GUIA PARA EL EXAMEN MA34-A Profesor: Servet Martínez 1 Suponga que se realiza resultados posibles, A y B. Auxiliares: Andrés Fielbaum, Tomas Spencer n veces el mismo experimento que tiene sólo dos Suponga que el resultado de cada experimento es independiente del resultado en los demás. Suponga que, en cada experimento, la probabilidad de que ocurra A es p, con 0<p<1. Denamos Cn = |{i = 1, ..., n : A}|, es decir, los casos favorables hasta el el resultado del evento i-ésimo fue i-ésimo experimento. Pruebe que limn→∞ Cnn = p. Hint: Para cada i ∈ N, dena la variable aleatoria Xi , dada por Xi = 1 si el resultado del i-ésimo experimento fue A, Xi = 0 si el resultado del i-ésimo experimento fue B. 2 i) Sea X v.a. absolutamente continua, tal que su función de distribución FX (x) = P({X < x}) es estrictamente creciente. se distribuye como una v.a. Y = FX (X) (0, 1). Hint: Note que Demuestre que uniforme en el intervalo F x : R → (0, 1) biyectiva (la inyectividad se garantiza por ser estrictamente creciente), y con inversa creciente. ii) Sean X, Y variables aleatorias. Pruebe que la función de distribución de X está dada por FX (x) = P({X ≤ x|Y ≤ x})·P({Y ≤ x})+P({X ≤ x, Y > x}). 3 Sea T T una variable aleatoria absolutamente continua. Pruebe que: ⇐⇒P({T > t + s|T > s}) = P({T > t}) ∀t, s ∈ [0, ∞). sigue una distribución exponencial Hint: Para la implicancia ⇐, utilice el siguiente resultado del análisis real: Si g : [0, ∞) → [0, ∞), es una función continua, decreciente, no idénticamente cero y que cumple g(t + s) = g(t)g(s) ∀t, s ∈ [0, ∞), entonces necesariamente g(t) = e−λt , para algún λ > 0. 4 i) Sea X una variable aleatoria, tal que generadora de momentos ii) Calcule su función Demuestre, usando funciones generadores de momentos, que si tal que iii) X ∼ P oisson(λ). GX (t). Y ∼ P oisson(µ), Y Z = X + Y ∼ P oisson(λ + µ) de probabilidad condicional pX|Z (k|n) v.a. es entonces Pruebe que la densidad sponde a la de una binomial, y encuentre sus parámetros. 1 corre- 5 Sea (X, Y ) vector aleatoria con función de densidad conjunta dada por: ( x + 2y fX,Y (x, y) = 0 si 0 < x < 1, 0 < y < a ∼ i) Encuentre el valor de a ii) Encuentre las densidades marginales fX (x), fY (y) iii) Encuentre fX|Y (x|y), fY |X (y|x) iv) Encuentre E(X|Y = y),E(Y |X = x) 6 Sea (Ω, B, P) espacio de probabilidad. ( 1 indicadora de A por 1A (ω) = 0 i) Demuestre que 1A sigue una encuentre el valor de ii) p Demuestre que los eventos Para si ω ∈ A ∼ A ∈ B, denimos la función . distribución de Bernouilli de parámetro A y B p, y son independientes si y solamente si Cov(1A · 1B ) = 0. 7 Sea (X,Y,Z) vector aleatorio con función de densidad de probabilidad dada por: ( xy 0 0 < z < 1, 0 < x < z, 0 < y < z ∼ i) Calcule las densidades marginales fX (x), fY (y), fZ (z) ii) Calcule fZ|X,Y (z|x, y),fX,Y |Z (x, y|z) iii) Calcule E(Z|X = x, Y = y) 8 Sea S = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 ≤ 1, y ≥ 0}, superior. Sea (X,Y) probabilidad de que caiga en cualquier subconjunto área (i.e., i.e., la semibola unitaria vector aleatorio, que sólo toma valores en P {(X, Y ) ∈ A} = cte · rea(A)) para todo A de S, S, y tal que la proporcional a su A ⊆ S. i) Encuentre la función de distribución FX,Y (x, y) ii) ¾Son X,Y independientes? 9 Un cierto producto funciona con una pila (una a la vez), que tiene una duración antes de fallar dada por la variable aleatoria en forma X, absolutamente continua y fX (x) = 2x para 0 < x < 1. Cuando una pila falla, es remplazada inmediata. Llamemos Xi el tiempo que dura la i-ésima pila, luego con densidad 2 Sn = Pn i=1 r Xi indica el tiempo de la n-ésima falla. Se dena la tasa de falla del sistema ( ) por r = limn→∞ n Sn Suponiendo que los tiempos de duración de cada pila son independientes, determine el valor de r. 10 Sea por X GX v.a. discreta a valores en N. Sea Y ∼ Geometrica(1 − s). a la función generadora de momentos de X. Muestre que Notemos GX (s) = P(X < Y ). 11 Se dice que X v.a. absolutamente continua sigue una distribución pareto(x0 , α) si su función de densidad de probabilidad está dada por: ( fX (x) = Pruebe que si X αxα 0 xα+1 si x > x0 ∼ 0 sigue una distribución pareto(x0 , α), entonces ln(X) ∼ exp(α). 12 Para X .a. positiva, se dene la función de azar de hX (x) = Donde fX y FX respectivamente. X por: fX (x) 1 − FX (x) representan la función de densidad y de distribución de X, i) Pruebe que e− 0 h(t)dt = 1 − FX (x) ii) Pruebe que si X ∼ exp(λ), entonces hX = cte Rx 13 X1 , X2 v.a.'s i.i.d., cada una con distribución uniforme en [0,1]. Sea mas{X1 ,X2 } min{X1 ,X2 } . Encuentre la función de densidad de X3 , fX3 (x3 ). Sean X3 = 14 (Convergencia de la geométrica a la exponencial) En este problema probaremos que existe una cierta convergencia de la disPara cada δ > 0, considere Xδ una ∀k∈ N∗ ,P {(Xδ = δk)} = (1 − pδ )k−1 pδ (es decir, una variable aleatoria similar a una geométrica de parámetro pδ , pero que donde se hace un experimento cada δ instantes). Sea λ > 0 jo. tribución geométrica a la exponencial. variable aleatoria discreta, tal que 3 n i) Pruebe que P (Xδ > nδ) = (1 − pP δ) . ∞ δ ii) Pruebe que E(Xδ ) = pδ . Hint: k=1 ak k = P∞ d dx ( ak xk )|x=1. δ Suponga ahora que ∀δ > 0, pδ = . Note que con esto, E(Xδ ) = λ ∀δ . λ iii) Dena t = nδ (intuitivamente, en un tiempo t habrán nδ experimentos). −λt Pruebe entonces que limδ→0 P (X > t) = e . k=1 Note que probó que, en cierto modo, la distribución geométrica tiende a una exponencial. 4