EPD MÓDULO 14 Conjuntos Numéricos Los números naturales: Hace muchísimo tiempo, el hombre solo conocía los Números Naturales. Así podía conversar de, por ejemplo: “Hoy vi dos leones” “Con esos 13 caracoles, hice 1 collar” “Hoy pinté 4 dibujos nuevos en la caverna” Por ese entonces, con estos números era suficiente para desenvolverse bien Esta era entonces la recta numérica 𝑛 Escribimos “n “simbolizando que los números naturales “siguen hasta el infinito” Se utilizaban y aún se utilizan para contar elementos de un conjunto. Los números naturales sirven para contar y ordenar fundamentalmente. El nombre “Números Naturales” seguramente surge debido a que estos números son los que aparecen por primera vez en el proceso natural de contar o enumerar los objetos de un conjunto. A los números naturales los denotaremos con el símbolo ℕ, esto es: ℕ = {1, 2, 3, 4, 5...} Los números naturales y el cero: Con el tiempo surgió la necesidad de utilizar el CERO, ya que se dieron cuenta que necesitaban expresar la ausencia de unidades. La historia de número cero es una larga historia, en realidad, el 0, es uno de los números más modernos de todos, no hace tantos años que se empezó a utilizar, hubo muchas culturas que tenían sistemas de numeración en los que no hacía falta utilizar el cero, por ejemplo los romanos tenían un sistema de numeración romano y no tenían un símbolo que represente al cero, es decir que no tomaban al 0 en cuenta como un número más. El principal motivo que hizo a la necesidad de contar con un símbolo que represente al cero fue el tema de las operaciones, ya que es mucho más fácil poder sumar, restar, dividir , multiplicar, etc. Cuando contamos con un símbolo para poder expresar la ausencia de la unidad. Así que a los números naturales se les agregó el Cero Escuelas Digitales- Universidad de la Punta 1 EPD MÓDULO 14 Los Números enteros: Si se requiere dar solución a la sustracción 4 – 9, es necesario encontrar un número que sumado a 9 de cómo resultado 4. Este número no existe en ℕ Para que la sustracción tenga siempre solución, se extiende la recta numérica hacia la izquierda, de modo que a cada punto que representa un número natural le corresponde un punto simétrico a él, ubicado a la izquierda del cero. Cada uno de estos nuevos puntos ubicados a la izquierda de la recta numérica, respecto al cero, representa un número negativo. Entonces, el conjunto de los números enteros es la unión del conjunto de los números naturales, el cero y los números negativos. Este conjunto se denota por ℤ, donde: ℤ={..., -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ...} Una representación gráfica de en la recta numérica se muestra en la siguiente figura: Veamos lo siguiente: -3 ℤ -2 -10 -1 -5 ℤ ℕ 1 5 3 2 En la figura podemos ver que el numero 5 está dentro de los números naturales y también dentro de los números enteros, por lo tanto el 5 es un número natural y entero. Ahora vemos el número -5 está dentro de los números enteros pero no está en los números naturales, por lo tanto el -5 es un número entero. Escuelas Digitales- Universidad de la Punta 2 EPD MÓDULO 14 Podemos decir en general que todos los números naturales son también números enteros. Los números racionales: Si tratamos de resolver una ecuación como 3x=7, sólo conociendo el conjunto ℤ , nos damos cuenta que carecemos de dicha solución. Debido a esto, se ha hecho necesario encontrar un conjunto que “extienda” a ℤ. Dicho conjunto está formado por los números racionales que denotaremos por ℚ , y que se definen de la siguiente forma: 𝒑 Decimos que 𝒂 es un número racional, si es posible expresarlo de la forma 𝒂 = , donde 𝒒 𝒑, 𝒒 pertenecen a ℤ y 𝒒 ≠ 𝟎. Por ejemplo: 2,25 = 9 −0,6 = − 5 3 1, 3̂ = 5 4 3 Una representación gráfica de en la recta numérica se muestra en la siguiente figura: Los números enteros se pueden expresar como fracción con denominador 1, por lo tanto, todo número entero es también un número racional, esto es, por ejemplo: 8= 8 1 Recuerda: los decimales se clasifican en decimales exactos, decimales periódicos puros y decimales periódicos mixtos, y todos ellos pueden ser expresados como fracción y por lo tanto son números racionales. Números irracionales: Tienen infinitos decimales no periódicos, NO se los puede expresar como fracción. Ejemplo: Perímetro Diámetro Escuelas Digitales- Universidad de la Punta 3 MÓDULO 14 EPD Como sabemos, los griegos se dieron cuenta que el perímetro de cualquier circunferencia equivale a 3,1415926… veces el diámetro. El número 𝜋 = 3,14159265358979323846264 …etc, etc. Tiene infinitos decimales no periódicos (y NO se lo puede representar mediante fracción) entonces es un número IRRACIONAL. Veamos otro ejemplo, Pitágoras se preguntaba esto: ¿Cuánto vale la diagonal de un cuadrado de lado 1? √2 Lado = 1 ..Así calculando llego a la acertada conclusión que esa diagonal vale: √2 = 1,4142134523730950488016887242097… Y este número al igual que el número 𝜋 NO se puede representar mediante una fracción y por lo tanto es también un número IRRACIONAL. LOS NUMEROS REALES: El conjunto de los Números Reales incluye a todos los que veníamos estudiando, inclusive los IRRACIONALES. Nota: Fijate que los conjuntos que quedan “encerrados” adentro de otro conjunto es porque están INCLUIDOS en ellos. Escuelas Digitales- Universidad de la Punta 4 MÓDULO 14 EPD EJERCITACIÓN Ejercicio 1 : Responde: a. ¿Para qué sirven los números naturales? b. Dá dos ejemplos de números naturales c. ¿Cuál fue la necesidad de utilizar el cero? d. Los números enteros es la unión de que otros conjuntos numéricos? e. ¿Cuándo un número es racional? f. ¿Cómo se clasifican los números decimales? g. Los números que no son racionales, ¿qué nombre reciben? Ejercicio 2 Responder Verdadero o Falso a. El 0 es un número entero b. 1 2 c. d. e. f. g. El 2 pertenece a los números racionales. Las raíces cuadradas que no son exactas, son números Irracionales. Todos los números naturales son números Reales. Los números enteros son también números Naturales 5, 4̂ es un número racional. es una fracción, y por lo tanto pertenece a los Irracionales. Ejercicio 3 Responde h. ¿Nos alcanza el conjunto de números naturales para medir las temperaturas ambientales? ¿Por qué? i. ¿Cómo representarías 400 Años Antes De Cristo? ¿A qué conjunto numérico pertenece dicho valor? j. Si tenemos los siguientes números: 11, -1, 2, 50, -3, 0, 15, -21, y queremos definir un conjunto numérico que los contenga a todos, ¿cuál elegirías? ¿Por qué? k. Supongamos una lista de precios de un supermercado, ¿ a qué conjunto numérico pertenecerían esos valores? l. ¿Cuántos números racionales hay entre 1 y 2? m. ¿Cuántos números enteros hay entre 5 y 6? Escuelas Digitales- Universidad de la Punta 5