la harmonica de ptolomeo
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LIBRO SEGUNDO 1.Cómo también a través de la percepción serían tomadas las razones de los géneros habituales. 2.De la utilización del canon junto con el instrumento denominado “helicón”. 3.De las formas en las primeras consonancias. 4.Del sistema perfecto, y que sólo es tal la doble octava. 5.Cómo son adoptadas las denominaciones de las notas respecto a la posición y a la función. 6.Cómo la magnitud conjunta de octava más cuarta tuvo la consideración de sistema perfecto. 7.De las modulaciones según los llamados tonos. 8.Que es necesario que los tonos extremos sean delimitados mediante la octava. 9.Que es necesario suponer sólo siete tonos, en igual número que las formas de la octava. 10.Cómo podrían establecerse mejor los excesos entre los tonos. 11.Que no es necesario incrementar los tonos por semitono. 12.Del difícil uso del canon monocorde. 13.De lo que Dídimo el músico propuso modificar en el canon. 14.Exposición de los números que hacen la sección de la octava en el tono inmodulante y en cada uno de los géneros. 183 41 15.Exposición de los números que hacen las secciones de los géneros habituales en los siete tonos. 16.De lo que se toca a la lira y cítara. 184 LIBRO II 1.Cómo también a través de la percepción serían tomadas las razones de los géneros habituales. Podríamos tomar también, por medio de otro procedimiento, las mismas proporciones de los géneros habituales344 y más manejables para los oídos, no como ahora, generando sólo a partir de lo racional sus diferencias, y después sometiéndolas con el canon a las pruebas345 de lo perceptible, sino al revés, primero exponiendo las afinaciones346 constituidas únicamente a través de la percepción, y después mostrando a partir de ellas las razones conformes a la igualdad o excesos de las notas concebidos en cada género. Suponemos también aquí sólo, de lo convenido sencillamente por todos, que la consonancia de cuarta contiene una razón sesquitercia y que el tono es sesquioctavo347. De los tetracordios348 tocados entre los citaredos, hágase en primer lugar la cuarta desde la nete hasta la paramese, de los llamados tropos349, ABGD, asignándose A a la nete350. Afirmo que está contenido por ella el género cromático tenso ya expuesto351, y, en primer lugar, que la razón de AB es 7:6, y la de BD, 8:7352; las de BG y 185 42 GD serán mostradas tras esto 353 . Se encontrará, entonces, que cada una, AB y BD, hacen una magnitud mayor que un tono354, es decir, mayor que la razón 9:8, y la 43 razón de AD es 4:3. Y no hay otras dos razones mayores que 9:8 que completen 4:3 a no ser 7:6 y 8:7, de modo que de las razones de AB y BD, una será 7:6 y la otra 8:7355. Tómese, además, H, en igual tono que B, y hágase a partir de ella ascendentemente un tetracordio E ZH semejante a ABGD356. Se encontrará, entonces, que A es más aguda que –siendo iguales en tono B y H–; mayor es, también entonces, la razón de AB que la de H, pero la de H permanece idéntica a la de BD. Mayor es, también entonces, la razón de AB que la de BD. La de AB será, pues, 7:6, y la de BD, 8:7357. De nuevo, manteniéndose el tetracordio ABGD, tómese en igual tono que 358 B, y fijada ésta, hágase la cuarta desde la paramese hasta la cromática de los sóli- dos, E ZH, asignándose E a la paramese. Afirmo que está contenido por ella el género diatónico tonal, y que la razón de E es 9:8, la de Z 8:7 y la de ZH 28:27; pues E harán exactamente un tono, es decir, una razón 9:8, y Z se hallará en igual tono que D, de modo que también la razón Z será idéntica a la de BD, es decir, 8:7, y será dejada la razón de ZH como 28:27, que con 9:8 y 8:7 completa 4:3. 186 A continuación, hágase, de los llamados jonioeolios359, la cuarta desde la trite hasta la diátono360, ABGD, asignándose A a la trite. Afirmo que está contenido por ella el género del diatónico ditonal, en el que cada una de las razones primeras361 era 9:8, y la restante la del leima. E inmediatamente está claro: pues los citaredos afinan de tal modo que se produce un tono362 tanto por AB como por BG, es decir, la razón 9:8, y es dejada a GD la de 256 a 243, que completa con las dos de 9:8 la de 4:3, resultando menor que 19:18 pero mayor que 20:19363. Si además hiciésemos el tetracordio expuesto, ateniéndonos al carácter exacto y no al fácil de la modulación364, de nuevo BG producirá el tono y la razón 9:8, pero AB un poco menos que un tono, de modo que la razón de éste caerá en la mayor de las que son menores que 9:8, es decir, 10:9, y la de GD en 16:15, que completa junto con 10:9 y 9:8 la de 4:3, y se constituirá el género diatónico tenso. De nuevo, manteniéndose la cuarta ABGD –y me refiero en la afinación ditonal–, hágase H en igual tono que D, y afínese a partir de ella ascendentemente la cuarta E ZH desde la mese hasta la hípate en las parípates, haciendo Z la parípate365. 187 44 Digo que está contenido por ella el género diatónico suave, en el que encon45 traríamos la razón primera 8:7, la central 10:9 y la restante 21:20. Que la razón, pues, de E es 8:7, se ha mostrado en los sólidos: ninguna de ellas se ha movido aquí366. Pero hay que mostrar que también la de Z es 10:9, y la de ZH 21:20. Se encontrará, así pues, G un poco más aguda que Z367, de modo que será menor la razón de ZH que la de GD, es decir, 19:18368. Pero Z harán menos que un tono369, de modo que también la razón de Z será menor que 9:8; y la razón de H es 7:6, puesto que la de E es 8:7370. Y no hay otras dos razones371 que completen 7:6, de las que una es menor que 9:8372 y la otra menor que 19:18, a no ser 10:9 y 21:20. Pero la razón de ZH es menor que 19:18; ésta, entonces, será 21:20, y la de Z, 10:9. Y por último, manteniéndose el tetracordio E ZH373, hágase G en igual tono que Z, y fijada ésta, afínese la cuarta ABGD del cromático inicial, asignándose de nuevo A a la más aguda, de modo que la razón de BD sea 8:7. 188 Hay que mostrar también que la razón de BG será 12:11, y la de GD 22:21. Se encontrará, entonces, D un poco más aguda que H, de modo que la razón de GD será menor que la de ZH, es decir, 21:20; y B perceptiblemente más grave374 que , de modo que también la razón de BG será menor que la de Z, es decir, que 10:9. Y, de nuevo, no hay razones algunas que completen 8:7, de las que una es menor que 10:9 y la otra menor que 21:20, a no ser 12:11 y 22:21; y la razón de GD es menor que 21:20, de modo que ésta será 22:21, y la restante de BG, 12:11; que es lo que se propuso mostrar375. 