Números complejos - Universidad de Antioquia

An
tioq
uia
Números complejos
Instituto de Matemáticas*
Facultad de Ciencias Exactas y Naturales
Unviersidad de Anquioquia
Medellı́n, 24 de julio de 2011
1.
Introducción
Conceptos básicos
ive
2.
rsid
ad
de
Aunque las operaciones algebraicas establecidas entre
números reales, sus propiedades de orden, etc., permiten
resolver una gran variedad de problemas que se modelan
por medio de ecuaciones algebraicas, existen ecuaciones que
no poseen soluciones reales. La ecuación x2 + 1 = 0 por
ejemplo no tiene soluciones en R, pues no existe un x ∈ R
tal que x2 = −1 (todo número real elevado al cuadrado es
no-negativo).
Los números complejos fueron concebidos por el matemático italiano Gerolamo Cardano quien, en un intento
por obtener fórmulas cerradas para las raı́ces de ecuaciones Figura 1: Conjunto de Mandelbrot
cúbicas, encontró soluciones que no eran “reales”. Estas soluciones que él denominó “ficticias” posteriormente fueron formalizadas por el matemático italiano
Rafael Bombelli en lo que actualmente es conocido como el conjunto de los números complejos
(C). Todas estas ideas condujeron a uno de los resultados más importantes del álgebra, a saber,
el teorema fundamental del álgebra que establece que con números complejos, siempre es posible
encontrar al menos una solución de cualquier ecuación polinómica.
Los números complejos son utilizados en una gran cantidad de campos de aplicación como la
ingenierı́a, el electromagnetismo, la dinámica de fluidos, la teorı́a del caos y otros campos de la
fı́sica y de las matemáticas aplicadas. El conjunto de Mandelbrot por ejemplo (figura 1) es un
conjunto de puntos en el plano complejo cuya frontera constituye una figura llamada fractal. Esta
figura “autorecursiva” modela patrones de crecimiento observados en la naturaleza y es generada
por medio de un proceso iterativo regido por una ecuación cuadrática con coeficientes complejos.
Los números complejos resultan ser de mucha utilidad, pues nos permiten hallar soluciones de
ecuaciones que no se pueden resolver utilizando números reales. Recordemos que
Un
N⊂Z⊂Q⊂R
(1)
Dependiendo del tipo de ecuación, se hace necesario utilizar un conjunto numérico particular.
La ecuación x2 = 16 tiene soluciones enteras, la ecuación 25x2 = 16 tiene soluciones racionales
y la ecuación x2 = 7 tiene soluciones irracionales. Todas estas ecuaciones tienen soluciones en R
mientras que la ecuación x2 = −16 no tiene soluciones en R. Los números complejos C ocupan la
jerarquı́a más alta en la cadena de contenencias ilustradas en (1).
* Esta
obra es distribuida bajo una licencia Creative Commons Atribución - No comercial 2.5 Colombia.
1
2
2.1.
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Propiedades
Definición 2.1 (Números complejos) El conjunto de los números complejos (denotado por C)
está formado por todas las parejas (a, b) con a y b números reales. Se dice que dos números complejos
(a, b) y (c, d) son iguales si a = c y b = d
√
Como ejemplos de números complejos tenemos α = (2, 3), β = (−1/3, 5/4), z = ( 2, π) y
w = (2, 3). En este caso α = w.
Si en
α = (a, b)
(2)
b = 0, escribiremos (a, 0) = a y ası́, el conjunto de los números reales puede verse como un
subconjunto propio de los números complejos y
N⊂Z⊂Q⊂R⊂C
En particular, el número complejo (0, 0) lo denotaremos por 0 y el número complejo (1, 0) lo
denotaremos por 1.
