z - yoquieroaprobar.es

Apuntes de Física General Física 2º Bachillerato
TEMA 0: VECTORES. CINEMÁTICA. DINÁMICA DE LA PARTÍCULA
VECTORES:
Un vector es la representación matemática de una magnitud vectorial. Consiste en
un segmento orientado, que contiene toda la información sobre la magnitud que estamos
midiendo.
Partes del vector:
- Módulo: Longitud del segmento (valor de la magnitud: cantidad + unidades)
- Dirección: La de la recta en la que se encuentra el vector (llamada recta soporte)
- Sentido: Viene dado por la flecha. Dentro de la dirección, será + ó - , dependiendo del
criterio que hayamos escogido en un principio.
Sistema de referencia:
Un punto ( O , origen, pto desde el cual medimos)
r r r
Tres vectores (perpendiculares y de módulo 1 ) : i , j , k
Coordenadas de un pto
(
P : Px , Py , Pz
)
r
r
r
r
Componentes de un vector: a = a x i + a y j + a z k
r
a = ax , a y , az
(
)
r
Módulo de un vector: a = a x 2 + a y 2 + a z 2
Vector unitario:
r
r
r
r
ax i + a y j + ax k
r
a
ua = r =
2
2
2
a
ax + a y + az
Vector entre dos puntos:
Producto escalar
r r r
a = a ⋅ ua
(
PQ : Q x − Px , Q y − Py , Q z − Pz
)
r r r r
a ⋅ b = a ⋅ b ⋅ cosα = a x ⋅ b x + a y ⋅ b y + a z ⋅ b z
Ángulo entre dos vectores:
Producto vectorial
r r
a ⋅b
cosα = r r
a⋅b
r
i
r
r
r
r r
a ∧ b = (a y bz − a z b y )i − (a x bz − a z bx ) j + (a x b y − a y bx )k = a x
bx
r
r
Módulo ar ∧ b = ar ⋅ b ⋅ senα
r
j
ay
by
r
k
az
bz
Dirección: Perpendicular a ambos vectores
Sentido: regla del sacacorchos (o der la mano
r
derecha) al girar desde a hasta b
© Raúl González Medina
1
Apuntes de Física General Física 2º Bachillerato
df ( x )
DERIVADAS: Dada f(x)
∆f ( x )
= lim
∆x
∆x →0
dx
= lim
∆x →0
f ( x) − f ( x0 )
x − x0
Propiedades fundamentales:
suma
d ( f ( x) ± g ( x) )
dx
producto por nº
df ( x )
=
dx
±
dg ( x ) La derivada de una suma (o
dx diferencia) es la suma (o
diferencia) de las derivadas.
d (k ⋅ f ( x ) )
dx
=k⋅
df ( x )
dx
Al multiplicar una función por un nº k, la
derivada también se multiplica por k.
producto
d ( f ( x) ⋅ g ( x) )
dx
=
df ( x )
dx
df ( x )
d ( f ( x) / g ( x) )
cociente
dx
= dx
⋅ g ( x) + f ( x) ⋅
⋅ g ( x) − f ( x) ⋅
g ( x)
dg ( x )
dx
dg ( x )
dx
Función
k=cte
x
k·x
k·xn
cos(k·x)
sen(k·x)
ln x
Derivada
0
1
k
k · n · x n -1
- k · sen(k·x)
k ·cos(k·x)
1/x
2
f(x)
1
df ( x )
⋅
2 f ( x ) dx
r
Derivada de un vector: Para derivar una magnitud vectorial a cualquiera, se derivan sus componentes por
r
d a d ax r d a y r d az r
=
⋅i +
⋅j+
⋅k
dt
dt
dt
dt
separado.
INTEGRALES INDEFINIDAS: Una función F(x) es la función integral (o función primitiva) de otra función
f(x) cuando f(x) se obtiene al derivar F(x)
Algunas propiedades:
∫[f
( x)
Función
0
]
± g ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx ± ∫ g ( x ) dx
1
k
La integral de una suma (o diferencia) es la
suma (o diferencia) de las integrales
x
∫ k ⋅ f ( x) dx = k ⋅ ∫ f ( x) dx
n
sen(x)
cos(x)
1/x
Al multiplicar una función por un nº k
cualquiera, la integral también se ve
multiplicada por el mismo nº.
INTEGRALES DEFINIDAS:
F ( x) = ∫ f ( x) dx →
∫
B
A
f ( x) =
d [F ( x)]
dx
Integral
c=cte
x+c
k·x+c
x n +1
+c
n+1
- cos(x) + c
sen(x) + c
ln x + c
f ( x) ⋅ dx
El resultado de realizar una integral indefinida no es una función, sino un
número real. Se calcula mediante la Regla de Barrow:
1º Se calcula la integral indefinida F ( x) =
∫ f ( x) dx
2º Se sustituye x por los valores de los extremos superior e inferior.
Obtenemos(descripción
F(B) y F(A) del movimiento de una partícula):
CINEMÁTICA
3º Hacemos F(B) – F(A)
© Raúl González Medina
2
Apuntes de Física General Física 2º Bachillerato
CINEMÁTICA:
Indica las coordenadas del móvil en cada instante
rTambién llamado ecuación de movimiento.
r
r
r
r (t ) = x i + y j + z k
r
r = x2 + y2 + z2
r (t ) = ( x, y, z )
Vector de posición
Vector desplazamiento
r r r
∆r = r − r0
Indica cómo varía la posición del móvil con respecto al tiempo.
r
r
∆r
Medida en un intervalo ∆t = t − t 0
Velocidad media
vm =
∆t
Velocidad:
r
Velocidad instantánea: Indica cómo cambia r con el tiempo
en cada instante.
r
Indica cómo cambia v con el tiempo
Aceleración
r
r dr
v=
dt
[v] = m = m ⋅ s −1
r
r dv
a=
dt
[a] = m / s = m ⋅ s −2
s
s
Componentes intrínsecas de la aceleración:
r r r
r
r
a = at + a n = at ⋅ u t + a n ⋅ u n
a 2 = at + a n
2
2
ac.tangencial
ac. normal
r
r dv r
at =
⋅ ut
dt
r
v2 r
an =
⋅ un
R
R = radio de curvatura
r
modifica v
at =
r
modifica la dirección de v
r
r
v
ut = r
v
r
dv
dt
v2
an =
R
vector unitario tangente
© Raúl González Medina
3
Apuntes de Física General Física 2º Bachillerato
MOVIMIENTOS DE ESPECIAL INTERÉS:
r
a =0
Mov. rectilíneo uniforme (MRU):
r
v = cte
;
r
r
r
r = r0 + v · t
;
La trayectoria es siempre una línea recta.
Mov. uniformemente acelerado (MUA):
La trayectoria puede ser
r
r
r
v = v0 + a t
r
r
r
r = r0 + v 0 · t +
r
a = cte
r 2
a· t
r
r
Recta: si v 0 y a son paralelas (MRUA)
r
r
Curva (parabólica): si v 0 y a no son paralelas
r
r
r
r = r0 + v 0 · t +
Tiro parabólico:
r
r
r
2
a = g ~ -10 j m/s
1
2
1
2
r 2
g·t
x = xo + vox ·t
y = yo + voy ·t r
r
r
v = v0 + g · t
1
2
g ·t
2
vx = vox = cte
vy = voy – g · t
r
Descomposición de v 0 :
vox = vo · cos α
voy = vo · sen α
Mov. circular uniforme (MCU):
Posición angular:
Movimiento con at = 0 ; an = cte Æ R = cte
[θ ] = rad
θ = θo + ω t
ω=
Velocidad angular:
∆θ
= cte
∆t
[ω ] = rad ⋅ s −1
[T ] = s
2π
Periodo: Tiempo en dar una vuelta.
T=
Frecuencia: nº de vueltas por segundo
1 ω
υ= =
T 2π
Aceleración
a = an = ω 2 ⋅ R =
ω
[υ ] = s
Relación entre magnitudes
angulares y lineales:
−1
s=θ·R
v=ω·R
an = ω2 · R
= Hz
v2
R
Mov circular unif. Acelerado (MCUA):
ω varía con α = cte (aceleración angular)
[α ] = rad ⋅ s −2
θ = θo + ωo ·t +
α=
∆ω
∆t
1
2
α ·t
2
at = α ·R
ω = ωo + α ·t
© Raúl González Medina
4
Apuntes de Física General Física 2º Bachillerato
DINÁMICA DE LA PARTÍCULA:
Leyes de Newton:
1ª (ley de inercia):
“Todo cuerpo tiende a continuar en su estado de reposo o movimiento rectilíneo uniforme
a menos que sobre él actúe una fuerza neta que le obligue a cambiar este movimiento.”
r
Si ΣF = 0
2ª (relación causa-efecto):
r
r
ΣF = m ⋅ a
r
→ v = cte
(continúa en su estado de movimiento)
“El cambio de movimiento (aceleración) originado en una partícula es
proporcional a la resultante de las fuerzas aplicadas sobre la partícula, y va en la
misma dirección y sentido que dicha resultante.”
3ª (principio de acción-reacción):
r
r
F12 = − F21
“En toda interacción entre dos cuerpos, se ejercen
dos fuerzas, una aplicada sobre cada cuerpo, que
son iguales en módulo y dirección, y en sentidos
contrarios”.
FUERZAS DE ESPECIAL INTERÉS:
Peso:
r
r
P =m⋅g
Fuerza que ejerce la Tierra (o el planeta que se esté estudiando) sobre un cuerpo. Su
dirección y sentido apuntan hacia el centro del planeta.
Normal:
Respuesta del plano a todas las fuerzas perpendiculares a él.
r
si no hay movimiento en ese eje.
Cálculo: ΣFy = 0
Tensión:
Fuerza que ejerce un hilo tenso sobre sus extremos
Para una misma cuerda, el valor de T es el mismo en ambos extremos
r
r
Fe = − K ⋅ ∆x
Fuerza elástica :
La ejercen los cuerpos elásticos sobre sus extremos al deformarlos.
Es proporcional al desplazamiento y se opone a éste.
Fuerza de rozamiento: Debida a la rugosidad de las superficies en contacto
F Roz. estática:
Mientras el cuerpo no se mueve FR = Faplicada
En el límite
F Roz. dinámica:
FRsMAX = µ s ⋅ N
Cuando se produce un deslizamiento FR = µ ⋅ N
Empuje de Arquímedes: Fuerza vertical ejercida por un fluido (líquido o gas) sobre un
cuerpo sumergido en él.
E = Vsum · dfluido · g
E
© Raúl González Medina
5
Apuntes de Física General Física 2º Bachillerato
SISTEMAS DE REFERENCIA INERCIALES Y NO INERCIALES:
r
Un sistema de referencia es inercial si está en reposo o se mueve con MRU ( v =cte ) respecto a una sistema de
referencia que esté en reposo. Un observador situado en un SR inercial mide correctamente las fuerzas aplicadas
sobre los cuerpos y aplica correctamente las leyes de Newton.
Un sistema de referencia es no inercial si se mueve con aceleración respecto a un SR en reposo. Debido a esta
aceleración, un observador situado en él mide efectos que no puede explicar con las leyes de Newton. Debe
inventarse fuerzas que no son reales, no las aplica ningún cuerpo (las llamamos “fuerzas de inercia”).
Ejemplos: - Un autobús que frena bruscamente. Los pasajeros notan “un empujón” hacia delante.
- El autobús toma una curva pronunciada. Los pasajeros notan una “fuerza centrífuga” hacia fuera de la
curva.
- Los astronautas de una nave espacial en órbita notan ingravidez, como si la Tierra no ejerciera fuerza.
- Todo objeto que se mueva en la Superficie de la Tierra nota “una fuerza hacia la derecha” en el hemisferio
norte y “hacia la izquierda” en el hemisferio sur (así se forman las borrascas, huracanes,
remolinos…)
CANTIDAD DE MOVIMIENTO:
Indica la intensidad de un movimiento.
[ p] = kg ⋅ m ⋅ s −1
r
r
p = m⋅v
La cantidad de movimiento varía debido a la acción de las fuerzas que actúen sobre el cuerpo.
r
r
Conservación: Si ΣF = 0 → p = cte
Impulso:
r
r
dp
= ΣF
dt
Indica el efecto que tiene la aplicación de una fuerza durante un intervalo de tiempo.
r
r
I = ∫ F ⋅ dt
r
Si F es constante
r r
r
I = F ⋅ ∆t = ∆p
[I] = N·s
PRESIÓN. HIDROSTÁTICA.
Presión (P): Fuerza ejercida por unidad de superficie. P =
F
S
[P] = N·m-2 = pascal (Pa)
La presión que ejerce un sólido sobre una superficie se debe a la fuerza de contacto (normal) sobre la misma.
Presión en fluidos. Ecuación fundamental de la hidrostática:
La presión en un punto de un fluido en reposo depende sólo de la densidad del fluido y de
la profundidad respecto a la superficie libre del fluido.
−
O
+
h
P = d ⋅g ⋅h
Principio de Pascal.
Cuando se aplica una presión en un punto de un líquido, ésta se transmite a todo el líquido con rapidez y
prácticamente sin disminuir su intensidad en todas las direcciones.
Presión en los gases. Presión atmosférica.
Para una cierta cantidad de un gas ideal, la presión que ejerce está relacionada con el volumen y la temperatura.
P ⋅V = n ⋅ R ⋅ T
n = nº moles. R = 0,082 atm·L/K·mol = 8,31 J/K·mol
En toda transformación del gas, se cumple
P ⋅V
= cte →
T
P1 ⋅ V1 P2 ⋅ V2
=
T1
T2
La presión atmosférica media al nivel del mar es de 1 atm = 760 mmHg = 101,3 kPa = 1,013 bar = 98000
kp/cm2
Esta presión disminuye con la altura.
Dinámica de fluidos. Teorema de Bernouilli.
En un fluido en movimiento (por ej, que circula por una tubería) la presión que ejerce depende de su velocidad y
de la altura. Se cumple la ecuación de Bernouilli P + d ⋅ g ⋅ h +
© Raúl González Medina
d ⋅ v2
= cte
2
6
Apuntes de Física General Física 2º Bachillerato
PROBLEMAS TEMA 0:
1.- Sean los puntos:
VECTORES, CINEMÁTICA
A: (4,2,-1);
B: (-1,3,0);
C: (0,-1,5); D: (2,2,2);
r
b = PB
r r
r r
r r
r r
b) Calcular:
a + b ; a +c ; a +d ; b + c ;
r
r
r
r
r r
2 · b ; -3 · c ; - 4 · d ; 6 · a - b ; 3 · b
r
a) Calcular los vectores: a = PA
r
c = PC
r
r
b + d;
r
- c; 4·
r
r r
r
r
r
r r
d · a ; b · 2 c ; 3 a · (-2 c ); a ∧ b ;
r r
r
r
r r
r r r
( b + c ) ∧ 2 a ; a · ( b ∧ d ); c · ( d ∧ a )
c) Calcular:
2.-
P: (-1,2,3)
r
d = PD
r
r
r
c + d ; 7· a;
r
r
r
r
d - 5 · a ; ua ; uc
r
r
r r
c ∧ d; 2 a ∧ d;
r r
c ∧b;
a) Calcular la derivada respecto al tiempo de las siguientes funciones:
;
3 cos(4 t)
;
t – ½ t3 + ln t
4 t2 - 5t + 1
b) Calcular el vector derivada respecto al tiempo de los siguientes vectores:
r
r
r
r
a = 3t2 i - 2 j + (5t + 3t2) k ;
c) Calcular
∫ 3x
2
dx
∫ 6x
4
+ 3x dx
r
r
r
r
r
r
r
b = -2t j + sent k ; c = lnt i + 2 cost j - 3t3 k
3
∫ 3x
1
2
dx
∫
π
0
sen( x) dx
3.- La fórmula que nos da la posición de una partícula que se mueve en línea recta es:
r
r
x = 7t3 - 2t2 + 3t -1 (m) (es decir, r = (7t3 - 2t2 + 3t -1) i (m))
Calcular los vectores velocidad y aceleración, el espacio y la velocidad inicial en módulo, la posición a los 2 s. y a
los 3 s., y el espacio recorrido entre t = 2 s. y t = 3 s.
4.- Una partícula lleva un movimiento en el eje X y en el eje Y de forma que la ecuación del vector de posición es:
r
r
r
r = (6t - 5) i + (108 t2 - 108 t + 80) j (m). Calcular:
a) Expresiones del vector velocidad y del vector aceleración
b) Expresión, en función del tiempo, del módulo de la velocidad.
c) Velocidad y espacio iniciales.
d) Vector desplazamiento entre t = 2 s. y t = 3 s.
5.- Un cuerpo se desplaza hacia la derecha del eje X (semieje positivo) con una velocidad constante de 3 m/s. En el
instante inicial se encuentra a 1 m. a la derecha del origen de coordenadas en el eje X. Determinar:
a) Vector de posición en cualquier instante
b) Vector desplazamiento y distancia recorrida entre t = 2 s. y t = 6 s.
c) Vectores velocidad y aceleración en cualquier instante.
6.- El movimiento de una partícula viene dado por x = 2t + 3; y = t2 + 5; z = t + 2. (coordenadas dadas en metros).
r r
Calcular r y v . Calcular también un vector unitario tangente a la trayectoria para t = 1 s.
r
r
7.- En un movimiento se sabe que: a n = 0 , a t = 2 i (m/s2), y para t = 1 s, se cumple que
r
r r
r
r
v (1) = 2 i m/s y r (1) = i + j m
r r
Calcular v y r para cualquier instante.
8. De un movimiento sabemos que se encuentra sometido únicamente a la acción de la gravedad, y que
r r
r
r r
inicialmente se encontraba en el origen, moviéndose con una velocidad v 0= 3 i – j m/s. Calcula r y v para
cualquier instante.
9.- Una pelota cae desde un tejado situado a 10 m de altura y que forma 30º con la horizontal, con una velocidad
de 2 m/s. Calcula:
a) ¿A qué distancia de la pared choca con el suelo?
; b) velocidad que lleva al
llegar al suelo (desprecia el rozamiento con el aire)
-1
10.- Un©avión,
que vuela
Raúl González
Medinaa 500 m de altura y 100 ms deja caer un paquete con provisiones a una balsa. ¿Desde qué
7
Apuntes de Física General Física 2º Bachillerato
distancia horizontal debe dejar caer el paquete para que caiga 10 m delante de la balsa? (despreciar el rozamiento)
11.- Un globo se encuentra inicialmente a 50 m de altura, y sufre una aceleración ascensional de 2 ms-2. El
viento hace que el globo tenga desde el principio una componente horizontal de velocidad constante e igual a 5
m/s.
a) ¿Qué tipo de movimiento es? ;
b)Calcula la ecuación de movimiento;
c) Altura cuando ha avanzado horizontalmente 100 m.
12.- Desde una azotea soltamos una piedra de 1 kg en caída libre. Llega al suelo con una velocidad de 20 m/s.
Despreciando el rozamiento con el aire:
a) Calcula la altura de la azotea y el tiempo que tarda en caer.
b) ¿Cómo cambiaría el problema si la masa de la piedra fuera de 2 kg?
CUESTIONES TEÓRICAS:
1. Razonar:
a) ¿Puede el módulo de un vector ser menor que 1? ¿Puede ser negativo?
b) ¿Qué condición deben cumplir dos vectores para que sean perpendiculares? ¿Y para que sean paralelos?
c) ¿Qué condición debe cumplirse para que una función que depende del tiempo se mantenga constante?
2. ¿Posee aceleración un coche que toma una curva a 60 km/h? Explicar
3. Indicar qué características tendrán los siguientes movimientos, dados por:
r
r
r r
b) v = cte;
c) a = cte con a || v o
a) v = cte
r
r
r
d) an = cte , at = 0
e) an aumenta , at = 0
f) a = cte con a no || v o
g) an = 0
4. Dibujar la trayectoria aproximada que seguiría en cada caso el punto móvil de la figura, atendiendo a los datos de
r
velocidad inicial y aceleración. Explicar qué tipo de movimiento llevará.
r
v
r
a
r
v
r
a
r
a=0
v
r
v
r
a
r
v
r
a
SOLUCIONES A LOS PROBLEMAS:
1.-
2.-
3.4.5.6.7.8.9.10.-
a) (5,0,-4) ; (0,1,-3) ; (1,-3,2) ; (3,0,-1)
b) (5,1,-7) ; (6,-3,-2) ; (8,0,-5) ; (1,-2,-1) ; (3,1,-4) ; (4,-3,1); (35,0,-28) ; (0,2,-6) ; (-3,9,-6);
(-12,0,4); (30,-1,-21) ; (-1,6,-11) ; (-13,0,16) ; (0.781, 0 , -0.625) ; (0.267 , -0.802 , 0.535)
c) 19 ; -18 ; 18 ; (4,15,5) ; (3,7,9) ; (0,-14,0) ; (7,3,1) ; (16,-2,20) ; 7 ; -21
8t–5 ;
-12 sen(4 t)
;
1 – 3/2 t2 + 1/x
r
r
r
r
r
r
r
6t i + (5 + 6t) k ; -2 j + cost k ; 1/t i - 2 sent j - 9t2 k
;
6/5 x5 + 3/2 x2 ;
26
2
x3
r
r ; 2
r
r
r
r
2
v = (21 t - 4t + 3) i (m/s) ; a = (42 t - 4) i (m/s ) ; x(0) = -1 m ; v(0) = 3 m/s ; r (2) = 53 i m ;
r
r
r (3) = 179 i m ; ∆x = 126 m
r
r
r
r
r
b) 46656 t 2 + 11700 - 46656 t m/s
r
r
r
r
r
r
r
r
r
c) r (0) = -5 i + 80 j (m) ; v (0) = 6 i - 108 j (m/s) ; d) ∆ r = 6 i + 432 j (m)
r
r
r
r
r
r
r
a) r = (3t + 1) i m ; b) ∆ r = 12 i m ; ∆r = 12 m
c) v = 3 i m/s; a = 0 m/s2
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r = (2t + 3) i + (t2 + 5) j + (t+2) k m ; v = 2 i + 2t j + k m/s ; u t (1) = ( 2/3 , 2/3 , 1/3 )
r
r
r
r
r
v = 2 t i (m/s) ; r = t2 i + j (m)
r
r
r
r
r
r
v = 3 i – (1 +10 t ) j m/s ;
r = 3 t i – (t – 5 t2) j m
r
r
a) 2,29 m ; b) 1,73 i – 14,2 j m/s
a) v = 6 i + (216 t -108) j m/s ; a = 216 j m/s2 ;
1010
m (ó 990 m, según se interprete la expresión “delante de la balsa”)
© Raúl González Medina
8
Apuntes de Física General Física 2º Bachillerato
11.12.-
r
r
r
b) r = 5 t i + (50 + t2) j m ; c) 450 m.
a) h = 20 m ; t = 2 s
PROBLEMAS TEMA 0: DINÁMICA DE LA PARTÍCULA (I):
1. La partícula de la figura, de 2 kg, se encuentra inicialmente en reposo en el punto (4,3)
m, y sufre únicamente las fuerzas indicadas. Calcular la aceleración que sufre dicha
partícula, así como la velocidad que tendrá al cabo de 5 s.
r
r
r
r
r
r
( a = 5 i + 2 j m/s2 ; v = 25 i + 10 j m/s )
2. Un electrón se mueve en el sentido positivo del eje y con una velocidad de 4 · 105 ms-1. Un campo eléctrico hace
que el electrón sufra una fuerza de 1,6 ·10-16 N en el sentido negativo del eje x. Sabiendo que la masa de un electrón
es de 9,1 ·10-31 kg, calcular la aceleración que sufre el electrón y su ecuación de movimiento. Dibujar
aproximadamente la trayectoria que sigue el electrón.
r
r
r
r
r
r = 4·105 t j – 8,79·1013 t2 i m)
;
( a = - 1,75 ·1014 i ms-2
10 N
3. Calcular la reacción normal del plano en
las siguientes situaciones.
( 50 N , 43 N , 34,64 N)
4. En el sistema de la figura el bloque M = 10 kg puede deslizar sobre la
superficie horizontal, siendo µ = 0,2 el coeficiente de rozamiento entre
ambos. El bloque m = 4 kg, que cuelga libremente, está unido a M por
un hilo inextensible que pasa a través de una pequeña polea. Las masas
del hilo y de la polea son despreciables. Determinar:
a) Aceleración del sistema formado por M y m.
b) Tensión del hilo
c) Valor de M para que el bloque m esté en reposo
d) ¿En qué cambiaría el problema si se hiciese en la Luna (g = 1,6 m/s2) ?
( a) 1,43 m/s2 ; b) 34,29 N ; c) 20 kg ; d) a = 0,23 ms-2 , T = 5,49 N , el apartado c queda igual )
5.- Calcular F para que un cuerpo de 4 kg ascienda con
velocidad constante, teniendo en cuenta que µ = 0,4, en los
siguientes casos:
( a) 50,83 N ; b) 37,14 N )
6.- Dos bloques de masas m1 = 2 kg y m2 = 4 kg, unidos
por un hilo de masa despreciable, se encuentran sobre una
superficie horizontal. El coeficiente de rozamiento de
cada bloque con el suelo es µ = 0,2. Se aplica al bloque
m1 una fuerza F de 20 N en una dirección que forma un
ángulo de 30 con la horizontal. Calcular la aceleración
del sistema formado por los dos bloques y la tensión del
hilo. ( a = 1,22 ms-2 , T = 12,88 N )
7. En 1870, el científico británico Atwood construyó un aparato (conocido como máquina de Atwood)
para medir la relación entre fuerza y aceleración. El esquema básico de la máquina es el que aparece en
la figura: dos masas m1 y m2 suspendidas de una polea mediante un hilo. Calcular la aceleración con la
que se moverán los bloques (suponiendo m2 > m1).
( a = (m2 - m1) g / (m2 + m1) )
© Raúl González Medina
9
Apuntes de Física General Física 2º Bachillerato
8. Empujamos horizontalmente un bloque de 50 kg sobre una superficie rugosa. Se observa que, para empujes
pequeños, el bloque no se mueve. Si queremos mover el bloque, debemos realizar una fuerza superior a 250 N.
Calcular a partir de estos datos el coeficiente estático de rozamiento entre el bloque y el plano. ( µ= 0,5 )
9. Colocamos un bloque de 20 kg sobre una tabla rugosa. Vamos inclinando poco a poco la tabla. Al principio no se
produce el deslizamiento. Al seguir inclinando y llegar a un ángulo de 30°, conseguiremos que el bloque deslice.
Calcular el coeficiente estático de rozamiento entre el bloque y el plano. ( µ= 0,57 )
10. Una locomotora tiene una masa de 10 toneladas, y arrastra una vagoneta de 5 toneladas. La fuerza que impulsa la
locomotora es de 75000 N y el coeficiente de rozamiento con la vía es de 0,25. Calcular la aceleración que adquiere
el tren, así como la fuerza que tienen que soportar los enganches entre vagones.
( a = 2,5 m/s2 ; T = 25000 N )
11 Una escopeta de 5 kg dispara una bala de 15 g con una velocidad de 500 m/s. Calcular la velocidad de retroceso
r
r
de la escopeta. ( v e = - 1,5 i m/s)
12. Un niño, cuya masa es de 40 kg, está encima de un monopatín, de 3 kg de masa,. En un instante, el niño salta
hacia delante con una velocidad de 1 m/s. Calcular la velocidad con la que se mueve el monopatín.
r
r
( v = - 13,3 i m/s)
13. Una persona de 60 kg corre , a 10 m/s, tras una vagoneta de 200 kg que se desplaza a 7 m/s. Cuando alcanza a la
vagoneta, salta encima, continuando los dos juntos el movimiento. Calcular con qué velocidad se mueven tras
r
r
subirse encima. ( v = 7,7 i m/s)
14.- Un hombre se encuentra sobre una báscula en el interior de un ascensor. Con el ascensor quieto la báscula
marca 700 N. Calcular cuánto marcará si:
a) El ascensor sube con una velocidad constante de 5 m/s.
(700 N)
(840 N)
b) El ascensor sube con una aceleración constante de 2 m/s2
(560 N)
c) El ascensor baja con una aceleración constante de 2 m/s2
d) La cuerda del ascensor se parte y éste cae en caída libre.
(0 N)
15.- Una furgoneta transporta en su interior un péndulo que cuelga del techo. Calcular el
ángulo que forma el péndulo con la vertical en función de la aceleración de la furgoneta.
( α = arctg (a/g) )
© Raúl González Medina
10
Apuntes de Física General Física 2º Bachillerato
CUESTIONES TEÓRICAS:
1. Para las siguientes situaciones, identificar y dibujar las fuerzas que actúan:
Tierra
Sol
2. ¿Por qué un imán se queda pegado a una pared metálica y no cae?
3. Llenamos de aire un globo y, sin anudar la boquilla, lo soltamos. Describir y razonar lo que ocurre
4. Razonar la veracidad o falsedad de las siguientes afirmaciones.
a) “Para que un cuerpo esté en movimiento debe haber forzosamente una fuerza aplicada sobre el cuerpo
en ese instante”
b) “Podemos arrastrar un cuerpo por una superficie aplicando una fuerza menor que su peso”.
c) “Al chocar una bola de billar con otra de menor masa, la fuerza que la bola grande ejerce sobre la
pequeña es mayor que la fuerza que la bola pequeña ejerce sobre la grande”.
d) “El peso, la fuerza que la Tierra ejerce sobre los cuerpos, depende de la masa de cada cuerpo. Sin
embargo, todos los cuerpos caen con la misma aceleración.”
e) “Si un cuerpo no está acelerado, no existe ninguna fuerza actuando sobre él”
f) “Un cuerpo se mueve siempre en la dirección de la fuerza resultante”
5. Razonar, ayudándose de diagramas, qué tipo de movimiento tendrá una partícula material en las siguientes
condiciones:
a) Ausencia de fuerzas.
b) Sobre la partícula actúa una fuerza constante.
c) Sobre la partícula actúa una fuerza que es siempre perpendicular al movimiento.
6. a) Dos observadores situados en SR inerciales miden el movimiento de una partícula. ¿Miden ambos
observadores las mismas fuerzas aplicadas a la partícula? ¿Y la misma aceleración? ¿Y la misma velocidad?
b) Razone en qué cambiarían las respuestas a la cuestión anterior si uno de los dos observadores está en un
sistema de referencia no inercial.
© Raúl González Medina
11
Apuntes de Física General Física 2º Bachillerato
TEMA 1: DINÁMICA DE LA PARTÍCULA (II)
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.1
Momento angular. Momento de una fuerza. Nociones de Estática.
Energía. Tipos.
Trabajo, características. Teorema trabajo-energía cinética.
Fuerzas conservativas. Energía potencial.
Energía mecánica. Conservación.
Interacciones fundamentales en la Naturaleza.
MOMENTO ANGULAR. MOMENTO DE UNA FUERZA. NOCIONES DE ESTÁTICA.
r
Momento angular de una partícula respecto a un punto. ( LO ):
Hasta ahora, para estudiar el movimiento de una partícula, hacíamos uso de las leyes de Newton. Estas
leyes dan información sobre desplazamientos (permiten calcular aceleración, velocidad, trayectoria...) pero
pierden utilidad cuando se trata de estudiar un cuerpo que gira, que da vueltas. Para estudiar las rotaciones
usaremos una magnitud llamada momento angular (o momento cinético) respecto a un punto.
El momento angular de una partícula respecto a un punto O se define como
r
r r r
r
LO = r ∧ p = r ∧ m ⋅ v
Unidades: [LO ] = kg ⋅ m 2 ⋅ s −1
r
r
Dirección: Perpendicular a r y a p . Indica el eje respecto al que gira el vector de posición.
r
r
Sentido: Dado por la regla de la mano derecha al girar r sobre p . Nos indica el sentido en el que gira el vector
Módulo: LO = r ⋅ m ⋅ v ⋅ senα
de posición respecto al punto O.
Punto de aplicación: el punto O.
r
Momento de una fuerza respecto a un punto. ( M O ):
En el estudio que se ha hecho sobre las fuerzas en cursos anteriores, se consideraba a los cuerpos como
partículas, es decir, como puntos. Todas las fuerzas que actuaban sobre la partícula se aplicaban en el mismo
punto.
A partir de ahora vamos a tener en cuenta una situación más real. Los cuerpos
tienen un tamaño y una forma determinada, y el punto en el que esté aplicada la fuerza
tendrá mucha importancia. La misma fuerza puede producir diferentes efectos según
sobre qué punto actúe. En el ejemplo de la figura, la persona tira de la caja aplicando la
misma fuerza en los dos casos, pero en el primer caso la arrastrará, mientras que en el
segundo caso es muy probable que la caja gire y vuelque.
Veamos otro caso. Sobre la tabla de las figuras 3 y 4 actúan dos
fuerzas iguales y de sentido contrario. Según la primera ley de Newton,
r
como ΣF = 0 , las tablas no deberían desplazarse. Y eso ocurre, pero en la
segunda tabla (4) sí se observa un movimiento: la tabla gira, aunque su
centro se mantenga en el mismo sitio.
De los ejemplos anteriores vemos que las fuerzas pueden producir no sólo desplazamientos, sino también
giros de los cuerpos. Y la intensidad de este giro dependerá del valor de la fuerza y del punto donde ésta esté
aplicada.
Para estudiar la tendencia a girar que tendrá un cuerpo que
sufre fuerzas, se define una magnitud física nueva, llamada
r
momento de la fuerza respecto a un punto. ( M O ). Es una
magnitud vectorial, dada por la expresión:
r
r r
MO = r ∧ F
Módulo:
M O = r ⋅ F ⋅ senα
Dirección: Perpendicular a r y F. Marca el eje respecto al que tiende a girar.
Sentido: Regla de la mano derecha.
© Raúl González Medina
12
Apuntes de Física General Física 2º Bachillerato
Una propiedad muy útil del momento de una fuerza, es que su valor es el mismo si
deslizamos la fuerza a lo largo de su recta soporte. Por ejemplo, en la figura, las dos fuerzas,
de igual módulo y con la misma recta soporte, ejercen el mismo momento respecto a O.
Cuestión: ¿Por qué ejercen el mismo momento?
Esta propiedad puede usarse en los cálculos, trasladando la fuerza hasta el punto en
r
el que nos sea más cómodo calcular su M O
r
r
Relación entre LO y M O : Conservación del momento angular de una partícula:
r
r
r
r
Hemos visto que el momento angular LO de una partícula se calcula con la expresión LO = r ∧ m ⋅ v , e
indicaba cómo giraba (hacia dónde y con qué intensidad) el vector de posición de la partícula respecto a O.
Vamos a estudiar qué factores pueden influir en que ese giro cambie (ya sea para ir más rápido, más
lento, o girar respecto a otro eje). Para ello debemos estudiar su derivada:
r
r
r
r
r
r
r
dLO d (r ∧ mv ) dr
r r
dv r
=
=
∧ mv + r ∧ m
= r ∧ ∑ F = ∑MO
dt
dt
dt
dt
r
r
dLO
= ∑MO
dt
→
Es decir: “El momento angular de una partícula respecto a un punto varía debido a la acción de los
momentos (respecto al mismo punto) de las fuerzas aplicadas sobre la partícula”
Podemos extraer también el Principio de conservación del momento angular: “El momento angular de
una partícula (su movimiento de giro) se mantendrá constante si y sólo si el momento total resultante sobre la
partícula es cero”
Esto ocurre en las siguientes situaciones:
- Que no haya fuerzas aplicadas
- Que haya fuerzas pero que sus momentos se anulen.
r
- Que las fuerzas estén aplicadas sobre el punto O ( r = 0 )
-
r
r
Que r y F sean paralelos. Esto es lo que ocurre en el caso
de las fuerzas centrales (como la fuerza gravitatoria que
sufren los planetas alrededor del Sol).
ESTÁTICA DE UN SISTEMA:
La estática es una rama de la Física que estudia el equilibrio de los cuerpos en reposo. Este estudio es
muy importante en cualquier ingeniería y fundamental en arquitectura.
Para que un cuerpo esté en equilibrio estático debe cumplir dos condiciones: que no se desplace bajo la
acción de las fuerzas, y que tampoco gire debido a las mismas. Es decir:
r
ΣF = 0
r
;
ΣM O = 0
En general, cada condición da lugar a tres ecuaciones, una para cada componente (x,y,z), con lo que
tendríamos que resolver un sistema de seis ecuaciones. En este curso nos limitaremos a resolver problemas
sencillos, en el plano, con lo que las ecuaciones nos quedarán.
r
ΣFx = 0
ΣF = 0 → 
ΣFy = 0
r
ΣM O = 0 → ΣM Oz = 0
Un sistema de tres ecuaciones.
Aplicación: ley de la palanca.
El equilibrio de los momentos de las fuerzas aplicadas a un cuerpo tiene
una aplicación práctica en la palanca (una barra rígida que puede girar respecto
a un punto de apoyo O y que sufre dos fuerzas, denominadas potencia (P) y
resistencia (R) ).
r
Aplicando ΣM O = 0 , llegamos a la conocida ley de la palanca
O
P
rOP
rOR
R
P ⋅ rOP = R ⋅ rOR
Ejercicio: Deducir la expresión de la ley de la palanca.
© Raúl González Medina
13
Apuntes de Física General Física 2º Bachillerato
Reacciones en los apoyos:
En los problemas de estática que hagamos en este curso, trabajaremos con objetos que podemos considerarlos
aproximadamente como barras rígidas (una viga, un puente, una antena, una farola, una escalera, la articulación
del brazo…) sobre las que actúan fuerzas aplicadas en diferentes puntos.
- La fuerza gravitatoria (peso) está aplicada sobre un punto llamado centro de gravedad (c.d.g). Si el cuerpo es
un sólido regular y homogéneo (será así en todos los casos que veamos) el c.d.g. coincide con el centro del
objeto.
- El cuerpo se mantiene en reposo debido a que está apoyado en otros objetos (el suelo, una pared, una cuerda,
una bisagra…). Las fuerzas que aplican sobre el sólido, y que impiden su movimiento, se denominan en general
reacciones. Veremos en este curso sólo algunos tipos de apoyo, los más sencillos, con sus reacciones.
N
Apoyo sin rozamiento (apoyo simple)
Cuerda (cable, cadena)
1.2
T
N
Apoyo con rozamiento
Ry
Bisagra
FRS
Rx
ENERGÍA. TIPOS.
Por energía entendemos la capacidad que posee un cuerpo para poder producir cambios en sí mismo o
en otros cuerpos. Es una propiedad que asociamos a los cuerpos para poder explicar estos cambios.
Estamos acostumbrados a clasificar la energía por un criterio técnico: según la fuente de producción.
Así hablamos de energía eólica, calorífica, nuclear, hidroeléctrica, solar, química...
Sin embargo, en Física es más útil establecer una clasificación en base a la razón por la que el cuerpo
puede producir cambios. Tendremos entonces.
Energía cinética (Ec): Energía debida al movimiento del cuerpo. Ec = 12 ⋅ m ⋅ v 2
Energía potencial (Ep): Debida a la acción de ciertas fuerzas que actúen sobre el cuerpo. Se denominan
fuerzas conservativas, y las estudiaremos en el apartado 1.4. Según la fuerza que actúe, tendremos:
- Energía potencial gravitatoria (Epg): debida a la acción de la fuerza gravitatoria.
- Energía potencial electrostática (Epe): debida a la acción de la fuerza electrostática entre cargas.
- Energía potencial elástica (Epel): debida a la acción de la fuerza elástica (p.e. un muelle al comprimirlo
o estirarlo).
Energía mecánica (EM): Suma de las energías cinética y potencial del cuerpo. EM = Ec + Ep
Energía interna (U): Debida a la temperatura del cuerpo y a su estructura atómico-molecular.
Unidades de energía: Cualquier forma de energía se mide en las mismas unidades: en el S.I es el Julio (J).
Otras unidades:
caloría (cal): 1 cal = 4,18 J
ergio (erg): 1 erg = 10-7 J
kilovatio-hora (kW·h): 1 kW·h = 3,6 · 106 J
Transferencias de energía: calor y trabajo:
Al estudiar un sistema desde el punto de vista de la energía, podemos ver que en cualquier cambio que
ocurra en el mismo tenemos una transferencia de energía entre unos cuerpos y otros (a veces en el mismo
cuerpo). Así, al poner en contacto un cuerpo frío con otro caliente, el cuerpo frío aumenta su energía interna, a
costa de disminuir la energía interna del cuerpo caliente, hasta llegar al equilibrio. En un cuerpo que cae en
caída libre, aumenta su energía cinética a costa de la disminución de su energía potencial gravitatoria.
Estas transferencias de energía se pueden realizar de dos formas:
Por medio de un desplazamiento, bajo la acción de una fuerza: en ese caso se produce trabajo.
Debido a una diferencia de temperatura: se habla entonces de que se transfiere calor.
© Raúl González Medina
14
Apuntes de Física General Física 2º Bachillerato
1.3
TRABAJO, CARACTERÍSTICAS. TEOREMA TRABAJO-ENERGÍA CINÉTICA.
De lo comentado en el apartado anterior, vemos que el trabajo nos indica la energía transferida por la
acción de una fuerza durante un desplazamiento del cuerpo.
Ejemplo: Una persona que suba un peso desde el suelo hasta un primer piso realiza un trabajo. Si sube
hasta el segundo, realizará una trabajo doble, lo mismo que si sube el doble de peso hasta el primer piso. Sin
embargo, si se limita a sostener el peso, sin desplazamiento, no realizará trabajo (perderá energía, eso sí, pero no
realiza trabajo).
De este ejemplo vemos que en el trabajo influyen dos magnitudes: la fuerza aplicada y el
desplazamiento realizado.
