El número irracional Φ, una propuesta didáctica interdisciplinaria

UNIVERSIDAD DE LA FRONTERA
Facultad de Ingeniería, Ciencias y Administración
Departamento de Matemática y Estadística
El número irracional φ, una propuesta didáctica
interdisciplinaria
Tesis presentada para optar al grado de Magíster en Educación Matemática
Alumno: Daniel E. Sánchez Ibáñez
Profesor Guía: Raúl Benavides Gallardo
Septiembre 2012
Agradecimientos
Mis más sinceros agradecimientos son para mi profesora Rosa Eugenia Trumper
quien me otorgó la posibilidad y me ayudó en todo momento para poder enseñar
matemáticas en la Universidad Austral de Chile, labor que desempeño desde hace 5 años.
Sin sus conocimientos y experiencia no hubiera llegado a las instancias de realizar este
Magister en Educación Matemática y cambiar el rumbo de mi vida para trabajar como
profesor de matemáticas.
Cabe destacar también, la gran ayuda entregada por mi profesor guía, Sr. Raúl
Benavides y por el apoyo en todo momento de la Prof. Elena Olivos, ambos del cuerpo
docente del Magíster en Educación Matemática.
En especial, agradezco la paciencia y mucho amor entregado por mi mujer, Carola,
que me ayudó en todo momento para estar siempre alegre e feliz. Además, este trabajo fue
realizado con la mayor de las motivaciones gracias a mi querida hija, Alegría, a quien amo
mucho y me da felicidad día a día.
Finalmente, cabe mencionar que esta tesis de magíster está dedicada a mis padres,
Mónica e Iván, por haberme dado la oportunidad de vivir y darme muchas enseñanzas y
oportunidades para mi aprendizaje.
2
Resumen
Este estudio recopila, sintetiza y describe a un número irracional en particular,
denominado como número áureo o de oro y representado con el símbolo φ, desde
bibliografía y referencias, que establecen sus aplicaciones y singularidades a lo largo de la
historia de la humanidad hasta nuestros tiempos actuales.
Es entonces desarrollada, una temática que narra históricamente la aparición de este
número, su especial proporción involucrada, denominada como proporción divina o razón
áurea, y los aspectos formales matemáticos que lo envuelven. Con todo, se desarrollan
diversos problemas relacionados con el uso de algunas estrategias metodológicas de
enseñanza de la matemática con una actividad educativa final, de tipo taller, que permita
tanto a profesores como estudiantes de educación media, enriquecer su acervo cultural
matemático, utilizando por un lado, un software de geometría dinámica, como GeoGebra,
aplicado a la visualización experimental y didáctica de este número irracional en especial, y
por otro, establecer algunas relaciones con otros números irracionales cuyo desarrollo
metodológico específico, es descrito a través de este trabajo.
3
ÍNDICE
1. Introducción ............................................................................................... 6
2. Objetivo General ....................................................................................... 8
2.1
Objetivos Específicos ............................................................................ 8
3. Antecedentes y marco teórico................................................................. 10
El número φ en la historia ................................................................. 10
3.1
3.1.1
Antigua Grecia y Egipto .....................................................................................10
3.1.2
Edad Media y Renacimiento ..............................................................................13
3.1.3
Tiempos Modernos .............................................................................................16
3.2
La Razón Áurea o Divina Proporción ............................................... 18
3.2.1
Definición geométrica ........................................................................................18
3.2.2
El Rectángulo áureo ...........................................................................................19
3.2.3
El Pentágono regular y el triángulo áureo ..........................................................21
3.2.4
La razón áurea en la fisiología humana y la visión ............................................24
3.3
El número de oro desde un punto de vista matemático..................... 27
3.3.1
Ecuación general y números metálicos ..............................................................27
3.3.2
La sucesión de Fibonacci y su espiral ................................................................30
4. Problemas y desarrollos didáctico-matemáticos .................................. 33
4.1
Visualizando antiguas edificaciones áureas ...................................... 33
4.1.1
Problema N°1: Encontrar la relación entre las dimensiones del Partenón .......33
4.1.2
Problema N°2: Encontrar la relación entre las dimensiones de la Pirámide de
Keops ............................................................................................................................35
Proposición áurea de “Los Elementos” de Euclides ......................... 36
4.2
4.2.1
Problema N°3: Verificar geométricamente que “el área del cuadrado construido
sobre el segmento mayor es equivalente al área del rectángulo cuyos lados son el
segmento menor y toda la línea”, (sobre un segmento dividido en extrema y media
razón) ............................................................................................................................36
4.3
Otras formas de la sucesión de Fibonacci ......................................... 37
4.3.1
Problema N°4: Demostrar que el término general de la sucesión de Fibonacci
es:
............................................................................................................................37
4
Potencias de φ ..................................................................................... 39
4.4
4.4.1
Problema N°5: Probar que las potencias del número de oro cumplen la relación
 n   n 1   n 2 , para todo n>1 ....................................................................................39
4.4.2
Problema N°6: Investigar la existencia de una relación similar a la anterior con
las potencias del número de plata (n=2) y el número de bronce (n=3) .........................40
4.5
4.6
Comparando números descompuestos en fracciones continuas ...... 41
4.5.1
Problema N°7: Comparar las descomposiciones de los números irracionales e, π
yφ
............................................................................................................................41
El número áureo en polinomios de cuarto grado .............................. 45
4.6.1
Problema N°8: Visualizar las relaciones encontradas entre los puntos de
intersección de un polinomio de cuarto grado y una recta que pasa por los puntos de
inflexión de dicho polinomio ...........................................................................................45
5. Elaboración del Taller ............................................................................ 50
5.1
Introducción y beneficios de los talleres didácticos en GeoGebra ... 50
5.2
El Taller............................................................................................... 51
6. Conclusiones............................................................................................. 69
6.1
Conclusión General ............................................................................ 69
6.2
Conclusiones específicas .................................................................... 70
6.3
Propuestas y proyecciones .................................................................. 71
7. Bibliografía y referencias........................................................................ 72
7.1
Referencias bibliográficas .................................................................. 72
7.2
Referencia Web ................................................................................... 73
5
1.
Introducción
En cada momento de nuestro trabajo, como profesores, se presentarán escenarios
donde el alumno sabe que allí encontrará un número irracional 1, ¿pero dónde? Y esa parte
del hallazgo es la que nos brindará oportunidades para poner en marcha ciertas actividades
específicas, o no, de la matemática: plegar, trazar (regla y compás), medir, usar software
ad-hoc, calcular, buscar regularidades, conjeturar, demostrar.
Es justamente esta amplia variedad de actividades, no sólo matemáticas, que hará
entusiasmar de alguna manera a nuestros alumnos y alumnas, que por sus características,
son de por sí curiosos e indagadores.
Con este trabajo apostamos a potenciar un encuentro con el quehacer matemático,
entrelazando fuertemente la historia, el conocimiento y la práctica.
Dice Miguel de Guzmán: “el quehacer matemático es por naturaleza, eminentemente
comunicativo. Es arte, productor de belleza de la que hacemos a otros partícipes; es
ciencia, que explora la realidad en colaboración con otros; es herramienta, con la que se
puede dominar algunos aspectos interesantes de este mundo que compartimos; es juego,
del que se disfruta en compañía…….”
Además, se pretende ligar lo matemáticamente tradicional y exacto a lo
inconmensurable o no medible. En esencia, en muchas ocasiones, al obtener cierto
conocimiento y visualizar respuestas como ciertas por el resto de la sociedad, el hombre
tiende a conformarse e imitar lo realizado tantas veces sea necesario, ya que piensa, por
defecto, que siempre le dará resultado. Esta sucesión cotidiana se entrelaza con lo
tradicional de la comunidad en la que se encuentra el hombre inmerso y genera un gran
acostumbramiento.
1
Número real que no es racional, es decir, es un número que no puede ser expresado como una fracción.
6
Ahora bien, pensando en las matemáticas, como ciencias exactas, nos podemos
preguntar: ¿son bases sólidas, siempre medibles y sin ningún error? La respuesta es no, ya
que al igual que en muchas otras ciencias aplicadas, las matemáticas, presentaron
históricamente fragilidades, baches y caídas de las cuales el hombre ha logrado y sigue
intentando superar. Por ejemplo, remontándonos muchos siglos atrás, para los pitagóricos
(de la escuela pitagórica), toda la naturaleza podía ser representada por números, pero
cuando el triángulo rectángulo, cuyos catetos son igual a 1, generó una hipotenusa igual a
, apareció un profundo descontento entre ellos, pues la representación geométrica de los
números debería trasmitir armonía y felicidad, y esa extraña diagonal podía ser trazada pero
no podía ser medida, era inconmensurable. Así, y debido al misticismo que predominaba
entre los pitagóricos, el descubrimiento de un número como
fue guardado en secreto, y
lo llamaron de “indivisible”. Se cuenta que Hipasos, discípulo de Pitágoras, reveló el
escándalo y fue asesinado. Además, otros, que se arriesgaron a contar tal revelación,
murieron en un naufragio2.
Actualmente: ¿es para nosotros extraño el símbolo
y lo que representa? Lo más
probable es que no, ya que se presenta como un conocimiento general básico (verificable
con el Teorema de Pitágoras en un triángulo rectángulo) en muchas sociedades y pasa a ser
parte, ahora, de algo cotidiano y tradicional.
Con todo lo anterior, podemos obtener muchas conclusiones acerca de cómo abordar
los “nuevos” y los “antiguos” conocimientos, sea cual sea el área de estudios, ya que nos
abundan e invaden en esta época súper tecnológica de la historia de la humanidad,
utilizarlos sabiamente (lo cual no implica tener un pensamiento limitado) y nunca
“acostumbrarnos” creyendo que serán por siempre válidos.... y medibles.
2
Ejemplo sobre los pitagóricos extraído desde “A matematica na arte e na vida” de Paulo Martins Contador, 2da Edición.
Editora Livraria da Fisica, Sao Paulo, Brasil, 2011.
7
2.
Objetivo General
A través de este trabajo, queremos estudiar fundamentalmente, un número irracional
particular, simbolizado por φ, llamado número áureo o de oro. Desde su aparición histórica
y su representación geométrica, intentaremos descubrir y describir en una amplia gama de
ejemplos y problemas la presencia de valores aproximados a ese número en diferentes
ámbitos interrelacionados como el arte, la biología y la matemática en si misma.
Por otro lado, pretendemos desarrollar una serie de actividades lúdicas integradas en
un taller didáctico experimental diseñado para alumnos y/o profesores de educación
media, sobre el número de oro, sus relaciones con otros números y que en cuanto a su uso
en el aula, pueden considerarse actividades integradoras, por las relaciones horizontales y
verticales establecidas con otras asignaturas y con otros contenidos de la propia
matemática.
2.1

Objetivos Específicos
Realizar una recopilación e investigación bibliográfica sobre el origen histórico y
estudios actuales (libros, papers, tesis antiguas y/o páginas web) con respecto a la
razón áurea y el número de oro (mitológica y matemáticamente).

Evidenciar la construcción de formas geométricas armónicas (triángulo, rectángulos,
pentágono y espiral), utilizando la razón áurea, y visualizar su representación artística
y arquitectónica.

