Práctica 1 Introducción y fundamentos

Práctica 1
Introducción y fundamentos
Apartado 1 – Sumideros, fuentes y el espacio de trabajo: Entradas y salidas de Simulink.
En esta práctica se hará un repaso de las diferentes formas de definir los parámetros de una simulación de Simulink
y de almacenar los resultados de la misma. Se desea realizar un modelo de Simulink y un script de Matlab para poder
representar 5 señales diferentes. Para escoger en cada simulación, que señal se va a representar, se define una variable
entrada.
• (entrada = 1) Escalón de Su0 a Suf en el instante de tiempo St0 (s).
• (entrada = 2) Tren de pulsos de amplitud P a, periodo P p y anchura P w (% del periodo).
• (entrada = 3) Senoide de amplitud Sa, valor de continua Sc, frecuencia Sf rec y fase inicial Sf ase.
• (entrada = 4) Señal definida por una variable del espacio de trabajo datos_entrada. Definir una señal que no
sea una de las señales anteriores.
• (entrada = 5) Señal definida por un fichero fichero_entrada.mat. Definir una señal que no sea una de las
señales anteriores.
• (entrada = 6) Un impulso de amplitud A (aproximar el impulso por la suma de dos escalones).
El tiempo inicial de la simulación y el tiempo final de la simulación se debe definir a través de variables del espacio
de estado t0 y tf . La salida de la simulación (es decir, la señal que se ha escogido), se debe dar de 4 formas diferentes:
• A través de un Display de Simulink.
• A través de un Scope de Simulink.
• A través de una variable del espacio de trabajo datos_simulacion.
• A través de un fichero fichero_simulacion.mat.
Escribir un script que defina todas los parámetros de cada una de las señales en el espacio de estados, realice la simulación usando la función sim y posteriormente represente en dos figuras diferentes la señal escogida
usando la función plot, una usando la variable datos_simulacion y la otra utilizando la información del fichero
fichero_simulacion.mat.
Lista de funciones de interés: save, sim, plot, figure, who, load.
Nota: La solución a este apartado se proporciona en los ficheros P1a_script.m y P1a.mdl.
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Apartado 2 – Apartado 2. Modelado y simulación de sistemas dinámicos.
El objetivo de esta práctica es realizar un modelo en Simulink de un sistema dinámico, en particular de un circuito
RC. Este modelo se utilizará para realizar diferentes simulaciones.
a) Realizar un modelo Simulink de el circuito RC mostrado en la figura 1. Las ecuaciones que definen el comportamiento de una resistencia y un condensador son las siguientes:
Vr = ir R
c
ic = dV
dt C
dónde {vr , ir } y {vc , ic } son la caı́da de tensión y la intensidad que circulan a través de una resistencia y un condensador
respectivamente. La entrada del sistema dinámico es la señal V in. La salida del sistema dinámico es la señal V out
(caı́da de tensión en el condensador).
R
+
+
Vin
C
−
Vout
Vin
Sistema dinámico
Vout
−
Figure 1: Circuito RC y modelo dinámico asociado.
El modelo de Simulink debe poder utilizar las siguientes entradas:
• Escalón de Su0 a Suf en el instante de tiempo St0 (s).
• Senoide de amplitud Sa, valor de continua Sc, frecuencia Sf rec y fase inicial Sf ase.
• Un impulso de área A (aproximar el impulso por la suma de dos escalones).
El tiempo inicial de la simulación y el tiempo final de la simulación se debe definir a través de variables del espacio
de estado t0 y tf . El valor de la resistencia y la capacidad se almacenarán en las variables R, C respectivamente. La
tensión inicial que cae en el condensador se almacenarán en la variable V out0 (carga inicial del condensador).
Escribir un script que defina todas los parámetros de cada una de las señales en el espacio de estados, realice
la simulación usando la función sim y posteriormente represente en una figura las señales V in y V out. Utilizar los
siguientes parámetros:
V out0 = 4 − DN I(5)
t0 = 0
R = 50 + 0.5(10DN I(2) + DN I(1))
C = 50+0.5(10DN1I(4)+DN I(3))
Nota: La solución a este apartado se proporciona en los ficheros P2a_script.m y P2a.mdl.