Si la fuerza que estamos aplicando es constante (en módulo, dirección y sentido), el trabajo que realiza
dicha fuerza se calcula mediante la expresión:
r r
W AB = F ⋅ ∆r = F ⋅ ∆r ⋅ cos α
Cuando la fuerza aplicada no es constante, sino que varía para
los diferentes puntos del desplazamiento (caso de la fuerza gravitatoria,
que varía con la altura, o la fuerza elástica de un muelle, que aumenta
al estirar), podemos descomponer el camino recorrido en trozos
r
infinitamente pequeños ( dr ), en los que podemos considerar que la
fuerza aplicada apenas cambia, se mantiene constante. Así, en cada
trozo infinitamente pequeño tendremos que la fuerza ha realizado un
r
r
F
r
dr
r
r
dr
r
F
trabajo (también infinitamente pequeño) dado por F ⋅ dr . Para
calcular el trabajo total, tendremos que sumar todos esos trabajos
infinitamente pequeños a lo largo del recorrido. Esa operación
matemática es una integral definida entre los puntos A y B. Así el
B r
r
W AB = ∫ F ⋅ dr
trabajo nos quedará
A
r
r
Si desarrollamos el producto F ⋅ dr con sus componentes
r
r
r
r
r
r
B r
B
B
r
W AB = ∫ F ⋅ dr = ∫ ( Fx i + Fy j + Fz k ) ⋅ (d x i + d y j + d z k ) = ∫ ( Fx ⋅ dx + Fy ⋅ dy + Fz ⋅ dz ) =
A
A
A
xB
yB
zB
xA
yA
zA
= ∫ Fx ⋅ dx + ∫ Fy ⋅ dy + ∫ Fz ⋅ dz
Propiedades del trabajo:
Unidades: [W ] = N ⋅ m = J
Signo del trabajo:
W > 0 Æ la fuerza favorece el desplazamiento (al menos una componente)
W < 0 Æ la fuerza se opone al desplazamiento (al menos una componente)
W = 0 Æ la fuerza es perpendicular al desplazamiento
Aditividad: W AC = W AB + WBC
El trabajo entre dos puntos puede descomponerse.
Reversibilidad: Al invertir el sentido del recorrido (siempre que
sigamos el mismo camino) el trabajo cambia de signo ( W AB1 = −W BA1 )
Dependencia del camino: En general, el trabajo realizado por una
fuerza entre dos puntos depende del camino seguido. Es decir, la fuerza realiza diferente
trabajo según el recorrido. Esto ocurre con la mayoría de las fuerzas.
Sin embargo, existe un tipo de fuerzas para las que el trabajo que realizan no
depende del camino seguido. Únicamente depende (dicho trabajo) de los puntos inicial y
final del recorrido. Reciben el nombre de fuerzas conservativas, y las estudiaremos en el
siguiente apartado.
© Raúl González Medina
15
Apuntes de Física General Física 2º Bachillerato
Teorema trabajo-energía cinética: (También llamado Teorema de las fuerzas vivas)
Este teorema nos proporciona la relación existente entre trabajo y energía cinética, y justifica por qué la
expresión de la energía cinética es la que es.
Supongamos un cuerpo con diversas fuerzas actuando sobre él. Debido a la acción de dichas fuerzas, el
cuerpo se desplaza. El trabajo total realizado por el cuerpo será: WTOT = ΣW =
∫
B
A
r r
ΣF ⋅ dr
r
r
r
dv
sustituyendo esto en la expresión
Ahora bien, según la segunda ley de Newton: ΣF = m ⋅ a = m ⋅
dt
del trabajo:
B
 vr 2 
r r B dvr r
Br
r
 = 12 m ⋅ v B2 − 12 m ⋅ v A2 = Ec B − Ec A
WTOT = ΣW = ∫ ΣF ⋅ dr = ∫ m ⋅ ⋅ dr = m ⋅ ∫ v ⋅ dv = m ⋅ 
A
A
A
dt
 2  A
En resumen, llegamos a la conclusión de que WTOT = ∆Ec = Ec B − Ec A
B
Esto se conoce como Teorema Trabajo-Energía cinética, y puede interpretarse de la forma siguiente:
“El trabajo total realizado sobre un cuerpo se invierte en variar su energía cinética, y es igual a dicha
variación”.
Potencia ( P ): Cuando calculamos el trabajo realizado por una fuerza aplicada a un cuerpo, tenemos en cuenta
la fuerza y el desplazamiento, pero no el tiempo que se ha invertido en el desplazamiento. Así, una grúa, al
levantar un peso de 1000 N una altura de 10 m, realiza un trabajo de 10000 J, independientemente de que tarde
un minuto o tres horas en levantarlo. El gasto energético es el mismo, pero hay diferencias entre ambos casos.
Esta diferencia se refleja con una magnitud denominada potencia. Indica la rapidez con la que se realiza la
transferencia de energía
P=
W
∆t
Unidades: [P ] =
J
= Vatio (W )
s
Una máquina que realice el mismo trabajo en menos tiempo tendrá una mayor potencia.
1.4
FUERZAS CONSERVATIVAS. ENERGÍA POTENCIAL.
Una fuerza es conservativa cuando, al calcular el trabajo que realiza en un desplazamiento entre dos
puntos, el resultado no depende del camino que se haya seguido. Este trabajo depende sólo de los puntos inicial
y final.
(Son fuerzas conservativas la fuerza gravitatoria, la elástica y la electrostática)
Consecuencias:
- Supongamos un camino cerrado, en el que volvemos al mismo punto de partida. Lo
descomponemos en dos trozos, de forma que el trabajo total será WTOT = W AB1 + WBA 2
Ahora bien, W BA 2 = −W AB 2
y
W AB 2 = W AB1 con lo que nos queda que
WTOT = W AB1 − W AB1 = 0
Si una fuerza es conservativa, el trabajo que realiza en cualquier recorrido cerrado
r r
es siempre cero.(esto se expresa de esta forma: F ⋅ dr = 0 )
∫
- Ya que el trabajo de las fuerzas conservativas sólo depende de los puntos inicial y final, podemos aprovechar
esto para calcularlo de forma más fácil (es decir, ahorrarnos el hacer la integral). Para ello usamos el concepto
de energía potencial.
La energía potencial es la energía almacenada por un cuerpo cuando sobre éste actúa una fuerza
conservativa. Decimos que el cuerpo tiene almacenada una cierta energía potencial EpA en el punto A, y otra
energía potencial EpB en el punto B. De esta forma, el trabajo realizado por la fuerza al desplazarse entre A y B,
coincide con el cambio en dicha energía potencial. Así
WFC = − ∆Ep = Ep A − Ep B
© Raúl González Medina
16
Apuntes de Física General Física 2º Bachillerato
Observamos que definimos la energía potencial de forma que siempre calculamos diferencias de energía
entre dos valores. De hecho, sabemos la diferencia, no el valor concreto en cada punto.
Para tener un valor en cada punto, debemos establecer un origen de potencial , un punto en el que
digamos que la energía potencial vale cero. Según el punto que se escoja obtendremos una fórmula para la Ep u
otra.
Cálculo de la Ep asociada a una fuerza conservativa: La expresión de la Ep se calcula a partir del trabajo
∫
realizado por la fuerza WFC = −∆Ep Æ
B
A
r
r
FC ⋅ dr = Ep A − Ep B
Habrá que calcular la integral
en general, y la fórmula que resulte será la que usemos, una vez hayamos escogido el origen de potencial
Energía potencial gravitatoria (considerando g ≈ cte , en la superficie terrestre)
Partiendo de la expresión que define a la energía potencial:
WFg = − ∆Ep g
Como
→ Ep A − Ep B = WFg
estamos
considerando
la
fuerza
gravitatoria
como
constante
r
r
r
Fg = m ⋅ g = ct e , el trabajo realizado en un desplazamiento cualquiera entre dos
puntos A y B puede calcularse con la expresión
r r
r
r
r
WFg = F ⋅ ∆r = (− mg j ) ⋅ (∆x i + ∆h j ) = −mg∆h = m ⋅ g ⋅ h A − m ⋅ g ⋅ hB
Así, tenemos que Ep gA − Ep gB = WFg = m ⋅ g ⋅ h A − m ⋅ g ⋅ hB
Eligiendo el origen para la energía potencial en el punto de altura 0. Para hB = 0 → Ep B = 0
Y la fórmula nos quedará, para cualquier punto Ep g = m ⋅ g ⋅ h
(origen en h = 0)
Energía potencial elástica:
Es la energía que almacena un resorte (un muelle) o algún cuerpo
elástico al ser estirado o comprimido.
Partiendo de la expresión que define a la energía potencial,
WFel = − ∆Epel
→ Ep A − Ep B = WFel
En este caso, la fuerza elástica no es constante, sino que varía según el
r
r
r
desplazamiento Fel = − K ⋅ ∆r = − K ⋅ ∆x ⋅ i
El desplazamiento desde la posición de equilibrio será: ∆x = x − x 0
El trabajo realizado por la fuerza elástica entre dos puntos:
xB
r
r
r
B
B
 (∆x) 2 
r
2
2
1
1
Wel = ∫ Fel ⋅ dr = ∫ − K ⋅ ∆x ⋅ i ⋅ dx ⋅ i = − K ⋅ ∫ ∆x ⋅ dx = − K ⋅ 
 = 2 K ⋅ (∆x A ) − 2 K ⋅ (∆x B )
A
A
A
 2  xA
B
Así,
Ep A − Ep B = WFel = 12 K ⋅ (∆x A ) 2 − 12 K ⋅ (∆x B ) 2
Con lo que la expresión nos queda Ep el = 12 K ⋅ (∆x) 2
elegimos origen, para
x B = x0 →
∆x B = 0
Ep B = 0
origen en x = x0, la posición de equilibrio del muelle
© Raúl González Medina
17
Apuntes de Física General Física 2º Bachillerato
1.5
ENERGÍA MECÁNICA. CONSERVACIÓN.
Como ya habíamos comentado, la energía mecánica de un cuerpo se definía como la suma de las
energías cinética y potencial que posee dicho cuerpo.
E M = Ec + Ep = Ec + ( Ep g + Ep e + Epel )
Conservación de la energía mecánica: Relación entre EM y el trabajo de las fuerzas aplicadas.
Cuando se produce un cambio en la energía mecánica de un cuerpo, esto será debido a que cambia
alguna de las energías que la componen (energía cinética, potencial). Así:
∆E M = ∆Ec + ∆Ep
Pero, según hemos visto en apartados anteriores.
Con lo cual, nos queda
∆E M = WTOT − WFC
∆Ec = WTOT
= WFNC
∆Ep = −WFC
Es decir, son las fuerzas no conservativas aplicadas al cuerpo las que hacen que cambie su energía
mecánica.
Dicho de otra forma: Si sobre un cuerpo actúan fuerzas no conservativas y éstas realizan trabajo, la
energía mecánica del cuerpo variará. Esas fuerzas no conservativas pueden hacer que la EM aumente o
disminuya. En ese último caso se dice que la fuerza es disipativa (p.e. el rozamiento)
Principio de conservación de la enegía mecánica:
De lo anterior podemos extraer una nueva lectura, que se conoce como “principio de conservación de la
energía mecánica”.
Si sobre un cuerpo no actúan fuerzas no conservativas, o éstas no realizan trabajo, la energía mecánica
si WFNC = 0 → ∆E M = 0 → E M = cte .
del cuerpo se mantendrá constante
1.6
INTERACCIONES FUNDAMENTALES EN LA NATURALEZA.
A la hora de intentar establecer una clasificación de las distintas interacciones (fuerzas) existentes en la
naturaleza, podría parecernos, a primera vista, que existe una gran variedad de ellas. Sin embargo, observando
las interacciones a nivel atómico, nos damos cuenta de que todas las debidas al contacto entre dos cuerpos (tirar
de algo, empujar, sostener, normales, rozamientos) se explican mediante la repulsión entre los electrones
superficiales de ambos cuerpos. Es decir, son fuerzas de naturaleza eléctrica. Sin embargo, la fuerza que la
Tierra hace sobre cualquier cuerpo debe ser explicada mediante una interacción de otro tipo: la gravitatoria.
Actualmente sabemos que cualquier fenómeno que ocurra en la naturaleza puede ser explicado
mediante únicamente cuatro interacciones, llamadas interacciones fundamentales. Son interacciones a
distancia (sin contacto entre los cuerpos). Describimos a continuación brevemente sus características:
Interacción Gravitatoria:
Afecta a cuerpos con masa. Es, por tanto, una interacción universal.
Es siempre atractiva (tiende a acercar ambos cuerpos).
Es de largo alcance (alcance infinito), disminuyendo su intensidad con el cuadrado de la distancia.
Es la más débil de las cuatro interacciones. Su constante característica, G = 6,67 × 10-11 N m2 Kg-2
Su intensidad es independiente del medio en el que estén ambos cuerpos (aire, agua, vacío...)
Explica: Peso, caída de los cuerpos, movimiento de planetas, galaxias...
© Raúl González Medina
18
Apuntes de Física General Física 2º Bachillerato
Interacción Electromagnética:
Afecta a cuerpos con carga eléctrica. La carga puede ser positiva o negativa.
Puede ser atractiva o repulsiva, según el signo de las cargas.
Es de largo alcance (infinito), disminuyendo su intensidad con el cuadrado de la distancia.
Es una interacción fuerte. Su constante característica, K = 9 × 109 N m2 C-2 (en el vacío)
Su intensidad depende del medio en el que estén ambos cuerpos.
Explica: Fuerzas por contacto, estructura de átomos y moléculas, reacciones químicas, fenómenos
eléctricos y magnéticos.
Interacción Nuclear Fuerte:
Afecta a partículas nucleares constituidas por quarks (protones, neutrones...). No afecta a los
electrones.
Es atractiva.
Es de muy corto alcance (aprox. 10-15 m, el tamaño del núcleo atómico)
Es la más fuerte de las interacciones (con mucha diferencia).
Explica: Estructura del núcleo atómico, reacciones nucleares, algunas desintegraciones radiactivas...
Interacción nuclear débil:
Afecta a las partículas llamadas leptones (electrón, neutrinos...)
No es propiamente atractiva ni repulsiva. Es responsable de la transformación de unas partículas en
otras
Es de muy corto alcance (aprox 10-16 m)
Es una interacción débil, aunque más fuerte que la gravitatoria.
Explica: Radiactividad, cambios en partículas subatómicas, supernovas...
Orden de intensidad:
Nuclear fuerte > Electromagnética > Nuclear débil > Gravitatoria
Actualmente se intenta agrupar estas cuatro interacciones fundamentales en una única teoría (TGU, o
Teoría de la Gran Unificación). A finales del S. XIX, Maxwell juntó las interacciones eléctricas y magnéticas.
En la década de los 60 se construyó la teoría electrodébil (nuclear débil y electromagnética), y últimamente se
ha conseguido añadir la nuclear fuerte. Sin embargo, la interacción gravitatoria se escapa a una unificación
(aunque existen teorías que intentan incluirla, como las supercuerdas, la cromodinámica cuántica, el espacio de
once dimensiones...)
© Raúl González Medina
19
Apuntes de Física General Física 2º Bachillerato
PROBLEMAS TEMA 1: DINÁMICA DE LA PARTÍCULA (II)
1.- Una partícula de masa 2 kg, y cuya posición respecto al origen en un determinado instante viene dada por
r r
r
r
r
r = 3 i + j (m), se mueve en ese mismo instante con una velocidad v = 2 i (m/s). Calcular:
r
a) Cantidad de movimiento de la partícula. (4 i kg m s-1 )
r
b) Momento angular respecto al origen. (- 4 k kg m2 s-1 )
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
c) Repetir el problema si v = i – 2 j +3 k m/s. ( p = 2 i – 4 j +6 k kg m s-1 ; LO = 6 i – 18 j –14 k
kg m2 s-1)
2.- Un LP de vinilo (de 30 cm de diámetro) gira en sentido horario a 33 rpm. Una mosca se posa en el extremo
del disco, y da vueltas al mismo ritmo. Calcular el momento angular de la mosca respecto al centro del disco,
r
r
suponiendo que su masa es de 0,05 g. ( LO = - 3,89 ·10-6 k kg m2 s-1 )
3.- La figura representa una tabla de 1 m de longitud clavada por un extremo mediante
un clavo que permite que la tabla gire. Si aplicamos las fuerzas indicadas: F1 de 160 N,
y F2 de 100 N:
a) ¿Girará la barra? Si lo hace ¿En qué sentido?
b) Calcular la resistencia que opone el clavo al desplazamiento de la barra.
r
r
( R = 60 j N)
4.- Una viga de 50 kg está apoyada horizontalmente sobre dos
soportes, como indica la figura. Calcular la fuerza que ejerce
cada soporte. (R1 = 307,7 N , R2 = 192,3 N)
5.- Una escalera de 10 kg y 2m de largo está apoyada sobre una pared formando un ángulo
de 60º con el suelo. Entre la escalera y la pared no existe rozamiento, y entre la escalera y
el suelo el coeficiente estático de rozamiento es de 0,4.
a) Calcular las reacciones del suelo y la pared.
(NPARED = 28,9 N , NSUELO = 100 N , FR = 28,9 N )
b) ¿Qué ocurriría si el coeficiente de rozamiento se redujese a la mitad?
6. Una fuerza de 130 N actúa sobre un bloque de 9 kg como se indica en el dibujo. Si µ
= 0,3 calcula el trabajo que realiza cada fuerza de las que actúan sobre el cuerpo
cuando el bloque se mueve 3 m a la derecha.
(WN = WP = 0 J, WFr = -139,5 J, WF = 337,7 J )
7. Calcular el trabajo que realizan las siguientes fuerzas en un desplazamiento horizontal desde 1 m a la derecha
del origen, hasta 2 m a la derecha.
r
r
r
a) F 1 = (x2 +3x +1) i + x2 j N
( 7,84 J )
r
r
r
b) F 2 = (2 – 3x2) i + 5 j
N
(-5J)
r
r
r
c) F 3 = (4x3 +2x2 - x) i + 7x2 j N ( 18,16 J )
8. Bajamos una caja de 10 kg desde un piso (A) hasta el punto B en el suelo de dos
formas diferentes: 1) descolgándola con una cuerda hasta el suelo y luego
arrastrándola horizontalmente. 2) deslizando la caja por una rampa inclinada 30º.
Calcular el trabajo realizado por la fuerza peso por cada uno de los caminos
seguidos. ¿Es lógico que salga el mismo resultado por ambos caminos? Razonar.
( 400 J por ambos caminos)
© Raúl González Medina
20
Apuntes de Física General Física 2º Bachillerato
r
r
r
9 Sobre una partícula actúa una fuerza F = 2xy i + x2 j (N). Calcular el trabajo realizado al desplazar la
partícula desde el punto (0,0) al (2,4) (m.):
a) A lo largo del eje 0X desde (0,0) al (2,0) y después paralelamente al eje 0Y desde (2,0) hasta (2,4).
b) A lo largo del eje 0Y desde (0,0) hasta (0,4) y después paralelamente al eje 0X desde (0,4) hasta (2,4)
c) A lo largo de la recta que une los dos puntos. (Sol: 16 J a lo largo de los tres caminos)
r
r
10. Una partícula está sometida a una fuerza F = xy i (N), en la que x e y son coordenadas del punto del
plano en el que está el cuerpo en cada instante, en metros. Calcular el trabajo realizado por tal fuerza al
desplazar la partícula desde (0,3) hasta (3,0) (m):
a) A lo largo de la recta que une los puntos ( 4,5 J )
b) A lo largo del camino (0,3) Æ (3,3) Æ (3,0).
(13,5 J)
c) ¿Es conservativa esa fuerza?
r
r
r
11. Una partícula está sometida a F = 6xy i + (3x2- 3y2) j (N). Calcular el trabajo realizado por tal fuerza al
desplazar la partícula del punto (0,0) al (1,1) (m.):
a) A lo largo del camino (0,0) Æ (1,0) Æ (1,1)
( 2 J)
b) A lo largo de la recta y = x
(2 J )
12. Un bloque de 5 kg desliza con velocidad constante por una superficie horizontal mientras se le aplica una
fuerza de 10 N, paralela a la superficie.
a) Dibujar en un esquema todas las fuerzas que actúan sobre el bloque y explicar el balance trabajo-energía en
un desplazamiento del bloque de 0,5 m.
b) Dibujar en otro esquema las fuerzas que actuarían sobre el bloque si la fuerza que se le aplica fuera de 30 N
en una dirección que forma 60º con la horizontal, e indicar el valor de cada fuerza. Calcular la variación de
energía cinética del bloque en un desplazamiento de 0,5 m. ( ∆Ec = 5,1 J )
13. Un trineo de 100 kg parte del reposo y desliza hacia abajo por la ladera de una colina de 30º de inclinación
respecto a la horizontal.
a) Haga un análisis energético del desplazamiento del trineo suponiendo que no existe rozamiento y determine,
para un desplazamiento de 20 m, la variación de sus energías cinética, potencial y mecánica, así como el trabajo
realizado por el campo gravitatorio terrestre. (∆Ec = 10000 J , ∆Epg = - 10000 J , ∆EM = 0 J , WFg = 10000 J )
b) Explique, sin necesidad de cálculos, cuáles de los resultados del apartado a) se modificarán y cuáles no, si
existiera rozamiento.
14. Un bloque de 5 kg se desliza por una superficie horizontal lisa con una velocidad de 4 m/s y choca con un
resorte de masa despreciable y K = 800 N/m, en equilibrio y con el otro extremo fijo. Calcular:
a) Cuánto se comprime el resorte.
b) Desde qué altura debería caer el bloque sobre el resorte, colocado verticalmente, para producir la
misma compresión. ( a)∆x = 0,31 m ; b) h = 0,8 m )
15. Un muelle de constante elástica 250 N m-1, horizontal y con un extremo fijo, está comprimido 10 cm. Un
cuerpo de 0,5 kg, situado en su extremo libre, sale despedido al liberarse el muelle.
a) Explique las variaciones de energía del muelle y del cuerpo, mientras se estira el muelle.
b) Calcule la velocidad del cuerpo en el instante de abandonar el muelle. (2,24 m/s)
16. Un bloque de 5 kg desliza sobre una superficie horizontal. Cuando su velocidad es de 5 m s-1 choca contra
un resorte de masa despreciable y de constante elástica K = 2500 N m-1. El coeficiente de rozamiento bloquesuperficie es 0,2.
a) Haga un análisis energético del problema.
b) Calcule la longitud que se comprime el resorte. ( ∆x = 0,22 m)
c) Tras la compresión máxima, el muelle vuelve a descomprimirse y el bloque sale despedido hacia atrás.
Calcule la distancia que recorre el bloque hasta que se para. (∆r =6 m aprox. )
17. Un cuerpo se lanza hacia arriba por un plano sin rozamiento inclinado 30º, con velocidad inicial de 10 m s-1.
a) Explique cómo varían las energías cinética, potencial y mecánica del cuerpo durante la subida.
b) ¿Cómo variaría la longitud recorrida si se duplica la velocidad inicial? ¿y si se duplica el ángulo del plano?
(duplicando
v,Medina
se cuadruplica d ; duplicando el ángulo, d es 0,58 veces la d inicial.)
© Raúl González
21
Apuntes de Física General Física 2º Bachillerato
18. En vista de su mala suerte, el coyote ha decidido atrapar al correcaminos
alcanzándolo por sorpresa cuando pare a comer usando para ello un muelle
marca ACME según el siguiente esquema:
Calcular hasta qué altura medida desde el punto A subirá el coyote si
K= 7050 N/m, la masa del coyote es 50 kg, la fuerza de rozamiento entre el
coyote y el aire puede suponerse constante y de 12,5 N y la compresión
inicial del muelle es 1m. ¿Cogerá el coyote al correcaminos?
( 6,87 m. Evidentemente, no lo coge.)
19.- Un bloque de 20 kg se encuentra sobre una superficie horizontal unido a
uno de los extremos de un resorte de K = 100 N/m, en equilibrio y con
el otro extremo fijo. se tira del bloque con una fuerza de 150 N en una
dirección que forma un ángulo de 30º con la horizontal hasta desplazar
el bloque una longitud de 0,5 m. Si el coeficiente de rozamiento es 0,4
calcular el trabajo de la fuerza de rozamiento, y la velocidad. ( -25 J ;
v = 1,65 m/s)
20.- ¿Qué velocidad tendrá un vagón de una montaña
rusa sin rozamiento en los puntos A, B y C de la figura,
si el carrito parte de O con v0 = 0 m/s ?
( vA= 14,14 m/s ; vB =12,65 m/s ; vC = 7,74
m/s )
21. Se lanza un cuerpo por un plano horizontal con una velocidad de 6 m s-1. Si µ = 0,3 ¿Qué distancia recorrerá
el cuerpo hasta que se pare? ( 6 m )
22. Un puente levadizo de madera mide 5 m y tiene una masa de 400 kg, y está
dispuesto como indica la figura. Calcule la tensión del cable y las reacciones que
ejerce la bisagra.
(Sol: T= 1155 N, Rx = 1155 N, Ry = 4000 N (resultados en módulo))
23.
Las articulaciones del cuerpo humano pueden estudiarse como palancas,
como puede ser el codo que aparece en la figura. Calcular la fuerza que debe
ejercer el bíceps (músculo) sobre el hueso para sostener un peso de 5 kg en la
mano, y las reacciones en el codo. Considerar el antebrazo como un cuerpo
homogéneo de 2 kg de masa.
(Pista: Considera el codo como una bisagra y el músculo como una cuerda que
ejerce tensión.) (Sol: T=1200 N, Rx =1039 N, Ry =530 N (resultados en
módulo))
CUESTIONES TEÓRICAS:
1. a) ¿Qué trabajo se realiza al sostener un cuerpo durante un tiempo t? Razonar.
b) ¿Qué trabajo realiza la fuerza peso de un cuerpo si éste se desplaza una distancia por una superficie
horizontal? Razonar.
2. a) ¿Puede un mismo cuerpo tener más de una forma de energía potencial? Razone la respuesta aportando
algunos ejemplos.
b) Si sobre un cuerpo actúan tres fuerzas conservativas de distinta naturaleza y una no conservativa, ¿cuántos
términos de energía potencial hay en la ecuación de la energía mecánica de esa partícula? Cómo aparece en
dicha ecuación la contribución de la fuerza no conservativa?.
© Raúl González Medina
22
Apuntes de Física General Física 2º Bachillerato
3. a) ¿Es la fuerza de rozamiento una fuerza conservativa? ¿Por qué?
b) ¿Es cierto que cuando se transporta un bloque a velocidad constante sobre una superficie horizontal sin
rozamiento no se realiza ningún trabajo?
c) ¿Se realiza trabajo al mover un cuerpo con velocidad constante a lo largo de una circunferencia sin
rozamiento? ¿Y con rozamiento?
4. Cuáles de las siguientes afirmaciones son falsas:
a) El trabajo realizado por una fuerza conservativa cambia la energía cinética.
b) El trabajo realizado por una fuerza conservativa cambia la energía potencial.
c) El trabajo realizado por una fuerza conservativa cambia la energía mecánica.
5. a) ¿Depende la Ec del sistema de referencia escogido? ¿y la Ep? Razonar.
b) ¿Puede ser negativa la Ec de una partícula? ¿Y la Ep? En caso afirmativo, explique el significado físico.
c) ¿Se cumple siempre que el aumento de Ec de una partícula es igual a la disminución de su Ep? Razonar.
6. Comente las siguientes frases: a) la energía mecánica de una partícula permanece constante si todas las
fuerzas que actúan sobre ella son conservativas; b) si la energía mecánica de una partícula no
permanece constante, es porque una fuerza disipativa realiza trabajo.
7. Comentar las siguientes afirmaciones, razonando si son verdaderas o falsas:
a) Existe una función energía potencial asociada a cualquier fuerza.
b) El trabajo de una fuerza conservativa sobre una partícula que se desplaza entre dos puntos es menor
si el desplazamiento se realiza a lo largo de la recta que los une.
8. Un partícula se mueve bajo a acción de una sola fuerza conservativa. El módulo de su velocidad decrece
inicialmente, pasa por cero momentáneamente y más tarde crece.
a) Poner un ejemplo real en que se muestre este comportamiento.
b) Describir la variación de energía potencial y la de la energía mecánica de la partícula durante ese
movimiento.
9. Una fuerza conservativa actúa sobre una partícula y la desplaza, desde un punto x1 hasta otro punto x2,
realizando un trabajo de 50 J.
a) Determinar la variación de energía potencial de la partícula en ese desplazamiento. Si la energía
potencial de la partícula es cero en x1, ¿cuánto valdrá en x2?
b) Si la partícula, de 5 g, se mueve bajo la influencia exclusiva de esa fuerza, partiendo del reposo en x1,
¿cuál será la velocidad en x2?, ¿cuál será la variación de energía mecánica?
10. Sobre un cuerpo actúan sólo dos fuerzas. La primera realiza un trabajo de -10 J, y la segunda un trabajo de
15 J. Medimos que la energía mecánica del sistema aumenta en 15 J. ¿Es conservativa alguna de las fuerzas
aplicadas? ¿Qué ocurrirá con la energía cinética del cuerpo? Razonar.
11. Sobre un cuerpo actúan dos fuerzas, una conservativa, y otra no conservativa. La primera realiza un trabajo
de 30 J, y la segunda un trabajo de –20 J. Razone qué conclusiones podemos extraer sobre los distintos tipos
de energía que posee el cuerpo.
© Raúl González Medina
23
Apuntes de Física General Física 2º Bachillerato
TEMA 2: INTERACCIÓN GRAVITATORIA
2.1
2.2
2.3
2.4
2.1
Interacción gravitatoria; ley de gravitación universal
Campo y potencial gravitatorios; energía potencial gravitatoria.
Teorema de Gauss. Aplicación al cálculo de campos gravitatorios.
Campo gravitatorio terrestre; satélites
INTERACCIÓN GRAVITATORIA; LEY DE GRAVITACIÓN UNIVERSAL
Introducción histórica:
La interacción gravitatoria es, de las cuatro interacciones fundamentales, la única conocida desde la antigüedad, si
bien no fue explicada hasta finales del s. XVII. El hecho de que los cuerpos caen a la Tierra era considerado como algo
natural, aunque no se creía que el movimiento de la Luna o los Planetas tuviera alguna relación con la gravedad.
Las ideas sobre la gravitación y la estructura del universo han ido evolucionando a lo largo de la historia.
Hacemos aquí un breve resumen de las ideas principales.
Antigüedad: El conocimiento sobre el universo está ligado a creencias y mitología. Se plantea una distinción clara
entere el Cielo (perfecto, la morada de los dioses) y la Tierra (imperfecta, morada de los hombres). Se cree que las
Tierra es plana e inmóvil y que el universo no alcanza más allá de unos pocos km sobre la superficie.
Grecia Clásica: Teoría Geocéntrica: Tierra esférica, inmóvil en el centro del universo. El Sol y los planetas giran
alrededor.
Aristóteles (s. IV a.C): Consolida la teoría geocéntrica. Los Planetas siguen órbitas circulares.
Aristarco de Samos (s. III a.C): Propone que la Tierra gira alrededor del Sol. Es poco tenido en cuenta.
Ptolomeo (s. II d.C): Amplía el sistema. Geocéntrico para explicar nuevas observaciones. Idea los epiciclos. Este
sistema prevalecerá durante 1300 años.
Edad Media: Se mantiene la teoría geocéntrica. El sistema de Tolomeo se complica cada vez más para poder explicar
las observaciones.
Los Matemáticos árabes mejoran la medida de la posición de estrellas y planetas.
Ed. Moderna: Copérnico (1543): Critica el geocentrismo. Propone la Teoría Heliocéntrica. Los planetas (incluida la
Tierra) giran alrededor del Sol siguiendo órbitas circulares
Galileo Galilei (s.XVII): Desarrolla el telescopio. Descubre los satélites de Júpiter
Apoya la teoría heliocéntrica de Copérnico. Es perseguido por sus ideas.
Kepler (s. XVII): Basándose en observaciones de estudiosos anteriores, calcula las órbitas de los planetas,
llegando a describirlas en tres leyes (conocidas como Leyes de Kepler):
1ª: Los planetas, incluida la Tierra, giran alrededor del Sol, describiendo órbitas
elípticas, en las que el Sol ocupa uno de los focos.
2ª: El vector de posición del planeta barre áreas iguales en tiempos iguales.
3ª: El cociente entre el cuadrado del periodo de revolución y el cubo del radio medio de la órbita es una
constante para todos los planetas.
T2
r3
= cte
© Raúl González Medina
24
Apuntes de Física General Física 2º Bachillerato
Newton (1684): Explica y describe la interacción gravitatoria, unificando la gravedad terrestre (caída de cuerpos,
movimientos parabólicos) y gravedad celeste (movimiento de los planetas y satélites). La explicación de esto queda
recogida en la Ley de gravitación universal:
"Entre dos cuerpos cualesquiera, de masas M y m, existe una atracción gravitatoria mutua, que es directamente
proporcional a sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que los separa."
Esta ley queda recogida en las siguientes expresiones
En módulo
Fg = G ⋅
M ⋅m
Fg = −G ⋅
r2
M ⋅m
r2
⋅ ur
La constante G, denominada constante de gravitación universal, fue calculada por Cavendish en 1798. Tiene el
valor de
G = 6,67 · 10-11 Nm2/kg2
Características de la interacción gravitatoria:
- Es debida a la masa de los cuerpos, por lo que todos los cuerpos materiales sufrirán esta interacción.
- La fuerza originada en esta interacción es siempre atractiva.
- Es una interacción conservativa.
- Es una interacción central.
- Tiene alcance infinito. A cualquier distancia, los dos cuerpos sufrirán la atracción gravitatoria.
- Disminuye con el cuadrado de la distancia
2.2 CAMPO Y POTENCIAL GRAVITATORIOS; ENERGÍA POTENCIAL GRAVITATORIA
2.2.1
Campo gravitatorio
Supongamos que, en una cierta región del espacio, tenemos un cuerpo con una
cierta masa M. Debido a esa propiedad, dicho cuerpo interaccionará gravitatoriamente
con cualquier otra masa m que coloquemos en cualquier punto del espacio. Es decir, la
masa M modifica las propiedades del espacio, crea una nueva propiedad en el espacio, a
la que llamaremos campo gravitatorio.
Cualquier masa m (masa de prueba) colocada en cualquier punto del espacio sufrirá una
fuerza gravitatoria Fg. Esta fuerza dependerá de
Las masas m y M
El punto del espacio en el que coloquemos m
Si calculamos la fuerza que se ejercería por cada unidad de masa (por cada kilogramo) que colocáramos en el
punto del espacio que estudiamos; entonces obtendremos una magnitud que no depende de la masa m que coloquemos en
el punto, sino que únicamente depende del punto y de la masa que ha creado el campo (M).
Esta magnitud así obtenida se denomina Intensidad de Campo Gravitatorio
Gravedad ( g )
g=
Fg
m
Fg = m ⋅ g
, Campo Gravitatorio, o
Unidades de g: [g] = N/kg = ms-2
Además de la fuerza ejercida por cada kg, la gravedad nos indica la aceleración con la que caería el cuerpo si lo
soltáramos libremente en ese punto.
© Raúl González Medina
25
Apuntes de Física General Física 2º Bachillerato
2.2.2
Energía potencial gravitatoria (Epg) de una partícula de masa m en el interior de un campo
gravitatorio:
- Es la energía que almacena un cuerpo de masa m colocado en un punto del interior del campo gravitatorio.
- También puede definirse teniendo en cuenta que la fuerza gravitatoria es conservativa. La Epg será la energía
potencial asociada a la fuerza gravitatoria. Es decir
B
∫
WFg = − ∆Epg
∆Ep g = − Fg ⋅ dr
A
Esta energía potencial, como es evidente, se mide en julios, y depende de la masa m colocada.
2.2.3
Potencial gravitatorio (V) en un punto del espacio:
- Energía por unidad de masa (por cada kg) que almacenaría cualquier cuerpo que colocáramos en dicho punto del
espacio.
Ep g
Ep = m ⋅ V
V=
g
m
El potencial V es una propiedad del espacio. Es independiente de la masa m que coloquemos en el punto.
- También (con un razonamiento similar al de la energía potencial) podemos definir el potencial como la función
B
∆V = − ∫ g ⋅ dr
potencial asociada al campo gravitatorio.
A
Lo estudiado hasta ahora es general, es válido para cualquier campo que tengamos. A partir de ahora veremos casos
particulares. Los resultados que obtendremos sólo se podrán aplicar en un problema si estamos en ese caso particular
CAMPOS CREADOS POR DISTINTAS DISTRIBUCIONES DE MASA:
2.2.4
Campo gravitatorio creado por una partícula de masa M:
Supongamos una partícula de masa M. Crea un campo gravitatorio a su
alrededor. Cualquier otra partícula de masa m que coloquemos en un punto del espacio,
sufrirá una atracción o fuerza gravitatoria.
La Fuerza entre ambas partículas vendrá dada por la ley de gravitación
Universal de Newton:
Fg = − G ⋅
M ⋅m
r2
Fg = G ⋅
⋅ ur
Campo gravitatorio g:
© Raúl González Medina
g=
Fg
m
=
−G⋅M ⋅m
/
r2 ⋅ m
/
⋅ ur =
M ⋅m
Módulo debe ser > 0
r2
−G⋅M
r2
⋅ ur
g = G⋅
M
r2
26
[V] = J
Apuntes de Física General Física 2º Bachillerato
Líneas de campo:
Representación
frente a la distancia
Energía potencial gravitatoria: Energía almacenada por una partícula de masa m colocada a una cierta distancia de M,
debido a la acción de la fuerza gravitatoria.
Partimos de la expresión general ∆Ep g
= −WFg
Así tendremos:
B
−G⋅M ⋅m
1
 1
∆Epg = − ∫ Fg ⋅ dr = − ∫
⋅
⋅
⋅
=
⋅
⋅
⋅
=
⋅
⋅
⋅
u
dr
u
G
M
m
dr
G
M
m
r
r
∫ r2
− r  =
r2
rA
A
rA
rA
rB
B
=
r
−G⋅M ⋅m G⋅M ⋅m
+
= EpB − Ep A
rB
rA
Y la expresión queda
Ep g = −G ⋅
rB
Elegimos origen . Para rA Æ ∞ , EpA = 0.
M ⋅m
r
Como vemos, la Epg almacenada siempre será negativa.
Potencial gravitatorio en un punto: Epg almacenada por unidad de masa Es una propiedad del espacio.
V=
2.2.5
Ep g
m
= −G ⋅
M ⋅m
/
r ⋅m
/
V = −G ⋅
M
r
Campo gravitatorio creado por varias masas puntuales:
En este caso aplicamos el principio de superposición (el efecto producido por un
conjunto
de partículas puede calcularse sumando los efectos de cada partícula por separado).
Así
r
r
v r
Fe = F1 + F2 + F3 + ...
r r
r
r
g = g1 + g 2 + g 3 + ...
Epg = Ep1 +Ep2 + Ep3 + ...
V = V1 + V2 + V3 + ...
Líneas de campo gravitatorio generado por dos masas
puntuales.
© Raúl González Medina
27
Apuntes de Física General Física 2º Bachillerato
2.2.6
Campo gravitatorio creado por una esfera en su exterior
(como la Tierra o cualquier planeta):
Son válidos los resultados obtenidos para masas puntuales.
Lo demostraremos en el apartado siguiente.
M es la masa total de la esfera y r la distancia al centro de la misma
2.2.7
Campo gravitatorio constante (por ejemplo, el peso a nivel de la superficie):
r
g = cte
En este caso sólo podemos usar los resultados generales vistos al principio.
Epg = m ⋅ V
Fg = m ⋅ g
B
B
∫
WFg = Fg ⋅ dr = Fg ⋅ ∆ r
∫
∆V = − g ⋅ dr = − g ⋅ ∆ r
A
A
2.3 TEOREMA DE GAUSS. APLICACIÓN AL CÁLCULO DE CAMPOS GRAVITATORIOS
2.3.1 Vector superficie: La forma que tenemos en Física y en geometría de representar
r
las superficies mediante una magnitud es usar el vector superficie ( s ). Este vector tiene
como características:
Su dirección es perpendicular a la superficie
Su módulo es igual al área.
El sentido puede elegirse. Cuando una superficie es cerrada, normalmente va hacia fuera
de la misma.
Cuando una superficie no es plana, vemos que no existe un único vector superficie, ya que
este va cambiando de dirección. Se procede entonces a dividir la superficie en trozos infinitamente
r
pequeños, a cada uno de los cuales corresponde un vector superficie ds .
2.3.2
Flujo del campo gravitatorio ( Φ g ):
El concepto de flujo nos da una idea de la concentración de líneas de campo en una
zona del espacio. Es otra forma de medir lo intenso que es el campo en ese sitio.
Supongamos una superficie cualquiera dentro del campo gravitatorio. Habrá líneas de
campo que la atravesarán, otras no. El flujo nos va a indicar si dicha superficie es atravesada
con más o menos intensidad por las líneas de campo.
r
Esta magnitud dependerá de: La intensidad del campo en la zona (el valor de g ).
El tamaño y forma de la superficie
La orientación entre la superficie y el campo.
Estas tres características quedan recogidas en la expresión que calcula el flujo que atraviesa una determinada
superficie.
r r
Φ g = ∫ g ⋅ ds
S
[ ]
unidades de flujo gravitatorio Φ g = [g ] ⋅ [S ] = m ⋅ s −2 ⋅ m 2 = m −1 ⋅ s −2
© Raúl González Medina
28
Apuntes de Física General Física 2º Bachillerato
r
En el caso de que el campo gravitatorio sea uniforme (que tenga el mismo valor en todos los puntos de la superficie), g
r
∫
r
r r
puede salir fuera de la integral, con lo que el flujo quedará Φ g = g ⋅ ds = g ⋅ S = g ⋅ S ⋅ cos α
S
Ejemplo. Cálculo del flujo que atraviesa una superficie esférica (la masa M que crea
el campo se encuentra en el centro de dicha superficie).
