Revista Digital de la Universidad Autónoma de Zacatecas Revista de Investigación Científica. ISSN 0188-5367 Volumen 2, número 2, Nueva Época. Mayo-Agosto 2006 URL: www.uaz.edu.mx/revistainvestigacion Solución numérica para la valoración de hidrogramas de entrada a un embalse Numerical solution for numerical valuation of hydrographs of entrance to dam Jorge Bluhm Gutiérreza, Fidel Alejandro Ortiz Roblesb, Oscar Antonio Dzul Garcíab. a Unidad Académica Preparatoria Universidad Autónoma de Zacatecas b Maestría en Planeación de Recursos Hidráulicos Universidad Autónoma de Zacatecas Resumen En México es muy común la falta de información referente a los hidrogramas de entrada en las presas durante ciertos periodos de tiempo, así como la carencia de registros respecto a los volúmenes de salida. Los hidrogramas de entrada a los embalses, en un determinado lapso, son de vital importancia en el estudio y análisis de eventos hidrológicos. El núcleo del presente trabajo está conformado por varias etapas: a) la determinación de datos mínimos para obtener gastos de entrada al embalse, la revisión de los fundamentos y las expresiones que intervienen en el fenómeno; b) análisis de diversos métodos numéricos utilizados en la resolución de las ecuaciones planteadas, identificando los que mejor cumplen con los requisitos necesarios; c) la definición de metodologías para establecer, a partir de los algoritmos propuestos, los de resultados más precisos y de fácil aplicación. En general se empleó esta metodología en la presa El Cazadero. Palabras claves: solución numérica, métodos numéricos, valoración de hidrogramas, análisis numéricos, datos discretos, embalse. 1 Revista Digital de la Universidad Autónoma de Zacatecas Revista de Investigación Científica. ISSN 0188-5367 Volumen 2, número 2, Nueva Época. Mayo-Agosto 2006 URL: www.uaz.edu.mx/revistainvestigacion Abstract In Mexico the lack of information referring to hydrographs of entrance is very common in the prey for certain periods of time and on the other hand, the existence of registries of volumes of exit. Hydrographs of entrance to the dams for a certain period of time is of vital importance in the study and analysis of hydrologic events. The nucleus of this work is conformed by the stages: a) The determination of minimum data to obtain expenses of entrance to the dam, the revision of the foundations and expressions that take part in the phenomenon; b) analysis of diverse numerical methods used to solve the raised equations, determining those that better fulfill the necessary requirements; and c) the definition of methodologies to determine, between the proposed algorithms, those of precise results but and easier application. The Cazadero Dam was applied to the methodology to the Prey. Keywords: numerical solution, numerical methods, numerical valuation of hydrographs, numerical analysis, discreet data, dam. Introducción Algunos de los propósitos de un vaso de almacenamiento son el control de avenidas y sus diversos usos [2]. El tránsito de avenidas (que puede ser representado en todos sus efectos y en cálculos por hidrogramas de entrada al vaso) es un algoritmo que sirve para determinar el hidrograma de salida de una presa, dado un hidrograma de entrada. Entre las principales aplicaciones de esta técnica se encuentran: a) Conocer la evolución de los niveles en el vaso y de los gastos de salida por la obra de excedencias. Con la finalidad de evaluar si la política de operación es 2 Revista Digital de la Universidad Autónoma de Zacatecas Revista de Investigación Científica. ISSN 0188-5367 Volumen 2, número 2, Nueva Época. Mayo-Agosto 2006 URL: www.uaz.edu.mx/revistainvestigacion adecuada y, en caso de presentar una avenida, no poner en riesgo la presa, bienes materiales y vidas humanas. b) Hacer pronósticos de gastos de salida ante situaciones de