Cálculo de probabilidades y variables aleatorias

Cálculo de probabilidades y variables aleatorias
El cálculo de probabilidades nos suministra las reglas para el
estudio de los experimentos aleatorios o de azar, constituyendo la
base para la estadística inductiva o inferencial.
Experimentos y sucesos aleatorios
Diremos que un experimento es aleatorio si se verifican las
siguientes condiciones:
Se puede repetir indefinidamente, siempre en las mismas
condiciones;
Antes de realizarlo, no se puede predecir el resultado que se va a
obtener;
El resultado que se obtenga, e, pertenece a un conjunto conocido
previamente de resultados posibles. A este conjunto, de resultados
posibles, lo denominaremos espacio muestral
y lo denotaremos
normalmente mediante la letra E. Los elementos del espacio
muestral se denominan sucesos elementales.
Cualquier subconjunto de E será denominado suceso aleatorio,
denotará normalmente con las letras A, B,...
y se
Operaciones básicas con sucesos aleatorios
Al ser los sucesos aleatorios nada más que subconjuntos de un
conjunto E --espacio muestral--, podemos aplicarles las conocidas
operaciones con conjuntos, como son la unión, intersección y
diferencia:
Unión:
Dados dos sucesos aleatorios
, se denomina suceso unión de
A y B al conjunto formado por todos los sucesos elementales que
pertenecen a A o bien que pertenecen a B (incluyendo los que están
en ambos simultáneamente), es decir
Como ejemplo, tenemos que la unión de un suceso cualquiera con su
complementario es el suceso seguro:
Volviendo al ejemplo del lanzamiento de un dado, si
y
, el suceso unión de A y B es:
Intersección:
Dados dos sucesos aleatorios
, se denomina suceso
intersección de A y B al conjunto formado por todos los sucesos
elementales que pertenecen a A y B a la vez, es decir,
A veces por comodidad se omite el símbolo
para denotar la
intersección de conjuntos, sobre todo cuando el número de
conjuntos que intervienen en la expresión es grande. En particular
podremos usar la siguiente notación como equivalente a la
intersección:
Un ejemplo de intersección es la de un suceso aleatorio
cualquiera,
imposible:
Diferencia:
, con su complementario,
, que es el suceso
Dados dos sucesos aleatorios
, se llama suceso diferencia
de A y B, y se representa mediante
, o bien A-B, al suceso
aleatorio formado por todos los sucesos elementales que pertenecen
a A, pero no a B:
Obsérvese que el suceso contrario de un suceso A, puede escribirse
como la diferencia del suceso seguro menos éste, o sea,
Diferencia simétrica:
Si
, se denomina suceso diferencia simétrica de A y B, y
se representa mediante
, al suceso aleatorio formado por
todos los sucesos elementales que pertenecen a A y no a B, y los
que están en By no en A:
Así:
Dados dos sucesos aleatorios
representa: en (a)
; en (b)
en (d)
.
se
; en (c) A-B;
Hay ciertas propiedades que relacionan la unión, intersección y
suceso contrario, que son conocidas bajo el nombre de Leyes de
Morgan:
Experimentos aleatorios y probabilidad
Se denominan experimentos deterministas aquellos que realizados de
una misma forma y con las mismas condiciones iniciales, ofrecen
siempre el mismo resultado. Como ejemplo, tenemos que un objeto de
cualquier masa partiendo de un estado inicial de reposo, y dejado
caer al vacío desde una torre, llega siempre al suelo con la misma
velocidad:
4.1
Cuando en un experimento no se puede predecir el resultado final,
hablamos de experimento aleatorio. Este es el caso cuando lanzamos
un dado y observamos su resultado.
En los experimentos aleatorios se observa que cuando el número de
experimentos aumenta, las frecuencias relativas con las que ocurre
cierto suceso e, fn(e),
tiende a converger hacia cierta cantidad que denominamos
probabilidad de e.
Probabilidad de Laplace
Si un experimento cualquiera puede dar lugar a un número finito de
resultados posibles, y no existe ninguna razón que privilegie unos
resultados en contra de otros, se calcula la probabilidad de un
suceso aleatorio A, según la regla de Laplace como el cociente
entre el número de casos favorables a A, y el de todos los
posibles resultados del experimento:
Definición axiomática de probabilidad
Para hacer una definición rigurosa de la probabilidad, necesitamos
precisar ciertas leyes o axiomas que deba cumplir una función de
probabilidad. Intuitivamente estos axiomas deberían implicar,
entre otras, las siguientes cuestiones, que nos parecen lógicas en
términos de lo que se puede esperar de una función de
probabilidad:

La probabilidad sólo puede tomar valores comprendidos entre 0
y 1(no puede haber sucesos cuya probabilidad de ocurrir sea
del 200% ni del -5%;

La probabilidad del suceso seguro es 1, es decir, el 100 %;

La probabilidad del suceso imposible debe ser 0.