2.De la utilización del canon junto con el instrumento denominado “helicón”. Así pues, las diferencias en torno a los géneros de los tetracordios nos han sido establecidas mediante estos procedimientos, a través del examen y comparación de las notas desiguales en tono. Pero habría un uso del canon de ocho cuerdas de la octava también de otra manera, junto con el instrumento denominado “helicón”376, confeccionado por los matemáticos377 para la exposición de las razones en las consonancias, tal y como sigue: exponen un cuadrado ABGD, y tras dividir en dos AB y BD en E y Z, unen AZ y BHG, y trazan, paralela a AG a través de E, EQK, y a través de H, LHM. Por ello, 189 46 entonces, AG es el doble tanto de BZ como de ZD, e incluso cada una de éstas, de EQ, ya que AB lo es de AE; de modo que también AG es el cuádruple de EQ, y ses- quitercia de la restante, QK. Y se muestra también que MH es el doble de HL, puesto que, como DG es respecto a GM, así es DB respecto a HM; y como BA es respecto a AL, así es BZ respecto a LH; por esto, como BD es respecto a HM, así es BZ res47 pecto a LH; y al contrario, como BD es respecto a BZ, así es MH respecto a LH. Resulta entonces AG también sesquiáltera de HM y triple que HL, de modo que, si son extendidas cuatro cuerdas de igual tensión en las mismas posiciones de las rectas 378 AG, EK, LM y BD; si es colocada bajo ellas una regla en la posición de AQHZ ,y si son asignados los números 12 a AG, 9 a QK, 8 a HM, 6 tanto a BZ como a ZD, y, a su vez, 4 a LH y 3 a EQ, culminan todas las consonancias y el tono, al constituirse la cuarta en la razón 4:3 por AG y QK, por HM y ZD y por LH y QE; la quinta, también en la razón sesquiáltera por AG y HM, por QK y ZD y por BZ y LH; la octava también en la razón doble, por AG y ZD, por HM y LH y por BZ y QE; la octava más cuarta, en la razón de 8 a 3, por HM y QE; la octava más quinta, también en la razón triple, por AG y LH; la doble octava, también en la razón cuádruple, por AG y EQ, e incluso el tono en la razón 9:8, por QK y HM. Junto a este instrumento, si construyésemos simplemente un paralelogramo379 ABGD, y considerásemos AB y GD como los límites de pulsación380 de las 48 cuerdas, y AG y BD las notas extremas de la octava381; si después, tras haber añadido a GD una distancia igual, DE, seccionásemos ante las reglas el lateral GD con las razones propias de los géneros, suponiendo en E el extremo agudo382; si a través de las secciones resultantes en ella trazásemos cuerdas paralelas a AG e iguales en tono entre sí, y, hecho esto, extendiémos bajo ellas el puente que será común a las cuerdas en la posición que une los puntos A y E, es decir, AZE, produciremos todas las 190 longitudes de las cuerdas en las mismas razones, de modo que será posible el examen de las razones asignadas a los géneros. Por esto, como son entre sí las383 líneas tomadas desde E entre GD, así también serán entre sí las trazadas a través de sus extremos a lo largo de AG hasta DZ; por ejemplo, como EG es respecto a ED, así será GA respecto a DZ. Por ello, éstas harán la octava, porque su razón es doble. Y si, una vez que, de nuevo, de GD hemos tomado GH en una cuarta parte de EG y GQ en un tercio de la misma, dispusiéramos cuerdas a través de H y de Q, HKL y QMN, iguales en tono que las primeras, de modo que AG resulte sesquitercia de HK y sesquiáltera de QM y, a su vez, QM sesquitercia de DZ y HK su sesquiáltera, e que incluso HK esté de QM como 9:8, también producirán éstas entre sí las consonancias derivadas las razones; y se seguirá también lo equivalente en los segmentos tomados en medio de los dos tetracordios en las razones propias de los que son examinados384. El primer procedimiento385 es, respecto a éste, más sencillo, al no ser necesario mover las distancias de las cuerdas entre sí, pero éste lo es respecto a aquél al tener un puente común, uno sólo y en una única posición; e incluso, si se desliza 191 hacia abajo a través de E –hacia la posición COE–, al poder producir todo el tono más agudo, permaneciendo la particularidad de cada género386. Pues, como GA, por ejemplo, es respecto a ZOD, así es CG respecto a OD, y de forma semejante en las demás387. Y a su vez, de nuevo, es menos adecuado el primer procedimiento respec49 to a éste al ser necesario mover más puentecillos en cada afinación, pero éste lo es respecto a aquél al modificar totalmente las cuerdas, y al no llevarse a cabo ya los cambios en los contactos con distancias iguales entre ellas, sino diferenciándose a menudo por mucho388. 3.De las formas en las primeras consonancias. Pues bien, esbocemos lo que se ha establecido de un modo teórico en torno a las consonancias y los intervalos melódicos entre las notas situadas en la distancia de pulsación, asociándose con los consonantes también las homofonías. Y como es continuación de estas cosas el estudio de los sistemas389, hay que delimitar las diferencias entre las primeras consonancias390 en lo que respecta a la denominada forma391, que son como sigue. Forma, pues, es una cierta posición de las razones que son peculiares de cada género, entre unos extremos apropiados. Éstos serían, de la quinta y la octava, los tonos disyuntivos, mientras que de la cuarta, las razones de las dos notas primeras392, que producen las variaciones hacia el más suave o el más tenso393. Así pues, en general denominamos “primera” a la forma cuando la razón peculiar ocupa la posición primera, porque también lo que antecede394 es primero; “segunda”, cuando ocupa la segunda a partir de la primera, y “tercera”, cuando ocupa la tercera; y así sucesivamente. Por ello, hay tantas formas en cada intervalo cuantas posiciones de las razones: tres de la cuarta, cuatro de la quinta y siete de la octava. Y en efecto, sucede que de la cuarta sólo una forma, la primera, está contenida por notas fijas395; de la quinta sólo dos, la primera y la cuarta, y de la octava 192 sólo tres, la primera, la cuarta y la séptima. Pues si tomamos una cuarta ABGD, considerándose A en la nota más aguda; a ésta le añadimos otra cuarta en sentido descendente que fuera similar, DEZH; a ésta un tono, de igual manera, HQ; a su vez, de nuevo, a éste una cuarta, QKLM, y a ésta otra cuarta, MNCO, las notas fijas serán A, 396 D, H, Q, M y O. De la cuarta , la primera forma será MO, la segunda LC y la terce- ra KN, y es claro que sólo MO, la primera, está contenida por notas fijas. De la quinta397, la primera forma será HM, la segunda ZL, la tercera EK y la cuarta DQ, y es claro que sólo de éstas HM, la primera, y DQ, la cuarta, están contenidas por notas fijas. Y de la octava398, la primera forma será HO, la segunda ZC, la tercera EN, la cuarta DM, la quinta GL, la sexta BK y la séptima AQ, y sólo de éstas, a su vez, están contenidas por notas fijas HO, la primera, DM, la cuarta y AQ, la séptima399. 