se
de iteraciones previamente establecido,
Se puede demostrar, ver Ralston , 1965, pagina 324,
sea continua .
x
Ejercicio 2.2 Escriba un algoritmo para el metoda
Ejemplo 2.3 Con respecto a las raices a, ecuaci6n 3x 2
-
eX = 0 , si usamos el metoda de FIGURA 2,6
Empezamos tomando a 1 = a, b1 = b Y encontramos la primera aproximaci6n de la raiz, x 1 ,
"
como la intersecci6n con el eje x , de la recta secante a la curva que pasa por los puntos
(a 1,f(a 1)), (b 1,f(b 1 ))
se obtienen los siguientes resultados
:
Si f( x1 ) = 0 , entonces a = x1 Y el proceso termina. Instrucci6n en DERIVE:
Si f(a 1)f(x1) < O entonces a E(a 1,x 1) y tomamos a 2 = a1 , b 2 =x 1, de 10 contrario tomamos a 2 = x1 ' b 2 = b 1 ' Aplicamos nueva mente el proceso anterior al intervalo [a 2 , b 2 ] , es decir, hacemos REGULA( f(x), x, a, b, N): aproXiml
aplicado a la funci6n f(x) en el
Compare los resultados
Ejercicio 2.3 Ap/lque el
ecuaci6n x - tanx =0 ,
Oespues de la (n -1 )-esima iteraci6n, tenemos a E(an ,bn) y tomamos
Observe que en el denominador de la expresi6n anterior nunca se resta, pues f( an )f(b n) < 0 ,
Este metodo tiene la desventaja , con respecto al de Bisecci6n, que la longitud del
subintervalo que contiene a la rafz en general no tiende a cera, porque la mayoria de las
graficas de las funciones son c6ncavas (hacia arriba 0 hacia abajo) en la vecindad de la raiz,
10 que hace que uno de los extremos de los subintervalos se apraxime a la ra[z, mientras el
otro permanece fijo (ver la FIGURA 2,6 anterior) ,
Por 10 anterior, la lon.gitud del subintervalo [an, bn] no puede tomarse como un criterio de
aproximaci6n a la rafz; se requiere una tolerancia en el valor de la funci6n en la apraximaci6n
cut! t s cifras
Capitulo 2. SOLUCION NUMERICA DE UNA ECUACION NO-LINEAL EN UNA VARIABLE
43
x n ' es decir, I f(xn) I< E 0
I x n - xn_1 1< E para alguna tolerancia E> O previamente
escogida. EI procedimiento termina cuando se alcance esta tolerancia 0 un numero maximo
de iteraciones previamente establecido .
Se puede demostrar, ver Ralston , 1965, pagina 324 , que este metodo converge siempre que f
sea continua .
*
Ejercicio 2.2 Escriba un algoritmo para el metodo de Regula Falsi .
Ejemplo 2.3 Con respecto a las raices a 1 E[- .5,-.4] , a 2 E[.9 ,tO] , a 3 E[3 .7,3.8] de la
ecuaci6n 3x 2 - eX = 0 , si usamos el metodo de Regula Falsi con criterio de aproximaci6n
se obtienen los siguientes resultados
a l ~- .458960329 = X 3 Y f(x 3) = - 6.56 .. .x 10-
6
a2 ~ .910006353 = X3 Y f(X 3) = - 3.62 ...x10-6
a 3 ~ 3.73307860 = X4 y f(x 4) = 8.24 ... x10-
6
Instrucci6n en DERIVE:
REGULA( f( x), x, a, b, N): aproXima las primeras N iteraciones en el metodo de Regula falsi
aplicado a la funci6n f( x) en el intervalo [a,b]
0
Compare los resultados anteriores c~n los obtenidos por el metodo de Bisecci6n .
*
Ejercici9 2.3 Aplique el metodo de Regula Falsi para estimar la menor raiz positiva a de la
ec:;uaci6n
x - tanx = O, usando como criteria de aproximaci6n If(xn) I< 5 x 10-s
~i.f.r.as aeetmales
exactas aproxima el valor obtenido .xn a a ?
Con
*
2.2 METODOS ABIERTOS
A diferencia de los metodos cerrados que requieren de un intervalo que encierre la raiz
buscada, los metodos abiertos que se veran requieren de un solo valor 0 dos valores iniciales
(de arranque) que no necesariamente encierran dicha raiz ; esto hace que algunas veces las
sucesiones generadas por estos metodos sean divergentes 0 se alejen de la rafz de interes
(~ probablemente ~ otra ra fz) , pero tienen la ventaja que cuando convergen 10 hacen
"mas rapidamente" que las sucesiones generadas por los metodos cerrados .