Presentar las bases explícitamente matemáticas que envuelven al número de oro y su
representación como ecuación algebraica (y su asociación a los números metálicos),
en una sucesión (de Fibonacci) y en forma exponencial (potencias).
8

Desarrollar problemas matemáticos que involucren al número de oro y muestren los
desarrollos matemáticos necesarios que conlleven a resultados llamativos sobre este
número.

Crear y/o modificar actividades lúdicas y confeccionar con ellas un taller didáctico
experimental que incluya desarrollos en un software dinámico libre, como GeoGebra,
con experiencias y posibles resultados que evidencien las principales características y
formas de visualización del número áureo.
9
3.
Antecedentes y marco teórico
3.1
El número φ en la historia
El número φ, así como muchas otras temáticas y aspectos ligados a la matemática, se
origina sobre un contexto histórico que nos lleva a preguntarnos si ¿fue creado por el
hombre? o bien, si ¿fue descubierto por el hombre y extraído desde la naturaleza?. Sin
embargo, lo que sí podemos afirmar es que ambas preguntas son difíciles de responder y de
separar como posibles causas independientes.
A continuación, será presentada una sinopsis histórica que abarca a algunos (no
todos) grandes personajes que de alguna u otra manera conocieron, admiraron y/o utilizaron
el número φ.
3.1.1 Antigua Grecia y Egipto
Nuestra primera aproximación a este número, la encontramos ligada a grandes
construcciones realizadas por arquitectos griegos y egipcios en tiempos anteriores al
nacimiento de Cristo. En ambas civilizaciones se buscaba la majestuosidad y a la vez la
belleza estética en sus templos lo que conllevó a la aparición de ciertas geometrías
estructurales que permitieron ir visualizando una proporción particularmente armoniosa
ligada directamente al número de oro φ, denominada razón áurea o proporción divina3.
La moderna denominación φ, la efectuó en 1900 el matemático Mark Barr en honor
al escultor y arquitecto Fidias (490 - 430 A. C.) ya que ésta era la primera letra de su
nombre escrito en griego. Este honor se le concedió a Fidias por el máximo valor estético
atribuido a sus esculturas, y porque utilizó la razón áurea en la construcción del Partenón
3
La proporción es una relación entre dos magnitudes cuantificables (en estos casos de alturas, anchuras y/o largos de las
construcciones). El nombre de proporción divina se debe a que tales edificaciones justamente proporcionan armonía y
majestuosidad, a estos templos asociados a dioses y divinidades en estas culturas.
10
(Figuras N°1 y N°2), que es de las más importantes, imponentes y antiguas construcciones
realizadas por el hombre, cuyas ruinas aún se mantienen en nuestros tiempos.
Figura N°1 y N°2: Ruinas a del Partenón y rectángulo áureo en su fachada frontal.
Esta construcción, el Partenón, es uno de los ejemplos más claros del saber en
geometría por parte de los matemáticos y arquitectos griegos ya que lograron obtener el
efecto visual más estético, armonioso y majestuoso con certeras alteraciones geométricas en
su construcción. Es así, que es posible visualizar entre otras características, por ejemplo,
que su fachada frontal queda inserta, aproximadamente, dentro de un rectángulo áureo4.
Se ha encontrado, también el número φ presente en obras del antiguo Egipto. Esto
debido a que los egipcios se basaban en las medidas humanas para proyectar sus
construcciones (luego veremos la relación de la fisiología humana y este número). Así
entonces, se encuentra que en la gran pirámide de Keops (Figuras N°3 y N°4) la relación
entre su altura y la mitad de un lado de su base es, aproximadamente φ.
La pirámide de Keops fue construida hace 4500 años, y es una de las primeras
aplicaciones arquitectónicas en la que encontramos al número φ. Como mencionamos
anteriormente, no necesariamente implica que los egipcios conocieran φ, si no que, en una
búsqueda de relaciones armoniosas, “casualmente” dieron con una que envuelve a este
número.
4
Rectángulo Áureo es aquel rectángulo cuyo lado mayor dividido en su lado menor es aproximadamente el número φ (se
detallará su construcción más adelante).
11
Figura N°3 y N°4: Pirámide de Keops y Relación de la pirámide con el número φ.
Ahora bien, dentro del contexto formal, a lo que nos conduce este trabajo, podemos
encontrar que la primera publicación oficial hallada y que involucra el número φ, sin ser
descrito como tal, se encuentra en el clásico Los Elementos5 de Euclides, que data del año
300 a. C. aproximadamente. Ahí, se define y se formaliza una proposición, pero en ambas,
se habla de una forma geométrica de dividir o cortar una recta de tal manera que sus lados o
formas que genere con ellas se encuentren en una determinada proporción o razón (que es
la razón áurea, como cociente entre las longitudes de los segmentos de recta resultantes
luego de la división).
Cabe destacar, que como en muchos otros temas científicos y matemáticos el número
φ (como tal o como proporción) era conocido en la antigua Grecia y que Euclides, en la
Universidad de Alejandría, y en particular en el tratado Los Elementos, (Figura N°5), diseña
una brillante síntesis de geometría, álgebra y aritmética recopilada en especial desde la
escuela pitagórica entre 570 - 480 a. C. aproximadamente.
5
Página web con ilustraciones y actualizada de
http://www.euclides.org/menu/elements_esp/indiceeuclides.htm
12
“Los
Elementos”
de
Euclides,
disponible
en
Figura N°5: Fragmento de los Elementos de Euclides, datado hacia el año 100 A. C. El diagrama acompaña la
Proposición 5 del Libro II.
3.1.2 Edad Media y Renacimiento
Posterior al nacimiento de Cristo y durante casi toda la Edad Media ocurre un
estancamiento general del desarrollo obtenido por los griegos y civilizaciones del medio
oriente con respecto a las matemáticas y en directa manera del número φ. Esta
“paralización científica” fue influenciada directamente por el fervor e imposición religiosa
y también por guerras entre los principales imperios y civilizaciones existentes (que
conllevan, por ejemplo, a la pérdida de libros al ser quemados en las invasiones).
Sin embargo, durante este periodo oscuro y bélico existieron ciertos personajes
(muchos de ellos clérigos, debido a su fuerte posicionamiento social en esos tiempos) que
de alguna manera u otra fueron conservando y transmitiendo de generación en generación
bases mínimas y útiles de las matemáticas, haciendo hincapié en la geometría ya que era
aplicable directamente en sus construcciones (como templos religiosos).
Uno de estos personajes, un matemático italiano, llamado Leonardo de Pisa (1175 1240), conocido como Fibonacci, (Figura N°6), se destaca en este periodo debido
principalmente a su pensamiento sin prejuicios, su conocimiento de otras culturas y su
13
profundización de varios asuntos matemáticos. La vinculación de Leonardo de Pisa con el
número φ surge de la relación directa entre su conocida sucesión6 (de Fibonacci) ya que la
razón entre dos sucesivos términos de ésta se aproxima al número φ.
Figuras N°6 y N°7: Retratos de Leonardo de Pisa (Fibonacci) y Leonardo da Vinci.
Luego del aletargado periodo medieval, surge en Europa un florecimiento espiritual y
científico que conlleva a un período de revolución cultural denominado como
Renacimiento. Es así, que un fraile llamado Luca di Borgo (nacido en 1445), más conocido
como Luca Pacioli, utiliza el número φ en su libro "De Divina Proportione" (la Divina
Proporción) término relativo a la razón o proporción ligada al denominado número áureo o
número de oro. El nombre de “número de oro” se debe al notable pintor italiano Leonardo
da Vinci, (Figura N°7), quien trabajó en las ilustraciones del libro de Pacioli, mencionado
anteriormente, y que se publicó en 1509. Es así que el número áureo, se junta al interés
matemático y el interés artístico de Leonardo y para numerosos otros artistas representando
la máxima expresión de la belleza, como la “proporción perfecta”, apareciendo en
innumerables edificios y obras de arte desde la antigüedad hasta nuestros días.
6
Más detalles de ésta sucesión y sus particularidades son presentados más adelante
14
Una representación muy conocida y que involucra el número áureo es ilustrada
magníficamente por Leonardo Da Vinci en el “Hombre de Vitrubio”. En esta obra se
representa explícitamente, entre otras proporciones, a la razón áurea en muchas secciones.
Una evidencia importante se establece comparando la altura total de la persona con la que
hay hasta su ombligo (Figura N°8) o como las falanges dividen el dedo según la razón
áurea. Además, existen también otras proporciones áureas en pies, brazos y en la división
entre la distancia del ombligo a los pies con la del ombligo a la cabeza, donde también se
obtiene, aproximadamente φ.
ht
ho
Figura N°8: El hombre de Vitrubio, Leonardo da Vinci, 1487.
15
3.1.3 Tiempos Modernos
Posterior al Renacimiento existen muchos autores entre matemáticos o artistas que
utilizan el número áureo y su proporción asociada. Cada uno de ellos aporta en gran medida
a la visualización científica y arquitectónica formal de este número irracional. Entre los
principales personajes que se destacan en este periodo se encuentra a Martin Ohm,
matemático alemán, que escribió sobre la sección áurea en 1835 en su libro "Die reine
elementar-mathematik", también fue el primero en utilizar la denominación “phi” en honor
a Fidias para este número. Luego, el filósofo alemán, doctor en filosofía y profesor, Adolf
Zeising (1810 - 1876), estudió la proporción áurea desde el punto de vista estético y
arquitectónico, buscando esta proporción en los monumentos clásicos. Se menciona que es
él quien introduce el lado mítico y místico del número φ. Otro personaje interesante fue
Matila Ghyka, rumano y último príncipe de Moldavia reinante, quien se destacó por un
exhaustivo estudio de la sección áurea, en la arquitectura y la naturaleza, a la cual fueron
dedicados voluminosos textos con títulos, por ejemplo, como “Esthétique des Proportions
dans la Nature et dans les Arts”, traducido como “Estética de las proporciones en la
naturaleza y en las artes”, de 1927.
Sin embargo, uno de los principales personajes de esta época que estudió y difundió
al número de oro, fue el arquitecto Suizo-Francés Charles Édouard Jeanneret-Gris,
conocido como “Le Corbusier”. Siendo considerado uno de los arquitectos más influyentes
del siglo XX, Le Corbusier ideó el “Modulor”, (Figura N°9), que era un sistema de medidas
arquitectónico basado en las proporciones humanas, en que cada magnitud se relaciona con
la anterior por el número áureo φ. Fue desarrollado entre los años 1948 a 1953 y de esta
forma retomaba el ideal antiguo (de griegos y egipcios) de establecer una relación directa, a
través del número áureo, entre las proporciones de los edificios y las del hombre.
16
Figura N°9: El “Modulor” de Le Corbusier.
Finalmente, podemos mencionar que durante este periodo de tiempos modernos
muchos artistas plásticos y pintores han utilizado de alguna manera u otra la armonía,
belleza y estética presentada por el número áureo, lo cual quedará establecido en los
siguientes capítulos.
17
3.2
La Razón Áurea o Divina Proporción
Como hemos mencionado en las secciones anteriores, el significado de “Razón
Áurea” o “Divina Proporción” corresponde a la denominación que se ha dado para aquella
proporción entre dos magnitudes medibles, como forma geométrica o bien en
construcciones que genera, premeditadamente o no, el número φ. Se denomina “de oro” por
su armonía y belleza, tal como lo hace este metal como pieza de adorno en construcciones y
en humanos y de ahí la propuesta de nombrarla (a la razón) como áurea (que viene de
dorado como el oro). Ahora bien, lo “divino” se debe a la asociación mística de
construcciones, como templos o iglesias, hacia las divinidades (de ahí lo “divino”) de
antiguas civilizaciones.
A continuación, se presentará una definición formal de la razón áurea y luego algunas
construcciones de formas geométricas muy utilizadas en la arquitectura y el arte
3.2.1 Definición geométrica
La definición formal de la Razón Áurea aparece en la el Libro VI (definición 3), de
Los Elementos de Euclides, como: “Se dice que una recta” (finita) “ha sido cortada en
extrema y media razón cuando la recta entera es al segmento mayor como el segmento
mayor es al segmento menor”.
Tal definición, puede tratarse como un problema que se resuelve con regla y compás
(que era la manera eficaz y popular de resolver los problemas matemáticos antiguamente en
tiempos de los Bernoulli y Euler, entre otros). Así, dado un segmento AB de longitud l se
dice que un punto M lo divide en “media y extrema razón” si se verifica la siguiente
relación:
ab a

