Control de Posición Para Robots Manipuladores

8º Congreso Nacional de Mecatrónica
Noviembre 26 y 27, 2009. Veracruz, Veracruz.
Control de Posición Para Robots Manipuladores: Una nueva
Metodología de Diseño
Espinosa Maya Luis Eduardo(1), Barahona Avalos Jorge Luis(2), Villegas Rosas José
Gerardo(1) y Sánchez Medina Godolfredo(1)
(1) Facultad de Ciencias de la Electrónica, Benemérita Universidad Autónoma de Puebla, Av. 18 Sur y Sn.
Claudio S/N, Col. San Manuel, C. P. 72570, Puebla, Pue.
(2) Jefatura de Ingeniería en Mecatrónica, Instituto de Electrónica y Computación, Universidad Tecnológica de la
Mixteca, Km 2.5 Carretera a Acatlima S/N, C.P. 69000, Huajuapan de León, Oaxaca.
robot manipulador de transmisión directa
grados de libertad
Resumen
Este trabajo presenta una nueva metodología
de diseño para el control de posición de robots
manipuladores que se desplazan libremente por su
espacio de trabajo. La nueva aproximación es
desarrollada con base a la técnica de moldeo de
energía propuesta por Takegaki y Arimoto en 1981 y
reformulada posteriormente por Kelly en 2000. El
sustento teórico formal de la nueva metodología es
hecho a partir del segundo método de Lyapunov y del
principio de invarianza de Lasalle. La metodología
propuesta permite obtener una considerable cantidad
de controladores. Se presentan resultados de la
evaluación experimental de algunos de los
controladores obtenidos.
Dentro de la comunidad científica se ha
impulsado el diseño de algoritmos de control para
manipuladores; sin embargo no se plantean formas o
lineamientos para que el diseño y/o creación de
dichos algoritmos sea un procedimiento sencillo. El
esfuerzo de este trabajo consiste en facilitar la
aplicación de la metodología de moldeo de energía
para el control de robots manipuladores [1,2],
brindando formatos más específicos para su uso. Los
algoritmos diseñados deben de ir acompañados del
sustento teórico formal que garantice la estabilidad,
dado que ésta es la preocupación fundamental de la
Ingeniería de Control. Si se desea un análisis de
estabilidad del sistema controlador — robot, es
conveniente emplear una herramienta que es más
general que los criterios del control clásico —el
Método Directo o Segundo Método de Lyapunov—
[3]. El Método de Lyapunov por sí solo, poco puede
decir de como aplicarlo a un sistema; existen líneas
de trabajo que ayudan a proponer funciones
candidatas, tales como, el Método del Gradiente
Variable [3] y una variante de éste conocida como
Moldeo de Energía. Ambos métodos utilizan ideas
matemáticas y físicas abstractas, lo cual dificulta su
empleo, por tanto, en este trabajo se propone facilitar
el uso de dichas herramientas proporcionando
esquemas de diseño de controladores, los cuales
forman un conjunto bastante extenso. Se considera
que la gran aportación del presente trabajo es la
propuesta de un gran número de controladores de
posición para robots manipuladores (alrededor de 20
nuevos controladores más 9 familias de
controladores).
Palabras clave: Control de Posición, Robot
Manipulador, Segundo Método de Lyapunov,
Principio de Invarianza de Lasalle.
1. Introducción
Este trabajo está relacionado con el así
llamado problema de control de posición para robots
manipuladores (setpoint control) que se desplazan
libremente por su espacio de trabajo; dicho problema
consiste en encontrar una función vectorial de pares
aplicados a las articulaciones del robot, de tal forma
que el error de posición tienda a cero conforme el
tiempo evoluciona hacia el infinito [1]. El trabajo
consiste en una nueva forma de diseño de algoritmos