4. Del sistema perfecto, y que sólo es tal la doble octava. Una vez establecidas estas cosas, se denomina en general “sistema” a la magnitud compuesta de consonancias400, tal y como una consonancia es una magnitud compuesta de intervalos melódicos; y el sistema es como una consonancia de consonancias. Se llama “sistema perfecto” al que contiene todas las consonancias con las formas de cada una, porque “perfecto” es en general lo que contiene todas las partes de sí mismo401. Así pues, según la primera definición, resulta un sistema la octava (por cierto que parecía ésta autosufieciente a los antiguos)402, la octava 193 50 más cuarta, la octava más quinta y la doble octava; pues cada uno de ellas está contenida por dos o más consonancias. Pero en cuanto a la segunda, sólo sería un sistema perfecto la doble octava, pues sólo en ella están todas las consonancias con las formas expuestas. Los sistemas más allá de ella no tendrían más que las consonancias que se pueden tomar en aquélla, mientras que los sistemas por debajo de ella 51 carecerían de algunas de las que contiene403; por lo que al compuesto de octava y cuarta no es apropiado denominarlo sistema perfecto, pues nunca contendrá las siete formas de la octava ni las cuatro de la quinta en todo momento, sino que, cuando ocupe una posición tal que el tono constituya una disyunción entre dos tetracordios conjuntos y otro, contendrá las cuatro formas de la quinta, pero a su vez sólo cuatro de las siete de la octava, las de cada uno de los extremos404; y cuando ocupe una posición tal que el tono se halle hacia el límite, también los tres tetracordios conjuntos contendrán una sola forma tanto de la quinta como de la octava, sea la primera o la última de ambas405, como se puede ver en el siguiente diagrama, si le añadimos en cada uno de los límites un tetracordio que sea igual. En la doble octava por su parte, cuando las dos octavas se establecen en el mismo sentido e iguales, en función de todas las posiciones que ocupen las disyun- 194 ciones encontraremos comprendidas todas las formas de la octava además de las de la quinta y la cuarta; y ninguna más en lo que va más allá de la doble octava406. 5. Cómo son adoptadas las denominaciones de las notas respecto a la posición y a la función. Así pues, veremos seguidamente407 por qué el sistema de octava más cuarta se empareja con el de doble octava. En realidad, las notas del Sistema Perfecto, la doble octava –establecidas en quince408 por haber una común a la octava más grave y a la más aguda, y centro de todas–, en algunas ocasiones las nombramos según la posición misma409, sencillamente lo más agudo o lo más grave410: mese411, la común mencionada a las dos octavas, proslambanómeno, la más grave, y nete del tetracordio añadido la más aguda; después, las que van tras la proslambanómeno ascendentemente hasta la mese, hípate del tetracordio inferior, parípate del tetracordio inferior, lícano del tetracordio inferior, hípate del tetracordio medio, parípate del tetracordio medio y lícano del tetracordio medio; y las que van tras la mese, igualmente, hasta la nete del tetracordio añadido, paramese, trite del tetracordio disjunto, paranete del tetracordio disjunto, nete del tetracordio disjunto, trite del tetracordio añadido y paranete del tetracordio añadido. En otras ocasiones, las nombramos según su propia función412, la relación que mantienen413, mediante la cual, una vez hemos ajustado en primer lugar a las posiciones las funciones según el llamado Sistema Inmodulante de doble octava414, y a continuación hemos obtenido en él designaciones comunes a las posiciones y las funciones, las intercambiamos en los demás sistemas415. Pues tras haber tomado uno de los dos tonos416 en la doble octava a partir de la mese por posición, y haber colocado junto a él, en cada uno de los lados, dos tetracordios conjuntos de los cuatro que hay en el total, y después haber asignado el otro tono al intervalo restante y más grave, denominamos 195 52 mese por función a partir de su emplazamiento a la más grave de la disyunción más aguda; paramese a la más aguda; proslambanómeno y nete del tetracordio añadido a la más grave de la disyunción más grave, y hípate del tetracordio inferior a la más aguda. A continuación, hípate del tetracordio medio a la común a los dos tetracordios conjuntos más graves tras417 la disyunción más grave y nete del tetra53 cordio disjunto a la común a los dos tetracordios conjuntos <más agudos> tras la disyunción más aguda; y, a su vez, parípate del tetracordio inferior a la segunda desde la más grave del tetracordio tras la disyunción más grave, y lícano del tetracordio inferior a la tercera; parípate del tetracordio medio a la segunda desde la más grave del tetracordio antes de la disyunción más aguda, y lícano del tetracordio medio a la tercera. Después, trite del tetracordio disjunto a la segunda desde la más grave del tetracordio tras la disyunción más aguda, y paranete del tetracordio disjunto a la tercera; trite del tetracordio añadido a la segunda desde la más grave del tetracordio antes de la disyunción más grave418, y paranete del tetracordio añadido a la tercera419. Y según estas denominaciones, es decir, las de las funciones420, sólo serían denominadas con propiedad notas “fijas”421 en las modulaciones de los géneros422 a la proslambanómeno, hípate del tetracordio inferior, hípate del tetracordio medio, mese, paramese, nete del tetracordio disjunto y nete del tetracordio añadido423 –que es una y la misma que la proslambanómeno424–, mientras que “móviles”, el resto; pues cuando las funciones son cambiadas en su posición ya no se ajustan a los mismos lugares los límites de las fijas o las móviles. Y está claro que también la primera forma de la octava425, en el sistema antes expuesto426, denominado Inmodulante, la contienen, por dicha razón, paramese y hípate del tetracordio inferior; la segunda, trite del tetracordio disjunto y parípate del tetracordio inferior; la tercera, paranete del tetracordio disjunto y lícano del tetracordio inferior; 196 la cuarta, nete del tetracordio disjunto y hípate del tetracordio medio; la quinta, trite del tetracordio añadido y parípate del tetracordio medio; la sexta, paranete del tetracordio añadido y lícano del tetracordio medio, y la séptima, nete del tetracordio añadido o proslambanómeno y mese. Así lo muestra, para mayor facilidad en su estudio, la siguiente representación del Sistema Inmodulante. Sistema Perfecto inmodulante disjunto 6.Cómo la magnitud conjunta de octava más cuarta tuvo la consideración de sistema perfecto. Pues bien, este sistema se llama también disjunto427 por oposición al que es construido conforme a la magnitud compuesta de octava más cuarta, que se denomina conjunto428 por tener, en vez de la disyunción, otro tetracordio conjunto con la 197 54 mese ascendentemente, llamado también él mismo conjunto por lo que le ocurre (como también al disjunto), en el que, a su vez, se denomina trite del tetracordio conjunto a la nota que sigue a la mese, paranete del tetracordio conjunto a la que va a continuación, y a la primera del tetracordio y fija, nete del tetracordio conjunto. Parece, ciertamente, que tal sistema fue introducido por los antiguos para otra forma de