Tema 2: Álgebra vectorial
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Tema 2: Álgebra vectorial
FISICA I, 1º Grado en Ingeniería Civil
Escuela Técnica Superior de Ingeniería
Universidad de Sevilla
Física I, GIC, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2015/16
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Índice
Magnitudes escalares y vectoriales
Definición de vector
Vectores libres
Suma y producto por un escalar
Bases vectoriales
Producto escalar, vectorial, mixto
Doble producto vectorial
Derivada de un vector
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Magnitudes escalares y vectoriales
Magnitud escalar : queda definida con un número y una unidad
Temperatura, longitud, carga eléctrica, tiempo, etc
Magnitud vectorial: require magnitud, dirección y sentido
Velocidad, aceleración, fuerza, etc
Magnitud tensorial
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Índice
Magnitudes escalares y vectoriales
Definición de vector
Vectores libres
Suma y producto por un escalar
Bases vectoriales
Producto escalar, vectorial, mixto
Doble producto vectorial
Derivada de un vector
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Definición de vector
En Matemáticas es un elemento de un espacio vectorial
En Física es un segmento orientado: una flecha
Módulo
Recta soporte
Dirección
Sentido
Punto de aplicación
Sentido
Punto de
aplicación
Representación: a o
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du
mó
te
r
o
op
s
a
ct
e
n)
R
ó
i
ecc
r
i
(d
lo
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Tipos de vectores
Libres: módulo, dirección y sentido
Pueden moverse libremente en el espacio
Deslizantes: módulo, dirección, sentido y recta soporte
Pueden desplazarse libremente sobre su recta soporte
Ligados: módulo, dirección, sentido y punto de aplicación
No pueden desplazarse en el espacio
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Índice
Magnitudes escalares y vectoriales
Definición de vector
Vectores libres
Suma y producto por un escalar
Bases vectoriales
Producto escalar, vectorial, mixto
Doble producto vectorial
Derivada de un vector
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Vectores libres
Relación de equivalencia: a y b son vectores equivalentes si tienen el
mismo módulo, dirección y sentido
Dos vectores libres equivalentes pueden hacerse coincidir si se desplazan
en el espacio
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Índice
Magnitudes escalares y vectoriales
Definición de vector
Vectores libres
Suma y producto por un escalar
Bases vectoriales
Producto escalar, vectorial, mixto
Doble producto vectorial
Derivada de un vector
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Vectores libres
Suma de vectores libres
Dos vectores
Varios vectores
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Vectores libres: suma
Propiedades de la suma
Conmutativa
Asociativa
Existencia de elemento neutro
Existencia de elemento opuesto
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Vectores libres: producto por un escalar
El producto por un escalar es otro vector
Propiedades
Asociativa respecto al producto por un escalar
Distributiva respecto a la suma de vectores
Distributiva respecto a la suma de escalares
Existencia de escalar unidad
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Índice
Magnitudes escalares y vectoriales
Definición de vector
Vectores libres
Suma y producto por un escalar
Bases vectoriales
Producto escalar, vectorial, mixto
Doble producto vectorial
Derivada de un vector
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Bases vectoriales
Los infinitos vectores que pueden definirse sobre una recta
pueden caracterizarse con uno de los vectores y un número
La base del espacio vectorial formado por todos los
vectores contenidos en una recta tiene dimensión 1
Los infinitos vectores que pueden definirse sobre un plano
pueden caracterizarse con dos de los vectores no
colineales y dos números
La base del espacio vectorial formado por todos los
vectores contenidos en un plano tiene dimensión 2
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Bases vectoriales
Los infinitos vectores que pueden definirse en un espacio tridimensional pueden
caracterizarse con tres de los vectores no colineales y no coplanarios y tres números
La base del espacio vectorial formado por todos los vectores en el espacio tiene
dimensión 3
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Bases vectoriales
Una base en E3 es una terna de vectores, B = {v1, v2, v3} , tal que cualquier vector
a puede escribirse como combinación lineal de ellos
a1, a2, a3 son las componentes de a en la base B
Para que tres vectores formen una base no deben ser ni colineales ni coplanarios
(linealmente independientes)
La dimensión del espacio vectorial es el número mínimo de vectores linealmente
independientes que pueden describir todos los vectores del espacio
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Base cartesiana
Triedro OX1X2X3 ≡ OXYZ
X3≡Z
Base
ortonormal
Componentes
O
X2≡Y
Álgebra vectorial
X1≡X
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Índice
Magnitudes escalares y vectoriales
Definición de vector
Vectores libres
Suma y producto por un escalar
Bases vectoriales
Producto escalar, vectorial, mixto
Doble producto vectorial
Derivada de un vector
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Producto escalar
Definición
El resultado de la operación es un escalar
El punto es importante
Permite expresar de modo sencillo la condición de ortogonalidad, distancias y
ángulos
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Producto escalar: aplicaciones
Condición de ortogonalidad para dos vectores
Está relacionado con la proyección ortogonal de un vector sobre otro
Si uno de los vectores es unitario da la proyección ortogonal sobre él del otro
vector
Extrae la componente del vector
paralela a la dirección del vector
Si ninguno de los vectores es unitario