2.2.1 Metodo de Punto Fijo: Dada una ecuaci6n f(x) = 0, podemos transformarla, de alguna
manera , en otra equivalente (al menos localmente) del tipo x = g( x) para alguna funci6n g.
Ento~ces el proble~a de hallar una raiz de f( x) = 0 se transforma en el equivalente de hallar
una raiz de .~ = g( x) .
44
METODOS NUMERICOS
Definicion 2.2 Un numero a tal que a
=
g(a) se dice un punta fija de la funcion g.
V'
CCuando una funcion 9 tiene un punta fijo , y si 10 tiene, como encontrarlo?
Supangamos a ~a) y b
h(a)=g(a)-a>O. h(b)
EI siguiente teorema da respuesta parcial (condiciones suficientes) a las preguntas
formuladas antes.
Tearema 2.1 (de punta fija) Si 9 es una funcion continua en [a,b] y g(x) E[a,b] para todo
x E [a, b] , entonces 9 tiene por 10 menos un punto frjo en [a,b] . Si ademas, g'( x) existe para
todo x E ( a, b) Y/1 g'( x)
I :os; K <
il
para todo x E( a, b) , K constante , entonces 9 tiene un unico
punto frjo a E [a, b] Y la sucesion {x n} n defrnida mediante la formula de iteracion
I xn = g(xn_1), n=1,2,3,... I
converge a a cualquiera sea Xo E[a, b], Y se tienen las siguientes cotas para el error de
truncamiento,
i)
Ia -
xn
Converg.ncl. tit ,.
Sea
Ia - xn I:
Max {xo - a, b - xo}, para cad a n ~ 1, Kn x 1 - Xo
para cada n ~ 1, 1- K
Xo
e[a.bJ
I :os; K n
.
ii)
Ia -
xn
I:os; --I
iii)
Ia -
xn
I:os; 1 ~ K I xn -
para algun y
I'
xn- 1
I " para
cada n ~ 1 .
lIustracion:
y =X
y
b
y = g(X)
a ---
I
,
I
I
--r--r---~-------I
I
I
I
,
I
I
I
b
x
FIGURA 27
Demastracion: Existencia: Si g(a) = a
0
g(b) = b , entonces a 0 b es un punto fijo de go
CUII_,..
b
Capitulo 2. SOLUCI6N NUMERICA DE UNA ECUACI6N NO-LINEAL EN UNA VARIABLE
Supongamos a < g(a) Y b > g{b) Y sea h(x)=g{x) - x
45
Entonces h es continua en [a,b],
h(a)=g(a)-a > O, h(b)=g(b)-b < O, por tanto (teorema del valor intermedio) existe por 10
menos un a. E(a,b) tal que h(a.) = 0 , esto es, a. = g(a.) .
Unicidad: Supongamos que 1g'( x) 15 K < 1 para toda x E( a, b) Y alguna constante K, y sean
. a. y
p puntos fijos distintos de 9 en
[a, b] . Entonces
para algun ~ E(a. , p), 10 cual es un absurdo, asi que a. =
p y entonces
el punto fijo en [a, b] ,
que existe segun la primera parte, es unico.
Convergencia de fa sucesi6n {xn
t
con xn = g( xn- 1 ), n = 1,2,3.. Y cotas para 1a. - xn I :
Sea Xo E [a, b] cualquiera . Entonces
para algun y entre a. Y xn- 1 . Procediendo inductivamente sobre n, se tiene que (2.2)
y como K n -40 cuando n -4 +00, pues
n
-4 +00 , es decir,
05 K < 1,
1
entonces En = a. - xn
1-4 0
cuando
lim xn = a. .