modulación, como si fuera modulante frente al otro, inmodulante429; pues no se llama tal cosa por no modular en cuanto al género (es común430 a todos los géneros), sino por no modular en cuanto a la función del tono431. Sistema conjunto En efecto, existen, respecto a lo que se denomina tono, dos primeras modulaciones432 diferentes: la primera, por la que transportamos toda la melodía a una 55 tensión más aguda o, a su vez, a una más grave433, manteniendo la sucesión a través de toda la forma434; la segunda, por la que no toda la melodía es alterada en su tensión, sino una cierta parte de la secuencia original435. Por ello, ésta se denomina198 ría436 modulación de melodía más que de tono; pues en aquélla no es alterada la melodía sino el tono en su totalidad, mientras que en ésta la melodía se desvía de su propio orden, y la tensión no es alterada en cuanto tensión, sino por causa de la melodía; de donde aquélla no proporciona a los sentidos una impresión de diferencia en cuanto a la función (por la que es movido el carácter), sino sólamente en cuanto a lo más agudo o más grave. Ésta, en cambio, actúa como si apartase la impresión de la melodía habitual y esperada, cuando la continúa de manera consecuente largo rato, y la traspasa a otra forma437, bien respecto al género, bien respecto a la tensión (por ejemplo, cuando desde un diatónico continuo modifica el género hacia el cromático, o cuando desde una melodía habituada a realizar las transiciones hacia las consonancias de quinta, resulta una desviación hacia las de cuarta, como en los sistemas expuestos). Pues, una vez que la melodía alcanza la mese, cuando no marcha, como acostumbraba, hacia el tetracordio disjunto, en consonancia de quinta con el de las notas medias, sino desviado, como si fuera unido al tetracordio conjunto con la mese, de modo que hiciese una cuarta en vez de una quinta, resulta, respecto a las notas anteriores a la mese438, una variación y un extravío para los sentidos porque ocurre contra lo esperado; tal variación es provechosa cuando la asociación es proporcionada y melódica, pero inconveniente cuando es lo contrario439. Por ello, es casi la más bella y única por su función la que es similar440 a la ya mencionada, al tomar de un tono441 el cambio presupuesto, por el que se diferencia la quinta de la cuarta. Pues, por ser el tono común a los géneros, puede hacer la modulación en todos ellos; por ser diferente de las razones en los tetracordios, puede variar la melodía; y por ser proporcionado, en la idea de que está establecido como el primero de los intervalos melódicos442, puede constituir las progresiones de la melodía ni 199 56 demasiado grandes ni demasiado breves; pues cada una de estas cosas es difícil de distinguir para los oídos. Así pues, mediante una mezcla parcial de dos sistemas disjuntos, cuando en su totalidad difieren entre sí respecto al tono en una cuarta, resultan, para lo particular de tal modulación, tres tetracordios443 conjuntos sucesivamente444. Y puesto que no se había desarrollado entre los antiguos el incremento hasta estos tonos (pues sólo conocían el dorio, el frigio y el lidio445, que diferían entre sí por un tono, de modo que no llegaban a uno más agudo o más grave por una cuarta) y no tenían modo de producir, a partir de sistemas disjuntos, tres tetracordios sucesivos, asociaron al nombre de sistema el de conjunto, para que les fuera más fácil la modulación ya expuesta446. En general, además, en los tonos que entre sí se sobrepasan por una cuarta, si, de los tetracordios anteriores a la disyunción equivalente en cada uno, el del tono más agudo es conjuntado con el del más grave en sentido ascendente447, hace en lo más grave448 tres tetracordios conjuntos, de los que el más agudo resulta el que ha sido transferido; y si de los tetracordios tras la disyunción equivalente el del tono más grave es conjuntado con el del más agudo en sentido descendente, hace a su vez en lo más agudo tres tetracordios conjuntos, de los que el más grave resulta el que ha sido transferido. Sea, pues, un tetracordio AB descendente desde la nota más aguda A, otro BG conjunto con él y un tono disyuntivo, GD, a continuación; y de nuevo, por deba- jo de él, otros dos tetracordios conjuntos, DE y EZ. Tómese del tono más agudo por una cuarta la disyunción equivalente a GD, HQ, y conjuntos con ella descendentemente, de nuevo, dos tetracordios, QK y KL; y del tono más grave por una cuarta respecto al primero, la disyunción equivalente a GD, MN, y conjuntos con ella ascendentemente dos tetracordios, NC y CO. 200 Entonces, puesto que la nota Q es similar449 a D, será más aguda que ella por una cuarta –y es más aguda que K por lo mismo–; son, pues, de igual tensión D y K, de manera que será posible que el tetracordio KQ sea conjuntado con D en sentido ascendente y haga tres tetracordios sucesivos en el tono AZ, de los que él mismo será el más agudo, ZE, ED y DQ. De nuevo, puesto que la nota N es equivalente a G, será más grave que ella por una cuarta –y es más grave que C por lo mismo–; son, pues, de igual tensión G y C, de manera que será posible que el tetracordio CN sea conjuntado con G en sentido descendente y haga a su vez tres tetracordios sucesivos en el tono AZ, de los que él mismo será el más grave, AB, BG y GN. 7.De las modulaciones según los llamados tonos. Por ello ha de estar claro, entonces, que cuando es situada junto a los sistemas perfectos disjuntos la correspondencia en una cuarta, el sistema conjunto es redundante, además de que no tiene, como dijimos, la naturaleza del Perfecto450. Y hay que distinguir, de nuevo, que, de las modulaciones que se producen en todas las constituciones451, que llamamos específicamente tonos452 por establecer sus diferencias mediante la tensión, su cantidad es potencialmente infinita453, como también la de las notas (pues sólo se diferencia de una nota el así denominado tono por estar compuesto, frente a ella, que es simple, como una línea respecto a un punto454, sin 201 57 que nada importe aquí si trasladamos hacia las posiciones455 contiguas sólo el punto o toda la línea), pero en realidad limitada para la percepción, puesto que también lo es la de las notas456. Por ello, habría tres delimitaciones457 en el estudio de los tonos, como en cada una de las consonancias: primero, aquélla por la que se constituye la razón de los tonos extremos458; segundo, por la que se constituye el número de los que hay entre los extremos459, y tercero, por la que se constituyen los excesos entre los que son contiguos, como en la cuarta, por ejemplo, porque sus notas extremas hacen una razón sesquitercia; porque sólo son tres las razones que componen su totalidad, y porque de tal valor son las diferencias entre las razones460; con la salvedad de que en lo que respecta a estas delimitaciones, cada una tiene su propia causa, mientras que en