a
b
18
Siendo l  a  b , a el lado mayor y b el lado menor del segmento AB cortado en el
punto M. Lo anterior, se representa en forma gráfica como sigue (Figura N°10):
b
a
l=a+b
Figura N°10: Segmento dividido en media y extrema razón.
De tal división, se cumple que l  a    1, 61803 . Una construcción en software de
a
b
este segmento y su partición en media y extrema razón, aparece en la actividad N°1 del
taller didáctico a realizar.
3.2.2 El Rectángulo áureo
El rectángulo áureo es un paralelógramo, con ángulos interiores rectos, cuyo lado
mayor es al lado menor, en proporción, igual al número φ, (Figura N°11). Este rectángulo
es posible de construir usando regla y compás. Una construcción en software aparece en la
actividad N°2 del taller didáctico a realizar.
Figuras N°11: Rectángulo Áureo construido en software GeoGebra.
19
Cabe destacar, que las medidas de los lados no son únicas ya que lo importante es la
proporción entre ellas, la cual genera el número áureo.
Como hemos mencionado brevemente, en los capítulos anteriores, el rectángulo áureo
comienza a aparecer en muchas construcciones y obras de artes como esculturas y pinturas,
desde ya la antigua Grecia (ya vimos el rectángulo áureo en la fachada del Partenón, en
Figuras N°1 y N°2) hasta nuestros tiempos modernos.
A modo de ejemplo, podemos a continuación apreciar el rostro de la Gioconda de
Leonardo da Vinci, en el cual se inscribe un rectángulo áureo (Figura N°12) para
contemplar y comprobar subjetivamente su armonía y estética.
Figuras N°12 y N°13: La Gioconda de Leonardo da Vinci, y Edificio de la ONU en Nueva York, Estados Unidos.
Una construcción moderna que representa muy gráficamente al rectángulo áureo es el
edificio de la ONU de Nueva York que es un rectángulo áureo que a su vez tiene marcas
distintivas lo dividen, de nuevo, según la razón áurea (Figura N°13).
20
Además, aprovechando su armonía y belleza “natural”, el rectángulo áureo ha sido
utilizado, actualmente, en objetos comerciales como avisos publicitarios y, entre otros, en
las tarjetas de crédito (Figura N°14):
8, 26
 1, 607  
5,14
Figura N°14: Proporciones áureas en tarjeta de crédito.
3.2.3 El Pentágono regular y el triángulo áureo
El pentágono regular está muy ligado al número áureo, ya que al trazar sus
diagonales se encuentran relaciones entre ellas y en los triángulos interiores que se forman,
como se presentan a continuación (Figura N°15).
Figura N°15: Pentágono Regular y triángulos áureos, construido en GeoGebra.
21
Podemos visualizar que se forman dos tipos de triángulos áureos (un tipo son los dos
triángulos en amarillo, y el otro es un tercer triángulo destacado en celeste, desde la Figura
N°16). Así, se tienen dos triángulos isósceles cuya proporción entre su base y uno de sus
lados congruentes generan al número φ. La asociación directa de este par de triángulos la
podemos encontrar en un famoso cuadro del pintor español Salvador Dalí llamado “Cristo
de San Juan de la Cruz” y que fue realizado en 1951.
Figura N°16: Imagen del “Cristo de San Juan de la Cruz”, de Salvador Dalí.
22
Es muy probable que, debido a lo místico y divino asociado a la razón áurea, el
pentágono o más bien el pentagrama asociado a éste (estrella de cinco puntas inscrita en un
pentágono regular) fuese utilizada en muchas culturas como símbolo religioso o de
sociedades, como la escuela pitagórica (Figura N°17) y de ahí a que se le conozca también
como estrella pitagórica.
Figura N°17: Manuscrito griego de los siglos XI-XII donde se visualiza el pentagrama místico de los pitagóricos.
Existe otro tipo de triángulo, igualmente asociado a la razón áurea llamado
“Triángulo de Kepler”, en honor a su descubridor Johannes Kepler (1571 - 1630), que fue
un astrónomo alemán y que consideró al numero φ como uno de los grandes tesoros de la
geometría. El triángulo de Kepler es rectángulo y combina dos conceptos clave de la
matemática, el teorema de Pitágoras y el número áureo, ya que sus lados están en la
proporción 1:  :  , y por lo tanto, se cumple que:
23
2   1
Esta expresión matemática es el polinomio característico o ecuación general del
número áureo que detallaremos más adelante. El área de los cuadrados construidos sobre
los catetos e hipotenusa formados en este triángulo son presentados a continuación (Figura
N°18).
φ

1
Figura N°18: Triángulo de Kepler y área formada por sus catetos.
3.2.4 La razón áurea en la fisiología humana y la visión
Además de apreciar a la razón áurea de modo geométrico-arquitectónico es posible
encontrarla en la naturaleza y en específico en el cuerpo humano. Es así, que ya en el siglo
XX, un destacado investigador del número de oro, llamado Zeysing (nacido en 1850)
realiza investigaciones y observa el crecimiento en los seres humanos, de ambos sexos, y
establece una ley estadística (“Proportional Gesetz”) que fija una proporcionalidad
aparente entre las partes del cuerpo en 13 8  1, 625 para el hombre y 8 5  1, 6 para la
mujer. Estas dos relaciones son próximas (o bien, como cotas superior e inferior) a
  1, 61803 y además tienen números pertenecientes a la sucesión de Fibonacci (que
veremos más adelante).
24
Cabe mencionar, como ya fue descrito en el “Hombre de Vitrubio” por Leonardo da
Vinci, que es posible evidenciar la razón áurea en las falanges de la mano humana (Figura
N°19).
A B
    1, 61803
B C
Figura N°19: Proporciones áureas en falanges de la mano.
Los trabajos de Zeysing fueron ampliados por Sir Th. Cook en “The Curves of Live”
y por Gustav Theodor Fechner, el inventor de la Psicología física, cuando en 1876, realizó
una secuencia de experiencias de estadística estética, solicitando a muchas personas que
eligieran entre diferentes rectángulos concluyendo que la mayoría se inclinó hacia el
rectángulo áureo.
Esto es una suerte de confirmación de una ley expresada por Zeysing que decía
“para que un objeto sea considerado bello desde el punto de vista de la forma debe haber
entre la parte menor y la mayor la misma relación que entre la mayor y el todo”.
Por otro lado, utilizando los ángulos promedio de visión horizontal y vertical del ojo
humano, más el teorema del seno en triángulos formados por estas líneas de visión, se ha
podido establecer que la zona donde la visión humana es más cómoda (no en los bordes
límites) tiene proporciones, aproximadamente, áureas. Así, por ejemplo, es posible insertar
un rectángulo áureo en la zona de estereovisión que es la zona de dominio simultáneo de
ambos ojos (Figura N°20).
25
Zona visión
ojo izquierdo
Rectángulo
áureo
Rectángulo
áureo
Zona visión
ojo derecho
Figura N°20: Zonas de visión humana y relación con las proporciones áureas.
26
3.3
El número de oro desde un punto de vista matemático
Conocida la construcción geométrica del número φ, es posible además encontrarlo
definido algebraicamente, por una ecuación o bien al calcular el límite de una sucesión.
Estos dos y otros puntos de vista matemáticos de definición, más sus características y
aplicaciones son presentados a continuación.
3.3.1 Ecuación general y números metálicos
El número φ es notable por estar entre los números que se definen por una
proporción, que son raíces de ecuaciones algebraicas y que no son posibles de representar
como cociente de dos números enteros. Por lo tanto, se clasifican como números
irracionales algebraicos.
En el siglo XX se han estudiado otros números irracionales algebraicos que por la
forma como se definen constituyen una generalización del número de oro. Son los llamados
“Números Metálicos” que se pueden definir como las raíces positivas de la ecuación
cuadrática:
x 2  Nx  1  0  x 
N  N2  4
2
Precisamente, se tiene que para N = 1 obtenemos el número de oro, luego con N = 2
el de plata y así sucesivamente, como se presenta a continuación:
N 1
(oro)
N 2
(plata)

1 5
 1, 61803
1  12  4 1  5
2
x


2
2
1 5
 0, 61803
2

x
1  2  2, 41421
2  22  4 2  8

 1 2 
2
2
1  2  0, 41421
27
N 3

(bronce)
N 4
(cobre)

x
3  13
 3,30277
3  3  4 3  13
2
x


2
2
3  13
 0,30277
2
2
2  5  4, 23606
4  42  4 4  20

 2 5 
2
2
2  5  0, 23606
Tal como el rectángulo áureo (de oro), es posible construir geométricamente el
rectángulo de Plata, el rectángulo de Bronce, etc. Este conjunto de rectángulos se les ha
denominado como los “Rectángulos Metálicos”.
Figura N°21: Rectángulos metálicos construidos en GeoGebra.
28
Existe un aspecto muy interesante sobre los números metálicos que se genera al
descomponer éstos en fracciones continuas, estableciendo así una interesante propiedad.
Como explicación a la descomposición en fracciones continuas, se expondrá a
continuación la descomposición del número 14 y su notación definida por los coeficientes
5
enteros que aparecen:
14 10  4 10 4
4
1
1
1

   2  2  2
 2
  2,1, 4
5
4 1
1
5
5
5 5
5
1
4
4
4
En efecto, y como visto anteriormente, si tomamos la ecuación cuadrática
x 2  Nx  1  0 , con N = 1 se obtiene el número de oro como solución positiva. Si
asumimos
x0
y dividimos ambos miembros de dicha ecuación (con N = 1) obtenemos:
x2  x 1  0

x 1 
1
0
x

x  1
1
x
Ahora bien, si remplazamos iteradamente el valor de “x” en el miembro derecho se
obtiene:
1
x  1
 1,1,1,
1
1
1
   1   
1
 