peligro con previa investigación. c) Corregir las dimensiones de la obra de excedencias. [11] Las justificaciones de este trabajo son: determinar una metodología pertinente en la obtención del hidrograma de entrada, a una cuenca con un punto de control; generar información especializada para analizar y consultar la operación óptima sobre obras hidráulicas. Información que, en un momento dado, pueda servir de base a proyectos de modificación y toma de decisiones. En cuanto a los objetivos se plantean a continuación: • Precisar los datos mínimos necesarios para la obtención de los gastos de entrada al embalse. • Establecer los fundamentos y expresiones que intervienen en el fenómeno. • Identificar cuáles esquemas numéricos solucionan las fórmulas planteadas. • Determinar los procedimientos numéricos que generan los resultados más exactos. [3] Para efectuar el procedimiento del tránsito de avenidas en vasos, es necesario contar con una información básica e indispensable como el hidrograma de entrada al vaso dentro de un análisis específico. Enseguida se presenta el desarrollo para obtener una metodología en la valoración del hidrograma de entradas (gastos que ingresan por unidad de tiempo) a un embalse. Caso de estudio 3 Revista Digital de la Universidad Autónoma de Zacatecas Revista de Investigación Científica. ISSN 0188-5367 Volumen 2, número 2, Nueva Época. Mayo-Agosto 2006 URL: www.uaz.edu.mx/revistainvestigacion Se consideró realizar el estudio en la presa «El Cazadero» ubicada en el Río Aguanaval, con una capacidad de 30.95 millones de m3. Su ubicación geográfica es 23º 42’ norte y 103º 06’ oeste, perteneciente al municipio de Saín Alto, Zacatecas (Figura 1). El uso principal del embalse es el desarrollo de la agricultura de riego. [18] Figura 1. Vista del vertedor y caseta de la obra de toma, presa El Cazadero. Metodología Se usó el método hidrológico basado en la ecuación de continuidad. Este método es sencillo y toma en cuenta los caudales afluentes que provienen de una variedad de fuentes. La ecuación de continuidad completa es: [14] P + E − S − Evap = ΔV (1) 4 Revista Digital de la Universidad Autónoma de Zacatecas Revista de Investigación Científica. ISSN 0188-5367 Volumen 2, número 2, Nueva Época. Mayo-Agosto 2006 URL: www.uaz.edu.mx/revistainvestigacion Donde P es la cantidad de precipitaciones que caen sobre la superficie del almacenamiento durante un periodo de observación, E es el agua superficial y subterránea que entra, S es el agua superficial y subterránea que sale, Evap es la cantidad de agua evaporada desde la superficie del almacenamiento, ∆V la variación en el volumen de agua del embalse en el periodo establecido. Para el caso de una avenida la cantidad de precipitaciones en un embalse, contribuye al caudal desde el comienzo de la tormenta. En general su importancia es menor, por lo que se le integra a menudo en el escurrimiento superficial E (P es eliminado de la ecuación de continuidad). Respecto al escurrimiento subterráneo, para casi la totalidad de los casos, la duración del trayecto hacia la salida es mayor que la de las otras componentes del caudal, debido a la lentitud de las velocidades de flujo subterráneo. En una cuenca de dimensiones y características medias, el volumen de agua aportado a la capa subterránea por una tormenta emplea, regularmente, más de un mes en pasar por la salida. A causa de esto, la contribución de las aguas subterráneas al caudal total es siempre gradual y no representa sino una pequeña fracción en los gastos pico de las crecidas. En eventos de corta duración (el tiempo de duración promedio de una avenida del orden de pocas horas) tal componente puede ser despreciado, sin afectar de manera sustancial la obtención de los gastos totales correspondientes. [15] En el caso de la componente de evaporación, expresada por una tasa de