n-><Y.l
De la relaci6n (2.2), se tiene que
De otro lade
asique
y como 0 5 K < 1 , entonces
(2.3)
Nuevamente, de (2.2)
1a. - Xn 15K n1a. - Xo 1
n
y entonces multiplicando a ambos miembros de (2.3) por K , obtenemos
46
METODOS NUMERICOS
Capitulo 2. SOlUCION NUMERICA DE UN
,
Las siguientes graficas muestran algunas formas
sucesi6n
Kn
I a - xn 1:5 K nl a - Xo 1:5 - - I Xl - Xo I
1- K
asique
Kn
ii) I a-xn 1:5 - - I,Xl - x O I , n = 1,2,.. ,
1-K La demostraci6n de la parte iii) se deja como ejercicio ,
Y= X
Y
V
,
Y= g(X)
,
EI metodo de Punto Fijo para encontrar una raiz a de la ecuaci6n X = g(x) , consiste en
generar la sucesi6n {xn} n mediante la f6rmula de iteraci6n
I I
I I
I I
I I
I I
I I
I I
xn = g(x n_l ) , n = 1,2". con Xo dado. a
Nota: Observe, a partir de la cota de error dada en el teorema 2.1, ii) , que para 0 ::; K < 1 ,
entre mas pequel'\a sea K, es decir, entre mas pequeria sea
ex
Xo
FIGURA 2.B.a
Convergencia. (La sucesi6n no es
mon6tona)
I g'(x) I, x E(a,b), "m~s rapida"
sera la convergencia de la sucesi6n {x n } n a a . La convergencia puede ser muy lenta si K
esta cerca de 1.
Y
_ Algoritmo 2.2 (Punto Fijo) Para encontrar una aproximaci6n a· de un punto fijo a de una
funci6n g, dada una aproximaci6n inicial xo:
Entrada: g(x); una aproximaci6n inicial Xo ; una
toleranGfa ..:r~y
un numero maximo de
iteraciones N .
Salida: Un punto fijo aproximado a · 0 un mensaje.
Paso 1: Tomar n = 1.
Paso 2: Mientras que n ::; N seguir los pasos 3-6 :
Paso 3: Tomar c = g(x o} (calcular
.Paso 4: Si I c - Xo 1< Tol
0
Ic -
FIGURA 2.B. c
Divergencia. No satisface III
tesis del teorema de Punlo
X n ).
Xo I < Tol l c I , entonces salida: "Un punto fijo
Hay situaciones en las
embargo hay corlvAlro. "
aproximado de la funci6n dada es a · = c ". Terminar.
Paso 5: Tomar n = n + 1.
Ejemplo 2.4 Para
al
Paso 6: Tomar Xo = c (redefinir Xo ).
I
Paso 7 : Salida "Se alcanz6 el numero maximo de iteraciones N pero no la tolerancia" .
Terminar.
b
E[-.5,-.4J . a2 de Punto Fijo. ,AIgunas tunlclOfl• .4
x
Capitulo 2. SOLUCION NUMERICA DE UNA ECUACION NO-LINEAL EN UNA VARIABLE
Las siguientes graticas muestran algunas formas de convergencia
sucesi6n
y=X
y
I
I
I
I
I
0
47
divergencia de la
y
y=x
I
I
I
I
I
x
a
b
Xo
FIGURA 2.8.b Convergencia . (La sucesi6n es mon6tona) FIGURA 2.8.a
Convergencia. (La sucesi6n no es
mon6tona)
y
y
y=X
x
FIGURA 2.8.c
Divergencia. No satisface las hip6­
tesis del teorema de Punto Fijo.
x
x
FIGURA 2.8.d
Convergencia (dependiendo del
punta inicial) . No satisface las
hip6tesis del teorema de Punto Fijo
Hay situaciones en las que no se satisfacen las hip6tesis del teorema de Punto Fijo y sin
embargo hay convergencia, ElS decir, el teorema es de condiciones suficientes no necesarias.
Ejemplo 2.4 Para la ecuaci6n 3x 2
-
eX
a 1 E[-.S,-.4], a2 E[.9,1.0] y a 3 E[3.7,3.8].
\.
I
= 0 sabemos que tiene tres ralces
reales
Estimemos a z usando el metodo de iteraci6n
de Punto Fijo.
.Algunas funciones de iteraci6n g, se obtienen como sigue:
48
METOD OS NUMERICOS
entonces 91 (x) e
Como
[.9,to] [.9,tO] . el intervalo
Ahora,
1
entonces 91(X) =
~
J3 e 2 es una funcion de iteraci6n .
asl que
Como
9;
es creclente en
para xe[.9,1.0]), V como
eX
entonces 92 ( X) = - , x
3x
* 0, tambien es una funci6n de iteraci6n.
entonces
Como
Lue90 91 tiene un unioo
entonces 93 (x) = In( 3x 2), X * 0, es otra funci6n de iter~cj6n .
la sucesi6n
{xn In con
Como
entonces 94 (x) =
3x 2
_
xe x + e X
*
6x - e X 0 es una funci6n de iteraci6n (Ia funci6n de
truncamiento,
6x _e x
iteraci6n del metoda de Newton-Raphson) .