de control, visto por los autores como una nueva
forma de emplear un método usado ampliamente y
conocido como metodología de moldeo de energía
más inyección de amortiguamiento [1,2]. Las
aportaciones del trabajo tienen sustento teórico
formal así como validación experimental sobre un
Asociación Mexicana de Mecatrónica A.C.
de tres
Éste trabajo está organizado como sigue: en la
sección 2 se presenta la dinámica asociada con un
robot manipulador así como las propiedades de su
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modelo que son explotadas para la construcción de
una diversidad de reguladores. La sección 3 presenta,
con fines de claridad, en que consiste la metodología
de moldeo de energía más inyección de
amortiguamiento y en la misma sección se presenta la
nueva metodología de diseño propuesta. En la sección
4 se resumen algunos de los controladores obtenidos
mediante la nueva metodología. En la sección 5 se
dan algunos resultados experimentales obtenidos y
finalmente en la sección 6 se dan algunas
conclusiones.
forma parte de una función candidata de Lyapunov,
es decir [2]:
τ = ∇ U a − K v q& + g ( q )
V (q% , q& ) =
donde U a ∈
artificial,
(3)
es la función de energía potencial
Kv ∈
nxn
es una matriz diagonal de
n
En ausencia de fricción y otro tipo de
perturbaciones, el modelo dinámico de un robot
manipulador serial de n – eslabones, puede ser escrito
como [4]:
donde q ∈
1 T
q& M (q )q& + U a
2
ganancias derivativas, g (q ) ∈
es el vector de
pares gravitacionales que se añade al controlador a fin
de compensar los efectos de la gravedad presentes en
el manipulador y V ( q, q& ) es la función candidata de
Lyapunov, la cual puede apreciarse como el
“Hamiltoniano deseado” del sistema controlador –
robot y que debe ser definida positiva. En resumen,
para dicha metodología, de ser factible encontrar una
función de energía potencial artificial tal que la
función candidata de Lyapunov sea definida positiva,
entonces se garantiza que la derivada temporal de la
misma es semi – definida negativa por lo que de
acuerdo al segundo método de Lyapunov se puede
concluir estabilidad del punto de equilibrio del
sistema controlador – robot e invocando el principio
de invarianza de Lasalle se puede concluir la
estabilidad asintótica del punto de equilibrio.
2. Modelo Dinámico
M (q )q&& + C (q , q& ) + g (q ) = τ − f (τ , q& )
(2)
(1)
es el vector de posición articular,
es la matriz de inercia, C (q, q& ) ∈ nxn es
M (q ) ∈
la matriz de fuerzas centrípetas y de Coriolis,
g (q ) ∈ n es el vector de pares gravitacionales,
f (τ , q&) ∈ n es el vector de pares de fricción articular
y τ ∈ n es el vector de pares aplicados. A pesar de la
naturaleza no lineal y fuerte acoplamiento de la
dinámica descrita en la ecuación (1), posee ciertas
propiedades útiles a la hora de diseñar algoritmos de
control de posición [5,6]; a continuación se presentan
aquellas empleadas para fines del presente trabajo.
n
nxn
3.1 Método del Jacobiano
En ésta sección se presenta el método
propuesto para el diseño de reguladores de posición
articular para robots manipuladores. Considérese la
ley de control dada en la ecuación (4), en lazo cerrado
junto con el modelo dinámico del manipulador dado
en (1), entonces el punto de equilibrio del sistema en
lazo
cerrado
será
asintóticamente
estable
resolviéndose así el problema de control de posición.
Propiedad A: La matriz C(q, q& ) ∈ nxn verifica:
C (q, 0) = 0 para todo q ∈ n .
Propiedad B: La matriz C (q, q& ) y la derivada
temporal de la matriz de inercias M& ( q ) satisfacen:
τ = K p J (q% ) f (q% ) − f v (q& ) + g ( q )
1

