LAB 1 Teoria Error

GUÍA Nº 1
CIFRAS SIGNIFICATIVAS Y TEORIA DEL ERROR
1.- Introducción
La guía de laboratorios nos indica la actividad de medición a realizar, con los
distintos instrumentos y la aplicación a las mediciones de la teoría del error
obteniéndose la medida con su error estadístico y experimental.
A modo de ilustración se desarrollara el caso de una moneda de $100 (de las
antiguas)
El Volumen es :
1
V = π e D2
6
Interesa calcular la densidad volumétrica de la moneda con su respectivo error:
ρ = densidad volumetrica =
m ± ∆m
V ± ∆V
V ± ∆V :
∆e 2
∆D
∂V
∂V
1
1
1
∆V =
∆e +
∆D = π D 2 ∆e + π e 2 D ∆D = π e D 2
+ π e D2
∂e
∂D
e 6
D
6
6
6
1
pero V = π e D 2
6
∆e
∆D
∆V = V
+ 2V
e
D
Primero, se calculara
N
E.I .
+ 2σ e
donde ∆e =
2
yσe =
E.I . = Error Instrumental
∑ ( ei − e ) 2
i =1
N −1
N
, e=
N
E .I .
∆D =
+ 2σ D
2
E.I . = Error Instrumental
yσD =
∑ ( Di − D ) 2
i =1
N −1
∑e
i =1
i
N
N
,D=
∑D
i =1
i
N
Asignatura: Física Mecánica ZF0201
Área Ciencias Básicas
Responsables: Patricio Pacheco H./Jacqueline
Alea P.
Fecha actualización: Otoño 2009
Así se escribe
V ± ∆V
Segundo, se determina en forma similar
m ± ∆m
N
E .I .
∆m =
+2σm
2
σm =
∑ ( mi − m ) 2
i =1
Finalmente se calcula:
ρ = densidad volumetrica =
N −1
N
m=
∑m
i =1
i
N
m ± ∆m
V ± ∆V
Finalmente escribimos :
ρ = ρ ± ∆ρ (¿ Por que ?)
2.- Aprendizajes Esperados
a) De acuerdo al programa de estudios
2.1.- Criterios de Evaluación
a) Aplicar conceptos fundamentales de Teoría del Error a diversas mediciones.
b) Determinar el volumen, masa y densidad, de un sólido rígido empleando los
conceptos de cifras significativas y errores.
3.-Materiales
a) Una regla en mm
b) Un pie de metro
c) Un tornillo micrométrico
d) Una balanza de precisión 0.001 gramos
4.- Actividades
4.1.- Procedimiento
A través del empleo de instrumentos de medición (como el pìe de metro y la
balanza granataria) el estudiante construye tablas de datos para el espesor, e, el
diámetro, D, y la masa, m, agrupando las variables de interés con sus respectivas
unidades (mínimo 15 mediciones de cada variable).
a)
Mida la masa del cuerpo que se estudia, determinando el error instrumental
cometido en cada una de las medidas.
b)
Realice las mediciones necesarias para determinar el volumen del cuerpo
mencionado con su correspondiente error asociado.
c)
Con las magnitudes obtenidas, calcule la densidad con su correspondiente
error de medida del objeto.
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4.2.- Cálculo y Resultados
a) Busque información en la pagina del Banco Central de Chile de la
composición química de la moneda de $100 antigua. Compare el valor de
densidad por Ud. obtenido con el valor de la densidad del cobre (extraiga
este valor de la tabla periódica o simplemente del buscador Google. Preste
atención a las unidades).
b) Verifique si su valor de densidad volumétrica cumple:
c) ε % =
ρ TABLA − ρ EXPERIMENTAL
100 < 5%
ρ TABLA
d)
4.3.- Tabla de Datos
e (mm)
D (mm)
m (grs)
( ei − e )
Di − D
mi − m
( ei − e ) 2
( Di − D ) 2
( mi − m ) 2
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5.- Bibliografía
1.
R. Serway, Vol. I , Física, Editorial Mc Graw – Hill, 2005
2. Tipler,.Fisica, Editorial McGraw - Hill, 1999
3. Sears y Zemansky, Fisica General, Editorial Aguilar S.A. , España, 1980
Anexo
Tratamiento de cifras significativas y errores
Objetivo del anexo:
1.
Presentar un resultado experimental, haciendo uso de cifras significativas,
redondeo y errores.
2.
Aplicar en un experimento el error instrumental, el error estadístico y los
procedimientos de propagación de errores.