Como
desigualdad
entonces 95 (x) = 3x 2 + X - e X, es tambien una funci6n de iteraci6n .
X
Si escogemos la funci6n de iteraci6n 91(X) =
91
es continua en
creciente en
[.9,1.0];
(.9,1.0] , Y como
9;(x) =
~ e 2 y el intervalo [.9,1.0] , vemos que:
1
~
r;; e 2 > 0 para todo x
2v 3
E[.9,tO],
as! que 91 es
la2
eI inll. . .
Capitulo 2. SOLUCION NUMERICA DE UNA ECUACION NO-LINEAL EN UNA VARIABLE
49
entonces g, ( x) E[.9.1.0] para todo x E[.9.1.0]. Luego g, tiene por 10 menos un punto fiJo en
el intervalo [.9.1.0J .
Ahora .
1
~
\ g;'(x) = 4/3 e 2 > 0 para todo x E[.9 .1.0J
as! que g; es creciente en el intervalo [.9 ,1.0J (Ia grafica de g, es c6ncava hacia arriba
para x E[.9.1.0]).'y como
. g;(.9) = ~e.45 = .452 ... .
entonces
[I g;(x) 1~
Luego g, tiene un unico punto fijo
.48 =
0.2
g;(1.0) = ~e·5 = .475...
~a~a
todo x E[.9 .1.0J ]
en el intervalo [.9J O] . Y cualquiera sea XO E[.9.1.0J
la sucesi6n {xn } n con
n =1.2.3....
converge a a. 2
•
truncamiento, I a. 2
es decir,
lim xn = a. 2, Y se tienen ademas las cotas para el error de
n--> oo
-
xn I ' dadas en el teorema 2.1.
Cuantas iteraciones n seran necesarias para que xn
aproxime al punto fijo
0. 2
E[.9.1.0]
con por 10 menos tres cifras decimales exactas ?
Como
sabemos
que
1 0. 2. -
Xn I~ K n Max {xo - a, b - xo}. basta_ resolv~ r
para
n
la
~
desigualdad
[ K" Max {.xc - a, b - xc) ' 51 .1 0-'
I
Tomando K =.48 Y Xo =.95 ( observe que Xo =.95 es el punta medio del intervalo [.9 ,1.0] y .
es el valor que minimiza la e~presi6n MfiX {xo -: a, b - xo} ), obtenemos
Max {xo - a. b - xo} = Max { .95 - .9. \1.0- .95 }
=
.05
y entonces debemos resoJver la desigualdad
Kn Max {xo - a, b - xo } =.(.48f(.05) ~ 5 x 10 --4
La soluci6n de esta desigualdad es .
50
Capitulo 2. SOLUCION NU"IERKi" "~
M~TODOS NUM~RICOS
In(10 -2)
n~
(
)
In .48
Instrucci6n en DERIVE:
=6.27.. ,
PUNTO_FIJO( g(x) , X, xo}, N): aproXima las
Fijo aplicada a la funci6n g(x) con
Lue90 para n ~ 7, se tiene que xn aproximara a
a 2
con una precisi6n de por 10 menos tres
expresi6n PUNTO_FIJO(
cifras decimales exactas,
La 9ratica de 9,(x) ==
~
1
J3 e 2
se muestra en la FIGURA 2,9, Y los valares calculados usando el
x
metoda de Punto Fijo can la funci6n de iteraci6n91 (x) =
terminando en x 7
"" a2 '
~ exp(~). x,
~e-2,
iniciando con
se muestran en la TABLA 2,3,
Xo
= .95 Y
Observe, en la FIGURA 2.9, que no exlSll
fijo de 9, ) dande se satisfagan todas 181
9, , Para esta funci6n de iteraci6n
y
2,10 si9uiente, tenemos:
x
FIGURA 29
n
0
1
2
3
4
5
6
7
xn
.95
.9283874
.9184090
.9138383
.9117522
.9108017
.9103690
.9101720
TABLA 2,3
g, II
Capitulo 2. SOLUCI6N NUMERICA DE UNA ECUACI6N NO·LlNEAL EN UNA VARIABLE
51
Instrucci6n en DERIVE:
j PUNTO_FIJO( g(x), X, XOi' N): aproXima
las primeras .N iteraciones e.n el metodo de Punto
Fijo aplicado a la funci6n g( x) con aproxim8 ')
6n inicial xo . Para el ejemplo aproXime la
expresi6n PUNTO FIJO(
-
~ exp(~), x, 0.95
v3
2
7
0
=---------­
. ------> De acuerdo con los resultados de la TABLA 2.3, a 2 ~ .9101720 = x7
.
