21.- CONSTRUCCIÓN DE UNA ROTONDA En una determinada localidad, el responsable del planeamiento urbanístico presenta una propuesta para la construcción de una rotonda con 10 metros de diámetro. En el centro de la rotonda, se pretende construir un jardín en forma de rombo, con 20 metros de perímetro, como sugiere la figura. Alrededor del jardín se colocará una calzada y otros elementos decorativos. Sobre la figura se considera que: Los puntos A, B, C y D son los vértices del rombo. El punto O es el centro de la circunferencia. El ángulo ADO tiene de amplitud a, siendo 0<a<π/2 1) Demuestra que el área, en metros cuadrados, de la zona destinada a jardín está dada, en función de a, por: A(a)=50cosa⋅sena, 0<a<π/2 2) Determina A(π/4). Interpreta geométricamente el resultado obtenido, indicando qué forma particular tiene el rombo para a=π/4. RESOLUCIÓN 2) Vamos a introducir la expresión A(a) en el editor de funciones con la ventana de visualización indicada a continuación. Al determinar el máximo de la función (Análisis / Resolución gráfica / Max) verificamos que la abcisa del valor máximo tiene un valor aproximado de π/4 y la ordenada tiene valor 25. De esta forma, verificamos que la forma particular del rombo es un cuadrado. 22.- GASÓMETRO En el período de pruebas que antecede a la entrada en funcionamiento de un gasómetro, con capacidad de 100 toneladas, se procedió a su relleno, continuamente, durante 24 horas. Por razones de seguridad, el gasómetro fue lastrado con 2,5 toneladas de gas, después de que se iniciara la operación de relleno. A partir de ahí, su relleno fue hecho de acuerdo con el modelo: M(t) = 100 1 + 39 ⋅ e − 0,49⋅ t , siendo 0 ≤ t ≤ 24 (M representa la masa total, expresada en toneladas, existente en el gasómetro t horas desde el inicio de su relleno) Durante el período en que transcurre el relleno del gasómetro, ¿existe un cierto intervalo de tiempo en que la tasa de variación media del modelo toma un valor negativo? Justifica razonadamente la respuesta. RESOLUCIÓN Vamos a introducir la expresión en el editor de funciones y como ventana de visualización la siguiente. Al observar el gráfico de la función podemos concluir que no puede existir un intervalo donde la tasa de variación media sea negativa, puesto que la función es creciente en su dominio. La tasa de variación media es siempre positiva. 23.- DOS FUNCIONES Considera la función f definida en el intervalo [1, 2] por f(x)=cos(x – 1)+ln x. Para un cierto valor real positivo a y para un cierto valor real b, la función g, definida en el intervalo [1, 2] por g(x)=a⋅f(x)+b, tiene por recorrido el intervalo [4, 5]. Utilizando la calculadora gráfica, determina los valores de a y de b, redondeados a las centésimas. Explica cómo lo haces. Debes incluir los gráficos visualizados en la calculadora y las coordenadas relevantes de algunos puntos. Trabaja siempre con un mínimo de tres cifras decimales. RESOLUCIÓN Vamos a determinar el máximo de la función. Teniendo en cuenta el recorrido de la función [ 1 , 2 ], debemos utilizar la ventana de visualización que se indica a continuación. Para obtener el máximo de la función, seleccionamos el comando Análisis / Resolución gráfica / Máx. Verificamos que la función tiene un máximo con ordenada 1,297 Si efectuamos una operación idéntica para encontrar el mínimo de la función, vemos que la calculadora no puede encontrar el mínimo. Vamos a utilizar el cursor de recorrido para encontrar el mínimo dentro del dominio de la función. Visualmente verificamos que la función comienza a crecer y después vuelve a decrecer. De esta forma conseguimos percibir visualmente que el mínimo esta situado en una de las extremidades del gráfico. Al recorrer la función, verificamos que el mínimo tiene de coordenadas (1,1) Para determinar los valores pedidos tenemos que resolver el siguiente sistema de ecuaciones: a+b=4 ⎫ ⎬ 1.297 a + b = 5 ⎭ En el menú Principal, podemos resolver este sistema de ecuaciones usando el teclado 2D. De esa forma obtenemos . A= 3.367 y B= 0.633 De esta forma, podemos definir la función como: g(x) = 3.367 ⋅ [cos( x − 1) + ln x ] + 0.633 24.- ÓRBITA TERRESTRE Como sabes, la Tierra describe un órbita elíptica alrededor del Sol. En la figura está representado un esquema de esa órbita. Está señalado el perihelio o punto de la órbita de la Tierra más próximo al Sol. En la figura está señalado un ángulo de amplitud x radianes (x∈[0,2π]. Este ángulo tiene su vértice en el Sol, su lado origen pasa por el perihelio y su lado extremo pasa por la Tierra. La distancia d, en millones de kilómetros de la Tierra al Sol, esta dada (aproximadamente) en función de x, por d = 149,6 (1 – 0.0167 cos x) 1) Determina la distancia máxima y la distancia mínima de la Tierra al Sol. Presenta los valores pedidos en millones de kilómetros, redondeados a las décimas. 2) Se sabe que x verifica la relación 2πt = x − 0.0167 ⋅ sen x , siendo T t el tiempo, en días, que transcurre desde el paso de la Tierra por el perihelio hasta el instante en que alcanza la posición correspondiente al ángulo x. T el tiempo que tarda la Tierra en describir una órbita completa (365,24 días) 2.1) Demuestra que, para x = π, se tiene t = T/2 2.2) Se sabe que el último paso de la Tierra por el perihelio ocurrió en cierta hora del dia 4 de Enero. Determina la distancia a la que la Tierra se encontraba del Sol, en la misma hora del dia 14 de Febrero. Presenta el resultado en millones de kilómetros, redondeando a las décimas. La resolución de esta cuestión implica una ecuación que debe ser resuelta gráficamente, usando como recurso la calculadora. Presenta los elementos obtenidos en la utilización de la calculadora, tales como los gráficos y las coordenadas relevantes de algunos puntos. RESOLUCIÓN 2.2) El tiempo que transcurre entre el día 4 de Enero y 14 de Febrero es de 41 días. De esta forma, la ecuación forma: 2⋅π⋅t = x − 0,0167 ⋅ sen x puede ser escrita de la siguiente T 2 × π × 41 = x − 0,0167 ⋅ sen x 365,24 Vamos a resolver gráficamente la ecuación: Vamos a igualar la ecuación a cero y a hallar gráficamente el cero de la función. 2 × π × 41 − x + 0,0167 ⋅ sen x = 0 365,24 Introducimos la expresión en Y1. Configuramos la ventana de visualización teniendo en cuenta que el dominio de la función es [0, 2π). Para obtener el cero de la función, seleccionamos el comando Análisis / Resolución gráfica / Raíz Según el resultado obtenido, podemos concluir que el valor de x es 0,7163. Para determinar la distancia pedida sustituimos el valor encontrado (0.7163) en la expresión de la distancia. Así tenemos: d = 149.6 (1-0.00167 cos x) d = 149.6 (1-0.00167 cos 0.7163) d =147.72 millones de kilómetros