La probabilidad de la intersección de dos sucesos debe ser
menor o igual que la probabilidad de cada uno de los sucesos
por separado, es decir,

La probabilidad de la unión de sucesos debe ser mayor que la
de cada uno de los sucesos por separado:
Más aún, si los sucesos son disjuntos (incompatibles) debe ocurrir
que

La probabilidad del suceso contrario de A, debe valer
. Esto en realidad puede deducirse del
siguiente razonamiento:
Concepto axiomático de probabilidad
Dado un espacio muestral E, y un
-álgebra de sucesos
sobre él,
diremos que
es una probabilidad sobre
si las siguientes
propiedades (axiomas) son verificadas:
Ax-1. La probabilidad es una función definida sobre
que sólo toma valores positivos comprendidos entre 0 y 1
Ax-2. La probabilidad del suceso seguro es 1
Ax-3. La probabilidad de la unión numerable de sucesos
disjuntos es la suma de sus probabilidades
y
El tercer axioma de probabilidad
indica que si
con
, entonces
Probabilidad condicionada e independencia de sucesos
Sea
un suceso aleatorio de probabilidad no nula,
Para cualquier otro suceso
, llamamos probabilidad
condicionada de A a B a la cantidad que representamos mediante
o bien
y que se calcula como:
Ciertos teoremas fundamentales del cálculo de probabilidades
.
Hay algunos resultados importantes del cálculo de probabilidades
que son conocidos bajo los nombres de teorema de la probabilidad
compuesta, teorema de la probabilidad total y teorema de Bayes
Reglas de cálculo de probabilidades básicas
Sean
no necesariamente disjuntos. Se verifican entonces
las siguientes propiedades:
1. Probabilidad de la unión de sucesos:
2. Probabilidad de la intersección de sucesos:
3. Probabilidad del suceso contrario:
4. Probabilidad condicionada del suceso contrario:
Teorema (Probabilidad compuesta)
Sea
una colección de sucesos aleatorios. Entonces:
Teorema (Probabilidad total)
Sea
Entonces
un sistema exhaustivo y excluyente de sucesos.
Teorema (Bayes)
Sea
un sistema exhaustivo y excluyente de sucesos.
Sea
un suceso del que conocemos todas las cantidades
,
, a las que denominamos verosimilitudes. entonces se
verifica:
Tests diagnósticos
Los tests diagnósticos son una aplicación del teorema de Bayes a
la Medicina, y se basan en lo siguiente:
1. Se sospecha que un paciente puede padecer cierta enfermedad,
que tiene una incidencia de la enfermedad en la población
(probabilidad de que la enfermedad la padezca una persona elegida
al azar) de
;
2. Como ayuda al diagnóstico de la enfermedad, se le hace pasar
una serie de pruebas (tests), que dan como resultado:

Positivo, T+, si la evidencia a favor de que el paciente esté
enfermo es alta en función de estas pruebas;

Negativo, T-, en caso contrario.
Previamente, sobre el test diagnóstico a utilizar, han debido ser
estimadas las cantidades:
Sensibilidad:
Es la probabilidad de el test de positivo sobre una persona que
sabemos que padece la enfermedad,
.
Especificidad:
Es la probabilidad que el test de negativo sobre una persona que
no la padece,
La sensibilidad y especificidad se denominan también
respectivamente tasa de verdaderos positivos y tasa de verdaderos
negativos. Estas cantidades son calculadas de modo aproximado,
antes de utilizar el test diagnóstico, considerando grupos
suficientemente numerosos de personas de las que sabemos si
padecen la enfermedad o no, y estimando los porcentajes
correspondientes. Por ejemplo se toman 100 personas sanas y 100
enfermas, y se observa que
E
T+
89
3
T-
11
97
100
100
Tasa de verdaderos
positivos:
89%
Tasa de falsos positivos:
3%
Tasa de verdaderos
negativos:
97%
Tasa de falsos negativos:
11%
3. teniendo en cuenta el resultado del test diagnóstico, se
utiliza el teorema de Bayes para ver cual es, a la vista de los
resultados obtenidos, la probabilidad de que realmente esté
enfermo si le dio positivo (índice predictivo de verdaderos
positivos),
o la de que esté sano si le dio negativo (índice predictivo de
verdaderos negativos)