Definiciones
Se dan algunos pasos básicos y definiciones que deben tenerse presente al
momento de medir. Un aspecto clave resulta ser la elección del instrumento de
medida cuyo rango y sensibilidad se encuentre acorde con la magnitud física que se
va medir.
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Rango
Se entiende por rango de un instrumento, a la máxima medición posible de realizar
con el. Realizar una medición con un instrumento de rango inferior al necesario
puede implicar un deterioro de este.
Sensibilidad
Es la mínima medición para la cual la escala del instrumento está diseñado, es
decir, el grado de precisión.
Paralaje
Es un problema que incorpora cierto factor de error en las medidas, tiene relación
con la forma de observar la escala del instrumento de medida. El instrumento debe
mirarse de frente a la escala, nunca desde la derecha o izquierda del indicador, ya
que así la medición variara ostensiblemente del valor correcto.
Observación y medida
La observación y la medición son procesos ligados e inseparables.
La observación es el proceso de interacción entre el sujeto observante y el objeto
observado. Una buena observación debe cumplir con una serie de condiciones:
1. Ubicar en el espacio y en el tiempo la situación observada.
2. Distinguir entre los factores posibles de medir, aquellos que se mantendrán
constantes y aquellos que variarán (grados de libertad del sistema).
3. Establecer las condiciones en que se realiza la observación y las posibles
perturbaciones al sistema (condiciones iniciales, condiciones de borde o de
control).
4. Determinar los factores que pueden provocar diversos tipos de error.
Medir
Medir es el proceso de comparación del objeto observado con un patrón de
medida
convencionalmente
aceptado
(palabras
claves:
magnitudes
fundamentales, patrones de medida, invariancia, accesibilidad, certificabilidad,
trazabilidad, metrología).
El proceso de medición es la cuantificación de la observación interviniendo tres
sistemas:
a) el sistema objeto; que es lo que queremos medir.
b) el sistema de medición; que es el aparato de medición
c) el sistema de comparación que elegimos como unidad patrón y que suele estar
incluido con el aparato o instrumento de medición.
Las mediciones pueden ser directas o indirectas.
Las primeras corresponden a la medida de una magnitud
física, leyéndose
directamente de un instrumento de medición. Si una magnitud física se obtiene
como resultado de un cálculo, realizado con magnitudes que se midieron en forma
directa, en ese caso se dice que se está realizando una medición indirecta. Según el
procedimiento seguido, una
misma magnitud puede estar medida directa o
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indirectamente. La determinación de errores en la medición de una magnitud
depende de si la medición es directa o indirecta.
Cifras significativas
Se denomina cifras significativas al número de cifras razonablemente seguras de
acuerdo con el instrumento de medida utilizado (margen de subjetividad). Por lo
tanto, la precisión de la medida está directamente relacionada con el número de
cifras que se registran como resultado.
-
Ejemplo
25,06
273,0
4
0,000046
4,12
la
la
la
la
la
cifra
cifra
cifra
cifra
cifra
tiene
tiene
tiene
tiene
tiene
cuatro cifras significativas
cuatro cifras significativas
una cifra significativa
dos cifras significativas
tres cifras significativas
De los ejemplos anteriores, se puede decir que cifras significativas son los dígitos
necesarios para presentar la precisión de la medida, al expresarla en forma de un
valor numérico. No se considera los ceros a la izquierda del primer dígito real.
Operaciones con cifras significativas y redondeo
Las operaciones de adición, sustracción, multiplicación y división de cantidades ,
con diferente precisión o de cifras significativas, se realizan de acuerdo a las
siguientes reglas:
1ª Regla :
En adiciones o sustracciones el grado de precisión o número de cifras significativas
del resultado, será igual al grado de precisión del término de menor precisión.
Ejemplo
4,31
3,321
6,036
tres cifras significativas
cuatro cifras significativas
cuatro cifras significativas
13,667
Uno de los sumandos posee sólo dos cifras significativas después de la coma, por
ende, el resultado debe ser entregado con dos cifras significativas después de la
coma.
¿Cómo considerar, entonces la cifra 7 del final?
Frente a este problema de redondeo, es conveniente adoptar ciertos criterios de
aproximación:
1.
Si la cifra que ocupa el lugar n + 1 es menor que 5, la que ocupa el lugar n
permanece inalterable.
2.
Si la cifra que ocupa el lugar n + 1 es mayor que 5, se le agrega una
unidad a la que esta ubicada en el lugar n
3.