los tonos siguen a la primera de ellas las dos restantes, ateniéndose a una y la misma restricción461; y al ser ignorante de su consecuencia la 58 mayoría, han planteado de modo diferente cada una de las limitaciones: unos, llegando a una razón menor que la octava, otros tan sólo a la de ella, y otros a una mayor que ésta, buscando siempre algún aumento462 de esta clase los más recientes autores frente a los más antiguos463; algo impropio de la naturaleza de la harmonización y de su periodicidad464, únicamente con la que es indispensable deducir465 la distancia entre los tonos que van a ser extremos, porque ni un cambio en la voz ni en ninguna otra cosa que produzca sonidos sería capaz de tener un único y mismo límite466. Pues ni por las voces más agudas o más graves encontraríamos que se produce la constitución de la modulación respecto al tono467, porque para tal diferencia basta la tensión o, a su vez, la distensión468 de todos los instrumentos, sin llevarse a cabo modificación alguna en la melodía cuando toda ella la producen de igual manera artistas469 de voz más grave o más aguda. Más bien se produce a causa de que la misma melodía, en una única voz, al comenzar unas veces desde unas 202 posiciones más agudas, otras veces desde unas más graves, lleva a cabo un cierto giro del carácter, por no llegar hasta cada uno de los límites de la melodía los de la voz en los cambios entre tonos, sino cesar siempre antes, en un caso el límite de la voz antes que el de la melodía, y al contrario, el límite de la melodía antes que el de la voz; de modo que la melodía ajustada originalmente a la extensión de la voz, cuando en unos casos se queda atrás en las modulaciones y cuando en otros la sobrepasa, proporciona una impresión de un carácter distinto a los oídos 470 . 8.Que es necesario que los tonos extremos sean delimitados mediante la octava. Exista, entonces, la primera y más importante periodicidad de la similitud471 en la harmonización, a su vez, en el primero de los intervalos homófonos, es decir, en la octava472, sin que las dos notas que la contienen473, como hemos mostrado474, sean diferentes entre sí. E igual que las consonancias compuestas de ella producen lo mismo que si estuviesen solas475, así también cada una de las melodías con la sola extensión de ese primer homófono o con la de una extensión compuesta a partir de él, puede discurrir de forma semejante476 si toma su inicio desde cada una de las notas extremas477. Por ello también, en las transposiciones478 entre tonos, cuando queremos cambiar a uno más agudo o más grave por una octava, no movemos ninguna de las notas (aunque siempre movemos algunas en las demás transposicio479 nes), sino que el mismo tono resulta idéntico al original . Y de nuevo, consecuentemente, el que se diferencia por una cuarta del original, resulta idéntico al que se diferencia de él por una octava más una cuarta; el que se diferencia por una quinta del original, resulta idéntico al que se diferencia de él por una octava más una quinta; y de igual forma en los demás480. Así, quienes delimitan los tonos extremos en algo menos de una octava no producirán la periodicidad de la harmonización (pues 203 59 habrá más allá de ellos algún tono diferente a todos los primeros)481, mientras que quienes sobrepasan la octava482 los sitúan superfluamente más allá de la octava misma, al resultar siempre los mismos que los que se toman al principio, es decir, tanto el que diste una octava del original como los que disten de la octava lo mismo que los que distan de manera igual, en igual dirección, desde la octava original483. Pues bien, ni siquiera quienes han avanzado sólo hasta la octava484 cuentan correctamente entre los tonos al que está a una octava del original485; pues será evidente que les ocurre lo mismo que quienes sobrepasan el límite expuesto, salvo en que éstos lo hacen en uno sólo y aquéllos en muchos486; de modo que con justicia serían contestados por parte de quienes les reprochasen que han proporcionado el principio y la causa del exceso487. Pues si se toma una sóla vez alguno idéntico a los que están antes que él (como el que está a una octava del original), ¿qué impide – preguntarían– añadir también los que son equivalentes a los restantes contiguos? Ciertamente, tenemos un ejemplo muy adecuado, a partir de las formas contenidas por la octava, de que no es necesario que con la magnitud de los límites de ésta sean medidas las funciones en ella, sino con la magnitud de las razones que la componen488; pues todos establecemos en general que estas formas son sólo siete, dándose el caso de que son ocho las notas que las producen489, y nadie diría que la que se toma desde la nota más grave, por ejemplo, en sentido descendente, produce una forma distinta que la primera (y en el mismo sentido desde la más aguda), porque en general toda aquella forma que empiece del mismo modo desde cada uno de los extremos de la octava, produce la misma función490. 204 9.Que es necesario suponer sólo siete tonos, en igual número que las formas de la octava. Así pues, el razonamiento nos ha llevado a considerar también el número de 60 tonos491. Sería apropiado hacerlos en igual número que las formas de la octava492, porque tantas son también las de las primeras consonancias juntas493, cuando son tomadas consecuentemente con las razones de cada una, cuya naturaleza494 no permite suponerlas ni en más ni en menos; del mismo modo, entonces, que si uno quisiera que las divisiones se hicieran en más partes –por ejemplo, más de tres en la cuarta495– o, por Zeus, en excesos tomados al azar, o, a su vez, en unos determinados, pero diferentes de los que se adoptan según la razón que armoniza496, en seguida se oponen tanto lo racional como lo evidente497. Así, no hay que estar de acuerdo con quienes suponen que los tonos, que están comprendidos por las formas de la octava498, tonos que son consecuencia de la naturaleza de las consonancias y que han tomado su origen en ellas para que los sistemas en su totalidad adquieran diferencias consonantes499, sean o bien más numerosos que las siete formas y razones de la octava, o bien con excesos iguales entre todos ellos500, ya que no pueden alegar una causa convincente501, ni de la igualdad en los incrementos entre todos (tal cosa se considera totalmente inapropiada en armonía)502, ni de que todos los excesos, por ejemplo, sean de un intervalo de tono, o a su vez de semitono o de diesis503; una vez adoptados, a partir de ellos también limitan el número de los tonos en función de la magnitud de los que hacen la octava504. ¿Por qué, pues, habrían de hacerlos de ese tamaño, si según ellos505 un intervalo consonante permite éstos, aquéllos y muchos otros506 excesos, tanto en el orden de los géneros como en el de las distancias?507 Pues tampoco les es posible decir que esta magnitud divide con precisión