escasos mm/día, al considerar un evento con una duración de algunas horas, se puede simplificar el cálculo, eliminando dicha componente en la ecuación de continuidad, lo que no produce grandes errores en el cálculo. Al vaso de almacenamiento es aplicable la ecuación de continuidad (Conservación de la masa [6]) para realizar el análisis. La representación de la ecuación es: 5 Revista Digital de la Universidad Autónoma de Zacatecas Revista de Investigación Científica. ISSN 0188-5367 Volumen 2, número 2, Nueva Época. Mayo-Agosto 2006 URL: www.uaz.edu.mx/revistainvestigacion dV =E−S dt (2) Donde: dV = Variación del volumen almacenado en el tiempo, [7, 10] dt E = Gasto de entrada al vaso S = Gasto de salida del vaso Se manejaron las cantidades de entrada a esta expresión como datos discretos [20] y como ecuaciones ajustadas, y se aceptaron sólo los resultados generados para datos discretos. En la resolución de la ecuación diferencial [4, 19] planteada (ecuación (2)), se propusieron dos métodos numéricos. Métodos paso a paso: Euler y Runge-Kutta (de segundo y tercer orden). Métodos multipaso: Predictor-corrector de Milne, fórmulas abiertas de Adams (segunda, Adams-Bashforth de tercer y cuarto orden), fórmulas cerradas de Adams (de segundo, tercero y cuarto orden). [5] Para la aplicación de los métodos se seleccionó un incremento de paso de una hora (∆t = 1 h), que representa el intervalo de tiempo, dentro del cual se toman las lecturas de la escala del nivel en la presa. Esta selección se realizó con base en el criterio de la repetición de un cierto número de cifras significativas en varios intervalos de tiempo a prueba, en el resultado se observó que es el que más coincidencias posee. [5] Los esquemas numéricos que se desarrollaron [3] para obtener el gasto de ingreso a la presa El Cazadero se enlistan a continuación: 6 Revista Digital de la Universidad Autónoma de Zacatecas Revista de Investigación Científica. ISSN 0188-5367 Volumen 2, número 2, Nueva Época. Mayo-Agosto 2006 URL: www.uaz.edu.mx/revistainvestigacion Método de Euler Ei = Si + Vi+1 − Vi Δt (3) Método de Runge-Kutta de segundo orden 2(Vi+1 −Vi ) Δt (4) 2(Vi+1 −Vi ) − Ei + Si + Si+1 Δt (5) Ei+1 = Si + Si+1 − Ei + Runge-Kutta de tercer orden Ei+1 = Método predictor-corrector de Milne Predictor Ei = 3 8 (V i +1, p − Vi −3 ) Δt − Ei − 2 + S i − 2 + 12 Ei −1 − 12 S i −1 + S i (6) Corrector Ei +1 = 3(Vi +1,c − Vi −1 ) Δt − Ei −1 + S i −1 − 4 Ei + 4 S i + S i +1 (7) Segunda fórmula abierta de Adams Ei = 2 3 (Vi+1 − Vi ) Δt + S i + 13 Ei −1 − 13 S i −1 (8) Fórmula de Adams-Bashforth de tercer orden Ei = 12 19 (Vi +1 − Vi ) Δt + 198 (Ei −1 − S i −1 ) − 191 (Ei −2 − S i −2 ) + S i (9) Fórmula de Adams-Bashforth de cuarto orden 7 Revista Digital de la Universidad Autónoma de Zacatecas Revista de Investigación Científica. ISSN 0188-5367 Volumen 2, número 2, Nueva Época. Mayo-Agosto 2006 URL: www.uaz.edu.mx/revistainvestigacion 24 Ei = 55 (Vi+1 −Vi ) Δt ( ) 37 ( ) 9( ) + 59 55 Ei−1 − Si−1 − 55 Ei−2 − Si−2 + 55 Ei−3 − Si−3 + Si (10) Fórmula cerrada de Adams de segundo orden Ei +1 = 2(Vi +1 − Vi ) + S i +1 − Ei + S i Δt (11) Fórmula cerrada de Adams de tercer orden Ei +1 = 125 (Vi+1 − Vi ) Δt − 85 (Ei − S i ) + 15 (Ei −1 − S i −1 ) + Si +1 (12) Fórmula cerrada de Adams de cuarto orden E i +1 = 24 9 (Vi +1 − Vi ) − 19 (E Δt 9 i − Si ) + 5 9 (Ei −1 − S i −1 ) − 19 Ei − 2 + 19 S i − 2 + S i +1 (13) Análisis de Resultados Los datos necesarios para la solución numérica de las ecuaciones señaladas (3-13), para un evento específico se obtuvieron a partir de: [3] a) Tablas Elevaciones-Volúmenes b) Tablas Elevaciones-Gastos en el vertedor c) Datos de Escala-Almacenamiento-Gasto vertido, en el periodo del 5 al 30 del mes de septiembre de 2003 Los datos utilizados comprenden de las 23:00 horas del 21 de septiembre, a las 15:00 horas del 23 del mismo