Sabemos la expresión del campo gravitatorio creado por una masa puntual.
r −G⋅M
g=
⋅ ur
2
r
r
g tiene dirección radial y sentido hacia la partícula M. En la figura vemos
r
que forma 180º con el vector superficie ds . Así, el flujo se calculará:
r r
Φ g = ∫ g ⋅ ds = ∫ g ⋅ ds ⋅ cos 180º = − ∫ g ⋅ ds
S
S
S
Como g se mantiene constante en toda la superficie, podemos sacarlo fuera
de la integral
Φ g = − ∫ g ⋅ ds = − g ⋅ ∫ ds = − g ⋅ S = −
S
S
2.3.3
G⋅M
⋅ 4π ⋅ r 2 = −4π ⋅ G ⋅ M (m-1·s-2)
2
r
Teorema de Gauss:
El teorema de Gauss aplicado al campo gravitatorio nos dice los siguiente:
El flujo total que atraviesa una superficie cerrada en el interior de un
campo gravitatorio es proporcional a la masa encerrada por dicha superficie.
r r
Φ g = ∫ g ⋅ ds = −4 π ⋅ G ⋅ M
S
Según la expresión, vemos que el flujo no depende de la forma ni el tamaño
de la superficie, siempre que sea cerrada y encierre la misma cantidad de masa.
Cuestión:
ninguna masa?
El flujo de líneas de campo que
¿Qué ocurre si la superficie cerrada no contiene en su interior atraviesa ambas superficies
cerradas es el mismo
APLICACIONES:
El teorema de Gauss permite calcular la expresión del campo gravitatorio creado por algunas distribuciones de
masa. Deben ser cuerpos que posean cierta simetría (esférica, cilíndrica, plana), en los que podamos tener una idea de la
dirección que llevarán las líneas de campo en cada punto.
El objetivo que se persigue al aplicar el teorema de Gauss es el de poder despejar g de la fórmula
r
r
∫ g ⋅ ds = −4π ⋅ G ⋅ M
S
. Para ello, para que g salga fuera de la integral, es preciso que g tenga un valor constante
en toda la superficie y que además sea perpendicular a la misma. Así:
r
r
∫ g ⋅ ds = ∫ g ⋅ ds ⋅ cos 180º = − g ⋅ ∫ ds = − g ⋅ S = − 4π ⋅ G ⋅ M
S
S
S
→ g=
4π ⋅ G ⋅ M
S
Donde S es el valor de la superficie (llamada superficie gaussiana) utilizada, y M es la masa que queda encerrada dentro
de la superficie gaussiana. Lo veremos en los casos que se exponen a continuación:
© Raúl González Medina
29
Apuntes de Física General Física 2º Bachillerato
2.3.4
Cálculo de g creado por una esfera en su exterior:
El cuerpo que va a crear el campo tiene simetría esférica. Sabemos que las líneas de
campo irán en dirección radial y que el valor del campo dependerá exclusivamente de la
distancia al centro de la esfera. La superficie gaussiana que andamos buscando debe ser
perpendicular a las líneas de campo y mantener constante el valor de g en todos sus puntos: es
claramente una esfera de radio r cualquiera (siempre mayor que el radio R de la esfera).
Aplicando el teorema de Gauss al campo que atraviesa dicha superficie:
r
r
∫ g ⋅ ds = ∫ g ⋅ ds ⋅ cos180º = − g ⋅ ∫ ds = − g ⋅ S = − g ⋅ 4π ⋅ r
S
S
S
de este modo g =
2.3.5
2
= −4π ⋅ G ⋅ M
→ g=
− 4π ⋅ G ⋅ M G ⋅ M
=
− 4π ⋅ r 2
r2
G⋅M
, que es la expresión que habíamos visto anteriormente.
r2
Cálculo de g creado por una esfera en su interior:
La expresión que vamos a calcular ahora es útil a la hora de estudiar cómo varía el
campo gravitatorio en el interior de la Tierra o de un planeta. Vamos a suponer que la
distribución de masa dentro de la esfera es uniforme (cosa que no siempre ocurre, en un planeta
la densidad es mayor en el centro, debido a la presión).
El cuerpo tiene simetría esférica y las líneas de campo van a llevar, por tanto, dirección
radial. Como ocurría anteriormente, la superficie gaussiana que usaremos será una esfera de
radio r (menor que R, en este caso). Aplicamos el teorema de Gauss a esa esfera:
∫
S
r r
g ⋅ ds = ∫ g ⋅ ds ⋅ cos180º = − g ⋅ ∫ ds = − g ⋅ S = − g ⋅ 4π ⋅ r 2 = −4π ⋅ G ⋅ M int
S
S
→ g=
− 4π ⋅ G ⋅ M int G ⋅ M int
=
− 4π ⋅ r 2
r2
Ahora, la masa encerrada por la esfera gaussiana no es toda la masa del cuerpo, sino sólo una parte. La calculamos:
M int = ρ ⋅ Vint =
Entonces
M tot
M
M ⋅r3
3
4
⋅ Vint = 4
⋅
⋅
r
=
π
3 3
Vtot
R3
3π ⋅R
G ⋅ M int G ⋅ M ⋅ r 3
g=
= 2 3
r2
r ⋅R
⇒ g=
G⋅M ⋅r
R3
Vemos que, en el interior, g disminuye conforme profundizamos, hasta hacerse cero en el centro de la esfera.
© Raúl González Medina
30
Apuntes de Física General Física 2º Bachillerato
2.4 CAMPO GRAVITATORIO TERRESTRE; SATÉLITES.
2.4.1 CAMPO GRAVITATORIO TERRESTRE:
Para estudiar el campo gravitatorio creado por la Tierra (o cualquier planeta) en su exterior, consideraremos al
planeta como una esfera perfecta y homogénea, de masa M y radio R. De esta forma podremos aplicar los resultados que
ya tenemos sobre distribuciones esféricas de masa (que ya vimos que se comportaban como masas puntuales).
Así, tanto el campo gravitatorio como el potencial gravitatorio en cualquier punto del exterior vendrán dados por
g =G⋅
Para la Tierra: M = 6 ·1024 kg
M
V = −G ⋅
r2
M
r
Para r > R
R = 6370 km ~ 6,4 ·106 m (radio medio)
Campo gravitatorio en la superficie (gravedad superficial, g0 )
Este valor se obtendrá teniendo en cuenta que, en la superficie del planeta, r = R.
g0 = G ⋅
M
Para la Tierra, obtenemos el valor de g0 = 9,8 ~ 10 ms-2
R2
Este valor obtenido es, en teoría, la gravedad justo al nivel del suelo, ya que el valor de g disminuye conforme nos
alejamos del centro de la Tierra, aunque sea un solo metro.
Vamos a ver cómo varía g respecto a la altura desde el suelo ( h ). r = R + h
Así
g = G⋅
M
( R + h)
2
=
G ⋅ M ⋅ R2
R ⋅ ( R + h)
2
2
= g0 ⋅
1
h

1 + 
 R
2
Vemos que la gravedad disminuye con la altura, pero podemos considerar que g se mantiene aproximadamente
constante (g ~ g0) si el valor de h es mucho menor que el radio del planeta (h << R).
Energía potencial gravitatoria en la superficie terrestre. Relación entre las expresiones de Epg
Hemos visto que la expresión de la energía potencial gravitatoria es Ep g = −G ⋅
Sin embargo, en el tema anterior usamos la expresión Ep g = m ⋅ g ⋅ h
M ⋅m
r
¿Por qué son tan diferentes estas dos expresiones? ¿Son las dos igualmente válidas? La razón de la diferencia está
en un hecho muy simple pero que puede pasar desapercibido: para cada una se ha escogido un origen de potencial
diferente. En la primera expresión el origen se encuentra en el -, y en la segunda expresión, el origen está escogido en la
superficie terrestre.
Podemos comprobar que, si en el cálculo de la Ep, en lugar de poner el origen en el infinito, lo colocamos en la
superficie, y hacemos una aproximación, obtendremos la segunda expresión.
Habíamos obtenido
B
EpgB − Ep gA = − ∫ Fg ⋅ dr =
A
−G⋅M ⋅m G⋅M ⋅m
+
rB
rA
Escogiendo origen
rA = R ; EpA = 0
[
Epg = −GMm 1r −
1
R
] = ... = GMm R ⋅ (Rh + h)
© Raúl González Medina
31
Apuntes de Física General Física 2º Bachillerato
Realizamos la aproximación
h << R ; R+h ~ R
Epg ~
G⋅M ⋅m⋅h
R
2
= m⋅
G⋅M
R2
⋅ h = m ⋅ g0 ⋅ h
Hay que tener en cuenta que para llegar a la expresión Ep = m·g0·h, hemos tenido que suponer que la altura a la
que nos encontramos es muy pequeña comparada con el radio del planeta (unas 100 veces menor, al menos). Por tanto, la
expresión sólo será válida cuando se cumpla esta condición. Para el caso de la Tierra, podemos considerar que la
gravedad se mantiene constante hasta una altura de 40 - 50 km.
2.4.2 SATÉLITES:
Por satélite entenderemos cualquier cuerpo (natural o artificial) que describa órbitas
alrededor de un cuerpo celeste. Así, la Luna, o el satélite Hispasat, son satélites de la Tierra, y
la Tierra es satélite del Sol.
Kepler comprobó y Newton demostró que la órbita que describe un satélite tiene
forma elíptica. La distancia a la que se encuentra del centro del planeta no es constante, ni
tampoco su velocidad. Sin embargo sí hay dos magnitudes que se mantendrán constantes en
toda la trayectoria:
- Su energía mecánica EM
- Su momento angular respecto al planeta (su tendencia a mantener el movimiento de giro)
r
r
r
LO = r ∧ mv .
La energía que tendrá el satélite en su órbita vendrá dada por
E = Ec + Ep g =
1 2 GMm
mv −
2
r
Esto hace que la posición y la velocidad del satélite en la órbita estén relacionadas. Para una posición concreta, el
satélite tendrá una velocidad concreta. En los puntos más alejados de la órbita (r mayor), la Ep almacenada será mayor,
por lo que la Ec será menor, y la velocidad también disminuirá. De la misma forma, al ir acercándose al planeta, su Ep
disminuirá, produciendo un aumento de la Ec y, por tanto, de la velocidad.
Los puntos de máximo acercamiento y máximo alejamiento del satélite al cuerpo central reciben nombres
propios. Para un satélite que orbita alrededor de la Tierra se habla de apogeo (alejamiento máximo) y perigeo (dist.
mínima). Para el Sol, las palabras usadas son afelio y perihelio. En ambos puntos la velocidad es perpendicular al radio.
Semiejes y excentricidad de la órbita:
Toda elipse viene caracterizada, además de por los focos, por dos distancias llamadas
semiejes, a y b (en la figura). Estas dos distancias sirven para calcular la excentricidad (e),
magnitud que nos indica el achatamiento de la elipse, es decir, cuánto se aleja la elipse de una
circunferencia perfecta.
e=
a2 − b2
a
e<1
En una circunferencia, a = b, con lo que e = 0. Cuanto menor sea la excentricidad, más parecida es la órbita a una
circunferencia. Para el caso de los planetas alrededor del Sol, las excentricidades son muy pequeñas (la de la Tierra, por
ejemplo, es de 0,017)
© Raúl González Medina
32
Apuntes de Física General Física 2º Bachillerato
Hasta aquí lo que podemos estudiar en este curso sobre las trayectorias elípticas. Para
continuar un estudio aproximado, haremos una simplificación razonable. En la mayoría de los casos
la excentricidad (diferencia entre los semiejes mayor y menor) de la elipse es tan pequeña que
podemos suponer, en el estudio elemental que estamos realizando, que se trata de una circunferencia.
Es decir, consideraremos que un satélite describe, alrededor del planeta, un movimiento circular
uniforme. Es decir, tanto el radio de la órbita como la velocidad se mantendrán constantes en toda la
trayectoria.
Velocidad orbital: ( vorb ) Es la velocidad que lleva el satélite en su órbita. Para F g = G ⋅ M ⋅ m
calcularla, tendremos en cuenta que la única fuerza que actúa sobre el satélite es la gravitatoria.
r2
También, al tratarse de un movimiento circular, sólo tendrá aceleración normal.
Aplicando la segunda ley de Newton:
G⋅M ⋅m
/
Igualando ambas expresiones:
r 2/
v2
Fg = m ⋅ a n = m ⋅
r
v2
G⋅M
=m
⇒ v orb =
/ ⋅
r/
r
Observamos que, a cada órbita corresponde una velocidad determinada.
Periodo de revolución ( T ): Tiempo que tarda el satélite en describir una órbita completa (en dar una
vuelta). Dado que se trata de un movimiento uniforme, podemos calcular este tiempo dividiendo la distancia recorrida
(una vuelta = 2 · π · r) entre la velocidad que lleva (vorb). Así
T=
d
v orb
=
2 ⋅π ⋅ r
⇒T =
GM
r
2π
3
⋅r2
GM
De este resultado podemos extraer una importante consecuencia: Elevando al cuadrado y despejando...
T2 =
T 2 4π 2
4π 2 3
⋅r ⇒
=
= cte
GM
r 3 GM
Obtenemos la expresión de la 3ª ley de Kepler.
Aplicación: Satélites geoestacionarios:
Este tipo de satélites artificiales son muy usados, sobre todo en telecomunicaciones (TV, radio "vía satélite"). Se
denominan así porque siempre se encuentran sobre el mismo punto de la superficie terrestre. Lógicamente no están
quietos (se caerían), sino que se mueven al mismo ritmo que la Tierra, describiendo una vuelta en un día. Así, su T = 24 h
= 86400 s. aprox.
Teniendo en cuenta la expresión anterior, a un periodo de revolución determinado le corresponde una distancia
determinada del centro de la Tierra. Para el caso de estos satélites geoestacionarios, la distancia resulta ser de unos 42300
km, o sea, describen órbitas a 36000 km de altura sobre la superficie terrestre, una distancia muy grande comparada con la
altura que alcanzan los llamados “satélites de órbita baja”, entre 400 y 800 km sobre la superficie.
© Raúl González Medina
33
Apuntes de Física General Física 2º Bachillerato
Velocidad de escape: ( ve ) Se define como la velocidad a la que habría que lanzar un cuerpo desde la
superficie del planeta para que escapara de su atracción gravitatoria, alejándose indefinidamente. En este cálculo se
desprecia el rozamiento con la atmósfera.
En primer lugar tenemos en cuenta que, al no tener en cuenta el rozamiento, la única fuerza que va a
actuar sobre el movimiento del cohete será la gravitatoria, que es conservativa. Por lo tanto, la energía mecánica del
cohete se mantendrá constante.
Datos: M, R: masa y radio del planeta
m: masa del proyectil
Sistemas de referencia: mediremos las distancias desde el centro del planeta.
El origen de energía potencial gravitatoria lo colocamos a una distancia infinita del centro planetario, por lo que la
Ep g = −
expresión usada para la Epg será
vÆ0
rÆ∞
G⋅M ⋅m
R
Consideraremos dos situaciones:
Inicial: Lanzamiento del cohete desde la superficie terrestre con velocidad v e .
G⋅M ⋅m
R
⋅
⋅
G
M
m
2
= Ec + Ep g = 12 mve −
R
Ec1 = 12 mve
v = ve
r=R
EM 1
Ep g1 = −
2
Final: el cohete se aleja indefinidamente. En el límite cuando la distancia r tiende a
infinito, la velocidad (y la Ec) tiende a cero, al igual que la energía potencial, ya que el origen de
Ep está colocado en el infinito.
EM 2 =
lim
r →∞
EM =
lim
r →∞
( Ec + Ep g ) = 0
Aplicando la conservación de la energía mecánica:
EM 1 = EM 1 ⇒
1
2
mve −
2
G⋅M ⋅m
=0⇒
R
ve =
2GM
R
1
2
m
/ ve =
2
G⋅M ⋅m
/
⇒ ve =
R
2GM
R
Puesto en función de la gravedad en superficie ve =
2 ⋅ g0 ⋅ R
Nótese que la velocidad de escape desde la superficie de un planeta sólo depende de las características (masa,
tamaño) del planeta. No importa la masa del proyectil. (Evidentemente, para acelerar un proyectil de más masa hasta esa
velocidad se necesitará un mayor esfuerzo, pero eso es otra cuestión)
También puede hablarse de velocidad de escape desde una cierta altura h sobre la superficie. El concepto es el
mismo, solo que en lugar de R pondremos R+h.
© Raúl González Medina
34
Apuntes de Física General Física 2º Bachillerato
PROBLEMAS TEMA 3: INTERACCIÓN GRAVITATORIA:
1. La tabla adjunta relaciona el periodo T y el radio de las órbitas de cinco satélites que giran alrededor del mismo astro:
T (años)
0,44
1,61
3,88
7,89
R (·105 km) 0,88
2,08
3,74
6,00
a) Mostrar si se cumple la tercera ley de Kepler. ¿Cuál es el valor de la constante?
b) Se descubre un quinto satélite, cuyo periodo de revolución es 6,20 años. Calcula el radio de su órbita.
2. Una masa de 8 kg está situada en el origen. Calcular:
a) Intensidad del campo gravitatorio y potencial gravitatorio en el punto (2,1) m.
b) Fuerza con que atraería a una masa m de 2 kg, y energía almacenada por dicha masa.
c) Trabajo realizado por la fuerza gravitatoria al trasladar la masa m desde el punto (2,1) m al punto (1,1) m
3. Dos masas de 5 kg se encuentran en los puntos (0,2)m y (2,0) m. Calcular:
a) Intensidad de campo gravitatorio y potencial gravitatorio en el origen.
b) Trabajo realizado por la fuerza gravitatoria al trasladar una masa de 1 kg desde el infinito hasta el origen.
4.- a) ¿En qué punto se equilibran las atracciones que ejercen la Luna y La Tierra sobre un cuerpo de masa m? (Datos:
distancia del centro de la Tierra al centro de la Luna = 384400 km; MT /ML= 81)
b) Si en dicho punto la atracción gravitatoria que sufre la masa m es nula, ¿podemos decir también que su energía
potencial también es nula? Razonar.
5.- Un objeto que pesa 70 kp en la superficie de la Tierra, se encuentra en la superficie de un planeta cuyo radio es el
doble del terrestre y cuya masa es ocho veces la de la Tierra. Calcular:
a) Peso del objeto en dicho lugar
b) Tiempo que tarda en caer desde una altura de 20 m hasta la superficie del planeta, si lo dejamos caer con v0= 0.
6.- Calcular:
a)Altura sobre la superficie terrestre en la que el valor de g se ha reducido a la mitad
b)Potencial gravitatorio terrestre en un punto situado a 6370 km de distancia de la Tierra.
(Datos: Masa de la Tierra = 6·1024 kg ; RT= 6370 km.)
7.- Un cuerpo se lanza verticalmente hacia arriba con una velocidad de 1000 m s-1. Calcular:
a) Altura máxima que alcanzará
b) Repetir lo anterior despreciando la variación de g con la altura. Comparar ambos resultados.
8.- Calcular la velocidad de escape para un cuerpo situado en : a) La superficie terrestre
b) A 2000 km sobre la superficie
9.- Un satélite artificial describe una órbita circular a una altura igual a tres radios terrestres sobre la superficie de la
Tierra. Calcular:
a) Velocidad orbital del satélite
b) Aceleración del satélite
10.- a) ¿Cuál será la altura que alcanzará un proyectil que se lanza verticalmente desde el Sol a 720 km/h.?
b)¿Cuántas veces es mayor el peso de un cuerpo en el Sol que en la Tierra?
(MSOL/MTIERRA= 324440 ; RS/RT= 108 ; RT= 6370 km)
11.- Si la gravedad en la superficie lunar es aproximadamente 1/6 de la terrestre, calcular la velocidad de escape de la
Luna ¿En qué medida importa la dirección de la velocidad? (dato RLUNA= 1740 km)
12.- El planeta Marte tiene un radio RM= 0,53 RT . Su satélite Fobos describe una órbita casi circular de radio igual a 2,77
veces RM , en un tiempo de 7 h 39' 14". Calcula el valor de g en la superficie de Marte. (dato: RT= 6370 km)
13.- Calcular la aceleración respecto al Sol de la Tierra si el radio de la órbita es 1,5·108 km de radio. Deducir la masa
del Sol (datos MT= 6 · 1024 kg ; RT= 6370 km)
© Raúl González Medina
35
Apuntes de Física General Física 2º Bachillerato
14.- Calcular:
a) Trabajo que hay que realizar para trasladar un cuerpo de 20 kg desde la superficie terrestre hasta una altura
igual al radio de la Tierra.
(MT = 6·1024 kg ; RT= 6370 km)
b) Velocidad a la que habría que lanzarlo para que alcanzara dicha altura
15. Un satélite de comunicaciones está situado en órbita geoestacionaria circular en torno al ecuador terrestre. Calcule:
a)Radio de la trayectoria, aceleración tangencial del satélite y trabajo realizado por la fuerza gravitatoria durante un
semiperiodo;
b) campo gravitatorio y aceleración de la gravedad en cualquier punto de la órbita.
(G = 6,67 · 10-11 Nm2 kg-2 MT = 5,98 · 1024 kg)
16. Un satélite describe una órbita circular de radio 2 RT en torno a la Tierra..
a) Determine su velocidad orbital.
b) Si el satélite pesa 5000 N en la superficie terrestre, ¿cuál será su peso en la órbita? Explique las fuerzas que actúan
sobre el satélite.
(RT = 6400 km ; MT = 6 · 1024 kg ; G = 6,67 · 10-11 Nm2 kg-2 )
17. Un satélite describe una órbita en torno a la Tierra con un periodo de revolución igual al terrestre.
a) Explique cuántas órbitas son posibles y calcule su radio.
b) Determine la relación entre la velocidad de escape en un punto de la superficie terrestre y la velocidad orbital del
satélite.
(RT = 6400 km ; gT = 10 m s-2 ; G = 6,67 · 10-11 Nm2 kg-2 )
18. Si con un cañón suficientemente potente se lanzara hacia la Luna un proyectil.
a) ¿En qué punto de la trayectoria hacia la Luna la aceleración del proyectil sería nula?
b) ¿Qué velocidad mínima inicial debería poseer para llegar a ese punto? ¿Cómo se movería a partir de esa posición?
(RT = 6400 km ; MT = 6 · 1024 kg ; G = 6,67 · 10-11 Nm2 kg-2 ; RL = 1600 km ; ML = 7 · 1022 kg ;
dT-L = 3,8 · 108 m )
19. La masa de la Luna es 0,01 veces la de la Tierra y su radio es 0,25 veces el radio terrestre. Un cuerpo, cuyo peso en la
Tierra es de 800 N, cae desde una altura de 50m sobre la superficie lunar.
a) Determine la masa del cuerpo y su peso en la Luna.
b) Realice el balance energético en el movimiento de caída y calcule la velocidad con que el cuerpo llega a la superficie.
20.
dadas
las
siguientes
distribuciones de masa (todas de 10
kg), calcular para cada caso campo
y potencial gravitatorios en el punto
a, así como el trabajo necesario para
llevar la unidad de masa desde el
punto A al B.
B en el infinito
CUESTIONES TEÓRICAS:
1. a) Si el cero de energía potencial gravitatoria de una partícula de masa m se sitúa en la superficie de la Tierra, ¿cuál es
el valor de la energía potencial de la partícula cuando ésta se encuentra a una distancia infinita de la Tierra?
b) ¿Puede ser negativo el trabajo realizado por una fuerza gravitatoria?, ¿Puede ser negativa la energía potencial
gravitatoria?
2. En una región del espacio existe un campo gravitatorio uniforme de intensidad g,
representado en la figura por sus líneas de campo.
a) Razone el valor del trabajo que se realiza al trasladar la unidad de masa desde el punto A al
B y desde el B al C.
b) Analice las analogías y diferencias entre el campo descrito y el campo gravitatorio
terrestre.
© Raúl González Medina
36
Apuntes de Física General Física 2º Bachillerato
3. a) Explique el concepto de velocidad de escape y deduzca razonadamente su expresión.
b) ¿Qué ocurriría en la realidad si lanzamos un cohete desde la superficie de la Tierra con una velocidad igual a la
velocidad de escape?
4. a) Escriba la ley de Gravitación Universal y explique su significado físico.
b) Según la ley de Gravitación, la fuerza que ejerce la Tierra sobre un cuerpo es proporcional a la masa de éste, ¿por qué
no caen más deprisa los cuerpos con mayor masa?
5. Sean A y B dos puntos de la órbita elíptica de un cometa alrededor del Sol, estando A más alejado del Sol que B.
a) Haga un análisis energético del movimiento del cometa y compare los valores de las energías cinética y potencial en A
y en B.
b) ¿En cuál de los puntos A o B es mayor el módulo de la velocidad? ¿y el de la aceleración?
6. Se suele decir que la energía potencial gravitatoria de un cuerpo de masa m situado a una altura h viene dada por
Ep = m g h.
a) ¿Es correcta dicha afirmación? ¿Por qué?
b) ¿En qué condiciones es válida dicha fórmula?
SOLUCIONES A LOS PROBLEMAS
1. a) 2,87 ·10-16 años2/km3 ; b) 5,1 · 105 km
r
r
r
2. a) g = - 9,55 ·10-11 i - 4,77 ·10-11 j j N/kg ; V = -2,39 ·10-10 J/kg
r
r
r
b) Fg = - 1,91 ·10-10 i - 9,55 ·10-11 j N; Ep = -4,78 ·10-10 J
r
r
;
c) 2,77 ·10-10 J
r
3. a) g = 8,34 ·10-11 i + 8,34 ·10-11 j N/kg ; V = -3,34 ·10-10 J/kg
b) 3,34 ·10-10 J
4. a) 3,46 ·108 m de la Tierra ; b) No
5. a) 1372 N ; b) 1,4 s
6. a) 0,41 RT ; - 3,14 ·107 J/kg
7. a) 51 km ; b) 50 km
8. a) 11,2 km/s ; b) 9,8 km/s
9. a) 3963 m/s ; b) 0,616 m/s2
10. a) 72 m ; b) 27,8 veces mayor
11. a) 2,4 m/s
12. a) 3,73 m/s2
13. a = 5,95 ·10-3 m s-2 ; MS = 2 ·1030 kg
14. a) Wext = - Wg = 6,28 ·108 J ; b) 7926 m/s
15. a) r = 42300 km ; at = 0 m/s2 ; W = 0 J ; b) 0,22 m s-2
16. a) a) 5592 m/s ; b) 1250 N
17. a) Hay una sola órbita posible (una sola distancia), r = 42300 km ; b) vesc = 3,6 vorb
18. a) 3,42 · 108 m de la Tierra ; b) 11,06 km/s
19. a) m = 80 kg ; PL= 128 N
© Raúl González Medina
37
Apuntes de Física General Física 2º Bachillerato
TEMA 3: INTERACCIÓN ELECTROSTÁTICA
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
Interacción electrostática: Ley de Coulomb
Campo y potencial electrostáticos; energía potencial electrostática.
Campos electrostáticos creados por cargas puntuales.
Flujo electrostático. Teorema de Gauss. Cálculo del campo creado por distintas distribuciones de carga.
Nociones sobre campo electrostático en la materia. Conductores y aislantes.
3.1
INTERACCIÓN ELECTROSTÁTICA: LEY DE COULOMB
3.1.1
Introducción histórica:
Las experiencias elementales sobre electrostática son conocidas desde la antigüedad, si bien sólo se conocía el
fenómeno, no su explicación ni posibles aplicaciones.
Así, hacia el año 600 a.C., el filósofo griego Tales de Mileto describe cómo el ámbar (elektron, en griego), al ser
frotado, atrae pequeños trozos de hilo, pelusa, hierba seca...
S. XVI:
Gilbert (Inglaterra)
Distingue entre fenómenos eléctricos y magnéticos
Propone un primer modelo para explicar la electricidad.
Propone que la Tierra es un imán, con lo que explica la brújula.
S.XVIII:
Du Fay (Francia)
Distingue dos tipos de electricidad
Leyden (Alemania)
Primer condensador
Franklin (EEUU)
Descubre que los rayos son fenómenos eléctricos. Inventa el pararrayos.
Propone los signos + y - para los dos tipos de electricidad.
Propone la teoría del "fluido eléctrico".
Volta (Italia)
Construye la primera pila.
Coulomb (Francia)
Establece el concepto de carga eléctrica.
Ley de Coulomb: explica la interacción electrostática.
3.1.2
Vítrea (vidrio)
Resinosa (ámbar)
Carga eléctrica (Q): propiedades:
- La carga eléctrica es una propiedad asociada a la materia, que permite explicar los fenómenos eléctricos y
magnéticos
- Es una magnitud escalar
Unidades SI:
Culombio ( C )
submúltiplos: mC (miliculombio) = 10-3 C
µC (microculombio) = 10-6 C
nC (nanoculombio) = 10-9 C
Otras unidades: unidad electrostática elemental (uee) = 3,33 · 10-10 C
Faraday (mol de electrones) = 96500 C
Carga del electrón (en valor absoluto) = e = 1,6 · 10-19 C
- Dos tipos: positiva (+) y negativa ( - ). Los cuerpos neutros tienen igual nº de cargas + y - Discontinua: Está asociada a partículas subatómicas : protones (+) y electrones (-). Un cuerpo cargado sólo
puede tener una carga que sea un múltiplo de la carga del electrón (o del protón, es la misma pero con
signo contrario, e = 1,6 · 10-19 C )
- Aditiva: la carga total es la suma de las cargas.
© Raúl González Medina
38
Apuntes de Física General Física 2º Bachillerato
3.1.3
Interacción electrostática : propiedades
- Interacción entre cargas en reposo
- La interacción entre cargas es atractiva o repulsiva según el signo
= signo : repulsiva
≠ signo :atractiva
- Afecta a cuerpos con caga eléctrica neta. Es proporcional al valor de las cargas.
- Tiene alcance infinito.
- La intensidad de la interacción disminuye con la distancia como 1/r2
- Es una interacción conservativa.
- Es una interacción de tipo central.
- La intensidad de la interacción depende del medio que rodee a las cargas
Ley de Coulomb: Explica la interacción electrostática y da una expresión operativa de la misma.
"Entre dos cuerpos con cargas eléctricas Q y q, se ejercen fuerzas de atracción o repulsión, que son
proporcionales al producto de las cargas e inversamente proporcionales al cuadrado de la distancia que los separa."
Así, tenemos la expresión
Fe = K ⋅
Q⋅q
r
en forma vectorial
2
Fe = K ⋅
Q⋅q
⋅ ur
r2
Esta expresión de la ley de Coulomb sólo es válida si los cuerpos cargados eléctricamente pueden considerarse
puntuales
La constante de proporcionalidad K
K=
Constante eléctrica.
Indica la dependencia de la fuerza electrostática con el medio
Donde ε es una constante que sólo depende del medio. Se denomina permitividad eléctrica del medio
1
4 ⋅π ⋅ ε
En el vacío K0 = 9 · 109 Nm2/C2
ε0 = 8,8 · 10-12 C2/Nm2
La permitividad eléctrica se mide en relación al vacío (que es la menor que existe). El
cociente entre la permitividad del medio que estamos estudiando (ε) y la del vacío (ε 0), se
denomina permitividad relativa (εr), y es el dato que aparece en las tablas y los problemas.
εr =
ε
ε0
Por lo que
ε = ε0 ⋅εr
; εr ≥1
K=
K0
εr
Algunos valores de ε r
Vacío:
1
Aire:
1,0006
Polietileno:
2,3
Nylon.
3,7
Madera:
2,5 - 8
Vidrio:
5 - 10
Sal común:
6,1
Alcohol:
28,4
Agua(20ºC):
81
3.2 CAMPO Y POTENCIAL ELECTROSTÁTICO; ENERGÍA POTENCIAL ELECTROSTÁTICA
3.2.1
Campo electrostático
Supongamos que, en una cierta región del espacio, tenemos un cuerpo cargado
eléctricamente (Q). Debido a esa característica, dicho cuerpo interaccionará
electrostáticamente con cualquier otra carga q que coloquemos en cualquier punto del
espacio. Es decir, la carga Q modifica las propiedades del espacio, crea una nueva
magnitud en él, a la que llamaremos campo electrostático.
Cualquier carga q (carga de prueba) colocada en cualquier punto del espacio sufrirá
r
una fuerza electrostática Fe . Esta fuerza dependerá de
- Las cargas Q y q
- El punto del espacio en el que coloquemos q
© Raúl González Medina
39
Apuntes de Física General Física 2º Bachillerato
Si calculamos la fuerza que se ejercería por cada unidad de carga (por cada culombio) que colocáramos en el
punto del espacio que estudiamos; entonces obtendremos una magnitud que no depende de la carga q que coloquemos en
el punto, sino que únicamente depende del punto y de la carga que ha creado el campo (Q).
r
Esta magnitud así obtenida se denomina Intensidad de Campo Eléctrostático o Campo Electrostático ( E )
F
E= e
q
r
Unidades de E : [E] = N/C
Fe = q ⋅ E
r
r
Efectos del campo eléctrico: de la expresión F = q ⋅ E , podemos extraer varias consecuencias sobre los efectos que
produce la fuerza electrostática:
- La fuerza electrostática sólo actúa sobre partículas cargadas (estén en reposo o en
movimiento)
- La dirección de la fuerza (y de la aceleración que originará , si es la única fuerza aplicada) es
paralela al campo
- El sentido de la fuerza depende del signo de la carga q sobre la que actúe el campo
3.2.2
Energía potencial electostática (Epe) de una carga q en el interior de un campo eléctrico:
- Es la energía que almacena una carga q colocada en un punto del interior del campo electrostático.
- También puede definirse teniendo en cuenta que la fuerza electrostática es conservativa. La Epe será la función
potencial asociada a la fuerza electrostática. Es decir
B
∆Epe = − ∫ Fe ⋅ dr
WFe = −∆Epe
A
Esta energía potencial, como es evidente, se mide en julios, y depende de la carga q colocada.
Puede ser positiva o negativa, según el signo de q y las características del campo.
3.2.3
Potencial electrostático (V) en un punto del espacio:
- Energía por unidad de carga positiva (por cada C) que almacenaría cualquier cuerpo con carga eléctrica que
colocáramos en dicho punto del espacio.
V=
Epe
q
Epe = q ⋅ V
[V] = J/C = Voltio (V)
El potencial V es una propiedad del espacio. Es independiente de la carga q que coloquemos en el punto.
- También (con un razonamiento similar al de la energía potencial) podemos definir el potencial electrostático
B
como la función potencial asociada al campo electrostático.
∆V = − ∫ E ⋅ dr
A
Lo estudiado hasta ahora es general, es válido para cualquier campo electrostático que tengamos. A partir de
ahora veremos casos particulares. Los resultados que obtendremos sólo se podrán aplicar en un problema si estamos en
ese caso particular.
© Raúl González Medina
40
Apuntes de Física General Física 2º Bachillerato
3.3 CAMPOS CREADOS POR CARGAS PUNTUALES
3.3.1
Campo creado por una carga puntual:
Supongamos una carga puntual Q. Crea un campo electrostático a su alrededor.
Cualquier carga de prueba q que coloquemos en un punto del espacio, sufrirá una fuerza
electrostática.
Dado que tanto Q como q son cargas puntuales, la Fuerza vendrá dada por la ley
de Coulomb:
Q⋅q
Fe = K ⋅ 2 ⋅ u r
r
r
El módulo debe ser > 0
Fe = K ⋅
Q⋅q
r2
Campo eléctrico E : Fuerza ejercida por unidad de carga sobre una partícula colocada en el punto del espacio que
estamos estudiando.
E=
Fe K ⋅ Q ⋅ q/
K ⋅Q
= 2
⋅ ur = 2 ⋅ ur
q
r ⋅ q/
r
E=
Módulo
Líneas de campo
K⋅Q
r2
( E >0)
Energía potencial electrostática (Epe): Energía almacenada por una carga q colocada en el interior del campo
electrostático creado por Q. (esa energía es almacenada por el sistema formado por ambas cargas)
Partimos de la expresión general ∆Ep e
= −WFe
Así tendremos:
B
K ⋅Q ⋅ q
1
r
∆Epe = − ∫ Fe ⋅ dr = − ∫
⋅
⋅
⋅
=
−
⋅
⋅
⋅ dr = − K ⋅ Q ⋅ q ⋅ [− 1r ]rBA =
u
dr
u
K
Q
q
r
r
2
2
∫
r
r
A
rA
rA
rB
B
=
K ⋅Q ⋅ q K ⋅Q ⋅ q
−
rB
rA
r
Elegimos origen . Para rA Æ ∞ , EpA = 0.
Y la expresión queda
Epe =
K ⋅Q ⋅ q
r
La Epe almacenada puede ser positiva o negativa, según el signo de Q y q
Potencial electrostático en un punto (V): Energía por unidad de carga positiva (por cada C) que
almacenaría cualquier cuerpo con carga eléctrica que colocáramos en dicho punto del espacio
V=
Epe K ⋅ Q ⋅ q/
=
q
r ⋅ q/
V=
K ⋅Q
r
© Raúl González Medina
41
Apuntes de Física General Física 2º Bachillerato
3.3.2
Campo electrostático creado por varias cargas puntuales:
En este caso aplicamos el principio de superposición (el efecto producido por
un conjunto de cargas puede calcularse sumando los efectos de cada carga por
separado). Así
r
r
r
r
Fe = F1 + F2 + F3 + ...
r r
r
r
E = E1 + E 2 + E 3 + ...
Epe = Ep1 +Ep2 + Ep3 + ...
V = V1 + V2 + V3 + ...
3.3.3
Campo electrostático creado por una esfera cargada en su exterior:
Son válidos los resultados obtenidos para cargas puntuales.
(la demostración, en el apartado 2.3)
Q es la carga neta de la esfera y r la distancia al centro de la misma
3.3.4
r
E = cte
Campo electrostático constante:
En este caso sólo podemos usar los resultados generales vistos al principio.
r
r
F = q⋅E
r
Ep e = q ⋅ V
(con lo que F = cte )
B
WFe = ∫ Fe ⋅ dr = Fe ⋅ ∆ r
A
B
∆V = − ∫ E ⋅ dr = − E ⋅ ∆ r
A
Un ejemplo muy usado de campo eléctrico constante es el condensador. Consiste en dos placas metálicas planas y
paralelas, cargadas con cargas idénticas, pero de signo contrario. Entre las placas se genera un campo eléctrico constante.
r
E = cte
Dirección: perpendicular a las placas
Sentido: de la placa + a la -
Diferencia de potencial entre las placas:
∆V = V − − V + = − E ⋅ ∆ r = − E ⋅ d
Normalmente se da la diferencia en valor absoluto (el potencial de la placa positiva
menos el de la negativa).
∆V = V + − V − = E ⋅ d
© Raúl González Medina
42
Apuntes de Física General Física 2º Bachillerato
3.4
3.4.1
TEOREMA DE GAUSS. APLICACIÓN AL CÁLCULO DE CAMPOS ELECTROSTÁTICOS
Vector superficie: La forma que tenemos en Física y en geometría de representar las
r
superficies mediante una magnitud es usar el vector superficie ( s ). Este vector tiene como
características:
Su dirección es perpendicular a la superficie
Su módulo es igual al área.
El sentido puede elegirse. Cuando una superficie es cerrada, normalmente va hacia fuera
de la misma.
Cuando una superficie no es plana, vemos que no existe un único vector superficie, ya que
este va cambiando de dirección. Se procede entonces a dividir la superficie en trozos infinitamente
r
pequeños, a cada uno de los cuales corresponde un vector superficie ds .
Flujo del campo electrostático ( Φ E ):
El concepto de flujo nos da una idea de la concentración de líneas de campo en una
zona del espacio. Es otra forma de medir lo intenso que es el campo en ese sitio.
Supongamos una superficie cualquiera dentro del campo electrostático. Habrá líneas de
campo que la atravesarán, otras no. El flujo nos va a indicar si dicha superficie es atravesada
con más o menos intensidad por las líneas de campo.
r
Esta magnitud dependerá de: La intensidad del campo en la zona (el valor de E ).
El tamaño y forma de la superficie
La orientación entre la superficie y el campo.
3.4.2
Estas tres características quedan recogidas en la expresión que calcula el flujo que atraviesa una determinada
r r
superficie.
Φ E = E ⋅ ds
unidades de flujo electrostático [Φ E ] = [E ] ⋅ [S ] = N ⋅ C −1 ⋅ m 2
∫
S
r
En el caso de que el campo gravitatorio sea uniforme (que tenga el mismo valor en todos los puntos de la superficie), E
r
r r r
puede salir fuera de la integral, con lo que el flujo quedará Φ E = E ⋅ ds = E ⋅ S = E ⋅ S ⋅ cos α
∫
S
Ejemplo. Cálculo del flujo que atraviesa una superficie esférica (la carga Q que crea
el campo se encuentra en el centro de dicha superficie).
Sabemos la expresión del campo electrostático creado por una carga
r K ⋅Q
E = 2 ⋅ ur
r
puntual.
r
E tiene dirección radial. Su sentido depende del
r signo de Q. En la figura
vemos que forma 0º ó 180º con el vector superficie ds . Así, el flujo se calculará:
r r
Φ E = ∫ E ⋅ ds = ∫ E ⋅ ds ⋅ cos( 0º ó 180º ) = ± ∫ E ⋅ ds
S
S
S
Como E se mantiene constante en toda la superficie, podemos sacarlo fuera
de la integral
Φ E = ± ∫ E ⋅ ds = ± E ⋅ ∫ ds = ± E ⋅ S = ±
S
S
K⋅Q
r
2
⋅ 4π ⋅ r 2 = 4π ⋅ K ⋅ Q =
Q
ε
© Raúl González Medina
43
Apuntes de Física General Física 2º Bachillerato
3.4.3
Teorema de Gauss:
El teorema de Gauss aplicado al campo electrostático nos dice los siguiente:
El flujo total que atraviesa una superficie cerrada en el interior de un
campo electrostático es proporcional a la carga eléctrica neta encerrada por dicha
r r
1
Q
⋅Q =
Φ E = ∫ E ⋅ ds = 4 π ⋅ K ⋅ Q = 4 π ⋅
S
4 πε
ε
superficie.
Según la expresión, vemos que el flujo no depende de la forma ni el tamaño de la
superficie, siempre que sea cerrada y encierre la misma cantidad de carga.
Cuestión: ¿Qué ocurre si la superficie cerrada no contiene en su interior ninguna carga?
APLICACIONES:
El teorema de Gauss permite calcular la expresión del campo electrostático creado por algunas distribuciones de
masa. Deben ser cuerpos que posean cierta simetría (esférica, cilíndrica, plana), en los que podamos tener una idea de la
dirección que llevarán las líneas de campo en cada punto.