•
Observe, en la FIGURA 2.9, que no existe intervalo [a,b] que contenga a a 3 (que es punto
fijo de g1 ) donde se satisfagan todas las hip6tesis del teorema de Punto Fijo para la funci6n
g1 . Para esta funci6n de iteraci6n g1 el metodo de Punto Fijo no converge a a 3
x
Si tomamos la funci6n de iteraci6n g2(X)
=~, X * 0, cuya gratica se muestra en la FIGURA
3x
2.10 siguiente, tenemos :
Y
Y= x
x
FIGURA 2,10
x
x
X
'() 3xe - 3e
e (x-1) 0
[]
g2 es continua en [.9,1.0] ; g2 x =
=
~
si x E .9,1.0 , asf que g2 es
9x 2
3x 2
decreciente en [.9 ,1.0] , Y como
entonces g2(X) E[.9,1.0] para todo x E[.9,1.0] , as; que g2 tiene par 10 menos un punto fijo en
el intervalo [.9,1.0J.
~M
. •,
DEPTO. DE BWUOTECAS
.... D'I
y,...v"",... ~ .. ... ___ _
52
Capitulo 2. SOlUCI6N NUMERICA DE
METODOS NUMERIC OS
Ahora ,
Veamos :
92 es continua en [3.7.3.8] , 92 es creciente en
x 2e x - 2xe x + 2e x
! e"'
X
e (x2 - 2X+2) )
3 X3
3 X3
I
92(3.8) = 3.9 "' [3.7,3.8 , entonces no se
501111.'... .
x E[3.7.3.8] .
J
y como
Existira al9un intervalo [a, b) que contenga
hip6tesis del teorema de Punto Fijo para la
entonces
92(X) > 0 ~ X> 0
Observe , a partir de la 9rafica de 92 , que
.
1192(x)I ~ K < 1 paratodo xE[a,bj . 1
Por tanto 92 es creciente en [.9,tO J ' y como
<:;.Pmo 92 as cre.c.lente en
92(.9) = -.10... , 92(1.0) = 0
[3.7.3.81 · para todo x E [3.7,3.8 J. Lue90 no exisl! entonces
satisfa9an las hip6tesis del teorema de I 92(X) I ::; .11=K<1 paratodo xE[.9,1.0J
Por otro lado, como 92 es dec:rtC­
En consecuencia 92 tiene un unico punto fijo a 2 E[.9.1.0J , y la sucesian {Xn}n con
entonces 92 tampoco sati.fac. ill que conten9a a a 1
converge a a 2 cualquiera sea Xo E [.9,1.0J. y se tienen ademas cotas para el error de
·
•
Ejercicio 2.4 Use el m~todo de iteraci6n dadas anteriormenle, ecuaci6n 3X2 - eX = 0 . USjjlncx~. truncamiento 1a 2 - xn I ·
Los valores obtenidos usando la funcian de iteracian 92 con punta inicial Xo = .95 Y criterio
de aproximaci6n
1 xn
- x n- 1 1 < 5 x 10 - 5 , se muestran en la TABLA 2.4 si9uiente.
I
n
I
xn
I
1
xn - xn- 1 1
0
1
.95
.9072665
2
.9102584
4.27335 x 10- 2
2.9919 x 10- 3
3
.9099850
2.734 x 10-4
4
.9100096
TABLA 2.4
2.46 x 10- 5
I
De acuerdo con los resultados de la TABLA 2.4. a2 '" .9100096 =
x4
analice con cuantas cifras decimales exactas aproxima x 4 a a 2 ?
•
x
Sera que la funci6n 92(X) =
~
3x
nos sirve para determinar a3 E[3.7,3.8] ?