Los números complejos se pueden sumar y multiplicar y el resultado es nuevamente un número
complejo como se define a continuación.
de
Definición 2.2 (Suma y producto en C) En el conjunto de los números complejos C se definen las operaciones suma y producto de la manera siguiente:
1. (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)
2. (a, b) · (c, d) = (ac − bd, ad + bc)
ad
Por ejemplo, si z = (3, 4) y w = (2, 5), entonces
z + w = (3, 4) + (2, 5) = (5, 9)
zw = (3, 4) · (2, 5) = (3 · 2 − 4 · 5, 3 · 5 + 4 · 2) = (−14, 23)
rsid
Observermos que a + c = (a, 0) + (c, 0) = (a + c, 0) = a + c y ac = (a, 0)(c, 0) = (ac, 0) = ac y
por tanto las operaciones de suma y producto en C son consistentes con las operaciones aritméticas
en R.
Proposición 2.1 (Propiedades de campo) Para todo α, β, γ ∈ C se tiene que:
1. α + β = β + α (la suma es conmutativa).
2. αβ = βα (el producto es conmutativo).
ive
3. α + (β + γ) = (α + β) + γ (la suma es asociativa).
4. (αβ)γ = (αβ)γ (el producto es asociativo).
5. α(β + γ) = αβ + αγ (el producto es distribuitivo respecto a la suma).
Un
6. El número complejo 0 = (0, 0) satisface α + 0 = 0 + α = α (elemento neutro para la suma).
7. Existe un único número complejo −α tal que α + (−α) = 0 (inverso aditivo).
8. El número complejo 1 = (1, 0) satisface α · 1 = 1 · α = α (elemento neutro para el producto).
9. Para todo α 6= 0, existe un único número complejo α−1 6= 0 tal que αα−1 = 1 (inverso
aditivo).
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Dado α = (a, b), el elemento 0 enunciado en (6) satisface
α · 0 = (a, b)(0, 0) = (a · 0 − b · 0, a · 0 + b · 0) = (0, 0)
Dado α = (a, b), el elemento −α enunciado en (7) viene dado por
−α = (−a, −b)
Otro número complejo de particular interés es (0, 1). Dicho número se denota por i y satisface
i2 = i · i = (0, 1)(0, 1) = (0 · 1 − 1 · 1, 0 · 1 + 1 · 0) = (−1, 0)
Por tanto
i2 = −1
(3)
√ Ningún número real satisface una igualdad como la enunciada en (3). El número complejo i =
−1 se denomina unidad imaginaria y nos permite escribir cualquier número complejo arbitrario
α = (a, b) en la forma
α = (a, b) = (a, 0) + (b, 0) = (a, 0) + (b, 0)(0, 1) = a + bi
(4)
de
En (4), el número real a se denomina la parte real del número complejo α, mientras que
√ el
número real b se denomina la parte imaginaria de α. La parte real del número complejo z = 34 − 2i
√
por ejemplo es 43 mientras que su parte imaginaria es − 2.
La parte real de un número complejo z la denotaremos por Re(z), la parte imaginaria por Im(z)
y por tanto
z = a + bi = Re(z) + Im(z)i
(5)
ad
Cuando los números complejos se expresan en la forma a + bi, las operaciones suma y producto
de la definición (2.2) quedan ası́:
Proposición 2.2 Para todo par de números complejos z = a + bi y w = c + di,
rsid
1. z + w = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i
2. zw = (a + bi)(c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i
Observemos que el producto enunciado en (2) también se puede deducir a partir de las propiedades de campo en C y de que i2 = −1:
(a + bi)(c + di) = a(c + di) + bi(c + di)
= ac + adi + bic − bd
= (ac − bd) + (adi + bic)
= (ac − bd) + (ad + bc)i
Conjugado de un número complejo
Un
2.2.
ive
= ac + adi + bic + bdi2
El conjugado de un número complejo nos permite realizar divisiones entre números complejos
con facilidad.
Definición 2.3 (Conjugado) Dado el número complejo z = a+bi, el número complejo z = a−bi
que se obtiene al cambiar el signo de la parte imaginaria de z se denomina el conjugado de z.
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Por ejemplo, el conjugado de z = 3 + 4i es z = 3 − 4i mientras que para w = 2 − 5i, w = 2 + 5i.