Si la cifra que ocupa el lugar n + 1 es igual a 5, se le agrega una unidad a la
anterior en caso de ser impar, si es par o cero, permanece inalterable.
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A raíz de la discusión precedente el resultado redondeado de la aplicación es
13,67.
Ejemplo
Para el número
π, considere como aplicación para el redondeo de cifras:
π = 3,14159265358979
- tres cifras significativas
π = 3,14
- cuatro cifras significativas
π = 3,142
- cinco cifras significativas
π = 3,1416
- ocho cifras significativas
π = 3,1415927
2ª Regla :
En multiplicaciones, divisiones, potencias o raíces, el número de cifras significativas
del resultado será igual al número de cifras significativas del número que tenga
menos cifras significativas.
Ejemplo
1.
Al multiplicar 7,103 por 0,91 se obtiene en la calculadora 6,46373
El resultado de esta operación debe tener dos cifras significativas, ya que el
factor que tiene menos cifras significativas es el 0,91 - que tiene solamente
dos cifras significativas - , en consecuencia, el resultado será 6,5 con dos
cifras significativas.
2.
Al dividir 6,46373 por 8,998 se obtiene 0,718351856.
El resultado debe expresarse con cuatro cifras significativas, es decir,
0,71844
3ª Regla :
Una medición debe escribirse en notación científica, convención que permite
emplear, al escribir distintas cantidades, el mismo número de cifras significativas y
así no dar la impresión de exactitudes falsas, fundamentalmente cuando se
emplean distintas unidades para medir una magnitud.
Ejemplo
5 m tiene una cifra significativa y puede escribirse
5 * 100m
500 m tiene tres cifras significativas y puede escribirse
5 * 102m
5.000 m tiene cuatro cifras significativas y puede escribirse
5 * 103m
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4ª Regla :
Si en una operación uno de los factores es un número entero, llamado número
puro, se mantiene el criterio de aproximación de la suma.
Ejemplo
3 * 3,23 = 9,69
3
3,23
9,69
número puro
factor con tres cifras significativas
factor con tres cifras significativas
5ª Regla :
Cuando en una operación uno de los factores es número irracional, este se
aproxima a la precisión del factor de menor número de cifras significativas.
Ejemplo
Al determinar el área (A) de un círculo de diámetro
d = 2,61 cm
A = p * d2 / 4 = 3,14 * (2,61)2 / 4 = 5,3475 cm2
Luego, A = 5,35 cm2 ; se aproxima p al número de cifras significativas del
diámetro.
6ª Regla :
Al efectuar una medición, el error debe ser trabajado con una cifra significativa.
Ejemplo
La sensibilidad de un pie de metro es 0,05 mm, por lo tanto, error instrumental es
de 0,025 mm, pero debemos escribirlo con una cifra significativa, es decir,
Error = 0,025 mm ; se expresa en notación científica como 2,5 * 10-2 mm y lo
escribimos 2 * 10-2 mm
7ª Regla :
En caso de trabajar con tabulaciones de datos y entregar la medición con el error
asociado, tenemos que:
1.
El promedio debe quedar con el mismo número de decimales que los datos
obtenidos, situación que concuerda con el criterio de aproximación.
2.
En el cálculo de las desviaciones estándar (S), que es la que representa el
error cometido, se expresa con “una cifra” significativa.
Teoría de errores
Es finalidad de esta guía de laboratorio que el alumno aprenda como tener un cierto
grado de control en las variables propias de la medición y su propagación a través
de la llamada teoría de errores.
Existen varias formas de aproximarse al tema de la teoría de errores: estructura de
la teoría, estadísticas y probabilidades, aplicación de sus partes más relevantes,
etc. Por la dificultad natural del tema, se recrea la teoría del error a través del
planteamiento y resolución de un problema tipo, toda necesidad de conceptos se
irá suministrando en el camino.
Considere el siguiente problema:
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Se mide la longitud de una varilla de metal, el instrumento de medición es un
tornillo micrométrico de precisión a la centésima de milímetro, al realizar la medida
un estudiante obtiene el valor
L1 = 16,15 mm
A continuación, con el mismo instrumento realiza nuevamente la misma medición y
el valor resulta ser ahora
L1 = 16,20 mm
Aunque la experiencia se realizara lo más cuidadosamente posible, el problema
prevalece. El objetivo es medir en la forma más precisa posible el valor de interés.
Las discrepancias en los valores obtenidos se deben en parte a habilidades
personales, el tipo de instrumento utilizado. Los factores mencionados (instrumento
y estimación) fuerzan a aceptar que toda medición física va acompañada siempre
de cierta incerteza o imprecisión (error).