Como los coeficientes “1” se repiten indefinidamente aparece la notación 1 (que
significa periódico puro, ya que es un solo número el que se repite) y podemos formalizar
otra definición del número áureo como descompuesto en fracciones continuas periódica
pura.
29
Análogamente, resolviendo la ecuación cuadrática x 2  Nx  1  0 , con N = 2 se
obtiene el número de plata como solución positiva y descompuesto en fracciones continuas
se obtiene:
x2  2x 1  0  x  2 
1
1
1
 0  x  2  2
  2, 2,
x
x

1 
2

 

   2 
En resumen, resolviendo ecuaciones cuadráticas del tipo x 2  Nx  1  0 , con N
natural, se obtienen como soluciones positivas miembros de la familia de números
metálicos cuya descomposición en fracciones continuas es periódica pura, de la forma:
x   N 
3.3.2 La sucesión de Fibonacci y su espiral
Esta sucesión fue descrita en Europa por Leonardo de Pisa, matemático italiano del
siglo XIII (ya descrito en el primer capítulo) y que es más conocido como Fibonacci
(diminutivo de hijo de Bonacci que era el apodo de su padre). Esta sucesión tiene
numerosas aplicaciones en ciencias, ya que aparece en configuraciones biológicas, como
por ejemplo, en las ramas de los árboles y en el crecimiento poblacional de conejos
(problema inicial que plantea y aplica la sucesión Fibonacci), entre muchas otras.
Desde el punto de vista matemático, la sucesión de Fibonacci ( Fn ) es una sucesión
infinita de número naturales definida como:
Fn  Fn 1  Fn  2
; n
/ n  2 ; F1  1 y
F2  1
Así, la secuencia de números que se forman (llamados elementos o términos de
Fibonacci), como suma de los dos anteriores, es:
30
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, ...
La importancia de esta sucesión tiene que ver con la convergencia del cociente entre
dos sucesivos términos de ella. Si se denota el n-ésimo término de Fibonacci como Fn , y al
siguiente, como Fn 1 , descubrimos que, a medida que n aumenta, esta razón oscila, y es
alternadamente menor y mayor que la razón áurea.
1
2
3
5
8
13
21
34
55
89
 1 ;  2 ;  1,5 ;  1, 6 ;  1, 6 ;
 1, 625 ;
 1, 6153 ;
 1, 6190 ;
 1, 6176 ;
 1, 6181
1
1
2
3
5
8
13
21
34
55
Fn 1

n  F
n
Es posible conjeturar que: lim
Además, con los mismos números de la sucesión de Fibonacci, veremos que es
posible construir una curva especial en forma de espiral, que es una buena aproximación de
una espiral logarítmica, la cual se construye geométricamente a través de cuadrados de lado
igual a los términos de su sucesión (Figura N°22):
Figura N°22: Espiral de Fibonacci construida en GeoGebra.
31
Ahora bien, esta espiral se aproxima a la espiral áurea que se construye con una
iteración de rectángulos áureos (actividad del taller propuesto), lo cual podemos observar a
continuación:
Figura N°23: Espiral Áurea construida en GeoGebra.
Lo maravilloso de estas espirales es que representan a muchos fenómenos físicos de
la naturaleza. Por ejemplo, en la estructura de conchas de moluscos como el “nautilus”, en
la forma de tornados, huracanes y galaxias, en la disposición del polen en el corazón de
ciertas flores y en el vuelo en descenso de un halcón hacia su presa, entre otras
espectaculares semejanzas (Figuras N°24 y N°25).
Figuras N°24 y 25: Imagen de una Galaxia y “corazón” de un girasol.
32
4.
Problemas y desarrollos didáctico-matemáticos
En este capítulo se expondrán algunas comprobaciones, demostraciones y actividades
lúdico-matemáticas creadas y/o modificadas sobre los antecedentes y marco teórico,
descrito en el capítulo anterior.
4.1
Visualizando antiguas edificaciones áureas
Comenzaremos comprobando si las antiguas edificaciones revelan las dimensiones
del número de oro en sus construcciones. En primer lugar, intentaremos verificar si la
fachada del Partenón está inmersa dentro de un rectángulo áureo. Las dimensiones exactas
no son fáciles de encontrar en bibliografía y referencias pero, en general, y
aproximadamente, se establecen las siguientes7:
 Largo de la planta de 69,5 metros.
 Ancho de la planta 30,88 metros
 La altura máxima se estima en unos 13,72 metros (en centro de la fachada).
 Altura de columnas 10,43 metros, media.
4.1.1 Problema N°1: Encontrar la relación entre las dimensiones del Partenón
Según dimensiones dadas, la razón con la cual fue diseñado, aparentemente, el
Partenón fue de r  9 : 4 , lo cual es verificable ya que:
ancho
largo
30,88
69,50
9
 2, 25 ,
 2, 25 y
 2, 25
13,72
30,88
4
alto
ancho
7
Referencias sobre las dimensiones del Partenón en http://www.metrum.org/key/athens/dimensions.htm y
http://www.mlahanas.de/Greeks/Arts/Parthenon.htm (adicionalmente esta última página presenta un video magnifico de la
historia de construcción y reconstrucciones del Partenón).
33
Con lo cual no se establece la razón áurea. Sin embargo, tal relación expresa las
medidas rectangulares del edificio sin contar con su techo y sus peldaños de acceso. Una
aproximación de medidas sobre una foto actual y con buena resolución se presenta a
continuación (Figura N°26):
≈3,54
1
0
,
4
3
1
3
,
7
2
≈1,83
Figura N°26: Fachada del Partenón y medidas (en metros), aproximadas.
Así, tomando en consideración el techo triangular más todos los peldaños, la altura
que impone el Partenón es de 19,09 metros, aproximadamente, con lo cual:
ancho
30,88
 1, 6176  
19, 09
alto
Siendo esta última, una explicación a la asociación de esta edificación con el número
de oro, ya que de esta forma, se puede insertar un rectángulo áureo en torno a su fachada
(presentadas en Figuras N°1 y N°2).
34
En segundo lugar, verificaremos si la Pirámide de Keops, presenta similitudes en sus
relaciones dimensionales con el número áureo. El egiptólogo británico Sir William
Flinders, hizo el estudio más detallado realizado hasta el momento acerca del monumento,
siendo sus dimensiones las siguientes8:

Altura actual de 136,86 metros (altura original de 146,61 metros)

Pendiente: 51º 50' 35"

Media de la longitud de los lados de la base de 230,347 metros.
4.1.2 Problema N°2: Encontrar la relación entre las dimensiones de la Pirámide de
Keops
Según las dimensiones dadas, un triángulo formado en el centro de la pirámide
tendría las siguientes dimensiones (Figura N°27):
Figura N°27: Representación transversal triangular interna de las dimensiones de la pirámide de Keops,
construida en GeoGebra.
8
Extraído desde http://es.wikipedia.org/wiki/Gran_Pir%C3%A1mide_de_Guiza
35
Así, observamos que la razón áurea aparece cumpliéndose las relaciones tal como
nuestros antecedentes lo establecían (equivalentes hasta 3 decimales).
4.2
Proposición áurea de “Los Elementos” de Euclides
En el capitulo anterior (subcapítulo 3.2.1), fue descrita la definición geométrica
formal de la razón áurea tal como aparece en el libro “Los elementos” de Euclides. Ahora
bien, en el libro VI, aparece una proposición (la número 30) que señala otra definición de la
proporción áurea, presentada en el siguiente problema:
4.2.1 Problema N°3: Verificar geométricamente que “el área del cuadrado
construido sobre el segmento mayor es equivalente al área del rectángulo cuyos lados
son el segmento menor y toda la línea”, (sobre un segmento dividido en extrema y
media razón)
Se construye, sobre un segmento dividido en media y extrema razón, un cuadrado y
un rectángulo, siguiendo las indicaciones del texto presentado en el problema y se visualiza
como sigue (Figura N°28):
Figura N°28: Representación de la Prop. N°30, libro VI de Los Elementos, construida en GeoGebra.
36
Sea cual sea la medida del segmento, se comprueba que las áreas del cuadrado y
rectángulo construidos tienen igual valor numérico (esto se visualiza moviendo cualquiera
de los dos puntos originales del segmento, en un software geométrico-dinámico como
GeoGebra). Podemos comprobar algebraicamente, definiendo que el segmento todo tenga
longitud igual a “ x  1 ”. Así: se tiene la siguiente relación:
x
1
x

x x 1
1
Por lo tanto, el área del cuadrado
A 

sobre el lado mayor de la división del
segmento (en media y extrema razón) y el área del rectángulo  A
A  x2
4.3

x2  x  1
A  1  x  1  1  x

son:
  A A
Otras formas de la sucesión de Fibonacci
La sucesión de Fibonacci, asociada con el número áureo, visto en el capítulo anterior,
se conoce generalmente a través de una fórmula general que entrega el valor de cada
término según el valor de los dos términos anteriores. Sin embargo, es sabido que es
posible establecer una fórmula general para los sucesivos elementos de una sucesión.
4.3.1 Problema N°4: Demostrar que el término general de la sucesión de Fibonacci
es:


n
n

1  1 5   1 5  

Fn 
 
 
5   2   2  



1


Haremos la demostración por Inducción Matemática, tomando como antecedente a
nuestra definición inicial de la sucesión de Fibonacci:
37
Fn  Fn 1  Fn  2
; n
/ n  2 ; F1  1 y
F2  1
Primero verificamos que para n=3, (nuestro primer término) se verifica el tercer
elemento de la sucesión como sigue:

 

3
3
3
3 
1   1  5   1  5   1  1
F3 
1 5  1  5 

  
 

5  2   2  
5 8



2
3
1  3
2
3
2

 1  3 1  5  3 1 5  5  1  3 1   5  3 1  5

8 5
1

1 3 5  35  5 5  1 3 5  35  5 5
8 5

1
8

  

 
1  3
5
que Fk 1 



   5   
2
3


5  15  5 5  1  3 5  15  5 5 
Luego, asumimos como verdadera a
 
1
8
6
5

5  10 5 
16 5
8 5
2
k
k
1   1  5   1  5  
Fk 

 

5   2   2  


y demostraremos
k 1
k 1
1 5  
1   1  5 




  también lo es.
2  
5   2 



Tomamos el antecedente original y lo asumido como hipótesis ( Fk ):
Fk 1  Fk  Fk 1

k
k
k 1
k 1
1 5  
1   1  5   1  5   1   1  5 


 
 

  
 
2  
5   2   2  
5   2 





k
k
k
1
k
1
1 5  1 5  
1   1  5   1  5   1  5   1  5 

  
  
 
  
 
 
5  2   2   2   2 
 2   2  

k
k
k
k
1   1  5  
2  1 5  
2   1   1  5   3  5   1  5   3  5  


 1 
 1 

 

 


 
5   2   1  5   2   1  5  
5   2   1  5   2   1  5  









k
k
1  1 5   3  5 1 5   1 5   3  5 1 5  




 
  
 

5   2   1  5  1  5    2   1  5  1  5   






1


1


38


 

k 
3  5 1 5
1 1 5  

 
 