El objetivo que se persigue al aplicar el teorema de Gauss es el de poder despejar E de la fórmula
r r Q
E
∫S ⋅ ds = ε .
Para ello, para que E salga fuera de la integral, es preciso que tenga un valor constante en toda la superficie y que además
sea perpendicular a la misma. Así:
r
r
Q
∫ E ⋅ ds = ∫ E ⋅ ds ⋅ cos( 0º ó 180º ) = ⋅ ± E ⋅ ∫ ds = ± E ⋅ S = ε
S
S
S
→ E=
Q
S⋅E
Donde S es el valor de la superficie (llamada superficie gaussiana) utilizada, y Q es la carga total que queda encerrada
dentro de la superficie gaussiana. Lo veremos en los casos que se exponen a continuación:
r
Cálculo de E creado por una esfera cargada en su exterior:
3.4.4
El cuerpo que va a crear el campo tiene simetría esférica. Sabemos que las líneas
de campo irán en dirección radial y que el valor del campo dependerá exclusivamente de la
distancia al centro de la esfera. La superficie gaussiana que andamos buscando debe ser
perpendicular a las líneas de campo y mantener constante el valor de E en todos sus
puntos: es claramente una esfera de radio r cualquiera (siempre mayor que el radio R de la
esfera).
Aplicando el teorema de Gauss al campo que atraviesa dicha superficie:
r
r
Q
∫ E ⋅ ds = ∫ E ⋅ ds ⋅ cos( 0º ó 180º ) = ⋅ ± E ⋅ ∫ ds = ± E ⋅ S = ε
S
S
S
de este modo E =
K⋅Q
r2
→ E=
Q
Q
1 Q K⋅Q
=
=
⋅
=
2
S ⋅ε
4 π ⋅ r ⋅ ε 4 πε r 2
r2
, que es la expresión que habíamos visto anteriormente.
© Raúl González Medina
44
Apuntes de Física General Física 2º Bachillerato
r
Cálculo de E creado por una esfera hueca (la carga está distribuida sólo en la superficie) en su interior:
3.4.5
Esto ocurre en las sustancias metálicas, por ejemplo. Dada la gran movilidad de los
electrones en los metales, al cargar eléctricamente una esfera metálica, la repulsión entre las cargas
hace que los electrones se alejen lo más posible unos de otros, quedando distribuidos en la
superficie.
Aplicando el teorema de Gauss al interior, vemos que cualquier superficie cerrada que
tomemos, no encerrará ninguna carga, con lo que:
r r Qint
E
∫S ⋅ ds = ε = 0 ⇒
∫ E ⋅ ds ⋅ cosα = ± E ⋅ ∫ ds = 0 ⇒ E
S
S
int
=0
Se puede probar que esto ocurre en el interior de cualquier cuerpo metálico
cargado. Siempre que la carga esté distribuida por la superficie, el campo electrostático
en el interior será cero.
r
Cálculo de E creado por una esfera maciza (la carga está distribuida en todo el
volumen) en su interior:
3.4.6
El cuerpo tiene simetría esférica y las líneas de campo van a llevar, por tanto, dirección
radial. Como ocurría anteriormente, la superficie gaussiana que usaremos será una esfera de
radio r (menor que R, en este caso). Aplicamos el teorema de Gauss a esa esfera:
r
r
∫ E ⋅ ds = ∫ E ⋅ ds ⋅ cosα = ± E ⋅ ∫ ds = ± E ⋅ S = ± E ⋅ 4 π ⋅ r
S
S
2
S
=
Qint
ε
→ E=
K ⋅ Qint
± Qint
=
2
4 πε ⋅ r
r2
Ahora, la carga encerrada por la esfera gaussiana no es toda la carga del cuerpo, sino sólo una parte. La calculamos:
Qint = ρ ⋅ Vint =
Qtot
Q
Q ⋅ r3
3
4
⋅ Vint = 4
⋅
π
⋅
r
=
3
Vtot
π ⋅ R3
R3
3
Entonces
E=
K ⋅ Qint
r
2
=
K ⋅ Q ⋅r3
r ⋅R
2
3
⇒ E=
K ⋅ Q ⋅r
R3
Vemos que, en el interior, E disminuye conforme profundizamos, hasta hacerse cero en el centro de la esfera.
3.4.7
Campo electrostático creado por una lámina plana cargada:
Consideramos que la carga está repartida uniformemente por la
lámina, con una densidad superficial de carga σ =
Q
. El cálculo que
S
haremos es exacto únicamente si suponemos que la placa tiene una extensión
infinita, pero sirve como muy buena aproximación cuando la distancia a la
que estamos de la lámina es muy pequeña comparada con el tamaño de la
misma.
r
En este caso (suponiendo que la carga es positiva), el campo E es perpendicular a la lámina y dependerá (como
mucho) de la distancia a la misma. La superficie gaussiana que usaremos es la que aparece en la figura. En las caras 1 y 2,
© Raúl González Medina
45
Apuntes de Física General Física 2º Bachillerato
∫
r
r
r
∫
r
el flujo será Φ E = E ⋅ ds = E ⋅ ds ⋅ cos 0º =E ⋅ S . En la cara lateral, como E ⊥ ds , el flujo a través de la misma es
S
S
nulo (las líneas de campo no atraviesan la superficie). Calculando el flujo total, y aplicando el teorema de Gauss:
Φ tot = Φ 1 + Φ 2 + Φ 3 = E ⋅ S + E ⋅ S + 0 = 2 ⋅ E ⋅ S =
Qint
ε
→ 2⋅E⋅S =
σ⋅S
ε
→ E=
σ
2ε
vemos que el campo eléctrico es constante, no depende de la distancia a la que nos encontremos de la placa. Esto
es un resultado bastante aproximado cuando esta distancia es muy pequeña, como ya dijimos al principio.
Cuando colocamos dos láminas planas cargadas, con cargas
iguales pero de signo contrario, tenemos un aparato eléctrico
denominado condensador. En esta situación, el campo entre las placas
será la suma de los campos (ppio. de superposición), con lo que
E = E1 + E1 = 2 ⋅
σ σ
=
2ε ε
r
En el exterior del condensador, E se anula.
3.4.8
Campo electrostático creado por un hilo de carga (o un cilindro mucho más
largo que ancho):
Este caso es una buena aproximación de una situación real, como es el caso de un
cable cargado. Aquí las líneas del campo electrostático van hacia fuera del hilo en
perpendicular a éste. La superficie gaussiana que usaremos será un cilindro centrado en el
cable. La carga está distribuida uniformemente en el hilo, con una densidad lineal de carga
λ=
Q
L
Aplicando el teorema de Gauss:
r r
Q
E
∫S ⋅ ds = ∫S E ⋅ ds ⋅ cos( 0º ó 180º ) = ⋅ ± E ⋅ ∫Sds = ± E ⋅ S = ε
→ E=
Q
S ⋅ε
=
λ
λ⋅L
=
2π ⋅ r ⋅ L ⋅ ε 2π ⋅ r ⋅ ε
Vemos que este campo disminuye con la distancia al hilo, pero no con el cuadrado de la distancia.
© Raúl González Medina
46
Apuntes de Física General Física 2º Bachillerato
3.5 NOCIONES SOBRE CAMPO ELECTROSTÁTICO EN LA MATERIA
Campo electrostático producido por un dipolo:
Se entiende por dipolo un cuerpo neutro (normalmente una molécula) en el
que las cargas positiva y negativa están separadas. Existirá entonces un campo
eléctrico entre ambas cargas, cuyo sentido va desde la positiva a la negativa.
Una sustancia cuyas moléculas son dipolos se dice que es polar. Por
ejemplo: agua, HCl, NH3,
En caso contrario será apolar. Ejemplos: metano(CH4), benceno(C6H6), oxígeno(O2)
CONDUCTORES Y AISLANTES:
Podemos hacer una clasificación de las sustancias según su comportamiento frente a un campo eléctrico.
distinguimos entre
Conductores
Dieléctricos o aislantes
3.5.1
Así,
CONDUCTORES:
Pueden conducir la corriente eléctrica.
Poseen cargas libres (electrones móviles). Fundamentalmente son metales de transición, con estructura de enlace
metálico (los electrones de la subcapa d de los átomos forman una "nube electrónica"). Los mejores conductores: Ag, Au,
Cu.
Conductor en equilibrio electrostático: Un conductor está en equilibrio electrostático cuando no hay movimiento
r
de cargas en su interior, es decir, ∑ Fe = 0 . Por tanto, si no tenemos fuerza eléctrica neta en el conductor, el campo
r
r
eléctrico E en el interior del conductor es nulo. ( E int = 0 ).
Si introducimos carga adicional en el conductor (añadimos o quitamos e- ), dichas cargas adicionales sentirán
repulsión entre ellas y tenderán a estar lo más alejadas posible. Se llegará a una situación estable, de equilibrio, cuando la
cargas añadidas se encuentren distribuidas uniformemente por la superficie del conductor, quedando neutro el interior. Se
r
vuelve a cumplir que E int = 0 . Al ser E = 0, el potencial V se mantendrá constante.
r
Al introducir un conductor dentro de un campo eléctrico externo, E ext , los electrones móviles (carga negativa) se
moverán en sentido contrario al campo. Esto produce una separación de carga + y - (dipolo), originándose un campo
r
eléctrico E ' dentro del conductor, que es igual y de sentido contrario al exterior.
r
r
r
De este modo, el campo en el interior. Eint = E ext + E '
© Raúl González Medina
47
Apuntes de Física General Física 2º Bachillerato
Capacidad de un conductor:
Supongamos un objeto hecho de un material conductor, al que le suministramos una carga Q (positiva o
negativa). Sabemos que dicha carga se repartirá uniformemente por la superficie del conductor, y almacenará una
determinada energía potencial. El conductor tendrá un cierto valor de potencial V, que se mantiene constante en toda su
superficie.
Definimos la Capacidad de un conductor ( C ) como la relación entre carga acumulada y potencial almacenado
por el conductor. Es decir, la capacidad nos indica cuánta carga almacena el conductor por cada voltio de potencial al que
se le somete.
C=
Q
V
Unidades:
[C ] = Coulombio = Faradio ( F )
Voltio
Calcularemos la capacidad de un conductor esférico al que hemos suministrado una carga Q. Dicha carga se
distribuirá por su superficie , quedando ésta con un potencial V dado por V =
La capacidad será C =
Q
=
V
K ⋅Q
Q
=
R
4πε ⋅ R
Q/
= 4πε ⋅ R
Q/
4πε ⋅ R
Como vemos, la capacidad sólo depende de las características del conductor (de su geometría y del material dieléctrico
que lo rodee) No depende de la cantidad de carga que le hayamos suministrado. Esto ocurre para cualquier conductor.
Para un condensador, la capacidad se define como C =
Q
∆V
( ∆V es la diferencia de potencial entre las placas)
Conductores en situación de no equilibrio: Corriente eléctrica.
Cuando un conductor está en situación de equilibrio, sabemos que:
- Las cargas están en reposo
r
E en su interior es cero
- V es constante
Pero, ¿Qué ocurre cuando en dos puntos del conductor el potencial es diferente? Pues entre esas dos partes del
conductor se creará un campo eléctrico cuyas líneas irán del potencial mayor hacia el menor. Como consecuencia, las
r
r
cargas móviles ( e − ) que posee el material sufrirán una fuerza eléctrica dada por F = q ⋅ E , y se moverán en sentido
contrario al del campo eléctrico (es decir, del potencial menor hacia el potencial mayor). Se habrá generado una corriente
eléctrica entre ambos puntos del conductor.
En eso consiste básicamente un circuito eléctrico: un material conductor entre cuyos extremos se mantiene una
diferencia de potencial que origina el continuo movimiento de los electrones. Esto es lo que ocurre en una linterna,
cuando salta un rayo en una tormenta, o cuando nos da calambre al tocar un aparato eléctrico cuando estamos descalzos o
con las manos mojadas.
Una vez originada la corriente, el equilibrio se restablecería en breves instantes y los
potenciales se igualarían, a menos que de alguna forma mantengamos la diferencia de potencial. Un
aparato que ejerza esta función es un generador, y mantiene la diferencia de potencial por
procedimientos químicos (pila, batería) o físicos (alternador, dinamo).
Intensidad de corriente: Actualmente sabemos que la corriente eléctrica consiste en un movimiento
de electrones desde puntos de menor potencial a otros de mayor potencial. Pero la corriente eléctrica
se estudiaba ya antes del descubrimiento de los electrones. Inicialmente se creyó que eran cargas
positivas lo que circulaban por el circuito, y se consideró que la corriente circulaba desde los
potenciales altos a los bajos (del polo + al – de la pila). Posteriormente, cuando se descubrieron los
© Raúl González Medina
48
Apuntes de Física General Física 2º Bachillerato
electrones y su movimiento real, ya no se cambió el criterio y se mantuvo el estudio de la corriente como si fueran cargas
positivas.
La intensidad de corriente que circula por un punto del circuito ( I ) se define como la cantidad de carga eléctrica
que pasa por ese punto en la unidad de tiempo (en cada segundo). Así, I =
Q
C
= A , amperio.
. Unidades: [I ] =
t
s
El voltaje (∆V), o diferencia de potencial entre dos puntos del circuito, se corresponde con la energía que
consume cada unidad de carga (cada C) cuando pasa de un punto a otro del circuito.
Desde el punto de vista energético, las cargas (consideradas +), al desplazarse desde un punto donde hay mayor
potencial a otro de menor V (donde almacenan menos energía), pierden energía, que es consumida en los aparatos
eléctricos conectados (o en el propio cable si no hay ningún aparato, con lo que se calentará, pudiendo llegar a quemarse
su envoltura plástica; es lo que pasa en un cortocircuito). El generador (la pila, batería, toma de corriente...) vuelve a
suministrar energía a las cargas eléctricas para que continúen circulando.
3.5.2
DIELÉCTRICOS (AISLANTES):
No poseen electrones móviles. Normalmente son compuestos covalentes. Los electrones están restringidos a un
átomo o molécula, siendo muy difícil que puedan circular por el material. Por tanto, no pueden conducir la corriente
eléctrica.
Según el tipo de molécula distinguimos dos tipos:
Dieléctricos polares: Sus moléculas son dipolos, tienen cargas separadas y campo eléctrico interno.
Dieléctrico apolares: En sus moléculas no existe separación de cargas, no son dipolos.
Al introducir una sustancia dieléctrica en el interior de un campo eléctrico externo, se produce el fenómeno de
polarización del dieléctrico. Vemos el proceso en el siguiente esquema:
DIELÉCTRICO POLAR:
Al principio los dipolos están
desordenados ( Eint =0 )
Se introduce Eext.
Orientación de dipolos
Se origina E' en sentido
contrario a Eext
Se introduce Eext.
Separación de cargas
Formación de dipolos
Se origina E' en sentido
contrario a Eext
DIELÉCTRICO APOLAR:
Al principio no existen
dipolos ( Eint =0 )
En ambos casos se crea un campo inducido E' que se opone al campo exterior. A diferencia de lo que ocurría en
los conductores, en los dieléctricos las cargas + y - no llegan a separarse completamente, por lo que el campo E' es menor
que el Eext.
© Raúl González Medina
49
Apuntes de Física General Física 2º Bachillerato
De este modo el campo interior se hace más pequeño que el exterior, pero no se hace cero.
r
r
r
E int = E ext + E'
; en módulo Eint = Eext - E' ;
Eint < Eext
Ruptura del dieléctrico:
Hemos visto que, al polarizar el dieléctrico, las cargas positiva y negativa de cada molécula tienden a separarse.
Cuanto mayor es el campo eléctrico externo, mayor estiramiento se producirá en la molécula. ¿Podremos aumentar
indefinidamente el campo o existirá un límite? Pues ocurre lo segundo, es decir, llegará un momento (un valor máximo de
r
E ext ) en que las moléculas no podrán estirarse más y se romperán, quedando libres los electrones. Se habla entonces de
ruptura del material dieléctrico. De hecho, se ha convertido en un conductor, y circulará corriente a través de él (es lo que
ocurre cuando salta un rayo a través del aire en una tormenta, o una chispa entre dos cables muy próximos). El valor del
r
campo E a partir del cual ocurre esto se denomina campo de ruptura. Para el aire seco es de 3 ·106 V/m aprox.
PROBLEMAS SOBRE CAMPO ELECTROSTÁTICO:
1- Calcular la fuerza de atracción entre un ión cloruro y un ión sodio a una distancia de 2·10-8 cm el uno del otro, si se
encuentran
a) En el vacío (5,76 · 10-9 N)
b) En agua (εr = 81) (7,11 · 10-11 N)
2.- Dos partículas α (He++), están separadas 10-14 m. Calcular la fuerza electrostática con la que se repelen, la fuerza
gravitatoria con la que se atraen y comparar ambas entre sí.
(datos mα= 6,68·10-27 kg ; qe = - 1,6·10-19 C)
(Fe = 9,216 N ; Fg = 2,98 · 10-35 N)
3.- Dos esferas muy pequeñas (de radio despreciable) pesan 4 N cada una y están suspendidas de un mismo punto por
sendos hilos de 5 cm de longitud. Al cargar cada una de las esferas con la misma carga negativa, los hilos se separan y, en
la situación de equilibrio, forman un ángulo de 45º con la vertical. Calcular el valor de la carga.
(Q = -1,46 · 10-6 C)
4.- Un cuerpo cuyo peso es 1 N está cargado con 2 µC. ¿A qué distancia sobre él debe colocarse otro cuerpo cargado con
3 µ C, de signo contrario, para que el primero no caiga por la acción de su peso? ( 0,23 m)
5.- Una carga positiva de 2 µ C está en el origen de un sistema de coordenadas. Calcular:
a) Campo eléctrico en el punto (2,3) m y fuerza electrostática ejercida sobre una partícula cargada con -2 µ C situada en
r
r
r
r
r
r
dicho punto. ( E = 768 i + 1152 j N/C ; Fe = -1,54 ·10-3 i - 2,3 ·10-4 j N )
b) Potencial eléctrico V en un punto P situado a 4 m del origen (considerando V∞ = 0) (V = 4500 V)
c) ¿Cuánto trabajo debe ser realizado por un agente exterior para llevar una carga de 3 µC desde el infinito hasta P?
(Wext = -We = 0,0135 J)
6.- Dos cargas eléctricas puntuales, la una A triple que la otra B, están separadas un metro. Determinar el punto en que la
unidad de carga positiva está en equilibrio cuando:
( rA = 0,64 m , rB = 0,37 m)
a) A y B tienen el mismo signo
b) A y B tienen signos opuestos
( rA = 2,37 m , rB = 1,37 m )
c) ¿Se anulará el potencial electrostático en dichos puntos? Razonar.
© Raúl González Medina
50
Apuntes de Física General Física 2º Bachillerato
7- Dos cargas q1 = 2 µC y q2 = 4 µC están situadas, respectivamente, en los puntos (0,2) y (0,-2) m. Calcular:
r
r
r
a) Campo y potencial electrostáticos en el punto (4,0) m.
( E (4,0) = 2415 i + 402,5 j N/C ; V(4,0) = 12075 V )
b) Trabajo necesario para trasladar una carga de 6 µC desde el infinito hasta el punto (4,0) m. (Wext = -We = 0,072 J )
8.- El potencial creado por una carga puntual a cierta distancia de ella es de 600 V y el campo eléctrico en el mismo punto
es 200 N/C . ¿Cuál es la distancia a la carga desde el punto? ¿Cuál es el valor de la carga? ( r = 3 m , Q = 2 · 10-7 C )
9. Una carga puntual Q crea un campo electrostático. Al trasladar una carga q desde un punto A al infinito, se realiza un
trabajo de 5 J. Si se traslada desde el infinito hasta otro punto C, el trabajo es de -10 J.
a)¿Qué trabajo se realiza al llevar la carga desde el punto C hasta el A? ¿En qué propiedad del campo electrostático se
basa la respuesta?
(WCA = 5 J)
b) Si q = -2 µC, ¿Cuánto vale el potencial en los puntos A y C?
10. Aceleramos un electrón desde el reposo mediante una diferencia de potencial de 10 kV.
a) Analizar energéticamente el proceso, calculando la velocidad que alcanza el electrón. Realizar un esquema, indicando
el movimiento realizado por el electrón, y la disposición de los puntos de mayor y menor potencial. (v = 5,93 · 107 m/s)
b) Repetir el apartado anterior para un protón, y para un neutrón
(protón: v = 1,39 · 106 m/s ; neutrón: no se acelera)
(datos: mp ≈ mn = 1,66 · 10-27 kg ; me = 9,1 · 10-31 kg ; e = 1,6 · 10-19 C)
11. Una partícula de carga 6 ·10-6 C se encuentra en reposo en el punto (0,0). Se aplica un campo eléctrico uniforme de
500 NC-1, dirigido en el sentido positivo del eje OY.
a) Describa la trayectoria seguida por la partícula hasta el instante en que se encuentra en el punto A, situado a 2 m del
origen. ¿aumenta o disminuye la energía potencial de la partícula en dicho desplazamiento? , ¿en qué se convierte dicha
variación de energía?
b) Calcule el trabajo realizado por el campo en el desplazamiento de la partícula y la diferencia de potencial entre el
(We = 6 · 103 J ; VO - VA = 1000 V)
origen y el punto A.
12.- Un electrón se lanza con una velocidad de 107 ms-1 y penetra en la región comprendida entre dos conductores
horizontales, planos y paralelos, de 8 cm de longitud y separados entre sí 1 cm, en la que existe un campo eléctrico
uniforme. El electrón penetra en la región por un punto equidistante de los dos conductores planos y, a la salida, pasa
justamente por el borde del conductor superior.
a) Razonar qué tipo de movimiento describirá el electrón
b) Calcular el campo eléctrico que existe entre los conductores y diferencia de potencial entre ellos (E = - 8875 j N/C)
(datos: qe = -1,6·10-19 C ; me = 9,1·10-31 kg)
13. Una esfera uniformemente cargada tiene un potencial de 450 V en su superficie y a una distancia radial de 20 cm de
la superficie, el potencial es de 150 V. Calcular el radio de la esfera y su carga. ( R = 0,1 m , Q = 5 · 10-9 C )
14.- Una esfera de 8 cm de radio posee una carga eléctrica de - 0,3 µC. Calcular:
a) Potencial en un punto de la superficie.
(Vsup = -33750 V)
b) Campo y potencial en un punto situado a 12 cm de la superficie.
(E = 67500 N/C , V = -13500 V)
15.- Una carga de 4 µC está distribuida uniformemente sobre una superficie esférica de 10 cm de radio. Calcular:
a) Trabajo necesario para alejar radialmente una carga de -3 µC desde un punto situado a 10 cm de la superficie esférica,
una distancia de 5 cm.
(Wext = -We = 0,108 J)
b) En qué puntos sería nulo el campo si colocamos una carga puntual de 6 µC a 20 cm de distancia de la superficie
esférica?
(r1 = 0,18 m ; r2 = 0,12 m)
16. Calcular la energía del electrón de un átomo de hidrógeno en su estado fundamental (según el modelo de Böhr)
0
(me = 9,1 ·10-31 kg, r = a0 = 0,53 Α )
© Raúl González Medina
51
Apuntes de Física General Física 2º Bachillerato
CUESTIONES TEÓRICAS:
1. Dos cargas puntuales iguales están separadas por una distancia d.
a) ¿Es nulo el campo eléctrico total en algún punto? Si es así, ¿cuál es la posición de dicho punto?
b) Repetir el apartado a) si las cargas fueran opuestas.
2. Indique si son o no correctas las siguientes frases, justificando las respuestas:
a) Si dos puntos se encuentran al mismo potencial eléctrico, el campo eléctrico en los puntos del segmento que une dichos
punto, es nulo.
b) El trabajo necesario para transportar una carga de un punto a otro que se encuentra a distinto potencial eléctrico, es
nulo.
3. Una partícula cargada q almacena una energía de - 5 J en el interior del campo electrostático creado por otra partícula
de carga Q.
a) ¿Q es positiva o negativa? Razonar.
b) ¿La interacción entre Q y q es atractiva o repulsiva? Razonar.
4. Un electrón se mueve con velocidad constante en el sentido positivo del eje OX. Realizar un esquema razonado,
indicando la dirección y sentido del campo eléctrico que habría que aplicar para que el electrón:
a) Disminuya su velocidad hasta quedar en reposo.
b) Describa una parábola.
c) Repetir los dos apartados anteriores para el caso de un protón.
5. En una región del espacio el potencial electrostático aumenta en el sentido positivo del eje Z y no cambia en las
direcciones de los otros dos ejes. a) Dibujar en un esquema las líneas del campo electrostático y las superficies
equipotenciales. b) ¿En qué dirección y sentido se moverá un electrón, inicialmente en reposo?
6. Razonar si la energía potencial electrostática de una carga q aumenta o disminuye, al pasar del punto A al punto B,
siendo el potencial en A mayor que en B. b) El punto A está más alejado que el B de la carga Q que crea el campo.
Razonar si la carga Q es positiva o negativa.
© Raúl González Medina
52
Apuntes de Física General Física 2º Bachillerato
TEMA 4: ELECTROMAGNETISMO
4.1 Campo magnético; origen.
4.2 Efectos del campo magnético
4.3 Inducción electromagnética: ley de Faraday-Lenz ; transformadores.
4.1 CAMPO MAGNÉTICO; ORIGEN
4.1.1
Introducción histórica:
Hasta fechas recientes (S. XIX), existe un escaso conocimiento sobre la interacción magnética.
Antigüedad:
Magnesia (Asia Menor).
S. X
China
S. XVII
S. XIX
1600
1820
4.1.2
Se conoce la magnetita, o piedra imán.
Brújula. Aplicación en navegación.
Gilbert (Inglaterra)
Öersted (Dinamarca)
Propone que la Tierra es un imán.
Explica la causa del magnetismo, relacionándolo con
las corrientes eléctricas
Posteriormente, se desarrolla la teoría magnética (Faraday, Ampère, Lenz)
1865 Maxwell (R.U.)
Teoría electromagnética. Relaciona la electricidad y
el magnetismo.
Características elementales de los imanes:
- Atraen a distancia.
- Cada imán posee dos polos (Norte y Sur)
No existen polos aislados (monopolos)
Polos iguales: repulsión
Polos distintos: atracción
- Desvían la brújula
- La Tierra se comporta como un imán. El Polo Norte geográfico es un polo Sur magnético, y viceversa.
4.1.3
Campo magnético: características básicas:
Supongamos un imán situado en una región del espacio. Interaccionará con otro imán colocado a cierta
distancia. Es decir, el imán modifica las propiedades del espacio, introduce una propiedad nueva, que hace que
cualquier otro imán sufra una fuerza magnética. A esta propiedad se le denomina campo magnético.
r
- El campo magnético es una magnitud vectorial. Se representa por B .
- Su unidad en el S.I. es el Tesla ( T )
- Tiene menor intensidad que campo electrostático, pero es mucho más intenso que el gravitatorio.
- Su intensidad depende del medio. Esta dependencia viene marcada por la constante magnética Km
K
=
m
µ
4π
µ = permitividad magnética
En el vacío
K m0 =
µ0
= 10 −7 T ⋅ m ⋅ A −1
4π
Por lo que µ0 = 4 π · 10-7 T m A-1
r
- B es un campo no conservativo.
- Líneas de campo
"Salen" de polos Norte y "entran" por polos Sur
Líneas cerradas
© Raúl González Medina
53
Apuntes de Física General Física 2º Bachillerato
4.1.4
Origen del campo magnético:
Öersted (1820)
El científico danés Öersted relaciona experimentalmente los imanes con las corrientes eléctricas.
Observa que una corriente eléctrica desvía una brújula colocada a una cierta distancia. Es decir, la corriente
eléctrica se comporta como imán.
También observa que corrientes paralelas se atraen o repelen según el sentido de la corriente.
Conclusión:
El origen de campo magnético está en la existencia de cargas eléctricas en movimiento.
Toda carga eléctrica en movimiento origina a su alrededor un campo magnético.
Posteriormente, con el descubrimiento de la estructura de los átomos, se explica el magnetismo natural. Es
originado por el movimiento de los electrones alrededor del núcleo. Cada átomo crea su propio campo magnético.
Si conseguimos que la mayoría de los átomos tenga su campo magnético orientado en la misma dirección y sentido,
r
la suma de todos estos pequeños B , producirá un campo apreciable. Esto sucede de forma natural en materiales
ferromagnéticos (hierro, acero, magnetita).
Las experiencias de Öersted y de otros científicos, como Biot y Savart, nos permiten conocer otra
característica del campo magnético: su dirección y sentido.
r
Dirección de B :
Perpendicular al movimiento de las cargas eléctricas (corriente)
r
Perpendicular al vector r (distancia desde la corriente al punto considerado)
r
r
Sentido de B : Dado por la regla del sacacorchos al girar el sentido de la corriente sobre el vector r .
Algunos ejemplos:
r
Campo B producido por una corriente rectilínea
B=
r
Campo B producido por
una espira de corriente
B=
r
B=µ⋅
Campo B en el interior de un solenoide
µ⋅I
2 ⋅π ⋅ r
µ⋅I
2⋅R
N
⋅I
L
(bobina, conjunto de N espiras):
r
Campo B producido por varias corrientes:
Aplicamos el principio de superposición
r
r
r
r
BTOT = B1 + B2 + B3 + ...
En general, para calcular el campo magnético producido por cualquier corriente eléctrica se usan las
expresiones de la ley de Biot-Savart:
Campo creado por una carga en movimiento:
Campo creado por una corriente I:
r µ q ⋅ vr ∧ urr
B=
⋅
4π
r2
r r
r µ
dl ∧ u r
⋅
B=
4π ∫ r 2
© Raúl González Medina
54
Apuntes de Física General Física 2º Bachillerato
4.2 EFECTOS DEL CAMPO MAGNÉTICO:
Del mismo modo que B es originado por cargas en movimiento, también el campo magnético produce
efectos sólo sobre cargas en movimiento. Podemos decir, por tanto, que la interacción magnética se produce
únicamente entre cargas en movimiento.
r
Supongamos una partícula de carga q que se mueve con velocidad v en una
r
zona en la que existe un campo magnético B . La fuerza magnética que sufre dicha
partícula viene dada por la Ley de Lorentz:
F = q⋅v ∧ B
F = q ⋅ v ⋅ B ⋅ sen α
A partir de aquí
N = C· m · s-1 · [B]
Otra unidad: gauss = 10-4 T
[B] = N· s · C-1 · m-1 = kg · C-1 · s-1 = Tesla (T)
En general, sobre una partícula cargada actuarán campos eléctricos y magnéticos. La acción conjunta de ambos
originará
una
fuerza
que
vendrá
dada
por
la
ley
general
de
Lorentz:
(
F = Fe + Fm = q ⋅ E + q ⋅ v ∧ B = q ⋅ E + v ∧ B
)
Hablamos entonces de fuerza electromagnética. La separación entre los términos eléctrico y magnético es algo
relativo, ya que esta interacción depende del sistema de referencia usado para medir. Normalmente usaremos
sistemas de referencia en reposo.
4.2.1
r
r
Fuerza magnética sobre una carga moviéndose con v perpendicular a B :
Supongamos una partícula cargada q que entra en una zona en la que hay un campo magnético constante B.
F = q ⋅ v ⋅ B ⋅ sen α = q ⋅ v ⋅ B
F = q⋅v ∧ B
r
r
La fuerza que sufrirá será perpendicular tanto a B como a v , y su sentido
r
r
dependerá tanto del producto v ∧ B como del signo de q.
r
Como la fuerza es perpendicular a v , la aceleración que sufra la partícula
también lo será. Es decir, la aceleración será una aceleración normal (v = cte,
cambia dirección). El movimiento resultante será un movimiento circular uniforme.
r
r
Aplicando 2ª ley Newton: ΣF = m ⋅ a
Otras magnitudes del movimiento:
Periodo
T=
2π
ω
=
v2
q ⋅ v ⋅ B = m ⋅ an = m ⋅
R
velocidad angular:
m⋅v
q ⋅B
q ⋅B
v
=
= cte.
m
R
2π ⋅ m
= cte.
q ⋅B
Aplicaciones: Ciclotrón (acelerador de partículas);
Cuestiones:
ω=
⇒R=
Espectrógrafo de masas. (al final del tema. Anexo I )
¿Qué trabajo realiza la fuerza magnética que actúa sobre una carga en movimiento?
¿Qué ocurre con la energía cinética de la partícula?
© Raúl González Medina
55
Apuntes de Física General Física 2º Bachillerato
4.2.2
r
r
Efecto cuando v no es perpendicular a B :
En este caso el movimiento no será circular. Lo más cómodo que podemos hacer para estudiar esto es
descomponer v en dos componentes: una paralela al campo magnético (v║), y otra perpendicular (v⊥).
La componente paralela no se verá modificada.
La componente perpendicular se verá modificada como ya hemos estudiado arriba (movimiento circular).
Por tanto, el movimiento total será la suma de los dos movimientos, es decir, una hélice.
4.2.3
Fuerza magnética sobre una corriente rectilínea:
Supongamos un hilo conductor rectilíneo por el que circula una intensidad de
corriente I, colocado en el interior de un campo magnético uniforme B. La fuerza que sufrirá
el cable dependerá de la intensidad del campo, del movimiento de las cargas por el
conductor (de la I), y del tamaño de éste. Por tanto:
F =I ⋅L∧B
Ley de Laplace
F = I ⋅ L ⋅ B ⋅ sen α
r
El vector L tiene estas características Módulo: longitud del conductor
Dirección: la del conductor
Sentido: el de la corriente
4.2.4
Fuerza entre corrientes rectilíneas. Definición de amperio.
Supongamos dos hilos conductores paralelos, separados una distancia d, por los que
circulan corrientes I1 e I2. Cada conductor creará un campo magnético a su alrededor, dado por la
expresión
La corriente I1 crea un campo B12 en la zona donde está el conductor 2
La corriente I2 crea un campo B21 en la zona donde está el conductor 1.
La fuerza que ejerce el conductor 1 sobre el 2
F 12 = I 2 ⋅ L2 ∧ B12
La fuerza que ejerce el conductor 2 sobre el 1
F 21 = I 1 ⋅ L1 ∧ B21
F 12 = − F 21
F12 = I 2 ⋅ L2 ⋅ B12 = I 2 ⋅ L ⋅
Calculando fuerza por unidad de longitud
B12 =
µ ⋅ I1
2 ⋅π ⋅ d
B=
µ⋅I
2 ⋅π ⋅ r
B 21 =
µ ⋅ I2
2 ⋅π ⋅ d
µ 0 ⋅ I1
µ ⋅I ⋅I
= L ⋅ 0 1 2 = F21
2π ⋅ d
2π ⋅ d
f 12 =
F12 µ 0 ⋅ I 1 ⋅ I 2
=
= f 21
L
2π ⋅ d
Esto permite dar una definición del amperio: "Cantidad de corriente que circula por dos hilos paralelos
separados 1 m, cuando entre ellos se ejerce, en el vacío, una fuerza por unidad de longitud de 2 · 10-7 N/m."
El hecho de que sea más fácil de medir la intensidad de corriente que la carga eléctrica, hace que
actualmente se considere la intensidad como magnitud fundamental de la Física (en lugar de la carga eléctrica),
junto con masa, longitud, tiempo y ángulo. El resto son magnitudes derivadas, que pueden obtenerse de las
fundamentales leyes y expresiones.
Por tanto el amperio se considera unidad fundamental de la Física.
© Raúl González Medina
56
Apuntes de Física General Física 2º Bachillerato
4.2.5
Efecto de un campo magnético sobre un circuito cerrado (una espira de corriente):
Estudiaremos este caso con un ejemplo sencillo: un
circuito rectangular por el que circula una corriente I, dentro de
r
un campo magnético uniforme B , como indica la figura.
Calculamos la fuerza que se ejerce sobre cada lado del circuito.
r
F1
r
F2
r
F3
r
F4
r
r
= I ⋅ L1 ∧ B → F1 = I ⋅ h ⋅ B ⋅ sen90º = I ⋅ h ⋅ B
r
r
= I ⋅ L2 ∧ B → F2 = I ⋅ h ⋅ B ⋅ sen0º = 0
r
r
= I ⋅ L3 ∧ B → F3 = I ⋅ h ⋅ B ⋅ sen90º = I ⋅ h ⋅ B
r
r
= I ⋅ L4 ∧ B → F4 = I ⋅ h ⋅ B ⋅ sen180º = 0
r
Vemos que ΣF = 0 , con lo que el circuito no se desplazará. Sin embargo, si estudiamos los momentos de fuerza
respecto al centro de la espira
r
r
r r
a
I ⋅a⋅h⋅B
I ⋅a⋅h⋅B r
M O1 = r1 ∧ F1 → M O1 = r1 ⋅ F1 ⋅ sen90º = ⋅ I ⋅ h ⋅ B =
→ M O1 =
⋅ j ( N ⋅m)
2
2
2
r
r
r
r
a
I ⋅a⋅h⋅B
I ⋅a⋅h⋅B r
M O 3 = r3 ∧ F3 → M O 3 = r3 ⋅ F3 ⋅ sen90º = ⋅ I ⋅ h ⋅ B =
→ M O3 =
⋅ j ( N ⋅m)
2
2
2
r
r
r
r
r
I ⋅a⋅h⋅B r
Así:
ΣM O = M O 1 + M O 3 = 2 ⋅
⋅ j = I ⋅a⋅h⋅B⋅ j = I ⋅S ⋅B j ( N ⋅m)
2
Recordando que el momento de fuerzas originaba un giro, la espira girará hasta colocarse perpendicular al campo.
La expresión general del momento que el campo ejerce sobre la espira es:
r r
r
r
M O = I ⋅ S ∧ B , donde S es el vector que caracteriza a la superficie delimitada por el circuito.
APLICACIONES:
Este momento de giro, proporcional a la intensidad de corriente que recorre el circuito,
puede aprovecharse en varias aplicaciones:
Galvanómetro:
Aparato que mide la intensidad de corriente de un circuito.
Consiste en una pequeña bobina (conjunto de espiras) que puede girar
alrededor de un eje. La bobina está inmersa en el campo magnético
creado por un pequeño imán. Al pasar corriente por la bobina, la fuerza
magnética hará que ésta gire. Un resorte helicoidal se opone a este giro,
y se llega a una situación de equilibrio. El ángulo que haya girado la
bobina dependerá de la intensidad de corriente. Una aguja unida a la
bobina marca sobre una escala el valor de dicha intensidad.
Motor eléctrico:
Con lo que hemos visto en el ejemplo, vemos que podemos producir un movimiento de giro en la espira
simplemente haciendo pasar corriente a través de ella. Eso sí, conseguimos dar sólo un cuarto de vuelta, hasta que
se coloca perpendicular al campo.
La forma de conseguir un giro completo está en colocar otra espira perpendicular a la primera, y hacer que
la corriente pase por una u otra en el momento adecuado. Lograremos así un movimiento rotatorio completo. Esta
es la base de un motor eléctrico de corriente continua. Una parte fija (estator, normalmente el imán que crea el
campo magnético) y otra móvil (rotor, el conjunto de espiras).
En los motores de corriente alterna podemos conseguir el giro con una sola espira, pero la intensidad de
corriente varía de forma adecuada para producir un giro constante (esto se verá en el siguiente apartado).
© Raúl González Medina
57
Apuntes de Física General Física 2º Bachillerato
4.3 INDUCCIÓN ELECTROMAGNÉTICA: LEY DE FARADAY-LENZ. TRANSFORMADORES
Nota: concepto de flujo magnético (φm )
El flujo magnético es un concepto matemático que nos da una idea de la cantidad
(o intensidad) de líneas de campo que atraviesan una determinada superficie.
Supongamos una espira, o circuito cerrado, que encierra una superficie, y que se encuentra en el interior de
un campo magnético. Habrá líneas de campo que atravesarán la superficie. La cantidad de líneas de campo que la
atraviesen dependerá de tres factores: Intensidad del campo B
Tamaño de la superficie ( S )
Orientación de la superficie
∫
Φ m = B ⋅ ds
El flujo será
Esta integral, denominada de superficie, es algo complicado. En este tema
nos limitaremos al caso más simple: la superficie es plana y el campo magnético es uniforme en toda la superficie.
En ese caso
4.3.1
Φ m = ∫ B ⋅ ds = B ⋅ S = B ⋅ S ⋅ cos α
Unidad de flujo: Weber (Wb) = T ·m2
Inducción electromagnética:
Generación de corriente eléctrica en un circuito a partir de un campo magnético. Este fenómeno fue
observado en el s. XIX por Faraday y Henry.
Experiencia de Faraday:
Faraday observa que, colocando un imán
frente a una espira conductora, no se observa corriente en la espira mientras
mantenemos ambos en reposo, pero sí se mide paso de corriente cuando los
acercamos o alejamos. El sentido de la corriente depende de si acercamos o
alejamos, y de qué polo enfrentemos a la espira.
Experiencia de Henry: Henry coloca un trozo de material conductor entre dos
imanes. Cierra el circuito conectando el conductor a un amperímetro. Observa que al
mover el conductor se origina corriente en él.
Tanto Faraday como Lenz explican las características de este fenómeno:
- El origen de la corriente inducida está en la variación del campo magnético que atraviesa la superficie
delimitada por la espira. (Lenz)
- Dicho de otra forma, está originada por la variación de flujo magnético que atraviesa la espira (Faraday)
r
- El sentido de la corriente es tal que origina un nuevo campo magnético inducido Bind , que se opone a la
variación del campo magnético existente. (Lenz).
- Se opone a la variación del flujo (Faraday)
Teniendo en cuenta todo esto, llegamos a la ley de Faraday-Lenz sobre la inducción electromagnética:
"La corriente inducida en un circuito es originada por la variación del flujo magnético que atraviesa dicho
circuito. Su sentido es tal que se opone a dicha variación."