Primero observemos que dado z = a + bi,
z + z = (a + bi) + (a − bi) = 2a = 2 Re(z) ∈ R
mientras que
zz = (a + bi)(a − bi) = (a · a − b · (−b)) + (a · (−b) + b · a)i = a2 + b2 ∈ R
En ambos casos, el resultado es un número real puro (número complejo con parte imaginaria nula).
Proposición 2.3 (Propiedades del conjugado) Para todo número complejo z = a + bi,
1. z + z = (a + bi) + (a − bi) = 2a = 2 Re z ∈ R
2. zz = a2 + b2 ∈ R
La propiedad (2) nos permite encontrar el inverso multiplicativo de un número complejo z =
a + bi:
zz = a2 + b2
1
z
= 2
z
a + b2
=⇒
de
Ası́ mismo podemos dividir números complejos:
(6)
w
1
z
zw
w = 2
= w = 2
z
z
a + b2
a + b2
(7)
Ejemplo 2.1 Exprese en la forma a + bi los números complejos
1
3 + 4i
2.
1 + 2i
2 − 4i
ad
1.
Solución
1
3 − 4i
3 − 4i
3 − 4i
3
4
1
=
·
=
=
=
−
i
3 + 4i
3 + 4i 3 − 4i
9 + 16
25
25 25
2.
1 + 2i 2 + 4i
− 6 + 8i
− 6 + 8i
3
2
1 + 2i
=
·
=
=
= − + i
2 − 4i
2 − 4i 2 + 4i
4 + 16
20
10 5
2.3.
Exponentes
rsid
1.
Para z 6= 0,
ive
Sean n ∈ Z+ y z ∈ C. Al igual que para números reales, z n es una notación exponencial que
representa el producto de z multiplicado n veces por sı́ mismo.
z n = z| · z ·{zz · · · z}
z0 = 1
n veces
y z −n =
1
zn
Un
Las leyes de los exponentes para números reales también son válidas para números complejos:
Proposición 2.4 Para todo z, w ∈ C y m, n ∈ Z se tiene que
1. z m z n = z m+n
2. (z m )n = z mn
3. (zw)n = z n wn
n
n
= wz n , w 6= 0
4. Para wz
5.
zm
zn
= z m−n , z 6= 0
6.
zm
zn
=
1
z n−m ,
z 6= 0
5
2.4.
Radicales
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La noción de raı́z n-ésima desarrollada para números reales puede extenderse al conjunto de
los números complejos, pero a diferencia de lo que se presenta en los números reales, algunas de
sus propiedades no siguen siendo válidas en C.
La unidad imaginaria i es un número complejo que satisface la ecuación z 2√= −1. Utilizando
esta notación, podemos pensar en i como la “raiz cuadrada” de −1 y escribir i = −1. No obstante,
observemos que el número complejo −i también satisface la ecuación z 2 = −1:
(−i)2 = i2 = −1
¿Cuál es entonces la raı́z cuadrada de −1? Esta discusión pretende justificar la siguiente definición:
Definición 2.4 La raı́z cuadrada principal de −1 es i. Para cualquier
número real r √
> 0 se
√
define la raı́z cuadrada principal de −r como el número complejo r i y se denota por −r:
√
√
−r = r i
(8)
√
√
√
√
Observemos que −4 = 4 i = 2i y −7 = 7 i. De lo anterior se deduce que para todo
número real p < 0 existen precisamente un par de números complejos que satisfacen
z2 = p
(9)
de
Éstos son la raı́z cuadrada principal de p y su inverso aditivo. La ecuación x2 + 25 = 0 tiene dos
soluciones complejas: x = 5i y x = −5i.