5  2  
2 3 5


k 


1 1 5   1 5   1




  2
2
5   2  











k 
 1 5   3  5 1 5  
   2  

 
2 3 5
 




k 
k 1
k 1

1 5  
5   1  5   1   1  5 








 2  
 
2
5   2 
 









Por lo tanto, se comprueba que es posible describir el término general de la sucesión
de Fibonacci, en función del número de oro:


n
n





1
1 5
1 5  1 
n
n

Fn 

   1    
 
  


5  2   2  
5



1


4.4
Potencias de φ
Desde la ecuación algebraica que define a nuestro número de oro x 2  x  1  0 se
infiere que φ es solución de la misma y por lo tanto cumple:
 2   1  0   2    1
4.4.1 Problema N°5: Probar que las potencias del número de oro cumplen la
relación  n   n 1   n 2 , para todo n>1
Primero probamos la relación:
 2    1 / 
 ya que   0 
 3  2 
 3   2   /    4   3   2
 n 1   n  2   n 3 /    n   n 1   n  2
39
Sin embargo, lo importante podría ser el resultado que generan estas potencias (desde
 n   n 1   n 2 ):
1
n  1   1   0   1
n  2   2  1   0
1
n  3   3   2  1
nk
1
   1

  2   1   2   1  0   
1 5
2
1 5
2
1

5
   2    1  0    0   
2
  2   1   2   1  0   
  k   k 1   k  2
 k 
  k  2    1  0 

k k

 2
k
  k  2   k 1   k

1 5 
 0    0     

2 

Con lo cual, descartando una solución trivial igual a cero, se obtiene siempre el
número de oro y su “conjugado” (   1  5 y 1    1  5 ).
2
2
4.4.2 Problema N°6: Investigar la existencia de una relación similar a la anterior
con las potencias del número de plata (n=2) y el número de bronce (n=3)
Visualizando la ecuación algebraica y la formulación en potencia anterior se puede
inferir para el número de plata y el número de bronce lo siguiente:
Para n = 2, el número de plata:  n  2 n 1   n  2
1
n  1   1  2  0   1
n  2   2  2 1   0
n  3   3  2 2   1
nk
   2
1
1

  2  2  1   2  2  1  0    1  2
  2  2  1   2  2  1  0    1  2
   2  2  1  0    0    1  2
  k  2 k 1   k  2
 k  2
  k  2  2  1  0 

k
k k

 2
  k  2  2 k 1   k
 0    0 
Para n = 3, el número de bronce:  n  3 n 1   n 2
40
  1  2 
1
n  1  1  3  0   1
n  2   2  3 1   0
n  3   3  3 2   1
nk
1
   3
1

  2  3  1   2  3  1  0   
3  13
2
3  13
2
3  13
   2  3  1  0    0   
2
  k  3 k 1   k  2
  2  3  1   2  3  1  0   
 k  3
  k  2  3  1  0 

k
k k

 2
  k  2  3 k 1   k

3  13 
 0    0     

2 

Por lo tanto, hemos visualizado fórmulas para las potencias n-ésimas de una ecuación
cuyo resultado, no trivial, genera el número de plata y el número de bronce.
4.5
Comparando números descompuestos en fracciones continuas
Ya que todo número real puede ser desarrollado en fracciones continuas, se propone a
continuación presentar una comparación y evidenciar una afirmación entre tres números
irracionales.
4.5.1 Problema N°7: Comparar las descomposiciones de los números irracionales e,
πyφ
Primero, describimos los tres números con 10 cifras decimales:
e  2,7182818284
,
  3,1415926535 ,   1, 6180339887
La descomposición en fracciones parciales sería la siguiente:
a)
Para e y como 2  e  3 , se tiene que:
41
e  2e2  2
1
1
1
1
1
 2
 2
 2
 2
3

e
1
1
1
 1 
1
1
1
1


3e  8
1
e2
e2
e2
2
2


3e
 3e 
1,4
 3e 


 2,5
 3e  8 
1,8
1
 2
1
1
 2
1
1
1
2
11  4e
1
3e  8
2
1
 2
1
1
1
2
1
1
 3e  8 


 11  4e 
1
 2
1
1
1
1
1
2
1
1
7e  19
1
11  4e
1
1
1
1,4
1
 11  4e 


 7e  19 
 4,5
Entonces se puede evidenciar que e   2,1, 2,1,1, 4 cuyo significado se aprecia en la
fracción racional de aproximación:
1
5  2 
1
1
1
1
1
1
1
23
9
 2
1
1
1
1
1
2
9
23
1
 2
1
1
4
1
5
5
4
1
23 87
 2
 2

 2, 71875  e
32
32 32
23
1
1
4
1
 2
2
1
 2
1
1
1
2
1
 2
1
1
1
2
9
5
1
 2
1
1
2
5
9
Así, se puede observar que en la quinta fracción racional de aproximación el valor es
exacto hasta 3 decimales.
b)
Para  y como 3    4 , se tiene que:
  3 3  3
1
1
1
1
 3
 3
 3
22  7
1
1
 1 
7
7
7


106
  333


3


3




3


15 


22
 7
 7,1
22

7



15,9
42
1
 3
7
1
 3
1
1
7
1
15 
 22  7 


 106  333 
15 
1
355  113
1
106  333
1,003
Entonces se puede evidenciar que   3, 7,15,1 cuyo significado se aprecia en la
fracción racional de aproximación:
3  3 
1
 3
1
7
15 
1
1
1
1
7
16
 3
1
16 355
 3

 3,1415929
113
113 113
16
Así, se puede observar que en la tercera fracción racional de aproximación el valor
es exacto hasta 6 decimales.
Finalmente, para  y como 1    2 , se tiene que:
c)
  1  1  1
1
1
1
1
1
1
 1
 1
 1
 1
 1
2 
1
1
1
1
 1 
1
1
1
1
1
  1 
2


3
1
1


1




1


1
1
1
 2  
5
 3
2




2


1,6


1
 2  3 
2

3
1,6


1,6
1
 1
 1
1
1
1
1
1
1
1
 2  3 
 5  3 


 1
1
1
1
1
1
1
1
5  8
1
5  3
1
1
1
1,6
1
1
1
 5  3 
 5  8 


1,6
43
1
1
1
1
1
 1
1
1
1
1
1
1
13  8
1
5  8
1
 1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
 5  8 
 13  8 


1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
 1
1
1
1
1
1
 1
1
1
1
1
13  21
1
13  8
1
1
1
1,6
1
 13  8 
 13  21 


1,6
Entonces se puede evidenciar que   1,1,1,1,1,1,1,1 cuyo significado se aprecia en
la fracción racional de aproximación:
 7  1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
 1
1
1
 1
1
1
5
1
8
1
1
1
1
1
3
2
 1
1
1
1
1
1
13
8
 1
1
1
1
8
13
 1
1
 1
1
1
5
3
1
1
2
1
 1
1
1
1
1
2
1
3
1
1
1
1
1
1
1
11
1
1
1
1
 1
1
1
1
1
1
1
 1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
 1
1
1
1
1
1
 1
1
1
1
3
5
1
1
1
8
5
1
13 34
 1 
 1, 6190476190
21
21 21
13
Así, se puede observar que en la séptima fracción racional de aproximación el valor
es exacto hasta 2 decimales.
Al comparar la descomposición entre los tres números irracionales presentados y al
verificar que la descomposición del número de oro, presentará sucesivos e infinitos “unos”
44
podemos concluir que “el número de oro es el más irracional de todos los irracionales”
[Spinadel].
4.6
El número áureo en polinomios de cuarto grado
Un aspecto muy interesante del número de oro es que puede encontrarse en diversos
aspectos matemáticos relativamente “inesperados”. Es así, que en el año 2005, Mcmullin y
Weeks, en su libro “The Golden Ratio and Fourth Degree Polynomials”, describe un
peculiar aparecimiento del número áureo, que se introduce en el mundo del Cálculo, y en
particular, en desarrollos que involucran a un polinomio de cuarto grado. A continuación,
describiremos, en el problema a desarrollar, los notables descubrimientos realizados:
4.6.1 Problema N°8: Visualizar las relaciones encontradas entre los puntos de
intersección de un polinomio de cuarto grado y una recta que pasa por los puntos de
inflexión de dicho polinomio
Para este problema necesitamos de una herramienta como GeoGebra para graficar y
visualizar las relaciones entre los puntos en cuestión. Comenzamos escogiendo a
P  x   x 4  2 x3  3x 2  5 x  1 como un polinomio de cuarto grado, a modo de ejemplo. Su
gráfica, (Figura N°29), presenta dos “ondas” que aseguran la existencia de dos puntos de
inflexión:
Figura N°29: Polinomio de cuarto grado con dos “ondas”, construido en GeoGebra.
45
A continuación, se establecen la primera y segunda derivada de P  x  . Con la
segunda derivada se establecen las abscisas de sus puntos de inflexión:
P '  x   4 x 3  6 x 2  6 x  5  P ''  x   12 x 2  12 x  6
P ''  x   0  12 x 2  12 x  6  0  6 x 2  6 x  3  0
x
 6
6 
2
 4  6  3
2  6
6  36  72

12
6  108 1  3

 0,37
12
2

6  108 1  3
i2 

 1,37
12
2
i1 
Entonces, los puntos de inflexión son:

 i , P  i     1 2
1
1

3
 1  3  
, P 
 
2  


i , P i     1 2
2
2

3
 1  3  
, P 
 
 2 
Además, la recta que pasa por estos dos puntos posee la ecuación:
L: y 
P  i2   P  i1 
 x  i1   P  i1 
i2  i1
Ahora bien, para ubicar los puntos de inflexión en el programa GeoGebra se efectúan
las derivadas del polinomio con el comando “derivada” que permite colocar la función a
derivar y el orden que se requiere (en este caso orden 2, para la segunda derivada). Además,
las abscisas de los puntos de inflexión para este polinomio serán aquellos donde la segunda
derivada sea igual a cero (como mostrado anteriormente), ubicables en el programa con la
herramienta “intersección entre dos objetos” para la función cuadrática de la segunda
derivada y el eje X (puntos A y B, de la Figura N°30).
46
Figura N°30: Segunda derivada y visualización para obtención de puntos de inflexión, construido en GeoGebra.
Así, se pueden obtener los puntos de inflexión en la barra de entrada como



C  x  A , P  x  A   D  x  B  , P  x  B  

donde para nosotros x  A   i1  x  B   i2 .
Luego, y explicando lo realizado en el programa, con la herramienta “Recta que pasa por
dos puntos” se genera la recta L (Figura N°31).
Figura N°31: Recta que pasa por los puntos de inflexión del polinomio, construido en GeoGebra.
Esta recta intersecta la curva en otros dos puntos. Para encontrar formalmente esos
puntos de intersección se debe resolver una ecuación de cuarto grado  P  x   y  0  donde
47
es necesario la utilización de un Programa Computacional de Algebra avanzado (CAS) y un
gran trabajo de simplificación para comprobar que las abscisas de los puntos de
intersección faltantes
 x1  x2 
están directamente relacionados con las abscisas de los
puntos de inflexión y el número de oro, mediante las siguientes fórmulas9:
 1 5 
 1 5 
x1  
 i1  
 i2
 2 
 2 
 1 5 
 1 5 
 x2  
 i2  
 i1
 2 
 2 
Según estas fórmulas podemos ver que:
 1  5   1  3   1  5   1  3 
 1  5   1  3   1  5   1  3 
x1  
 