q&  M& (q) − C (q, q& )  q& = 0
2

(4)
T
La ley de control propuesta en (4) presenta las
siguientes características:
3. Regulación de Posición
1.
Existe una metodología ampliamente usada
para la proposición de controladores de robots
manipuladores propuesta por Takegaki y Arimoto en
1981, conocida como moldeo de energía más
inyección de amortiguamiento [1]. En términos
generales, dicha metodología consiste en diseñar el
algoritmo de control de tal suerte que la parte
proporcional del mismo contenga el gradiente de una
función de energía potencial artificial, la cual a su vez
Asociación Mexicana de Mecatrónica A.C.
Kp ∈
nxn
es la matriz de ganancias
proporcionales y cumple que K p = diag ( k pi ) > 0 .
q% ∈ n es el error de posición definido como
q% = qd − q , es decir la diferencia entre el vector de
2.
posiciones deseadas y el vector de posiciones
retroalimentadas del robot manipulador.
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3.
En el caso de regulación, las posiciones
articulares deseadas son constantes en el tiempo de
modo tal que d / dt ( q% ) = d / dt ( qd − q ) = − q& .
de Lyapunov para realizar el análisis de estabilidad
del punto de equilibrio. Empleando la técnica de
moldeo de energía, la función candidata de Lyapunov
tiene la forma:
1
1
V (q% , q& ) = q& T M (q )q& + f T (q% ) K p f ( q% ) (9)
2
2
4.
La función f (q% ) :
→
∈ C es un
mapeo continuo y diferenciable con respecto a su
argumento. Además, la i – ésima componente f i (q%i )
está desacoplada, es decir, la estructura matemática
que la caracteriza involucra únicamente términos que
dependen de la propia componente; así, la matriz
jacobiana correspondiente resulta ser una matriz
diagonal, dada por:
n
1
n
Obsérvese que (9) es una función definida positiva
puesto que cada término es una forma cuadrática ya
que por definición M (q ) = M ( q) > 0 así como
T
K p = diag ( k pi ) > 0 . Derivando con respecto al
tiempo la ecuación (9) a lo largo de las trayectorias de
(8), se obtiene lo siguiente:
∂
f ( q% ) ∈ nxn
(5)
∂q%
5.
Además se sabe que la derivada total de la
función vectorial f (q% ) está dada como:
J (q% ) =
V& (q%, q& ) =
V& (q%, q& ) =
d
f& (q% ) =
f (q% ) = J (q% )q&% = − J (q% )q& ∈ n (6)
dt
6.
La función vectorial asociada a la parte
derivativa f v ( q& ) : n → n es disipativa, esto es,
V& (q%, q& ) =
1
q& T M (q )q&& + q& T M& (q ) q& + f T ( q% ) K p J (q% ) q%&
2
1
q& T M (q )q&& + q& T M& (q ) q& − f T (q% ) K p J (q% )q&
2
1
T
q& K p H (q% ) − q& T f v ( q& ) − q& T C (q , q& )q& q& T M& (q ) q&
2
− f T (q% ) K p J (q% )q&
1

q& T K p H (q% ) − q& T f v ( q& ) + q& T  M& (q ) − C (q , q& )  q&
2

− q& T K p H ( q% )
− q& T f v (q& )
(10)
q& T f v ( q& ) > 0 ⇒ f v (q& ) = 0 ⇔ q& = 0 .
7.
Por razones de simplicidad, en éste trabajo no
se consideran los efectos de los fenómenos de
fricción dados en la ecuación (1).
V& (q%, q& ) =
Una vez detallado cada término de la
estructura de control dada en (4), se define una
función auxiliar vectorial H ( q% ) = J ( q% ) q% ∈ n . Lo
anterior para facilitar la demostración formal de
estabilidad del punto de equilibrio (el espacio de
estados) del sistema controlador – robot. Obsérvese
también que H (q% ) = 0 ⇔ q% = 0 . Rescribiendo la
ecuación (4), con la consideración anterior, se tiene:
y (10) es una función semi – definida negativa
globalmente, por lo que es posible concluir que el
punto de equilibrio del origen del espacio de estados
de (8) es estable. Para poder concluir la estabilidad
asintótica del punto de equilibrio de (8) se explota la
naturaleza autónoma de dicha ecuación aplicando el
principio de invarianza de Lasalle [7]. Como ya se
describió anteriormente el único punto de equilibrio
de (8) es el origen del espacio de estados. La función
V : n × n → dada en (9) es definida positiva en
forma global, radialmente no acotada y
continuamente diferenciable; en (10) se mostró que
V ( q% , q& ) ≤ 0 para todo (q% , q& ) ∈ 2 n . Considérese la
región dada por:
τ = K p H ( q% ) − f v ( q& ) + g (q )
V& (q%, q& ) =
(7)
3.2 Análisis de Estabilidad
Considerando las ecuaciones (1) y (7), puede
verse que la ecuación en lazo cerrado, seleccionando
como variables de estado a q% y q& , es la siguiente:

V& ( q% , q& ) = 0 
Ω=

n
n &
= q% ∈ , q& = 0 ∈
V ( q% , q& ) = 0
{
−q&

d q%  
¨=  −1
 (8)



%
&
&
&

&
dt q   M (q)  K p H (q ) − f v (q) − C (q, q )q  
2n
}
ya que V& ( q% , q& ) ≤ 0 ∈ Ω , entonces V& ( q% (t ), q& (t )) es una
función decreciente de t . V& (q% , q& ) es continua dentro
del conjunto compacto Ω y es acotada inferiormente
en
Ω . Por ejemplo, se satisface que
0 ≤ V ( q% (t ), q& (t )) ≤ V ( q% (0), q& (0)) . De esta manera
V (q% (t ), q& (t )) tiene un límite conforme t → ∞ .
La ecuación diferencial dada en (8) es autónoma y
puede verificarse con facilidad que su punto de
equilibrio único es el origen del espacio de estados
[ q%, q& ] = [0, 0] . Debido a la naturaleza autónoma de
la ecuación (8) es factible emplear el segundo método
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 q% 
  ∈
 q& 
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Entonces V ( q% (t ), q& (t )) = 0 . Ya que Ω es un conjunto
invariante, V (q% (t ), q& (t )) = 0 y el único conjunto
invariante es q% = 0 y q& = 0 . Ya que la solución trivial
es la única solución del sistema en lazo cerrado dado
en (8) restringida a Ω entonces se concluye que el
origen del espacio de estados de (8) es un punto de
equilibrio asintóticamente estable en forma global
además
C1 ). Por condiciones de diseño se pedirá que la
derivada de la función propuesta P ( q% ) cumpla la
siguiente condición (para el punto de equilibrio):
∂

0
 ∂q% P1 (q%1 ) L


 ∂
M
O
M
P (q% ) = 0

=
∂q%


∂

0
Pn (q%n ) 
L
∂q%


4. Casos de Estudio
Durante el desarrollo y estudio de la nueva
propuesta de estructura para controladores de
posición, se desarrollaron algunas nuevas familias;
dichas familias son en sí plantillas de diseño más
particulares. Las familias son propuestas para una
mayor facilidad en el desarrollo de los controladores
– una herramienta didáctica, por así decirlo – y
representan la principal contribución de éste trabajo.
A continuación por razones de espacio se presentan
sólo algunas de las plantillas obtenidas.
⇔ q% = 0
4.2 Familia Disipativa P-D
En ésta familia se añade una condición más,
sin embargo plantea una regla para la selección de la
función derivativa y con base en esta última se realiza
la selección de la función proporcional; su estructura
es la siguiente:
τ = K p J (q% ) D(q% ) − Kv D(q& ) + g (q)
4.1 Familia de Radicando
Ésta plantilla
definida como sigue:
de
f p ( q% ) , P( q% ) ∈ C 1 (funciones de clase
controladores
queda
donde en (14) la función D( q& ) ∈
la función Jacobiana
 ∂

 ∂q% P1 (q% ) 
1


τ = Kp 
M
 − f v (q& ) + g (q )


 ∂ Pn ( q% ) 
 ∂q%n

J (q% ) =
n
(14)
es disipativa y
∂
D (q% ) ; además se
∂q%
respetan las mismas condiciones empleadas para la
ecuación (4). La función candidata de Lyapunov
correspondiente a ésta familia es de la forma:
(11)
1 T
1
q& M (q )q& + DT (q% ) K p D(q% ) (15)
2
2
es decir, que para éste caso de estudio, al seleccionar
una función para la parte derivativa que cumpla con
ser disipativa, se puede generar la parte proporcional
del controlador simplemente cambiando la variable
q& por la variable q% y así calcular el Jacobiano
correspondiente.
V (q%, q& ) =
y la función candidata de Lyapunov correspondiente
a (11) es:
 P1 (q% ) 
 P1 (q% ) 