Si designamos por ∆ a la incerteza en la medida de la magnitud a, también
denominada error absoluto, el resultado de la medición es
a +∆a
Esto significa: se ha medido una cierta magnitud y se obtuvo el resultado a; pero
un examen al instrumento usado y al método de medición lleva a la conclusión
que la medida se encuentra comprendida entre
a -∆a
≤ medida ≤ a + ∆ a
Al aplicar el error absoluto al problema de la medición de la varilla de metal, se
debe hacer una estimación de la imprecisión de la medida. Suponga que esta
imprecisión es de 0,05 mm, pero tenemos que la medida fluctúa en un rango que
va desde
16,15 mm
→ 16,20 mm
Entonces, las dos mediciones de la varilla de metal se escriben
L1 = 16,15 mm + 0,05 mm
L2 = 16,20 mm + 0,05 mm
Donde, + 0,05 mm, significa que se estimó que la medida puede oscilar, por
defecto o por exceso, hasta en 0,05 mm. Se dice entonces, que los valores
encontrados son iguales, dentro de las imprecisiones experimentales.
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Error relativo o fraccionario
Se llama error relativo o fraccionario, al cuociente entre el error absoluto
∆ a y la magnitud medida a,
ε = ∆a / a
Es posible que en diversos casos el error relativo llegue a ser más significativo que
el error absoluto, ya representa una relación entre el error que se tiene en la
medida con respecto a la medida misma.
Se asocia al error fraccionario el ERROR PORCENTUAL, y que se expresa
ε % = ( ∆ a / a) 100
Tipos de errores
En forma general, los errores se clasifican en tres tipos básicos:
Error sistemático :
Es aquel que siempre se debe a la misma causa, siendo su influencia de una única
forma, por exceso o por defecto. Este tipo de errores se comete por una técnica
imperfecta de medición, por factores personales (paralaje) o por un defecto del
instrumento de medición (mala calibración).
Error accidental o causal:
Es aquel que se produce por factores de falta de habilidad o descuido del
observador, modificación fortuita del instrumento, lectura equivocada u otra causa
que hace notar que una medida no tiene relación con el objeto medido. Es un error
esporádico, fácilmente detectable dentro del conjunto de mediciones, ya sea tabla
de datos, gráficos, etc.
Error aleatorio o experimental:
Es aquel que se produce por factores imposibles de predecir o controlar, algunas
causas pueden deberse a errores como apreciación al hacer las lecturas,
condiciones experimentales fluctuantes, causas fortuitas o variables en general.
Este tipo de errores se disminuye haciendo un número apreciable de mediciones
seguidamente de un tratamiento estadístico de los datos.
Cálculo de errores
Una medición lleva asociado un error ∆ a, denominado error absoluto, que depende
a lo menos del instrumento y existen diferentes formas de cálculo:
Al hacer sólo una medición a un objeto es recomendable usar el Error Instrumental,
E.I, que se determina tomando la mitad de la menor división de la escala del
instrumento empleado.
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Ejemplo
Recordando una de las mediciones de la varilla de metal del ejemplo, L1 = 16,15
mm, y suponiendo que se uso como instrumento de medición un tornillo
micrométrico que tiene como menor división la centésima de mm, el error
instrumental es:
∆ L1 = (0,01 / 2) mm = 0,005 mm
luego la medida es :
L1 = L1 + ∆ L1 = 16,150 + 0,005 mm
NOTA: Obsérvese que la medida original 16,15 mm, se expresó con una precisión
a la milésima, igual que el error asociado, por lo tanto, se considera que el error es
el que determina en definitiva las cifras decimales de una medida.
Si se realiza más de una medida al objeto, hay que hacer un tratamiento
estadístico para obtener tanto el valor más representativo del total de las
mediciones, como el error absoluto.
Para obtener el valor más representativo de la medición se debe utilizar un
estadígrafo de tendencia central, adaptándose en mejor forma al trabajo la Media
Aritmética, a, definida operacionalmente:
n
∑a
k =1
a = a1 + a2 + a3 + a4 +...... + an =
k
n
donde n es el número de mediciones.
Para obtener el error absoluto, se debe utilizar un estadígrafo de dispersión de los
datos medidos respecto la media aritmética. (Un indicador adecuado de esto es la
desviación estándar).
Existen dos tipos de estadígrafos de dispersión, “el muestral”, S, que indica cuan
dispersos se encuentra un subconjunto de datos del universo, respecto de la media
del subconjunto y, por otro lado, “el indicador de dispersión poblacional”, σ , que
nos indica dispersión en relación a la media aritmética de la población de datos.