  
 
  x2  
 
  
 

2
2
2
2
2
2


 


 2 
  2 

 1  5  3  15   1  5  3  15 
 1  5  3  15   1  5  3  15 
x1  
  x2  

  
  
4
4
4
4

 


 

 1  5  3  15  1  5  3  15 

x1  


4


x1 

 1  5  3  15  1  5  3  15 

x2  


4


2  2 15 1  15

 1, 436491673103708 
4
2
x2 
2  2 15 1  15

 2, 436491673103708
4
2
Sin embargo, y utilizando nuevamente la gran versatilidad del programa GeoGebra,
es posible ubicar los puntos de intersección de esta recta con el polinomio, simplemente
con una herramienta (“Intersección entre dos objetos”), y obtener el valor numérico de
estos puntos con una aproximación de hasta 15 decimales, con lo cual se verifica lo
entregado por las fórmulas.
A continuación, se muestra la recta L  y  x  que pasa por los puntos de inflexión del
polinomio P  x  y en donde se han modificado los nombres (Figura N°32) de los 4 puntos
de intersección (nombre genérico en mayúscula según el nombre dado a su abscisa):
9
MCMULLIN, L., y WEEKS, A. (2005): The Golden Ratio and Fourth Degree Polynomials. National Council of
Teachers of Mathematics.
48
Figura N°32: Renombre de puntos en recta L, construido en GeoGebra.
Ahora, lo más interesante de esta construcción son las impresionantes relaciones entre
estos puntos y el número de oro, las cuales se visualizan a continuación (Figura N°33):
Figura N°33: Relaciones en donde se encuentra al número de oro, construido en GeoGebra.
Por último, cabe destacar que es posible encontrar otra gran relación en las áreas
generadas entre el polinomio y la recta. La relación es 1:2:1 y es posible efectuarla y
visualizarla, a través de la integración definida entre las curvas (Figura N°34).
49
Figura N°34: Relaciones de áreas encontradas por integración, construido en GeoGebra.
5.
Elaboración del Taller
A continuación serán presentadas algunas reseñas sobre la realización de talleres
didácticos y sobre herramientas informáticas, como GeoGebra.
5.1
Introducción y beneficios de los talleres didácticos en GeoGebra
Los talleres didácticos como el que se presentará a continuación, surgen de visualizar
herramientas de apoyo a la docencia en Tecnologías de la Información y Comunicación
(TIC). La idea de estos talleres es presentarlos en congresos y/o seminarios para ser de
práctica ayuda a estudiantes de pedagogía en matemáticas, a estudiantes de nivel
secundario y a profesores que tengan relación y estén interesados en la actualización e
innovación con el quehacer matemático.
Sobre las herramientas informáticas como software de álgebra o geometría, existe una
gran gama de productos que se dividen en los que tienen acceso liberado (software libre de
licencias pagadas) o acceso restringido (al pago de licencias, por un tiempo limitado).
50
En nuestro taller, y bajo un aspecto muy futurista y solidario, aceptamos y difundimos
la idea de trabajar con software libre y a disposición de toda la comunidad, siendo el de
nuestra elección GeoGebra.
GeoGebra es un software de matemática, de uso libre para educación en todos sus
niveles, disponible en múltiples plataformas. Reúne dinámicamente, aritmética, geometría,
álgebra y cálculo en un único conjunto tan sencillo a nivel operativo como potente. Ofrece
representaciones diversas de los objetos desde cada una de sus posibles perspectivas: vistas
gráficas, algebraicas, estadísticas y de organización en organización en tablas y planillas y
hojas de datos dinámicamente vinculadas. Ha recibido numerosas distinciones y ha sido
galardonado en Europa y USA en organizaciones y foros de software educativo10.
5.2
El Taller
A continuación, será presentado el taller tal cual está organizado (con distinto formato
de la tesis) por lo cual será encuadrado:
El número áureo ϕ, una propuesta didáctica.
Daniel Sánchez I. y Rosa Eugenia Trompar M.
Universidad Austral de Chile, Coyhaique, Chile.
danielsanch@gmail.com, retrumper@gmail.com
Introducción
El uso de nuevas tecnologías como recurso para la enseñanza de la matemática
requiere la intervención docente en el diseño didáctico, en la elección de los medios, en la
sistematización de los conocimientos, y en la adaptación de las herramientas tecnológicas
a las condiciones institucionales. Esto implica la necesidad de incorporar nuevos
elementos a la formación del profesorado y a la modernización de los actuales profesores.
10
Sitio Oficial del Programa en http://www.geogebra.org/cms/es
51
El propósito de este taller es presentar una secuencia de actividades sobre
construcciones geométricas que visualizan al número φ usando un software matemático
interactivo libre, llamado GeoGebra. Se enfatizará en la visualización de la “divina
proporción” que ha sido utilizados en las artes y en los emblemas históricos, relacionando
así distintas disciplinas como la pintura, escultura, arquitectura e ingeniería.
El taller está dirigido a profesores de enseñanza media con el objeto de contribuir a
incorporar en la práctica docente el uso de este recurso tecnológico y el diseño de
actividades organizadas dentro de un marco metodológico adecuado para la enseñanza de
la geometría en la escuela. Con este trabajo apostamos a potenciar un encuentro con el
quehacer matemático, entrelazando fuertemente la historia, el conocimiento y la práctica.
El taller
GeoGebra es un software libre y de plataformas múltiples que se abre a la educación
para interactuar dinámicamente con la matemática, en un ámbito en que se reúnen la
Geometría, el Algebra y el Cálculo. Lo ha desarrollado Markus Hohenwarter en la
Universidad Atlantic de Florida para la enseñanza de matemática escolar. Desde el punto
de vista geométrico GeoGebra es un sistema de geometría dinámica. Permite realizar
construcciones tanto con puntos, vectores, segmentos y secciones cónicas como con
funciones que a posteriori se pueden modificar dinámicamente. Cuando entramos en
GeoGebra aparece la ventana geométrica que será nuestro lugar de trabajo.
La ventana geométrica (a la derecha) expone gráficamente la representación de
puntos, vectores, segmentos, polígonos, funciones, rectas y secciones cónicas. Cuando el
mouse se desplaza sobre un objeto, se ilumina y exhibe su descripción.
La ventana geométrica se denominará, ocasionalmente, zona gráfica o “área
gráfica”.
52
Barra de menú
Barra de Herramientas
Ventana Algebraica
Zona Gráfica
Campo de
Entradas
La barra de herramientas consta de distintos íconos que agrupan herramientas
semejantes. En este documento, se han agregado indicaciones que señalan cuáles son las
herramientas que predominan en cada ícono y para identificarlos se usará un orden de
izquierda a derecha (primer, segundo, tercer ícono, etc.) de la barra de herramientas. Por
ejemplo al desplegar
quedan a disposición del usuario:
53
Utilidades
Polígonos
Circunferencias
Ángulos
Cónicas
Cursor
Puntos
Rectas
Paralelas y
perpendiculares
Transformaciones
Isométricas
Actividad Inicial
Objetivo: Conocer los elementos básicos del software GeoGebra.
Nuestra primera tarea será construir un
octógono regular inscrito. Preparemos nuestra
pantalla: En el menú Vista desmarque Ejes y
Vista Algebraica. En el menú Opciones elija
“Rotulado” y seleccione “Ningún Nuevo
Objeto”. Despliegue el sexto ícono y elija
“Circunferencia dados su Centro y uno de sus Puntos”.
54
Deslizador y
texto
Haga clic y obtendrá el punto del centro,
arrastre el ratón hasta dar a la circunferencia el
radio deseado y haga clic. Obtendrá dos puntos:
el centro y un punto sobre la circunferencia. Con
la tecla derecha del ratón, haga clic sobre el
centro, elija Renombra y llame O a este punto.
Repita con el punto sobre la circunferencia,
llamándolo A.
Trace
una
ahora
recta
que
contenga
un
diámetro. Para ello,
del
tercer
ícono,
seleccione “Recta
que pasa por Dos
Puntos”, haciendo
clic primero en O y luego en A.
Observe que a la derecha de los íconos, GeoGebra le proporciona ayuda sobre la
forma de utilizar el elemento elegido.
A
trace
continuación
una
contenga
recta
el
perpendicular a
que
diámetro
AO .
En
el ícono “Paralelas y
Perpendiculares”, elija
55
“Recta Perpendicular” y seleccione primero O y luego la recta
AO .
Los puntos de
intersección de estas rectas con la circunferencia son los vértices de un cuadrado regular
inscrito. Encuentre los puntos de intersección, eligiendo “Intersección de dos
objetos” del ícono “Puntos”. Llame a los puntos encontrados B, C y D. Los vértices del
octógono son los puntos medios de los arcos AB, BC, CD y DA .
Para encontrar los puntos medios, basta encontrar las mediatrices de dos lados
consecutivos del
cuadrado. Para
ello elija “Mediatriz” del ícono
“Paralelas y perpendiculares” y
haga clic en A y B para encontrar
una mediatriz, y en B y C para la
otra. Determine ahora los puntos de
intersección de las mediatrices con
la circunferencia y una los 8
vértices consecutivamente usando
la herramienta “Polígono”. Debe
terminar en el mismo vértice en que empezó.
Usando el cursor (primer ícono), arrastre A para comprobar si se altera el tamaño o
la posición sin que la construcción pierda sus propiedades. Repita con el punto O. Arrastre
también otros puntos ¿Qué observa?
Procederemos ahora a ocultar los elementos secundarios utilizados en la
construcción. Para ello, haga clic con la tecla derecha del ratón sobre el elemento que
desea ocultar y desmarque “Muestra Objeto”. También puede eliminar el rótulo
desmarcando “Muestra Rótulo”.
Para mejorar el aspecto de su construcción, haga clic con la tecla derecha sobre él y
elija “Propiedades”. Podrá modificar el color, grosor de las líneas, sombreado, etc.
56
Procure dar a su octógono un
aspecto parecido al que se muestra en la
figura:
Guarde su archivo con el nombre de
Octógono.
Actividad 1.
Objetivo: Construir y dividir un segmento en extrema y media razón.
Nuestra primera tarea será construir un segmento áureo. Preparemos nuestra
pantalla: En el menú Vista desmarque “Ejes” (y si le es más cómodo puede marcar
“Cuadrícula”). Del menú Opciones escoja “Rotulado” y seleccione “Solo los Nuevos
Puntos”. La construcción comienza con el segmento a dividir. Despliegue el tercer ícono
y elija “Segmento entre dos Puntos” y genere un segmento horizontal. Se observará
un segmento que por defecto tendrá puntos extremos A y B. Despliegue el sexto ícono y
elija “Circunferencia dados su Centro y uno de sus Puntos”. Genere una
circunferencia con centro en A y uno de sus puntos escoja alguno (punto C) sobre el
segmento sin pasar la mitad de este. Llame C1 a esta circunferencia. Usando la herramienta
“Punto Medio o Centro” determine el punto medio de