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Producto escalar: métrica del espacio
X3
Distancia entre dos puntos
P(p1,p2,p3)
Ángulo entre dos vectores
O
Q(q1,q2,q3)
X2
X1
Permite definir una métrica en el espacio
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Producto escalar: propiedades
Propiedades
Asociativa resp. prod. por un escalar
Conmutativa
Distributiva resp. a suma
Cancelativa
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Producto escalar: base ortonormal
Los vectores de una base ortonormal son mutuamente perpendiculares y de
módulo unidad
Producto escalar de dos vectores expresados en una base ortonormal
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Producto escalar: aplicaciones
Distancia entre dos puntos
Módulo de un vector
Ángulo entre dos vectores
Construcción de un vector unitario paralelo a un vector a
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Producto escalar: aplicaciones
Componentes cartesianas de un vector
X3
Cosenos directores
O
X2
X1
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Producto escalar: ecuación vectorial de un plano
Punto por el que pasa el plano
Z
P1
Vector normal al plano
P
Punto genérico del plano
X
O
Y
Condición para que el punto P esté en el plano
Ecuación general del plano
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Producto vectorial
Definición
El resultado de la operación es un vector
Escritura alternativa
Permite expresar de modo sencillo la condición de paralelismo
Permite construir rápidamente vectores perpendiculares
Extrae la componente perpendicular en una proyección ortogonal
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Producto vectorial
Condición de paralelismo
=
=0
Se relaciona con la componente perpendicular de la proyección ortogonal
Si uno de los vectores es unitario (u) da la componente perpendicular a u de la
proyección ortogonal sobre él del otro vector
La otra componente la da el producto escalar
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Producto vectorial
Si ninguno de los dos vectores es unitario, el módulo es la componente perpendicular
de la proyección ortogonal multiplicada por el otro vector
Área del paralelogramo que forman dos vectores
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Producto vectorial
Propiedades
No es asociativo
Anticonmutativa
Asociativa resp. al prod. por un escalar
Distributiva respecto a la suma
Cancelativa
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Producto vectorial: base cartesiana
Es una base ortonormal dextrógira
Expresión en una base ortonormal
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Producto vectorial: ecuación vectorial de una recta
Z
Punto por el que pasa la recta
P1
Vector director de la recta
Punto genérico de la recta
Condición para que el vector
r
P
X
O
Y
sea paralelo al vector director
Ecuaciones de la recta
Vectorial
Paramétricas
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Continua
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Producto mixto
Definición: involucra tres vectores
El resultado de la operación es un escalar
El valor absoluto es el volumen del paralelepípedo
h
Condición de coplanariedad
Tres vectores forman
una base si y solo si
su producto mixto es
no nulo
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Producto mixto
Propiedades
Permutabilidad cíclica
Permutabilidad acíclica
Expresión en una base cartesiana
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Producto mixto: ecuación de un plano que pasa por tres puntos no alineados
Puntos por los que pasa el plano
Z
Punto genérico del plano
P1
P2
P3
Condición de coplanariedad
X
O
Y
Ecuación del plano
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Índice
Magnitudes escalares y vectoriales
Definición de vector
Vectores libres
Suma y producto por un escalar
Bases vectoriales
Producto escalar, vectorial, mixto
Doble producto vectorial
Derivada de un vector
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Doble producto vectorial
Definición: involucra tres vectores
El resultado de la operación es un vector
Aplicación al desarrollo del producto escalar de dos productos vectoriales
Resolución de un sistema de ecuaciones vectoriales
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Índice
Magnitudes escalares y vectoriales
Definición de vector
Vectores libres
Suma y producto por un escalar
Bases vectoriales
Producto escalar, vectorial, mixto
Doble producto vectorial
Derivada de un vector
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Derivada de un vector
Un vector puede ser función de una variable
Variación del módulo
Variación de la dirección
En general varían las dos cosas
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Derivada de un vector
Derivada de un vector expresado en una base cartesiana
Los vectores de la base cartesiana no dependen del tiempo
Derivada del producto escalar y vectorial de dos vectores
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Resumen
Definición de vector
Vectores libres
Suma y producto por un escalar
Bases vectoriales
Conjunto mínimo de vectores linealmente independientes que permiten expresar todos los vectores del
espacio
Base cartesiana: tres vectores unitarios y mutuamente perpendiculares constantes en todo el espacio
Producto escalar
Condición de ortogonalidad
Permite calcular distancias y ángulos: define una métrica en el espacio
Extrae la componente paralela de la proyección ortogonal de un vector sobre una dirección (aplicación
al cálculo de componentes en bases cartesianas)
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Resumen
Producto vectorial
Condición de paralelismo
Extrae la componente perpendicular de la proyección ortogonal de un vector sobre una dirección
Área del paralelogramo
Producto mixto
Condición de coplanariedad
Volumen del paralelepípedo
Doble producto vectorial
Derivada de un vector
Puede cambiar el módulo y/o la dirección
Derivada de un producto escalar y vectorial
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