La expresión de esta ley queda
ε =−
d Φm
dt
© Raúl González Medina
58
Apuntes de Física General Física 2º Bachillerato
Donde ε es la fuerza electromotriz (f.e.m.), que se corresponde con la diferencia de potencial que se
genera en el circuito y que origina el movimiento de cargas, la corriente. También puede entenderse como la
energía que se suministra a las cargas (a cada C) para que se muevan por el circuito
Teniendo en cuenta que el flujo era
Φ m = ∫ B ⋅ ds = B ⋅ S = B ⋅ S ⋅ cos α
Llegamos a la conclusión de que se producirá f.e.m inducida (corriente eléctrica) en el circuito si varía
alguno de los factores de los que depende el flujo. Es decir, si varía la intensidad del campo, si varía la superficie
del circuito, o si varía la orientación relativa entre el campo y la superficie.
Este procedimiento es el que se utiliza en las centrales productoras de energía eléctrica. Haciendo girar una
r
bobina en el interior de un campo magnético variamos la orientación entre B
alterna. Lo veremos más detalladamente en el problema 11.
4.3.2
r
y S , y generaremos corriente
Funcionamiento de un transformador:
Un transformador se basa en el fenómeno de inducción electromagnética.
La utilidad del transformador consiste en poder cambiar el voltaje (la f.e.m.) a la
que vamos a conectar un aparato.
El esquema es el de la figura. El transformador consta de un núcleo de
hierro alrededor del cual están arrollados dos circuitos. En el primario tendremos
la f.e.m. inicial y en el secundario obtendremos la f.e.m. que utilizaremos. Al
circular una corriente variable (corriente alterna, como la que tenemos en
nuestras casas) por el primario, se origina un campo magnético en el núcleo de
hierro (B también variable). El hierro, material ferromagnético, multiplica la intensidad del campo y concentra las
líneas de campo en su interior. El campo B variable crea un flujo magnético también variable que atraviesa el
circuito secundario. Si tenemos un flujo variable, se inducirá una corriente en el secundario, es decir, se originará
una f.e.m. inducida. Su valor dependerá del número de vueltas de los circuitos 1º y 2º.
La relación de transformación viene dada por
ε1
n1
=
ε2
n2
Las intensidades que circulan por ambos circuitos se transforman de forma inversa, dado que la potencia total
( P = ε ⋅ I ) debe ser la misma en ambos circuitos (suponiendo un transformador ideal, sin pérdidas de energía por
calentamiento)
I 1 ⋅ n1 = I 2 ⋅ n 2
Cuestión: ¿Puede funcionar un transformador con corriente continua?.
Aplicaciones de los transformadores:
La utilidad de un transformador es clara. En los enchufes de casa el voltaje es de 220 V, y algunos aparatos
(el ordenador, el teléfono móvil cuando vamos a cargarlo) funcionan a otro voltaje distinto. La fuente de
alimentación del ordenador o el cargador del móvil son ejemplos de aparatos que contienen en su interior un
transformador.
Sin embargo, existe otra utilidad mucho más importante: el transporte de energía eléctrica a grandes
distancias. En las centrales eléctricas se genera a unos 20.000 V. Aunque parezca elevado, no lo es tanto. Para
transportar gran cantidad de energía (una potencia elevada), como P = ε ⋅ I , es necesaria una intensidad de
corriente muy elevada, lo que origina un calentamiento de los cables, que hace que se pierda mucha energía (más
de la mitad) en un transporte de varios km. Para evitar esto, la corriente se transforma hasta voltajes elevados (alta
tensión, entre 120.000 V y 400.000 V), con lo que se transporta con baja intensidad. Al llegar a la ciudad de
destino, se vuelve a transformar al voltaje adecuado (primero a unos 11.000 V, y luego a 220 V, 380 V...)
© Raúl González Medina
59
Apuntes de Física General Física 2º Bachillerato
PROBLEMAS SOBRE CAMPO MAGNÉTICO:
1.- Un electrón que se mueve en el sentido positivo del eje OX con una velocidad de 5 · 104 m/s penetra en una
región donde existe un campo de 0,05 T dirigido en el sentido negativo del eje OZ. Calcular:
a) Aceleración del electrón
b) Radio de la órbita descrita y periodo orbital (me = 9,1 · 10-31 kg ; e = 1,6 · 10-19 C)
2.- Un electrón penetra con una velocidad de 4 · 104 m/s en el sentido positivo del eje OX, en una región en la que
existe un campo magnético B de 0,5 T en el sentido positivo del eje OZ. Calcular:
a) Diferencia de potencial necesaria para que el electrón adquiera la energía cinética inicial.
b) Campo eléctrico que habría que aplicar para que el electrón mantuviera su trayectoria rectilínea.
(me = 9,1 · 10-31 kg ; e = 1,6 · 10-19 C)
3.- Un protón, tras ser acelerado por una diferencia de potencial de 105 V, entra en una región en la que existe un
campo magnético de dirección perpendicular a su velocidad, describiendo una trayectoria circular de 30 cm de
radio.
a) Realice un análisis energético de todo el proceso y, con ayuda de esquemas, explique las posibles direcciones y
sentidos de la fuerza, velocidad, campo eléctrico y campo magnético implicados.
b) Calcule la intensidad del campo magnético. ¿Cómo variaría el radio de la trayectoria si se duplicase el campo
magnético?
(mp = 1,66 · 10-27 kg ; e = 1,6 · 10-19 C )
4.- Un chorro de iones de dos isótopos de masas m1 y m2 con igual carga q , entran con velocidad v en el interior de
un campo magnético uniforme de intensidad B, perpendicular a v. Calcular:
a) Relación entre los radios de las órbitas que describen.
b) Relación entre los respectivos periodos de revolución.
5.- Dos conductores paralelos y rectilíneos, recorridos por corrientes del mismo sentido de 10 A y 20 A
respectivamente, están separados 10 cm. Calcular:
a) Campo magnético creado en un punto situado a 10 cm del primer conductor y a 20 cm del segundo
b) Fuerza por unidad de longitud sobre un conductor rectilíneo situado en el mismo plano que los otros dos
conductores, paralelo y equidistante a ambos, por el que circula una corriente de 5 A en el sentido contrario al de
los otros dos. (µ 0 = 4π · 10-7 Tm/A)
6.- Dos hilos metálicos largos y paralelos, por los que circulan corrientes de 3 A y 4 A,
pasan por los vértices B y D de un cuadrado de 2 m de lado, situado en un plano
perpendicular, como ilustra la figura. El sentido de las corrientes es el indicado en la
figura.
a) Dibuje un esquema en el que figuren las interacciones mutuas y el campo magnético
resultante en el vértice A.
b) Calcule los valores numéricos del campo magnético en A y de la fuerza por unidad de
longitud ejercida sobre uno de los hilos. (µ 0 = 4π · 10-7 Tm/A)
7.- Un conductor recto de 2 m de largo por el que circula una corriente de 3 A está en el interior de un campo
magnético uniforme de 1,5 T. El conductor forma un ángulo de 37º con la dirección del campo magnético. ¿Cuál es
el valor de la fuerza que actúa sobre el conductor?
8.- Por una espira rectangular de 10 y 20 cm de lado, situada en el plano XY, circula una corriente de 5 A en el
sentido horario. Se aplica un campo magnético de 2 T dirigido en el sentido positivo del eje OY. Calcular la fuerza
magnética sobre cada lado de la espira. ¿Qué movimiento realizará la espira?
9.- Un alambre homogéneo de 50 cm de longitud y 10 g de masa se encuentra "sumergido" en
un campo magnético de 0,2 T, como indica la figura. determinar la magnitud y dirección de la
intensidad de corriente que deberá circular para que se mantenga en equilibrio y no caiga por
acción de su propio peso.
© Raúl González Medina
60
Apuntes de Física General Física 2º Bachillerato
10.- Una bobina de 100 espiras cuadradas de 5 cm de lado se encuentra en el interior de un campo magnético
uniforme, de dirección normal al plano de la espira y de intensidad variable con el tiempo:
B = 2 t2 T.
a) Deduzca la expresión del flujo magnético a través de la espira en función del tiempo.
b) Represente gráficamente la fuerza electromotriz inducida en función del tiempo y calcule su valor para t = 4 s.
11.- Hacemos girar una espira cuadrada de 0,5 m de lado con una velocidad angular de 200
rad/s en el interior de un campo magnético uniforme de 0,8 T tal y como se indica en la figura.
Calcula la f.e.m. inducida en el cuadro y representarla gráficamente. (Considerar que
inicialmente el ángulo que forman B y S es cero)
12.- Una bobina de 10 espiras, de 2 cm2 cada una, gira a 100 rpm alrededor del eje OZ,
en presencia de un campo magnético uniforme de 0,2 T dirigido en el sentido positivo del
eje OX.
a) Escribir la expresión de la f.e.m. inducida.
b) f.e.m. inducida si, manteniendo la espira en reposo, la intensidad del campo
disminuye uniformemente con el tiempo, anulándose en 5 s.
13.- Una espira rectangular está formada por un lado móvil MN que se mueve como se
indica en el dibujo con v = 1 m/s. Dicha espira sufre un campo magnético perpendicular a
ella B = 5 T.
Si MN = 10 cm. ¿Qué f.e.m. se produce? ¿Qué sentido tiene?
(Nota: la superficie de la espira viene dada por S = b · h,
con h=10 cm y b = v · t)
14.- Un haz de electrones se mueve acelerado por una diferencia de potencial de 50 kV en el sentido positivo del
eje OX y penetra en una región en la que existe un campo magnético B = 2 j (T). Calcular:
a) Radio de la órbita descrita por los electrones.
b) Campo eléctrico que habría que aplicar para que los electrones mantuvieran su trayectoria rectilínea.
(me = 9,1· 10-31 kg ; e = 1,6 · 10-19 C)
15.- Dos conductores rectilíneos de gran longitud, paralelos, están situados entre el eje X y el eje Y (plano XY).
Uno de ellos coincide con el eje OY y el otro pasa por el punto (20,0) cm. Calcular el campo magnético en (-10,0)
y (10,0) cm si:
a) Por ambos conductores circula una corriente de 5 A en el sentido positivo del eje OY
b) Se invierte el sentido de la corriente en el conductor situado en el eje OY
(µ 0 = 4π · 10-7 Tm/A)
16.- En la figura está representado un campo magnético uniforme B = 0,5 T.
Calcular:
a) Módulo, dirección y sentido de la fuerza que actúa sobre cada uno de los
lados del circuito, cuando por él circula una corriente de 10 A, en el sentido
indicado por la figura.
b) ¿Cuál es la fuerza total sobre el circuito?
© Raúl González Medina
61
Apuntes de Física General Física 2º Bachillerato
CUESTIONES TEÓRICAS:
1.- ¿Qué dirección debe tener el movimiento de una carga en un campo magnético para que no esté sometida a
ninguna fuerza magnética?
2.- Un protón viaja por una región del espacio sin experimentar ninguna desviación. ¿Puede afirmarse que en esa
región no existe campo magnético? Razonar la respuesta
3.- Una partícula con carga q y masa m se mueve en dirección perpendicular a un campo B. Demostrar que la
frecuencia de su movimiento orbital es υ = B q / 2πm
(Hz)
4.- ¿Depende la fuerza magnética que midamos del sistema de referencia que tomemos para medirla? Razonar la
respuesta.
5.- Una partícula, con carga q, penetra en una región en la que existe un campo.
a) Explique cómo podríamos determinar, al observar la trayectoria de la partícula, si se trata de un campo eléctrico
o magnético. ¿Hay algún caso en que no sería posible determinar el tipo de campo?
b) Haga un análisis energético del movimiento de la partícula para un campo eléctrico y para un campo magnético,
ambos perpendiculares a la velocidad con que la partícula penetra en el campo.
6.- Un electrón, un protón y un átomo de helio penetran en una zona del espacio en la que existe un campo
magnético uniforme en dirección perpendicular a la velocidad de las partículas.
a) Dibuje la trayectoria que seguirá cada una de las partículas e indique sobre cuál de ellas se ejercerá una fuerza
mayor.
b) compare las aceleraciones de las tres partículas. ¿Cómo varía su energía cinética?
7.- Una espira atraviesa una región del espacio en la que existe un campo magnético uniforme, vertical y hacia
arriba. La espira se mueve en un plano horizontal.
a) Explique si circula corriente o no por la espira cuando: i) está penetrando en la región del campo, ii) mientras se
mueve en dicha región, iii) cuando está saliendo.
b) Indique el sentido de la corriente, en los casos en que exista, mediante un esquema.
8.- ¿Se puede transformar la corriente continua de la misma forma que se hace con la corriente alterna? Razonar la
respuesta.
SOLUCIONES A LOS PROBLEMAS DE CAMPO MAGNÉTICO:
1. a) a = - 4,4 · 1014 j m/s2 ; b) R = 5,7 · 10-6 m ; T = 7,1 · 10-10 s
2. a) ∆V = 4,55 · 10-3 V ; E = 2 · 104 j N/C
3. b) B = 0,15 T
al duplicar B, R se hace la mitad
4. R1/R2 = m1/m2
;
T1/T2 = m1/m2
5. a) B = 4 · 10-5 k T ; b) B = 4 · 10-5 k T ; f = -10-3 i N/m
6. b) BA = - 3 · 10-7 i - 4 · 10-7 j T ; f = 8,5 · 10 -7 N/m
7. F = -5,4 k N
8. lado superior: 1 k N ; lado inferior: -1 k N ; laterales: 0 N
9. 1 A hacia la derecha
10. a) φm = 0,5 t2 Tm2 ; b) ε = - t V ; ε = - 4 V
11. ε = 40 sen (200 t) V
12. a) ε = 4,3 · 10-3 · sen (10,5 t) V ; b) ε = 8 · 10-5 V
13. ε = 0,5 V ; sentido de corriente antihorario.
14. R = 3,8 · 10-4 m , E = - 2,65 · 108 k N/C
15. a) B(-10,0) = 1,33 · 10-5 k T ; B(10,0) = 0 T
b) B(-10,0) = -6,7 · 10-6 k T ; B(10,0) = 2 · 10-5 k T
16. a) lado oblicuo F = -5 k N , lado vertical F = 5 k N , lado horizontal F = 0 N
b) FT = 0 N , la espira no se desplaza pero gira.
© Raúl González Medina
62
Apuntes de Física General Física 2º Bachillerato
ANEXO I:
APLICACIONES DEL MOVIMIENTO DE UNA PARTÍCULA EN EL INTERIOR DE UN CAMPO
MAGNÉTICO
ESPECTRÓGRAFO DE MASAS: (F.W. Aston, 1919)
Este aparato se usa para medir la masa de
partículas subatómicas y átomos ionizados (con carga
eléctrica). Concretamente, para medir su relación
carga/masa ( q / m ). Consta de una fuente de partículas
cargadas, un condensador entre cuyas placas existe una
diferencia de potencial ∆V, que acelera las partículas
r
hasta una cierta velocidad v , y una zona en la que
existe un campo magnético constante y uniforme
r
perpendicular a v . Las partículas describirán una
trayectoria circular, de radio R, hasta incidir en una
placa fotográfica, lo que permite detectarlas.
La velocidad con la que las partículas salen del
condensador se calcula a partir de
∆Ec = − ∆Epe →
1
2
mv 2 = q ⋅ ∆V
(q y ∆V en valor absoluto)
v2 =
2 ⋅ q ⋅ ∆V
m
Al entrar en el campo magnético, sufren una desviación que las obliga a seguir un movimiento circular
uniforme de radio dado por
Igualando:
R=
m⋅v
q⋅B
2 ⋅ q/ ⋅ ∆V R 2 ⋅ q 2/ ⋅ B 2
=
m
m 2/
/
→
→ v=
R⋅q⋅B
m
2 ⋅ ∆V
q
= 2 2
m B ⋅R
→ v2 =
R2 ⋅ q2 ⋅ B2
m2
como B y ∆V son conocidos, midiendo el radio de la
circunferencia podremos conocer la relación carga/masa de la partícula.
Para el caso de que se produzcan partículas con diferente masa (por ejemplo, isótopos del mismo
elemento), este aparato permite separarlas, ya que, con diferente masa, las circunferencias que sigan tendrán
distinto radio.
CICLOTRÓN: (E. Lawrence, 1932)
Es este un tipo de acelerador de partículas que utiliza
conjuntamente campos eléctricos y magnéticos. Consiste en dos
recipientes huecos con forma de D, en los que existe un campo
magnético uniforme, como indica la figura. En el centro tenemos
la fuente de partículas (una sustancia radiactiva, por ej.). La
partícula cargada sale de la fuente con poca velocidad. El campo
magnético perpendicular la obliga a seguir una trayectoria
circular, en principio de radio pequeño.
En el espacio entre las D existe una diferencia de
potencial ∆V colocada de forma adecuada. De esta forma, al
llegar la partícula al final de la primera D, se acelera, con lo que
llega a la segunda D con una velocidad mayor, y el radio de la
circunferencia que describirá también será mayor. Al salir de la
2ª D vuelve a acelerarse, y así sucesivamente, aumentando el
radio conforme mayor es la velocidad. Así, en el exterior de las
D, al llegar al conducto de salida, las partículas llevan altas velocidades.
© Raúl González Medina
63
Apuntes de Física General Física 2º Bachillerato
TEMA 5
5.1
5.2
5.3
5.4
5.5
5.6
5.7
5.8
VIBRACIONES Y ONDAS
Movimiento oscilatorio. Movimiento armónico simple.
Movimiento ondulatorio. Características.
Ondas armónicas.
Propagación de ondas; reflexión, refracción y absorción.
Superposición de ondas; nociones sobre los fenómenos de interferencia.
Difracción
Ondas estacionarias.
Sonido. Acústica. Contaminación sonora.
Introducción: movimientos oscilatorios.
Una partícula tiene movimiento oscilatorio cuando se mueve alrededor de una posición de equilibrio,
pasando alternativamente (en un sentido y en el contrario) por ésta. El movimiento de un péndulo, las
vibraciones de un muelle, o las oscilaciones de un cuerpo que flota en el agua constituyen ejemplos de
movimientos oscilatorios.
Si las oscilaciones se repiten cada cierto tiempo fijo, se dice que las oscilaciones son periódicas, y el
movimiento es oscilatorio periódico.
5.1
MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE (m.a.s):
El movimiento armónico simple (m.a.s.) es un caso particular de movimiento oscilatorio periódico. Lo
estudiaremos por dos razones:
1) Es el más sencillo de los movimientos oscilatorios
2) Cualquier otro movimiento oscilatorio puede descomponerse en suma de m.a.s. (esto se denomina
análisis de Fourier)
Estudio cinemático:
La posición de un móvil que describe un m.a.s viene dada
por un ecuación del tipo
y = A ⋅ sen(ω ⋅ t + ϕ 0 )
o
y = A ⋅ cos(ω ⋅ t + ϕ 0 )
donde:
y
Elongación. Es la posición del móvil respecto al punto de referencia, que se escoge siempre en su
posición de equilibrio. Indica el desplazamiento desde dicha posición de equilibrio. Aunque usemos la
letra “y”, se refiere a cualquier coordenada espacial (x, y, z) en la que se mueva. [y]= m (S.I.)
A
Amplitud del m.a.s. Es el valor máximo de la elongación (en valor absoluto). El m.a.s. alcanzará los
valores de A y –A en los extremos de su movimiento. [A] = m (S.I.)
ω
Frecuencia angular. Indica el ritmo de oscilación (algo análogo a la velocidad angular en un movimiento
circular). [ω] = rad s-1 (S.I.).
A partir de ω podemos obtener
T
Periodo de oscilación. Tiempo que tarda el móvil en realizar una oscilación completa. Se calcula como
T=
υ
2π
ω
[T]= s (S.I.)
Frecuencia. Número de oscilaciones descritas en la unidad de tiempo. Es la inversa del periodo
υ=
1 ω
=
T 2π
[ υ ]= ciclos/s = s-1 = Hz (Hertzio)
(S.I.)
© Raúl González Medina
64
Apuntes de Física General Física 2º Bachillerato
ϕ = (ω ⋅ t + ϕ 0 )
ϕ0
Fase. Es un ángulo que nos indica en qué estado de oscilación se encuentra el móvil. Se
mide en radianes en el sistema internacional
Fase inicial. Valor de la fase para t = 0, cuando comenzamos a estudiar el movimiento. Nos permite
calcular cómo era el movimiento al comenzar a estudiarlo. Por ej. La posición inicial se calculará
sustituyendo t = 0 s en la ecuación, y quedará y 0 = y ( t =0 ) = A ⋅ sen(ϕ 0 )
Velocidad y aceleración de un m.a.s.
En un movimiento de estas características, la velocidad será
variable. Derivando la posición:
vy =
dy
= A ⋅ ω ⋅ cos(ω ⋅ t + ϕ 0 )
dt
[ v y ]= m s-1 (S.I.)
La velocidad máxima (en valor absoluto) que adquiere el m.a.s. es v yMAX = A ⋅ ω
Cuestión: ¿Por qué es esa la vMÁX? ¿En qué instantes lleva el m.a.s. dicha velocidad máxima?
La aceleración se calcula derivando la velocidad:
ay =
dv y
dt
= − A ⋅ ω 2 ⋅ sen(ω ⋅ t + ϕ 0 )
[ a y ]= m s-2 (S.I.)
La aceleración máxima (en valor absoluto) que adquiere el
m.a.s. es a yMAX = A ⋅ ω 2
Cuestión: ¿Por qué es esa la aMÁX? ¿En qué instantes lleva el m.a.s. dicha aceleración máxima?
Podemos comprobar, tanto numérica como gráficamente, que se cumple que
a y = −ω 2 ⋅ y
Esta relación debe cumplirla todo m.a.s., y sirve para distinguir si un movimiento oscilatorio es armónico simple
o no. Por ejemplo, las oscilaciones de un péndulo no son un m.a.s.. Sólo para oscilaciones muy pequeñas
podemos hacer la aproximación de que es m.a.s.
Estudio dinámico:
Estudiamos a continuación qué características deben tener las fuerzas que actúan sobre el cuerpo para
que describa un m.a.s.
Partiendo de la relación a y = −ω 2 ⋅ y
y aplicando la 2ª ley de Newton:
ΣF = m ⋅ a y = − m ⋅ ω 2 ⋅ y
Es decir, la fuerza resultante debe ser proporcional al desplazamiento respecto a la posición de equilibrio, y
oponerse a éste.
Una fuerza que posee estas características es la fuerza elástica (de un muelle, resorte, goma...). En
adelante todos los m.a.s. que estudiaremos serán producidos por fuerzas elásticas. Recordando que
Fel = − K ⋅ y

2
 K = m ⋅ω
m
y
ΣF = m ⋅©aRaúl
=
−
⋅
ω
⋅
González Medina
y
2
→ ω=
K
m
65
Apuntes de Física General Física 2º Bachillerato
Estudiamos dos casos concretos: el muelle horizontal sin rozamiento y el muelle vertical con peso)
Muelle horizontal sin rozamiento: Es el caso
más simple. La fuerza resultante sobre el cuerpo es
la fuerza elástica. Se cumple todo lo dicho arriba
Muelle en vertical: Ahora incluimos la acción de la fuerza gravitatoria. De
partida, al colgar el cuerpo, cambia la posición de equilibrio. El cuerpo estaría en reposo
cuando
Fel = Fg
→ K ⋅ y eq = m ⋅ g →
y eq =
m⋅ g
K
En la posición de equilibrio el muelle ya está algo estirado.
Ese es el único efecto que va a tener la fuerza gravitatoria, modificar la posición
de equilibrio. Al desviar el cuerpo de esta posición, comenzará a oscilar en torno a ese
punto debido a la acción de la fuerza elástica, y las ecuaciones vuelven a ser las que
hemos visto, siempre tomando como punto de referencia la nueva posición de equilibrio.
Estudio energético de un m.a.s.:
Nos centraremos en el m.a.s. que describe un cuerpo unido a un resorte horizontal sobre una superficie
sin rozamiento. (es el caso más sencillo, el estudio es similar en otros casos)
Teniendo en cuenta que la resultante de las
fuerzas aplicadas es igual a la fuerza elástica,
sabemos que la energía mecánica del sistema se
conservará. Así
Ec = 12 m ⋅ v y
2
; Ep el = 12 K ⋅ y 2
E M = Ec + Ep el = 12 m ⋅ v y + 12 K ⋅ y 2 = 12 m ⋅ ( A ⋅ ω ⋅ cos(ω ⋅ t + ϕ 0 )) 2 + 12 K ⋅ ( A ⋅ sen(ω ⋅ t + ϕ 0 )) 2 =
2
= 12 m ⋅ A 2 ⋅ ω 2 ⋅ cos 2 (ω ⋅ t + ϕ 0 ) + 12 K ⋅ A 2 ⋅ sen 2 (ω ⋅ t + ϕ 0 )
Como ω =
K
m
→ E M = 12 K ⋅ A 2 ⋅ cos 2 (ω ⋅ t + ϕ 0 ) + 12 K ⋅ A 2 ⋅ sen 2 (ω ⋅ t + ϕ 0 ) = 12 K ⋅ A 2
Al mantenerse constante la EM, tendremos ∆Ec = − ∆Ep el
Es decir, cuando la Ec es máxima, la Ep
es nula, y viceversa. La variación podemos verla en las siguientes gráficas, respecto al tiempo y al
despazamiento.
© Raúl González Medina
66
Apuntes de Física General Física 2º Bachillerato
ALGUNOS EJEMPLOS DE GRÁFICAS DE M.A.S.
© Raúl González Medina
67
Apuntes de Física General Física 2º Bachillerato
5.2 MOVIMIENTO ONDULATORIO; CARACTERÍSTICAS.
Se entiende por movimiento ondulatorio (onda), la propagación de una perturbación a través de un
medio determinado.
Por perturbación entendemos cualquier cambio o magnitud nueva que
introduzcamos en el medio. Por ejemplo, si dejamos caer una piedrecita sobre la
superficie de un charco, producimos un desplazamiento en las partículas de agua de
la superficie. Originamos un movimiento de subida y bajada (una ola) que se va
propagando al resto del agua. La perturbación que hemos introducido es ese
movimiento, que se puede estudiar a partir de su desplazamiento, su cantidad de
movimiento, su energía cinética...
Si seguimos con el ejemplo, vemos que el movimiento que siguen las
partículas del agua es sólo de subida y bajada (un movimiento vertical), mientras
que la onda se propaga en dirección horizontal, a través de la superficie del agua.
Al final, las partículas quedan de nuevo en la posición en la que estaban, no ha
habido un desplazamiento neto. Sin embargo, el movimiento (la perturbación) que
hemos introducido sí se ha ido transmitiendo de una partícula del medio a otra,
hasta llegar a los bordes del charco. En eso consiste el movimiento ondulatorio.
Dirección de propagación y dirección de perturbación:
Dirección de perturbación: Dirección en la que se ha producido la perturbación (en el ejemplo del agua,
la dirección en la que se mueven las partículas del agua).
Dirección de propagación: Dirección en la que se propaga la energía que transmite la onda.
Diferencias entre ondas y partículas: Sabemos ya que existen dos formas diferentes de transportar
energía por un medio: mediante partículas o mediante ondas. Estas son las características que los diferencian:
- Transporte de materia: Las partículas transportan materia.
Las ondas no transportan materia, las partículas del medio sólo vibran alrededor de su posición
de equilibrio, quedando al final en la misma posición que al principio.
- Localización: Una partícula está localizada en el espacio, ocupa un lugar concreto en un determinado instante.
Una onda está deslocalizada. La onda afecta a múltiples puntos del espacio al mismo tiempo.
- Transmisión de energía: Las partículas transmiten la energía de forma discreta (discontinua).
Las ondas transmiten la energía de forma continua.
Clasificación de ondas: Los movimientos ondulatorios pueden clasificarse según diferentes criterios:
Según el medio por el que se puedan propagar:
- Ondas mecánicas: necesitan un medio material para propagarse. No se pueden propagar por el vacío
(ej: sonido, ondas sísmicas, ondas en cuerdas y muelles)
- Ondas electromagnéticas: no necesitan de un medio material para propagarse (pueden hacerlo por el
vacío, aunque también pueden propagarse por medios materiales). Ej: luz, ondas de radio, microondas,
R-UVA, R-X.
Según el número de dimensiones por las que se propaguen:
- Monodimensionales: se propagan en una única dirección: ondas en cuerdas, muelles.
- Bidimensionales: se propagan por una superficie plana (las olas en la superficie del charco).
- Tridimensionales: se propagan por todo el espacio. Luz, sonido, ondas sísmicas.
© Raúl González Medina
68
Apuntes de Física General Física 2º Bachillerato
Ondas longitudinales y transversales: polarización de ondas:
Otra clasificación puede establecerse según la relación que exista entre la
dirección de perturbación y la dirección de propagación. Distinguiremos así entre:
- Ondas longitudinales: La dirección de perturbación es paralela a la
dirección de propagación (ejemplos: sonido, ondas sísmicas de tipo p, algunas
ondas producidas en muelles).
- Ondas transversales: La dirección de perturbación es perpendicular a la
dirección de propagación. Por ejemplo, las ondas producidas en cuerdas, las ondas
electromagnéticas, las ondas sísmicas tipo s .
Cuando una onda transversal se propaga, la perturbación
puede llevar cualquier dirección, siempre que forme 90º con la de
propagación. Esto es lo que ocurre normalmente (con la luz, por
ej., los campos eléctricos y magnéticos que componen la
perturbación van cambiando de dirección aleatoriamente, aunque
siempre perpendiculares a la propagación). Se dice entonces que la
onda no está polarizada.
Si mediante algún procedimiento conseguimos que la dirección de
la perturbación se mantenga fija, diremos que ha
ocurrido una polarización. La onda estará
polarizada.
Para la luz, esto se consigue mediante unas
sustancias llamadas polarizadores. Son sustancias
(cristales o plásticos) que por su composición
química sólo permiten que los atraviese la luz cuyo
campo eléctrico vaya en una dirección determinada.
De lo contrario la luz es absorbida.
Cuestión: ¿Tiene sentido hablar de polarización para ondas longitudinales?
Magnitudes características de las ondas:
Las ondas que vamos a estudiar en el próximo apartado del tema son aquellas en las que el movimiento
de las partículas del medio (la perturbación) es un m.a.s. Se denominan ondas armónicas.
Para estudiar la propagación de la onda, necesitamos conocer tanto la magnitudes de la perturbación (del
m.a.s. originado en el foco) como las magnitudes de la propagación por el medio.
Magnitudes dependientes del foco emisor: son aquellas características del m.a.s:
Periodo: (T)
Frecuencia: (υ)
Frecuencia angular: (ω)
Fase inicial: (ϕ0)
Amplitud: ( A )
Elongación de
un punto x del
medio en
función del
tiempo.
Magnitudes dependientes del medio:
Velocidad de propagación: ( v ) Velocidad a la que se transmite la energía de una partícula a otra del
medio. Si las características del medio se mantienen constantes, también la velocidad de propagación será una
constante (p.ej: la velocidad del sonido en el aire es de unos 340 m/s, aunque depende de la temperatura y la
presión atmosférica; la velocidad de la luz en el vacío es de 3 · 108 m/s, y en el agua de 2,25 · 108 m/s.)
Para una cuerda tensa (de una guitarra, p.ej.) la velocidad depende de la tensión de la
v=
misma y de
su densidad,
según la expresión
© Raúl
González Medina
Tensión
densidad
69
Apuntes de Física General Física 2º Bachillerato
Magnitudes dependientes tanto del foco como del medio:
Longitud de onda: ( λ ) Distancia más corta entre dos
puntos del medio que tienen el mismo valor de la perturbación.
Es decir, es la distancia a la que se repite el valor de la
perturbación. En el S.I. se mide en m.
La longitud de onda está relacionada con la velocidad de
propagación mediante las expresiones:
λ=
λ = v ⋅T
v
Elongación de todos los puntos del
medio para un instante dado de tiempo
υ
Número de onda: ( k ) Es una magnitud inversa a la longitud de onda. Su unidad en el S.I. es rad/m.
Se calcula mediante la expresión:
k=
2π
λ
k=
ω
v
5.3 ONDAS ARMÓNICAS:
Una onda armónica es aquella cuya perturbación puede estudiarse como un movimiento armónico
simple.
Vamos a estudiar este tipo concreto de ondas por dos razones:
1ª: Son las más fáciles de estudiar.
2ª. Cualquier onda puede estudiarse como suma de ondas armónicas (es lo que se denomina análisis de
Fourier de una onda)
Expresión de una onda armónica: La expresión de la onda nos
debe dar información de cómo es el movimiento de cada partícula del
medio en cualquier instante de tiempo.
Comenzamos considerando el movimiento que tendrá el foco
emisor (el pto origen, x = 0) de la onda, que será un m.a.s. Tendrá como
expresión de la elongación
Creamos una
perturbación en el foco
Tarda un tiempo t= vx en llegar a x
y ( 0,t ) = A ⋅ sen(ω ⋅ t )
Un punto cualquiera del medio, situado a una distancia x del foco,
realizará el mismo movimiento, pero desfasado, es decir, unos instantes
más tarde, justo el tiempo que tarda en llegar la perturbación hasta ese
punto (que será igual a x/v ). El valor de y en ese punto será, entonces:
La perturbación en el pto x será
la que tenía el foco hace algunos
segundos ( t = vx )
y ( x ,t ) = A ⋅ sen[ω ⋅ (t − vx )]
Si x es positiva, desplazamiento en el sentido positivo
y ( x ,t ) = A ⋅ sen[ω ⋅ (t + vx )]
Si x es negativa, desplazamiento en sentido negativo
Trabajando con la expresión, tenemos que
y ( x ,t ) = A ⋅ sen[ω ⋅ (t ± vx )] = A ⋅ sen(ω ⋅ t ± ωv⋅ x ) = A ⋅ sen(ω ⋅ t ± k ⋅ x)
Si consideramos el caso más general, que el movimiento del foco posea una fase inical ϕ 0 :
y ( x ,t ) = A ⋅ sen(ω ⋅ t ± k ⋅ x + ϕ 0 )
Otra expresión que también se suele utilizar, para el caso de que ϕ 0 = 0 , es:
t x 

y ( x ,t ) = A ⋅ sen 2π ⋅ ( ± ) 
T λ 

Nota: siempre usaremos “y” para la elongación, independientemente de que el movimiento de las partículas
del medio sea en el eje x (longitudinal) o en el eje y (transversal). Se hace así para diferenciar entre el
movimiento de las partículas (“y”) y la propagación de la onda (“x”)
© Raúl González Medina
70
Apuntes de Física General Física 2º Bachillerato
Relación entre las magnitudes características de una onda armónica:
υ=
k=
1
T
ω=
ω
k=
v
Velocidad de un punto del medio:
2π
T
ω = 2π ⋅ υ
λ = v ⋅T
λ=
v
υ
2π
λ
vy =
dy
= Aω ⋅ cos(ω ⋅ t ± k ⋅ x + ϕ0 ) (m / s )
dt
Aceleración de un punto del medio a y =
dv y
dt
= − Aω 2 ⋅ sen(ω ⋅ t ± k ⋅ x + ϕ 0 ) (m / s 2 )
v yMÁX = Aω
a yMÁX = Aω 2
5.4 PROPAGACIÓN DE ONDAS: REFLEXIÓN, REFRACCIÓN, ABSORCIÓN.
Hemos visto que un movimiento ondulatorio consiste en la
propagación de una perturbación (que puede ser de naturaleza muy
variada) por un medio determinado, material o no.
onda plana
Básicamente, podemos estudiar el movimiento ondulatorio
como una transmisión de energía, que se propaga de una partícula del
medio a otra.
onda esférica
Para facilitar el estudio de cómo se propaga esa energía, nos
ayudamos de dos representaciones gráficas.
Frente de onda: Es la superficie (o línea) formada por todos los puntos del medio que tienen la misma
fase (el mismo valor de la perturbación) en un instante determinado. Por ejemplo:
- En una ola que se propaga por la superficie del agua, todos los puntos que forman la cresta de la ola
tienen el mismo valor de perturbación (la misma fase).
- Para una onda luminosa procedente de una bombilla, el frente de onda estaría formado por todos
aquellos puntos que tienen una misma intensidad lumínica. Tendría la forma de una esfera centrada en la
bombilla.
Según la forma que tenga el frente de onda, distinguiremos:
- Onda plana: El frente de onda es una superficie plana (o una línea recta, en dos
dimensiones).
- Onda esférica: El frente de onda tiene forma esférica (o de circunferencia, en dos
dimensiones).
Una forma de obtener el frente de onda se basa en el Principio de Huygens:
“Al propagarse una onda por un medio determinado, cada punto del medio se comporta
como un foco puntual de nuevas ondas, idénticas a la que se propaga. El frente de onda
es la línea envolvente (superposición) de todos los frentes de onda secundarios”.
Diagrama de rayos: Los rayos son líneas que, partiendo del
foco, nos indican la dirección y sentido en que se propaga la energía
transmitida por la onda. Son siempre perpendiculares al frente de onda.
- En una onda plana, los rayos son paralelos entre sí.
- En una onda esférica, los rayos divergen del foco.
onda plana
onda esférica
© Raúl González Medina
71
Apuntes de Física General Física 2º Bachillerato
Propagación de la energía por el medio:
Pensemos en una onda (luminosa, sísmica, de sonido...) que se propaga por un
medio. El foco emisor (la bombilla para la luz, el hipocentro del terremoto, al altavoz
para el sonido...) proporciona energía a las partículas de su alrededor. Esta energía
proporcionada por el foco es la que se va a ir propagando de una partícula a otra, al ir
avanzando el frente de onda. Ahora bien, en una onda esférica el frente de onda tiene
cada vez mayor superficie, afecta a un número cada vez mayor de partículas.
Considerando el caso ideal de que no se pierda energía por rozamiento entre las
partículas del medio, la energía que se está transmitiendo debe mantenerse constante.
Eso significa que esa energía debe repartirse entre un número cada vez mayor de
partículas. Como consecuencia, la energía correspondiente a cada partícula del frente de
onda es cada vez menor, y la amplitud de su vibración disminuirá. Este fenómeno se
conoce como atenuación de la onda, y es responsable de algo tan lógico como que el
sonido (o la luz) disminuya su intensidad con la distancia al foco emisor.
La energía generada
por el filamento de la
bombilla se reparte
entre un nº cada vez
mayor de partículas
COMPORTAMIENTO DE UNA ONDA EN LA FRONTERA ENTRE DOS MEDIOS:
Vamos a estudiar qué es lo que sucede cuando una onda que se
propaga por un cierto medio, se encuentra con un medio diferente (por
ejemplo, luz o sonido que se propagan por el aire y se encuentran con
agua, o con un cristal). Al llegar a la superficie que separa ambos
medios, pueden ocurrir tres fenómenos distintos. Puede incluso, y es lo
más común, que ocurran los tres simultáneamente.
Absorción: Las partículas del nuevo medio, debido a
rozamientos internos, absorben parte de la energía que transporta
la onda. Se puede dar el caso de que se absorba toda la energía,
desapareciendo totalmente la onda.
Refracción: Se forma una onda que se transmite por el
nuevo medio. Los puntos de la frontera se contagian de la
vibración de la onda incidente y dan lugar a lo que se denomina
onda refractada.
La frecuencia de la onda sigue siendo la misma (dependía
sólo del foco emisor), pero como ahora el medio es diferente, la
velocidad de propagación también lo será y, por tanto también
Cuando la onda incidente llega al punto
variarán λ , k.
B, hace algún tiempo que ha llegado a A
y ha generado la onda refractada. Como
La amplitud de la onda refractada será menor que la de la
en el caso del dibujo la velocidad en el
onda incidente, ya que la energía de la onda incidente debe
medio
2 es menor que en el 1, el frente
repartirse entre los tres procesos que pueden ocurrir (reflexión,
de
onda
se desvía.
refracción, absorción)
La dirección en la que se propaga la nueva onda refractada también
es diferente. Existe una relación entre los ángulos que forman los rayos
incidente y refractado con la normal a la superficie. Esta relación se conoce
como ley de Snell.
senα i
v
= 1 = cte
senα refr v 2
© Raúl González Medina
72
Apuntes de Física General Física 2º Bachillerato
Reflexión: Los puntos de la frontera, al vibrar, también generan una
onda que se vuelve a propagar por el medio inicial. Se llama onda
reflejada.
La onda reflejada tiene idénticas características que la onda
incidente, salvo la amplitud (menor) y la dirección.
La dirección de la onda reflejada forma el mismo ángulo con
la normal que la onda incidente.
α i = α refl
5.5 SUPERPOSICIÓN DE ONDAS: INTERFERENCIAS.
Hasta ahora hemos estudiado la propagación de una sola onda por un medio. Pero sabemos que por el
mismo medio pueden propagarse simultáneamente muchas ondas del mismo tipo (muchos sonidos, luz de
diferentes focos, las emisiones de muchas cadenas de radio...). Es decir, los mismos puntos del medio pueden
transmitir al mismo tiempo perturbaciones diferentes.
También sabemos, por experiencia, que a veces,
cuando escuchamos una emisora de radio, o vemos una
cadena de televisión (que emiten una onda con una
frecuencia característica), se nos “cuela” otra emisora,
dando como resultado una mezcla de ambas (es decir, que
no hay quien se entere de nada). Decimos que tenemos
interferencias. Y eso ocurre no sólo con las ondas
electromagnéticas, sino con cualquier tipo de onda.
El fenómeno de interferencia es característico de
las ondas. Se produce cuando dos o más ondas,
procedentes de focos diferentes, se propagan por una
misma región del espacio. Los puntos del medio se verán Interferencias producidas en agua por ondas que
provienen de focos diferentes.
afectados por las perturbaciones de ambas ondas,
sumándose los efectos (principio de superposición).
Con lo que llevamos dicho, la interferencia se produciría constantemente.
Pero realmente se habla de interferencia cuando sus efectos son apreciables. Y
esto se da cuando las ondas que se superponen tienen amplitudes parecidas y,
sobre todo, cuando tienen la misma longitud de onda (y la misma frecuencia, por
tanto). Se habla entonces de ondas coherentes.
Para estudiar un caso simple, veremos el caso de ondas coherentes que se
propagan simultáneamente por una cuerda. Recordemos que el movimiento
ondulatorio consiste en la transmisión de una perturbación, que en este caso es la
vibración de los puntos de la cuerda. Así, los puntos de la cuerda se ven
afectados por ambas vibraciones. El movimiento resultante será la suma de
ambos movimientos vibratorios.