 C , CD

AC
y llámelo D. Trace una
y llámela C2. Usando “Recta Perpendicular”, del tercer ícono al segmento
pasando por C y que cortará a la circunferencia (con centro en C) en los puntos F y E
(utilice las herramientas de “Recta Perpendicular” y “Intersección entre dos
Objetos”, respectivamente). Según lo anterior, deberíamos visualizar algo como:
57
Continuando con nuestra construcción, generemos una semirrecta con inicio en A y
que pase por F (en el tercer ícono se encuentra la herramienta “Semirrecta que pasa
por dos Puntos”). Seleccione la herramienta “Compás” y marque a C y luego a D
(estamos designando el radio) y luego marque en F (centro de la nueva circunferencia).
Utilice “Intersección entre Dos Objetos” entre la recién creada circunferencia y la
semirrecta. Deberían aparecer los puntos G y H. Repetimos la anterior acción del compás,
pero con un radio AC y centro en H. Utilice “Intersección entre Dos Objetos” entre
la última circunferencia y la semirrecta. Deberían aparecer los puntos J e I (I queda sobre
G y representan el mismo punto). Para finalizar la construcción genere una recta que pase
por J y B (herramienta “Recta que pasa por Dos Puntos”) y otra paralela a ésta y que
pase por H (herramienta “Recta Paralela”). La intersección de esta última recta con el
segmento genera el punto K (mediante “Intersección entre Dos Objetos”)
Utilizando la proporcionalidad entre paralelas entregada por Thales, hemos
establecido una partición del segmento AB en el punto K, de tal manera que lo hemos
dividido en extrema y media razón, o sea que:
AB AK


AK KB
58
Tal proporción, nos presenta el número de oro φ cuyo valor decimal podemos
mostrarlo en GeoGebra. Determine las distancias
AB, AK
y
KB
utilizando
la
herramienta
“Distancia o Longitud”. Luego, visualicemos las
proporciones con “Inserta Texto” y en el cuadro
de texto escribimos, según muestra la figura a la
derecha para AB y repetimos finalmente para AK
AK
KB
Actividad 2.
Objetivo: Construir rectángulos metálicos.
Al igual que en el trabajo anterior, preparemos nuestra
pantalla: En el menú Vista desmarque “Ejes” y “Vista
Algebraica” y marque “Cuadrícula”. Además, diríjase al
menú Opciones escoja “Rotulado” y seleccione “Solo los
Nuevos Puntos”. Comenzamos esta actividad construyendo
un cuadrado a través de la herramienta “Polígono Regular”,
59
de modo que se obtenga un cuadrado, de lado 1, tal como el que se muestra en la imagen
arriba (para tener un ordenamiento establecido en la construcción de los sucesivos otros
rectángulos). A continuación, establezca el punto medio entre B y C. Por defecto, debería
generar el punto E que será centro de una circunferencia de radio ED (utilice la
herramienta “Circunferencia dados su Centro y uno de sus Puntos”). Extienda el
lado inferior del cuadrado con una semirrecta con origen en B y que pasa por C. La
intersección entre la semirrecta y la
circunferencia generará el punto
F
(herramienta “Intersección de Dos
Objetos”).
Establezca
una
recta
perpendicular a la semirrecta que pase
por F (“Recta Perpendicular”) y
construya otra semirrecta con origen en
A y que pase por D. La intersección de éstas dos últimas determina el punto G. Con la
herramienta “Expone / Oculta Objeto” toque una vez a la circunferencia, a cada
semirrecta, a la recta perpendicular al cuadrado y cada uno de los puntos C, D y E, todo
por separado y notará que se remarcarán más intensos. Luego de marcar estos elementos,
diríjase al ícono de la flechita “Elige y Mueve”. Se deberían ocultar todos los elementos
salvo los puntos A, B, F y G. Una estos cuatro puntos con la herramienta “Polígono” y
obtendrá el rectángulo áureo. Comprobemos que la relación entre los lados de este
rectángulo genera el número de oro. Para ello marquemos las distancias del lado mayor y
menor del rectángulo con la herramienta “Distancia o Longitud”. Ahora despliegue
“Inserta Texto” y en su cuadro de dialogo escriba “φ=” + (distancia BF / distancia FG),
con fórmula Latex seleccionada, y generará la razón entre el lado mayor y el lado menor,
que es el número de oro. Ampliemos el número de decimales en el menú “Opciones”,
luego “Redondeo” y seleccione “5 lugares decimales”. Con el botón derecho sobre su
rectángulo, marque “Propiedades” y seleccione un color similar al oro, y en un
60
sombreado de 50 % (en etiquetas
Color y Estilo, respectivamente).
Ahí
mismo,
en
propiedades
renombre el rectángulo y de el
nombre
“ORO”.
Su
trabajo
debiera ser similar a la figura.
Desde el punto de vista
puramente
φ
matemático
es
notable por estar entre los números que son raíces de ecuaciones algebraicas, se definen
por una proporción y en cambio no es posible representarlos como cociente de dos
números enteros. Por tanto, se clasifican como números irracionales algebraicos. En el
siglo XX se han estudiado otros números irracionales algebraicos que por la forma como
se definen constituyen una generalización del número de oro. Son los llamados números
metálicos que se pueden definir como las raíces positivas de la ecuación cuadrática
x 2  Nx  1  0 . Esta ecuación en el caso N = 1 define el número áureo. Para
pueden determinar los sucesivos números metálicos:
x 2  Nx  1  0  x 
N 1
(oro)
N 2
(plata)
N 3
(bronce)
N 4
(cobre)

1 5
 1, 61803
1 1  4 1 5
x

 2
2
2
1 5
 0, 61803
2
2


N  N2  4
2
x

x
1  2  2, 41421
2  22  4 2  8

 1 2 
2
2
1  2  0, 41421
3  13
 3,30277
3  32  4 3  13
2
x


2
2
3  13
 0,30277
2
2  5  4, 23606
4  42  4 4  20

 2 5 
2
2
2  5  0, 23606
61
N
se
Para la construcción de los próximos rectángulos metálicos ocuparemos las mismas
herramientas, y una muy similar sucesión de pasos para la construcción, utilizadas para el
rectángulo áureo. Basándose en un lado menor igual a la unidad, podemos construir los
sucesivos rectángulos metálicos montándolos uno tras otro en sentido contrario a las
manecillas del reloj, como se presenta en la figura, que además describe como se obtienen
las raíces de estos números utilizando el teorema de Pitágoras
Por ejemplo, para el rectángulo de plata construya una circunferencia con centro en
G y radio
FG .
Desmarque la recta perpendicular que pasa por F. Establezca los puntos de
intersección de esta circunferencia con el lado
AG
del cuadrado (punto H) y con la parte
superior de recta perpendicular que pasa por F (punto J). Genere una circunferencia con
centro en J y radio
JH .
Cortará a la recta perpendicular que pasa por F en el punto K
62
(inferior) y L (superior). Usted, genere dos
rectas perpendiculares, una al lado
pase por H y al lado
GL
AG
que
que pase por L y
establezca el punto de intersección entre
ellas en el punto M que es el cuarto vértice
para construir el polígono que representa el
rectángulo de plata. La distancia
lado mayor y la distancia
HG
GL
es el
es el lado
menor del rectángulo, que deben ser
establecidas y presentadas en un cuadro de
texto para mostrar su razón. Oculte
circunferencias y rectas auxiliares y deje
sombreado y de color plata a su rectángulo.
Los rectángulos de Bronce y Plata quedan
como tareas según todas las indicaciones
dispuestas anteriormente.
Actividad 3
Objetivo: Construcción del Espiral de Fibonacci y comparar con imágenes reales
En esta actividad utilizaremos iteraciones creadas por una herramienta propia para
poder repetir la construcción del
rectángulo áureo tantas veces se
quiera (o pueda). En primer lugar
construyamos un cuadrado, por
ejemplo de lado 5 (con herramienta
“Polígono Regular”). Desde este
cuadrado
y
construimos
hacia
nuestro
la
derecha,
rectángulo
63
áureo tal cual como en la actividad anterior. Una vez construido oculte todas las rectas o
circunferencias auxiliares, deje sólo los vértices del rectángulo áureo más los vértices C y
D del cuadrado y coloréelo con un tono lo más claro posible
Generemos nuestra propia herramienta para ir repitiendo este proceso. En menú
“Herramientas” seleccione “Creación de Nueva Herramienta” y en el cuadro de
texto aparecerán 3 etiquetas. Rellénelas según lo que se quiere construir iteradamente
“Objetos de Salida”, en este caso el rectángulo áureo y el segmento CD más sus puntos
extremos visibles. Los “Objetos de Entrada” serán los puntos A y B y el nombre para
la nueva herramienta puede ser “Rectángulos ORO”.
Una
herramienta
vez
diseñada
y seleccionado
la
su
ícono marque el punto G y luego el
D para formar un rectángulo áureo
interior al primero. La cantidad de
iteraciones y dirección de los
rectángulos áureos debe ser hacia el
centro de la espiral. Este centro
queda ubicado en la intersección de
la diagonal AF del primer rectángulo áureo y el segmento GC que es una diagonal del
64
segundo rectángulo áureo.
Nuestra espiral se crea como una aproximación a una espiral logarítmica a través de
arcos de circunferencia. Así, para nuestro primer arco seleccione la herramienta “Arco de
Circunferencia dados su Centro y Dos Extremos” y marque el punto C como centro
y luego a D y B como dos puntos extremos de ese arco. Repita este procedimiento con
centro H y extremos I y D. Continúe hasta llegar cercano al punto centro de la espiral
mencionado anteriormente. Finalmente, puede personalizar la espiral colocándose sobre
los arcos construidos y con botón derecho seleccionar “Propiedades” y luego modificar a
gusto en las etiquetas
“Color” y “Estilo”. Si
tiene
problemas
en
encontrarlos arcos puede
desmarcar ocultando a
los rectángulos utilizados
en
la
Podría
construcción.
generar
una
espiral como:
Para finalizar esta actividad comparemos nuestra espiral con una imagen real de la concha
de un Nautilos. Oculte todos los elementos auxiliares de la construcción y deje sólo a la
espiral. Diríjase a la herramienta “Inserta Imagen” y en la carpeta imágenes seleccione
a la concha de Nautilos y ubíquela ala derecha de nuestra espiral (puede usted moverla con
la herramienta “Elije y Mueve” (la flechita puntero).
65
Ahora, genere un segmento (o recta) vertical entre la imagen y su espiral. Luego
seleccione la herramienta “Refleja Objeto en Recta” y marque a la imagen y luego al
segmento. Intente mover el tamaño de la reflexión con la rueda del mouse de modo que
quede lo más aproximado a su espiral
66
Actividad 4
Objetivo. Visualizar el triángulo áureo en el decágono y construir el espiral.
Empezamos esta actividad utilizando la herramienta “Polígono Regular”, en el
quinto ícono, generando un decágono (polígono de diez lados). Tocando dos puntos de
nuestra ventana gráfica se abrirá un cuadro de dialogo consultándonos el número de lados
del polígono regular a construir, que en nuestro caso es 10. Luego, divida al polígono con
un segmento entre dos vértices opuestos (el quinto desde uno al otro) y ubique el centro
del polígono (punto medio de este segmento). Construya un triángulo (herramienta
“Polígono”, del quinto ícono) cuyos vértices son dos vértices consecutivos del decágono y
su tercer vértice el centro de éste.
¿Qué tipo de triángulo se creó?
Para corroborarlo visualicemos sus
ángulos
interiores
con
la
herramienta “Angulo”, del octavo
ícono.
Oculte
todo
elemento
excepto al triangulo. Este triángulo
es llamado áureo ya que la
relación entre la longitud de
cualquiera de sus lados iguales y la longitud del lado basal
genera la divina proporción. Ahora bien, ya que sabemos
comprobar eso con distancias, es bueno ahora comprobarlo
con otra triada trigonométrica de proporciones que es el
Teorema del Seno:
sen   sen    sen   


