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MATEMÁTICA APLICADA
TECNOLOGÍA EN FINANZAS
NIVELATORIO DE MATEMÁTICAS
SOLUCIÓN EXAMEN 01
Manizales, 29 de Agosto de 2012
1. (VALE POR UN PUNTO) El costo para producir un par de
zapatos es de $5700 y depende de la materia prima y de la
mano de obra. Si el costo de la materia prima es el triple del
costo de la mano de obra. Cuál es el costo de la materia
prima y la mano de obra?
SOLUCIÓN
Con base en la información suministrada, he decidido asignarle
una variable al costo de la mano de obra, la llamare x. De
acuerdo a lo anterior y en relación a lo expresado en el
problema, puedo construir las siguientes ecuaciones:
x  mano de obra
3x  materia prima
x  3x  5700
4 x  5700
5700
x
4
x  1425
mano de obra  $1425
materia
prima  $4275
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SOLUCIÓN EXAMEN 01
Manizales, 29 de Agosto de 2012
2. (VALE POR UN PUNTO) El precio de cuatro manzanas y dos
peras es $810. El de una manzana y tres peras $315. Encontrar
el precio de una manzana y una pera.
SOLUCIÓN
Con base en la información suministrada por el problema,
asigno las siguientes variables:
precio _ manzanas  x
precio _ peras  y
Expresando lo relatado en el planteamiento del problema con
base en las variables asignadas:
4 x  2 y  810 1

 x  3 y  315 2
Se obtuvo un sistema de ecuaciones lineales simultáneas, la
cual solucionare por el método algebraico de eliminación:
4 x  2 y  810
 x  3 y  315 4 
4 x  2 y  810
4 x  12 y  1260
10 y  450
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450
y
 45
10
Reemplazando el valor de y en la ecuación <1> para obtener
el valor de x:
x  3 y  315
x  3  45  315
x  135  315
x  315 135
x  180
precio _ manzanas  180
precio _ peras  45
3. (VALE POR UN PUNTO) Debido a un aumento en el costo de la
materia prima, una fábrica se vio precisada a aumentar el
precio de sus artículos de $2250 a $2500. lo que hizo disminuir
las ventas de 400 a 280 artículos. Suponiendo que la
demanda es lineal. Cuántos artículos venderá si decide fijar
un nuevo precio de $3000.
SOLUCIÓN
Con base en la información suministrada por el problema,
asigno las siguientes variables:
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precio _ articulos  x
articulos _ vendidos  y
Expresando lo relatado en el planteamiento del problema con
base en las variables asignadas:
  x1 , y1    2250, 400 

 x2 , y2    2500,380 
Con base en el hecho de que la demanda se comporta de
forma lineal, procedo a calcular la magnitud de la pendiente:
y2  y1
m
x2  x1
380  400
m
2500  2250
20
2
m

250
25
Habiendo obtenido la magnitud de la pendiente, utilizare la
función pendiente y procederé obtener la ecuación de la línea
recta que representa el comportamiento de la demanda del
artículo. Utilizare la magnitud de la pendiente y una de las dos
coordenadas suministradas:
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 x1 , y1    2250, 400 
y  y1

 m
2
x  x1
m

25

y  400
2

x  2250
25
2
y  400    x  2250 
25
2
y  400   x  180
25
2
y   x  180  400
25
2
y   x  580
25
La anterior es la ecuación de la línea recta que representa el
comportamiento de la cantidad de artículos vendidos con
respecto al precio de cada artículo.
Si el nuevo precio de cada artículo es de x=3000, podre
obtener la cantidad de artículos vendidos al reemplazar el valor
en la función lineal obtenida:
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2
y    3000   580
25
y  240  580
y  340
La conclusión es que si el precio del artículo se fija en $3000, se
venderán 340 artículos.
4. (VALE POR DOS PUNTOS) Con base en las siguientes
coordenadas en plano cartesiano:
1,3 ;  2, 4 ; 5,5
a) Hallar la ecuación de la función de grado dos que pasa
por las tres coordenadas dadas.
b) Hallar la coordenada del vértice, concluir si es un máximo
o un mínimo.
c) Hallar las coordenadas donde la función corta al eje x.
d) Dibujar un boceto de la gráfica.
SOLUCIÓN
Con base en la información suministrada por el problema y en
relación a la función cuadrática (función de grado dos), podre
obtener con base en cada una de las coordenadas
suministradas; un sistema de tres ecuaciones con tres
incógnitas:
2
ax  bx  c  y
Reemplazando una a una las coordenadas suministradas en la
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ecuación general, obtendré el sistema de ecuaciones lineales:
2
 1,3  a 1  b 1  c  3

2

2,
4

a

2

   b  2   c  4


2
  5,5   a  5   b  5   c  5
 abc  3 1

 4a  2b  c  4 2
25a  5b  c  5 3

Procedo a solucionar por el método algebraico de eliminación:
Elimino c de la ecuación <1> y <2>:
 a  b  c  3 1
4a  2b  c  4
a  b  c  3
4a  2b  c  4
3a  3b  1 4
Elimino c de la ecuación <1> y <3>:
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 a  b  c  3 1
25a  5b  c  5
a  b  c  3
25a  5b  c  5
24a  4b  2 5
Agrupo las ecuaciones <4> y <5> para eliminar la variable a:
 3a  3b  1 8
24a  4b  2
24a  24b  8
24a  4b  2
28b  6
6
3
b

28
14
Reemplazando el valor de b en la ecuación <4>.
3a  3b  1
 3
3a  3     1
 14 
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9
3a   1
14
9
3a  1 
14
14  9
3a 
14
5
3a 
14
5
a
42
Con base en el valor de a y b encontrados, reemplazo en la
ecuación <1> para obtener el valor de c:
abc  3
5 3
 c 3
42 14
5 3
c  3 
42 14
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126  5  9
c
42
130 65
c

42 21
La ecuación de la función cuadrática es:
5 2 3
65
y
x  x
42
14
21
y  0.1190 x2  0.2142x  3.0952
Para hallar las coordenadas del vértice, utilizare la siguiente
ecuación:
b
xv 
2a
 3
 
14 

xv 
 5 
2 
 42 
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3
9
14
xv 
  1.8
5 5
42
2
5 9
3  9  65
yv       
42  5  14  5  21
5  81  3  9  65
yv       
42  25  14  5  21
yv  2.1309
La coordenada del vértice es:
 xv , yv   1.8, 2.1309
Es un mínimo con base en que a>0 y eso implica que es
cóncava hacia arriba.
Para hallar las coordenadas donde la función corta al eje x,
utilizare la solución de la ecuación cuadrática:
b  b2  4ac
x
2a
Analizando primero el factor discriminante:
2
  b  4ac
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2
5 65
 3
    4
42 21
 14 
2
5 65
 3
    4
 1.4280
42 21
 14 
Con base en el hecho de que el discriminante es negativo,
puedo concluir que la función no toca el eje x y por ser
cóncava hacia arriba está por encima del eje x.
14
12
10
8
6
4
2
0
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
12