·
Como ejercicio,
Ejemplo 2.5 Usemos el
de la ecuaci6n x- tanx : O
no
a
Capitulo 2. SOLUCION NUMERICA DE UNA ECUACION NO·LlNEAL EN UNA VARIABLE
53
Veamos :
92 es continua en [3.7,3.8] , 92 es creciente en [3.7,3-8] y como
9A3.7) = 3.6
", [3.7 ,3.8] ,
92(3.8) = 3.9 ",[3.7,3.8, entonces no se satisface la condicion 92(X) E[3-1,3.8] para todo
x E[3.7,3.8].
Existira algun intervalo [a, b] que contenga a la raiz a 3 donde se satisfa9an todas las
hip6tesis del teorema de Punto Fijo para la funci6n g2 ?
Observe, a partir de la grafica de g2 , que no existe intervalo [a,b] con a3 E[a,b] tal que
~
11 g2(X) 1 K < 1 para todo x E[a,b] . \
G.pme-g2-es-clft~1~--"te en ,[3 ~7, 3:8], g2(3-1) = 2.65... , g2(3.8) = 2.88 .. , entonces 1g2( x)1 > 1
para todo x E (3.7,3.8]. Luego no existe intervalo [a,b) que contenga a la ralz a 3 dondese ·
satisfagan las hip6tesis del teorema de Punto Fijo para la funcion g2'
Por otro lado, como g2 es decreciente en [-.5,-.4] ,92 (- ·5) =-1.21.
Y 92(-.4)= - 1.95.,
entonces g2 tam poco satisface las hip6tesis del teorema de Punto Fijo en algun intervalo
que contenga a a l
'
•
Ejercicio 2.4 Use el metodo de iteraci6n de Punto Fijo, con alguna de las funci on es de
iteraci6n dadas anteriormente , para encontrar estimaciones de las raices a 1 Y a 3 de la
ecuaci6n 3x 2 - eX = 0 , usando como criterio de aproximacion
I xn Ejemplo 2.5 Usemos el metodo
de la ecuaci6n x - tanx ~ 0 .
xn_1
iterativ~
1< 5x 1 O -~
•
de Punto Fijo para encontrar la menor raiz positiva
Como x - tanx = 0 <=> x = tanx , empezamos graficando, en un mismo plano coordenado , las
funciones f1(X) = X Y f2(x)=tanx (verlaFIGURA2.11).
De acuerdo con la FIGURA 2.11 , la menor raiz positiva a E
de valores para
f(x)=x-tanx , puede verse que
(%,3211} Y a partir de una tabla
aE [4.4,4.5]
(cuando utilice una
calculadora , use el modo radianes para los calculos).
Una primera funci6n de iteraci6n de Punto Fijo (que salta a la vista) es g( x) = tanx (ya que
x - tanx = 0 <=> x = tanx) , pero es claro que para esta funci6n 9 no existe intervalo [a, b] que
contenga la raiz a donde se satisfagan todas las hip6tesis del teorema de Punto Fijo , pues
19'(a)
I» 1 (observe la FIGURA 2.11 anterior) .
54
METODOS NUMERICOS
C.pltu'o 2. SOl UCI6N MJlMCAI.
Y
Y= ta nx
II
Puesto que tanx =- tan( x - .) , en
I" I
I I
I I
x
It
-
x
2
-
2
FIGURA 2.11
Si aplicamos el metodo de Punto Fijo con la funcion de iteracion g(x) = tanx se obtiene, en
las cinco primeras iteraciones y tomando como punto inicial
muestran en la TABLA 2.5 siguiente.
n
xn
0
1
2
4.4
3.096325
--4.529983 x 10 - 2
3
4
--4.533084 x 10 - 2
5
--4.539305 x 10 - 2
TABLA 2.5
Xo =
4.4 , los resultados que se
--4.536192 x 10 - 2
Observando la TABLA 2.5 se concluye que no hay convergencia a la raiz buscada .
Si empezamos con Xo = 4.5 , se obtienen los resultados que se muestran en la TABLA 2.6,
donde se ve claramente que tampoco hay convergencia a la raiz buscada.
Cual otra funcion de iteracion podrlamos construir?
