Definición y notación Operaciones Conjugado, módulo y argumento Potencias de complejos Definición y notación Operaciones Conjugado, módulo y argumento 1 Definición y notación 2 Operaciones 3 Conjugado, módulo y argumento 4 Potencias de complejos Potencias de complejos Números complejos Sesión teórica 2 (págs. 10-15) 21 de septiembre de 2010 Definición y notación Operaciones Conjugado, módulo y argumento Potencias de complejos Definición Llamaremos números complejos a los elementos del conjunto: C = {a + bi | a, b ∈ R}. La expresión a + bi se denomina forma binómica del número complejo. Definición y notación Operaciones Conjugado, módulo y argumento Potencias de complejos Partes real e imaginaria: Dado un número complejo z = a + bi, llamaremos parte real de z al número real a, y lo denotaremos por Re(z). Llamaremos parte imaginaria de z al número real b, y lo denotaremos por Im(z). Ası́ tenemos z = Re(z) + Im(z)i Importante Si Re(z) = 0 entonces z se llama imaginario puro Todo número real es un número complejo simplemente identificando cualquier número real a ∈ R con el complejo z = a + 0 · i. Si Im(z) = 0 entonces z es un número real Definición y notación Operaciones Conjugado, módulo y argumento Potencias de complejos Definición y notación Operaciones Conjugado, módulo y argumento Potencias de complejos Plano complejo Re(z):Proyección sobre el eje real Im(z): Proyección sobre el eje imaginario Punto del plano que representa a z: afijo de z Definición y notación Operaciones Conjugado, módulo y argumento Potencias de complejos Operaciones con complejos 1 Definición y notación 2 Operaciones 3 Conjugado, módulo y argumento 4 Potencias de complejos Definición y notación Operaciones Conjugado, módulo y argumento Potencias de complejos Propiedades de la suma de complejos (1) Asociativa: (z1 + z2 ) + z3 = z1 + (z2 + z3 ). SUMA: (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i (2) Conmutativa: z1 + z2 = z2 + z1 . PRODUCTO: (a+bi)(c +di) = ac +adi +bci +bdi 2 = ac −bd +(ad +bc)i (3) Elemento neutro: 0. (4) Existencia de elemento opuesto: Si z = a + bi entonces −z = −a − bi. Es decir, (C, +) es un grupo abeliano. Definición y notación Operaciones Conjugado, módulo y argumento Potencias de complejos Definición y notación Operaciones Conjugado, módulo y argumento Potencias de complejos Propiedades del producto de complejos 1 Definición y notación 2 Operaciones 3 Conjugado, módulo y argumento 4 Potencias de complejos (1) Asociativa: (z1 z2 )z3 = z1 (z2 z3 ). (2) Conmutativa: z1 z2 = z2 z1 . (3) Elemento neutro: 1. (4) Existencia de inverso para complejos no nulos: Para todo número complejo z = 0 existe otro número complejo, 1 1 denotado por , tal que z · = 1. ¡¡Demostrar!! z z (5) Distributiva: (z1 + z2 )z3 = z1 z3 + z2 z3 . Resumiendo, (C, +·) tiene estructura de cuerpo. Definición y notación Operaciones Conjugado, módulo y argumento Conjugado de un número complejo Potencias de complejos Definición y notación Operaciones Conjugado, módulo y argumento Algunas propiedades del conjugado Conjugado de z = a + bi: z = a − bi Para todo z, w ∈ C: 1 z = z si y sólo si z ∈ R 2 z +w =z +w 3 z=z 4 z · z = Re(z)2 + Im(z)2 ∈ R 5 Re(z) = z+z 2 y Im(z) = z−z 2i Potencias de complejos Definición y notación Operaciones Conjugado, módulo y argumento Potencias de complejos Módulo y argumento Definición y notación Operaciones Conjugado, módulo y argumento Potencias de complejos Módulo y argumento Definición Dado z = a + bi ∈ C llamaremos módulo de z a |z| = a2 + b2 Definición Dado z = a + bi ∈ C \ {0} llamaremos argumento de z, denotado por arg(z), a cualquier número real θ (ángulo) tal que a = |z|cos(θ) y b = |z|sen(θ). ¡El argumento no es único!: Si θ es argumento entonces también lo es θ + 2kπ para todo entero k . Argumento principal de z = 0: El único argumento de z en el intervalo (−π, π], denotado por Arg(z). Definición y notación Operaciones Conjugado, módulo y argumento Potencias de complejos Paso de forma binómica a polar (o trigonométrica) Si z = a + bi, r = |z| y θ = arg(z) entonces: √ 2 2 r =+ a +b b si a = 0 tg(θ) = , a θ = π/2 + 2kπ ó θ = −π/2 + 2kπ con k ∈ Z, si a = 0 Observación: hay 2 posibles valores para θ (salvo suma de múltiplo de 2π); se determinará cual es a partir del cuadrante en el que se encuentra el afijo de z. Módulo y argumento de z = x + yi (r , θ) se denominan coordenadas polares del punto z del plano complejo. Forma polar de z: rθ . Forma trigonométrica de z: z = |z| cos(θ) + |z| sen(θ)i = |z|(cos(θ) + sen(θ)i) Definición y notación Operaciones Conjugado, módulo y argumento Potencias de complejos Propiedades del módulo 1 |z| ≥ 0 para todo z ∈ C. 2 |z| = 0 si y sólo si z = 0. 3 |z| = |z| para todo z ∈ C. 4 5 6 7 |z1 z2 | = |z1 | |z2 | para todo z1 , z2 ∈ C. z1 |z1 | z = |z | para todo z1 , z2 ∈ C con z2 = 0. 2 2 (Desigualdad triangular) |z1 + z2 | ≤ |z1 | + |z2 | para todo z1 , z2 ∈ C. ||z1 | − |z2 || ≤ |z1 − z2 | ∀z1 , z2 ∈ C. |z|2 = zz para todo z ∈ C. Definición y notación Operaciones Conjugado, módulo y argumento Potencias de complejos Definición y notación Operaciones Conjugado, módulo y argumento Potencias de complejos Propiedades del argumento 1 El argumento del producto de dos números complejos es igual a la suma de los argumentos (módulo 2π). 2 El argumento del cociente de dos números complejos es igual a la resta de los argumentos (módulo 2π). Por tanto: 1 Definición y notación 2 Operaciones 3 Conjugado, módulo y argumento 4 Potencias de complejos rα · sβ = (rs)α+β rα /sβ = (r /s)α−β Definición y notación Operaciones Conjugado, módulo y argumento Potencias de complejos Fórmula de Moivre Definición y notación Operaciones Conjugado, módulo y argumento Potencias de complejos Notación exponencial Fórmula de Euler eθi = cos(θ) + sen(θ)i De las dos fórmulas anteriores se deduce inmediatamente la llamada Fórmula de Moivre, que permite calcular fácilmente las potencias (con exponente entero) de un número complejo a partir de su forma polar: (rα )n = (r n )nα Ejercicio: Calcular todas las potencias de i a partir de la forma binómica y a partir de la fórmula de Moivre. FORMA POLAR (usando notación exponencial): Todo número complejo z = 0 puede expresarse de la siguiente forma: z = |z|eθi (= |z|(cos(θ) + sen(θ)i). Cuando se hable de “forma polar” de un número complejo se usará, normalmente, notación exponencial. Fórmula de Moivre (usando notación exponencial): Si z = |z|eθi y n ∈ Z entonces z n = |z|n enθi . Ejercicio: Proporciona una expresión del producto y el cociente de dos números complejos usando la forma polar (con notación exponencial).