mes, en el año 2003. Estos datos se emplearon debido a su disponibilidad y confiabilidad, características indispensables en la realización de un 8 Revista Digital de la Universidad Autónoma de Zacatecas Revista de Investigación Científica. ISSN 0188-5367 Volumen 2, número 2, Nueva Época. Mayo-Agosto 2006 URL: www.uaz.edu.mx/revistainvestigacion análisis adecuado. En la figura 2 se presenta la solución numérica de los hidrogramas de entrada al vaso de la presa El Cazadero para los diferentes métodos; sin embargo no se muestran las gráficas de los métodos de las fórmulas cerradas de Adams de tercer y cuarto orden, a causa de los problemas de estabilidad numérica. [3] Para identificar los métodos numéricos aplicados y la validez de los resultados satisfactorios, se revisó la estabilidad y convergencia de cada uno de los esquemas planteados [1, 4, 5, 16, 17]. Además, se efectuó un análisis de los resultados obtenidos respecto a los registros, que nos permitiera determinar el método que brindara mejores resultados presentó. Lo anterior consiste en calcular la verificación de continuidad en cada método: E − S = ΔV (14) Donde E = Volumen de entradas al vaso durante el intervalo de tiempo S = Volumen de salidas del vaso durante el mismo intervalo ∆V = Cambio del volumen almacenado en el vaso en el intervalo de tiempo 9 Revista Digital de la Universidad Autónoma de Zacatecas Revista de Investigación Científica. ISSN 0188-5367 Volumen 2, número 2, Nueva Época. Mayo-Agosto 2006 URL: www.uaz.edu.mx/revistainvestigacion Hidrogramas de Gastos de Entrada Δ t = 1 hora 600 Euler 500 R-K 2° R-K 3° Milne 2a-Abierta-Adams 3a-Abierta-Adams 4a-Abierta-Adams 2a-Cerrada-Adams Salidas por vertedor Gasto (m3/s) 400 300 200 100 0 0 5 10 15 20 25 -100 30 35 40 45 t (h) Figura 2. Avenida registrada del 21 al 23 de septiembre de 2003 y los hidrogramas estimados numéricamente. Se puede obtener la estimación del error [9, 13] en los diferentes esquemas, mostrados en la tabla 1 para los diversos métodos numéricos. [3] Tabla 1. Cálculo del error cometido al aplicar diversos métodos numéricos. Método ∆V (m3) E (m3) S (m3) E−S (m3) Error (%) = | (E−S)/∆V |·100 −100 Euler -1550000 23481840 25048514 -1566674 1.1 R-K-2° -1550000 24367182 25048514 -681332 -56.0 R-K-3° -1550000 24367182 25048514 -681332 -56.0 Milne -1550000 23639924 25048514 -1408590 -9.1 2a-Abierta-Adams -1550000 23488529 25048514 -1559985 0.6 3a-Abierta-Adams -1550000 23492520 25048514 -1555994 0.4 4a-Abierta-Adams -1550000 23508217 25048514 -1540297 -0.6 2a-Cerrada-Adams -1550000 24367182 25048514 -681332 -56.0 Si el primer término de la ecuación (14) fuera idéntico al segundo miembro, el error porcentual obtenido sería igual a cero. Entonces, si se pretende que un método sea más preciso, su error en porcentaje debe ser lo más cercano posible al valor cero. 10 Revista Digital de la Universidad Autónoma de Zacatecas Revista de Investigación Científica. ISSN 0188-5367 Volumen 2, número 2, Nueva Época. Mayo-Agosto 2006 URL: www.uaz.edu.mx/revistainvestigacion Conclusiones Es necesario apuntar, que los resultados obtenidos al utilizar los datos por medio de ecuaciones ajustadas en los métodos, fueron muy pobres y estuvieron por debajo de sus correspondientes resultados al emplear los datos discretos. Debido a esto, sólo se recomienda usar expresiones deducidas para tales datos. [8] A partir de los análisis de estabilidad, convergencia y validación de resultados, se concluye que el método más favorable fue el método de la cuarta fórmula abierta de Adams (ecuación (10)). El cual, al aplicar a datos discretos, presentó excelente estabilidad, un menor error de truncado [12], buena convergencia, así como una forma de hidrograma uniforme y sin depresiones parciales. La secuencia que se utilizó para su uso fue la siguiente: a) Los tres valores anteriores al tiempo