√ √
√
Es importante señalar que la fórmula válida para números reales positivos x y = xy no es
válida en este contexto:
√ √
√
x y 6= xy ,
x, y < 0
(10)
ad
Esta última observación es fácil verificarla haciendo x = y = −1. El lado izquirdo de (10) queda
√ √
√ √
x y = −1 −1 = ii = i2 = −1
(11)
mientras que el lado derecho de (10) queda
p
√
√
xy = (−1)(−1) = 1 = 1
Solución
3−
rsid
Ejemplo 2.2 Exprese en la forma a + bi el producto 3 −
(12)
√ √ −9 −2 + −4 .
√ √ √ √ −9 −2 + −4 = 3 − −9 −2 + −4
√ √ = 3 − 9 i −2 + 4 i
= (3 − 3i) (−2 + 2i)
= −6 + 6i + 6i − 6i2
= −6 + 6i + 6i + 6
= 0 + 12i
El Plano Complejo
Un
3.
ive
= 3 (−2 + 2i) − 3i (−2 + 2i)
La representación geométrica de los números reales como puntos sobre una recta permite introducir de manera intuitiva muchas de las propiedades abstractas que caracterizan a los números
reales.
Por medio de esta representación geométrica, cada punto de la recta representa un número real
y recı́procamente, a cada número real le corresponde un punto de la recta.
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-4
-3
-2
-1
0
1
2
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R
-5
3
4
5
La misma idea se puede extender para C. Cualquier número complejo z = (a, b) lo podemos
representar como un punto en un plano coordenado. El punto de coordenadas (a, b) es la representación geomética del número z = a + bi. Cada punto de este plano (llamado plano complejo1 )
representa un número complejo y viseversa. Al eje x se le denomina eje real, al eje y se le denomina
eje imaginario. A la intersección de los ejes se le denomina el origen
Todos los puntos sobre el eje real representan un número real, mientras que los puntos sobre
el eje imaginario representan números imaginarios puros (números complejos con parte real nula).
El punto de coordenadas (0, 1) por ejemplo representa a i
Im
2 + 3i
3
5 √
− + 2i
2
2
4+i
1
-5
-4
-3
-2
-1
i
1
-1
2
3
4
Re
4−i
de
-2
−3 − 2i
Módulo de un número complejo
ad
3.1.
-3
rsid
El concepto de valor absoluto establecido para números reales se puede extender a C. Recordemos que para todo x ∈ R,
x si x ≥ 0
|x| =
(13)
−x si x < 0
El valor absoluto nos permite estimar distancias entre puntos (números reales) de la recta real.
Para el caso complejo, la noción de valor absoluto o módulo, nos permite estimar distancias entre
puntos (números complejos) del plano complejo.
ive
Definición 3.1 El valor absoluto o módulo de un número complejo z = a + bi viene dado por
p
(14)
|z| = a2 + b2
La definición (3.1) de módulo de un número complejo z = a + bi corresponde a la distancia que
hay desde el origen hasta un punto de coordenadas (a, b) en el plano complejo. La fórmula (14)
corresponde al teorema de Pitágoras.
p
√
√
√
32 + (−4)2 = 25 = 5, |2i| = 02 + 22 = 4 = 2 y | − 5| =
p Por ejemplo √|3 − 4i| =
(−5)2 + 02 = 25 = 5.
Un
El valor absoluto o módulo de un número complejo satisface importantes propiedades.
Proposición 3.1 Para todo par de números complejos z y w se tiene que
1 Al plano complejo también se le conoce como plano de Argand en honor al matemático suizo Jean Argand,
(1768, 1822) quien en 1806 propuso esta representación para los números complejos.
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1. |z| ≥ 0
3. |z + w| ≤ |z| + |w|
2. |z| = 0 ⇐⇒ z = 0
4. |zw| = |z||w|
Existe una relación importante entre el módulo de un número complejo y su conjugado. La
propiedad (2) de la proposicón (2.3) sobre el conjugado afirma que para todo número complejo
z = a + bi, se cumple que zz = a2 + b2 . Por tanto
Proposición 3.2 Para todo número complejo z = a + bi se satisface la siguiente igualdad
zz = |z|2
(15)
Observemos que para el caso en que b = 0, z = z = a y (3.2) se convierte en z 2 = |z|2
3.2.