la octava mientras que aquélla no lo hace así508, o que ésta, si cabe, lo 205 61 hace en partes iguales, mientras que aquélla lo hace en partes desiguales509. Pero si un intervalo de tono divide la octava en seis partes510 y el semitono en doce, el tercio de tono en dieciocho y el cuarto en veinticuatro, y ninguna de éstas tiene una diferencia imperceptible, ¿qué excesos, entonces –podría preguntar alguien– hay que delimitar entre los siete tonos, puesto que ni la octava se divide en siete razones 62 iguales, ni, aun siendo desiguales, es evidente cuáles de ellos conviene suponer? Hay que contestarle que los que se hallan511 de modo consecutivo bajo las primeras consonancias, es decir, los que quedan del incremento de la cuarta dentro de la octava en una dirección, siendo el mismo que el que se constituye para la quinta en sentido contrario512; pues cuando una nota más grave que otra por una cuarta resulta más aguda por una quinta que la homófona a ella al grave, también una más aguda que otra por una cuarta resulta más grave por una quinta que la homófona a ella al agudo513. Y es necesario no sólo aquí, sino también en todas partes, que los intervalos homófonos precedan y se consideren anteriores a los consonantes, y los consonantes a los melódicos514, de forma que también es menester que, de los tonos, se tomen primero los consonantes, y después los que son encontrados mediante el exceso entre éstos, sean cuales sean, pues la transición a los tonos en sucesión no produce una modulación tan provechosa como la que la hace a los tonos que se diferencian por las primeras consonancias515. 10.Cómo podrían establecerse mejor los excesos entre los tonos. Parece que quienes han llegado hasta ocho tonos516 al ser contado con los siete uno de forma redundante517, han venido a dar de algún modo con los excesos apropiados entre ellos, aunque no los han abordado del modo necesario518. Pues, simplemente, suponiendo que los tres más antiguos, llamados dorio, frigio y lidio por los nombres de los pueblos de los que han surgido519 (o como quiera uno consi206 derar las causas), se diferencian entre sí por un tono520, y dándoles el nombre, quizá por esto, de tonos521, a partir de éstos realizan la primera modulación consonante desde el más grave de los tres, el dorio522, una cuarta ascendente, llamando a este tono “mixolidio”523 por su proximidad al lidio, porque ya no hacía el exceso total respecto a él de un intervalo de tono, sino con la parte restante de la cuarta tras el dítono desde el dorio hasta el lidio524. Después, puesto que el dorio se encontraba situado bajo éste525 una cuarta, para añadir bajo los demás 526 los más graves por una cuarta527, llamaron “hipolidio” al que iba a estar bajo el lidio528, “hipofrigio” bajo el frigio, e “hipodorio” bajo el dorio; al que estuviera una octava ascendente sobre este tono, aunque era el mismo, lo denominaron “hipermixolidio”529 por lo que le ocurría, que había sido tomado sobre el mixolidio (sirviéndose incorrectamente530 de hipo- para señalar lo que está en el grave, y de hiper- para lo que está en el agudo531). Y, según la sucesión de los primeros532, de nuevo el exceso entre el hipodorio respecto al hipofrigio es un intervalo de tono; e igualmente el del hipofrigio respecto al hipolidio; y éste respecto al dorio, el del leima, que quieren533 hacerlo de un semitono534. Pero no es necesario, como decíamos535, que los intervalos consonantes sean tomados a partir de los melódicos, sino al contrario, éstos a partir de aquéllos, porque los intervalos consonantes son más fáciles de tomar y más importantes tanto para las modulaciones como para lo demás536. Esto sucedería del modo apropiado si, tras establecer un tono como el más agudo537, A, tomásemos primero el que está a una cuarta descendente de él, B, y aún el más grave que éste una cuarta, G, que se va a mover dentro de una octava; después, puesto que el que está a una cuarta descendente de él cae fuera de la octava, si tomamos el que es idéntico en las funciones538, es decir, más agudo que G por una quinta, D, a su vez, de nuevo, dispondríamos uno más grave que éste por una 207 63 cuarta, E, e incluso, en vez de uno más grave que E por una cuarta, por caer también éste fuera de la octava, construiríamos uno más agudo que E por una quinta, Z; y de nuevo dispondríamos uno más grave que éste por una cuarta, H. Cuando se han establecido éstos así, en consecuencia, a partir de la reducción sucesiva descendente del primer intervalo consonante de cuarta (que es, como decíamos, la misma que el incremento ascendente en una quinta), se concluye de modo absoluto que los excesos entre G y E, H y E, B y D, D y Z se constituyen de un intervalo de tono, mientras que los de H y B, Z y A, contienen el llamado leima. Puesto que el tono D es más agudo que E por una cuarta, y más agudo que G por una quinta, el exceso entre G y E será un intervalo de tono; igualmente, puesto que Z es más agudo que H por una 64 cuarta y más agudo que E por una quinta, el exceso entre E y H será también un intervalo de tono. De nuevo, ya que G es más grave por un dítono que H y más grave por una cuarta que B, el exceso entre B y H contendrá el leima. Y en cuanto al resto, ya que son cuartas BG, DE, ZH y BA, de forma que el exceso entre E y G es igual que el que hay entre D y B, el que hay entre E y H igual que el que hay entre Z y D, y el que hay entre B y H igual que el que hay entre A y Z, de un intervalo de tono será también cada uno de los que hay entre D y B y Z y D, mientras que de leima el que hay entre A y Z. Y si estableciésemos uno a octava de G o de A, está claro que también será de un intervalo de tono el exceso respecto al que le sigue539, porque AG, al hacer una doble cuarta, quedan a un intervalo de tono de la octava. Y A se sitúa en el mixolidio, Z en el lidio, D en el frigio, B en el dorio, H en el hipolidio, E en el hipofrigio y G en el hipodorio540, de forma que los excesos entre ellos541, aunque han sido transmitidos de cualquier manera, serán hallados mediante la razón542. 