Observando la grafica de la funci6n tangente (vea la FIGURA 2.11) , Y teniendo en cuenta la
relaci6n entre la grafica de esta funci6n y la de su inversa, se ve ciaramente que una funci6n
de iteraci6n de punto fijo, apropiada para determinar a , es la que se obtiene por la via de la
funci6n inversa . Para obtener tal funci6n de iteraci6n g(x) procedemos como sigue:
x
3
2
y
Capitulo 2. SOLUCION NUMERICA DE UNA ECUACION NO·L1NEAL EN UNA VARIABLE
n
Xn
0
1
2
3
4
5
4.5
4.637332
13.29819
.8982053
1.255524
3.066069
55
TABLA 2.6
Puesta que tanx = tan( x -
1t) , entances
1t
3n:
- <x<­
2
y
2
n:
3n:
x = tanx c::> - < x < ­
2
y x = tan( x - n:)
2
n:
n:
c::> - ­ < X- n: <­
2
n:
3n:
- <x<­
2
2
y
y x = tan(x-n: )
2
X = tanx c::> - -n: < x - n: < ­n:
2
2
n:
3n:
2
2
<=> - < x < ­
y
t an -1 x = x - n:
y x = n: + tan­ 1x
g(x) = n: + tan - 1 x.
As! que pademas tamar como funci6n de iteraci6n
La grafica de
y = n: + tan - 1x se muestra en la FIGURA 2.12 siguiente.
y
/
311:
2""
---­ - ----- - -­ -­ -­
-­ -­I ----­ - -
y= x
-­ - - - ­ - -
•
II
II
II
II
V=:. 1t+ tan- 1x
1t====~:::2-----­
--------­ -­
I
I
I I
II
___ ' ____ _ _ 1L ___ _ __ _ _
II
II
I I
II
11:
2
x
FIGURA 2.12
Veamas que g( x) =
[4.4,4.5] :
1t
+ tan - 1x satisface las hip6tesis del tearema de Punta Fije en el intervale
56
METODOS NUMERICOS
Capitulo 2. SOLUCION NUM~RICA DE
9 es continua en [4.4.4.5]; g'( x) = _1_ > 0 para todo x E R , aSI que 9 es creciente en
1+
[4.4.4.5], y como g(4.4) =4.48.
para X;to. ,
y g(4.5)=4.49 . ,entonces g([4.4.4.5]).:.:.;;[4.4.4.5] .
§l m = 1, la raiz se dice simple
Ahora, g' es decreciente en [4.4.4.5] (a medida que x aumenta g'(x) disminuye), y como
g'(4.4)= .049..
f(x)=(x-exth(x)
X2
£.
. nte teoremcuelaciona la multiplicidad de
Y g'(4.5)= .047. ,entohces Ig'(x)l ~ .05=K < 1 paratodo xE(4.4.4.5).
derivadas de la funcjoo f .
Por 10 tanto 9 tiene un unico punta fijo a. E [4.4.4.5] , Y la sucesion {xn} n con
converge a a. cualquiera sea
I
truncamiento a. - xn
Xo
Demostraci6n: Supongamos que ex es
E[4.4.4.5] , Y se tienen ademas, las cotas para el error de
I, dadas en el teorema 2.1.
acuerdo con la definicion 2.3,
La convergencia debe ser "rapid a" pues K es pequer'\a .
Derivando a ambos lados de la
Como ejercicio, encuentre cuantas iteraciones n seran necesarias para que xn aproxime
a a. con par 10 menos 4 cifras decimales exactas, tomando [a,b] = [4.4.4.5],
Xo
= 4.45 Y
K = .05?
Como
...
La TABLA 2.7 siguiente, muestra los calculos de las iteraciones para g(x) = 1T + tan- 1 x con
punto inicial
Xo
= 4.45 Y criterio de aproximacion I xn - xn- 1 1< 5
I
n
I
xn
0
1
2
4.45
4.491341
4.493311
3
4
4.493404
I
4.493409
TABLA 2.7
I xn
x
10- 5 .
- x n- 1 I
I
.041341
1.97 x 10 - 3
9.3 x 10 - 5
5.0 x 10-6
De acuerdo con los resultados de la TABLA 2.7, a. :::: 4.493409 = x4
,
•
2.2.2 Metodo de Newton-Raphson: Como veremos mas adelante, el metodo de Newton­
Raphson se aplicara para hallar ralces simples de una ecuaci6n f( x) = O. Antes de ver el
metodo de Newton-Raphson, veamos la siguiente definicion sobre la multiplicidad de una rafz
de una ecuacion.
Definici6n 2.3 Dada una ecuacion f(x) = O. Un numero a. se dice una raiz de multiplicidad
,m (m un entero positiv~) de la ecuacion f(x) = 0, si f(o.) = 0, y.
Reclprocamente, su~IOIIS"
Taylor para f alrededor
t(ex):: O. Y