Anillos de Newton
© Raúl González Medina
¿Cómo será la vibración resultante en un punto concreto de la cuerda?
¿Qué amplitud tendrá? Pues va a depender de en qué estado llegan las
vibraciones a ese punto.
73
Apuntes de Física General Física 2º Bachillerato
Interferencia constructiva:
Si las ondas llegan en fase ( ∆ϕ = 0 , 2π , 4π ... = 2nπ ), cuando uno de los movimientos está en su
amplitud, el otro también,. La amplitud del movimiento resultante será la suma de las dos amplitudes
( A = A1 + A2 ). Se dice que tenemos interferencia constructiva. La condición que se cumple para que estén en
fase es ∆ϕ = k ⋅ ( x 2 − x1 ) = 2nπ
foco.
→ x 2 − x1 = n ⋅ λ , siendo x1 y x2 las distancias desde el punto a cada
Interferencia destructiva:
Si las ondas llegan en contrafase ( ∆ϕ = π , 3π , 5π ... = (2n + 1) ⋅ π ), cuando uno de los movimientos
está en su amplitud, el otro también, pero negativa (es decir, uno obliga a moverse al punto en un sentido, y el
otro en sentido contrario. La amplitud del movimiento resultante será la diferencia de las dos amplitudes
( A = A1 − A2 ). Se dice que tenemos interferencia destructiva. La condición que se cumple para que estén en
esta situación es ∆ϕ = k ⋅ ( x 2 − x1 ) = (2n + 1) ⋅ π
→ x 2 − x1 = (2n + 1) ⋅
λ
2
, siendo x1 y x2 las distancias
desde el punto a cada foco.
Estas situaciones extremas se encuentran intercaladas en el medio. Entre estos puntos con interferencia
constructiva o destructiva, existen todas las situaciones intermedias, con amplitudes entre A = A1 − A2
y
A = A1 + A2 . Tendremos puntos con una vibración de gran amplitud, y otros con menor amplitud, pero todos
vibran con la misma frecuencia.
En el caso del sonido, este fenómeno se traducirá en la existencia de zonas de sonido intenso junto a
zonas de sonido débil intercaladas. Para la luz, zonas claras y oscuras intercaladas. Si las dos ondas superpuestas
tienen igual amplitud, en los puntos con interferencia destructiva se anulará la perturbación (el punto de la
cuerda se quedará quieto, o no tendremos sonido o luz en ese punto)
5.6
DIFRACCIÓN:
Sabemos (al menos hasta ahora) que tanto la luz como el sonido se
propagan como ondas. Ahora bien, decimos que la luz tiene una propagación
rectilínea (un rayo de luz que entra en la habitación por una rendija); sin embargo,
no decimos lo mismo del sonido. Oímos el sonido del claxon de un automóvil
antes de que vuelva la esquina, por ejemplo. Parece que el sonido puede “doblar
las esquinas” y desviar su dirección de propagación. ¿Por qué esta diferencia?
1
Algo parecido ocurre con ondas que se propagan en
el agua. Observemos las dos fotografías de la derecha, en
las que una onda plana que se propaga por la superficie del
Oímos la sirena de la
agua se encuentra con un obstáculo (en este caso, una pared
ambulancia aunque la
con una abertura). En el primer caso, la abertura es mucho
esquina se interponga.
mayor que la longitud de onda, y el comportamiento es
rectilíneo, (el que podríamos esperar, incluso, si fueran
partículas lo que se propagaran). Pero al ir reduciendo el tamaño de la abertura vemos
que, cuando el agujero es de un tamaño aproximadamente igual a λ , la onda no se
propaga en línea recta, sino que lo hace por todo el medio. El agujero se comporta como
un foco puntual de ondas.
2
Este fenómeno de “desviación” de la dirección de propagación de la onda al
encontrarse con una obstáculo, se conoce como difracción. Aunque ocurre siempre, sólo
es apreciable y significativo cuando el obstáculo es de un tamaño parecido a la λ de la
onda que se propaga. El obstáculo puede ser tanto un agujero como un cuerpo sólido.
© Raúl González Medina
74
Apuntes de Física General Física 2º Bachillerato
¿Cómo se explica la difracción?. Pues hemos de recordar el principio de Huygens. Cada punto del
medio se comporta como un foco puntual emisor de nuevas ondas. Normalmente tenemos infinitos puntos, y la
superposición de todos ellos es lo que constituye el frente de onda. En el agujero, el número de puntos que
vibran es reducido, y puede considerarse prácticamente como un foco puntual. El frente de onda será esférico.
Para el caso del sonido, la longitud de onda la varía entre algunos cm y algunos metros. Estamos
rodeados de obstáculos de ese tamaño, y es natural que apreciemos el fenómeno.
Cuestión:
¿Por qué no observamos normalmente este fenómeno con la luz?
La difracción permite distinguir entre ondas y partículas, ya que de las partículas no cabe esperar este
comportamiento. Un chorro de partículas seguirá una trayectoria rectilínea. Este experimento sirvió en 1801 a
Young para comprobar que la luz se comportaba como una onda, y en 1927 a Davidson y Germer para observar
un comportamiento similar en los electrones.
Difracción e interferencias:
Ya hemos visto lo que ocurre cuando el obstáculo es un
pequeño agujero o rendija. Pero cuando es un cuerpo, o varias
rendijas, la situación se complica, ya que tenemos varios focos
puntuales de onda (cada rendija, o los puntos situados a uno y
otro lado del obstáculo). Y ya hemos estudiado lo que ocurre
cuando tenemos varias ondas similares propagándose por el
mismo medio: una interferencia, con los característicos
máximos y mínimos de intensidad.
Patrón de difracción de luz para una y dos
rendijas
-7
Es difícil observar este fenómeno con la luz, ya que su longitud de onda es del orden de 10 m. Sin
embargo, las ondas de radio de FM y de TV tienen λ de algunos m. Esto explica por qué es necesario instalar
repetidores de señal en las zonas montañosas (Para la AM, de λ ≈ km , no hace falta). Las montañas son
obstáculos demasiado grandes para que la onda sufra difracción (se desvíe). Y, por otro lado, también se explica
el hecho de que podamos captar la señal de radio mejor o peor al mover el aparato un par de metros, o al
acercarnos o alejarnos. Los objetos que rodean al aparato de radio producen interferencia (máximos y mínimos
de intensidad).
También,
una
ola
producida en un río, al
encontrarse con los pilares de
un puente, producirá este
fenómeno en la zona posterior
al puente, observándose un
oleaje que puede parecer
irregular, pero que obedece las
leyes de la interferencia.
© Raúl González Medina
75
Apuntes de Física General Física 2º Bachillerato
5.7 ONDAS ESTACIONARIAS (O.E.):
Es otro caso particular de interferencia. Consiste en la superposición de dos ondas armónicas que se
propagan por el mismo medio, con idénticas A, ω, λ, dirección... pero en sentidos contrarios. Es el caso de una
onda que, al llegar a la frontera con otro medio, sufre una reflexión total perpendicular. Se superpondrán la onda
incidente y la rebotada.
Estudiaremos el caso de ondas estacionarias monodimensionales en cuerdas o resortes.
5.7.1
O.E. en cuerdas con extremos libres: En este caso la onda rebotada es idéntica a la incidente, pero en
sentido contrario.
y1 = A ⋅ sen(ωt − kx) ; y 2 = A ⋅ sen(ωt + kx)
y = y1 + y 2 = A ⋅ sen(ωt ) ⋅ cos(kx) − A ⋅ cos(ωt ) ⋅ sen(kx) + A ⋅ sen(ωt ) ⋅ cos(kx) + A ⋅ cos(ωt ) ⋅ sen(kx)
y = 2 A ⋅ cos(kx) ⋅ sen(ωt )
Características del movimiento resultante:
Ante todo, no es un movimiento
ondulatorio. No tenemos propagación de energía a
lo largo de la cuerda, debido a que tenemos dos
ondas viajeras idénticas (con igual v) pero en
sentidos contrarios. La velocidad de propagación
total sale nula. (vOE = 0)
Tampoco posee λ , k , ω , A propias. Estas
magnitudes, que aparecen en la expresión, pertenecen a las ondas viajeras que se han superpuesto.
Las partículas de la cuerda realizan m.a.s., en los que la amplitud es función del punto que consideremos.
y ( x ,t ) = A( x) ⋅ sen(ωt ) ;
amplitud
A( x) = 2 A ⋅ cos(kx) ;
Tendremos puntos con amplitud máxima (vientres o antinodos) para
Tendremos puntos en reposo, con amplitud nula (nodos) para
Distancia entre nodos =
A( x) MÁX = 2 A
cos(kx) = ±1 → x = n ⋅
cos(kx) = 0 → x = (2n + 1) ⋅
λ
λ
λ
2
4
2
5.7.2 O.E. en cuerdas con extremos fijos: La onda rebotada es la inversa de la onda incidente. Para variar,
supongamos que venga dada por una función coseno.
y1 = A ⋅ cos(ωt − kx) ; y 2 = − A ⋅ cos(ωt + kx)
y = y1 + y 2 = A ⋅ cos(ωt ) ⋅ cos(kx) + A ⋅ sen(ωt ) ⋅ sen(kx) − A ⋅ cos(ωt ) ⋅ cos(kx) + A ⋅ sen(ωt ) ⋅ sen(kx)
y = 2 A ⋅ sen(kx) ⋅ sen(ωt )
A( x) = 2 A ⋅ sen(kx)
Vientres: sen( kx ) = ±1 → x = ( 2 n + 1 ) ⋅
Nodos : sen(kx) = 0
→ x = n⋅
Distancia entre nodos =
λ
Expresión similar a la anterior.
λ
4
2
λ
2
© Raúl González Medina
76
Apuntes de Física General Física 2º Bachillerato
5.7.3
Armónicos en una O.E:
Al tener la cuerda los extremos fijos, no sólo tendremos un nodo para x = 0, sino también para x = L .
Esto hace que no podamos tener en la cuerda cualquier onda estacionaria, con cualquier λ , sino que se debe
cumplir una nueva condición:
x nodos = n ⋅
λ
2
→ L = n⋅
λ
2
→ λ=
2L
n
No podremos tener O.E. con cualquier λ, sólo aquellas que cumplan la
condición anterior. Por lo tanto, la frecuencia de vibración tampoco podrá
ser cualquiera (está cuantizada)
υ=
n⋅v
Tens.
como v =
2L
dens.
→ υ=
n Tens.
2 L dens.
Las diferentes frecuencias obtenidas se denominan armónicos. Para n = 1 tenemos el armónico fundamental.
Podemos comprobar que:
nº de nodos = n + 1
nº de vientres = n
En un instrumento musical, el armónico fundamental (la frecuencia correspondiente a ese armónico) es
el que nos indica la nota musical que estamos tocando. El resto de los armónicos nos dan el timbre, que
diferencia a unos instrumentos musicales de otros.
Cuestión: En una cuerda de guitarra ¿Cómo cambia la frecuencia de vibración (es decir, la nota
musical) al aumentar o disminuir la longitud de la cuerda? ¿Y al aumentar o disminuir su
tensión? ¿Qué ocurre si la cuerda tiene más o menos grosor?
La misma nota producida por diferentes instrumentos. A la derecha, su descomposición en armónicos
© Raúl González Medina
77
Apuntes de Física General Física 2º Bachillerato
5.8 ACÚSTICA. CONTAMINACIÓN SONORA.
La acústica es el estudio de la propagación del sonido. Sabemos que el
sonido consiste en vibraciones del aire (u otro medio) que se propagan
longitudinalmente. Su velocidad de propagación depende del medio, e incluso
en el aire varía con la temperatura según la expresión v =
γ ⋅ R ⋅T
M
, donde
γ es una constante que depende de la humedad del aire, y M es la masa
molecular promedio.
Velocidad del sonido en
distintos medios (20ºC)
Aire
Etanol
Agua
Vidrio
Aluminio
Hierro
344 m/s
1200 m/s
1498 m/s
5170 m/s
5000 m/s
5120 m/s
Tono y timbre de un sonido:
El tono es la característica del sonido que nos indica si éste es agudo (tono alto) o grave (tono bajo). La
magnitud física que determina el tono es la frecuencia del sonido. Una frecuencia alta significa un sonido agudo.
Una frecuencia baja, un sonido grave.
Sin embargo, cuando escuchamos la misma nota musical (el mismo tono) emitida por dos instrumentos
musicales diferentes (un piano y un violín, por ejemplo), suenan de forma distinta, y podemos distinguir a qué
instrumento pertenecen. Esto se debe a lo que comentamos en el apartado 5.7.3. Todo instrumento musical, al
vibrar, produce ondas estacionarias de múltiples frecuencias (los armónicos). El armónico fundamental es el que
nos da la nota musical, y el resto de los armónicos le dan al sonido las características propias del instrumento.
Estos armónicos secundarios constituyen el timbre del sonido.
Ultrasonidos e infrasonidos:
El oído humano es capaz de percibir sonidos comprendidos entre 16 Hz y 20000 Hz de frecuencia.
Por debajo de la frecuencia mínima (infrasonidos), no somos capaces de oír las vibraciones. Pueden
producirse infrasonidos intensos por el viento, o en los momentos previos a un terremoto. Si bien no los oímos,
estas vibraciones pueden afectar a órganos internos y a terminaciones nerviosas, lo que origina malestar e
irritabilidad.
Por encima de 20 kHz se sitúan los ultrasonidos. Existen especies animales (perros, murciélagos, delfines,
por ejemplo) que son capaces de distinguir frecuencias más elevadas que el hombre. Los ultrasonidos de muy
alta frecuencia transmiten mucha energía y pueden concentrarse en un punto con mucha facilidad, por lo que
son utilizados en comunicaciones, en medicina (para romper cálculos de riñón), etc.
Intensidad de una onda sonora. Escala de decibelios (dB):
La intensidad de una onda es la energía que propaga el frente de onda por cada unidad de superficie. En el
S.I se mide en J·s-1·m-2 = W/m2
. Ya hemos estudiado que, al ampliarse el frente de onda, la energía se
reparte y, por tanto, la intensidad disminuye.
Para medir la intensidad se usa una magnitud, el nivel de intensidad ( β ), que usa un valor de referencia (I0
I
= 10-12 W/m2). Se utiliza una escala logarítmica, para evitar las potencias de 10. Así: β = 10 ⋅ log
La
I0
unidad de β es el decibelio (dB), en honor a A.G. Bell, inventor del teléfono.
El oído humano es capaz de percibir sonido en un cierto rango de frecuencias (entre 16 Hz y 20000 Hz). Su
sensibilidad es tal que, para cada frecuencia, existe un nivel de intensidad mínimo que es capaz de percibir
(umbral de audición), y un nivel máximo (umbral de dolor), por encima del cual se producen daños para el oído.
En el gráfico de la página siguiente aparecen estos umbrales para las diferentes frecuencias.
© Raúl González Medina
78
Apuntes de Física General Física 2º Bachillerato
Contaminación sonora:
Está comprobado que el ruido afecta al oído y al sistema nervioso. Es causa de sordera, trastornos
psicológicos, irritabilidad, estrés, bajo rendimiento, dificultades para dormir... cuando en una zona el nivel de
intensidad del ruído es tal que afecta a la salud, se habla de que padece contaminación sonora.
El tráfico, las obras, bares, discotecas, son focos de contaminación sonora. Una exposición continuada a un
sonido de intensidad superior a 80 dB produce daños a la salud. Existe una legislación sobre contaminación
sonora que pretende disminuir el efecto del ruido. Por ejemplo, el horario de cierre de locales de ocio, la
insonorización de los mismos con materiales absorbentes (no debe salir al exterior una intensidad mayor de 65
dB), regulación del nivel de vehículos, etc.
© Raúl González Medina
79
Apuntes de Física General Física 2º Bachillerato
PROBLEMAS TEMA 5: VIBRACIONES Y ONDAS.
0. Una partícula vibra según la ecuación
y = 0,03 ⋅ sen(10π ⋅ t + π2 ) (S.I.). Calcular:
a) Amplitud, periodo y frecuencia del movimiento.
b) Tiempo mínimo que transcurre entre dos instantes en fase.
c) Posición y velocidad iniciales de la partícula.
d) Represente posición y velocidad de dicho movimiento en función del tiempo.
1. De un resorte elástico de constante K = 500 N/m, cuelga una masa puntual de 5 kg. Estando el conjunto en
equilibrio, se desplaza la masa 10 cm, dejándola oscilar libremente a continuación. Calcule:
a) Ecuación de movimiento armónico que describe la masa puntual.
b) Puntos en los que la aceleración de dicha masa es nula.
c) Tiempo que transcurre entre dos instantes en oposición de fase.
2. Una partícula de 0,5 kg, que describe un movimiento armónico simple de frecuencia 5/π Hz, tiene
inicialmente una energía cinética de 0,2 J, y una energía potencial de 0,8 J.
a) Calcule la posición y velocidad iniciales, así como la amplitud de la oscilación y la velocidad máxima.
b) Haga un análisis de las transformaciones de energía que tienen lugar en un ciclo completo. ¿Cuál sería el
desplazamiento en el instante en que las energías cinética y potencial son iguales?
3.- Un movimiento ondulatorio viene dado, en unidades del S.I., por y = 5 cos (4t + 10x); con "y" expresada en
metros. Calcular:
a) λ, υ, ω, A.
b) Velocidad de propagación de la onda.
c) Perturbación que sufre un punto situado a 3 m. del foco a los 20 s.
d) Expresiones generales de la velocidad y la aceleración de las partículas afectadas por la onda.
4.- La ecuación de una onda es y = 2 sen [2π( 5 t + 0,1 x )], en unidades C.G.S. ("y" dada en cm).
a) Calcular: λ, υ, y velocidad de propagación de la onda.
b) ¿Cuál es la velocidad máxima que adquirirán los puntos afectados por la onda? ¿En qué instantes adquirirá
dicha velocidad un punto situado a 10 cm de la fuente de perturbación?
5. La ecuación de una onda que se propaga por una cuerda es: y(x,t) = 0,5 sen π (8 t - 4 x) (S.I.)
a) Determine la velocidad de propagación de la onda y la velocidad de un punto de la cuerda y explique el
significado de cada una de ellas.
b) Represente gráficamente la posición de los puntos de la cuerda en el instante t = 0, y la elongación en x= 0 en
función del tiempo.
6.- La ecuación de un onda transversal es y = 10 sen ( 2 π t - 10 π z ) en el S.I. Calcular:
a) Velocidad de propagación.
b) υ, ω, λ, T y k.
c) Velocidad y aceleración máximas de las partículas de la cuerda afectadas por la onda
7.- Escribir la expresión de una onda sinusoidal que se propaga por una cuerda en el sentido positivo del eje OX.
La amplitud es 0,02 m, la frecuencia 60 Hz y la velocidad de propagación 10 m/s.
8.- El periodo de un movimiento ondulatorio que se propaga por el eje OX es 3·10-3 s y la distancia entre los dos
puntos más próximos con diferencia de fase π/2 rad. es de 30 cm en el eje X.
a) Calcular λ y la velocidad de propagación.
b) Si el periodo se duplicase ¿qué le ocurriría a las magnitudes del apartado anterior?
9.- Una onda sinusoidal se propaga a lo largo de una cuerda. El tiempo que transcurre entre el instante de
elongación máxima y el de elongación nula en un punto de la cuerda es de 0,17 s. Calcular:
a) T y υ de la onda b) Velocidad de propagación si λ = 1,4 m.
10.- Una onda armónica se propaga por una cuerda tensa según y = 0,4 cos (50t - 0,2x) (S.I). Calcular:
a) λ, T.
b) Velocidad máxima de oscilación de los puntos de la cuerda.
c) Diferencia de fase, en el mismo instante, entre dos puntos separados 7,5 m.
© Raúl González Medina
80
Apuntes de Física General Física 2º Bachillerato
11.- Una onda longitudinal se propaga a lo largo de un resorte en el sentido negativo del eje OX y la distancia
más próxima entre dos puntos en fase es de 20 cm. El foco emisor, fijo a un extremo del resorte, vibra con una
amplitud de 3 cm y υ = 25 Hz. Determinar:
a) Velocidad de propagación de la onda.
b) Expresión de la onda sabiendo que la perturbación en el instante inicial en x = 0 es nula. Represente
gráficamente la elongación en función de la distancia para el instante inicial.
c) Velocidad y aceleración máximas de un punto del resorte.
12.- Una onda transversal y sinusoidal tiene una frecuencia de 40 Hz y se desplaza en la dirección negativa del
eje x con una velocidad de 28,8 cm/s. En el instante inicial, la partícula situada en el origen tiene un
desplazamiento de 2 cm y su velocidad es de -377 cm/s. Encontrar la ecuación de la onda. ¿Qué datos pueden
obtenerse de ella? Represente gráficamente la elongación en función de la distancia en el instante inicial.
13.- Una onda estacionaria viene dada por y = 0,04 sen(0,4x) cos(25t) ( S.I.). ¿Cuál es su velocidad de
propagación?. Calcular υ, λ, A y la velocidad de propagación de las O.V.
14.- Un alambre vibra según y = 0,5 sen (π/3 x) cos 40πt (C.G.S). Calcular:
a) υ, A, λ y velocidad de propagación de las ondas viajeras.
b) Distancia entre los nodos.
c) Velocidad de una partícula del alambre que está en x = 1,5 cm en el instante t = 9/8 s.
15.- La ecuación de una onda transversal en una cuerda es y = 10 cos π (2x - 10t) (C.G.S):
a) Escribir la expresión de la onda que, al interferir con ella, producirá una O.E.
b) Indicar la distancia entre los nodos en la O. E. y la amplitud que tendrán los antinodos.
16.- Una onda viene dada por y = 10 cos (π/6 x) cos 10t (C.G.S). Calcular la A de las ondas viajeras y su
velocidad de propagación, la distancia entre nodos y entre un nodo y un vientre.
17.- La ecuación de una onda es y = 6 cos 0,2πx sen 4πt (S.I). Calcular la amplitud de la onda estacionaria y de
las ondas cuya superposición podría originarla; la posición de los nodos y antinodos; y la velocidad de una
partícula situada en x = 2 m.
18.- La ecuación de una onda en una cuerda es y = 0,2 cos 0,5πx sen 30πt (S.I.). Determinar:
a) Magnitudes características
b) ¿En qué instantes será máxima la velocidad del punto x = 0,5 m?
c) Amplitud y velocidad de fase de las ondas cuya superposición podría producirla.
19. Calcular la energía cinética de una partícula oscilante de 3 g de masa a su paso por la posición de equilibrio,
siendo su periodo 0,2 s y su amplitud 4 cm. Representar dicha energía cinética en función del tiempo y de la
elongación.
20. Al suspender un cuerpo de 0,5 kg del extremo libre de un muelle que cuelga verticalmente, se observa un
alargamiento de 5 cm. Si, a continuación, se tira hacia abajo del cuerpo, hasta alargar el muelle 2 cm más, y se
suelta, comienza a oscilar.
a) Haga un análisis energético del problema y escriba la ecuación del movimiento de la masa.
b) Si, en lugar de estirar el muelle 2 cm, se estira 3 cm, ¿cómo se modificaría la ecuación de movimiento del
cuerpo?
CUESTIONES TEÓRICAS:
1. Una partícula de masa m, unida a un resorte de constante K, vibra con un m.a.s. Razonar cómo varía el
periodo de las oscilaciones si a) duplicamos m
;
b) duplicamos K
2.
a) ¿En qué instantes y posiciones se igualan las energías cinética y potencial para un móvil que describe
un movimiento armónico simple?
b) Cuando la elongación es igual a la mitad de la amplitud, ¿qué fracción de la energía total corresponde
a la energía cinética y qué fracción a la potencial en el movimiento armónico simple?
© Raúl González Medina
81
Apuntes de Física General Física 2º Bachillerato
3. Representar gráficamente dos ondas desfasadas π rad, una de doble frecuencia que la otra.
4. ¿Puede polarizarse el sonido? Razonar.
5. Una onda plana viene dada por la ecuación y(x,t) = 2 cos (100 t - 5 x ) (S.I.) ¿Es longitudinal o transversal?
Razonar.
6. ¿Cambian las magnitudes características de una onda electromagnética que se propaga en el aire al penetrar
en un bloque de vidrio? Si cambia alguna, ¿aumenta o disminuye? Razonar.
7. Comparar lo que ocurre cuando un haz de luz incide sobre un espejo y sobre un vidrio de ventana.
8. Dos rayos de luz inciden sobre un punto ¿Pueden producir oscuridad? Razonar.
9. ¿Por qué no observamos la interferencia de la luz producida por los dos faros de un automóvil?
a) Explicar cómo el fenómeno de difracción sirve para distinguir entre ondas y partículas.
b) El radar de un aeropuerto funciona mediante difracción, enviando ondas y midiendo la difracción que
los aviones producen en dichas ondas. ¿Sería efectivo el radar si funcionase con una λ de 10 km? Razonar.
10.
SOLUCIONES A LOS PROBLEMAS DEL TEMA 5: VIBRACIONES Y ONDAS.
0. a) A = 0,03 m , T = 0,2 s , υ = 5 Hz ; b) 0,2 s ; c) y0= 0,03 m , v y 0 = 0 m/s
1. a) x = 0,1 cos (10 t) m , ó x = 0,1 sen (10 t +1,57) m
; b) x = 0 m
; c) t = T/2 = 0,31 s
2. a) vI = 0,89 m/s ; xI = 0,18 m ; vMÁX = 2 m/s; b) 0,14 m
3.
a) λ = 0,63 m ; υ = 0,64 Hz ; ω = 4 rad/s ; A = 5 m ;
d) vy = -20 sen (4t + 10 x) (m/s) ;
4.
ay = -80 cos (4t + 10 x) (m/s2)
a) λ = 0,1 m ; υ = 5 Hz ; v = 0,5 m/s hacia la izda. ; b) vmáx = 0,628 m/s ; t = (n-2)/10 s
5. a) v = 2 m/s ;
6.
b) 0,4 m/s ; c) y = - 5 m ;
vy = 4π cos (8πt - 4πx) m/s
a) 0,2 m/s ;
b) υ = 1 Hz ; ω = 2π rad/s ; λ= 0,2 m ; T = 1 s ; k = 10π rad/m
c) vmáx =20π m/s ; amáx =40π2 m/s2
7.
y = 0,02 sen(120πt - 12πx) m
8.
1,2 m ; 400 m/s
9.
a) T = 0,68 s ; υ= 1,47 Hz ; b) v = 2,06 m/s
10.
a) λ = 31,4 m ; T = 0,125 s ; b) vmáx =20 m/s ; c) 1,5 rad
11.
a) 5 m/s ; b) y = 0,03 sen (50πt + 10πx) ; c) 4,7 m/s ; 740,22 m/s2
12.
y = 0,024 sen(80πt + 872,6x - 0,95) m ; λ = 0,0072 m ; T = 0,025 s
13.
vOE = 0 m/s ; υ= 3,97 Hz ; λ = 15,7 m ; A = 0,02 m ; vOV = 62,36 m/s
14.
a) υ = 20 Hz ; A = 0,25 cm ; λ = 6 cm ; vOV = 1,5 cm/s ; b) 3 cm ; c) 0 cm/s
15.
a) y = 10 cos π(2x + 10t) ; b) d = 0,5 cm ; A = 20 cm
16.
AOV = 5 cm ; vOV = 19,1 cm/s ; dnodos = 6 cm ; dnodo-vientre = 3 cm
17- AOE = 6 m ; AOV = 3 m ; xnodos = 2,5 m + nl/2 ; xanti = 0 m + nλ/2 ; vy = 7,4 π cos(4πt) m/s
18.
a) AOE = 0,2 m ; λ = 4 m ; υ= 15 Hz ; T = 0,066 s ; k = 0,5π rad/m ; b) t = n/30 s.
c) A = 0,1 m ; v = 60m/s
19. Ec = 2,37 ·10-3 J
20. a) x = 0,02 sen (14,14 t + 3π/2) m ; b) sólo cambia A, que toma el valor 0,03 m.
© Raúl González Medina
82
Apuntes de Física General Física 2º Bachillerato
TEMA 6: LA LUZ Y LAS ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS
6.1
6.2
6.3
6.4
6.5
Introducción histórica: modelos corpuscular y ondulatorio.
Ondas electromagnéticas. Espectro electromagnético.
Reflexión, refracción. Índice de refracción. Ley de Snell.
Dispersión de la luz.
Óptica geométrica. Formación de imágenes en lentes y espejos.
6.1 EVOLUCIÓN HISTÓRICA DE LAS IDEAS ACERCA DE LA NATURALEZA DE LA LUZ
A lo largo de la Historia las ideas sobre la naturaleza de la luz y de las distintas radiaciones ha ido
cambiando. En la antigüedad (Grecia), apenas se describen los fenómenos, dando explicaciones a veces místicas,
nada científicas. Los árabes (Al-Hazen, sobre el s. XI), describen los fenómenos de reflexión y refracción, pero
poco más.
En la primera mitad del s. XVII se describen las leyes experimentales (refracción, por Snell, en 1621).
Descartes publica su Dióptrica en 1637.
Hay que esperar hasta finales del S. XVII para encontrar teorías científicas sobre la naturaleza de la luz.
Huygens, en 1690, y Newton, en 1704, exponen teorías contrapuestas:
♦Huygens: Teoría ondulatoria: La luz se propaga como una onda mecánica longitudinal.
- Necesita un medio ideal, el éter.
- Propagación rectilínea debido a que la frecuencia de la luz es muy alta.
- Los colores se deben a diferentes frecuencias.
- La luz debe experimentar fenómenos de interferencia y difracción, característicos de las ondas.
- Su velocidad será menor en medios más densos.
Inconvenientes:- Al ser una onda mecánica, necesita de un medio material para poder propagarse por el espacio
entre el Sol y la Tierra . Este medio teórico, ideal, que nadie había observado, se le llamó éter,
debía tener extrañas propiedades: mucho más rígido que el vidrio y, sin embargo, no oponer
ninguna resistencia al movimiento de los planetas.
- Hasta esa fecha no se habían observado interferencias o difracción en la luz.
♦Newton: Teoría corpuscular: La luz está formada por partículas materiales
- Partículas de masa pequeña y velocidad muy grande.
- Propagación rectilínea debido a la gran velocidad de las partículas.
- Los colores se deben a partículas de distinta masa.
- No debe producir interferencia ni difracción.
- Su velocidad será mayor en medios más densos.
Inconvenientes:
No deja clara la refracción.
No explica cómo pueden cruzarse rayos de luz sin que choquen las partículas.
Por razones de prestigio científico, prevaleció la teoría de Newton, dejando olvidada la de Huygens. Hasta
que Young, en 1801, observó interferencias en la luz; Fresnel, en 1815, observa la difracción (y demuestra que las
ondas son transversales); y Foucault, en 1855, comprobó que la velocidad de la luz en el agua es menor que en el
aire. Se rescató entonces la teoría ondulatoria como válida.
© Raúl González Medina
83
Apuntes de Física General Física 2º Bachillerato
6.2 ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS. ESPECTRO ELECTROMAGNÉTICO
En 1865, el físico escocés James C. Maxwell publica su Teoría Electromagnética, en la que unificaba la
r
electricidad y el magnetismo. Como una consecuencia de dicha teoría, llegó a la conclusión de que los campos E
r
y B podían propagarse como ondas en el espacio. Predijo así la existencia de ondas electromagnéticas.
La velocidad de dichas ondas, dada por la expresión v =
1
µ ⋅ε
, daba como resultado un valor que
coincidía con el medido por Foucault para la luz.
Hertz, en 1887, comprobó experimentalmente la predicción de Maxwell, generando o.e.m. usando el
fenómeno de inducción electromagnética.
Emplea un generador de chispas. Consigue que, a cierta distancia, salte una chispa en un circuito receptor.
La chispa de alta frecuencia originada es, básicamente, una corriente variable. Esta corriente crea un campo
magnético variable en las inmediaciones de la chispa. Por inducción, se crea un campo eléctrico variable que
vuelve a generar un campo magnético variable... y así sucesivamente. La energía que se suministra a las cargas en
el receptor se ha transmitido a una cierta distancia. Tenemos, en resumen, una perturbación que se propaga por el
espacio como una onda.
Posteriormente, Hertz comprueba que las o.e.m. obedecen las leyes de reflexión y refracción, del mismo
modo que la luz. Se llega a la conclusión de que la luz es una onda electromagnética.
Características de las ondas electromagnéticas (o.e.m):
- Ondas armónicas.
- Transversales.
- No necesitan un medio material para propagarse.
r r
- Perturbaciones: Campos E y B variables
r r
E = E 0 ⋅ sen(ωt ± kx)
r r
B = B0 ⋅ sen(ωt ± kx)
r r r
E⊥B⊥v
- Las o.e.m. no están polarizadas, normalmente. Pueden polarizarse tanto lineal como circularmente.
v=
- Velocidad de propagación:
En el vacío c =
1
µo ⋅ ε o
1
µ ⋅ε
Depende de las características eléctricas y
magnéticas del medio
= 3 ⋅ 108 m ⋅ s −1
En cualquier otro medio v < c
Algunos n:
Índice de refracción de un medio ( n ):
Se define como el cociente entre la velocidad de la luz en el vacío, c, y la
velocidad en el medio considerado,
c
n= .
v
Siempre n ≥ 1
Vacío
Aire
Agua:
Etanol:
Cuarzo:
Vidrio:
Diamante:
1
~1
1,33
1,362
1,544
1,5 - 2
2,42
© Raúl González Medina
84
Apuntes de Física General Física 2º Bachillerato
ESPECTRO ELECTROMAGNÉTICO:
Las ondas electromagnéticas se clasifican según su frecuencia υ (o su longitud de onda λ ).
Esta clasificación es totalmente subjetiva. La división entre un tipo de o.e.m. y otro es artificial, basada en
los efectos que se aprecian o los posibles usos que tienen para el ser humano.
En la siguiente tabla están clasificados los distintos tipos en orden creciente de frecuencias (orden
decreciente de λ ). Hay que tener en cuenta que υ y λ son inversamente proporcionales υ =
υ (Hz)
Radiación
22
10
1021
1020
1019
1018
1017
1016
1015
1014
1013
1012
1011
1010
109
108
107
106
105
104
103
< 103
Rayos γ
Rayos X
Rayos UVA, UVB
Luz visible
Infrarrojo
microondas
Telecomunicaciones, microondas
Radio FM, Televisión, Telefonía
Ondas de radio AM
Ondas de radio largas
Ruido eléctrico
c
λ
.
λ (m)
10-14
10-13
10-12
10-11
10-10
10-9
10-8
10-7
10-6
10-5
10-4
10-3
10-2
10-1
1
101
102
103
104
105
> 105
ESPECTRO VISIBLE
υ (Hz)
7,7 – 6,6 ·1014
6,6 – 6,1 ·1014
6,1 – 5,2 ·1014
5,2 – 5,0 ·1014
5,0 – 4,8 ·1014
4,8 – 3,8 ·1014
Color
Violeta
Azul
Verde
Amarillo
Anaranjado
Rojo
λ (m)
3,9 – 4,6 ·10-7
4,6 – 4,9 ·10-7
4,9 – 5,8 ·10-7
5,8 – 6,0 ·10-7
6,0 – 6,2 ·10-7
6,2 – 7,8 ·10-7
Fuente: M.Alonso , E.J. Finn. Física. Edit. Pearson, 2000
Radioondas. Son ondas electromagnéticas producidas por circuito eléctricos. Su longitud de onda está
comprendida entre 10 km y 10 cm. Se emplean en radiodifusión y telecomunicaciones.
Microondas. Son producidas por vibraciones de moléculas. Su longitud de onda está comprendida entre 10 cm y
10-4 m. Se emplean en radioastronomía, comunicaciones (radar, maser).
Rayos infrarrojos. Son producidas en los cuerpos calientes y son debidas a oscilaciones de átomos. Su longitud de
onda oscila entre 10-4 m y 7500 A (1 A = 10-10 m). Se emplean en la industria y en medicina (termoterapia).
Luz visible. Son producidas por oscilaciones de los electrones más externos del átomo. Su longitud de onda va de
7500 A a 4000 A. Son percibidas por nuestra retina. Se emplean en la visión, láser, etc.
Rayos ultravioleta. Son producidas por oscilaciones de los electrones más internos. Su longitud de onda está
comprendida entre 4000 A y 30 A. Se emplean en medicina, por su poder ionizante. Son los responsables de las
quemaduras por el sol y de la aparición de los cáncer de piel. El Sol es un poderoso emisor de rayos ultravioleta.
Rayos X. Son producidos por oscilaciones de los electrones próximos al núcleo. Su longitud de onda es del orden
de 30 A - 0,4 A. Se utilizan en la industria, en medicina (radiografías y radioterapia). Son peligrosos para los
tejidos debido a su poder energético.
Rayos gamma ( γ ). Son producidos por oscilaciones nucleares, en los fenómenos radiactivos y en reacciones
nucleares. Tienen una longitud de onda del orden de 10-5 A. Tienen un gran poder de penetración, lo que hace que
sean nocivos para los seres vivos.
© Raúl González Medina
85
Apuntes de Física General Física 2º Bachillerato
6.3 REFLEXIÓN Y REFRACCIÓN DE LA LUZ: ÍNDICE DE REFRACCIÓN:
Recordamos brevemente las características de estos dos fenómenos, ya vistas en el tema de ondas.
REFLEXIÓN: Al llegar la onda incidente a la frontera con el medio 2, los puntos de la frontera generan
una nueva onda que se propaga por el medio 1.
La onda reflejada tiene igual υ , λ , y velocidad de propagación que la onda
incidente.
El ángulo que forma la dirección con la normal a la frontera es igual al de la
onda incidente.
Reflexión nítida y difusa:
Reflexión Nítida: Se da cuando la superficie es totalmente plana (pulimentada).
Entonces, rayos que lleguen paralelos producirán ondas reflejadas también paralelas.
(Ejemplo: espejo)
Reflexión Difusa: Se da cuando la superficie es rugosa. Los rayos que llegan
paralelos salen reflejados en todas direcciones. (ejemplo: superficie blanca). Esta
reflexión difusa es la que hace que podamos ver a los cuerpos desde cualquier lado.
REFRACCIÓN: Al llegar la onda incidente, los puntos de la frontera producen,
además de la onda reflejada, otra onda que se propaga por el medio 2 (onda refractada o
transmitida).
La onda refractada tiene igual frecuencia que la onda incidente (igual color), pero
se propaga a distinta velocidad. Para el caso de la luz, la velocidad en el vacío (o en el aire)
es la mayor posible ( c = 3 ·108 m/s) . En cualquier otro medio será menor. Por lo tanto la
λ será mayor.
v
λ=
υ
Índice de refracción de un medio (n): Se define como el cociente entre la velocidad de la luz en el vacío
y en dicho medio.
c
n=
Ángulo de refracción: Ley de Snell:
por la ley de Snell
n ≥1
v
Los ángulos de la onda incidente y refractada están relacionados
n1 ⋅ sen α i = n 2 ⋅ sen α refr
⇒
sen α i
n
= 2
sen α refr n1
Consecuencias:
α i = 0 incidencia perpendicular
α refr = 0
- Si n 2 > n1 → α refr < α i y viceversa. Esto ocurre, por ejemplo, al pasar del aire a otro medio.
- Si
- Al aumentar α i , α refr aumenta también. Si n1 > n 2 , llegará un momento en que α refr se haga 90º.
Entonces el rayo no pasa al medio 2. No tenemos refracción, sino sólo reflexión. A esto se le conoce como
reflexión total. El ángulo de incidencia para el que ocurre esto se le denomina ángulo límite α iL (o α L ) .
sen α L n 2
=
sen 90º n1
⇒
sen α L =
n2
n1
Ejemplos de reflexión total: Pez en el agua, fibra óptica.
© Raúl González Medina
86
Apuntes de Física General Física 2º Bachillerato
6.4 DISPERSIÓN DE LA LUZ:
Hemos tenido en cuenta hasta ahora que la velocidad de propagación de una onda (de la luz en este caso)
dependía exclusivamente del medio, no de la frecuencia. Esto es algo que no ocurre en los llamados medios
dispersivos. Así, en un medio como el vidrio, o la atmósfera, o el agua, la v depende de la frecuencia. Esto trae
como consecuencia que:
- Los diferentes colores (diferente υ ) se propagan a velocidad diferente.
- La longitud de onda cambia.
- Cada color tiene su propio índice de refracción ( n ), por lo que los ángulos de refracción serán diferentes.
Es decir, los rayos de luz de distintos colores se separan (se dispersan) al pasar por el vidrio, o por el agua.
La luz roja (> λ ) es la que menos se desvía. La luz azul-violeta la que más.
Fenómenos relacionados con la dispersión:
Descomposición de la luz en un prisma:
¿Por qué el cielo es azul? La luz azul es la que sufre más
dispersión al entrar en la atmósfera. Si no se dispersara nada,
veríamos el cielo negro incluso de día. Pero, debido a la
dispersión, cuando miramos a un punto del cielo, vemos la luz
que nos llega de él; y nos llega luz azul, que es la que más se
dispersa.
¿Por qué el Sol se ve rojizo al amanecer y al
atardecer?. Al amanecer y al atardecer, la cantidad de
atmósfera que deben atravesar los rayos de luz es mayor. Se
produce entonces una mayor dispersión. Se dispersan todos
los colores menos el rojo, que es el que vemos.
El arco iris: se produce mientras llueve o justo después de una lluvia,
cuando hay gran cantidad de minúsculas gotas de agua suspendidas en la
atmósfera. Cada gota de agua hace de prisma cuando incide la luz blanca del sol
sobre ella, dispersándola y separando los rayos de diferentes colores.
© Raúl González Medina
87
Apuntes de Física General Física 2º Bachillerato
6.5 ÓPTICA GEOMÉTRICA. FOMACIÓN DE IMÁGENES EN ESPEJOS Y LENTES.
El principio fundamental que tendremos en cuenta en este estudio: La luz se propaga en línea recta
mientras el n del medio permanezca constante.
Los rayos de luz se desviarán
- Al cambiar de medio.