208 11.Que no es necesario incrementar los tonos por semitono. Es claro que, una vez que hemos establecido estos tonos543, hay una nota particular de la octava en cada uno544, correspondiente a la mese por función545, por la igualdad numérica546 entre ellos y las formas de la octava. Pues si tomamos una octava en las posiciones intermedias del Sistema Perfecto, es decir, las que van desde la hípate del tetracordio medio por posición hasta la nete del tetracordio disjunto547 (porque la voz evoluciona y se detiene cómodamente más bien en la parte central de la melodía, dirigiéndose pocas veces hacia sus extremos por el esfuerzo y la violencia548 de la relajación o tensión549 fuera de medida), la mese550 por función del mixolidio551 es asignada552 a la posición553 de la paranete del tetracordio disjunto, para que el tono haga la primera forma de la octava en el sistema previamente establecido554; la del lidio, a la posición de la trite del tetracordio disjunto conforme a la segunda forma; la del frigio, a la posición de la paramese conforme a la tercera forma; la del dorio, a la posición de la mese que hace la cuarta forma y la central, de la octava555; la del hipolidio, en la posición de la lícano del tetracordio medio conforme a la quinta forma; la del hipofrigio, en la posición de la parípate del tetra- 209 65 cordio medio conforme a la sexta forma, y la del hipodorio, en la posición de la hípate del tetracordio medio conforme a la séptima forma, de modo que algunas notas se puedan conservar, en el sistema, inmóviles556 en las transposiciones entre tonos observando la magnitud de la voz, porque nunca similares funciones en tonos diferentes recaen en las posiciones de las mismas notas. Pero si suponemos más tonos junto a éstos (lo que hacen quienes incrementan sus excesos en semitonos)557, será forzoso que las meses de dos tonos se asignen totalmente a la posición de una sola nota, de forma que estos dos sistemas se moverán en su totalidad558 en la transposición de uno a otro de estos dos tonos, sin que mantengan ya común la tensión inicial559, con la que se medirá lo particular de la voz. Pues si la mese por función del hipodorio, por ejemplo, es unida a la hípate del tetracordio medio por posición, y la del hipofrigio a la parípate del tetracordio medio, el tono que se toma entre éstas (llamado por ellos hipofrigio grave, frente al otro más agudo), necesitará tener su mese o bien en la hípate, como el hipodorio, o bien en la parípate, como el hipofrigio agudo560; al ocurrir esto, cuando transponemos hacia los otros tonos que tienen una nota común, ésta se moverá tensándose o relajándose un semitono, por tener la misma función en cada uno de los tonos, es decir, la de la mese; seguirán las tensiones o relajaciones de todas las notas restantes, para conservar las razones respecto a la mese idénticas a las tomadas antes de la 66 modulación según el género común de ambos tonos, de modo que el tono ya no parecería diferente del primero por la forma, sino, de nuevo, hipodorio o el mismo hipofrigio561, siendo tan sólo uno de voz más aguda o más grave. Así pues, queden hasta aquí esbozadas tanto la racionalidad como la suficiencia de los siete tonos. 210 12.Del difícil uso del canon monocorde562. Y como nos queda, para la demostración563 con total claridad de la correspondencia entre razón y percepción, la división del canon armónico (no en un solo tono, por ejemplo el del Sistema Inmodulante564, ni en un género o dos como nuestros antecesores565, sino absolutamente en todos los tonos y cada uno de los géneros melódicos, para que tengamos también las posiciones comunes de las notas expuestas a la vez566), analizaremos brevemente la imperfección de este canon monocorde, para el que hasta ahora no parece que se haya mejorado nada con el objeto de que las afinaciones efectuadas con la razón, en las melodías desarrolladas en su totalidad567, tengan una comparación fácil de precisar para los sentidos. Pues parece que tal instrumento ha caído en desuso tanto para la ejecución manual568 como para el estudio teórico569 de lo que es productor de la razón harmonizada570, puesto que para los demás no existía cada uno de los aspectos mencionados: a los canonistas571 sólo les interesaba la teoría, mientras que a las liras, cítaras y similares, la práctica; en éstos los intervalos melódicos se constituyen con su razón apropiada, sin que sea demostrada en ellos, toda vez que ni siquiera en los aulós y siringas tal cosa se alcanza con exactitud572: éstos serían más perfectos para ambas demostraciones, porque toman las diferencias entre las notas como consecuencia de sus longitudes573. Pero el canon se revelaría tanto más insuficiente que los demás porque éstos al menos establecen con exactitud uno de los aspectos, pero él ninguno574. Pues, en primer lugar575, por no ser comprobada ni la uniformidad de la cuerda576 ni las posiciones de sus extremos577, o también por no ser apropiadas las razones que se derivan de sus partes, en absoluto se efectúan las secciones mediante la razón, sino tensando la cuerda, después desplazando el puente hasta que ante los oídos se presente cada una de las notas buscadas; allí señalan la sección correspondiente, ale211 jándose de aquello por lo que tenía lugar (del mismo modo que los que fabrican los instrumentos de viento)578. A continuación, si su extensión579 ha sido dividida convenientemente, cuando el puente se ha desplazado lentamente, las notas podrían 67 disponerse entre sí con la medida adecuada; pero cuando se cambia de lugar más rápidamente por la continuidad y el ritmo de la melodía, ya no ocurre igual, pues las señales apropiadas ya no se observan las mismas ni son marcadas con precisión, a causa de la rapidez de su desplazamiento580. Por su utilización, este instrumento sería el último y el más ineficaz de todos, no sólo porque con una mano se afina y con la otra se pulsa, independientemente y a la vez581, de forma que está privado de lo más hermoso de la habilidad manual (me refiero, por ejemplo, al acompañamiento de cuerda582, al tañido simultáneo583, a la secuencia ascendente, a la secuencia descendente584, al ligado585 y en general a la combinación de notas separadas), pues, al ser una sola mano la que pulsa, no puede atravesar con facilidad las distancias más grandes, ni tocar a la vez dos posiciones diferentes586; sino porque es forzoso también que la continuidad de los sonidos, que comprende la forma menos melódica por no hacer ninguno fijo ni determinado, sea consecuencia aquí, durante mucho tiempo, del desplazamiento de los puentes, cuando arrastran con el roce de la cuerda tales sonidos587, al no poder ellos, por decirlo así, saltar o lanzarse a las posiciones delimitadas588; de ahí que no sea posible hacer uso fácil de los ritmos más rápidos589. Y es por esto que me parece que quienes manejan tal instrumento, aun conociendo las dislocaciones de las notas de la harmonización590, nunca lo presentan solo para que sea confirmado por los sentidos, sino ya acompañado del auló o de la siringa591, para que, con el acompañamiento de aquéllos, pase inadvertido cuando yerra. 