de inicio deseado (indispensables al comienzo del método) se lograron al hacer uso del método Euler, que tiene por expresión la fórmula; Ei = Si + Vi+1 −Vi Δt () Para su obtención se realizaron las sustituciones adecuadas de los datos de volúmenes y salidas. Fáciles de conseguir a partir de las escalas correspondientes a las horas anteriores al inicio de la tormenta. b) Se sustituyó en la siguiente expresión; 24 Ei = 55 (Vi+1 −Vi ) + 59 (E Δt 55 i−1 9 − Si−1 ) − 37 55 (Ei−2 − Si−2 ) + 55 (Ei−3 − Si−3 ) + Si () 11 Revista Digital de la Universidad Autónoma de Zacatecas Revista de Investigación Científica. ISSN 0188-5367 Volumen 2, número 2, Nueva Época. Mayo-Agosto 2006 URL: www.uaz.edu.mx/revistainvestigacion c) Se tabularon los datos, y con ellos se elaboró el hidrograma correspondiente. Sin detrimento de lo anterior, para casos en que se cuente con poco tiempo y recursos, y se requiera de resultados, hasta cierto grado confiables, se debe emplear el método de Euler: de fácil aplicación y programa en cualquier hoja de cálculo. Mención especial requiere la determinación del gasto pico (gasto máximo) en el diseño de obras hidráulicas. En este caso, el método que proporciona el mayor gasto, (y que se encuentra dentro de las normas de seguridad, como lo marcan las básicas de ingeniería), es el Método Milne, que presenta estabilidad en la curva de concentración o rama ascendente, así como un error de truncado reducido y convergencia, condiciones que garantizan conseguir el gasto pico seleccionado. Bibliografía [1] ABELLANAS L., Galindo A., Métodos de cálculo, Serie Schaum, México, McGraw-Hill, 1989. [2] APARICIO Mijares, F. J., Fundamentos de hidrología de superficie, México, Limusa, 1984. [3] BLUHM GUTIÉRREZ, J., Solución numérica para la cuantificación de hidrogramas de entrada a un embalse [Tesis Maestría], México, Maestría en Planeación de Recursos Hidráulicos/Universidad Autónoma de Zacatecas, 2005. [4] BOYCE W., E., Diprima R., C., Ecuaciones diferenciales y problemas con valores en la frontera, México, Limusa, 1990. [5] DZUL GARCÍA, O., A., Apuntes del curso Métodos numéricos aplicados a la hidráulica. Teoría, métodos y aplicaciones, México, Maestría en Planeación de Recursos Hidráulicos/Universidad Autónoma de Zacatecas, 2003 [6] FRENCH R., H., Hidráulica de canales abiertos, México, McGraw-Hill, 1992. [7] GRANVILLE W., A., Cálculo diferencial e integral, México, Limusa, 1996. 12 Revista Digital de la Universidad Autónoma de Zacatecas Revista de Investigación Científica. ISSN 0188-5367 Volumen 2, número 2, Nueva Época. Mayo-Agosto 2006 URL: www.uaz.edu.mx/revistainvestigacion [8] HERNÁNDEZ SAMPIERI, R., Fernández Collado, C., Baptista Lucio P., Metodología de la investigación, México, McGraw-Hill, 2003. [9] KENNEDY J., B., Neville A., M., Estadística para ciencias e Ingeniería, México, Harla, 1983. [10] LEITHOLD L., El Cálculo con Geometría Analítica, México, Harla, 1987. [11] LINSLEY J. R. K., Kohler M., A., Paulus J., L. H., Hidrología para ingenieros, McGraw-Hill, 1980. [12] LUTHE R., Olivera A., Schutz F., Métodos numéricos., Limusa, 1988. [13] MENDENHALL S., Wackerly A., Estadística matemática con aplicaciones, Iberoamérica, 1986. [14] «Organización meteorológica mundial», Guía de prácticas hidrológicas, OMM-Número 168, 1988. [15] REMENIERAS G., Tratado de hidrología aplicada, Técnicos asociados,1974. [16] SAMARSKI A., A., Introducción a los métodos numéricos, Moscú, Mir, 1986. [17] SCHEID F., Análisis numérico, Serie Schaum, McGraw-Hill, 1986. [18] Secretaría de Programación y Presupuesto. Síntesis Geográfica de Zacatecas, México., Coordinación General de los Servicios Nacionales de Estadística, Geografía e Informática, 1981. [19] SPIEGEL M., R., Ecuaciones diferenciales aplicadas. México, Prentice-Hall Hispanoamericana, 1989. [20] STRÖBL W., Matemática, Rioduero, 1977. 13