- Si tenemos un medio con n variable (la atmósfera un día de temperatura
alta, dando lugar a los espejismos)
FORMACIÓN DE SOMBRAS Y PENUMBRAS:
Para un foco puntual: los rayos provienen de un solo punto. Tenemos únicamente sombra.
Para un foco extenso (el filamento de una bombilla, por ejemplo): Los rayos surgen de diferentes puntos.
Consideramos los puntos extremos del filamento. Así limitamos la zona de
sombra (nada de luz) y la zona de penumbra (algo de luz).
Ejemplo: eclipses de Sol y Luna
SISTEMAS ÓPTICOS:
Conjunto de medios materiales que atraviesan rayos luminosos. Estudiaremos las lentes y los espejos.
Partes del sistema óptico:
© Raúl González Medina
88
Apuntes de Física General Física 2º Bachillerato
Características de la imagen obtenida:
Puede ser:
- Real: Los rayos convergen en un punto tras pasar por el sistema óptico. Si colocamos una
pantalla o una película fotográfica en ese punto, veremos la imagen.
- Virtual: los rayos divergen (se separan) del sistema óptico. No convergen en ningún punto, sino
que "parece que provienen de un punto imaginario". Eso es la imagen virtual.
No se puede plasmar esta imagen en una pantalla o película de fotos. Hace falta una sistema que
haga converger esos rayos (ojo o cámara de fotos)
Puede estar:
- Derecha: Si se ve igual que el objeto
- Invertida: Si se ve al revés.
El tamaño de la imagen no tiene por qué ser igual que el del objeto, y su posición puede variar mucho.
Puntos focales o focos (F y F'):
Foco objeto ( F ): Es un punto situado en el eje óptico. Los rayos que pasan por él , salen paralelos al eje
óptico (horizontales)
Foco imagen ( F' ): También está situado en el eje óptico. Los rayos que lleguen horizontales, al salir del
sistema pasarán por este punto, o divergerán de él.
Reglas a usar en la formación de imágenes:
- Rayos que pasen por foco objeto F
salen paralelos al eje óptico
- Rayos que llegan paralelos al eje óptico
convergen o divergen del foco imagen F'
- Un rayo que llegue al centro del sistema óptico
sale con el mismo ángulo con el que llegó.
© Raúl González Medina
89
Apuntes de Física General Física 2º Bachillerato
LENTES:
Lentes convergentes:
(En general, lentes convexas: plano-convexas, biconvexas…)
Concentran las rayos
SÍMBOLO
Lentes divergentes:
(En general, lentes cóncavas: plano-cóncavas, bicóncavas…)
Al separar los rayos, produce siempre imagen virtual.
SÍMBOLO
ESPEJOS (o catoptrios):
Los focos F y F' coinciden. Sólo existe reflexión.
Espejo plano:
Los focos están en el infinito
Imagen virtual de igual tamaño, derecha
Espejos esféricos:
El foco está en el punto medio entre el espejo y su centro.
f =
Espejo convexo
R
2
Ejemplo: espejo retrovisor del coche
Espejo cóncavo
© Raúl González Medina
90
Apuntes de Física General Física 2º Bachillerato
POSICIÓN Y TAMAÑO DE LAS IMÁGENES. ECUACIONES DE ESPEJOS Y LENTES:
Podemos calcular la posición y tamaño de la imagen, y saber si está derecha o invertida, conociendo la
posición y tamaño del objeto, y la distancia focal de la lente o espejo. Usaremos para ello las ecuaciones de
Newton:
Posición:
1 1 1
+ =
s s'
f
Tamaño
y'
s'
=−
y
s
f : Distancia focal. Para espejos y lentes convergentes: f > 0.
Para lentes divergentes : f < 0
s : Posición del objeto. Distancia hasta la lente o espejo. Consideramos siempre s > 0 (siempre a la izda)
s’ : Posición de la imagen. Distancia hasta la lente o espejo. El criterio de signos varía para lentes o espejos.
Lentes: s’ > 0 : imagen a la derecha de la lente
s’ < 0 : imagen a la izquierda de la lente
Espejos: s’ > 0 : imagen a la izquierda de la lente
s’ < 0 : imagen a la derecha de la lente
Siempre que s’ > 0 : imagen real
s’ < 0 : imagen virtual
y : tamaño del objeto
y’ : tamaño de la imagen.
Si el signo de y’ y el de y coinciden: imagen derecha.
Si tienen distinto signo: imagen invertida.
EL OJO. DEFECTOS DE LA VISIÓN.
El ojo funciona como un sistema compuesto de dos lentes
convergentes (la córnea y el cristalino) y varios medios líquidos (el
humor acuoso y el humor vítreo), que hacen converger los rayos de luz
que entran por la pupila en una zona de la retina conocida como fóvea
o mancha amarilla. Allí, una serie de células especializadas (bastones,
que captan el claroscuro, y conos, que captan el color) envían la
información al cerebro a través del nervio óptico.
El ojo consigue enfocar la imagen cambiando la forma del
cristalino (abombándolo o estirándolo), modificando de este modo su
distancia focal.
Defectos de la visión:
Un ojo normal (ojo emétrope) consigue enfocar correctamente (hacer converger
los rayos de luz para formar la imagen sobre la retina). Si por un defecto de la
anatomía del ojo, éste enfoca los rayos de luz detrás o delante de la retina, la
Hipermetropía
visión se vuelve borrosa.
Si enfoca detrás de la retina, se habla de hipermetropía. Se corrige
usando una lente convergente, como indica la figura.
Si enfoca por delante de la retina, se habla de miopía. Se corrige
usando lentes divergentes.
El astigmatismo consiste en un defecto en la esfericidad del cristalino,
lo que hace que el enfoque varíe según la dirección en la que llegan los rayos. De este modo los rayos convergen en
puntos distintos, haciendo la imagen borrosa.
Miopía
© Raúl González Medina
91
Apuntes de Física General Física 2º Bachillerato
INSTRUMENTOS ÓPTICOS:
Son sistemas de lentes y/o espejos.
Lupa: Una sola lente convergente.
El objeto se coloca entre el foco F y la lente.
Imagen
- virtual
- derecha
- mayor que el objeto
Cámara fotográfica:
Consiste en una cámara oscura con una
lente convergente móvil.
El objeto está más alejado de la lente que F
Imagen
- real
- invertida
- menor que el objeto
La lente (objetivo) se mueve hasta que la imagen
se forme justo en la película (enfoque)
Anteojos; telescopios:
Sistema compuesto
- Objetivo : puede ser lente (telescopio refractor) o espejo (telesc. reflector)
- Ocular: siempre es una lente.
Fabricados para aumentar el ángulo de rayos que provienen de distancias muy lejanas (casi ∞ )
Anteojo astronómico: Posee dos lentes convergentes.
Imagen -Virtual (en el ∞ )
- invertida
- mayor que el objeto
Anteojo de Galileo: El ocular es una lente divergente
Imagen
- Virtual (en el ∞ )
- derecha
- mayor que el objeto
Telescopio reflector: El objetivo es un espejo cóncavo
Microscopio: Sistema compuesto (objetivo y ocular) convergentes.
Imagen
- Virtual
- invertida
- mayor que el objeto
Se varía la longitud del tubo hasta que
la imagen del objetivo caiga justo en Foc.
© Raúl González Medina
92
Apuntes de Física General Física 2º Bachillerato
PROBLEMAS TEMA 6: LA LUZ Y LAS ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS
1. Una onda electromagnética (o.e.m.) cuya frecuencia es de 1014 Hz y cuyo campo eléctrico, de 2 V/m de
amplitud, está polarizado en la dirección del eje OY, se propaga en el vacío, en el sentido negativo del eje OX.
a)Escribir la expresión del campo eléctrico de la onda electromagnética
b)Calcular la longitud de onda e indicar la dirección del campo magnético de la onda (c = 3 ·108 m/s)
2. Una o.e.m. plana (polarizada) tiene un campo eléctrico de amplitud 3 V/m y una frecuencia de 1 MHz.
Determinar la ecuación de onda que representa al campo eléctrico si la onda avanza en el eje Y y el campo está
polarizado en el eje Z. Calcula asimismo la dirección del campo magnético.
3. Una antena emite una onda electromagnética de frecuencia 50 kHz. a) Calcule su longitud de onda.
b) Determine la frecuencia de una onda sonora de la misma longitud de onda.
(c = 3 ·108 m/s ; vSonido = 340 m/s)
4. El espectro visible en el aire está comprendido entre las longitudes de onda 380 nm (violeta) y 780 nm (rojo).
a) Calcule las frecuencias de estas radiaciones extremas. ¿cuál de ellas se propaga a mayor velocidad?
b) Determine entre qué longitudes de onda está comprendido el espectro visible en el agua, cuyo índice de
refracción es 4/3.
(c = 3 ·108 m ·s-1 )
5. Una onda electromagnética tiene, en el vacío, una longitud de onda de 5 ·10-7 m.
a) Determine la frecuencia y el número de onda.
b) Si dicha onda entra en un determinado medio, su velocidad se reduce a 3c/4. Determine el índice de refracción
del medio y la frecuencia y la longitud de onda en dicho medio. (c = 3 ·108 m/s)
6. Un rayo de luz de 500 nm de longitud de onda, propagándose por el aire, entra en un bloque de vidrio formando
un ángulo de 30º con la normal. Sabiendo que el índice de refracción de ese vidrio es de 1,5, calcular :
a) Ángulo que forma con la normal el rayo refractado.
b) Longitud de onda del rayo refractado
c) Ángulo límite del vidrio. Explicar qué significa dicho ángulo.
Considerar que en el aire la luz se propaga a igual velocidad que en el vacío. (c = 3 ·108 m/s)
7. Un rayo de luz amarilla de 580 nm en el aire, pasa a un cierto cristal en el que su longitud de onda pasa a ser de
5·10-7 m.
a) Calcular razonadamente frecuencia y velocidad de propagación en cada medio.
b) Si el rayo refractado forma 30º con la normal a la frontera que separa a los dos medios, ¿Con qué ángulo incidió
el rayo? Razonar, realizando un esquema de rayos.
8. Un haz de luz roja penetra en una lámina de vidrio, de 30 cm de espesor, con un ángulo de incidencia de 45º
a) Explique si cambia el color de la luz al penetrar en el vidrio y determine el ángulo de refracción.
b) Determine el ángulo de emergencia (ángulo del rayo cuando sale después de atravesar la lámina). ¿Qué tiempo
tarda la luz en atravesar la lámina de vidrio? ( c = 3 · 108 m s –1 ; nvidrio = 1,3 )
9. Tenemos una lupa de 10 cm de distancia focal. Colocamos un objeto de 1 cm a cierta distancia de la lupa.
Razonar las características de la imagen y calcular su tamaño y posición si:
a) El objeto está a 15 cm de la lupa.
b) El objeto está a 5 cm de la lupa.
10.
a) Repetir el ejercicio anterior con una lente divergente de la misma distancia focal.
b) Repetir el ejercicio anterior con una espejo cóncavo esférico de 16 cm de radio.
CUESTIONES TEÓRICAS:
1. a) Describa brevemente el modelo corpuscular de la luz. ¿Puede explicar dicho modelo los fenómenos de
interferencia luminosa?
© Raúl González Medina
93
Apuntes de Física General Física 2º Bachillerato
b) Dos rayos de luz inciden sobre un punto ¿Pueden producir oscuridad? Explique razonadamente este hecho.
2. Los rayos X, la luz visible y los rayos infrarrojos son radiaciones electromagnéticas. Ordénelas en orden
creciente de sus frecuencias e indique algunas diferencias entre ellas.
3. ¿Cambian las magnitudes características de una o.e.m. que se propaga en el aire al penetrar en un bloque de
vidrio? Si cambia alguna, ¿aumenta o disminuye? ¿por qué?
4. a) Enuncie las leyes de reflexión y refracción de la luz. Explique las diferencias entre ambos fenómenos.
b) Compare lo que ocurre cuando un haz de luz incide sobre un espejo y sobre un vidrio de ventana.
5. a) Las ondas electromagnéticas se propagan en el vacío con velocidad c. ¿Cambia su velocidad de propagación
en un medio material? Defina el índice de refracción de un medio.
b) Sitúe, en orden creciente de longitud de onda, las siguientes regiones del espectro electromagnético: infrarrojo,
rayos X, ultravioleta y luz visible. Dos colores del espectro visible: rojo y verde, por ejemplo, ¿pueden tener la
misma intensidad? ¿y la misma frecuencia?
6. Una lupa produce imágenes directas de objetos cercanos e invertidas de los lejanos. Utilizando trazado de rayos,
¿Dónde está el límite de distancia del objeto a la lente entre ambos casos? ¿Son las imágenes virtuales o reales?
Razonar.
7. Explicar por qué, cuando introducimos una cuchara en un vaso de agua, la vemos como si estuviera rota (o
doblada).
8. Podemos considerar el cristal de una pecera esférica como una lente convergente. Razonar cómo es que vemos a
un pez del interior con un tamaño mayor que el que realmente tiene.
9. Explicar el funcionamiento del espejo retrovisor exterior de un coche. ¿De qué tipo de espejo se trata?
SOLUCIONES A LOS PROBLEMAS:
r
r
1. a) E = 2 ⋅ sen( 2π ⋅1014 t + 2 ⋅10 6 x ) j
r
r
2. E = 3 ⋅ sen( 2π ⋅ 10 6 t − 0 ,021 ⋅ y ) k
3. a) λ = 6000 m
4.
r
b) λ = 3 ·10-6 m ; B polarizado en el eje z
V
m
V
m
r
B polarizado en el eje x
b) λ sonido= 0,0068 m
a) υ rojo = 3,85 ·1014 Hz ; υ violeta = 7,89 · 1014 Hz
ambas a igual velocidad, si no hay dispersión.
b) λ rojo = 584 nm ; λ violeta = 285 nm
5. υ = 6 · 1014 Hz ; k = 12,57 ·106 rad/m ;
b) n = 4/3 ;
υ no varía ; λ = 375 nm
6. a) α 2 = 19,47º ; b) λ = 333 nm ; c) α L = 41,8º
7. a) En aire: υ = 5,17 · 1014 Hz,
v = 3 ·108 m/s
;
En cristal: υ = 5,17 · 1014 Hz,
v = 2,6 ·108 m/s
b) α 1 = 19,47º
8. a) no cambia, la frecuencia es la misma. α 2 = 32,95º
9. a) imagen real, invertida. s’= 0,3 m , y’= -0,02 m ;
b) α 3 = 45º
t = 1,57 ns
b) imagen virtual, derecha. s’= -0,1 m , y’= 0,02 m
10. a) 1) im. virtual, derecha. s’= -0,06 m , y’= 0,004 m , 2) im. virtual, derecha. s’= -0,033 m , y’= 0,066 m
b) 1) im. real, invertida. s’= 0,17 m , y’= -0,011 m ; 2) im. virtual, derecha. s’= -0,13 m , y’= 0,026 m
© Raúl González Medina
94
Apuntes de Física General Física 2º Bachillerato
TEMA 7 : FÍSICA NUCLEAR:
7.1
7.2
7.3
7.4
7.5
Núcleo atómico; fuerzas nucleares.
Estabilidad nuclear; energía de enlace.
Radiactividad; leyes.
Reacciones nucleares; fisión y fusión.
Aplicaciones de la radiactividad y de las reacciones nucleares.
7.1 NÚCLEO ATÓMICO; FUERZAS NUCLEARES.
Introducción: Modelos atómicos.
Desde la antigüedad han ido evolucionando las ideas sobre la constitución de la materia. En la Grecia clásica
compitieron dos creencias: frente a los que creían que la materia podía dividirse indefinidamente, estaban los atomistas,
como Demócrito, que defendían que existía algo indivisible (átomo) que era la base de la estructura de la naturaleza.
Hay que esperar hasta el s. XIX para encontrar la primera teoría científica. John.
Dalton (1813), vuelve a proponer la teoría atómica para explicar estructura de
la materia, reacciones químicas, etc. Ahora bien, supone que el átomo es
totalmente indivisible, sin estructura interna.
En 1897, Joseph John Thomsom descubre una partícula que surge del átomo
en ciertos experimentos (tubo de rayos catódicos): el electrón. Por tanto, incluye
esta partícula dentro de la estructura del átomo. Su modelo es conocido con el
nombre del "pastel de pasas".
E. Rutherford, en 1910, bombardeando una lámina metálica con partículas
alfa, descubre que el átomo es en su mayor parte espacio vacío. La mayor parte
de la masa está concentrada en su núcleo, de tamaño muy pequeño. Construye
el llamado "modelo planetario". Supone que el núcleo es algo compacto, sin
estructura interna.
Posteriormente fueron descubiertas nuevas partículas del núcleo.
Primero el protón y luego el neutrón (James Chadwick, 1932), llevaron a la
conclusión de que el núcleo también posee estructura interna. Actualmente se
estudia dicha estructura, descubriéndose nuevas partículas subatómicas (más de
doscientas).
(Este modelo planetario, que incluye un núcleo con protones y neutrones, y una corteza con electrones, se sigue
conociendo como modelo de Rutherford. Es el que usaremos en este tema)
™ Estructura del átomo: partículas subatómicas:
−
- Corteza atómica: electrones ( −1 e ). Carga: - 1,6 ·10-19 C ; Masa: 9,1 ·10-31 kg . Interviene en
reacciones químicas, radiación térmica, efecto fotoeléctrico...
0
- Núcleo:
+
protones ( 1 p ). Carga: 1,6 ·10-19 C ; Masa: 1,6725 ·10-27 kg ( = 1,0073 uma)
1
neutrones ( 0 n ) . Carga:
1
neutro
; Masa : 1,6748 ·10-27 kg ( = 1,0086 uma)
( 1 uma = 1,66 · 10-27 kg)
•
Características del núcleo:
R = 1,4 · 10-15 · A1/3 (m)
Tamaño: radio ~ 10-15 m (1/100000 del tamaño del átomo) ;
18
3
Densidad: d ~ 1,5 · 10 kg/m
Número atómico ( Z ) : nº de protones. Caracteriza al elemento químico
Número másico ( A ) : nº de nucleones = nº protones + nº neutrones ( A = Z + N ) .
Indica la masa aproximada del núcleo, en uma.
© Raúl González Medina
95
Apuntes de Física General Física 2º Bachillerato
™ Clasificación de los núcleos:
Se entiende por nucleido (o núclido) cada uno de los tipos de núcleo que podemos encontrarnos (tanto natural
como artificial). Cada nucleido viene caracterizado por Z y A, y su representación es
y A tendremos:
Isótopos: = Z,
X .Según el valor que tomen Z
≠ A ( ≠ N). Son átomos del mismo elemento, con diferente masa
Isóbaros : ≠ Z , = A. De distinto elemento
Isótonos: = N .
A
Z
57
26
Fe ,
58
27
60
30
Zn ;
60
29
12
6
C ;
14
6
C
Cu
Co
Isómeros: = Z, = N, = A. Pero las partículas están distribuidas de forma diferente en su interior
( ≠ energía)
™ Fuerzas nucleares: interacción fuerte:
La interacción nuclear fuerte fue propuesta por Hideki Yukawa en 1934.
Las partículas nucleares (los protones en particular) pueden mantenerse dentro del núcleo a tan
corta distancia unos de otros, gracias a la interacción nuclear fuerte, que vence, en esas distancias, a
la repulsión eléctrica entre cargas del mismo signo. Recordamos brevemente las características
fundamentales de esta interacción:
- Afecta a nucleones
- Muy corto alcance (∼ 10-15 m)
- La más fuerte de las interacciones de la naturaleza.
- Independiente de la carga
- Atractiva para distancias < 10-15 m, prácticamente nula para distancias mayores.
Debido a esta interacción fuerte, las energías de enlace de los núcleos son del orden de los MeV, muy grandes en
comparación con los pocos eV de un electrón en un átomo. Esto nos marca una diferencia de energía entre los procesos
químicos (a nivel atómico, con fuerza eléctrica) y los procesos nucleares (nivel nuclear, fuerza nuclear fuerte).
(Nota: eV (electrónvoltio): unidad de energía equivalente a 1,6 ·10-19 J. La energía de las partículas
subatómicas se da en estas unidades y sus múltiplos: keV = 103 eV, MeV = 106 eV.)
7.2
ESTABILIDAD NUCLEAR: ENERGÍA DE ENLACE
La respuesta al problema de la estabilidad nuclear se basa en la existencia de la interacción fuerte. Pero también
podemos plantearnos la cuestión en términos de energía. Un núcleo es estable porque su energía es menor que la energía
de las partículas por separado (su suma). Es decir, porque al formarse, ha desprendido energía. Y si queremos romper el
núcleo, debemos darle dicha energía.
™ Equivalencia masa-energía:
Albert Einstein, en 1905, como una de las
consecuencias de su Teoría de la Relatividad, expuso que la masa de un cuerpo puede
transformarse íntegramente en energía, y viceversa. La energía que puede extraerse de una
donde la constante c
masa dada m viene dada por la expresión E = m ⋅ c
8
coincide con la velocidad de la luz en el vacío. ( c = 3 ·10 m/s )
Este principio de equivalencia tiene una consecuencia importante: en una reacción (sobre
todo en reacciones nucleares) la masa no se conserva. Sí se conservará, en cambio, la
energía total del sistema (teniendo en cuenta la energía equivalente a la masa).
2
™ Defecto másico: Energía de enlace:
Cuando se forma un núcleo mediante la unión de los protones y
neutrones que lo componen, se observa que la masa nuclear es menor que la suma de las masas de las partículas por
separado. Es decir, se ha perdido masa en el proceso de formación (sin embargo, las partículas siguen siendo las
mismas). A esa masa perdida se le denomina defecto másico (∆m) . Aunque sea una masa perdida, se considera
su valor positivo. Se calcula con la expresión (
∆m = m NÚCLEO − ∑ m PARTÍCULAS
).
¿Que ha ocurrido con esta masa? Pues se ha transformado en energía, la cual es desprendida en forma de
radiación. La cantidad de energía desprendida al formarse el núcleo a partir de sus partículas se denomina energía de
enlace (Ee), y se calcula mediante
E e = ∆m ⋅ c 2
Si bien es una energía desprendida (correspondería que fuera negativa), se toma en valor absoluto.
También puede entenderse la energía de enlace como la energía que hay que suministrar al núcleo para
descomponerlo en sus partículas. (entonces cobra sentido el signo positivo)
© Raúl González Medina
96
Apuntes de Física General Física 2º Bachillerato
™ Energía de enlace por nucleón ( En ) : Representa el
E
promedio de energía desprendida por cada partícula que
En = e
A
compone el núcleo
Esta magnitud es la que nos indica la estabilidad de un núcleo. Cuanto
mayor sea la energía desprendida por cada partícula, mayor estabilidad tendrá el
núcleo.
En la figura 1 viene representada la energía de enlace por nucleón para los
distintos nucleidos, en función del número de partículas (A, nº másico). Se observa
que crece al aumentar la masa atómica en los núcleos ligeros, hasta llegar al Hierro
(son estos los núcleos más estables). Sin embargo, para los núcleos pesados decrece
al aumentar la masa nuclear. Esto tiene una consecuencia importante: Si unimos dos
núcleos ligeros para formar uno más pesado (fusión nuclear), en el total del proceso
se desprenderá energía. Y si rompemos un núcleo pesado en dos más ligeros (fisión
nuclear) también se desprenderá energía. Los procesos contrarios no son viables
energéticamente.
Fig. 1
™ Núcleos estables y radiactivos: Relación N - Z:
Entre los nucleidos conocidos, unos son estables (no se descomponen en
otros espontáneamente) y otros son inestables (o radiactivos), descomponiéndose,
soltando partículas, y transformándose en otros nucleidos al cabo de un tiempo.
Representando los nucleidos en una gráfica Z - N (Figura 2), vemos que los
nucleidos estables caen dentro de una zona que corresponde a Z = N para núcleos
ligeros, y N ~ 1,5 · Z para núcleos pesados. Los nucleidos inestables caen fuera de esta zona.
Zona de
estabilidad
N
Fig. 2
7.3 RADIACTIVIDAD; LEYES.
Por radiactividad se entiende la emisión de radiación (partículas, luz) por parte de algunas sustancias, que se
denominan radiactivas. Esta emisión puede ser espontánea (radiactividad natural), o producida por el hombre
(radiactividad artificial).
Este fenómeno puede ser observado por primera vez por el científico
francés Henri Bequerel en 1896. Observó que unas sales de Uranio colocadas
en su mesa de laboratorio ennegrecían las placas fotográficas que se encontraban
dentro de uno de los cajones de la mesa. También Marie y Pierre Curie, en
1898, descubrieron nuevas sustancias que producían este efecto: el Polonio y el
Radio. Posteriormente se han ido descubriendo más, hasta los aprox. 1300
nucleidos radiactivos conocidos actualmente.
La radiactividad es un fenómeno que ocurre a nivel del núcleo. Éste, ya sea de forma natural o forzada, emite
partículas de su interior. Esto trae como consecuencia que el número de partículas del núcleo cambie (puede cambiar Z y
A). Es decir, la sustancia inicial puede transformarse en otra sustancia totalmente diferente.
™ 7.3.1
RADIACTIVIDAD NATURAL:
Se conocen básicamente tres tipos de radiactividad natural, representadas con α , β
y γ . La primera diferencia notable entre ellas es la carga eléctrica. Los científicos Soddy y
Fajans, en 1913, llegaron a las siguientes leyes de desplazamiento:
1- Cuando un núcleo emite una partícula α , se transforma en un núcleo del elemento situado
dos lugares a la izquierda en la tabla periódica. Es decir, su nº atómico disminuye en
dos unidades.
2- Cuando un núcleo emite una partícula β , se transforma en un núcleo del elemento situado
un lugar a la derecha en la tabla periódica. O sea, su nº atómico aumenta una unidad.
3- Cuando un núcleo emite radiación γ , continúa siendo del mismo elemento químico.
© Raúl González Medina
97
Apuntes de Física General Física 2º Bachillerato
Conociendo la constitución de los tres tipos de radiación pueden explicarse estas leyes:
α
(Partículas pesadas) Constituida por núcleos de 2 He (es decir, dos protones y dos neutrones)
Carga eléctrica ++; masa : 4,0026033 uma .
4
:
Al emitir una
β−
:
α , el núcleo se queda con
A
Z
Z' = Z - 2 , A' = A – 4
X →
A− 4
Z −2
Y + 42 α
−
(Partículas ligeras) Formada por electrones ( −1 e ). Carga eléctrica: - e ; masa: 0,000549 uma.
¿Cómo puede salir un electrón del núcleo? La responsable de esta aparente contradicción es la interacción
nuclear débil. Como ya tratamos brevemente cuando estudiamos las interacciones fundamentales de la
naturaleza, esta fuerza actúa transformando unas partículas en otras. En este caso, es un neutrón del núcleo el
que se transforma, se descompone.
0
1
0
El electrón emitido se forma dentro del núcleo mediante la reacción
La partícula
0
0
n → 11p + + −10 e − + 00 ν e
ν e (llamada neutrino) fue introducida teóricamente por el físico alemán Wolfang Pauli en 1930,
para salvar el que se cumpliera el principio de conservación de la energía y del momento angular. Fue detectado
experimentalmente en 1957.
Tanto el electrón como el neutrino escapan del átomo, pero el protón se queda, atraído por la fuerza nuclear
fuerte. Como consecuencia, Z aumenta en una unidad y el número de nucleones se queda igual:
Z' = Z + 1,
γ
:
A
Z
A' = A
X →
Y + −01 β − + 00 ν e
A
Z +1
(radiación electromagnética, fotones) Sin masa, sin carga. El núcleo simplemente pierde energía. Sigue siendo un
A
Z
núcleo del mismo elemento químico.
X ∗ → ZAX + 00 γ
La energía de los fotones liberados está relacionada con la frecuencia
Eγ = h ⋅ υ
donde h = 6,6 ·10
-34
υ de la radiación mediante la expresión
J·s , es la constante de Planck.
™
Otras emisiones radiactivas: la desintegración β + y la antimateria.
La partícula β + , (llamada positrón o antielectrón), fue descubierta por el estadounidense C. Anderson en
1932, estudiando los rayos cósmicos, partículas de alta energía que provienen del espacio. Es idéntica al electrón en
cuanto a su masa, pero tiene carga positiva (sería 10 e + ). También procede de la interacción nuclear débil, al
descomponerse un protón del interior del núcleo, mediante la reacción
1
1
p + → 01n + 10 e + + 00 ν e
Así, tras la descomposición, en el núcleo tenemos un protón menos y un neutrón más, con lo que Z se reduce
en una unidad y A permanece igual.
A
Z
X →
Y + 01 β + + 00 ν e
A
Z −1
Antimateria: El positrón es la primera de toda una serie de partículas descubiertas posteriormente,
conocidas como antimateria. Por cada tipo de partícula existente en la naturaleza (protones, electrones, neutrinos...),
existe su tipo correspondiente de antipartícula: una partícula con igual masa y características, pero con carga de
signo opuesto. Tendremos así el antiprotón ( −11 p − ), el antineutrón (que coincide con el neutrón), el antineutrino
( 00 ν e ) ...
Cuando una partícula interacciona con su correspondiente antipartícula, ambas se desintegran, desaparecen,
toda su masa se transforma íntegramente en energía (fotones). Si recordamos la ecuación de Einstein E = m ⋅ c 2 , de
la reacción de 1 kg de materia con otro kg de antimateria se obtendrían 1,8 ·1017 J de energía (es decir, más o menos
la energía necesaria para mantener encendidas un millón de bombillas de 100 W durante 57 años). Sería una fuente
de energía incomparable. Sin embargo, actualmente la antimateria sólo se produce partícula a partícula, en los
laboratorios o en los rayos cósmicos procedentes del espacio, y se desintegran casi instantáneamente al chocar con la
© Raúl González Medina
98
Apuntes de Física General Física 2º Bachillerato
7.3.2
LEY DE DESINTEGRACIÓN RADIACTIVA:
Al emitir radiación, la sustancia se va transformando en otra diferente. Esta transformación no es instantánea, ya
que no todas las desintegraciones se producen a la vez. Además, es un proceso aleatorio, no sabemos en qué instante
exacto se desintegrará un átomo en concreto. Pero, con mayor o menor rapidez, el número de átomos de la sustancia
inicial va disminuyendo (y aumentando el de la sustancia final). La rapidez de esta disminución depende de dos factores:
Naturaleza de la sustancia: Esta influencia viene marcada por la llamada constante de desintegración ( λ ).
Se mide en s-1. Cada sustancia radiactiva tendrá su λ . Indica la probabilidad de que un núcleo se desintegre en
la unidad de tiempo.
Número de átomos que tengamos en cada instante:
N
Así, la ley de desintegración queda
La magnitud
dN
= −λ ⋅ N
dt
dN
se denomina actividad, e indica la rapidez con que se desintegra la sustancia (es decir, el
dt
número de desintegraciones por segundo que ocurren en un instante).
( bequerel, Bq ).
La actividad se mide, en el S.I., en desintegraciones / s
1 Ci = 3,7 · 1010 Bq
Otra unidad es el curie ( Ci )
Desarrollando la ley de desintegración (integrando)
dN
= −λ ⋅ N
dt
→
→
dN
= −λ ⋅ dt →
N
N
= e −λ⋅t
N0
→ N = N 0 ⋅ e −λ⋅t
t
dN
N
=
−
∫No N ∫0 λ ⋅ dt → ln N − ln N 0 = −λ ⋅ t → ln N 0 = −λ ⋅ t
N
N = No ⋅ e− λ ⋅ t
No : nº de átomos inicial.
Se trata de una disminución exponencial. Inicialmente,
cuando el número de átomos es elevado, mayor será también el
número de desintegraciones, con lo que el decrecimiento es
rápido. A medida que N va disminuyendo, hay menos
probabilidad de que un átomo concreto de desintegre, con lo
que el ritmo disminuye y la pendiente se va haciendo menor.
Lógicamente, a medida que N de la sustancia inicial
disminuye, aumenta al mismo ritmo la cantidad de la sustancia
final.
Otras magnitudes características de la desintegración radiactiva
Vida media (
τ
): Promedio de tiempo que tarda en desintegrarse un núcleo. [ τ ] = s.
Estadísticamente se considera el tiempo que tarda la cantidad de átomos original (N0) en reducirse hasta
τ=
1
λ
La ley de desintegración radiactiva puede expresarse entonces
N0
e
−t
N = N0 ⋅e τ
Periodo de semidesintegración ( T 1 ): Tiempo que tarda la cantidad inicial de núcleos en reducirse a la
2
mitad. Se mide en s. (S.I).
N = N0 ⋅ e− λ ⋅ t →
N0
ln 2
− λ ⋅ T1 / 2
− λ ⋅ T1 / 2 1
= N0 ⋅ e
→ e
= → − λ ⋅ T1 / 2 = − ln 2 → T1 / 2 =
2
2
λ
T1 / 2 =
© Raúl González Medina
ln 2
λ
T1 / 2 = ln 2 ⋅ τ
99
Apuntes de Física General Física 2º Bachillerato
Hay que tener en cuenta que, si al cabo de
T1 , la muestra de átomos original se ha reducido a la mitad, al cabo
2
de otro tiempo
T1 , no se habrán transformado la otra mitad, sino la cuarta parte (la mitad de la mitad); y en el siguiente
2
periodo la octava... y así, en teoría, hasta el infinito. Siempre tendremos, en teoría, átomos originales sin desintegrar. En
la práctica, consideramos que la muestra se ha desintegrado casi en su totalidad cuando ha transcurrido un tiempo
suficiente como para que las desintegraciones apenas sean medibles.
Una sustancia radiactiva se dice estable cuando su vida media es mayor que la edad del universo (unos 13800
millones de años).
Familias radiactivas:
Los nucleidos radiactivos de masas elevadas (
232
90
238
235
Th , 237
93 Np , 92 U , 92 U ) , no desprenden una única partícula
hasta alcanzar la estabilidad (normalmente un isótopo del plomo, el elemento pesado más estable). Van desprendiendo
sucesivamente partículas α y/o β , pasando la transformación por diferentes núcleos (entre 10 y 14) hasta llegar al
plomo. Este conjunto de nucleidos intermedios es lo que se denomina serie o familia radiactiva. Cada uno de los
elementos que aparecen arriba tiene su propia serie radiactiva.
Para el torio,
232
90
Th , su masa atómica es múltiplo de 4. Su serie radiactiva se denomina 4n. Todos los núcleos
intermedios por los que pasa al ir soltando partículas
La serie del neptunio,
237
93
α
β , tienen igualmente masa atómica múltiplo de 4.
y/o
Np , es 4n+1. La del
238
92
U , 4n+2 ; y la del
235
92
U , 4n+3. La siguiente tabla
resume los núcleos iniciales y finales de cada serie.
A
Nombre
4n
Torio
Neptunio (artificial)
Uranio - Radio
Uranio - Actinio
4n+1
El. inicial
232
90
Th
237
93
Np
4n+2
238
92
4n+3
235
92
U
U
Período
El. final
1,4 ·10 años
208
82
Pb
2,2 ·106 años
209
83
Bi
4,5 ·109 años
206
82
Pb
7,2 ·108 años
207
82
Pb
10
7.4 REACCIONES NUCLEARES: FISIÓN Y FUSIÓN (Radiactividad artificial)
Se pueden conseguir artificialmente transformaciones en los núcleos atómicos "bombardeándolos" con partículas
(α, p, n, etc). El núcleo absorbe (capta) dicha partícula y emite otras, transformándose así en otro elemento diferente
(puede llegar incluso a romperse en varios núcleos más pequeños).
El estudio de estas reacciones lo inició Rutherford en 1919, al bombardear nitrógeno con partículas α , y
observar que aparecía oxígeno y se desprendían protones.
En 1934, el matrimonio Joliot-Curie, bombardeando boro con part. α , observaron que el elemento resultante,
N-13, volvía a desintegrarse por sí solo, dando lugar a C-13. Habían conseguido fabricar un elemento radiactivo.
Actualmente se fabrican muchos isótopos radiactivos, con amplias utilidades en industria y medicina (radioterapia,
tratamiento de cáncer).
En toda reacción nuclear se van a conservar (además de energía y cantidad de movimiento, como en toda
colisión)
- La carga eléctrica total antes y después del choque
- El número total de nucleones (ΣA)
- La suma de los números atómicos (ΣZ)
La masa, sin embargo, no se va a conservar, ya que parte de la masa se convierte en energía (defecto másico), ya sea en
forma de fotones, o como energía cinética de las partículas resultantes.
© Raúl González Medina
100
Apuntes de Física General Física 2º Bachillerato
Representación de reacciones nucleares:
Se representan de forma similar a una reacción química, indicando los núcleos y partículas iniciales a la izquierda
de la flecha, y las partículas resultantes a la derecha de la flecha. Por ejemplo:
27
13
Al + 24He →
14
7
N + 24He →
30
15
17
8
P + 01n
De forma abreviada
O + 11H
27
13
Al ( α , n )
14
7
N ( α , p ) 178O
30
15
P
Es posible que tengamos que ajustar la ecuación, es decir, que se produzca más de una partícula del mismo tipo.
Existen muchos tipos de reacciones nucleares (p,α) , (n,p) , (p,n) , (d,n) , (d,2n) , etc...
Energía de la reacción ( Er ): Es la energía que se absorbe o se desprende en la reacción nuclear. Se debe a
la transformación de parte de la masa de las partículas en energía. Así, se calculará a través del defecto másico mediante
E r = ∆m ⋅ c 2
la ecuación de Einstein
∆m = ∑ m PRODUCTOS − ∑ m REACTIVOS
Las energías desprendidas en las reacciones nucleares son del orden de los MeV por cada núcleo que reacciona.
Es una energía muy grande si la comparamos con la obtenida mediante reacciones químicas (del orden de eV por cada
molécula que reacciona). También, para poder penetrar en el núcleo, la partícula que choque con él deberá tener una
energía del mismo orden (MeV), sobre todo si tiene carga +. Estas grandes energías no se consiguieron en los laboratorios
hasta la invención de los aceleradores de partículas (hemos visto su funcionamiento en el tema de electromagnetismo).
Para estudiar la viabilidad de una reacción nuclear, se usa la magnitud Q ( Q = − E r ). Así:
- Si Q >0 (Er <0), la reacción es exotérmica, y se producirá naturalmente.
- Si Q <0 (Er >0), la reacción es endotérmica, y no se producirá naturalmente. Habrá que suministrar
energía a las partículas para que se dé la reacción
7.4.1
FISIÓN NUCLEAR:
Rotura de un núcleo en otros más pequeños, al ser bombardeados (normalmente con neutrones). Generalmente
va acompañada de desprendimiento de varios neutrones y energía.
Este fenómeno se da para núcleos pesados (más pesados que el hierro). Desprenden energía al romperse
(fisionarse) en otros núcleos más pequeños. Principalmente
U y
235
92
239
94
Pu
Ejemplo: reacciones que se producen
en las centrales nucleares:
U + 01n →
144
56
U + 01n →
137
52
235
92
235
92
Ba +
Te +
89
36
97
40
Kr + 3 01n
Zr + 2 01n
Las energías desprendidas son del
orden de 200 MeV por cada núcleo de uranio
fisionado.
El núcleo capta el
neutrón
El núcleo queda
inestable
Fisión
Como se puede observar, cada reacción desprende un mayor número de neutrones de los que absorbe. Estos
neutrones podrán chocar con nuevos átomos de Uranio, volviéndose a producir la fisión, con desprendimiento de energía
y más neutrones, y así sucesivamente. A esto se le denomina reacción en cadena. En las centrales nucleares, la
reacción en cadena se controla mediante barras de control, de sustancias que absorben el exceso de neutrones (Cadmio
principalmente). Si no se controla el número de neutrones, la energía desprendida es tan grande que se produce una
explosión nuclear. Otro inconveniente es que los productos de la reacción son radiactivos, con vidas medias elevadas.
© Raúl González Medina
101
Apuntes de Física General Física 2º Bachillerato
Centrales nucleares de fisión:
En toda central de producción de energía eléctrica, esta se genera por inducción electromagnética (fenómeno
estudiado en el tema de electromagnetismo), haciendo girar el rotor de una dinamo o alternador. La diferencia entre los
diferentes tipos de central (térmica, hidroeléctrica, eólica, mareomotriz...) está en cómo se hace girar dicho rotor.
En una central nuclear, se aprovecha la energía desprendida en la fisión de
U o
235
92
239
94
Pu , para calentar
agua, llevarla a la ebullición, y hacer que el vapor mueva una turbina, haciendo funcionar el alternador.
En la figura se observa el esquema básico de un tipo de central nuclear (con reactor de agua a presión)
En el núcleo del reactor, las barras de combustible (que contienen entre un 1% y un 4% de óxido de uranio o
plutonio), sufren la fisión, generando núcleos más ligeros y desprendiendo neutrones. Estos productos salen a gran
velocidad, y son frenados al chocar con las moléculas de la sustancia moderadora que rodea las barras de combustible
(agua pesada D2O, normalmente). Estos choques calientan el agua, y esta energía es la que se aprovecha para generar
electricidad. Además, el moderador es necesario para que se produzca la reacción en cadena, ya que los neutrones
producidos son demasiado rápidos, y deben frenarse para poder fisionar los núcleos de uranio
No es el agua del moderador la que entra en ebullición, ya que contiene sustancias radiactivas. La energía
obtenida se va transmitiendo de un circuito cerrado de agua a otro (lo que se denomina intercambiador de calor). El
vapor producido finalmente mueve la turbina, conectada a un generador de corriente alterna.
Las barras de control, de cadmio generalmente, son necesarias para mantener la reacción a ritmo adecuado. El
Cadmio absorbe los neutrones en exceso, impidiendo que la reacción en cadena se descontrole. Introduciendo o
retirando barras se acelera, ralentiza o incluso se detiene la reacción.