212 13.De lo que Dídimo el músico propuso modificar en el canon. Dídimo el músico592 es quien primero intenta introducir una mejora. No logra, ciertamente, lo necesario, pues se dedicó tan sólo a facilitar el desplazamiento del puente, pero para las demás dificultades que hemos tratado593, aun siendo más numerosas y mayores, no fue capaz de encontrar remedio alguno. Pues toma las distancias entre las notas no a partir de uno de los límites sólo, sino también desde el opuesto594, según unas posiciones tales en las que resultan desiguales las longitudes respecto a cada extremo, y cada uno tiene una razón en relación al total apropiada a alguna nota: por ejemplo, cuando están entre sí las dos partes en razón doble, es evidente que, respecto al total, la más grande está en sesquiáltera, según la quinta, y la más pequeña en triple, según la octava más quinta595. Pues si toda la longitud es asignada a la proslambanómeno, el mayor de los segmentos (dos partes de ella) hará la hípate del tetracordio medio, mientras que la menor (un tercio de ella) la nete del tetracordio disjunto; y en las demás que admitan algo semejante, de igual modo. Tal modificación palia, estamos de acuerdo, la deficiencia de los continuos desplazamientos596 del puente, ya que muchas veces los puentes pueden permanecer durante más pulsaciones en las posiciones comunes a dos notas597, transfieriéndose la pulsación de una y otra a cada segmento. En realidad hace más difícil el procedimiento cuando la melodía no conjunta notas comunes, por el hecho de diferenciarse las posiciones de las mismas notas, en torno a la duda de cuál de las dos hay que utilizar, porque la pulsación continua no concede tiempo para consideraciones598; más manejable sería, frente a la elección entre muchos, el ataque599 sucesivamente hacia una y siempre misma posición. Y en cuanto a las razones de la sección, no añade nada que proceda de lo perceptible, sino que él establece tres géneros600, el diatónico601, el cromático602 y el 213 68 enarmónico603, y efectúa las secciones tan sólo en dos géneros604, el cromático y el diatónico, y en el Sistema Inmodulante solamente605, y sin que se adopten en aquéllos las razones de modo adecuado. Pues dispone las primeras notas de los tetracordios respecto a las terceras desde sí mismas en la razón 5:4 en ambos géneros606; respecto a las segundas, en el cromático, en 6:5, y en el diatónico en 9:8607, de modo que las últimas diferencias en ambos géneros llegan a la razón 16:15, mientras que las centrales, en el cromático 25:24 y en el diatónico 10:9, al margen de lo evidente para los sentidos608. En el género cromático, de las razones que contienen el pycnón, ha hecho la razón última mayor que la central, sin que tal cosa resulte en absoluto melódica609; y en el diatónico, la razón primera mayor que la central, aun siendo necesario lo contrario, como es el diatónico simple610. E incluso ha hecho iguales las razones últimas de los dos géneros, aunque es necesario que sea menor la del diatónico611. Así pues, la causa para todos612 de haberse ocupado con poco rigor de la hipótesis de las razones, fue no considerar antes su utilización, sólo partiendo de la 69 cual podían ser comparadas con las aprehensiones de la percepción613; y por esto parecen haber construido las razones de las consonancias, que pueden ser también comprobadas a través de una sola cuerda con una división en dos partes, y las de los intervalos melódicos, que sólo podrían ser contempladas con la composición del sistema en su totalidad (lo cual no era posible ver con exactitud en una sola cuerda), y de una manera harto engañosa614. Pues tales intervalos melódicos serían refutados claramente si uno hiciera conforme a ellos las secciones en las ocho cuerdas de igual tensión expuestas por nosotros615 (pues son suficientes ya para mostrar la secuencia de la melodía a los oídos), para que percibieran lo genuino de lo que no lo es. Y con el objeto de que nos sea más asequible la comparación entre nuestras di- 214 visiones de los géneros y las que han sido ya dadas anteriormente (cuantas en cualquier caso nos hemos encontrado)616, expondremos previamente una comparación parcial entre éstas en el tono central, el dorio617, para mostrar sólo la diferencia expuesta. En general, ciertamente, hemos hecho uso de los procedimientos para las divisiones no de la misma forma que los autores más antiguos, que seccionaban para cada nota la longitud total en razones claramente indicadas618, a causa de la laboriosidad y dificultad de tal medición, sino dividiendo desde el principio la longitud previamente adoptada de la regla colocada junto a las cuerdas, desde el punto de pulsación en el extremo agudo hasta la marca que estará bajo la nota más grave, en segmentos iguales y proporcionales en magnitud, y colocando a su lado los números desde el principio hacia el extremo agudo, en cuantas partes haya lugar, para, al tenerlos establecidos en sus razones adecuadas para cada una de las notas a partir del extremo común mencionado, una vez expuestos, situar siempre fácilmente en las posiciones marcadas desde la regla los puntos de pulsación de los puentes móviles619. Y puesto que ocurre que los números que prolongan las diferencias comunes de los géneros llegan a decenas de miles620, nos hemos servido, de las unidades enteras totales, de sus sexagésimas partes más próximas, hasta las primeras sexagésimas partes de una unidad, de manera que nunca transcurran las comparaciones por más de una sexagésima de una parte en la sección de la regla621. E incluso para que la distancia de la cuarta bajo la disyunción contenga las 30 partes que establece Aristóxeno622, con el fin de entender el segmento del tetracordio a través de los mismos números tomando sus divisiones en una gran escala, hemos establecido en 120 segmentos la longitud desde el extremo común hacia la nota más grave de la octava supuesta; 90, según la razón sesquitercia, la más aguda 215 70 que ella por una cuarta, de modo que también la más aguda por una quinta que la más grave de ellas es 80 según la razón sesquiáltera, y la más aguda de la octava, 60, según la razón doble623. Las notas móviles intermedias toman sus números conforme a las razones de cada género. 14.Exposición de los números que hacen la sección de la octava en el tono inmodulante624 y en cada uno de los géneros. Hemos dispuesto tres tablas625, cada una de ocho líneas, la primera de cinco columnas, la segunda de ocho y la tercera de diez; el orden de las notas está colocado junto a las primeras columnas626. Así pues, la primera tabla contiene los géneros enarmónicos: 1.Los géneros enarmónicos 71 Según Arquitas Según Aristóxeno Según Eratóstenes Según Dídimo Nosotros 60 75 77 9 80 90 112 30 115 43 120 60 76 78 80 90 114 117 120 60 76 78 80 90 114 117 120 60 75 77 30 80 90 112 30 116 15 120 60 75 78 16 80 90 112 30 117 23 120 5:4 x 36:35 x 28:27= =4:3 24 + 3 +3 = 30 19:15 x 39:38 x 40:39 = = 4:3 5:4 x31:30 x 32:31 = = 4:3 5:4 x 24:23 x 46:45= = 4:3 En la primera columna, según Arquitas, en las razones 5:4, 36:35 y 28:27; en la segunda, según Aristóxeno, en una distancia entre las partes de 24, 3 y 3627; en la tercera, según Eratóstenes, en las razones de 19 a 15, 39 a 38 y 40 a 39628; en la cuarta, según Dídimo, en las razones 5:4, 31:30 y 32:31; y en la quinta, según nosotros, en las razones 5:4, 24:23 y 46:45. La segunda tabla contiene <…> 216