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b) Usando el modelo de Simulink desarrollado en el apartado anterior, realizar las siguientes simulaciones:
• Generar una figura que muestre las respuestas del sistema a un escalón de 0 a Uf en el instante 2 (s) con Uf = [1
3 5] en rojo. Medir el valor de V out en el instante 4 (s) para cada una de las simulaciones [p1].
• Generar una figura que muestre las respuestas del sistema frente a una entrada senoidal de fase inicial 0, valor de
continua 5, frecuencia Sfrec = [5] y amplitud Sa = [1 2 3]. Medir el valor de V out en el instante 10 (s) para cada
una de las simulaciones [p2].
• Generar una figura que muestre las respuestas del sistema frente a una entrada senoidal de fase inicial 0, valor de
continua 0, frecuencia Sfrec = [1 5 10] y amplitud Sa = [1]. Medir el valor de V out en el instante 7 (s) para cada
una de las simulaciones [p3].
• Generar una figura que muestre las respuestas frente a un escalón de 1 a 2 en el instante de tiempo 3 de circuitos
RC diferentes definidos por los siguientes parámetros: [R, C], [2R, C] y [0.5R, C]. Medir el valor de V out en el
instante 10 (s) para cada una de las simulaciones [p4].
• Generar una figura que muestre las respuestas frente a un escalón de 0 a 1 en el instante de tiempo 5 con Vout0
= [-1 0 5]. Medir el valor de V out en el instante 10 (s) para cada una de las simulaciones [p5].
• Generar una figura que muestre las respuestas frente a un impulso de amplitud A = [1, 3, 5] en el instante de
tiempo 5. Medir el valor de V out en el instante 7.5 (s) para cada una de las simulaciones [p6].
Nota: Para cada apartado ajustar el tiempo de simulación tf de forma apropiada.
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Apartado 3 – Zorros y Conejos. El modelo de Lotka-Volterra.
Las ecuaciones de Lotka-Volterra, también conocidas como las ecuaciones de depredador y presa, son un par de
ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden no lineales que se usan para modelar el comportamiento dinámico
de un sistema biológico en el cual conviven dos especies, un depredador y su presa. Este modelo fue propuesto de forma
independiente por Alfred J. Lotka en 1925 y Vito Volterra en 1926. Las ecuaciones de Lotka-Volterra son las siguientes:
dx
dt
dy
dt
= αx − βxy
= −γy + δxy
dónde x representa la población presa e y representa la población depredadora. El modelo está caracterizado por las
constantes α, β, γ, δ > 0.
El modelo de Lotka-Volterra forma parte de una clase de modelo más general en el que la velocidad de crecimiento
de una de las especies de un sistema biológico depende de los valores de población de todas las especies de ese sistema.
Para el caso de dos especies:
dx
dt = f (x, y)x
dy
dt = g(x, y)y
Las funciones f (x, y), g(x, y) caracterizan el ritmo de crecimiento (diferencia entre natalidad y mortalidad) en función de
las poblaciones y toma diferentes formas en función de la relación que existen entre las diferentes especies (depredador,
presa, competición...).
En el modelo de Lotka-Volterra se supone que la población presa tiene recursos ilimitados para crecer. Esta
suposición viene modelado por el término constante α. La población solo decrece por el efecto de la depredación. Esta
suposición viene modelada por el término −βy. A mayor número de depredadores en el el sistema, mayor será el número
de presas cazadas.
f (x, y) = α − βy
Respecto a la población depredadora, se supone que decrece de forma natural con un coeficiente de defunción γ.
La población solo crece por el efecto de la depredación. Esta suposición viene modelada por el término +δx. A mayor
número de presas en el el sistema, un mayor número de depredadores podrán alimentarse (y por lo tanto la población
crece a un mayor ritmo).
g(x, y) = −γ + δx
Realizar un modelo Simulink para simular las ecuaciones de Lotka-Volterra en función de los cuatro parámetros
alpha, beta, gamma, delta y de las poblaciones iniciales de depredadores y presas y0, x0. Escribir un script de Matlab
que defina estos parámetros, realice una simulación y represente dos figuras, una con la evolución temporal de las
poblaciones x e y y otra con una gráfica que represente en el eje de abcisas la población presa x y en el eje de ordenadas
la población depredadora y.