© Raúl González Medina
102
Apuntes de Física General Física 2º Bachillerato
7.4.2
FUSIÓN NUCLEAR:
Unión de dos núcleos ligeros (menos pesados que el hierro) para formar uno solo. Va acompañada de
desprendimiento de energía y, en ocasiones, de otras partículas. Las más comunes:
1
1
H + 23He → 24He + 11H
;
2
1
H + 12H → 24He
La energía desprendida en estas reacciones es de aprox. 18 MeV, una
cantidad menor que la producida en la fisión de un núcleo de Uranio. Pero en
un gramo de Hidrógeno se producirá un mayor número de reacciones que en
un gramo de Uranio, ya que tenemos mayor cantidad de átomos. En total, la
energía obtenida por cada gramo que reacciona es unas 4 veces superior en el
caso de la fusión. Además, el combustible es más barato (se encuentra en el
agua), prácticamente inagotable, y no tiene residuos perjudiciales ni
radiactivos.
;
2
1
H + 13H → 24He + 01n
Fusión de dos
núcleos de deuterio
Sin embargo, para conseguir que choquen los núcleos de Hidrógeno se necesita que tengan una gran energía
cinética. Esto hace que el hidrógeno tenga que estar a gran temperatura (aprox. cien millones de ºC, en un estado de la
materia conocido como plasma). Ahí radica la dificultad. Es muy complicado mantener los núcleos a esa temperatura el
tiempo necesario para que se produzca la fusión. Ahora bien, estas reacciones termonucleares se dan espontáneamente
en el centro de las estrellas, ya que allí sí se consigue esa temperatura.
Centrales nucleares de Fusión: Aunque están todavía en fase experimental, los diferentes tipos que existen
(tokamacs, stellarators, JET) consisten básicamente en este procedimiento. El combustible (hidrógeno) es calentado hasta
estado de plasma (los átomos se desprenden de sus electrones, quedando con carga +), y es mantenido en movimiento
mediante un campo magnético. Mediante un láser u otro procedimiento, se consigue la energía necesaria para que se
produzca la fusión. Hasta ahora no se ha conseguido que la reacción se automantenga.
Tokamak
Stellarator
© Raúl González Medina
103
Apuntes de Física General Física 2º Bachillerato
7.5
7.5.1
LA FÍSICA NUCLEAR Y LA SOCIEDAD.
APLICACIONES DE LA RADIACTIVIDAD Y LAS REACCIONES NUCLEARES
Aplicaciones de los isótopos radiactivos:
Los radioisótopos se comportan química y biológicamente igual que sus isótopos estables, entrando a formar
parte en los mismos compuestos. Además, son fácilmente detectables, lo que permite seguirlos en cualquier proceso.
Algunas utilidades:
Medicina: Localización y tratamiento de tumores cancerosos, destrucción de tejidos malignos (son más sensibles
a la radiación), estudio de circulación sanguínea, tratamiento de leucemia (P-32)
Biología: Estudio de fotosíntesis (C-14), Estudio de acción de antibióticos en el organismo (marcadores de
azufre), Estudio de fijación de calcio en los huesos, Estudio de la migración de las aves, Producción de esterilidad en
especies nocivas, plagas...
Química e Industria: Análisis químico y de reacciones, Control de insecticidas y otros productos, Control de
espesores y desgaste de planchas metálicas, paredes, etc. ; Control de circulación de petróleo en oleoductos (Ba-140),
Control de movimientos de aire y agua en la atmósfera (trazadores), Determinación de edad de rocas y fósiles (C-14,
método Libby-Arnold), (U-238)
Obtención de energía. Centrales nucleares
La energía de reacción desprendida en la fisión de algunos elementos (U, Pu) puede usarse para calentar agua,
transformarla en vapor a alta presión y hacer que éste mueva la turbina de un generador de corriente eléctrica. Ese es el
funcionamiento básico de una central nuclear.
En España, las centrales nucleares generan el 33% de la energía eléctrica.
7.5.2
INCONVENIENTES DE LA RADIACTIVIDAD Y LAS REACCIONES NUCLEARES:
Efectos de las radiaciones sobre los seres vivos
Las radiaciones (α, β, γ, X...), al incidir sobre la materia, pueden
ionizarla, provocar reacciones, destruir
moléculas, células, microorganismos.
Afectan a las proteínas y bases nitrogenadas del ADN, produciendo alteraciones de funcionamiento, mutaciones,
cáncer, destrucción celular, esterilidad...
Afectan a las células reproductoras, dando lugar a mutaciones hereditarias, alteración de la información genética,
malformaciones congénitas...
Peligros de las centrales nucleares:
Los residuos radiactivos de las centrales nucleares de fisión pueden producir los efectos antes citados. Además,
tienen vidas medias en torno a varios cientos o miles de años, por lo que el riesgo de radiación se prolonga todo ese
tiempo. Lo único que hasta ahora se puede hacer con ellos es almacenarlos en bidones de plomo forrados de hormigón y
guardarlos en un sitio “seguro” (cosa que no puede garantizarse a priori).
Además, existe el riesgo de un accidente en la central que provoque un mal funcionamiento del refrigerante o de
las sustancias moderadores de neutrones, con lo que la reacción en cadena se descontrola y se produce la fusión del
reactor. El peligro de esto no está tanto en la explosión (muy grave) como en la contaminación radiactiva del terreno, el
agua, y el aire (nube radiactiva, que puede extenderse en un radio de miles de km)
Las centrales nucleares de fusión de hidrógeno, actualmente en proyecto, no tendrían los inconvenientes de las
centrales de fisión (no producen residuos radiactivos, trabajan con menor cantidad de combustible, por lo que es menor el
riesgo de explosión). Sin embargo, aún no resultan rentables.
© Raúl González Medina
104
Apuntes de Física General Física 2º Bachillerato
AMPLIACIÓN: QUARKS Y LEPTONES. PARTÍCULAS SUBATÓMICAS.
En los años 60 del siglo XX, una serie de experiencias que medían la interacción entre protones y electrones con
bastante precisión (dispersión de electrones), arrojaron el sorprendente resultado de que los protones no tienen una
distribución uniforme de carga en su interior. Es más, se comportan como si una parte del protón tuviera carga negativa.
Por otro lado, el desarrollo y mejora de los aceleradores de partículas permitió aumentar la energía de las
colisiones entre partículas y núcleos. Esto hizo que entre los años 30 y 60 se fuera descubriendo toda una serie de
partículas subatómicas desconocida hasta entonces. Algunas de masa muy pequeña (o sin masa, como el neutrino ν ),
otras de masa intermedia entre electrones y protones (muones µ, mesones π y K) e incluso partículas de masas muy
grandes comparadas con el protón ( Λ , Σ , Ω ... ). En consecuencia, la idea tan simple de que toda la naturaleza estaba
formada sólo por tres partículas fundamentales se venía abajo.
La teoría de los quarks fue introducida por Murray Gell-Mann y George Zweig en 1964. Propone, básicamente,
que la materia está formada por dos tipos de partículas: quarks y leptones.
Quarks: Sufren la interacción nuclear fuerte. Son los constituyentes de protones y neutrones (formados por 3 quarks
cada uno). Existen 6 tipos de quarks.
Leptones: No sufren la interacción nuclear fuerte. Los electrones y neutrinos pertenecen a esta clase. Se conocen 6 tipos
de leptones.
En esta tabla tenemos un resumen de los tipos de partículas conocidos hasta ahora y que componen lo que se denomina
el “modelo estándar”.
Leptones
Quarks
Leptones
Quarks
Leptones
Quarks
-
Electrón ( e )
Neutrino e ( νe)
Up
(u)
Down
(d)
Muón
(µ)
Neutrino µ ( νµ )
Strange ( s )
Charme ( c )
Tau
( τ )
Neutrino τ ( ντ )
Top
(t)
Bottom
(b)
carga
-1
0
2/3
- 1/3
-1
0
- 1/3
2/3
-1
0
2/3
- 1/3
masa
5,5·10 uma (0,51 MeV)
0 (?)
?
?
0,114 uma ( 106 MeV)
0 (?)
?
?
1,92 uma
(1784 MeV)
0 (?)
?
?
-4
(Nota: cada partícula posee su
correspondiente antipartícula, con lo
que el número total de partículas es el
doble del que aparece en la tabla)
Todas las partículas estables que constituyen la materia ordinaria que conocemos están formadas sólo por el primer grupo
de partículas ( electrón, neutrino e, quarks up y down) y sus correspondientes antipartículas. El protón está formado por
dos quarks u y un quark d (la carga total será 2/3 + 2/3 -1/3 = +1); y el neutrón por dos quarks d y un quark u ( carga
total = -1/3 -1/3 +2/3 = 0 ).
Los otros deos grupos de partículas, de superior energía, sólo aparecen en los rayos cósmicos y en colisiones de altas
energías en los aceleradores. Se cree que en las etapas iniciales del universo tras el Big Bang, cuando la temperatura del
universo era inmensamente mayor, los tres grupos de partículas eran igual de comunes.
PARTÍCULAS RESPONSABLES DE LAS INTERACCIONES:
Una teoría planteada inicialmente por Heisemberg y desarrollada
posteriormente por varios científicos propone que las interacciones
(gravitatoria, electromagnética, nuclear fuerte y débil) se deben al
intercambio de partículas. Por ejemplo, dos cargas eléctricas
interaccionan intercambiando fotones (que visto de otro modo son
vibraciones del campo electromagnético). Surge así un nuevo
grupo de partículas responsables de las interacciones. Algunas han
sido observadas; otras, aún no.
Interacción
gravitatoria
Electromagnética
Nuclear fuerte
Nuclear débil
Partícula
gravitón (no observada)
fotón
gluón (no observada)
Bosones W y Z
© Raúl González Medina
105
Apuntes de Física General Física 2º Bachillerato
PROBLEMAS TEMA 7: FÍSICA NUCLEAR
1.- El Cloro tiene dos isótopos naturales. El 75,53% de los átomos es de
24,47% restante de
37
17
35
17
Cl , cuya masa es de 34,96885 uma, y el
Cl , de masa 36,96590 u. Calcular la masa atómica del Cloro.
2.- Determinar el defecto de masa y la energía de enlace por nucleón del isótopo
[Datos:
m( 24
He ): 4,0026033 u ;
m( 11
H ): 1,00785252 u;
m( 01
4
2
He .
n ): 1,0086654 u ]
3. a) Indicar las partículas constituyentes de los dos nucleidos 13 H y 23He y explicar qué tipo de emisión radiactiva
permitiría pasar de uno a otro.
b) Calcular la energía de enlace para cada uno de los nucleidos e indicar cuál de ellos es más estable.
(mHe-3 = 3,016029 u ; mH-3 = 3,016049 u ; mn = 1,0086 u ; mp = 1,0073 u ; 1 u = 1,66·10-27 kg ; c = 3·108 m s-1)
4.- Un gramo de carbón, al arder, produce 7 kcal. Calcular la cantidad de carbón necesaria para producir la misma
energía que 1 kg de 235
92 U , si la fisión de un núcleo de este elemento libera 200 Mev.
5.- El 23892U se desintegra emitiendo, sucesivamente, las siguientes partículas antes de alcanzar su forma estable:
α, β, β, α, α, α, α, α, β, β, α, β, β, α. ¿Cuál es el nucleido estable que se alcanza?
6.- La vida media del 146 C es 5730 años. ¿Qué fracción de una muestra de 146 C permanecerá inalterada después de
transcurrir un tiempo equivalente a cinco vidas medias?
7.- El periodo de semidesintegración de 2451Cr es de 27 días y, en un instante, tenemos 4,13 ·1021 átomos de ese
elemento. Calcular:
a) Vida media del emisor radiactivo.
b) Número de átomos que quedará al cabo de un año.
8.- Se tienen 50 mg de 131
53 I , cuya vida media es de 8 días. Calcular:
a) Cantidad del isótopo que había hace un mes y cantidad que habrá dentro de dos meses.
b) Periodo de semidesintegración.
c) Actividad.
(NA = 6,02 · 1026 kg-mol -1 = nº de partículas que hay en 1 mol-kg) (considerar los meses de 30 días).
9.- La vida media del
días?
Th es de 24 días. ¿Qué proporción de Torio permanecerá sin desintegrarse el cabo de 96
234
90
10.- La constante de desintegración radiactiva de una preparación es 1,44 ·10-3 h-1 ¿Cuánto tiempo tardará en
desintegrarse el 75 % de la masa original?
235
11.- En una mezcla encontrada en la actualidad, de isótopos de U, el 238
92 U representa el 99,3 % y el 92 U el 0,7 %.
Sus vidas medias son 4,56 · 109 años y 1,02 · 109 años respectivamente. Calcular:
a) Tiempo transcurrido desde que se formó la Tierra, si eran igualmente abundantes en ese momento.
b) Actividad de 1 g. de 238
92 U
12.- Formular la reacción
7
Li ( p, γ ) 8Be y calcular la frecuencia de la radiación emitida.
Datos: m(8Be): 8,00777 u; m(7Li ): 7,01818 u ; m(1H): 1,00813 u; h = 6,63 · 10-34 J·s
141
13.- Una de las reacciones posibles de fusión del 239
94 Pu cuando capta un neutrón es la formación de 58 Ce y
liberándose 3 neutrones. Formular la reacción y calcular la energía liberada por cada núcleo fisionado.
141
96
Datos: m( 239
94 Pu ): 239,052158 u; m( 58 Ce ): 140,908570 u; m( 42 Mo ): 95,90499 u;
96
42
Mo ,
m( 1 n ): 1,008665 u; m( −10 e − ): 0,000549 u
0
© Raúl González
Medina
106
Apuntes de Física General Física 2º Bachillerato
14.- En un proceso nuclear se bombardean núcleos de 37 Li con protones, produciéndose dos partículas α. Si la
energía liberada en la reacción es exclusivamente cinética. ¿Qué energía cinética, en MeV, tendrá cada una de las
partículas α? [m( 37 Li ): 7,01818 u; m( 11 H ): 1,00813 u; m( 24 He ): 4,0026033 u ]
15.- Completar las siguientes reacciones nucleares:
a)
23
11
c)
12
6
Na + 24He →
26
12
Mg +
?
C ( d ,n ) ?
b)
105
48
d)
55
25
Cd + −10 e →
?
Mn ( n , γ ) ?
16.- El 234
90Th se descompone según α, β, β, α, α, α, α, β, α, β. Escribir todas las reacciones y decir cuál es el
núcleo estable final.
17.- El análisis de 146 C de una momia egipcia revela que presenta 2/3 de la cantidad habitual en un ser vivo.
¿Cuándo murió el egipcio momificado? (T de semidesintegración = 3970 años)
18.- Suponga una central nuclear en la que se produzca energía a partir de la siguiente reacción nuclear de fusión:
4 24He →
16
8
O
a) Determine la energía que se produciría por cada kg de Helio que se fusionase.
b) Razone en cuál de los dos núcleos anteriores es mayor la energía de enlace por nucleón.
( c = 3 ·108 ms-1 ; 1 u = 1,66 ·10-27 kg ; m (He) = 4,0026 u ; m (O) = 15,9950 u. )
CUESTIONES TEÓRICAS:
1. Explicar la diferencia entre la cantidad de energía desprendida en una reacción química y en una reacción nuclear.
2. ¿Puede un núcleo de Ca fisionarse? Razonar.
3. Diferencias entre fusión y fisión nucleares.
4. ¿Por qué no existen átomos de número másico muy grande (por ej. A = 1000) ?
5. Razonar si las siguientes afirmaciones son ciertas o falsas:
a) Una vez transcurridos dos periodos de semidesintegración, todos los núcleos de una muestra radiactiva se han
desintegrado.
b) La actividad de una muestra radiactiva es independiente del tiempo.
6. La masa de un núcleo atómico no coincide con la suma de las masas de las partículas que los constituyen. ¿Es
mayor o menor? ¿Cómo justifica esa diferencia?
SOLUCIONES A LOS PROBLEMAS
1.
35,457 uma
2. ∆m = -5,05 · 10-29 kg ; En = 1,136 · 10-12 J ( 7,1 MeV)
3. a) radiación β− ;
b) Ee (H) = 7,89 MeV ; Ee (He) = 6,53 MeV. Más estable H.
4.
2,8 · 106 kg carbón.
206
5.
82 Pb
6.
7.
8.
0,674 %
a) 38,95 días ;
b) 3,52 · 1017 átomos
a) Hace 1 mes 9,78 · 1021 át., en 2 meses 1,27 ·1017 át.;
b) 5,545 días;
c) 3,32 · 1014 Bq.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
16.
1,83 %
962,7 h.
a) 6,5 · 109 años ;
b) 17593 Bq
21
υ = 4,18 · 10 Hz
( -737,5 MeV)
∆E = -18 · 10-10 J
9,85 MeV
Nucleido estable final 210
82 Pb
17. Hace 2300 años aprox.
18. a) 8,657 ·1013 J/kg
b) Mayor en el O.
© Raúl González Medina
107
Apuntes de Física General Física 2º Bachillerato
TEMA 8. NATURALEZA DE LA LUZ. DUALIDAD ONDA-PARTÍCULA.
8.1
8.2
8.3
8.4
8.5
Naturaleza de la luz; teorías clásicas.
Dificultades de la teoría clásica; radiación térmica, efecto fotoeléctrico, espectros atómicos.
Cuantización de la energía; fotones
Dualidad onda-corpúsculo; hipótesis de De Broglie
Principio de indeterminación de Heisemberg; límites de validez de la física clásica.
8.1 NATURALEZA DE LA LUZ. TEORÍAS CLÁSICAS
A lo largo de la Historia las ideas sobre la naturaleza de la luz y de las distintas radiaciones ha ido
cambiando. En la antigüedad (Grecia), apenas se describen fenómenos, dando explicaciones a veces místicas,
nada científicas. Los árabes, sobre el s. XI, describen los fenómenos de reflexión y refracción, pero poco más.
Hay que esperar hasta finales del S. XVII para encontrar teorías científicas. Huygens, en 1690, y
Newton, en 1704, exponen teorías contrapuestas:
Huygens: La luz se propaga como una onda mecánica (teoría ondulatoria), a través de un medio ideal,
el éter. Supone que la luz debe experimentar fenómenos de interferencia y difracción, característicos de las
ondas. Su velocidad será menor en medios más densos.
Newton: La luz está formada por partículas materiales (teoría corpuscular). No debe producir
interferencia ni difracción. Su velocidad será mayor en medios más densos.
Por razones de prestigio científico, prevaleció la teoría de Newton, dejando olvidada la de Huygens.
Hasta que Young, en 1801, observó la difracción de la luz; y Foucault, en 1855, comprobó que la velocidad de
la luz en el agua es menor que en el aire. Se rescató entonces la teoría ondulatoria como válida.
En 1865, Maxwell, como consecuencia de su teoría electromagnética, llegó a la conclusión de que la
r
r
propagación de los campos E y B como onda electromagnética tenía las mismas características que la luz
(hasta su velocidad). Por lo tanto, la luz fue considerada como una onda electromagnética transversal, que no
necesitaba ningún medio material para propagarse.
8.2 DIFICULTADES EN LA TEORÍA CLÁSICA: RADIACIÓN TÉRMICA,
FOTOELÉCTRICO Y ESPECTROS ATÓMICOS
EFECTO
A finales del S. XIX, parecía que los conceptos fundamentales en Física estaban perfectamente
determinados. La teoría electromagnética de Maxwell daba cuenta de las interacciones eléctrica y magnética,
dando a la luz (a la radiación, en general) un carácter claramente ondulatorio. Sin embargo, existían algunos
fenómenos que no quedaban explicados mediante las llamadas "teorías clásicas". Fenómenos que iban a cambiar
las bases del conocimiento científico. Vamos a estudiar dos de ellos: la radiación térmica y el efecto
fotoeléctrico:
♦ Radiación térmica: (Radiación electromagnética que emite un cuerpo debido a su temperatura)
Cuando calentamos un cuerpo (un trozo de hierro, por ejemplo) observamos que, al aumentar
considerablemente la temperatura, se pone "al rojo", es decir, emite luz de ese color. También el filamento de
una bombilla se pone incandescente al calentarse. Y no sólo a altas temperaturas. A cualquier temperatura se
emite radiación. El cuerpo humano emite radiación infrarroja (no visible) por el hecho de estar a 37 ºC. Un
hecho que se observa es que, a mayor temperatura, la frecuencia de la radiación emitida es mayor (y su λ es
menor).
Para estudiar la radiación térmica se propone un modelo ideal llamado cuerpo negro. Un cuerpo negro
sería aquel capaz de:
- Absorber toda la radiación que incida sobre él (es decir, no reflejaría nada de luz, por lo que se vería
completamente negro).
- Emitir la mayor cantidad de radiación que pudiera emitir cualquier cuerpo a cualquier temperatura.
© Raúl González Medina
108
Apuntes de Física General Física 2º Bachillerato
Aún siendo algo ideal, una buena aproximación de un cuerpo negro
sería algo parecido a lo que indica la figura 7.1. Una cavidad de paredes
absorbentes con un pequeño agujero al exterior. Prácticamente toda
radiación que entre por el agujero quedará dentro; después de varias
reflexiones quedará absorbida. También, si calentamos la cavidad, emitirá
radiación.
Representando la energía emitida en función de la temperatura a la
que está el cuerpo y de la λ de la radiación emitida, se llega a una gráfica
como la de la figura 7.2. Se observa que, a cada temperatura, el máximo de
energía se emite en una frecuencia diferente.
Ley de Wien: A mayor temperatura, la λ correspondiente al
máximo de emisión es menor.
Hubo varios intentos de explicar la forma de estas gráficas. Tanto
Wien como Rayleigh-Jeans consiguieron explicar partes, (λ muy grandes,
radiaciones de poca energía). Pero a partir de la radiación ultravioleta no
encajaba con ninguna teoría clásica. Es lo que se dio en llamar "catástrofe
ultravioleta". Habría que cambiar la teoría, los conceptos sobre la
naturaleza, para poder explicar este fenómeno.
♦ Efecto fotoeléctrico:
Este fenómeno consiste en la emisión de electrones por parte de un
metal cuando sobre él incide radiación electromagnética. Dichos electrones
reciben el nombre de fotoelectrones. Fue descubierto por Hertz en 1887,
haciendo incidir radiación UVA sobre Zinc.
Colocando un dispositivo como el de la figura 7.3, es posible que
los electrones emitidos pasen a formar parte de un circuito eléctrico,
pudiendo así medir la intensidad de corriente mediante un amperímetro.
• Según la teoría clásica, los electrones van absorbiendo poco a
poco la energía de la onda electromagnética incidente, hasta que tienen
suficiente energía para vencer la atracción del núcleo y saltar hasta el ánodo. Es decir, se esperaría que:
- La emisión de los electrones no sea instantánea
- Dicha emisión debe darse para cualquier frecuencia de la onda incidente.
- La energía cinética de los fotoelectrones debe depender únicamente de la cantidad de radiación, de su
intensidad, no de la frecuencia.
• Sin embargo, lo que se observa realmente en el experimento es:
- La emisión de los electrones es instantánea
- Empleando radiación con una frecuencia inferior a una cierta frecuencia (llamada frecuencia umbral,
υo), no se observa emisión de electrones (no se mide corriente)
- La frecuencia umbral depende únicamente del tipo de metal que utilicemos.
- La energía cinética de los electrones depende de la frecuencia de la radiación, no de su intensidad (de
la cantidad de luz).
- La intensidad de corriente (nº de electrones) sí depende de la intensidad de la radiación.
Estos hechos, claramente en desacuerdo con la teoría clásica, hacen que tengamos que plantearnos
seriamente el carácter ondulatorio de la radiación electromagnética, de la luz. En este experimento, se comporta
más como una partícula que como una onda.
© Raúl González Medina
109
Apuntes de Física General Física 2º Bachillerato
♦ Espectros atómicos:
Ya hemos visto el fenómeno de la radiación térmica y los problemas que acarreaba a la teoría clásica.
Pero aún existía un hecho más, relacionado con la radiación térmica, que no estaba explicado: los espectros
atómicos.
Al calentar un cuerpo emite radiación (luz). Pero esta radiación está formada por ondas
electromagnéticas de diferentes frecuencias. Con algún aparato apropiado (un prisma, para la luz visible),
podremos separar las diferentes frecuencias y obtener una imagen en una pantalla o película fotográfica. Esta
imagen obtenida es lo que se conoce como espectro de emisión.
Del mismo modo, podemos entender el espectro de absorción. Ahora no calentamos la sustancia, sino
que hacemos incidir radiación sobre ella (en estado gaseoso). La sustancia absorberá ciertos tipos de luz (ciertas
frecuencias), que aparecerán como zonas negras en la imagen del espectro.
Según la Teoría clásica: Se espera que los espectros de emisión y de absorción sean continuos. Es decir, que
se emitan todas las frecuencias (una gradación continua de "colores", sin interrupciones)
Lo observado experimentalmente es:
El concepto de espectro es introducido por Isaac Newton en su obra Óptica (1704) .
En 1859, Bunsen y Kirchhoff estudian espectros de emisión de diferentes sustancias al ser calentadas.
Descubren que:
- Los espectros observados son discontinuos. Sólo se observan ciertas líneas (ciertas
frecuencias).
- Cada elemento químico tiene su propio espectro característico (esto permitirá identificar los
componentes de una sustancia a partir de la luz que emite).
En 1885, Balmer , estudiando el espectro de emisión del Hidrógeno, llega a una ley empírica que
relaciona algunas longitudes de onda emitidas.
Rydberg) y
1 
 1
= R ⋅  2 − 2  ; donde R = 1,0973 ·107 m-1 , (cte. de
λ
n 
2
1
n = 3, 4, 5, 6, 7.
Posteriormente otros científicos (Lymann, Braquett, Paschen, Pfund), descubren otras leyes para otros
grupos de líneas. En general, se pudo llegar a una ley empírica para todos los grupos:
 1
1
= R⋅ 2 − 2
n
λ
n2
 1
1

,


donde n1 y n2 son números naturales, y n2 > n1.
La teoría clásica sobre la luz era incapaz de explicar la discontinuidad de los espectros y las leyes
empíricas obtenidas.
8.3 CUANTIZACIÓN DE LA ENERGÍA: FOTONES
Estos tres fenómenos vistos anteriormente fueron explicados, respectivamente, por Max Planck (1900),
Albert Einstein (1905), y Niels Böhr (1913). Einstein recibiría el premio Nobel de Física por su explicación
del efecto fotoeléctrico (curiosamente, nunca lo recibió por su más famosa teoría, la de la relatividad). Los
conceptos introducidos por estos científicos, junto con otros, sentarían las bases de una nueva visión de la
naturaleza: la Teoría Cuántica.
♦ Explicación de Planck de la radiación térmica:
La teoría clásica, que consideraba que la radiación tenía carácter ondulatorio, suponía que la energía se
emitía de forma continua, como corresponde a una onda. Sin embargo, hemos visto que esto no explicaba la
radiación térmica.
© Raúl González Medina
110
Apuntes de Física General Física 2º Bachillerato
Planck supone algo completamente diferente. Propone:
- La energía no se emite de forma continua, sino discreta, es decir, "concentrada" en cuantos o paquetes
de energía (algo muy similar a lo que ocurriría si se emitieran partículas).
- La energía correspondiente a un cuanto depende de la frecuencia de vibración de los átomos del material.
Viene dada por la expresión
E = h⋅υ
( h = 6,63 · 10
-34
J ·s cte de Planck )
- Por lo tanto, la energía emitida no puede tener cualquier valor. Sólo podrá emitirse un número entero de
cuantos de energía. ET = n ⋅ h ⋅ υ . Se dice entonces que la energía emitida está cuantizada.
Teniendo en cuenta estas suposiciones, Planck obtiene la explicación teórica de toda la gráfica
completa. Hubo que admitir, por lo tanto, que la emisión (y también la absorción, es decir, los intercambios de
energía) de radiación no es continua, sino que está cuantizada.
(Una unidad que usaremos para medir energías es el electronvoltio (eV). se define como la energía que
-19
adquiere un electrón al ser acelerado por una diferencia de potencial de un Voltio. (1 eV = 1,6 · 10 J)
♦ Explicación de Einstein del efecto fotoeléctrico:
Einstein aplicó las hipótesis de Planck para explicar este fenómeno. Pero llegó aún más allá en su
ruptura con las teorías clásicas. Supuso que no sólo los intercambios de energía están cuantizados, sino que la
propia radiación está constituida por "partículas", llamadas fotones, que transportan la energía de forma
discreta, concentrada en cuantos de energía. Es decir, supuso un comportamiento corpuscular para la luz, al
menos en este fenómeno.
La energía de un fotón viene dada por la expresión de Planck
Ef = h⋅υ
Su cantidad de movimiento (a partir de la hipótesis de De Broglie)
p=
Ef
c
Suponiendo que la luz se comporta como una partícula, al chocar ésta con un electrón, le transmite
instantáneamente toda su energía. Evidentemente, esta energía que cede al electrón dependerá de la frecuencia
de la radiación.
Así, la energía de un fotón se emplea, en primer lugar, en arrancar al electrón del metal. Esta energía
necesaria, que depende del tipo de metal, se denomina trabajo de extracción o función trabajo (Wextr, o Φo).
También puede definirse como la energía mínima que debe tener el fotón para extraer un electrón del metal. Así,
tendremos que Wextr = h ⋅ υ 0 , donde υ 0 es la frecuencia umbral característica del metal. (También existe la
longitud de onda umbral λ 0 =
c
).
υ0
La energía sobrante se emplea en darle energía cinética (velocidad) a los electrones emitidos. De este
modo, llegamos a la expresión:
E f = Wextr + Ece
→ h ⋅ υ = h ⋅ υ 0 + 12 m ⋅ v 2
También se usa en la forma
Ece = h ⋅ ( υ − υ 0 )
La gráfica de la figura se corresponde con esta última
fórmula.
La pendiente de las rectas obtenidas (una distinta para cada
metal) es igual a la constante de Planck.
© Raúl González Medina
111
Apuntes de Física General Física 2º Bachillerato
Potencial de frenado (∆Vfr):
La Ec y, por tanto, la velocidad de los electrones, se calcula experimentalmente frenando a los
electrones mediante un campo eléctrico, hasta que pierdan toda su energía cinética. La
diferencia de potencial necesaria se denomina potencial de frenado (diferencia de potencial
mínima que hay que colocar en la pila para que los fotoelectrones que saltan queden frenados y
no lleguen al otro extremo del tubo).
Según esto
∆Ec = − ∆Ep → 0 − Ec e = −e ⋅ V fr
→ V fr =
Ece
e
La gráfica correspondiente al potencial de frenado sería la misma
que la de la energía cinética. La pendiente de las rectas sería ahora
h
e
Con esto se explica fácilmente lo observado:
- La emisión de electrones es instantánea, ya que el fotón, al chocar, cede instantáneamente su energía.
- Existe una frecuencia umbral por debajo de la cual no hay emisión de electrones. Con una frecuencia
inferior, la energía del fotón será menor que el trabajo de extracción, y el electrón no saltará.
- La frecuencia umbral depende únicamente del material, ya que la función trabajo es algo característico
de cada metal
- La energía cinética de los electrones depende de la frecuencia de la radiación. Basta con mirar la
expresión.
- El número de electrones emitidos (la intensidad de corriente) depende de la intensidad de la radiación,
es decir, del número de fotones que choquen. a mayor nº de fotones, mayor nº de electrones
podrá saltar.
Por lo tanto, hemos llegado a la conclusión de que, en ciertos fenómenos, la luz se comporta como una
partícula. No quiere decir esto que siempre se comporte como una partícula. En la difracción se comporta como
una onda. Se dice que la luz tiene un comportamiento dual. Tendremos que plantearnos entonces si la distinción
tan clara que conocemos entre onda y partícula sigue siendo igual de clara cuando nos introducimos en el
mundo microscópico (subatómico).
♦ Explicación de Böhr de los espectros atómicos:
Sabemos que la radiación emitida por una sustancia es originada por oscilaciones (saltos) de los
electrones de sus átomos. Según los modelos clásicos para el átomo (Rutherford), los electrones pueden ocupar
cualquier órbita dentro del átomo y, por lo tanto, dar cualquier salto y emitir radiación de cualquier frecuencia.
Eso daría lugar a un espectro continuo.
Böhr introduce unos postulados en el modelo. Según él:
-
La órbita del electrón no puede estar a cualquier distancia del núcleo. Sólo son permitidas ciertas
órbitas, en las que el momento angular ( LO = r ⋅ m ⋅ v )
es múltiplo de la cantidad
(cuantización de las órbitas)
-
Mientras el electrón permanece en una órbita, su energía permanece constante.
© Raúl González Medina
112
h
.
2π
Apuntes de Física General Física 2º Bachillerato
-
-
El átomo emite radiación cuando un electrón salta de una órbita de mayor energía (más lejana) a
otra de menor energía (más cercana). La energía emitida y la frecuencia están relacionadas por la
expresión de Planck E = h ⋅ υ
Cuando el átomo absorbe radiación, la energía de dicha radiación se emplea en el salto de un
electrón hacia una órbita más alejada.
Con esto se explica la discontinuidad de los espectros. Como sólo están permitidas ciertas órbitas, sólo
estarán permitidos ciertos saltos, y por lo tanto, sólo se emitirá radiación de ciertas frecuencias muy concretas.
Lo mismo ocurre con la absorción.
Aplicando esto al cálculo de la energía emitida o absorbida, y de la longitud de onda de la radiación
correspondiente, Böhr obtuvo teóricamente la ley experimental de Balmer, con lo que explicaba los espectros.
8.4 DUALIDAD ONDA-CORPÚSCULO: HIPÓTESIS DE DE BROGLIE
Una vez que hemos visto el comportamiento dual de la luz, que antes considerábamos únicamente como
onda, cabe plantearnos si ese comportamiento dual es exclusivo de la luz. ¿Podría darse lo contrario? ¿Puede
que algo que consideramos una partícula (en electrón, p.ej.) se comporte como una onda en algunos
experimentos?
El científico francés Louis de Broglie, basándose en los resultados de Planck, Einstein y otros
(Compton), supuso en 1924 que cualquier partícula puede comportarse como una onda en determinados
experimentos. A cada partícula corresponde una onda asociada. Es decir, supuso que toda la materia tiene un
comportamiento dual.
Dicho comportamiento ondulatorio vendrá caracterizado por una λ, llamada longitud de onda asociada
a la partícula que estemos considerando. Esta λ viene dada por la expresión
Planck y
p = m ⋅ v es la cantidad de movimiento de la partícula. Así
λ=
λ=
h
, donde h es la cte de
p
h
m⋅v
La onda asociada a una partícula recibe el nombre de onda de materia.
Ahora bien, si toda partícula puede comportarse como una onda, tal como supuso de Broglie, dicho
comportamiento debe ser observable. Es decir, un haz de electrones debería de producir difracción al
-31
encontrarse con un obstáculo del tamaño adecuado. Empleando valores característicos (me = 9,1 · 10 kg , v =
6
-10
5 · 10 m/s) obtenemos λ = 1,45 · 10 m, es decir, aproximadamente la distancia entre átomos en algunos
metales. En 1927, Davidson y Germer, usando una lámina de Níquel como red de difracción, comprobaron que
las suposiciones de De Broglie eran ciertas.
-35
Para una partícula macroscópica (p.ej. m = 1 kg, v = 10 m/s)
λ = 6,6 · 10 m . No existen en el
universo obstáculos de tamaño tan pequeño. O sea, no podremos apreciar el carácter ondulatorio de una
partícula macroscópica.
Una consecuencia importante de esta suposición es que explica la cuantización de las órbitas de los
electrones en el átomo, considerando que dichas órbitas son ondas estacionarias para el electrón. La longitud
de la órbita cumple que es un nº entero de veces la λ asociada.
© Raúl González Medina
113
Apuntes de Física General Física 2º Bachillerato
8.5 PRINCIPIO DE INCERTIDUMBRE DE HEISEMBERG; LÍMITES DE VALIDEZ DE LA FÍSICA
CLÁSICA
Heisemberg, en 1927, teniendo en cuenta el carácter dual de la materia, descubrió que era imposible
medir simultáneamente y con exactitud algunas magnitudes de un sistema. De hecho, el propio hecho de medir
ya modifica el sistema que estamos midiendo.
Supongamos el siguiente experimento (totalmente imaginario), llamado microscopio de Böhr:
Queremos medir a la vez la posición y la velocidad de un electrón. Para poder ver al electrón con un
microscopio, al menos tendría que chocar con él un fotón de luz que, al rebotar, llegara hasta el microscopio.
Ahora bien, al chocar, el fotón cambiará la velocidad del electrón, y no podremos medir la que tenía
anteriormente.
Una forma de expresar este principio de incertidumbre es la siguiente:
Es imposible medir simultáneamente y con total exactitud la posición y la cantidad de movimiento
(velocidad) de una partícula. Siempre la incertidumbre (error que podemos cometer) en la medida cumplirá
∆x ⋅ ∆p ≥
h
4 ⋅π
donde ∆x y ∆p son las incertidumbres al medir la posición y la cantidad de
movimiento. Se observa que si ∆x se hace muy pequeña (gran exactitud), ∆p
se hará muy grande (mucho error).
De este principio de incertidumbre pueden extraerse algunas consecuencias fundamentales.
- Este principio limita en gran medida el conocimiento que podemos tener sobre la naturaleza. De
hecho, rompe con el determinismo propio de los científicos del s. XIX, que suponían que todo en la naturaleza
podía ser conocido con exactitud.
- Ya no podemos hablar de posición o velocidad exactas de una partícula, únicamente de probabilidad
de encontrar a una partícula en una determinada posición. Por lo tanto, el modelo de Böhr para el átomo ya no
es válido, hay que buscar una nueva visión de las cosas, una nueva Física. Schrödinger, con su ecuación de
onda, proporciona la herramienta básica de la Física Cuántica.
Validez de la Física Clásica:
La Física Cuántica será aplicable en todas las situaciones. Ahora bien, su empleo es tremendamente
complicado, dado el gran número de partículas (e , p, n ...) que intervienen en el problema más simple. Sin
embargo, podemos usar la Física clásica en aquellos casos en los que no sea apreciable el carácter
ondulatorio de la materia. Se considera esto cuando λ asociada es despreciable frente al tamaño del sistema
estudiado.
Como consecuencia, la Física Clásica será perfectamente aplicable a situaciones macroscópicas, mientras que la
Física Cuántica debe ser forzosamente aplicada en el mundo microscópico (moléculas, átomos ... ).
TABLA COMPARATIVA ONDAS – PARTÍCULAS
Características de partícula
Masa
Fotón
0
Partículas clásicas
(protón, electrón,
etc)
m
Cantidad de
movimiento
p=
E
c
p = m⋅v
Caract. comunes
onda-partícula
Caract. de onda
Energía
Longitud de onda
E = h ⋅υ
Ec = 21 m ⋅ v 2
λ=
c
υ
h
λ=
p
© Raúl González Medina
114
Apuntes de Física General Física 2º Bachillerato
PROBLEMAS DEL TEMA 8
1.- Determinar la energía de un fotón para:
a)Ondas de radio de 1500 kHz
b) Luz verde de 550 nm
c) Rayos X de 0,06 nm
-28
-19
-15
(para todas, el medio de propagación es el vacío) ( a) 9,9 ·10 J ; b) 3,6 ·10 J ; c) 3,3 ·10 J )
2.- Una estación de radio emite con una λ = 25 m. Calcular:
a) υ de las OEM emitidas
( 1200 kHz)
-27
J)
b) Energía de los fotones
(7,9 ·10
29
c) Número de fotones emitidos por segundo si la potencia de la emisora es de 6 kW. (7,6 ·10 fotones/s)
3.- Un haz de luz de 400 nm incide sobre un fotocátodo de Ce, cuyo trabajo de extracción es de 1,8 eV.
Calcular:
-19
a) Energía máxima de los fotoelectrones.
(2,1 ·10 J)
-3
2
b) Número de fotones emitidos por segundo y unidad de superficie para un haz de 10 W/m .
15
-1 -2
8
( 2 ·10 fotones s m )
(dato: velocidad de la luz en el vacío = c = 3 · 10 m/s )
4.- Una radiación de 1,5 µm incide sobre el una superficie metálica y produce la emisión de fotoelectrones con
5
-1
una v = 10 m s . Calcular:
-19
a) Trabajo de extracción del metal
( 1,25 ·10 J )
14
b) frecuencia umbral de fotoemisión
( 1,9 ·10 Hz )
-31
(dato: me = 9,1 ·10 kg)
5.- Calcular la λ asociada a :
a) Un electrón acelerado por una ∆V = 100 V.
b) Un electrón de Ec = 1 eV
-1
c) Una bala de 10 g que se mueve a 500 m s .
d) un automóvil de 1000 kg con v = 100 m/s.
-10
(1,23 · 10 m)
-9
(1,23 · 10 m )
-34
(1,32 · 10 m (insignificante))
-39
(6,62 · 10 m (insignificante))
6.- Calcular la incertidumbre en la determinación de la posición en los siguientes casos:
a)Electrón cuya velocidad, de 7000 km/s, se ha medido con una incertidumbre del 0,003%
b)Partícula de 50 g que se desplaza a una velocidad de 300 m/s, medida con la misma incertidumbre que
-7
-31
el caso anterior.
( a) 2,8 · 10 m ; b) 1,2 · 10 m (despreciable) )
7. Al iluminar una superficie metálica con una longitud de onda λ1 = 200 nm, el potencial de frenado de los
fotoelectrones es de 2 V, mientras que si la longitud de onda es λ2 = 240 nm, el potencial de frenado se reduce a
1 V. Obtener:
a) Trabajo de extracción del metal
b) El valor que resulta para la cte de Planck, h, en esta experiencia.
-34
-19
-19
8
( e = 1,6 · 10 C; c = 3 · 10 m/s )
( a) 6,4 · 10 J s ; b) 6,4 · 10 J )
ALGUNAS CUESTIONES TEÓRICAS:
1.- ¿Por qué la existencia de una frecuencia umbral para el efecto fotoeléctrico es un hecho que va en contra de
la teoría ondulatoria?
2.- Dos colores del espectro visible, el rojo y el amarillo, por ejemplo ¿Pueden tener la misma intensidad? ¿Y la
misma frecuencia? Razonar la respuesta.
3.- Supongamos que se ilumina el mismo metal con dos focos de la misma luz monocromática, uno de 100 W y
otro de 500 W. ¿Cuál de los dos producirá mayor número de fotoelectrones? ¿Qué fotoelectrones abandonarán
el metal con mayor energía?
© Raúl González Medina
115