a
b
c
Intente comprobar la relación áurea de este triángulo
67
a través de una razón que utilice la función trigonométrica del seno. (GeoGebra reconoce
la función “sin(x)”).
Otra importante cualidad del triángulo áureo es que desde él, al igual que en el
rectángulo de oro, es posible generar y construir una espiral áurea. Empezamos la
construcción generando una bisectriz (herramienta “Bisectriz”, del cuarto ícono, y en la
imagen abajo desde el punto J) de un ángulo basal que cortará un lado del triángulo en un
punto a establecer por intersección entre dos objetos (el
punto L). La bisectriz dividió al triángulo inicial en otros
dos, uno de mayor área y otro de menor, el cual es áureo
(semejante al inicial). Repetiremos el proceso descrito
anteriormente, hasta aproximarse al centro de la espiral en
un punto (punto O) que es intersección de un segmento
que va desde el punto medio del lado del triángulo inicial
donde no pasa la bisectriz hacia el vértice opuesto
(segmento MI) y un segmento que va desde el punto
medio del lado basal del triángulo inicial al vértice opuesto del nuevo triángulo áureo
menor (segmento NL). La siguiente bisectriz se genera desde el vértice correspondiente
(según imagen el vértice I) al cual se hizo en el
triángulo áureo inicial. Marque los puntos de
intersección necesarios para generar unas tres
bisectrices más. Ahora, generaremos la curva de la
espiral con la herramienta “Arco de Circunferencia
dados su Centro y Dos Extremos”, del sexto ícono.
Estos arcos se generan con dos vértices de triángulo
áureo consecutivos (K y L, según la imagen) y desde
el punto de intersección de la bisectriz como centro
(en nuestro caso, el punto L). Oculte todos los elementos de la construcción y deje sólo a
la espiral personalizada (en color y estilo) y vuelva a hacer visibles a los puntos iniciales A
y B (los cuales permiten mover nuestra construcción). Finalmente, inserta una imagen
llamada “oreja guagua” y con las herramientas del noveno icono intente superponerla a la
68
espiral y vea lo que ocurre.
6.
Conclusiones
A continuación, se describen las principales consecuencias y resultados obtenidos en
el trabajo descrito en los capítulos anteriores.
6.1
Conclusión General

El trabajo presentado fue describiendo histórica y matemáticamente al
número irracional algebraico φ. Así, fue descubierto el significado de sus denominaciones
tales como número de oro, razón áurea y/o divina proporción. También, fueron presentadas,
a la par, algunas aplicaciones y apariciones del número en diversos ámbitos que involucran
a diferentes áreas de la ciencia. Con todo, fueron descritos diversos acontecimientos y
69
problemáticas matemáticas que permitieron crear y/o modificar actividades lúdicas que
involucren al número φ, generando un Taller didáctico experimental, a realizar con ayuda
del software GeoGebra. Finalmente, es posible afirmar que el Taller realizado, o bien,
modificaciones y/o creaciones similares a éste, son trabajos que surgen con el uso de las
Tecnologías de la Información y Comunicación (TIC), que de ésta forma permiten
potenciar un encuentro con el quehacer matemático entrelazando fuertemente la historia, el
conocimiento y la práctica, a profesores, como estudiantes de educación media, y a
estudiantes de pedagogía en matemáticas.
6.2

Conclusiones específicas
Se realizó una recopilación e investigación bibliográfica sobre el origen histórico y
estudios actuales en libros y páginas web con respecto a la razón áurea y el número
de oro, encontrando una enorme información al respecto, la cual fue filtrada en sus
aspectos más fundamentales.

Se presentaron construcciones de formas geométricas armónicas utilizando la razón
áurea, como el segmento y rectángulo áureo, el triángulo áureo y de Kepler, el
pentágono regular y espirales. También, se hicieron comparaciones de las apariciones
de estas figuras como representaciones artísticas, en la naturaleza, en el cuerpo
humano y en la arquitectura.

Se presentaron bases explícitamente matemáticas que envuelven al número de oro,
surgido como razón geométrica en la división de un segmento, como ecuación
algebraica, en forma de límite en una sucesión (de Fibonacci), en forma de
descomposición en fracciones continuas, como abscisas de puntos de intersección
entre un polinomio de cuarto grado y una recta que pasa por sus puntos de inflexión,
y en forma exponencial (potencias).
70

Se desarrollaron algunos problemas que muestran sorprendentes resultados que
involucran al número de oro, utilizando desarrollos algebraicos simples, desde
razones y proporciones hasta algunos elementos básicos de cálculo como derivadas.

Se elaboró un taller didáctico experimental que incluyó desarrollos en el software
dinámico GeoGebra, que contempla experiencias, y muestra algunos resultados que
evidencian las principales características y formas de visualización del número áureo.
6.3
Propuestas y proyecciones
Durante el desarrollo del presente estudio se establecieron sorprendentes e
inesperadas apariciones del número de oro, lo que conlleva a preguntarse si es posible aun
seguir encontrando evidencias de este número tan especial en otras áreas de las ciencias y
en especifico en otros aspectos matemáticos. Esto perfectamente, puede ser aprovechado en
investigaciones a fondo que involucren el estudio exhaustivo de publicaciones actualizadas
del tema, ya que dentro de la bibliografía utilizada en este trabajo, encontraremos estudios
que no superan los 10 años desde su creación, o bien, su descubrimiento.
Por otro lado, en el ámbito de innovación del quehacer matemático, a través de
talleres didácticos, se intenta con este trabajo difundir abiertamente este tipo de actividades
y potenciar estos desarrollos para que generen en sus potenciales participantes, iniciativa
propia en rehacer e inventar nuevos talleres para diferentes áreas de la matemática, que
involucren una activa participación de estudiantes, logrando así un ambiente matemático
más gentil, agradable y de mejores resultados de aprendizaje.
71
7.
Bibliografía y referencias
7.1
Referencias bibliográficas
[1] Paulo Martins Contador, “A matematica na arte e na vida”, 2da Edición. Editora
Livraria da Fisica, Sao Paulo, Brasil, 2011.
[2] Carlos Sánchez, “¿Cómo hacer apetitoso el discurso matemático? Experiencias con
sabor cubano”. Conferencia Paralela, XIII Conferencia Interamericana de Educación
Matemática, Recife, Brasil, 2011.
[3] Carlos Sánchez F., Concepción Valdés C. “Problemas históricos atractivos para el
aprendizaje de la matemática”. Minicurso, XIII Conferencia Interamericana de Educación
Matemática, Recife, Brasil, 2011.
[4] Rosa E. Trumper M. y María I. Del Rio, “Construyendo Polígonos Interesantes”. Taller
de geometría dinámica, III Congreso Nacional de Estudiantes de Pedagogía en Matemática,
Universidad de La Frontera, Temuco, Chile, 2010.
[5] Gilberto G. Garbi, “A Rainha das Ciências – Um passeio histórico pelo maravilhoso
mundo da matemática”. Editora Livraria da Fisica, Sao Paulo, Brasil, 2006.
[6] Spinadel, V.: “La familia de los números metálicos y el diseño” (PDF 157Kb). Centro
de Matemática y Diseño MAY DI. Facultad de Arquitectura, Diseño y Urbanismo.
Universidad de Buenos Aires, 1995
[7] Condesse V. y Minnard C.: “La familia de los números metálicos y su hijo pródigo: el
número de oro” (PDF 90Kb). Revista Iberoamericana de Educación, ISSN 1681-5653, Vol.
42, Nº. 2, 2007,
72
7.2
Referencia Web
[1] Número Áureo. Wikipedia, La enciclopedia libre, extraído el 20 de Agosto de 2011,
desde: http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_%C3%A1ureo
[2] El Hombre de Vitruvio, La Divina Proporción. Portal Planeta Sedna, extraído el 12 de
Agosto de 2011, desde: http://www.portalplanetasedna.com.ar/divina_proporcion.htm
[3] El Número de Oro; Phi; la Divina Proporción. Youtube, extraído el 12 de Agosto de
2011, desde:
http://www.youtube.com/watch?v=j9e0auhmxnc&feature=player_embedded#!
[4] El Partenón. Wikipedia, La enciclopedia libre, extraído el 15 de Abril de 2012, desde:
http://es.wikipedia.org/wiki/Parten%C3%B3n
[5] Número Áureo. Lawebdemanel, extraído el 16 de Abril de 2012, desde:
http://www.lawebdemanel.com/matematicas/phi/NumeroAureo.htm
[6] Los Elementos de Euclides (con applets de geometría). Euclides.org, extraído el 11 de
Marzo de 2012, desde: http://www.euclides.org/menu/elements_esp/indiceeuclides.htm
[7] Leonardo de Pisa. Wikipedia, La enciclopedia libre, extraído el 23 de Abril de 2012,
desde: http://es.wikipedia.org/wiki/Leonardo_de_Pisa
[8] Leonardo da Vinci. Wikipedia, La enciclopedia libre, extraído el 2 de Mayo de 2012,
desde: http://es.wikipedia.org/wiki/Leonardo_da_Vinci
[9] El Número Áureo o Número de Oro. Jorge Fernández, extraído el 20 de septiembre de
2011, desde: http://www.jorge-fernandez.es/proyectos/angulo/temas/temag/index.html
73
[10] Espiral Logarítmica. Wikipedia, La enciclopedia libre, extraído el 25 de Septiembre
de 2011, desde: http://es.wikipedia.org/wiki/Espiral_logar%C3%ADtmica
[11] Triángulo de Kepler. Wikipedia, La enciclopedia libre, extraído el 4 de Marzo de
2012, desde: http://es.wikipedia.org/wiki/Tri%C3%A1ngulo_de_Kepler
[12] El número de oro en el cuerpo humano. Juan Bragado Rodríguez, extraído el 13 de
Marzo de 2012, desde:
http://www.telefonica.net/web2/lasrotas/ficheros/Geogebra/Numero%20de%20oro%204.ht
ml
[13] La espiral de Durero y el Número de Oro. Juan Bragado Rodríguez, extraído el 13 de
Marzo de 2012, desde:
http://www.telefonica.net/web2/lasrotas/ficheros/Geogebra/Numero%20de%20oro%203.ht
ml
[14] El número de oro en la función de 4º grado. Ignacio Larrosa, extraído el 8 de Abril de
2012, desde: http://www.xente.mundo-r.com/ilarrosa/GeoGebra/Fi_en_la_cuartica.html
(“Phi-N=Fin”)
74