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Una de las distribuciones de datos más típicas para estos efectos es la distribución
Gaussiana, cuya relación matemática es
f (x ) =
1
2 *π *σ 2
e −[( x − x )
2
/ 2*σ 2
]
Donde f(x) representa la función densidad de probabilidad para el dominio de
eventos de la variable aleatoria independiente x. En este caso, se utilizó para
escribir la ecuación, como estimador de dispersión a la desviación estándar
poblacional σ.
En el contexto de las bases de datos pequeñas a tratar en laboratorio, se usará la
desviación estándar muestral S, referida a un subespacio del espacio de datos,
como un estimador correcto de la desviación estándar poblacional.
NOTA: Solicite instrucción respecto de INFERENCIA ESTADÍSTICA. Una forma
de visualizar la técnica de hacer extensivas las conclusiones respecto de las bases
restringidas o locales de datos a bases globales, se advierte en el siguiente
ejemplo:
Ejemplo
Suponga que se realizaron mediciones de datos en la localidad de Curacaví,
que permiten calcular el valor de la aceleración de gravedad en esa zona.
Consideraciones estrictamente físicas permite concluir que para bases de
datos tomadas en condiciones semejantes en Tokio, Nueva York y Talca y,
sometidas al mismo tratamiento, entregarán resultados similares. Bajo esas
circunstancias S ≈ σ.
Sea 6 la media aritmética para este ejemplo y la dispersión nos indica cuan
alejados se encuentran los datos respecto de ese valor medio, se obtiene la
gráfica
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Los siguientes gráficos muestran la relación entre la desviación estándar
poblacional y los porcentajes de datos del total de ellos, que resultan más
representativos de su tendencia, el óptimo se encuentra entre:
-2s ≤ 95% mediciones ≤ 2s
Como se indicó anteriormente, es suficiente usar para hacer estimaciones, por la
cantidad de datos a trabajarse en el laboratorio, la desviación estándar muestral, S,
la que definimos operacionalmente como:
s=
(a1 − a )2 + (a 2 − a )2 + ...... + (a n − a )2
N −1
= ∆a
o en general:
N
s=
∑ (a
i =1
− a)
2
i
N −1
Ejemplo
En una sesión de laboratorio se midió con un pie de metro cuya menor escala de
medición es de 0,01 cms el diámetro de una pieza mecánica registrándose los
siguientes valores en una tabla de datos;
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n medidas
L cms
1
23,06
2
23,09
3
23,08
4
24,02
5
22,01
6
22,08
Donde:
L
= 22,78 cms
SL
= 0,75 cms
DL
= 2*SL + (E.I. / 2) cms
(L – L ) cms
(L – L )2 cms2
= 2*0,75 cms + (0,01 / 2)cms
= 1,505 cms ≈ 1,51 cms
Luego la medida es
L
= (22,8 + 1,5) cms
Note que la precisión de la medida la determina el error absoluto por la
desviación estándar y el error instrumental, y según los convenios de cifras
significativas vistos, se expresa en la forma anterior.
Propagación de errores
Cuando una magnitud física se deduce de otras medidas hechas en forma directa,
se dice que se está haciendo una medición indirecta, así por ejemplo, si se mide la
rapidez a través de la expresión
v=d/t
Tanto la distancia d, como el tiempo t se miden directamente con cierto error, por
lo que nos preguntamos
¿Qué error se comete en el cálculo de la rapidez?
Para obtener dicho error es necesario establecer unas reglas de propagación de
errores, que se relacionan con el tipo de operación elemental realizada entre las
variables que intervienen en la magnitud que va a ser calculada.
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Si consideramos dos magnitudes tales que el resultado de medirlas son los valores
a y b con errores absolutos ∆a y ∆b, la forma en que se propagan los errores
cuando se realizan operaciones aritméticas está dada por el siguiente formulario:
Suma:
( a + ∆a ) + ( b + ∆b ) = ( a + b ) + ( ∆a + ∆b )
Resta:
( a + ∆a ) - ( b + ∆b ) = ( a - b ) + ( ∆a - ∆b )
División:
a + ∆a a a  ∆a
∆b 
= + ∗ +

b + ∆b b b  a
b 
Multiplicación:
(a +
 ∆a ∆b 
∆a ) * (b+ ∆b ) = (a * b )+ (a * b ) *  +

b 
a
Potencias y Raíces:
 n * ∆a 
an = an + an *

 a 
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