Parámetros:
alpha = 0.5(DN I(1) + 1)
x0 = 0.5(DN I(5) + 1)
beta = 0.5(DN I(2) + 1)
y0 = 0.5(DN I(6) + 1)
gamma = 0.5(DN I(3) + 1)
delta = 0.5(DN I(4) + 1)
Ajuste el tiempo de simulación de forma apropiada para ver al menos cuatro ciclos.
Medir el valor de x y y en el instante 10 (s) [p7].
Medir los valores de población máximos y mı́nimos para la población presa x [p8].
Medir los valores de población máximos y mı́nimos para la población depredadora y [p9].
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Apartado 4 – Cuestiones
C1) Indique tres formas de definir una señal de entrada a un sistema en Simulink. Explique como diseñarı́a una
señal de entrada definida por la suma de una senoidal y un escalón.
C2) ¿Cuál es la diferencia entre un parámetro y una entrada de un sistema?
C3) ¿Qué datos son necesarios para realizar una simulación de un sistema dinámico en un determinado periodo de
tiempo? Identifique estos datos en el apartado 2.
C4) Defina las entradas y las salidas de un sistema descrito por un circuito RC.
C5) ¿Cómo afecta a la salida de un circuito RC frente a una entrada escalón la amplitud de la misma?
C6) ¿Cómo afecta a la salida de un circuito RC frente a una entrada senoidal la amplitud, la frecuencia y el valor
de continua de la misma?
C7) ¿Cómo afecta a la salida de un circuito RC frente a una entrada escalón el valor de la resistencia?
C8) ¿Depende el valor final de la tensión que cae en el condesador de un circuito RC (V out) del valor inicial?
C9) Defina el concepto de estado de un sistema. ¿Cuál es el estado de un circuito RC? ¿Y de un sistema definido
por la ecuaciones de Lotka Volterra? Indique la relación entre el estado de un sistema y los integradores usados para
modelarlo en Simulink.
C10) Cuales son las entradas y las salidas de un sistema descrito por la ecuaciones de Lotka Volterra?
C11) Indique el efecto de las poblaciones iniciales en un sistema descrito por la ecuaciones de Lotka Volterra.
C12) ¿Es posible que se llegue a la aniquilación de una de las dos especies?
C13) ¿Qué ocurrirı́a si no hubiera presas? ¿Y depredadores?
C14) Estime el tiempo dedicado a realizar esta práctica y su memoria.
Entrega
La entrega consiste en una memoria de la práctica en un fichero pdf y la entrega de resultados a través del Servidor
de Docencia. La memoria debe contener:
• Imagen de los modelos de Simulink utilizados.
• Todas las figuras pedidas.
• Respuesta a las cuestiones.
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Apartado 5 – Instrucciones para entregar el módulo usando el Servidor de Docencia.
Las prácticas de Control Distribuido 2009-2010 se entregarán usando el Servidor de Docencia. Se podrá acceder al
Servidor de Docencia durante toda la semana que dure cada práctica. La entrega de la práctica a través del servidor
consiste en rellenar el formulario de texto siguiendo las siguientes instrucciones:
• Cada respuesta correspondiente a una cuestión de trabajo en el centro de cálculo tiene asignado un nombre. En
el enunciado de la práctica se indica con una etiqueta entre corchetes cada respuesta que hay que entregar.
Ejemplo: A la primera respuesta (el valor de V out en el instante 4 (s) para cada una de las simulaciones) le
corresponde el nombre p1 y a la última respuesta (los valores de población máximos y mı́nimos para la población
depredadora y) le corresponde el nombre p9.
• Para las respuestas p1-p6 hay que definir un vector con las tres respuestas. Por ejemplo, para responder que el
valor de V out en el instante 4 (s) para cada una de las simulaciones frente a un escalón de 0 a Uf en el instante
2 (s) con Uf = [1 3 5] es 3.56, 5.56 y 7.89 respectivamente hay que escribir:
p1 = [3.56 5.56 7.89];
• Para las respuestas p7-p9 hay que definir un vector con las dos respuestas. Por ejemplo, para responder que los
valores de población máximos y mı́nimos para la población depredadora y son 6.45 y 45.45 respectivamente hay
que escribir:
p9 = [6.45 45.45];
• Los decimales se separan utilizando el punto no la coma.
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