1 T
1 n 
V (q%, q& ) = q& M ( q)q& + ∑  M  K p  M 
2
2 i =1 



 Pn (q% ) 
 Pn (q% ) 
(12)
4.3 Clasificación de Controladores
La relación para la función de la parte proporcional
en (11) es tal que cumple:
 P1 (q%1 ) 


f p (q% ) = P(q% ) =  M
∈


 Pn (q%n ) 
n
A través del desarrollo del presente trabajo se
detectaron al menos tres tipos de funciones para la
parte proporcional de los controladores, lo cual
permite establecer una clasificación de los
controladores generados. El primer tipo de
controlador es denominado controlador no acotado, y
se define como aquel en el que la función
proporcional es una función radialmente no acotada y
la multiplicación de dicha función por su argumento
resulta en una función definida positiva, es decir:
(13)
donde en (13) cada uno de los términos de la función
Pi ( q%i ) > 0 (definidos positivos) [3] y por tanto los
términos de la función proporcional también lo son;
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lím f ( x) → ∞
de la posición es obtenida de los encoders
incorporados dentro de los motores. Las señales de
velocidad son generadas utilizando un algoritmo de
diferenciación numérica de primer orden aplicado a
las mediciones de la posición de cada articulación.
Las características de los motores utilizados para la
construcción del robot se resumen en la Tabla 1.
x →∞
f ( x) = 0 ⇔ x = 0
xf ( x ) > 0
El segundo tipo de controlador considerado en
nuestra clasificación es el controlador de tipo
saturado, el cual se define como aquel en el que la
función proporcional es una función saturada, es
decir, cuyo valor tiende a un valor constante o cota a
medida que el argumento crece indefinidamente, es
decir, satisface que:
lím f ( x) = K
x →∞
f ( x) = 0 ⇔ x = 0
xf ( x ) > 0
Finalmente el tercer y último tipo de controlador es
denominado controlador de tipo acotado, siendo
aquel en el que la función proporcional no sobrepasa
un límite o cota superior, y al ser multiplicada por su
argumento genera una función semi – definida
positiva, generando así controladores estables en
forma local; es decir que matemáticamente cumple:
Figura 1: Plataforma Experimental.
El hardware de la tarjeta de control de
movimiento incluye lo necesario para el manejo de
las señales de tres encoders y cuenta con 3
convertidores D/A para proporcionar la entrada
analógica a los manejadores de los motores. El
algoritmo de control es ejecutado desde un programa
denominada SPAC (Sistema Programable de
Algoritmos de Control) el cual reside en una
computadora Pentium II a 333 MHz. Para el control
de posición del robot solo se requiere tener
conocimiento de la estructura del vector de pares
gravitacionales el cual está dado por:
máx { f ( x )} = K < ∞
f ( x) = 0 ⇒ x ∈ D + {0} , D ∈
xf ( x) ≥ 0
5. Resultados Experimentales
Los experimentos fueron llevados a cabo en
una plataforma experimental para propósitos de
investigación científica en robótica diseñada y
construida en el Laboratorio de Robótica de la
Facultad de Ciencias de la Electrónica de la
Benemérita Universidad Autónoma de Puebla; ésta
consiste de un robot manipulador de tres grados de
libertad del tipo antropomórfico y que se desplaza
libremente por un espacio de trabajo tridimensional,
como se muestra en la Figura 1. El robot consiste de
eslabones de aluminio 6061 y cuyas articulaciones
son actuadas por motores de transmisión directa del
fabricante Parker Compumotor. Algunas ventajas de
este tipo de robot incluyen: capacidad de manejar las
articulaciones sin la necesidad de un reductor por
engranes, carencia de juego mecánico, una fricción
significativamente mas baja comparada con aquellos
actuadores manejados por reductores con engranes y
tiempos de establecimiento considerablemente más
cortos que los de servomotores tradicionales.
0


g (q ) = 38.45sin(q2 ) + 1.82sin(q2 + q3 ) 
1.82sin(q2 + q3 )