Conjunto de Mandelbrot
z1 = z02 + c ,
z3 = z22 + c ,
. . . , zn+1 = zn2 + c ,
ad
z0 = 0 ,
de
El conjunto de Mandelbrot es un conjunto de puntos en el plano complejo cuya frontera constituye un fractal. El concepto fue desarrollado, entre otros, por el matemático francés Benoı̂t
Mandelbrot y se popularizó en 1985 tras la publicación de un artı́culo en la revista Scientific
American en el que se presentó un algoritmo para describirlo.
Matemáticamente está definido por todos los puntos del plano complejo c ∈ C para los cuales
la sucesión
. . .
(16)
resulta acotada, es decir, a medida que n aumenta, el término n-ésimo zn en módulo no crece
arbitrariamente. Por ejemplo, haciendo c = 1 en (16) obtenemos
z1 = z02 + 1 = 02 + 1 = 1 ,
z2 = z12 + 1 = 1 + 1 = 2 ,
rsid
z0 = 0 ,
z3 = z22 + 1 = 22 + 1 = 5 ,
. . .
y los términos de la sucesión generada resultante 0, 1, 2, 5, 26, . . . se hacen arbitrariamente grandes cuando n se hace grande, es decir, no están acotados. Concluimos entonces que c = 1 no
pertenece al conjunto de Mandelbrot.
Por otra parte, al sustituir c = −1 en (16) obtenemos
z1 = z02 −1 = 0−1 = −1 ,
z2 = z12 +i = (−1)2 −1 = 0 ,
z3 = z22 −1 = 02 −1 = −1 ,
ive
z0 = 0 ,
. . .
2 Objeto
Un
y los módulos de los términos de la sucesión generada resultante |0|, |−1|, |0|, |−1|, |0|, . . . no
crecen arbitrariamente. Por tanto c = −1 sı́ pertenece al conjunto de Mandelbrot.
Cuando se implementa la definición (16) en un lenguaje de programación y se grafican los resultados en un computador, surge una estructura compleja con una frontera aparentemente irregular.
La figura (1) de la página inicial del Taller muestra los resultados: los puntos que pertenecen al
conjunto de Mandelbrot se muestran en negro. Obsérvese cómo -1 pertenece al conjunto mientras
que 1 no.
El conjunto de Mandelbrot goza de una propiedad de autosimilitud caracterı́stica de los fractales2 : al ampliarse una región de la imagen reaparece en miniatura la imagen total inicial como
se ilustra a continuación.
semigeométrico cuya estructura básica, fragmentada o irregular, se repite a diferentes escalas.
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En la Figura (2a) se muestra el conjunto de Mandelbot, es decir, el conjunto de
puntos en el plano complejo que satisfacen el criterio establecido en (16). En esta
figura se seleccionan tres regiones cuadradas.
(a)
En la Figura (2b) se muestra la imagen resultante que se obtiene al amplificar la región cuadrada izquierda de la figura (2a).
(b)
En la Figura (2c) se muestra la imagen
resultante que se obtiene al amplificar la
región cuadrada superior de la figura (2a).
En la Figura (2b) se muestra la imagen
resultante que se obtiene al amplificar la
región cuadrada derecha de la figura (2a).
(d)
Figura 2: Conjunto de Mandelbrot
Referencias
de
(c)
Este proceso se puede repetir indefinidamente y los resultados son los mismos: invariabilidad con relación a la escala.
ad
[1] E.W. Swokowski, J.A. Cole, Álgebra y Trigonometrı́a con Geometrı́a Analı́tica, undécima
edición, editorial Thomson, 2006.
[2] M. Sullivan., Álgebra y Trigonometrı́a, séptima edición, editorial Pearson, 2006.
Un
ive
rsid
[3] F.D. Demana, B.K. Waits, G.D. Foley, D. Kennedy, Precálculo, séptima edición, editorial
Pearson, 2006.