Tabla 1: Características de los motores del robot
Modelo
Par (Nm)
p/rev
Base
Hombro
Codo
DM1050A
DM1150A
DM1115B
50
150
15
1 024 000
1 024 000
655 360
5.1 Índices de desempeño
Por consideraciones de espacio, no se
muestran aquí los gráficos obtenidos con respecto a la
evolución temporal de los errores de posición así
como de los pares aplicados en las articulaciones del
robot para cada controlador evaluado. No obstante se
muestran los resultados obtenidos con respecto al
Los motores son operados en el modo de
control de par de tal modo que el motor actúa como
una fuente de par y el comando de referencia para la
señal de par es un voltaje analógico. La información
Asociación Mexicana de Mecatrónica A.C.
Eslabón
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estudio comparativo del desempeño de los
controladores evaluados en forma experimental. La
cuestión anterior es resuelta implementando el valor
escalar de la norma L2 como una medida numérica
sobre la curva de los errores de posición. En otras
palabras, la norma L2 resalta el compromiso entre la
velocidad y la precisión del movimiento realizado por
el robot. La norma L2 está dada como [7]:
L2 =
1
t − t0
t
∫
2
q% dt
Figura 3: Desempeño de controladores saturados.
t0
Donde t , t0 ∈ , son los tiempos iniciales y finales,
respectivamente. Es importante resaltar que una
norma L2 mas pequeña representa un error de
Referencias
[1] Takegaki M. And Arimoto S. “A new feedback
method for dynamic control of manipulators”,
ASME Journal of Dynamics Systems,
Measurement and Control. Volumen (102),
1981.
posición más pequeño, una respuesta transitoria más
rápida y un mejor desempeño del controlador que es
evaluado. La gráfica de comparación de los
controladores evaluados se muestra en las Figuras 2
y 3.
[2] Kelly R. “Regulation of manipulators in generic
task space: an energy shaping plus damping
injection approach”, IEEE Transactions on
Robotics and Automation. Volumen (15),
Número (2), 1997.
6. Conclusiones
El objetivo principal del presente trabajo
consistió en atacar el problema de control de posición
para robots manipuladores. La principal motivación
para el desarrollo del mismo fue el hecho de que la
aplicación de la metodología de moldeo de energía
más inyección de amortiguamiento suele ser una tarea
laboriosa y sujeta a la experiencia de la persona que
la aplica. Es por ello que éste trabajo contribuye en
gran manera, toda vez que los resultados presentados
permiten concluir que los diferentes tipos de
plantillas obtenidos facilitan la creación de nuevos
algoritmos de control de posición para robots
manipuladores. Dentro de la gama de controladores
generados se logró formular una regla para su
clasificación, la cual es aplicable tanto para los
controladores generados como para los ya existentes.
[3] Khalil H. “Nonlinear Systems”, Prentice Hall,
USA, 3ª edición, 1993.
[4] Santibañez V., Kelly R. and Reyes F. “The PD
Control with computed feedforward for robot
manipulators revisited”, IEEE Transactions on
Robotics and Automation. Volumen (17),
Número (4), 1999.
[5] Ortega R., and Spong M. “Adaptive motion
control of rigid robots: a tutorial”, Automatica.
Volumen (25), 1989.
[6] Loria A. “On output feedback control of Euler
Lagrange Systems”, PhD Thesis, France, 1996.
[7] Barahona J., Espinosa L., Villegas G.
“Controlador de posición con acciones
acotadas para robots manipuladores”, Sexto
Congreso sobre Innovación y Desarrollo
Tecnológico (CIINDET), IEEE Sección
Morelos, páginas 1-8, Cuernavaca, Morelos, M.
Figura 2: Desempeño de controladores individuales.
Asociación Mexicana de Mecatrónica A.C.
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